Lab de Raios Cósmicos

Lab de Raios Cósmicos

Slides Fis. de Partículas - Sep.2010

Fernando Bar ˜ao

barao@lip.pt

Cinemática relativista

Relativistic mechanics

✔ Total Energy

E = γmc

²

= √

^mc2

1−β²

[GeV]

✔ Linear Momentum

~

p = γm~v = √

^m~v

1−β²

[GeV/c]

✔ Kinetic Energy

T = E − mc

²

= (γ − 1)mc

²

^[GeV]

✔ Lorentz factor

γ = 1 +

_mc^T2

γ =

_mc^E2

γ

²

=

₁₋¹_β²

⇒ β = q

1 −

_γ¹²

γβ =

_{m c}^p

=

q

E m

²

− 1

Relação entre ~ p ^e E

E

²

= (pc)

²

+ (mc

²

)

²

~ p

E

=

_γmc^γm~v2

=

^~v_c

= β ~

Natural Units

✔ Energy

1 ^[eV] ≃ 1.6 × 10

⁻¹⁹

^{[C] .} 1 ^[V]

1 ^[eV] ≃ 1.6 × 10

⁻¹⁹

^[J]

Massas

me 0.511^MeV/c2 mµ 105.658^MeV/c2 mπ 139.570^MeV/c2 mp 938.272^MeV/c2

Interacções de partículas

com a matéria

Interacções das partículas : sumário

✔ noc¸ ˜ao de secc¸ ˜ao eficaz

✔ livre percurso m ´edio

✔ probabilidade de interacc¸ ˜ao

✔ detecc¸ ˜ao de part´ıculas

✔ interacc¸ ˜ao de part´ıculas carregadas

◮ perda de energia : aprox. cl ´assica

◮ express ˜ao de Bethe-Bloch

◮ exemplo : medida da perda de energia em AMS

✔ perda de energoia em electr ˜ oes

✔ Range da part´ıcula

✔ multiple scattering

✔ interacc¸ ˜ao de fot ˜ oes

Interaction rate : cross section ( σ ⁾

A secção eficaz de um processo físico :

✔

traduz a possibilidade de ocorrência do processo

✔

o seu cálculo é possível, conhecendo as leis de interacção entre as partículas

✔

possui unidades de área (

1 barn = 10

⁻²⁸

m

²⁾

∆ x

Φ

R

^int

= Φ A σ N ∆x

A taxa de interacções(

R

^int) depende de :

✔

taxa de partículas incidentes

R

^inc

= Φ A

^[/sec]

◮ Φ ≡

fluxo de partículas incidentes [m⁻².s⁻¹]

◮ A ≡

área de incidência do feixe [

m

^2]

✔

densidade de partículas-alvo por unidade de área

N

^target

= N ∆x

^[/m2]

◮ N ≡

densidade de partículas-alvo [

m

^−3]

◮ ∆x ≡

espessura do alvo [

m

^]

Interaction probability

A probabilidade que uma partícula tem de interagir por unidade de comprimento do material

atravessado, depende de :

n densidade de alvos [/m

³

] σ secção eficaz [m

²

]

A densidade de alvos de um material qualquer depende de :

ρ densidade do material [gr/cm

³

] A massa de uma mole [gr]

N

_A

número de Avogadro [/mole]

p = n σ

n = N

_A

× ρ

|{z} A

nb of moles per cm³

Probabilidade de Interacção numa distância x

Suponhamos um feixe de N partículas a atravessar um material de densidade ρ [gr/cm

³

] , no qual a probabilidade de interacção por unidade de comprimento é p = N

A ρ

A

σ

dx N

• O número de partículas sobreviventes após terem percorrido uma distância dx ^:

N (x + dx) = N (x) − p dx N

| {z }

• _Como N (x + dx) ≃ N (x) +

^dN_dx

dx ^{, tem-se :} dN = − p dx N

• Integrando : R

N N0

dN

N

= − R

ℓ

0

p dx , obtém-se : N = N

0

e

^{−p ℓ}

• A probabilidade de a partícula não interagir após percorrer uma distância ℓ ^{é então :} P ¯

int

= e

^{−p ℓ}

✔ p = N

A ρ A

σ

✔ N = N

0

e

^{−p ℓ}

✔ P ¯

int

= e

^{−p ℓ}

Livre Percurso Médio ( λ _int ⁾

O livre percurso médio de uma partícula define-se como sendo o valor médio da distância percorrida pela partícula sem que tenha sofrido qualquer interacção :

