RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

EXAME DE RECURSO - FEVEREIRO / 2013 FLEXÃO PLANA - ESTADO PLANO DE TENSÃO

RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO CONSIDERANDO AS

CONVENÇÕES:

ISABEL ALVIM TELES

G

300 kN

L

0,80 m S

S

4 11.0

P

8 8 8

30.0

4

SECÇÃO DA EXTREMIDADE (medidas: cm)

SECÇÃO S-S (medidas: cm) 300 kN

12.0 18.0

x x

y

y yx

yx xy

xy

+

x

y

G

y x

+ +

M

x+

ENUNCIADO

Considere a viga encastrada representada na Figura 1, cuja secção transversal é constituída por dois elementos pré-fabricados simétricos (ver Figura 2) com peso próprio desprezável.

As características do elemento pré-fabricado estão indicadas na Tabela abaixo.

Na extremidade da viga está a actuar uma única força cujo valor de cálculo é 300 kN (valor majorado).

O plano de solicitação é baricêntrico.

Figura 1

Figura 2 Figura 3 Tabela

a) Tendo em conta os valores indicados na Tabela para a tensão resistente de cálculo à compressão ( σ

_RD,comp

) e a tensão resistente de cálculo à tracção ( σ

_RD,trac

) do material que constitui a viga, determine o seu máximo vão (L) compatível com a verificação da segurança;

b) Considere o ponto P da secção S-S (secção a 0,80 m da estremidade da viga), tal como representado na Figura 1 e Figura 3.

b

1

) Defina o tensor das tensões que caracteriza o estado plano de tensão no ponto P;

b

2

) Calcule por um processo analítico a tensão normal ( σ ) e a tensão tangencial ( ττττ ) a actuar na faceta AC e represente-as na Figura 4.

Nota: Se não conseguiu determinar o tensor das tensões na alínea anterior, considere o seguinte:

Figura 4

G

300 kN

L

0,80 m S

S

4 11.0

P

8 8 8

30.0

4 SECÇÃO DA EXTREMIDADE

(medidas: cm)

SECÇÃO S-S (medidas: cm) 300 kN

12.0 18.0

4.6 7.4 G

a a

b b

13.5 16.5

Área = 240 cm I = 12 708,0 cm

2 a 4

I = 2 153,6 cm_b ⁴

(medidas: cm) ELEMENTO PRÉ-FABRICADO

= 290 MPa = 330 MPa

P A 65°

B D C

MPa 0 10

10 25

 





 





−

−

−

RESOLUÇÃO Alínea a)

Área da secção transversal

2 -4 2

480 10 m cm

480 240 2

A = × = = ×

Posição do centro de gravidade

Os centros de gravidade das 2 peças que constituem a secção transversal estão sob o eixo a, logo o centro de gravidade da secção transversal também tem que estar sob o eixo a ⇒ eixo x ≡ eixo a

O eixo y é eixo de simetria, logo o centro de gravidade da secção transversal também tem que estar sob o eixo y.

O eixo x e o eixo y são eixos principais centrais de inércia, pois o eixo y é de simetria.

Momento de inércia Ix

4 -8 4

25 416 10 m cm

416 25 708 12 2

x = × = = ×

I

O dimensionamento deverá ser realizado para a secção onde ocorrem os maiores esforços, ou seja, para a secção do encastramento.

Esforços na secção do encastramento:

kNm L 300 M

kN 300 V



X

 



×

−

=

=

Tensões normais: M Y

X

σ

X

= I

Fibra superior: ( 0,165 ) 194 759,2 L kPa

10 416 25

L 300

cm 16,5

y σ

_-8

_{× − = ×}

×

×

= −

− ⇒

= (tracção)

Fibra inferior: 0,135 159 348,4 L kPa 10

416 25

L 300

cm 13,5

y σ

_-8

_{× = − ×}

×

×

= −

= ⇒ (compressão)

Verificação da segurança

m 1,69 L m

1,69 L

m 1,82 L 000

330 L 759,2 194

000 290 L 348,4 159

σ σ

σ

σ

trac Rd, trac

Ed,

comp Rd, comp

Ed,

⇒ ≤

 



≤

⇒ ≤

 



≤

×

≤

⇒ ×

 



≤

≤

O vão máximo compatível com a verificação da segurança é 1,69 m.

