QUASE-COMUTATIVAS - A dimensão de Gelfand-Kirillov de certas álgebras

4.1 Algebras quase-comutativas´

Defini¸c˜ao 4.1.1. Uma K-álgebra é quase-comutativa se existe uma filtra¸cão

A0 ⊆ A1 ⊆ · · · ⊆ ∞ [ i=0 Ai = A tal que (a) A0 = K.

(b) A1 tem dimens˜ao finita e Ai = Ai1 para todo i ≥ 1.

(c) A ´algebra graduada associada

gr(A) = ∞ M i=0 Ai Ai−1 ´e comutativa. 36

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 37

Pelo Teorema 3.2.15, o resultado seguinte mostra que a dimensão de Gelfand-Kirillov é exata para módulos finitamente gerados sobre uma álgebra quase-comutativa.

Teorema 4.1.2. Seja A uma K-álgebra quase-comutativa com respeito à filtra¸cão A = {Ai}∞i=0. Então

(a) grA(A) ´e uma ´algebra comutativa noetheriana finitamente gerada.

(b) A e noetheriano `a esquerda e `a direita.

Demonstra¸cão: (b) decorre de (a) pela Proposi¸cão 3.2.6. Como uma álgebra, gr(A) é gerada por A1/A0, e cada Ai/Ai−1 é gerado pelas palavras de comprimento i compostas por finitos elementos da base o espa¸co vetorial A1/A0. Então existe um homomorfismo de K-álgebras graduadas da álgebra simétrica S = S(A1/A0) sobre gr(A). S é noetheriano pelo Teorema

da Base de Hilbert, logo gr(A) ´e noetheriano.

Exemplo 4.1.3. Seja An= An(K) a n-´esima ´algebra de Weyl com geradores x1, · · · , xn, ∂1, · · · , ∂n.

Um elemento a ∈ An pode ser escrito unicamente como uma combina¸c˜ao linear finita de

monˆomios

xi1

1 · · · xinn∂ j1

1 · · · ∂njn,

onde os expoentes são inteiros não-negativos. O grau de tal monômio é a soma de seus expoentes, e o grau deg(a) do elemento a é o maior valor que ocorre como um dos graus

dos monômios que compõem a. Isto nos dá uma filtra¸cão natural de An por subespa¸cos de

dimens˜ao finita

M0 = K, Mi = {a ∈ An, deg(a) ≤ i}.

Esta filtra¸cão é chamada filtra¸cão de Bernstein de An.

Teorema 4.1.4. A álgebra graduada gr(An) segundo a filtra¸cão de Bernstein é isomorfa ao anel de polinômios sobre K em 2n variáveis.

Se¸c˜ao 4.1 • Algebras quase-comutativas´ 38

Demonstra¸c˜ao: Para i = 1, · · · , n, sejam yi = gr1(xi) e yi+n = gr1(∂i). Dividiremos a prova em trˆes partes.

Primeiro passo: gr(An) ´e gerado por y1, · · · , y2n como K-´algebra. ´

E suficiente mostrar este fato para os elementos homogêneos de gr(An). Mas um elemento homogêneo de gr(An) é da forma grk(d) para algum elemento d em An de grau k. Porém d é uma combina¸cão linear de monômios xα_∂β_{, com |α| + |β| ≤ k. Se |α| + |β| = k, então}

grk(xα∂β) = (y1α1· · · ynαn)(y β1 n+1· · · y

βn 2n).

Portanto grk(d) é combina¸cão linear de monômios de grau k em y1, · · · , y2n, como quer´ıamos demonstrar.

Segundo passo: gr(An) ´e um anel comutativo.

Como gr(An) ´e gerado por y1, · · · , y2n, precisamos mostrar apenas que estes elementos comutam em gr(A). Para i = 1, · · · , n, temos que yiyi+n = gr2(xi∂i) e yi+nyi = gr2(∂ixi). Como ∂ixi = xi∂i+ 1, segue que

gr2(∂ixi) = gr2(xi∂i),

e portanto yjyi+n = yi+nyj. Al´em disso, para j 6= i + n, temos que yiyi+n = yi+nyi uma vez que os elementos correspondentes comutam em An.

