A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras

A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras

A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras

Lucas Galvão

Orientador: Prof. Dr. Daniel Levcovitz

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática. VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos Outubro de 2014

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

G182d

Galvão, Lucas

A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras / Lucas Galvão; orientador Daniel Levcovitz. -- São Carlos, 2014.

50 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2014.

iii

Agradecimentos

Primeiramente aos meus pais, por todo o apoio e incentivo, principalmente nos momentos

de maior dificuldade. N˜ao fosse por eles, certamente eu n˜ao teria chegado at´e aqui.

Ao meu orientador, Prof. Daniel Levcovitz, pela sua paciˆencia, amizade, seus

ensina-mentos e principalmente pela confian¸ca depositada.

Agrade¸co tamb´em a todos aqueles que me apoiaram durante meu per´ıodo de mestrado.

Por´em, fa¸co um agradecimento especial a Renan Mezabarba, pelas discuss˜oes matem´aticas

(ou n˜ao) na biblioteca do ICMC, onde frequentemente incomod´avamos os funcion´arios pela

altura dos risos. Tamb´em fa¸co agradecimentos especiais a Renan Metzker e Ivan Bolorino,

amigos dos tempos de gradua¸c˜ao na UNESP, n˜ao s´o pelo apoio, mas tamb´em pelas horas de

descontra¸c˜ao (compartilhadas por meio virtual).

iv

Resumo

A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov mede a taxa de crescimento assint´otico de ´algebras.

Como fornece informa¸c˜oes importantes sobre a sua estrutura, este invariante se tornou uma

das ferramentas padr˜ao no estudo de ´algebras de dimens˜ao infinita. Neste trabalho

apresen-tamos as propriedades b´asicas da dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de ´algebras e de m´odulos,

e tamb´em mostramos o c´alculo da dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de algumas ´algebras e

m´odulos, sendo o exemplo mais importante o c´alculo da dimens˜ao de Gelfand-Kirillov da

´algebra de Weyl An.

v

Abstract

The Gelfand-Kirillov dimension measures the asymptotic rate of growth of algebras.

Since it provides important structural information, this invariant has become one of the

standard tools in the study of infinite dimensional algebras. In this work we present the

basic properties of the Gelfand-Kirillov dimension of algebras and modules, and we also

show the calculation of the Gelfand-Kirillov dimension of some algebras and modules, being

the most important example the calculation of the Gelfand-Kirillov dimension of the Weyl

algebra An.

CONTE ´

UDO

Introdu¸c˜ao 3

1 Preliminares 5

1.1 Crescimento de ´Algebras . . . 5

1.2 A Dimens˜ao de Gelfand-Kirillov . . . 9

2 A ´algebra de Weyl e sua dimens˜ao de Gelfand-Kirillov (via extens˜oes

ite-radas de Ore) 11

2.1 A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de algumas ´algebras . . . 11

2.2 A ´algebra de Weyl e sua dimens˜ao de Gelfand-Kirillov . . . 16

2.3 A ´algebra de Weyl como o anel de operadores diferenciais do anel de

po-linˆomios K[x1,· · · , xn] . . . 17

3 M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 20

3.1 A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de um m´odulo . . . 20

3.2 Algebras filtradas e graduadas . . . .´ 25

4 Algebras quase-comutativas´ 36

4.1 Algebras quase-comutativas . . . .´ 36

4.2 A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov deAn-m´odulos . . . 47

CONTE ´UDO 2

INTRODUC

¸ ˜

AO

Seja K um corpo, e seja A uma K-´algebra finitamente gerada. Escolha um K-subespa¸co de

dimens˜ao finitaV (com unidade) deA, tal que A´e gerado porV como ´algebra sobreK. H´a

uma cadeia de subespa¸cos

K⊆V ⊆V2 ⊆. . .⊆Vn ⊆. . .⊆

∞

[

n=0

Vn =A

comdimK(Vn)<∞, para cadan∈N. O comportamento assint´otico da sequˆencia (dimK(Vn))n∈N

nos d´a um invariante ´util da ´algebra A, chamado dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de A, e

de-finido por

GKdim(A) = limlogdimK(V

n₎

logn .

No Cap´ıtulo 1, primeiramente definimos o crescimento de uma fun¸c˜ao, a fim de estudar

a sequˆencia (dimK(Vn))n∈N. Ent˜ao, atrav´es da introdu¸c˜ao de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia

adequada, eliminamos a dependˆencia da escolha de um subespa¸co geradorV deA, tornando

poss´ıvel definir o crescimento de uma ´algebra. Em seguida definimos a dimens˜ao de

Gelfand-Kirillov de uma ´algebra.

No Cap´ıtulo 2 apresentamos alguns resultados b´asicos referentes `a dimens˜ao de

Gelfand-Kirillov, assim como alguns exemplos, sendo que o mais importante ´e o c´alculo da dimens˜ao

de Gelfand-Kirillov das ´algebras de Weyl, tamb´em definida neste cap´ıtulo.

4

Ent˜ao, no Cap´ıtulo 3, estendemos a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov para m´odulos. Al´em

disso, seV ´e um subespa¸co de dimens˜ao finita de umaK-´algebraA, ent˜ao o conjunto formado

pelos subespa¸cos {Vn_}∞

n=0 fornece uma filtra¸c˜ao natural de A, e o anel graduado associado

gr(A)≡ ⊕∞_n=0Vn/Vn−1

pode ser formado. Para qualquer m´odulo MA ´e poss´ıvel construir o m´odulo graduado

as-sociado gr(M)gr(A). As rela¸c˜oes entre MA e gr(M)gr(A) tamb´em s˜ao estudadas no Cap´ıtulo

3.

Por fim, no Cap´ıtulo 4 nos dedicamos ao estudo de ´algebras quase comutatuvas, ou seja,

´algebras A tais que gr(A) ´e comutativo. Tamb´em damos uma segunda demonstra¸c˜ao do

fato de que a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov da n-´esima ´algebra de Weyl ´e 2n. Por fim,

provamos a desigualdade de Bernstein, a qual fornece um limitante inferior para a dimens˜ao

CAP´ITULO 1

PRELIMINARES

1.1

Crescimento de ´

Algebras

Neste primeiro cap´ıtulo apresentaremos algumas defini¸c˜oes e resultados b´asicos que ser˜ao

utilizados no decorrer do presente texto. Entretanto, omitiremos as demonstra¸c˜oes. Ao leitor

interessado, seguem as referˆencias.

SejaKum corpo. UmaK-´algebra finitamente geradaA(a qual vamos assumir que ´e

asso-ciativa e tem elemento unit´ario 1) com conjunto gerador{a1,· · ·, am}possui umsubespa¸co

gerador V de dimens˜ao finita (por exemplo, oK-espa¸co vetorial gerado por a1,· · · , am) no

sentido de que todo elemento deA´e uma combina¸c˜ao K-linear de monˆomios formados pelos

elementos a1,· · ·, am. Portanto, se V0 =K, e para n ≥ 1, Vn denotar o subespa¸co gerado

por todos os monˆomios em a1,· · · , am de comprimento n, ent˜ao

A=

∞

[

n=0

An, ondeAn =K+V +V2· · ·+Vn.

Se A possui dimens˜ao finita, ent˜ao A = An para algum n, e a fun¸c˜ao dV = dimK(An)

se torna estacion´aria. Em geral, esta fun¸c˜ao ´e mon´otona crescente, e suas propriedades

podem ser usadas para distinguir entre as v´arias K-´algebras. Entretanto, a fun¸c˜ao dV ´e

muito espec´ıfica, pois depende da escolha do subespa¸co gerador V. A dependˆencia pode ser

Se¸c˜ao 1.1 • Crescimento de ´Algebras 6

removida ao introduzirmos uma rela¸c˜ao de equivalˆencia adequada.

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja Φ o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : N → R que s˜ao mon´otonas crescentes a partir de um determinado ponto e a valores positivos, ou seja, para as quais

existe n0 =n0(f)∈N, tal que

f(n)∈R+ e f(n+ 1)≥f(n) para todo n≥n0.

Para f, g∈Φ dizemos que f ≤∗

g se, e somente se, existem c, m∈N tais que

f(n)≤cg(mn) para quase todo n ∈N,

ef ∼g se, e somente se,f ≤∗

g e g ≤∗

f. Para f ∈Φa classe de equivalˆenciaG(f)∈Φ/∼ ´e chamada crescimento de f. A ordem parcial no conjunto Φ/ ∼ induzida por ≤∗

´e

denotada por ≤.

Observa¸c˜oes:

(a) Se f e g s˜ao fun¸c˜oes polinomiais, pode ser mostrado que f e g possuem o mesmo

cres-cimento se, e somente se, deg(f) = deg(g). Para um n´umero γ ≥ 0 o crescimento da fun¸c˜ao pγ :n→nγ ´e denotado por Pγ.

(b) Para um n´umero real positivo ǫ, o crescimento de qǫ : n → en

ǫ

´e denotado por Eǫ.

Claramente, ǫ < η se, e somente se, Eǫ <Eη.

(c) Seja f(n) =log(n). Ent˜ao f ∈Φ e G(f)>P0. ´E f´acil ver que G(f)<Pǫ para qualquer

ǫ >0.

(d) Notemos que G(f) e G(g) n˜ao precisam ser compar´aveis para duas fun¸c˜oes f e g em Φ.

Lema 1.1.2. ([4], p´agina 6) Seja A uma K-´algebra finitamente gerada com subespa¸cos ge-radores V e W. Se dV(n) e dW(n) denotam as dimens˜oes de Pn_i=0Vi e Pn_i=0Wi, respecti-vamente, ent˜ao G(dV) = G(dW).