λ

_int

=

R

^∞

0

x P ¯

_int

(x) dx R

^∞

0

P ¯

_int

(x) dx

Como a probabilidade de uma partícula não interagir ao

atravessar uma distância x de material é P ¯

_int

(x) = e

^{−p x}

^{, vem :} λ

_int

=

R

^∞

0

x e

^{−p x}

dx R

^∞

0

e

^{−p x}

dx

= h

−

^x_p

e

^{−p x}

i

^∞

0

+ R

^∞

0 1

p

e

^{−p x}

dx h

1

p

e

^{−p x}

i

^∞

0

= 1 p

✔ λ

_int

=

¹_p

✔ p =

_λ¹

int

✔ P ¯

_int

= e

^−λintx

Interacções das partículas com a matéria

Detecção de partículas

✔ a detecção das partículas neutras (fotões) ou carregadas (electrões, muões, protões) faz-se através da sua interacção com a matéria.

✔ as partículas carregadas interagem essencialmente através de mecanismos de ionização e excitação do átomo. No caso das partículas relativistas a perda de energia por radiação de Bremsstrahlung também tem que ser considerada.

✔ os fotões interagem com a matéria, produzindo partículas carregadas, através

dos mecanismos efeito fotoeléctrico, efeito de Compton e produção de

pares.

Perda de energia de uma partícula carregada ( ^dE _dx )

✔

Colisões inelásticas com o átomo

A passagem de uma partícula carregada por um meio material é caracterizada por uma perdade energia (^dE

dx ), devido essencialmente às colisões inelásticas com os elctrões atómicos do meio. Ocorre assim uma excitação do átomo ou mesmo a sua ionização.

◮

Apesar da quantidade de energia transferida em cada colisão ser pequena, o grande número de colisões existentes leva à perda de energia.

✔

Dispersão elástica pelo núcleo

Muito pouca energia transferida devido à diferença de massas núcleo-partícula incidente.

◮

Desvio da partícula da trajectória inicial (multiple scattering)

✔

Bremsstrahlung

Electrões deflectidos no campo eléctrico do núcleo (

~a =

^d~_dt^{v), radiam.}

✔

Radiação de Cerenkov

Ondas de choque electromag. criadas quando a velocidade da partícula é maior que a da luz no meio (

v =

_n^{c )}

✔

Radiação de Transição

Emissão de radiação electromagnética quando partículas altamente relativistas atravessam materiais dieléctricos diferentes.

dE

dx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)

Vejamos o que se passa na interacção de uma partícula pesada de massa

m

^,

carga

ze

e velocidade

~v

com um electrão atómico que se encontra à distância

b

da trajectória da partícula.

✔

Assume-se o electrão como livre e inicialmente em repouso e a partícula pesada incidente não sofre desvio.

Momento linear transferido transferido para o electrão

∆p =

Z

₊^∞

−∞

F dt ~ = Z

e ~ E dt

Do campo eléctrico aplicado, pode-se considerar somente a componente transversa

E

^⊥ e tendo como

dt =

^dx_v ^:

∆p = e v

Z

₊^∞

−∞

E

^⊥

dx

Tendo em conta o fluxo do campo eléctrico transverso :

∆p = z e

²

2 π ε v b

v M

e

b

v

E E

Ze

e

Fluxo do campo

E ~

Pela lei de Gauss tem-se :

R E ~

^⊥

· d~ S =

^{z e}_ε

0

R E

^⊥

2πb dx =

^{z e}_ε

0

R

dE

dx : energy transfer ( ∆ E ⁾

✔

The incident charged particle (

ze

) can interact with both nuclei and electrons of the atoms

✔

The transfered energy to the bound particle (mass,

m

and charge,

Z

) :

∆E = ∆p

²

2 m =

1 4πε

₀

2

1 m c

²

2 z

²

Z

²

e

⁴

b

²

β

²

= (m

_e

c

²

)

²

m c

²

2 z

²

Z

²

β

²

r

_e

b

2

✔

A large contribution to the energy transfer from close interactions is espected from the dependence,

∆E ∝

_b¹²

✔

The ratio of the energy transfered to electrons (

m = m

_e) and nucleus (

m = A m

_p^{) :}

∆E (e)

∆E (n) = 2 Z

m

p

m

_e

∼ 4000 Z

atomic electrons are responsible for most of the energy loss

The classical electron radius is obtained by looking into the equivalence of the relativistic energy (

E = m

e

c

²) and the electron

electrostatic energy (

U

_e^).

