LAC-PTC-EPUSP. Controle H - Aula 8. Prof. Diego Colón. 3 de novembro de 2020

Texto

(1)Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Controle H∞ - Aula 8 Prof. Diego Colón. 3 de novembro de 2020. 1.

(2) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Sistemas MIMO 1. Um sistema LIT MIMO é um operador que transforma um sinal de entrada u : [−∞, +∞] → Rm em um sinal de saída y : [−∞, +∞] → Rn ; Este é uma transformação linear entre dois espaços vetorias n G : Lm p [−∞, +∞] → Lr [−∞, +∞], ambos de dimensão innita; Sabemos, da Álgebra Linear, que transformações lineares entre espaços de dimensão nita são representados por matrizes, e que as matrizes de um determinado tamanho também pertencem a espaços vetoriais. Como os espaços vetoriais de sinais Lnp [−∞, +∞] têm dimensão innita, é razoável supor que os sistemas LIT (que são transformações lineares) também pertençam a espaços vetoriais de dimensão innita. 2.

(3) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Sistemas MIMO 2. De fato, sabemos que a relação entre entrada e saída em um sistema LIT MIMO é dada pela convolução: y(t) =. Z. 0. ∞. G (t − τ )u(τ ) dτ = G ? u,. (1). de modo que podemos pensar que a convolução de G (t) (resposta ao impulso do sistema, que é uma função com valores matriciais) com o sinal de entrada u(t) corresponde a uma transformação linear L. Como G (t) também é um sinal, o espaço dos sistemas LIT é também de dimensão innita.. 3.

(4) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Sistemas MIMO 3. Para denir as duas normas mais importantes para controle robusto, precisamos falar dos espaços: Ln,m 2 (jR): espaço de Hilbert das matrizes de funções de transferência n × m, que têm produto interno: 1 hF , G i = 2π. ∞. Z. −∞. trace (F † (jω)G (jω)) dω,. (2). trace (F † (jω)F (jω)) dω.. (3). e cuja norma é então: s. kF k2 =. 1 2π. Z. ∞. −∞. Para que esta norma seja nita, é necessário que as funções de transferência sejam estritament próprias. 4.

(5) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Sistemas MIMO 4. n,m O espaço RLn,m 2 (jR) ⊂ L2 (jR) é o subespaço das matrizes de funções racionais estritamente próprias e que não tem pólos em jR. Ln,m ∞ (jR), que é o espaço de Banach das matrizes de funções de transferência G (jω) com norma:. kF k∞ =. esssupω∈R σ̄(F (jω)).. (4). n,m O espaço RLn,m ∞ (jR) ⊂ L∞ (jR) é o espaço das matrizes de funções de transferência racionais e próprias e que não tem pólos em jR.. 5.

(6) H2. e. H∞. - 1. Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Hardy. Para denir os chamados espaços de Hardy, é necessário apresentar o conceito de: Denição (Função Analítica). f : S ⊂ C → C é analítica em z0 ∈ S se f for diferenciável em z0 e em alguma vizinhança deste ponto. Ela analitica em S se for analítica em todos os pontos de S .. Uma função. é. Uma função analítica em S pode ser representada unicamente por série de Taylor em S . Da mesma forma, uma matriz de funções complexas F : S ⊂ C → Cn×m é analítica se todas as funçoes componentes Fij (s) forem analíticas.. 6.

(7) H2. e. H∞. - 2. Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Hardy. Teorema (Teorema do Módulo Máximo) Se. f (s). é uma função analítica não constante em um conjunto. aberto e conexo. S ⊂ C,. então. |f (s)|. não pode ter um máximo em. S:. Este teorema é importante para nós porque as funções de transferência estáveis são analíticas no semiplano direito aberto. Deste modo, o teorema garante que o máximo do módulo destas funções não pode ser no semiplano direito aberto.. 7.

(8) H2. e. H∞. - 3. Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Hardy. Entretanto, os sistemas que estamos interessados fazem parte de subespaços. Mais especicamente, estamos interessados nos chamados espaços de Hardy: H2 ⊂ Ln,m 2 (jR), que é o espaço das matrizes de funções de transferência que são analíticas no semiplano direito e tal que kF k2 < ∞. O subespaço RH2 ⊂ H2 é o das matrizes de funções de transferência racionais, estritamente próprias e analíticas no semiplano direito. H∞ ⊂ Ln,m ∞ (jR) é o espaço das matrizes de funções de transferência analíticas no semiplano direito e limitadas em jR. O subespaço RH∞ ⊂ H∞ é o espaço das matrizes de funções de transferência analíticas no semiplano direito, racionais e próprias (não necessariamente estritamente própias). 8.