O fato de que o crescimento da fun¸c˜ao dimens˜ao de uma K-´algebra finitamente gerada

independe do subespa¸co gerador de dimens˜ao finita V considerado motiva a pr´oxima

Cap. 1 • Preliminares 7

Defini¸c˜ao 1.1.3. Seja Auma K-´algebra finitamente gerada, e sejaV um subespa¸co gerador

de dimens˜ao finita de A. Ent˜ao G(A) := G(dV) ´e chamado de crescimento de A. Al´em disso dizemos que A possui

• crescimento polinomial se G(A) =Pm, para algum m∈N,

• crescimento exponencial se G(A) =E1,

Exemplo 1.1.4. Seja A=Khx, yi a ´algebra livre em dois geradores. Ent˜aoKx+Ky ´e um subespa¸co gerador de A, e

dV(n) = dimK

n

X

i=0

Vi

= 1 + 2 + 22+· · ·+ 2n= 2n+1−1.

Logo G(A) = E1.

O resultado seguinte, devido a Borho e Kraft, mostra que o crescimento exponencial ´e o

maior crescimento poss´ıvel para uma ´algebra finitamente gerada.

Proposi¸c˜ao 1.1.5. Se A ´e finitamente gerada mas n˜ao possui dimens˜ao finita, ent˜ao

P1 ≤ G(A)≤ E1.

Demonstra¸c˜ao: Seja V um subespa¸co gerador de dimens˜ao finita para A, e assuma que 1∈V. Ent˜ao

dV(n) =dim(Vn)≤dim(V ⊗ · · · ⊗V) = (dimV)n,

portanto G(A) = G(dV)≤ E1.

Por outro lado, as inclus˜oes na sequˆencia V0 _{⊆ V}1 _⊆V2_{· · · s˜ao todas pr´oprias, pois se}

Vn _=Vn+1 _{para algumn, ent˜ao V}n _{=A, e A possui dimens˜ao finita. Logo d}

V(n)≥n, para

todo n, e consequentemente G(A) = G(dV)≥ P1.

Muitas das ´algebras que estudaremos ter˜ao crescimento polinomial. De modo a

determi-nar os respectivos polinˆomios, o seguinte lema ser´a ´util.

Se¸c˜ao 1.1 • Crescimento de ´Algebras 8

(a) Se06=f ∈Q[x]´e um polinˆomio de graud, ent˜ao existem n´umeros racionaisa0, a1,· · · , ad tais que

f(n) = ad

n d

+ad−₁

n d−1

+· · ·+a1

n 1

+a0

para todo n´umero natural n.

(b) As seguintes propriedades de uma fun¸c˜ao f :N→Q s˜ao equivalentes.

i. Existem a0, a1,· · ·, ad∈Q e um inteiro m≥0 tal que para todo n ≥m

f(n) = ad

n d

+ad−₁

n d−1

+· · ·+a1

n 1

+a0.

ii. Existem a1, ..., ad∈Q e um inteiro m ≥0 tal que para todo n≥m

f(n+ 1)−f(n) =ad

n d−1

+· · ·+a2

n 1

+a1.

(c) Se f(n) est´a no formato descrito em (a) e se f(n) ∈ Z para todo n suficientemente grande, ent˜ao ai ∈Z parai= 0,1,· · · , d.

(d) Se f(n) est´a no formato descrito em (a) e se f(n)∈N e f(n+ 1)−f(n)≥0 para todo

n suficientemente grande, ent˜ao ad ´e um inteiro positivo.

Exemplo 1.1.7. Considere A = K[x1, ..., xd], a ´algebra polinomial comutativa. O espa¸co vetorial V =Kx1+...Kxd ´e um subespa¸co gerador de A, e ´e f´acil ver que

dim(Vn+1) =

n+ 1 +d−1 d−1

=

n+d d−1

,

que ´e um polinˆomio em n de grau d−1. Como dim(Vn+1_{) = d}

V(n+ 1)−dV(n), segue da parte (b) do lema anterior que dV(n) ´e um polinˆomio em n de grau d; logo G(A) =Pd. De fato, as partes (c) e (d) do lema anterior mostram que os coeficientes de dV s˜ao inteiros, e

Cap. 1 • Preliminares 9

1.2

A Dimens˜

ao de Gelfand-Kirillov

O crescimento de uma ´algebra frequentemente ´e dif´ıcil de determinar e se mostra uma

fer-ramenta de dif´ıcil aplica¸c˜ao quando s˜ao consideradas ´algebras relacionadas, como sub´algebras,

quocientes, extens˜oes de Ore, etc. Ent˜ao ´e apropriado utilizar o comportamento assint´otico

das fun¸c˜oes mon´otonas crescentes a fim de fazermos identifica¸c˜oes que v˜ao al´em do

cresci-mento. Teoricamente h´a v´arias possibilidades para prosseguir, mas na pr´atica o seguinte

limite superior

limlogf(n) logn

se mostra um dos mais ´uteis. No que se segue, utilizaremos a nota¸c˜ao log_nf(n) para denotar

logf(n)/logn.

Lema 1.2.1. ([4], p´agina 13) Sejam f, g∈Φ. Ent˜ao

• limlognf(n) = {infρ∈R, f(n)≤nρ para quase todo n}={infρ∈R,G ≤ Pρ}

• Se G(f) = G(g), ent˜ao limlog_nf(n) =limlog_ng(n)

Podemos agora dar a pr´oxima defini¸c˜ao. Note que nela n˜ao supomos que A ´e uma

K-´algebra finitamente gerada.

Defini¸c˜ao 1.2.2. A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de uma K-´algebra A ´e

GKdim(A) = sup

V

limlog_ndV(n),

onde o supremo ´e tomado sobre todos os subespa¸cos finitamente dimensionais V de A.

Observa¸c˜ao 1.2.3. O Lema 1.1.2 diz que para uma K-´algebra finitamente gerada B com subespa¸co gerador de dimens˜ao finitaV, o crescimento de B independe da escolha particular

de V. Logo

Se¸c˜ao 1.2 • A Dimens˜ao de Gelfand-Kirillov 10

neste caso. Como todo subespa¸co de dimens˜ao finita de uma K-´algebra geral A, n˜ao

neces-sariamente finitamente gerada, pode ser visto como o subespa¸co gerador para uma ´algebra

finitamente gerada B de A, a defini¸c˜ao da dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de A pode ser

reescrita como

GKdim(A) = sup

B

{GKdim(B), B ⊂A, Bsub´algebra finitamente gerada.}

A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de uma ´algebra tamb´em pode ser infinita, como veremos

no exemplo a seguir.

Exemplo 1.2.4. Seja A a ´algebra do Exemplo 1.1.4, a qual ´e finitamente gerada. Como

dV(n) = 2n+1−1, temos que

limlogndV(n) = limlogn2n+1−1 = lim((n+ 1) logn2−logn1) =∞.

Logo a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov da ´algebra acima ´e infinita.

No entanto, enfatizamos que nesta disserta¸c˜ao estamos interessados somente em

K-´algebras A que s˜ao finitamente geradas.

A seguinte quest˜ao segue naturalmente: quais n´umeros reais podem ser assumidos pela

dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de uma K-´algebra? ´E f´acil ver que GKdim(A) = 0 se, e

somente se, A ´elocalmente de dimens˜ao finita, ou seja, se toda sub´algebra finitamente

gerada possui dimens˜ao finita. Segue da Proposi¸c˜ao 1.1.5 queGKdim(A)≥1 para qualquer ´algebraAque n˜ao ´e localmente de dimens˜ao finita. Al´em disso, temos do Exemplo 1.1.7 que

todo n´umero natural ocorre como dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de uma ´algebra polinomial

comutativa. H´a dois resultados que respondem a essa pergunta para os outros n´umeros

positivos.

Teorema 1.2.5. ([4], p´agina 18) Nenhuma ´algebra possui dimens˜ao de Gelfand-Kirillov

estritamente entre 1 e 2.

Teorema 1.2.6. ([4], p´agina 21) Para qualquer n´umero real r ≥ 2 existe uma ´algebra

CAP´ITULO 2

A ´

ALGEBRA DE WEYL E SUA

DIMENS ˜

AO DE

GELFAND-KIRILLOV (VIA

EXTENS ˜

OES ITERADAS DE ORE)

2.1

A dimens˜

ao de Gelfand-Kirillov de algumas

´

algebras

Para que a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov seja um m´etodo ´util para o estudo de ´algebras,

´e necess´ario conhecer seu comportamento quando passamos de uma ´algebra A para an´eis

relacionados como sub´algebras, ´algebras quocientes, somas diretas e extens˜oes de Ore. Neste

cap´ıtulo estas ´algebras ser˜ao estudadas. Como uma aplica¸c˜ao obteremos o resultado

funda-mental deste cap´ıtulo, que ´e a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov das ´algebras de Weyl.

Lema 2.1.1. SeB´e uma sub´algebra ou uma imagem homomorfa de umaK-´algebraA, ent˜ao

GKdim(B)≤GKdim(A).

Se¸c˜ao 2.1 • A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de algumas ´algebras 12

Demonstra¸c˜ao: Para sub´algebras a afirma¸c˜ao decorre como consequˆencia imediata da

de-fini¸c˜ao da dimens˜ao de Gelfand-Kirillov. Para uma ´algebra quociente A de A, observe que

qualquer conjunto de representantes das classes laterais para os elementos da base de um

subespa¸coV deA com dimens˜ao finita forma uma base de um subespa¸co de dimens˜ao finita

V deA que satisfaz dim(Vn)≤dim(Vn_{), para todo n natural. Ent˜ao}

limlog_ndim(Vn)≤limlog_ndim(Vn₎

e portanto,

sup

V

limlogndim(V n

)≤sup

V

limlogndim(Vn).

Proposi¸c˜ao 2.1.2. Se A1 e A2 s˜ao K-´algebras, ent˜ao

GKdim(A1⊕A2) = max{GKdim(A1), GKdim(A2)}.

Demonstra¸c˜ao: Pelo Lema 2.1.1, temos

γ := max{GKdim(A1), GKdim(A2)} ≤GKdim(A1⊕A2),

e a igualdade vale se γ = ∞. Vamos assumir que γ ´e finito, e seja W um subespa¸co de dimens˜ao finita de A1 ⊕A2. Sejam U e V as proje¸c˜oes canˆonicas de W sobre A1 e A2

respectivamente. Ent˜ao

W ⊆U ⊕V eWn⊆(U ⊕V)n=Un⊕Vn.