Calculating the electrostatic energy stored by a uniform charged sphere of radius

r

^e :

✔

work to bring

dq

to a sphere charged with

q

:

dW = φdq =

_4πε¹

0

q r

dq

with,

q = ρ

⁴₃

πr

^3,

dq = ρ4πr

²

dr dW =

⁴_{3 ε}^π

0

ρ

²

r

⁴

dr

✔

sphere electrostatic energy (

e = ρ4/3πr

_e^{3) :}

U

_E

=

⁴_{3 ε}^π

0

ρ

²

R

_re

0

r

⁴

dr =

³_{5 4πε}^e2

0

1 re

✔ m

_e

c

²

=

_4πε^e2

0

1

re

⇒ r

_e

=

_4πε¹

0

e² mc²

dE

dx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)

Energia transferida para o electrão

∆E = p

²

2 m

_e

= 1 2 m

_e

z e

²

2 π ε

₀

v b

2

Para se obter a energia total perdida pela partícula, temos que ter em conta o número total de electrões existentes na região de parâmetro de impacto relevante.

Energia perdida pela partícula para os electrões do meio

dE (b) = n

_e

2 π b db dx ∆E = z e

²

₂

4 π ε

²₀

n

_e

m

_e

v

²

db b dx

Integrando no parâmetro de impacto

db

^:

− dE

dx = z e

²

2

4 π ε

²₀

n

_e

m v

²

ln

b

_max

b

_min

Número de electrões

x

dx

db

Numa coroa cilíndrica

infinitesimal de espessura

db

^,

onde a densidade de electrões é

n

e, tem-se :

dE

dx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)

Limites do parâmetro de impacto

Para se estabelecer os limites dos parâmetros de impacto, isto é, as distâncias mínimas e máximas de interacção entre a partícula incidente e o electrão, devem-se ter em conta alguns argumentos físicos.

b

_min

O parâmetro de impacto mínimo é estabelecido pelo comprimento de onda de De Broglie do electrão,

b

_min

∼ λ =

^h_p

=

_{γ m v}^h

b

_max

O parâmetro de impacto máximo : assume-se a interacção entre o campo eléctrico da partícula incidente e um electrão livre. No entanto :

✔

os electrões encontram-se ligados aos átomos, possuindo uma dada frequência orbital associada (

ν

⁾

✔

a aproximação do electrão livre pode ser feita se o tempo de colisão for pequeno quando comparado com o período

T =

_ν¹ do electrão ; o tempo de interacção é dado por :

t

_int

∼

_γ^{b 1}_v

t

_int

< T ⇒ b

max

∼

^γv_ν

b e

T

dE

dx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)

Substituindo os limites dos parâmetros de impacto :

− dE

dx = z e

²

₂

4 π ε

²₀

n

_e

m

_e

v

²

ln

γ

²

m v

²

h ν

As frequências dos electrões que interagem com a partícula variam, tomando-se portanto um valor médio para a sua energia

< I >= h ν ¯

^,

− dE

dx = z e

²

₂

4 π ε

²₀

n

_e

m

_e

v

²

ln

γ

²

m v

²

< I >

Existe uma dependência da densidade electrónica do meio atravessado

n

_e; observar-se-ão então variações grandes de energia perdida para diferentes meios. No entanto, tendo em conta que :

n

_e

=

_A^ρ

N

_A

Z ⇒

ⁿ_ρ^e

=

_A^Z

N

_A

∼ c

^te

pode-se definir a variável espessura :

t = ρ x

^[g.cm−2]

− dE

dt = z e

²

₂

4 π ε

²₀

N

_A

m

_e

v

²

Z A ln

γ

²

m v

²

< I >

[MeV.cm².g

− 1

^]

Quantum treatment of the energy loss

✔ Bethe and Bloch in the early 1930s treated the energy loss problem taking into account Quantum Mechanics principles :

◮ energy transfer to atomic electrons occur in discrete amounts

◮ wave nature of particles

✔ atomic collisions classified according to momentum transfer to the atomic electron. Classicaly, to large impact parameters correspond low momentum transfers and vice-versa

✔ the energy loss by the traversing particle due to the atomic electrons interactions :

dE ∼ Z

w · dσ

dw dw · n

_e

| {z }

prob

· dx

◮ energy loss in every collision, w

◮ electron density, n

_e

= Z

_A^ρ

N

_A

dE

dx : a fórmula de Bethe-Bloch

O cálculo da perda de energia pela mecânica quântica foi realizado por Bethe e Bloch.