(9) H2. e. H∞. - 4. Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Hardy. Finalmente, cabe destacar algumas propriedades: 1 O espaço RH∞ é fechado por multiplicação por escalar, soma e produto. 2 A norma H∞ do sistema F (s) vale: kF k∞ =. kyk2 , 0<kuk2 <∞ kuk2 sup. (5). ou seja, esta norma representa o ganho máximo de energia do sinal (que ocorre para alguma direção).. 9.

(10) H2. e. H∞. - 5. Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Espaços de Hardy. O sistema LIT MIMO dado pela matriz de funções de transferência: ". G (s) =. 2.188 s 2 +6.973s+2.021 −0.04673s 2 −1.007s+11.63 s 4 +13.81s 3 +53.41s 2 +65.71s+7.14. 0. −1.062s+8.846 s 2 +10.83s+20.82. #. (6). Sabemos de antemão que este sistema é estável; Usando a função hinfnorm do MATLAB, achamos que kG k∞ = 1.988, que é 5.97 dB. Isto signica que este sistema tem um ganho de energia que pode chegar até quase dois (poderia ter sido usada norm(.,inf)) Usando norm(.,2), achamos que kG k2 = 0.7379 10.

(11) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 1. Sistemas lineares e invariantes no tempo são representados por sistemas de equações diferenciais lineares com coecientes constantes. Na representação em espaço de estados, as equações diferenciais são todas de primeira ordem, e as saídas são dadas como combinações lineares das entradas e dos estados:  ẋ1 (t) = a11 x1 (t) + · · · + a1n xn (t) + b11 u1 (t) + · · · + b1m um (t)     ẋ2 (t) = a21 x1 (t) + · · · + a2n xn (t) + b21 u1 (t) + · · · + b2m um (t)    . .. .. .. .. .. .. ẋn (t) = an1 x1 (t) + · · · + ann xn (t) + bn1 u1 (t) + · · · + bnm um (t). 11.

(12) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 2. que poderia ainda ser colocada na forma matricial, que é: .   ẋ1 (t) a11  ẋ2 (t)   a21     . = .  ..   .. ẋn (t). an 1. ··· ··· . . .. ···.    b11 a1n  x (t) 1  b21 a2n    ..   + .. .  . .   . . xn (t) bn1 ann. 12. ··· ··· . . .. ···.   b1m  u1 (t) b2m    . .  .  . .  . um (t) bnm.

(13) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 3. Denem-se então as matrizes . a11 a12 · · ·  a21 a22 · · ·  A= . .. ..  .. . . an1 an2 · · ·. .  a1n a2n     ann. b11 b12 · · ·  b21 b22 · · ·  B= . .. ..  .. . . bn1 bn2 · · ·.  b1m b2m     bnm. Teorema. No domínio do tempo, pode-se provar que x(t) é dado por:. x(t) =. e At x(0) | {z }. t. Z. +. resposta livre. 0. |. 13. e A(t−τ ) B u(τ ) dτ {z }. resposta forçada. (7).

(14) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 4. Se u(t) ≡ 0, tem-se simplesmente que x(t) = e At x(0) As saídas de um sistema representam as variáveis que podem ser medidas diretamente. Em sistemas de controle, as saídas são as leituras fornecidas pelos sensores. Os estados, ao contrário, não são em geral mensuráveis (muitas vezes, são variáveis que nem sequer tem signicado físico).. 14.

(15) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 5. Denição (Equações de Saída de um Sistema) Supondo que o sistema possua. . y1 (t)  y2 (t)   .  ...  c11   c21   = .   ... ··· ···. cp 1. ···. . yp (t). p. saídas, elas são calculadas por:.    c1n  d11 x1 (t)   d21 c2n     .   .. + . . .   .. . xn (t) cpn dp1. . . .. ··· ··· . . .. ···.   d1m  u1 (t) d2m    . .   . . .  . um (t) dpm. Denem-se então as matrizes c11  c21  C = .  ... c12 c22. ··· ···. . . .. . . .. cp1. cp 2. ···. .  c1n c2n    . d11  d21  D= .  ... d12 d22. ··· ···. . . .. . . .. dp1. dp2. ···. . cpn. 15.  d1m d2m     dpm.