Dado ǫ >0, segue do Lema 1.2.1 que

dU(n)< nγ+

ǫ

2 e d

V(n)< nγ+

ǫ

2.

para quase todo n, pois limlog_ndU(n)≤GKdim(A1)≤γ e o mesmo vale para paradV(n).

Como nǫ2 >2 paran suficientemente grande,

dW(n)≤dU(n) +dV(n)≤2nγ+

ǫ

2 < n

ǫ

2nγ+

ǫ

Cap. 2 • A ´algebra de Weyl e sua dimens˜ao de Gelfand-Kirillov (via extens˜oes

iteradas de Ore) 13

para quase todo n. Logolimlog_ndW(n)≤γ, pelo Lema 1.2.1. Portanto,

GKdim(A1⊕A2) = sup

W

limlog_ndW(n)≤γ.

Muitas ´algebras s˜ao extens˜oes de Ore de outras ´algebras, sendo as ´algebras de Weyl talvez

o exemplo mais conhecido.

Defini¸c˜ao 2.1.3. Uma K-deriva¸c˜ao δ de umaK-´algebra A´e um K-endomorfismo de A que satisfaz

δ(ab) =δ(a)b+aδ(b)para todoa, b∈A.

Defini¸c˜ao 2.1.4. Seja A uma K-´algebra com uma K-deriva¸c˜ao δ. A K-´algebra B =A[x;δ]

dos polinˆomios a0 +a1x+...+anxn, ai ∈ A, sujeita `a rela¸c˜ao xa−ax = δ(a) ´e chamada extens˜ao de Ore de A com respeito `a δ.

Lema 2.1.5. Seja A uma K-´algebra com K-deriva¸c˜ao δ, e seja B =A[x;δ]. Ent˜ao

GKdim(B)≥GKdim(A) + 1.

Demonstra¸c˜ao: Seja Af uma sub´algebra finitamente gerada de A e seja V um subespa¸co

gerador de dimens˜ao finita para Af, com unidade. O subespa¸co de dimens˜ao finita

W =V +Kxde B satisfaz

Vn⊕Vnx⊕ · · · ⊕Vnxn⊆(V +Kx)2n=W2n;

logo (n+ 1)dV(n)≤dW(2n). Ent˜ao

GKdim(B) ≥ limlog_ndW(n)≥limlogn(n+ 1)dV(n)

= lim

n→∞logn(n+ 1) +limlogndV(n) = 1 +GKdim(Af),

e portanto,

GKdim(B)≥sup

Af

{1 +GKdim(Af)}= 1 + sup Af

Se¸c˜ao 2.1 • A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de algumas ´algebras 14

´

E natural querer saber quando a desigualdade no lema anterior se torna uma igualdade.

O resultado seguinte mostra que a igualdade vale para uma grande classe de ´algebras

consi-deradas nas aplica¸c˜oes, em particular, para o caso δ = 0, isto ´e, para a ´algebra polinomial

B =A[x], e para o caso quando A´e uma ´algebra finitamente gerada.

Proposi¸c˜ao 2.1.6. Seja A uma K-´algebra com K-deriva¸c˜ao δ tal que todo subespa¸co de dimens˜ao finita est´a contido em uma sub´algebra δ-est´avel de A. Ent˜ao

GKdim(A[x;δ]) =GKdim(A) + 1.

Demonstra¸c˜ao: Seja B′

uma sub´algebra finitamente gerada de B = A[x;δ]. O espa¸co

vetorial gerado pelos coeficientes dos finitos polinˆomios que geram B′

´e de dimens˜ao finita

e portanto est´a contido em uma sub´algebra A′ δ-est´avel finitamente gerada de A. Como B′

⊆ A′

[x;δ], o resultado segue se mostrarmos que GKdim(B′

) ≤ GKdim(A′

) + 1. Desta

forma podemos assumir que A´e finitamente gerada.

SeV ´e um subespa¸co gerador de dimens˜ao finita deAque cont´em 1, ent˜ao W :=V +Kx

´e um subespa¸co gerador de dimens˜ao finita para B =A[x;δ]. Os espa¸cos Vn _{formam uma}

filtra¸c˜ao exaustiva de A; logo δ(V) ⊆ Vm _{para algum inteiro m > 0, e consequentemente}

δ(Vq_)⊆Vm+q _{para todoq = 1,2,· · ·. Afirmamos que}

Wn= (V +Kx)n ⊆Vmn+Vmnx+Vmnx2 +...+Vmnxn,

e portanto que dW(n) ≤ (n+ 1)dV(mn), para todo n´umero natural n. Isto ´e trivial para

n= 0; ent˜ao vamos assumir que vale para n ≥0. Logo,

V Wn ⊆ n

X

i=0

Vmn+1xi ⊆ n

X

i=0

Vm(n+1)xi (2.1)

e

xWn ⊆ n

X

i=0

xVmnxi ⊆ n

X

i=0

Vmnxi+1+

n

X

i=0

δ(Vmn)xi. (2.2)

Uma vez que

δ(Vmn) ⊆ n

X

j=0

Vjδ(V)Vmn−j−1 ⊆ mn−1

X

j=0

VjVmVmn−j−1

Cap. 2 • A ´algebra de Weyl e sua dimens˜ao de Gelfand-Kirillov (via extens˜oes

iteradas de Ore) 15

temos, por 2.2 e 2.3, que

xWn_⊆ n+1

X

i=0

Vm(n+1)_xi_{. (2.4)}

Por 2.1 e 2.4, segue que

Wn+1 = (V +Kx)Wn =V Wn+xWn ⊆ n+1

X

i=0

Vm(n+1)xi,

completando o passo indutivo. Portanto,

GKdim(B) = limlog_ndW(n)≤limlogn((n+ 1)dV(mn))

= lim

n→∞logn(n+ 1) +limlogndV(n) = 1 +GKdim(A).

Exemplo 2.1.7. Seja A uma K-´algebra e seja B =A[x1,· · · , xn]. Ent˜ao

GKdim(B) =GKdim(A) +n, aplicando repetidamente a Proposi¸c˜ao 2.1.6 no caso em que

a deriva¸c˜ao ´e nula.

Exemplo 2.1.8. Seja A =R[[x]] a R-´algebra formada por todas as s´eries de potˆencias com coeficientes reais. Seja {ri, i= 1,2,· · · } um conjunto infinito enumer´avel de n´umeros reais linearmente independentes sobre o corpo Q. Ent˜ao o conjunto das fun¸c˜oes

{fi(x) = erix, i = 1,2,· · · } ´e algebricamente independente sobre R. Cada uma das fun¸c˜oes

fi pode ser vista como um elemento de A atrav´es de sua s´erie de McLaurin. Logo A possui

uma sub´algebra isomorfa `a ´algebra polinomial R[x1,· · · , xn]para cadan ∈N. Segue do Lema 2.1.1 e do Exemplo 2.1.7 que GKdim(A) = ∞.

Observa¸c˜ao 2.1.9. A desigualdade no Lema 2.1.5 pode, de fato, ocorrer, como mostra o resultado abaixo.

Proposi¸c˜ao 2.1.10. ([4], p´agina 27) Seja p um inteiro positivo.

• Existe uma K-´algebra localmente de dimens˜ao finita Ap com K-deriva¸c˜ao δp, tal que

GKdim(Ap[t;δp]) =p.

• Existe uma K-´algebra localmente de dimens˜ao finita A com K-deriva¸c˜ao δ, tal que

Se¸c˜ao 2.2 • A ´algebra de Weyl e sua dimens˜ao de Gelfand-Kirillov 16

2.2

A ´

algebra de Weyl e sua dimens˜

ao de

Gelfand-Kirillov

O objetivo desta se¸c˜ao ´e calcular a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov da ´algebra de WeylAn.

No que se segue, vamos definir tal ´algebra.

Defini¸c˜ao 2.2.1. A ´algebra de WeylAn =An(K)´e o anel de polinˆomios em2n vari´aveis

x1,· · · , xn, y1,· · ·, yn com coeficientes em K, sujeitas `as rela¸c˜oes

xixj =xjxi, yiyj =yjyi, e xiyj −yjxi =δij,

onde δij ´e o s´ımbolo de Kronecker.

Proposi¸c˜ao 2.2.2. Vale o isomorfismo abaixo:

An+1 ∼=An[yn+1][xn+1;δ], onde δ =

∂ ∂yn+1

.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, como yn+1 comuta com os elementos de An, resta mostrar

que xn+1 satisfaz as rela¸c˜oes que definem a ´algebra de Weyl. De fato, para i = 1,· · · , n,

temos

xixn+1−xn+1xi =δ(xi) = 0

e

yixn+1−xn+1yi =δ(yi) = 0.

Para i=n+ 1, temos

yn+1xn+1−xn+1yn+1 =δ(yn+1) = 1,

provando o resultado.

Cap. 2 • A ´algebra de Weyl e sua dimens˜ao de Gelfand-Kirillov (via extens˜oes

iteradas de Ore) 17

Demonstra¸c˜ao: O resultado ´e provado por indu¸c˜ao. Para n = 0, o resultado ´e v´alido pois A0(K) = K.

Suponhamos que a dimens˜ao deAk= 2k. Pelo Exemplo 2.1.7

GKdim(An[yn+1]) = GKdim(An) + 1 = 2n+ 1

.

Da Proposi¸c˜ao 2.1.6, decorre que GKdim(An+1) =GKdim(An[yn+1]) + 1 = 2(n+ 1).

2.3

A ´

algebra de Weyl como o anel de operadores

diferenciais do anel de polinˆ

omios

K

[x

,

· · ·

, x

]

Uma outra defini¸c˜ao da ´algebra de Weyl ´e encontrada com frequˆencia. Por conveniˆencia,

denotaremos por K[X] o anel K[x1,· · · , xn].