Seja K[zi, · · · , z2n] o anel de polinômios em 2n variáveis. Os dois passos anteriores nos permitem definir um homomorfismo sobrejetor de anéis

φ : K[zi, · · · , z2n] → gr(An)

por φ(zi) = yi. Como os z possuem grau 1 em K[zi, · · · , z2n] e os y possuem grau 1 em gr(An), φ ´e um homomorfismo graduado de K-´algebras.

Terceiro passo: φ ´e injetor

Seja F ∈ K[zi, · · · , z2n], e suponha que φ(F ) = 0. Como φ é um homomorfismo graduado, podemos assumir que F é um polinômio homogêneo. Seja

F (y1, · · · , y2n) = X cαβy1α1· · · yαnn · y β1 n+1· · · y βn 2n,

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 39

d =Xcαβxα11· · · xαnn · ∂ β1

1 · · · ∂nβn. Logo, grk(d) = F (y1, · · · , y2n).

Se grk(d) = φ(F ) = 0, então d ∈ Mk−1. Portanto d pode ser escrito como combina¸cão linear de monômios xα_∂β _{com |α| + |β| < k. Portanto, pela Proposi¸cão 2.3.4, todos os c}

αβ acima são iguais a zero. Portanto F é o polinômio nulo e φ é injetor, como quer´ıamos. Como já foi mencionado, a dimensão de Gelfand-Kirillov é exata para módulos graduados sobre uma álgebra polinomial comutativa A. Como módulos finitamente gerados possuem crescimento polinomial, mostraremos que GKdim(M ) é um inteiro positivo (ou −∞, se M = 0). O ponto de partida é um teorema clássico, enunciado por Hilbert, sobre módulos graduados sobre álgebras quase-comutativas. A prova dada é devida a Serre. Os polinômios que surgem são chamados polinômios de Hilbert-Samuel.

Teorema 4.1.5. Seja A = K[x1, · · · , xr] uma ´algebra polinomial comutativa, vista como

uma ´algebra graduada A = ⊕∞

i=0Ai via a gradua¸c˜ao usual, e seja M = ⊕∞i=0Mi um A-m´odulo

graduado finitamente gerado.

(a) Cada Mi ´e um K-espa¸co vetorial de dimens˜ao finita.

(b) Para n suficientemente grande, dimKMn ´e um polinˆomio em n de grau ≤ r − 1 com

coeficientes racionais.

(c) Para n´umeros naturais n ∈ N suficientemente grandes,

dM(n) := dimK(M0⊕ · · · ⊕ Mn) ´e um polinˆomio em n de grau ≤ r com coeficientes racionais.

Demonstra¸cão: Para mostrar (a), seja {m1, · · · , ms} um conjunto de geradores homogêneos de M . Para qualquer número natural q, um conjunto finito de geradores do K-módulo Mq é obtido ao considerar, para cada j = 1, · · · , s todos os elementos mjµjl, onde µjl varia entre todos os monômios em x1, · · · , xr de grau q − deg(mj).

Se¸c˜ao 4.1 • Algebras quase-comutativas´ 40

(b) Vamos proceder por indu¸cão sobre r. Se r = 0, então A = K, e como M é finitamente gerado, Mn = 0 para n suficientemente grande. Logo a afirma¸cão vale se fixarmos o grau −1 para o polinômio nulo.

Para r > 0, defina

θ : M → M por θ(m) = xrm.

Então θ é um homomorfismo de grau 1 do A-módulo graduado M em si mesmo. Considere a sequência exata

0 → K → M → M → C → 0,θ de A-m´odulos graduados, onde K = Ker(θ) e C = Coker(θ).

Para cada n, temos induzida uma sequˆencia exata de K-homomorfismos para as compo- nentes homogˆeneas

0 → Kn → Mn→ Mθ n+1 → Cn+1

Como M é noetheriano, C e K são finitamente gerados, e são módulos sobre a álgebra

K[x1, · · · , xr−1] ∼=

K[x1, · · · , xr] (xr)

, pois xrC = 0 = xrK.