− 1 ρ

dE

dx ≡ − dE

dt = 2 π N

_A

r

_e²

m

_e

c

²

| {z }

0.1535 M eV·cm².g⁻¹

Z A

z

²

β

²

ln

2 m

_e

γ

²

v

²

T

_max

I

²

− 2β

²

− δ

re Raio clássico do electrão (re = 2.817× 10^{−13 cm)} re = ₄ ^e2

π ε0 mec2

me Massa do electrão (me = 0.511^MeV/c2)

NA Número de Avogadro (Na = 6.023× 10^{23 mol−1)} ρ Densidade do meio material atravessado

z Carga eléctrica da partícula incidente

Z Número atómico do meio material

A Número de massa do meio material

I Energia média de excitação

I Z =

( 12 + _Z⁷ [eV ] (^Z<13)

9.76 + 58.8Z^−1.19 [eV] (^Z>=13)

β Velocidade da partícula incidente (β = ^v_c⁾ γ Factor de Lorentz (γ⁻¹ = p

1 − β²⁾ δ Correcção de densidade

Tmax Energia máxima transferida na colisão

T 2 m c² β² γ^{2 (}M >> m ⁾

dE

dx : a correcção de densidade ( δ ⁾

A partícula incidente no material polariza os átomos e desta forma os electrões mais afastados vêem um campo eléctrico menor. A correcção de densidade δ é aplicada para se ter em conta o facto de os electrões mais distantes contribuirem então menos para a perda de energia.

δ =



 



 



0 X < X

0

4.6052 · X + C + a (X

1

− X )

^m

X

0

< X < X

1

4.6052 · X + C X > X

1

X = log (βγ ) = log



 1 q

1

β²

− 1





Material I [eV] -C a m X1 X0

Plástico Cintilador 64.7 3.20 0.1610 3.24 2.49 0.1464

Ar 85.7 10.6 0.1091 3.40 4.28 1.742

Água (H2O) 75 3.50 0.0911 3.48 2.80 0.24

Chumbo (Pb) 823 6.20 0.0936 3.16 3.81 0.3776

Ferro (fe) 286 4.29 0.1468 2.96 3.15 -0.0012

Alumínio (Al) 166 4.24 0.0802 3.63 3.01 0.1708

Perda de energia do muão ( µ ^{) no Cobre}

dE

dx : dependência na energia

A perda de energia de uma partícula carregada mostra uma dependência com a velocidade que varia para diferentes regiões de velocidade.

✔ Para muito baixas velocidades ( β < 0.05 ), a fórmula de Bethe-Bloch deixa de se verificar. Neste domínio em que a velocidade da partícula é comparável à velocidade dos electrões atómicos, a partícula atrai electrões diminuindo a sua carga efectiva e desta forma a perda de energia diminui.

✔ Para velocidades da partícula na região β ∼ [0.05, 0.1] a perda de energia é dominada pelo factor

1/β

²

, diminuindo até um valor mínimo obtido em β ∼ 0.96 ^ou γβ ∼ 3.5 ; este valor de

^dE_dx

mínimo é conhecido como minimum ionizing value.

A dependência da perda de energia ^dE_dx

∝

¹

β²

∝

^M

E na massa é usada para a identificação de partículas nesta região de velocidades.

✔ Para velocidades acima do

^dE_dx

mínimo, o termo ln(γβ) domina, dando origem à região de

relativistic rise.