Defini¸c˜ao 2.3.1. Sejam xˆ1,· · · ,xˆn os operadores de K[X] definidos sobre um polinˆomio

f ∈K[X]pelas f´ormulasxˆi(f) = xi.f. Analogamente,∂1,· · · , ∂ns˜ao os operadores definidos por ∂i =∂f /∂xi. Estes s˜ao operadores lineares de K[X]. A n-´esima ´algebra de WeylAn´e a

K-sub´algebra de EndK(K[X]) gerada pelos operadores xˆ1,· · · ,xˆn e ∂1,· · ·, ∂n.

De acordo com a defini¸c˜ao acima, os elementos deAns˜ao combina¸c˜oes lineares sobreKde

monˆomios em ˆx1,· · · ,xˆn, ∂1,· · · , ∂n. Por´em, vale ressaltar que esta ´algebra n˜ao ´e comutativa.

De fato, consideremos o operador ∂i.xˆi e vamos aplic´a-lo no polinˆomio f ∈K[X]. Usando a

regra de deriva¸c˜ao do produto, obtemos ∂i.xˆi(f) = xi∂f /∂xi+f. Em outras palavras,

∂i.xˆi = ˆxi.∂i+ 1,

onde 1 corresponde ao operador identidade. Utilizando a nota¸c˜ao de comutadores, a

ex-press˜ao acima se torna [∂i,xˆi] = 1. Atrav´es de c´alculos similares obtemos que [∂i,xˆj] =δij.1

e [∂i, ∂j] = [ˆxi,xˆj] = 0, onde mais uma vez δij ´e o s´ımbolo de Kronecker, e 1 ≤ i, j ≤ n.

Denotaremos abaixo os operadores ˆxi simplesmente por xi para simplificar a nota¸c˜ao.

O primeiro passo para mostrar a equivalˆencia destas defini¸c˜oes ´e construir uma base

Se¸c˜ao 2.3 • A ´algebra de Weyl como o anel de operadores diferenciais do anel de

polinˆomios K[x1,· · ·, xn] 18

descrita atrav´es de multi-´ındices, ou seja, elementosα∈Nn tais que α= (α1, ..., αn). Por

xα _{denotaremos o monˆomio x}α1

1 · · ·xαnn. O grau deste monˆomio ´e o comprimento |α| do

multi-´ındiceα, ou seja,|α|=α1+· · ·+αn. Tamb´em definimos o fatorial de um multi-´ındice

β ∈Nn por β! =β1!· · ·βn!

Lema 2.3.2. Sejam α, β ∈Nn e suponhamos que |α| ≤ |β|. Ent˜ao ∂β_(xα_{) = β! se α=β e} zero, caso contr´ario.

Demonstra¸c˜ao: Se α=β, o resultado decorre da regra do produto, uma vez que

∂αi

i (x αi

i ) =αi!. Se α6=β, existe 1≤ n0 ≤n tal que αn0 < βn0. Como∂

βn0(xαn0) = 0, segue

que ∂β_(xα_{) = 0.}

Lema 2.3.3. Seja f ∈K[X]. Ent˜ao [∂i, f] =∂f /∂xi.

Demonstra¸c˜ao: Pelas rela¸c˜oes apresentadas acima e pelo fato de o comutador ser linear, ´e suficiente mostrar que [∂i, xni] = nxn

−1

i . Para n = 0, o resultado ´e trivial. Suponhamos que

a identidade seja v´alida para n=k. Como, dadosa, b, c∈An,[a, bc] =b[a, c] + [a, b]c, temos

que

[∂i, xki+1] =xi[∂i, xki] + [∂i, xi]xki =xi·k·xik−1+xki = (k+ 1)xki.

Proposi¸c˜ao 2.3.4. O conjunto B = {xα_∂β_{, α, β ∈ N}n_{} ´e uma base de A}

n como espa¸co

vetorial sobre K.

Demonstra¸c˜ao: Dado um monˆomio de An, pelo Lema 2.3.3 ´e poss´ıvel escrevˆe-lo como uma

soma de monˆomios com potˆencias dos operadoresxi `a esquerda e potˆencias dos operadores∂i

`a direita. Desta forma, segue que qualquer elemento deAnpode ser escrito como combina¸c˜ao

linear de elementos de B.

Agora mostremos que os elementos de B s˜ao linearmente independentes. Consideremos

uma combina¸c˜ao linear finitaD=P

cαβxα∂β de elementos deB. Queremos mostrar que se

algum cαβ 6= 0, ent˜ao D 6= 0. Mas D ´e um operador linear em K[X]. Portanto D 6= 0 se, e

Cap. 2 • A ´algebra de Weyl e sua dimens˜ao de Gelfand-Kirillov (via extens˜oes

iteradas de Ore) 19

Sejaσ um multi-´ındice que satisfaz cασ 6= 0 para algum ´ındice α, mas cαβ = 0 para todo

´ındice β tal que |β| <|σ|. Pelo Lema 2.3.2, temos que D(xσ_{) = σ!}P

αcασxα 6= 0, pois um

dos cασ ´e diferente de zero, pela escolha de σ. Logo f =xσ ´e o polinˆomio procurado.

Agora vamos mostrar que as duas defini¸c˜oes s˜ao equivalentes. Seja Khz1,· · · , z2ni a

´algebra livre em 2n geradores, ou seja, o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares finitas

de palavras em z1, ..., z2n. Podemos definir um homomorfismo sobrejetor

φ : Khz1,· · · , z2ni →An tal que φ(zi) = xi e φ(zi+n) = ∂i, para i = 1, ..., n. Seja J o ideal

bilateral gerado por [zi+n, zi]−1, para i= 1,2,· · · , n e [zi, zj] para j 6=i+n e 1≤i, j ≤n

Segue das rela¸c˜oes do in´ıcio desta se¸c˜ao que J ⊆ Ker(φ). Logoφ induz um homomorfismo de K-´algebras ˆφ:Khz1,· · · , z2ni/J →An.

Teorema 2.3.5. A aplica¸c˜ao

ˆ

φ :Khz1,· · · , z2ni/J →An

´e um isomorfismo de K-´algebras.

Demonstra¸c˜ao: Assim como na prova da Proposi¸c˜ao 2.3.4, podemos usar as rela¸c˜oes entre as classes zi+J para mostrar que todo elemento de Khz1,· · · , z2ni pode ser escrito como

uma combina¸c˜ao linear de monˆomios do tipo zm1

1 · · ·zm

2n

2n . Pela Proposi¸c˜ao 2.3.4, a imagem

desses monˆomios por ˆφ ´e uma base deAn como espa¸co vetorial sobre K. Em particular, os

monˆomios s˜ao linearmente independentes em Khz1,· · · , z2ni/J. Portanto ˆφ ´e um

CAP´ITULO 3

M ´

ODULOS E ´

ALGEBRAS

FILTRADOS E GRADUADOS

A dimens˜ao cl´assica de Krull, definida em termos de cadeias descendentes de ideais primos,

n˜ao ´e uma ferramenta muito adequada no estudo de an´eis n˜ao comutativos, principalmente

por n˜ao se aplicar a m´odulos. Por outro lado, a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov pode ser

estendida a m´odulos. Um primeiro estudo dessa extens˜ao foi feito por Bernstein e,

poste-riormente, um estudo sistem´atico foi feito por Joseph e Small. Neste cap´ıtulo definiremos

a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov para m´odulos e apresentaremos os resultados b´asicos sobre

m´odulos filtrados e graduados.

3.1

A dimens˜

ao de Gelfand-Kirillov de um m´

odulo

SejaA uma K-´algebra finitamente gerada com subespa¸co gerador de dimens˜ao finita V

que cont´em 1, e seja M um A-m´odulo `a direita finitamente gerado com um espa¸co vetorial

F de dimens˜ao finita que gera M comoA-m´odulo. Ent˜ao

M =

∞

[

n=0

F Vn.

Cap. 3 • M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 21

Assim como no Lema 1.1.2 ´e poss´ıvel verificar que o crescimento G(dV,F) da fun¸c˜ao

dV,F(n) =dimK(F Vn) n˜ao depende das escolhas particulares para os espa¸cosV eF; portanto

nos referimos ao crescimentoG(M) do m´odulo M, e definimos

GKdim(M) =limlog_ndV,F(n).

Mais geralmente, definimos

Defini¸c˜ao 3.1.1. Seja A uma K-´algebra, e seja M um A-m´odulo `a direita. A dimens˜ao

de Gelfand-Kirillov de M ´e dada por

GKdim(M) = sup

V,F

limlog_ndimK(F Vn)

onde o supremo ´e tomado sobre todos os subespa¸cos V de dimens˜ao finita de A que cont´em

1 e todos os subespa¸cos F de dimens˜ao finita de M. Alternativamente,

GKdim(MA) = sup B,N

GKdim(NB),

onde o supremo ´e tomado sobre todas as sub´algebras B de A finitamente geradas e todos os

B-subm´odulos `a direita N de M finitamente gerados. Notemos que GKdim(0) =−∞

Segue da defini¸c˜ao queGKdim(A), a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de A como ´algebra ,

e GKdim(AA), a dimens˜ao deA como A-m´odulo `a direita, coincidem.

Lema 3.1.2. SeB´e subm´odulo ou imagem homomorfa de um m´oduloA, ent˜aoGKdim(B)≤

GKdim(A).

Demonstra¸c˜ao: Para subm´odulos o resultado ´e imediato. Para um m´odulo quocienteM de M consideramos subespa¸cosV deAeF deM de dimens˜ao finita. A partir dos elementos da

base deF podemos obter, emM, um conjunto de representantes, os quais formam uma base

de um subespa¸co F de M, de dimens˜ao finita. Assim, temos que dim(F Vn_{) ≤(dimF V}n_),

para todo n∈N. Ent˜ao

limlogndim(F Vn)≤limlogndim(F Vn)

Se¸c˜ao 3.1 • A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de um m´odulo 22

sup

V,F

limlog_ndim(F Vn)≤sup

V,F

limlog_ndim(F Vn).