Pela hip´otese de indu¸c˜ao,

dimKKn e dimKCn+1

são polinômios em n de grau menor ou igual a r − 2, se n é suficientemente grande. Agora

dimKCn+1 = dimK Mn+1 θ(Mn) = dimK(Mn+1) − dimK Mn Kn = dimK(Mn+1) − dimK(Mn) + dimK(Kn),

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 41

dimK(Mn+1) − dimK(Mn) = dimK(Cn+1) − dimK(Kn)

é um polinômio de grau ≤ r − 2 para n suficientemente grande. Portanto dimK(Mn) é um polinômio de grau ≤ r − 1 pelo Lema 1.1.6 (b).

Corol´ario 4.1.6. Seja A = ⊕∞

i=0Ai uma K-´algebra comutativa tal que A0 = K e A1 seja um

subespa¸co gerador de dimens˜ao finita para A, e seja M = ⊕∞

i=0Mi um A-m´odulo graduado

finitamente gerado. Ent˜ao, para valores suficientemente grandes de n,

dM(n) := dimK(M0⊕ M1⊕ · · · ⊕ Mn)

´e um polinˆomio em n com coeficientes racionais e de grau GKdim(M ).

Demonstra¸cão: A álgebra A é imagem homomorfa de S(A1), a álgebra simétrica em dimKA1 geradores. Logo M é um módulo graduado finitamente gerado sobre uma álgebra polinomial comutativa e a primeira asser¸cão segue do Teorema 4.1.5. Note que como A ∼= S(A1)_I , para algum I ⊂ S(A1), então M visto como S(A1)-módulo satisfaz M I = 0. Pela Proposi¸cão 3.1.3 (c), temos que

GKdim(MA) = GKdim(MS(A1)),

e pelo Lema 3.2.3 (b) este número é igual ao grau do polinômio dM. Defini¸c˜ao 4.1.7. Seja A uma K-álgebra quase-comutativa com respeito à filtra¸cão A =

{Ai}i∈N, e seja M um A-módulo à direita com filtra¸cão M = {Mi}i∈N tal que o módulo

graduado associado grM(M ) ´e finitamente gerado. Para valores suficientemente grandes de

n, a fun¸c˜ao dM(n) = dimKMn= dimK M0⊕ M1 M0 ⊕ · · · ⊕ Mn Mn+1 = dgrM(M )(n)

´e um polinˆomio em n com coeficientes racionais, chamado polinˆomio de Hilbert-Samuel

de M com respeito às filtra¸cões A e M. Se dM(n) é escrito como

dM(n) = ad n d + ad−1 n d − 1 + · · · + a1 n 1 + a0,

Se¸c˜ao 4.1 • Algebras quase-comutativas´ 42

ent˜ao e(M ) = eA,M := ad ´e chamado n´umero de Bernstein de M.

Segue da Proposi¸c˜ao 3.2.8 que GKdim(MA) ´e o grau de dM. No entanto seu formato particular pode depender de A e M, mas:

• o grau do polinômio de Hilbert-Samuel de M não depende das filtra¸cões escolhidas para A e M ,

desde que eles estejam especificados como na defini¸cão. Note que o número de Bernstein também pode ser escrito como

(coeficiente dominante de dM(n)).(GKdim(M ))!

Dadas duas filtra¸cões M = {Mi}i∈N e N = {Ni}i∈N de M tais que os módulos grM(M ) e grN(N ) são finitamente gerados (e portanto noetherianos, pois A é noetheriano pela Pro- posi¸cão 4.1.2), então M e N são equivalentes pelo Corolário 3.2.13. Logo existe um número natural q tal que

Nn⊆ Mn+q e Mn ⊆ Nn+q para qualquer n ∈ N.

Se eM(M ) e eN(M ) são os respectivos números de Bernstein, então para valores suficientemente grandes de n temos que

dN(n) = eN(M ) n d + (termos de grau < d) = eN(M ) d! n d_{+ (termos de grau < d)} ≤ dM(n + q) = eM(M ) n + q d + (termos de grau < d) = eM(M ) d! n d_{+ (termos de grau < d),}

e disso segue que eN(M ) ≤ eM(M ). Um argumento sim´etrico nos d´a a desigualdade reversa. Portanto eN(M ) = eM(M ). Logo,

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 43

Consequentemente denotaremos o número de Bernstein por e(M ), porém, estritamente falando, deve ser feita referência à filtra¸cão de A, pois o seguinte exemplo mostra que

• o n´umero de Bernstein depende da filtra¸c˜ao particular de A.