Energy loss

✔

A perda de energia por colisões atómicas só depende da velocidade da partícula incidente

✔

^dE

dt

∝ β

^−5/3

✔

^dE

dt

|

min

∼ 2

^MeV.cm2/g

dE

dx : desenvolvimento e aproximações

Desenvolvendo :

ln

2m_eγ²v²T_max I²

= ln

2mec² I

γ²v² c²

Tmax

I

= ln

2mec² I

+ ln

γ²v² c²

+ ln

Tmax

I

e tendo em conta que para massas

M >> m

_e ^:

T

_max

∼ 2m

_e

c

²

β

²

γ

^{2, vem :}

ln

2m_eγ²v²T_max I²

= ln

2mec² I

+ 2 ln (γβ) + ln

2mec² I

+ 2 ln (γβ) = 2 ln

2mec² I

+ 4 ln (γβ)

A perda energia vem então expressa como :

1 ρ dE

dx

≃

^0.1535_β²

Z

|{z} A

∼0.5

z

²

h

2 ln

2 me c² I

+ 4 ln (γβ) − β

²

−

^δ₂

i

[M eV.cm

²

.g

⁻¹

]

Ou numa aproximação mais grosseira : ¹_ρ ^dE_dx

≃

^0.1535_β⁵/3

z

²

h ln

2 me c² I

i [M eV.cm

²

.g

⁻¹

]

Silicium Z=14

ρ = 2.33

^gr/cm3

1

β²

= 1 +

1 γβ

₂

1 10

1 10 100

gamma*beta dE/dx Silicium

f1(x) f2(x)

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

1 10

gamma*beta dE/dx Silicium

1-f2(x)/f1(x)

Perda de energia no detector AMS

✔

AMS : detector a instalar na Estação Espacial Internacional (ISS) em 2009

✔

Faz identificação de partículas (e, p, He,...) e caracterização em velocidade, momento linear, energia, carga eléctrica

✔

A carga eléctrica é medida pela deposição de energia em 6 planos de silício (300

µ

m de espessura)

2 −5/3 2

m

₂

Range da partícula

Uma dada partícula de energia

E

₀ ^{e massa}

M

penetra num meio material perdendo energia nas colisões atómicas por excitação e ionização à taxa ^dE

dx dada pela fórmula de Bethe-Bloch. Desprezando o efeito do multiple scattering, a distância de paragem da partícula (particle range) é dada por :

R =

Z

_R

0

dx =

Z

_{M c}²

E0

dE

+

^dE_dx

=

Z

_E0

M c²

dE −

^dE_dx

Na região de baixas velocidades,

γβ > 2 ⇒

E0

M

> √

5 ⇒ E

₀

> √

5M c

²

pode-se usar a expressão aproximada para a perda de energia :

−

dE dx

=

_β^κ2.

Tendo em conta que :

β

²

= 1 −

M c² E

2

Vem :

R =

Z

_E0

M c²

"

1 −

M c

²

E

2

# dE

κ = 1 κ

E

⁰

+ Mc

²

Mc

²

E

0

− 2

= 1 κ

T

²₀

E

0

[cm]

Muon range on water

Question

Evaluate the maximal energy a muon (

m

_µ

= 105 M eV /c

²) can have to stop within a water reservoir

h = 30

^{cm heigh.}

✔

Take the aproximated Range equation and have it equal to

h h =

_κ¹

h

E

₀

+ M c

²

M c²

E0

− 2 i

✔

Maximal energy :

T

₀

= E

₀

− M c

²

=

^{h κ}₂

1 + q

1 + 4

^{M c}_{h k}²

✔

water (

ρ = 1 gr/cm

^{3) :}

κ ∼ 0.1535

| {z }

[M eV /cm]



 

  ln

2 m

_e

c

²

I

| {z }

9.5

+ · · ·



 

  ∼ 1.46 [M eV /cm]

T

₀

∼

¹₂

30 1.46

1 + q

1 +

_{30 1.46}^{4 105}

∼ 93 M eV

E ⁰

R

Energy loss of light particles (electrons and positrons)

✔ Electrons and positrons lose energy by ionization (as heavier particles do) and also by radiation, due to their small mass :

dE dx

tot = ^dE

dx

coll + ^dE

dx

rad

✔ Radiation occurs when the incident particle accelerates under the effect of the atomic coulombian field produced by the nucleus charge ( Ze ^{) and}

atomic electrons ( e ^).

✔ The electrical field contribution of the electrons to the radiating power can be neglected ( e/Ze ) ; although, its presence can shield the nuclear

charge seen by the incident particle.

✔ At high energies the radiation loss can be the prevaling mode.

Energy loss electrons and positrons : ionization

✔ For electrons crossing matter, the energy loss ionization mechanism involves colllisions between identical particles.