Proposi¸c˜ao 3.1.3. Seja A uma K-´algebra, e seja M um A-m´odulo `a direita. Ent˜ao

(a) Se M =⊕n

i=1Mi, ent˜ao GKdim(M) = maxi{GKdim(Mi)}.

(b) Se 0 → K →ψ M →φ L → 0 ´e uma sequˆencia exata de A-m´odulos `a direita, ent˜ao

GKdim(M)≥max{GKdim(K), GKdim(L)}.

(c) Se M I = 0 para um ideal I de A, ent˜ao GKdim(MA) = GKdim(MA/I).

(d) GKdim(MA)≤GKdim(A).

(e) Se M ´e finitamente gerado e α ∈EndA(M) ´e injetor, ent˜ao

GKdim(M/α(M))≤GKdim(M)−1.

Demonstra¸c˜ao:(a) Da defini¸c˜ao da dimens˜ao de Gelfand-Kirillov para m´odulos e do Lema

3.1.2, temos que

γ :=max{GKdim(Mi)} ≤GKdim(⊕ni=1Mi),

e a igualdade vale se GKdim(Mi) =∞ para algum Mi. Suponhamos queγ ´e finito e n= 2,

sem perda de generalidade.

Seja F W tal que F = F1 ⊕ F2 ´e subespa¸co de M, onde F1 e F2 geram M1 e M2,

respectivamente, e ambos s˜ao de dimens˜ao finita, e W subespa¸co de A de dimens˜ao finita

que cont´em 1. Temos

Cap. 3 • M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 23

Pelo Lema 1.2.1, temos

dV,F1(n)≤n γ+ǫ

2 e d

V,F2(n)≤n γ+ǫ

2

para quase todo n. Comon2ǫ >2 para algum n suficientemente grande, temos

dV,F(n) = dV,F1(n) +dV,F2(n)≤2n γ+ǫ

2 < n

ǫ

2nγ+

ǫ

2 =nγ+ǫ

para quase todo n. Ent˜ao limlog_ndV,F ≤γ pelo Lema 1.2.1, e portanto

GKdim(M1⊕M2) = sup limlogndW(n)≤γ.

(b)ComoK ∼=ψ(K) (pois ´e injetora) edimK(K)≤dimK(M), segue queGKdim(K)≤

GKdim(M).

Quanto `a outra desigualdade, como φ ´e sobrejetora, sabemos que L ∼= M/Kerφ. Logo, pelo 3.1.2, GKdim(L)≤GKdim(M).

(c)SejaF subespa¸co deM,V subespa¸co gerador deA com unidade. ComoM I = 0, M pode ser visto como um A/I-m´odulo tal que m.a:=ma.

SejaV o conjunto formado pelos elementos correspondentes de V em A/I. Ent˜ao

dim(F Vn_{) =dim(F V}n_).

Consequentemente

limlog_ndim(F Vn) =limlog_ndim(F Vn).

Ent˜ao

limlog_ndim(F Vn)≤sup

F,W

limlog_ndim(F Wn)⇒sup

F,V

limlog_ndim(F Vn)≤sup

F,W

limlog_ndim(F Wn),

onde o supremo ´e tomado sobre todos os subespa¸cos geradores com unidade W de A/I.

A desigualdade inversa ´e obtida de maneira an´aloga a partir da igualdade acima.

Se¸c˜ao 3.1 • A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de um m´odulo 24

(e) SejaV um subespa¸co de dimens˜ao finita de A, com unidade, e sejaF um subespa¸co de dimens˜ao finita de M =M/α(M) que gera M como A-m´odulo. Como α(M) tamb´em ´e

finitamente gerado, existe um subespa¸coF deM de dimens˜ao finita tal queF gera M como

A-m´odulo e F ´e a imagem de F sob o homomorfismo canˆonico M →M/α(M).

Para cada inteiron > 0, sejaCno espa¸co vetorial complementar aα(M)∩F VnemF Vn;

logo Cn∼=F Vn. Como Cn∩α(M) = 0, a soma

Cn+α(Cn) +α2(Cn) +· · ·+αj(Cn)

de subespa¸cos ´e direta para todo j. De fato, se

a0x0+a1α(x1) +· · ·+ajαj(xj) = 0,

onde xi ∈Cn eai ∈K,0≤i≤j, temos

α(a1x1+· · ·+ajαj

−1_(x

j)) =−a0x0.

Como −a0x0 est´a em Cn e emα(M), sea0 6= 0, segue que x0 = 0. Comoα´e injetor, isto

implica quea1x1+· · ·+ajαj−1(xj) = 0. Aplicando este processo recursivamente, temos que

aiαi(xi) = 0 para todoi, provando que a soma ´e direta.

Como α(F) tem dimens˜ao finita e F gera M como A-m´odulo, existe um subespa¸co de

dimens˜ao finita W ⊇V deA tal que α(F)⊆F W. Assim,

n

M

j=0

αj(Cn)⊆ n

M

j=0

αj(F Vn) =

n

M

j=0

αj(F)Vn ⊆ n

M

j=0

F WjWn ⊆F W2n,

e consequentemente

dimK(F W2n)≥(n+ 1)dimK(Cn) = (n+ 1)dimK(F Vn)

de onde segue o resultado.

Em geral, a parte (e) do teorema acima n˜ao ´e v´alida se M n˜ao ´e um A-m´odulo `a

di-reita finitamente gerado. Se M = K[x] ´e considerado como um K-m´odulo `a direita, ent˜ao

GKdim(MK) = 0. Notemos que a multiplica¸c˜ao `a direita por x induz um K-homomorfismo

Cap. 3 • M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 25

GKdim(M/α(M)) = 0 =GKdim(M),

uma vez que M/α(M)∼=K.

H´a situa¸c˜oes onde a desigualdade em (b) pode ser uma igualdade, o que motiva a pr´oxima

defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 3.1.4. Seja A uma K-´algebra. A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov ´e exata para

A-m´odulos `a direita se

GKdim(M) =max{GKdim(L), GKdim(N)}

para qualquer sequˆencia exata curta 0→L→M →N →0 de A-m´odulos `a direita.

3.2

Algebras filtradas e graduadas

´

Frequentemente, as ´algebras s˜ao munidas de uma filtra¸c˜ao natural, e informa¸c˜oes podem

ser obtidas ao passar para a ´algebra graduada associada, e ent˜ao trazendo os resultados de

volta para a ´algebra inicial. Isto ´e particularmente ´util se a ´algebra ´e filtrada por subespa¸cos

de dimens˜ao finita tais que a ´algebra graduada associada ´e comutativa - esse tipo de ´algebra

´e chamado ´algebra quase-comutativa. A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov ´e uma ferramenta

efetiva no seu estudo, o qual ser´a feito no cap´ıtulo seguinte.

Apesar de gradua¸c˜oes gerais j´a terem sido estudadas, nos preocuparemos com gradua¸c˜oes

cujas componentes est˜ao indexadas por n´umeros naturais ou inteiros. Al´em disso, nos

restrin-giremos `as gradua¸c˜oes por subespa¸cos de dimens˜ao finita, as chamadas gradua¸c˜oes finitas.

Defini¸c˜ao 3.2.1. Uma gradua¸c˜ao A = {Ai}i∈Z da K-´algebra A ´e uma sequˆencia de K

-subespa¸cos Ai de A tais que

A =M

i∈Z

Ai e Ai·Aj ⊆Ai+j para todo i, j ∈Z.

Uma ´algebra com uma gradua¸c˜ao A ´e chamada A-graduada, ou simplesmente graduada; ´e finitamente graduada se cada uma das componentes Ai ´e um K-espa¸co vetorial de

Se¸c˜ao 3.2 • Algebras filtradas e graduadas´ 26

´e uma sub´algebra deA que cont´em1A e portanto cont´em o corpo base K. Se A´e finitamente

graduada, A0 =K, e Ai = 0 para todo i <0, ent˜ao A ´e chamado graduada conexa.

Defini¸c˜ao 3.2.2. Seja A uma K-´algebra com gradua¸c˜ao A = {Ai}i∈Z. Um A-m´odulo `a

direita M ´e A-graduado, ou simplesmente graduado, se existem subespa¸cos Mi tais que

M =M

i∈Z

Mi e MiAj ⊆Mi+j para todo i, j ∈Z.

Se cada Mi possui dimens˜ao finita sobre K, ent˜ao M ´e dito finitamente graduado. Os

elementos de Mn s˜ao chamados homogˆeneos de grau n.

SejaA=⊕i∈ZAi umaK-´algebra finitamente graduada, e sejaM =⊕i∈ZMiumA-m´odulo

finitamente graduado. Defina

A(n) =

n

M

i=−_n

Ai, dA(n) =dimKA(n), e

M(n) =

n

M

i=−_n

Mi, dM(n) =dimKM(n).

O lema seguinte mostra que G(dM) fornece um limitante superior para o crescimento do

m´oduloM e que a igualdade vale seA´e uma ´algebra finitamente gerada eM ´e umA-m´odulo

finitamente gerado `a direita.

Lema 3.2.3. Seja A uma K-´algebra finitamente graduada, e seja M um A-m´odulo

finita-mente graduado. Ent˜ao

(a) Se V ´e um subespa¸co de dimens˜ao finita de A que cont´em 1 e E ´e um subespa¸co de

di-mens˜ao finita de M, ent˜ao G(dV,E)≤ G(dM), e portanto GKdim(M)≤limlogndM(n).

(b) Se A ´e finitamente gerado como ´algebra e MA ´e finitamente gerado, ent˜ao

G(M) =G(dM) e portanto GKdim(M) =limlogndM(n).

Demonstra¸c˜ao: (a) Como V eE possuem dimens˜ao finita, existe um n´umero natural ptal

que V ⊆A(p) e E ⊆M(p). Portanto

Cap. 3 • M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 27

para qualquer inteiro n≥1. Consequentemente, dV,E(n)≤dM(2pn), e segue a afirma¸c˜ao.