Exemplo 4.1.8. Seja A = K[x] e sejam A = {An}n∈N e B = {Bn}n∈N duas filtra¸c˜oes de A, dadas por

An= K + Kx + · · · + Kxn, Bn = K + Kx + · · · + Kx2n, para n ≥ 1.

Seja M = AA, e tome o subespa¸co gerador E = K de M . Sejam

M = {EAn}n∈N e N = {EBn}n∈N as filtra¸c˜oes standard resultantes de M . Ent˜ao

dM(n) = dimK(EAn) = dimK(An) = n + 1; logo eA(M ) = 1. Por outro lado,

dN(n) = dimK(EBn) = dimK(Bn) = 2n + 1; logo eB(M ) = 2.

Note que em ambos os casos o n´umero de Bernstein ´e um inteiro positivo. Pelo Lema 1.1.6 (d), isto sempre ocorre.

Seja A uma ´algebra quase-comutativa, e seja

0 → L → M → N → 0φ

uma sequência exata curta de A-módulos à direita finitamente gerados. Sabemos do Teorema 3.2.15 que

GKdim(M ) = max{GKdim(L), GKdim(N )}.

Além disso, se M = {Mn}n∈Né uma filtra¸cão standard de M , ou, de fato, é uma filtra¸cão para a qual o módulo graduado associado é finitamente gerado, e se L = (L ∩ Mn)n∈N e N = (φ(Mn))n∈N são filtra¸cões induzidas sobre L e N , respectivamente, então

Se¸c˜ao 4.1 • Algebras quase-comutativas´ 44

dM(n) = dimK(Mn) = dimK(Mn∩ N ) + dimK((Mn+ N )/N ) = dL(n) + dN(n) para todo n ∈ N. Como dM, dLe dN são polinômios em n para valores suficientemente grandes de n, a exatidão da dimensão de Gelfand-Kirillov para A-módulos finitamente gerados segue trivialmente, e a parte (c) do teorema seguinte também vale. Entretanto, a filtra¸cão L induzida sobre L por uma filtra¸cão standard M de M não é necessariamente uma filtra¸cão standard.

Como é vantajoso trabalhar com filtra¸cões standard, a primeira parte do resultado seguinte é importante.

Teorema 4.1.9. Seja A uma K-´algebra quase-comutativa, e seja

0 → L → M → N → 0φ

uma sequência exata curta de A-módulos à direita finitamente gerados. Então

(a) H´a filtra¸c˜oes standard L, M e N de L, M e N , respectivamente, tais que dM(n) =

dN(n) + dL(n) para todo n ∈ N.

(b) GKdim(M ) = max{GKdim(L), GKdim(N )}. (c) Uma das seguintes rela¸cões é válida:

GKdim(L) < GKdim(M ) = GKdim(N ), e(M ) = e(N ); GKdim(N ) < GKdim(M ) = GKdim(L), e(M ) = e(L);

GKdim(L) = GKdim(M ) = GKdim(N ), e(M ) = e(L) + e(N ).

Demonstra¸cão: Como dL, dM e dN são polinômios em n para valores de n suficientemente grandes, é claro que (b) e (c) seguem de (a). Seja A = {An}n∈N a filtra¸cão que torna A quase-comutativa, seja E um subespa¸co gerador de dimensão finita para M , e defina

Mn := EAn, Ln := L ∩ Mn, e Nn:= φ(Mn) = φ(E)An.

Apesar de M = {Mn}n∈N e N = {Nn}n∈N serem filtra¸cões standard de M e N , respectivamente, L = {Ln}n∈N não é uma filtra¸cão standard de L em geral. Vamos construir

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 45

uma nova filtra¸cão standard para M de modo que todas as filtra¸cões induzidas também são standard, e isto conclui o argumento. Notemos que para cada n há uma sequência exata

0 → Ln→ Mn → Nn→ 0 de K-módulos; então obtemos a sequência exata

0 → grL(L) → grM(M ) → grN(N ) → 0

de gr(A)-módulos graduados à direita. Como gr(A) é um anel noetheriano, e como grMé um gr(A)-módulo à direita finitamente gerado, segundo o Lema 3.2.9, grM(M ) é noetheriano; portanto grL(L) é finitamente gerado por, digamos,

L0 ⊕ L1 L0 ⊕ · · · ⊕ Lm Lm−1 . Ent˜ao Ln Ln−1 = Lm Lm−1 · An−m An−m−1 para todo n ≥ m pelo Lema 3.2.14; portanto

Ln = LmAn−m+ Ln−1. Afirmamos que

Ln = LmAn−m, para n ≥ m.