✔ Cross-section for the scattering of a relativistic electron with kinetic energy E from a free electron acquiring a kinetic energy w _{(Moller) :}

dσ

dw

= 2π

_m^e4

ev²

h

1

w²

−

¹

w(E−w)

mec²(2E+mec²)

(E+mc²)²

+

_(E−¹_w)²

+

_(E+m¹

ec²)²

i

✔ The energy loss due to collisions is obtained by integration the collision probability times the transfered energy :

^dE_dx

= R

w n

e

dσ dw dw

| {z }

P_int

dE

dx

≃ 2 π N

_A

r

_e²

(m

e

c

²

) ρ

^Z_{A β}¹2

ln

1 2

m_ec² I

2

(γ + 2)

³

+ F

T m_ec²

+ · · ·

F (T /(m

e

c

²

) , depends on the electron charge sign.

T

m_ec²

= γ − 1 , is the electron kinetic energy expressed in terms of its mass.

✔ For relativistic electrons ( β → 1 ^{), the}

^dE_dx

obtained from above is essentially the same obtained

Energy loss : bremsstrahlung

✔

The strength of the electric field felt by the incident particle of mass

M

^{and charge}

z

, depends on the amount of screening from the electrons around the nucleus.

✔

For a particle of energy

E

_i that radiates a photon of energy

κ

, the effect of the screening can be parametrized in terms of :

E

_f

= E

_i

− κ

, final electron energy

t =

^{100 mec2 k}

E_i E_f Z^1/3

=

^{100 mec2}

Z^1/3

k/E_i E_i(1−k/E_i)

✔

The radiated power depends on the charge acceleration :

dE

dt

=

²₃ ^e_c²3

a

²

✔

The bremsstrahlung differential cross-section for a particle of energy

E

radiating a photon of energy

κ

in the field of a nucleus of charge

Z

is (in the limit of complete screening,

t → 0

^{) :}

dσ

dκ

≃ 5 α z

⁴

Z

²

r

_e² _κ^{1 m}_M^e

2

h

1 +

_E^κ

2

−

²_{3 E}^κ

i

ln

183 Z^1/3

M m_e

The contribution of the atomic electrons can be included by replacing

Z

²

→ Z ( Z + 1 )

^.

✔

The energy loss :

dE dx

rad

= n

a

|{z}

n_a=N_AA^ρ

E 1 E

Z

_E⁻_{M c}²

0

κ dσ dκ dκ

| {z }

σ_rad

Energy loss : critical energy ( E _c ⁾

✔

The radiative total cross-section, obtained by integrating in the photon energy range, is given for the complete screening aproximation by :

σ

_rad

≃ 4 α Z (Z + 1) z

⁴

r

_e^{2 m}_M^e

2

ln

183 Z^1/3

M m_e

✔

and therefore the energy loss :

−

dE dx

rad

= N

_{A A}^ρ

E σ

_rad

≃ E z

⁴

m

e

M

₂

4 N

_A

ρ

A α r

²_e

Z(Z + 1) ln

183 Z

^1/3

M m

_e

| {z }

1 X0

−

dE dx

rad

=

_X^E

0 , where

X

₀ ^{is the} radiation length

✔

The critical energy (

E

c) is the energy above which the radiation losses become dominant over the collision losses :

(

^dE_dx

)

_rad

(

^dE_dx

)

_col

∼ z

^{2 E m}_M2^e 2

π

α (Z + 1)

^ln

₁₈₃

Z1/3 M me

2 ln

mec2

I

+4 lnγ

E

c

∼ 600

1 z

M me

2 1

Z+1 [MeV]

_m

µ

₂

4

Copper

X₀ = 12.86 g cm⁻² E_c = 19.63 MeV

dE/dx × X0 (MeV) 20 30 50 70 100 200

40

Brems = ionization Ionization Rossi:

Ionization per X₀

= electron energy

Total

Brems≈E Exactbrem

sstrahlung

Energy loss for electrons : bremsstrahlung

✔ The bremsstrahlung differential cross-section for an electron of energy E radiating a photon of energy κ in the field of a nucleus of charge Z or an electron is (in the limit of complete screening, t → 0 ^{) :}

dσ

dκ

≃ 4 α Z(Z + 1) r

_e² _κ¹

h

1 +

_E^κ

2

−

²_{3 E}^κ

i

ln

_Z¹⁸³¹/3

✔ The energy loss :