(16) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 6. Denição (Representação em Espaço de Estados). Um sistema linear e invariante no tempo em espaço de estados é então um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem da forma:. ẋ(t) = Ax(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t). Teorema (Solução Geral no Domínio do Tempo). A solução geral, no domínio do tempo, para o sistema (??) é dada por. y(t) = Ce At x(0) +. Z. 0. t. Ce A(t−τ ) B u(τ ) dτ + D u(t). 16. (8).

(17) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 7. Fica claro então que, para condições iniciais nulas, isto é x(0) = 0, tem-se que e relação entre estrada e saída é dada por um operador que relaciona y(t) e u(t). Aplicando-se a Transforma de Laplace nas equações de estado, tem-se: s X(s) − AX(s) = (sI − A)X(s) = B U(s) + x(0). Para os valores de s onde a inversa de (sI − A) existe, tem-se que X(s) = (sI − A)−1 B U(s) + (sI − A)−1 x(0). |. {z. }. resposta forçada. |. {z. (9). }. resposta livre. Substituindo-se X (s) na segunda equação do sistema (equação de saída) tem-se que:. Y(s) = |[C (sI − A){z−1 B + D]} U(s) + C (sI − A)−1 x(0) G (s). 17. (10).

(18) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 8. G (s) é uma matriz p × m (deve ter obviamente as mesmas dimensões da matriz D ) conhecida como matriz de funções transferência. MIMO como:. de. do SLIT. Deste modo, representamos o sistema . G11 (s) G12 (s) · · ·  G21 (s) G22 (s) · · ·  G (s) =  .. .. ..  . . . Gp1 (s) Gp2 (s) · · ·.  G1m (s) G2m (s)     Gpm (s). onde Gij (s) relaciona a entrada uj com a saída yi. 18.

(19) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 9. Exemplo. O sistema a seguir representa uma planta de controle de temperatura e vazão de ar, onde um termopar, que corresponde à saída 2, mede a temperatura (de 0 a 10 volts) e um sensor de vazão mássica, que corresponde à saída 1, mede a vazão (de 0 a 10 V). As entradas são a tensão aplicada em uma resistência (para aquecimento), que é a entrada 2, e a tensão aplicada em um ventilador, que é a entrada 1 (tudo de 0 a 10 V). Atrasos de transporte foram aproximados por Padè..

(20) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 10. A representação em espaço de estados é dada por:  −47.48 −17.57 −2.284 32.0 0 0 0 0 0 0 0.   A= . C =. 0 2.0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0.  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  −5.919 −2.013 −0.7554 0 0 0  4.0 0 0 0 0 0  0 0.5 0 0 0 0  0 0 0 −25.8 −11.64 −5.288 0 0 0 16.0 0 0 0 0 0 0 4.0 0. 0 −0.05956 0.6204 0 −0.04276 0.3421 0 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0 0 −4.013 8.36. Os autovalores deste sistema são:. B.  0.5. 0  0 0 0 0  0 0.25    = 0 0   0 0  0 8.0 0 0 0 0 (11). D = [ 00 00 ]. λ1 = −26.3852, λ2 = −20.8333, λ3 = −0.2660, λ4 = −4.0000, λ5 = −1.6961, λ6 = −0.2227, λ7 = −14.7059, λ8 = −8.3333 e λ9 = −2.7617, o que mostra que se trata de um sistema estável.. 20.

(21) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 11. Este sistema também é controlável e observável, e a correspondente matriz de funções de transferência é: . G (s) =. −0.935s+19.85 s 3 +47.48s 2 +562.3s+146.2 −0.04276s+0.171 s 3 +5.919s 2 +8.053s+1.511. 21. 0. −513.6s+4280 s 3 +25.8s 2 +186.2s+338.4. . (12).

(22) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 12. Singular Values. 40 20. Singular Values (dB). 0. -20 -40 -60 -80. -100 -120. -140 10 -2. 10 -1. 10 0 10 1 Frequency (rad/s). 10 2. Figura: Valores Singulares da Matriz de G (jω). 22. 10 3.