De fato, primeiramente, para n = m, temos Lm = LmA0+ Lm−1. Mas Lm−1 = Lm−1.1 ⊆ LmA0, pois L é filtra¸cão. Agora suponhamos que o resultado vale para n = k − 1 ≥ m e mostremos que vale para n = k. Temos que Lk= LmAk−m+ Lk−1. Pela hipótese de indu¸cão,

Lk−1 = LmAk−m−1 ⊆ LmAk−m, de onde segue que Lk ⊆ LmAk−m, concluindo a afirma¸c˜ao.

Notemos agora que Lm é um subespa¸co gerador de dimensão finita de L. Agora escolhe- mos novas filtra¸cões para M , N e L definindo

Se¸c˜ao 4.1 • Algebras quase-comutativas´ 46 e, para n ≥ 1, M_n∗ = M₀∗An= Mm+n N_n∗ = N₀∗An = φ(M ∗ n) L∗n = L ∗ 0An = LmAn= Lm+n= L ∩ M ∗ n.

Estas são todas filtra¸cões standard, e as filtra¸cões de L e N são induzidas pela nova

filtra¸c˜ao de M .

Corol´ario 4.1.10. Seja A uma K-álgebra quase-comutativa, e seja M um A-módulo à direita

finitamente gerado com GKdim(M ) = d e n´umero de Bernstein e(M ). Seja

M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mi ⊃ Mi+1⊃ · · · ⊃ Mn uma cadeia estritamente descendente de subm´odulos com

GKdim(Mi/Mi+1) = d para 0 ≤ i ≤ n − 1. Ent˜ao (a) e(M/Mi) = i−1 X j=0 e(Mj/Mj+1). (b) n ≤ e(M ).

Demonstra¸cão: (a) O resultado será provado por indu¸cão sobre n. Para n = 1, não há o que provar. Suponhamos que o resultado tenha sido provado para cadeias de tamanho k. Para n = k + 1, consideremos a seguinte sequência exata:

0 → Mk Mk+1 → M0 Mk+1 → M0 Mk → 0.

Por hip´otese, GKdim(Mk/Mk+1) = GKdim(M0/M1) = d. Logo, pelo Teorema 4.1.9 (b), segue-se por indu¸c˜ao que GKdim(M0/Mk) = d. E portanto, pelo ´ıtem (c) do Teorema 4.1.9,

e(M0/Mk+1) = e(M0/Mk) + e(Mk/Mk+1) = k X

j=0

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 47

(b) Pelo Lema 1.1.6 (b), o número de Bernstein de um módulo não nulo é um inteiro positivo, logo e(Mj/Mj+1) ≥ 1 para 0 ≤ j ≤ n − 1. Logo, n ≤ n−1 X j=0

e(Mj/Mj+1) = e(M/Mn) ≤ e(M )

pela parte (a) e pelo Teorema 4.1.9 (c).

4.2 A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov de An-m´odulos

Como provamos no Teorema 4.1.4, a álgebra graduada associada de An com respeito à filtra¸cão de Bernstein é a álgebra polinomial K[x1, · · · , xn, y1, · · · , yn], logo GKdim(An) = 2n (notemos que An satisfaz as hipóteses da Proposi¸cão 3.2.8), como já sab´ıamos.

Queremos agora mostrar a desigualdade de Bernstein para An, segundo a qual GKdim(M ) ≥ n para todo An-m´odulo M n˜ao nulo.

Lema 4.2.1. Sejam A ⊆ B K-álgebras quase-comutativas com respeito às filtra¸cões induzi- das pelos subespa¸cos geradores V ⊆ W , respectivamente. Seja M um B-módulo finitamente

gerado com GKdim(MB) = d e número de Bernstein eB(M ). Se N é um A-submódulo

fiinitamente gerado de M , ent˜ao

(a) GKdim(NA) ≤ d

(b) GKdim(NA) = d implica que eA(N ) ≤ eB(N ).