^dE

dx

rad

= E N

_A

ρ

A 4 α Z (Z + 1) r

_e²

ln

183 Z

^1/3

| {z }

1 X0

=

_X^E

0

✔ The critical energy : E

_c

∼

_Z+1⁶⁰⁰

^[MeV]

✔ The number of radiated photons above a certain photon energy κ

_th

along a path L ^{is :} N

_γ^bremss

= R

L

R

κmax

κth

N

_A

ρ

| {z } A

na

dσ

dκ

dκ dx =

_X^L₀

R

κmax

κth

₁

k

+

_E^κ2

−

²_{3 E}¹

dκ

Electrons energy loss : critical energy

2 5 10 20 50 100 200

Copper

X₀= 12.86 g cm⁻² E_c= 19.63 MeV

dE/dx × X0 (MeV)

Electron energy (MeV) 10

20 30 50 70 100 200

40

Brems = ionization Ionization Rossi:

Ionization per X₀

= electron energy

Total

Brems≈E Exactbrem

sstrahlung

Ec (MeV)

Z

1 2 5 10 20 50 100

5 10 20 50 100 200 400

610 MeV________

Z + 1.24

710 MeV________

Z + 0.92

Solids Gases

H He Li Be B C NO Ne Fe Sn

Electron energy loss : radiation length

✔

The radiation length,

L

0, corresponds to the mean interaction length for the radiation process :

1

L0

= n

_a

σ

_rad

= N

_{A A}^ρ

σ

_rad

1

L0

≃ 4 N

_{A A}^ρ

α Z

²

r

_e²

h ln

183 Z^1/3

i [cm

⁻¹

] X

₀

= L

₀

ρ ≃

716.4 [g.cm⁻²] A

Z(Z+1) ln₂₈₇

√Z

✔

energy loss due to radiation :

−

dE dx

=

_X^E

0

⇒ E = E

₀

e

^−Xx0

✔

Total energy lost :

−

dE dx

tot

∼ a +

_X^E

0

where

a

is the collision energy loss assumed essentially energy independent.

Mat. ρ^(g.cm−3) L^{0 (cm)}

H^{2 0.0708 891}

He ^{0.125 755}

Li ^{0.534 155}

Be ^{1.85 35.3}

B ^{2.37 22.2}

C ^{2.27 18.8}

N^{2 0.808 47.0}

O^{2 1.14 30.0} N e ^{1.20 24.0}

Al ^{2.70 8.89}

F e ^{7.86 1.12}

P b ^{11.37 0.56}

Air ^{0.0012 30050.}

H²O 1.0 36.1

Scint. ^{1.03 42.4}

Muon energy loss : critical energy

/home/sierra1/deg/dedx/rpp_mu_E_loss.pro Thu Apr 4 13:55:40 2002

Muon energy (GeV) dE/dx (MeV g−1 cm2 )

H (gas) total

U total Fe total

Fe brems Fe nucl

0.1 1 10 100 1000

10² 10

1 10³ 10⁴ 10⁵

Fe pair

Fe ion

Fe radiative total

___________

(Z + 2.03)^0.879

___________

(Z+ 1.47)^0.838

100 200 400 700 1000 2000 4000

Eµc (GeV)

1 2 5 10 20 50 100

Z

7980 GeV

5700 GeV

H He Li Be B C N O Ne Fe Sn

Solids Gases

Cosmic muons flux : dEdx effect

Question

Evaluate the cosmic muon flux arriving at a detector under an amount

h of matter (rock, Z = 11, A = 22, ρ = 3 gr/cm

³

^).

✔ The muon flux arriving at the earth surface follows a law :

Φ

0

(E

0

) = A E

^{−α [m−2.sr−1.s−1.GeV−1]}

1 10 100 1000

100.

1000.

p_µ [GeV/c]

pµ1.7 dN/dpµ [m−2 s−1 sr−1 (GeV/c)1.7 ]

00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000

11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 1111111111111111111100000000000000000000000000000000000

11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111

(E ₀ )

Detector

Φ ⁰

Rock

Bibliografia

Books

✔

The Review of Particle Physics

C. Amsler et al. (Particle Data Group), Physics Letters B667, 1 (2008)

✔

Detectors for Particle Radiation K. Kleinknecht

Cambridge University Press

✔

Classical Electrodynamics J.D.Jackson

Reviews

✔

Physics of Particle Detection Claus Grupen

arXiv :physics/9906063