(b) Para p inteiro suficientemente grande, o espa¸co vetorial V = A(p) gera A e cont´em

1, e E = M(p) gera M como A-m´odulo. Queremos mostrar que M(n) ⊆ EVn _{para todo}

n > 0, e ´e suficiente mostrar que M−n+Mn⊆EVn. Demonstraremos que Mn ⊆EVn; um

argumento sim´etrico nos d´a que M−n ⊆ EV−n. Como os subespa¸cos EVm, m = 0,1,· · ·,

fornecem uma filtra¸c˜ao exaustiva de M, Mn ⊆ EVr para algum inteiro positivo r. Cada

elemento 06=x∈Mn´e, portanto, uma soma de elementos n˜ao nulosv0v1· · ·vscom elementos

homogˆeneos

v0 ∈E, vi ∈V,1≤i≤s, onde s < r.

Vamos assumir que cada monˆomio foi simplificado ao m´aximo, isto ´e, assumiremos que

v0v1 ∈/ E =M(p) e vivi+1 ∈/ V =A(p) para i≥1

ou, equivalentemente, que |deg(vivi+1)|> p, para i≥0. Como

deg(v0v1· · ·vs) = deg(v0) +deg(v1) +· · ·+deg(vs) =n >0,

pelo menos um dosvi deve ter grau positivo. Suponhamos quedeg(vi)>0, masdeg(vi+1)≤0

para algum i. Ent˜ao

|deg(vivi+1)| ≤max{|deg(vi)|,|deg(vi+1)|} ≤p,

uma contradi¸c˜ao (para i=s, considerar vs−₁v_s). Portanto todo v_i possui grau positivo, logo

n ≥s+ 1 e consequentemente v0v1· · ·vs ∈EVn, logoMn ⊆EVn.

Defini¸c˜ao 3.2.4. Uma Z-filtra¸c˜ao, ou simplesmente uma filtra¸c˜ao de uma K-´algebra A

´e uma sequˆencia de K-subespa¸cos

· · · ⊆Ai−1 ⊆Ai ⊆Ai+1 ⊆ · · · , i∈Z,

tal que

1∈A0, Ai·Aj ⊆Ai+j para todo i, j ∈Z, e A=

[

i∈Z

Se¸c˜ao 3.2 • Algebras filtradas e graduadas´ 28

Uma filtra¸c˜ao ´e chamada finita se cada Ai tem dimens˜ao finita sobre K, e ´e chamada

discreta se Ai = 0 para todo i < n0 para algum inteiro n0 ≤0. O K-espa¸co vetorial

gr(A) =M

i∈Z

Ai/Ai−1,

munido de uma multiplica¸c˜ao dada pela regra

(x+Ai−₁)·(y+A_j−₁) =xy+A_i+j−₁,

ondex eysao elementos homogˆeneos degr(A), ´e chamado´algebra graduada associada.

A opera¸c˜ao se estende aos demais elementos de A por linearidade.

Veremos abaixo que se a ´algebra graduada associada de uma K-´algebra discretamente

filtradaA ´e finitamente gerada, ent˜ao A ´e finitamente gerado.

Suponhamos que gr(A) ´e gerado por x1,· · · , xr. Podemos supor que cada um desses

geradores ´e homogˆeneo, sem perda de generalidade. Desta forma, a cadaxi podemos associar

um xi ∈ A. Seja B ⊆ A a sub´algebra gerada por x1,· · · , xr. Vamos mostrar que A ⊆ B.

Por indu¸c˜ao, mostraremos que cadaAn ⊆B,n≥n0.´ Decorre da hip´otese de a filtra¸c˜ao ser

discreta que An0 ⊆B, uma vez que a primeira parcela n˜ao nula de gr(A) =⊕

∞

−∞Ai/Ai−₁ ´e

justamente An0. Suponhamos agora que Ak ⊆ B, para k ≥ n0. Mostremos que Ak+1 ⊆B.

Seja y ∈ Ak+1. Ele possui um elemento correspondente y ∈ Ak+1/Ak. Como gr(A) ´e

finitamente gerado, podemos escrever

y=X

j

αjxi1· · ·xs,

onde 1≤i1,· · · , is ≤r. Isto significa que y−P_jαjxi1· · ·xis ∈Ak. Como, pela hip´otese de

indu¸c˜ao, Ak ⊆B e Pjαjxi1· · ·xis ∈B, segue que y∈B.

Defini¸c˜ao 3.2.5. Seja A uma K-´algebra filtrada por subespa¸cos Ai, i ∈ Z, e seja M um

A-m´odulo `a direita. Uma filtra¸c˜ao de M ´e uma sequˆencia de subespa¸cos

· · · ⊆Mi−₁ ⊆M_i ⊆M_i+1 ⊆ · · · , i∈Z,

Cap. 3 • M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 29

Mi·Aj ⊆Mi+j para todo i, j ∈Z, e M =

[

i∈Z

Mi.

Uma filtra¸c˜ao ´e finita se cada um dos espa¸cos vetoriais Mi tem dimens˜ao finita sobre K, e

´e discreta se Mi = 0 para todo i < n0 para algum inteiro n0. O K-espa¸co vetorial

gr(M) =M

i∈Z

Mi/Mi−1,

com a estrutura de gr(A)-m´odulo dada pela regra

(m+Mi−1)·(a+Aj−1) =ma+Mi+j−1,

onde m e a s˜ao elementos homogˆeneos de gr(M) e gr(A), respectivamente, ´e chamado

m´odulo graduado associado. A opera¸c˜ao se estende aos demais elementos de M por

linearidade.

De forma an´aloga `a que vimos anteriormente, ´e poss´ıvel mostrar que se o m´odulo graduado

associado de um m´odulo discretamente filtrado ´e finitamente gerado, ent˜ao o m´odulo original

tamb´em ´e finitamente gerado.

Seja A uma K-´algebra com filtra¸c˜ao {Ai}i∈Z, e seja M um A-m´odulo `a direita com

filtra¸c˜ao {Mi}i∈Z. Utilizando os homomorfismos canˆonicos

gri :Mi →Mi/Mi−₁, defina gr(E) =

M

i∈Z

gri(E∩Mi)

para qualquer subespa¸co E de M. Se E ´e um subm´odulo de M, ´e f´acil ver que gr(E) ´e

um gr(A)-subm´odulo de gr(M)gr(A). A aplica¸c˜ao E → gr(E) preserva a ordem entre os

subm´odulos de MA e os subm´odulos de gr(M)gr(A). Se a filtra¸c˜ao ´e discreta, ent˜ao esta

aplica¸c˜ao preserva inclus˜oes estritas, como veremos a seguir.

Sejam E e F subm´odulos de MA tais que E ⊆ F e gr(E) = gr(F). Vamos assumir

que F \E 6= ∅ e tome i minimal com rela¸c˜ao `a propriedade de que existe um elemento f ∈ F ∩Mi, f /∈ E - a existˆencia deste i ´e garantida pelo fato de a filtra¸c˜ao ser discreta.

Como gr(E) = gr(F), temos que

Se¸c˜ao 3.2 • Algebras filtradas e graduadas´ 30

para algum e ∈ E. Portanto, f −e ∈ Mi−1. Como E ⊆ F, segue que f −e ∈ F. Pela

minimalidade dei, segue quef−e ∈E, de onde decorre quef ∈E, uma contradi¸c˜ao. Deste fato segue o pr´oximo resultado.

Proposi¸c˜ao 3.2.6. Seja A uma K-´algebra filtrada, e seja M um A-m´odulo discretamente

filtrado. Se gr(M)gr(A) ´e noetheriano, ent˜ao MA ´e noetheriano.

Lema 3.2.7. Seja A uma K-´algebra com uma filtra¸c˜ao {Ai}i∈Z, e seja M um A-m´odulo `a

direita filtrado com filtra¸c˜ao {Mi}i∈Z. Ent˜ao

GKdim(gr(M)gr(A))≤GKdim(MA).

Demonstra¸c˜ao: Seja W um subespa¸co de dimens˜ao finita de gr(A) que cont´em 1, e sejaF um subespa¸co de dimens˜ao finita degr(M). Ent˜ao existe um subespa¸coV deAde dimens˜ao

finita que cont´em 1 e um subespa¸co de dimens˜ao finita E de M tal que W ⊆ gr(V) e F ⊆gr(E). Ent˜ao

F Wn ⊆gr(E)gr(V)n ⊆gr(E)gr(Vn)⊆gr(EVn)

uma vez que

gr(EVn) =M

i∈Z

(EVn_∩M

i) +Mi−₁

Mi−1

∼

=M

i∈Z

(EVn_∩M i)

(EVn_∩M i−1)

,

e como dimK(EVn) < ∞, segue que dimK(F Wn) ≤ dimK(EVn) para todo inteiro n > 0.

Pela defini¸c˜ao da dimens˜ao de Gelfand-Kirillov para m´odulos, segue o resultado.

Temos interesse especial no caso em que a desigualdade acima ´e uma igualdade.

Proposi¸c˜ao 3.2.8. Seja A uma K-´algebra com filtra¸c˜ao finita {An}i∈Z tal que gr(A) ´e

finitamente gerado, e seja M um A-m´odulo `a direita com filtra¸c˜ao discreta finita M =

{Mn}i∈Z tal que gr(M)gr(A)´e finitamente gerado. Se dM :=dimKMn, para n∈N, ent˜ao

G(gr(M)) =G(M) =G(dM) =G(dgr(M)),

e portanto, em particular,

Cap. 3 • M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 31

Demonstra¸c˜ao: Por hip´otese, existe um n´umero naturalqtal queMi = 0 para todoi <−q.

Logo

gr(M)(n) =

n

M

i=−n

Mi

Mi−1

∼

=Mn

como K-m´odulos, para todo n≥q, implicando que dM ≡d_gr(M), e consequentemente que

G(dM) =G(d_gr(M)).