Demonstra¸cão: (a) Escolha subespa¸cos geradores de dimensão finita N0 ⊆ M0 para NA e MB respectivamente e defina Nn= N0Vn, Mn = M0Wn. Então Nn⊆ Mn para todo n, logo

GKdim(NA) = lim logndimK(Nn)

Se¸cão 4.2 • A dimensão de Gelfand-Kirillov de An-módulos 48

(b) Se GKdim(NA) = GKdim(MB), então para valores suficientemente grandes de n temos que dimK(Nn) e dimK(Mn) são polinômios em n de grau d e coeficientes dominan- tes eA(n)/d! e eB(n)/d!, respectivamente. Logo, como dimK(Nn) ≤ dimK(Mn), segue que eA(N ) ≤ eB(M ).

O Lema de Quillen é essencial na prova da desigualdade de Bernstein para a dimensão de An-módulos.

Lema 4.2.2. ([6], página 171) Se M é um módulo de comprimento finito sobre uma K-

álgebra quase-comutativa A, então EndA(M ) é algébrico sobre K.

Teorema 4.2.3. Se M é um módulo não nulo à direita sobre a álgebra de Weyl An, então GKdim(M ) ≥ n.

Demonstra¸cão: Por indu¸cão em n. O caso n = 1 é o [Corolário 7.13, página 84, [4]], o qual não iremos demonstrar pois foge do objetivo desta disserta¸cão, uma vez que utiliza a dimensão de Krull não comutativa de um módulo M . Assuma que para n ≥ 2 qualquer An−1-módulo possui dimensão de Gelfand-Kirillov pelo menos n − 1. A álgebra de Weyl B = An gerada por x1, · · · , xn, y1, · · · , yn contém

A = An−1 = K[x1, · · · , xn−1, y1, · · · , yn−1] e C = A1 = K[xn, yn]

como subálgebras. Suponha que M é um B-módulo à direita não nulo e finitamente gerado com GKdim(MB) < n, e seja N um A-submódulo não nulo finitamente gerado de M . Segue da hipótese de indu¸cão que

n − 1 ≤ GKdim(NA) ≤ GKdim(MA) ≤ GKdim(MB) < n, logo

GKdim(NA) = GKdim(MB) = n − 1.

Logo, pelo Lema 4.2.1, eA(N ) ≤ eB(M ). Como todo A-módulo diferente de 0 possui dimensão de Gelfand-Kirillov pelo menos n − 1, por indu¸cão, o Corolário 4.1.10 mostra que N possui série de composi¸cão de comprimento, no máximo, eB(M ). Mas N é um A- submódulo finitamente gerado arbitrário de M . Logo isso implica que MA possui série de

Cap. 4 • Algebras quase-comutativas´ 49

composi¸cão de comprimento no máximo eB(M ), e portanto EndA(M ) e algébrico sobre K, pelo Lema de Quillen. Como os elementos de C comutam com os elementos de A, afirmamos que a álgebra C está mergulhada em EndA(M ). De fato, consideremos a aplica¸cão

Φ : C → EndAM c 7→ ψc(x) = xc e mostremos que ela ´e um mergulho.

(a) Φ preserva adi¸c˜ao

Sejam c, d ∈ C. Ent˜ao, para todo x ∈ M ,

Φ(c + d) = ψc+d(x) = x(c + d) = xc + xd = ψc(x) + ψd(x) = Φ(c) + Φ(d). (b) Φ preserva multiplica¸c˜ao por escalar.

Seja c ∈ C, α ∈ A. Ent˜ao, para todo x ∈ M ,

Φc(xa) = xac = xca = Φc(x) · a, uma vez que c comuta com todo elemento de A.

Queremos mostrar que KerΦ = 0. Seja c ∈ KerΦ. Isto significa que xc = 0 para todo x ∈ M . Portanto, c ∈ r(M ), o anulador à direita de M . Mais ainda, xλc = 0 para todo x ∈ A, uma vez que c comuta com todos os elementos de A. Logo r(M ) é um ideal bilateral de A. Porém, A é simples e Φ não é identicamente nula (uma vez que Φ(1) é a aplica¸cão identidade em M . Portanto r(M ) = 0, ou seja, c = 0).

Porém, a existência desse mergulho é uma contradi¸cão, uma vez que C = A1 não é

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