8 4 8

13.5 X

Y G

4

16.5

(cm)

Alínea b) - b1)

Esforços na secção S-S a 0,80 m da extremidade da viga:

kNm 240 0,8 300 M

kN 300 V



X

 



−

=

×

−

=

=

Tensão normal no ponto P: M Y

X

σ

X

= I com Y = 2,5 cm kPa

607,2 23 0,025 10 416 25 240

_-8

σ _{× = −}

×

= − (compressão)

MPa 6 23, σ = −

Tensão tangencial no ponto P:

b

S V τ

= I V = 300 kN

4 -8 4

25 416 10 m cm

416 25

= = ×

I

cm 0,16 0,08 2

b = × =

estático)

(momento

m 10 408 1 cm 408 1 2 11 13,5 8 11 2

S   =

³

= ×

^{-6 3}

  



 



 −

×

×

×

=

MPa 10,4 kPa 387,2 10 0,16 10

416 25

10 408 1 300 b

S V

_-8

-6

τ = =

×

×

×

= ×

= I

Estado de tensão: Tensor das tensões : MPa 0

10,4

10,4 23,6

T  





 





−

−

= −

Alínea b) - b2) - Fórmulas

Tensão normal e tensão tangencial numa faceta

2θ sen 2θ 2 cos

σ σ 2

σ σ

^{x y x y} _xy

σ

θ

= + + − + τ

2θ cos

2θ 2 sen

σ σ

^{x y} _xy

θ

τ

τ _{= −} ⁻ ₊

Ponto P

kPa 10,4 0

kPa 23,6 kPa 10,4

kPa 23,6

YX XY

Y X

τ τ

σ σ τ

σ

 



 



−

=

=

=

−

=

 ⇒

 



−

=

−

=

4 11.0

P

4 X

Y G

8 2.5

13.5

(cm)

= 23,6 MPa

τ τ

τ

^{= 10,4 MPa}

τ

P

x y

+ + +

Para θ = 155°

MPa 15,7

MPa 11,4 MPa

15,7 ) 155 (2 cos 10,4 ) 155 (2 2 sen 23,6

MPa 11,4 ) 155 (2 sen 10,4 ) 155 (2 2 cos 23,6 2

23,6

AC AC

155 θ

155

σ

σ



 



−

=

−

=

⇒

 



 



−

=

×

−

− ×

−

=

−

=

×

−

− ×

− +

=

=

= θ

τ

^{o o}

τ

o o

o o

Alínea b) - b2) - Cálculo Matricial

) 155 cos

; 155 sen ( n

) 155 sen

; 155 cos ( n

//

o o

o o

−

=

⊥

=

[ ]

[

⊥

]

_⊥

⊥

⇒ = × ×

×

= T n σ T n n

σ

_R ^T

[ ] ^{11,4 MPa}

155 sen

155 cos x 426 , 9 994 , 16 155 sen

155 cos x 155 sen

155 x cos 0 4 , 10

4 , 10 23,6 σ

T

−

 =







 



= 

 





 







 





 



 





 





 





 





−

−

= −

_o

o o

o o

o

Como o sinal é negativo, o sentido da tensão σ vai ser contrário ao do vector n .

_⊥

[ ]

[ ]

T //

//

R

n T n n T

× ⇒ = × ×

= τ

_⊥

τ v

v

[ ] ^{15,7 MPa}

155 cos

155 sen x 426 , 9 994 , 16 155 cos

155 sen x 155 sen

155 x cos 0 4 , 10

4 , 10

23,6

^T

 =







 





= −

 





 







 





 



 





 





 





 





−

−

= −

_o

o o

o o

o

τ

Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser igual ao do vector n

_//

, que pela convenção corresponderá a uma tensão tangencial negativa.

Tensões positivas:

(convenção)

65°

x y

n n

θ=155°

x x

y

y yx

yx xy

xy

+

P

65°

x y

25°

155°

P

65°

= -11,4 MPa

= -15,7 MPa

A

C

P

65°

= -11,4 MPa

= -15,7 MPa

A

C