Pelo Lema 3.2.3 (b), temos que

G(gr(M)) = G(dgr(M)).

Segue das hip´oteses que A ´e uma ´algebra finitamente gerada e que M ´e um A-m´odulo

finitamente gerado. Seja V um subespa¸co gerador de A, de dimens˜ao finita e que cont´em

1, e seja E um subespa¸co de dimens˜ao finita de M que gera M como A-m´odulo `a direita.

Existe um n´umero natural p tal que V ⊆Ap eE ⊆Mp . Ent˜ao

EVn ⊆MpAnp ⊆MpAnp ⊆M2pn para todon≥1,

de forma que

dV,E(n)≤dM(2pn); portantoG(M)≤ G(dM).

Por fim, temos do lema anterior que

G(gr(M)) =G(M).

O resultado acima ´e amplamente aplic´avel pois, como o lema seguinte mostra, qualquer

m´odulo finitamente gerado sobre uma K-´algebra filtrada possui uma filtra¸c˜ao tal que o

m´odulo graduado associado ´e finitamente gerado.

Lema 3.2.9. Seja A uma K-´algebra com filtra¸c˜ao {Ai}i∈Z, e seja M um A-m´odulo

finita-mente gerado,M =EA, ondeE´e um subespa¸co de dimens˜ao finita deM. Ent˜aogr(M)gr(A),

Se¸c˜ao 3.2 • Algebras filtradas e graduadas´ 32

Demonstra¸c˜ao: Seja x+EAi−1 ∈ EAi/EAi−1 um elemento homogˆeneo de gr(M). Se os

elementos e1,· · · , em constituem uma base para o espa¸co vetorial E ⊆ EA0, ent˜ao x =

Pn

j=1ejaij com aij ∈Ai. Portanto

x+EAi−1 =

n

X

j=1

(ej +EA−1)(aij +Ai−1),

mostrando que os elementos ej+EA−1, 1 ≤j ≤r, geram gr(M) comogr(A)-m´odulo.

Defini¸c˜ao 3.2.10. SejaAumaK-´algebra com uma filtra¸c˜ao{Ai}i∈Z e sejaM umA-m´odulo

finitamente gerado `a direita, M = EA, para algum subespa¸co de dimens˜ao finita E de M.

A filtra¸c˜ao {EAi}i∈Z ´e uma filtra¸c˜ao standard de M.

Pela Proposi¸c˜ao 3.2.8, o comportamento do crescimento de duas filtra¸c˜oes discretas

fini-tas com m´odulos graduados associados finitamente gerados ´e essencialmente o mesmo para

qualquer A-m´odulo, onde A ´e uma K-´algebra finitamente filtrada e gr(A) ´e finitamente

ge-rada. De fato, tais filtra¸c˜oes do A-m´odulo `a direita M est˜ao ainda mais relacionadas, e s˜ao

equivalentes no seguinte sentido.

Defini¸c˜ao 3.2.11. Sejam M = {Mi}i∈Z e N = {Ni}i∈Z duas filtra¸c˜oes do A-m´odulo `a

direita M, onde A ´e uma K-´algebra filtrada. Ent˜ao M e N s˜ao equivalentes se h´a um n´umero natural n tal que

Ni ⊆Mi+n e Mi ⊆Ni+n para todo i∈Z.

Proposi¸c˜ao 3.2.12. Seja A = {Ai}i∈Z uma filtra¸c˜ao discreta finita de uma K-´algebra A,

e sejam M = {Mi}i∈Z e N = {Ni}i∈Z duas filtra¸c˜oes discretas finitas de um A-m´odulo `a

direita M. Se gr(M)gr(A) ´e finitamente gerado, ent˜ao existe um n´umero natural n tal que

Mi ⊆Ni+n para todo i∈Z.

Demonstra¸c˜ao: Como vamos assumir que todas as filtra¸c˜oes s˜ao discretas, existe um n´umero naturalq tal que

As= 0, e Ns =Ms = 0, ∀s <−q.

Cap. 3 • M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 33

grM(M)(r) =

r

M

j=−q

Mj

Mj−1

´e um subespa¸co gerador de dimens˜ao finita. Como Mr possui dimens˜ao finita, existe um

n´umero natural n tal que Mr ⊆ Nn−_q. Portanto, se −q ≤ i ≤ r, ent˜ao n−q ≤ n+i e

consequentemente

Mi ⊆Mr ⊆Nn−q⊆Ni+n.

Agora, seja i > r, e assuma que Mj ⊆ Nj+n j´a foi estabelecido para j < i. Como

grM(M)(r) gera grM(M) como gr(A)-m´odulo, segue que

Mi

Mi+1

=

r

X

j=−q

(Mj/Mj−1)(Ai−j/Ai−j−1),

e portanto que

Mi = r

X

j=−q

(MjAi−j) +Mi−1 ⊆

r

X

j=−q

(Nj+nAi−j) +Ni−1+n⊆Ni+n.

E portanto o resultado segue por indu¸c˜ao.

Corol´ario 3.2.13. Seja A uma K-´algebra discreta e finitamente filtrada, e seja M um A

-m´odulo `a direita. Ent˜ao duas filtra¸c˜oes discretas finitas de M s˜ao equivalentes, sempre que

seus m´odulos graduados associados sejam gr(A)-m´odulos `a direita finitamente gerados.

Em particular, segue do corol´ario acima e do Lema 3.2.9 que qualquer filtra¸c˜ao discreta e finita de um A-m´odulo finitamente gerado ´e equivalente `a filtra¸c˜ao

standard.

Lema 3.2.14. Seja A = ⊕∞

i=0Ai uma K-´algebra graduada, gerada como ´algebra por A1, e

sejaM =⊕∞

i=0Mi umA-m´odulo graduado `a direita com um sistema de geradores homogˆeneos {mλ}λ∈Λ tal que deg(mλ)≤n0 para algum n0 ∈N. Ent˜ao

Se¸c˜ao 3.2 • Algebras filtradas e graduadas´ 34

Demonstra¸c˜ao: Seja n ≥ n0, e seja m ∈ Mn+1. Ent˜ao m = Pλ∈Λ0mλaλ para um

sub-conjunto finito Λ0 de Λ, e podemos supor que os elementos aλ ∈ A s˜ao homogˆeneos de

grau n+ 1−deg(mλ). Como a ´algebra A ´e gerada por A1, e como deg(Aλ)≥ 0 para cada

λ∈Λ0, cada aλ ´e uma soma de termos da forma cb com b∈A1 e um elementoc∈A que ´e

homogˆeneo de grau n−deg(mλ). Logo m ∈ MnA1, portanto Mn+1 =MnA1, e o resultado

segue por indu¸c˜ao.

Como vimos no in´ıcio deste cap´ıtulo, a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov nem sempre ´e exata.

Como a exatid˜ao ´e a chave no estudo de in´umeros resultados relacionados a estrutura de

´algebras, o teorema seguinte ´e importante para o estudo de ´algebras noetherianas.

Teorema 3.2.15. Seja A = {Ai}i∈Z uma filtra¸c˜ao discreta finita de uma K-´algebra A, tal

que a ´algebra graduada associada grA(A)´e finitamente gerada e noetheriana `a direita. Ent˜ao

GKdim(M) = max{GKdim(N), GKdim(P)}

para toda sequˆencia exata 0 → N → M → P → 0 de A-m´odulos `a direita finitamente gerados.

Demonstra¸c˜ao: Como MA ´e finitamente gerado, M = EA para um subespa¸co E de

di-mens˜ao finita. Seja M = {EAi}i∈Z a filtra¸c˜ao canˆonica resultante. Pelo Lema 3.2.9, o

m´odulo graduado associado grM(M) ´e finitamente gerado e, portanto, noetheriano, pois

gr(A) ´e noetheriano `a direita por hip´otese. As filtra¸c˜oes induzidas

N ={Mi∩N}i∈Z e P =

Mi+N

N

i∈Z

levam `a seq¨uˆencia exata

0→grN(N)→grM(M)→grP(P)→0

degr(A)-m´odulos graduados `a direita. ComogrM(M) ´e noetheriano,grN(N) e grP(P) s˜ao

finitamente gerados. Note que todas as filtra¸c˜oes s˜ao finitas e que

Cap. 3 • M´odulos e ´Algebras Filtrados e Graduados 35

para qualquer n´umero natural n. Segue do Lema 1.2.1 e da Proposi¸c˜ao 2.1.2 que

limlog_ndM(n) =max{limlog_ndN(n), limlog_ndP(n)}

Pela Proposi¸c˜ao 3.2.8, temos

GKdim(MA) = GKdim(grM(M)gr(A)) =limlogndM(n)

= max{limlog_ndN(n), limlog_ndP(n)}

= max{GKdim(grN(N)_gr(A)), GKdim(grP(P)_gr(A))}

CAP´ITULO 4

´

ALGEBRAS

QUASE-COMUTATIVAS

4.1

Algebras quase-comutativas

´

Defini¸c˜ao 4.1.1. Uma K-´algebra ´e quase-comutativa se existe uma filtra¸c˜ao

A0 ⊆A1 ⊆ · · · ⊆

∞

[

i=0

Ai =A

tal que

(a) A0 =K.

(b) A1 tem dimens˜ao finita e Ai =Ai1 para todo i≥1.

(c) A ´algebra graduada associada

gr(A) =

∞

M

i=0

Ai

Ai−1

´e comutativa.

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 37

Pelo Teorema 3.2.15, o resultado seguinte mostra que a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov ´e

exata para m´odulos finitamente gerados sobre uma ´algebra quase-comutativa.

Teorema 4.1.2. Seja A uma K-´algebra quase-comutativa com respeito `a filtra¸c˜ao A =

{Ai}∞i=0. Ent˜ao

(a) grA(A) ´e uma ´algebra comutativa noetheriana finitamente gerada.

(b) A e noetheriano `a esquerda e `a direita.

Demonstra¸c˜ao: (b) decorre de (a) pela Proposi¸c˜ao 3.2.6. Como uma ´algebra,gr(A) ´e gerada por A1/A0, e cada Ai/Ai−1 ´e gerado pelas palavras de comprimento i compostas por finitos

elementos da base o espa¸co vetorial A1/A0. Ent˜ao existe um homomorfismo de K-´algebras

graduadas da ´algebra sim´etrica S =S(A1/A0) sobre gr(A). S ´e noetheriano pelo Teorema

da Base de Hilbert, logo gr(A) ´e noetheriano.

Exemplo 4.1.3. SejaAn=An(K)an-´esima ´algebra de Weyl com geradoresx1,· · · , xn, ∂1,· · · , ∂n.

Um elemento a ∈ An pode ser escrito unicamente como uma combina¸c˜ao linear finita de monˆomios

xi1

1 · · ·xinn∂ j1

1 · · ·∂njn,

onde os expoentes s˜ao inteiros n˜ao-negativos. O grau de tal monˆomio ´e a soma de seus

expoentes, e o grau deg(a) do elemento a ´e o maior valor que ocorre como um dos graus

dos monˆomios que comp˜oem a. Isto nos d´a uma filtra¸c˜ao natural de An por subespa¸cos de

dimens˜ao finita

M0 =K, Mi ={a∈An, deg(a)≤i}.

Esta filtra¸c˜ao ´e chamada filtra¸c˜ao de Bernstein de An.

Se¸c˜ao 4.1 • Algebras quase-comutativas´ 38

Demonstra¸c˜ao: Parai= 1,· · · , n, sejamyi =gr1(xi) eyi+n =gr1(∂i). Dividiremos a prova

em trˆes partes.

Primeiro passo: gr(An) ´e gerado por y1,· · · , y2n como K-´algebra.

´

E suficiente mostrar este fato para os elementos homogˆeneos degr(An). Mas um elemento

homogˆeneo de gr(An) ´e da forma grk(d) para algum elemento d em An de grau k. Por´em d

´e uma combina¸c˜ao linear de monˆomiosxα_∂β_{, com|α|+|β| ≤k. Se |α|+|β|=k, ent˜ao}

grk(xα∂β) = (y1α1· · ·ynαn)(y β1 n+1· · ·y

βn 2n).

Portantogrk(d) ´e combina¸c˜ao linear de monˆomios de grauk emy1,· · · , y2n, como quer´ıamos

demonstrar.

Segundo passo: gr(An) ´e um anel comutativo.

Como gr(An) ´e gerado por y1,· · · , y2n, precisamos mostrar apenas que estes elementos

comutam em gr(A). Para i = 1,· · · , n, temos que yiyi+n = gr2(xi∂i) e yi+nyi = gr2(∂ixi).

Como ∂ixi =xi∂i+ 1, segue que

gr2(∂ixi) =gr2(xi∂i),

e portanto yjyi+n =yi+nyj. Al´em disso, para j 6=i+n, temos que yiyi+n =yi+nyi uma vez

que os elementos correspondentes comutam em An.

Seja K[zi,· · ·, z2n] o anel de polinˆomios em 2n vari´aveis. Os dois passos anteriores nos

permitem definir um homomorfismo sobrejetor de an´eis

φ:K[zi,· · · , z2n]→gr(An)

por φ(zi) = yi. Como os z possuem grau 1 em K[zi,· · · , z2n] e os y possuem grau 1 em

gr(An),φ ´e um homomorfismo graduado de K-´algebras.

Terceiro passo: φ ´e injetor

SejaF ∈K[zi,· · · , z2n], e suponha queφ(F) = 0. Comoφ´e um homomorfismo graduado,

podemos assumir que F ´e um polinˆomio homogˆeneo. Seja

F(y1,· · · , y2n) =

X

cαβy1α1· · ·yαnn ·y β1 n+1· · ·y

βn 2n,

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 39

d =Xcαβxα11· · ·xαnn ·∂

β1

1 · · ·∂nβn.

Logo, grk(d) = F(y1,· · · , y2n).

Se grk(d) = φ(F) = 0, ent˜ao d ∈ Mk−1. Portanto d pode ser escrito como combina¸c˜ao

linear de monˆomios xα_∂β _{com |α|+|β| < k. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.3.4, todos os c} αβ

acima s˜ao iguais a zero. Portanto F ´e o polinˆomio nulo e φ´e injetor, como quer´ıamos.

Como j´a foi mencionado, a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov ´e exata para m´odulos graduados

sobre uma ´algebra polinomial comutativa A. Como m´odulos finitamente gerados possuem

crescimento polinomial, mostraremos que GKdim(M) ´e um inteiro positivo (ou −∞, se M = 0). O ponto de partida ´e um teorema cl´assico, enunciado por Hilbert, sobre m´odulos

graduados sobre ´algebras quase-comutativas. A prova dada ´e devida a Serre. Os polinˆomios

que surgem s˜ao chamados polinˆomios de Hilbert-Samuel.

Teorema 4.1.5. Seja A = K[x1,· · · , xr] uma ´algebra polinomial comutativa, vista como uma ´algebra graduada A=⊕∞

i=0Ai via a gradua¸c˜ao usual, e sejaM =⊕∞i=0Mi umA-m´odulo graduado finitamente gerado.

(a) Cada Mi ´e um K-espa¸co vetorial de dimens˜ao finita.

(b) Para n suficientemente grande, dimKMn ´e um polinˆomio em n de grau ≤ r −1 com coeficientes racionais.

(c) Para n´umeros naturais n∈N suficientemente grandes,

dM(n) :=dimK(M0⊕ · · · ⊕Mn)

´e um polinˆomio em n de grau ≤r com coeficientes racionais.

Demonstra¸c˜ao: Para mostrar (a), seja{m1,· · · , ms}um conjunto de geradores homogˆeneos

deM. Para qualquer n´umero naturalq, um conjunto finito de geradores do K-m´odulo Mq ´e

obtido ao considerar, para cada j = 1,· · · , s todos os elementos mjµjl, onde µjl varia entre

Se¸c˜ao 4.1 • Algebras quase-comutativas´ 40

(b) Vamos proceder por indu¸c˜ao sobrer. Ser= 0, ent˜aoA=K, e comoM ´e finitamente

gerado, Mn = 0 para n suficientemente grande. Logo a afirma¸c˜ao vale se fixarmos o grau

−1 para o polinˆomio nulo. Para r >0, defina

θ:M →M por θ(m) =xrm.

Ent˜aoθ´e um homomorfismo de grau 1 doA-m´odulo graduadoM em si mesmo. Considere

a sequˆencia exata

0→K →M →θ M →C →0,

deA-m´odulos graduados, onde K =Ker(θ) e C =Coker(θ).

Para cada n, temos induzida uma sequˆencia exata deK-homomorfismos para as

compo-nentes homogˆeneas

0→Kn →Mn→θ Mn+1 →Cn+1

Como M ´e noetheriano, C e K s˜ao finitamente gerados, e s˜ao m´odulos sobre a ´algebra

K[x1,· · · , xr−1]∼=

K[x1,· · · , xr]

(xr)

,

pois xrC = 0 =xrK.

Pela hip´otese de indu¸c˜ao,

dimKKn e dimKCn+1

s˜ao polinˆomios em n de grau menor ou igual a r−2, se n ´e suficientemente grande. Agora

dimKCn+1 = dimK

Mn+1

θ(Mn)

=dimK(Mn+1)−dimK

Mn

Kn

= dimK(Mn+1)−dimK(Mn) +dimK(Kn),

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 41

dimK(Mn+1)−dimK(Mn) =dimK(Cn+1)−dimK(Kn)

´e um polinˆomio de grau ≤ r−2 para n suficientemente grande. Portanto dimK(Mn) ´e um

polinˆomio de grau ≤r−1 pelo Lema 1.1.6 (b).

(c) Segue do ´ıtem anterior e do Lema 1.1.6 (b).

Corol´ario 4.1.6. Seja A=⊕∞

i=0Ai umaK-´algebra comutativa tal que A0 =K e A1 seja um

subespa¸co gerador de dimens˜ao finita para A, e seja M = ⊕∞

i=0Mi um A-m´odulo graduado finitamente gerado. Ent˜ao, para valores suficientemente grandes de n,

dM(n) := dimK(M0⊕M1⊕ · · · ⊕Mn)

´e um polinˆomio em n com coeficientes racionais e de grau GKdim(M).

Demonstra¸c˜ao: A ´algebraA´e imagem homomorfa deS(A1), a ´algebra sim´etrica emdimKA1

geradores. LogoM ´e um m´odulo graduado finitamente gerado sobre uma ´algebra polinomial

comutativa e a primeira asser¸c˜ao segue do Teorema 4.1.5. Note que como A ∼= S(A1) I , para

algum I ⊂ S(A1), ent˜ao M visto como S(A1)-m´odulo satisfaz M I = 0. Pela Proposi¸c˜ao

3.1.3 (c), temos que

GKdim(MA) =GKdim(MS(A1)),

e pelo Lema 3.2.3 (b) este n´umero ´e igual ao grau do polinˆomiodM.

Defini¸c˜ao 4.1.7. Seja A uma K-´algebra quase-comutativa com respeito `a filtra¸c˜ao A =

{Ai}i∈N, e seja M um A-m´odulo `a direita com filtra¸c˜ao M = {Mi}i∈N tal que o m´odulo

graduado associado grM(M) ´e finitamente gerado. Para valores suficientemente grandes de

n, a fun¸c˜ao

dM(n) =dimKMn=dimK

M0⊕

M1

M0

⊕ · · · ⊕ Mn

Mn+1

=dgrM(M)(n)

´e um polinˆomio em n com coeficientes racionais, chamadopolinˆomio de Hilbert-Samuel

de M com respeito `as filtra¸c˜oes A e M. Se dM(n) ´e escrito como

dM(n) =ad

n d

+ad−1

n d−1

+· · ·+a1

n 1