(23) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 13. Usando a função hinfnorm do MATLAB, achamos que kG k∞ = 12.6475, que é 22.0401 dB. A resposta ao degrau unitário em cada entrada é apresentada na Fig. 2. Vê-se claramente que o sistema é de fase não-mínima. Nota-se que resposta da entrada dois para a saída um é nula, isto porque a função de transferência relacionando estes sinais é nula. Isto porque a resistência de aquecimento não afeta a vazão de forma perceptível.. 23.

(24) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo MIMO - 14 Step Response. From: In(1). From: In(2). 0.1. 0.05. Amplitude. To: Out(1). 0.15. 0 15. To: Out(2). 10. 5. 0. 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30 0. 5. Time (seconds). Figura: Resposta ao Degrau. 24. 10. 15.

(25) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 1. Um sistema em malha fechada MIMO tem um diagrama de blocos apresentado na Fig. 3. Este diagrama de blocos é similiar ao usado para sistemas SISO. Entretanto, a ordem da multiplicação de matrizes importa. Ou seja, tem-se que GK 6= KG . Deste modo, a expressão que relaciona saída com sinais de entrada é dada por: Y = G U + Gd D = GK E + Gd D = GK (R − N − F Y ) + Gd D. considerando F ≡ I (identidade), tem-se que (I + GK )Y = GK R − GK N + Gd D de modo que, se multiplicarmos à esquerda nos dois lados da igualdade por (I + GK )−1 : Y = (I + GK )−1 GK R − (I + GK )−1 GK N + (I + GK )−1 Gd D | {z } | {z } | {z } T. T. 25. S.

(26) R(s). Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 2. +. E(s). -. D(s). Gd(s). K(s). G(s). U(s). +. +. F(s). N(s). Figura: Diagrama de Blocos MIMO Usado em Controle Robusto. 26. Y(s).

(27) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 3. Para o caso do erro teórico em função das entradas, temos que: E = R − Y = R − (T R − T N + SGd D) =. (I − T )R + T N − SGd D = S R − SGd D + T N (13). Deste modo, supondo, por facilidade que Gd ≡ 1, então temos que: E = SR − SD + T N. 27.

(28) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 4. Sabemos que a norma induzida da matriz S(jω) é dada por: kS(jω)k2 = σ̄(S(jω)) = max U6=0. kS(jω)U(jω)k2 kU(jω)k2. onde U é um vetor arbtrário em função da frequência. Em particular, R(jω) poderia ser um vetor de exponenciais complexas do tipo Ai e j(ωt+φi ) = Ai e jφi e jωt , que é simplesmente um vetor complexo multiplicado por e jωt : kE(jω)k2 ≤ σ̄(S(jω))kR(jω)k2 qX. qX Ei2 ≤ σ̄(S(jω)) Ri2. 28.

(29) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 5. O máximo valor singular fornece, para cada frequência, o máximo ganho, que corresponde a uma determinada direção. Deste modo, as amplitudes de erro Ei carão bastante reduzidas se σ̄(S(jω)) for pequeno. Se o projeto do controlador K (jω) for tal que σ̄(S(jω)) seja pequeno nas baixas frequências, signica que se r(t) for um vetor de senóides de frequência ω que esta nesta faixa, então o vetor R(jω) tem norma pequena nesta faixa, As amplitudes dos números complexos também são pequenas nesta faixa. Isto singica que o vetor de erros nesta faixa de frequência também tem amplitude pequena.. 29.

(30) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 6. Não costuma se usar, em sistemas MIMO, nada parecido com o Método do Lugar das Raízes do Controle Clássico. Primeiramente porque os controladores MIMO do tipo K (s) em geral dependem de muitos parâmetros a serem determinados pelo projetista. Além disso, até onde vai o conhecimento deste autor, não há regras simples para se esboçar esta lugar geométrico, mesmo que o controlador só dependesse de um parâmetro (o que já o limitaria muito).. 30.

(31) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 7. Para o caso do sistema que estamos analisando, podemos plotar os valores singulares da matriz de funções de transferência S(jω) para o caso de um controlador K (s) = kI , que é apresentado na Fig. 4. Este controlador é equivalente a realimentar a saída i na entrada i com ganho k . Os valores de k variam de 0.02 a 0.24 em intevalo de 0.02. Para o valor k = 0.24, temos que kSk∞ = 26.1542 (em decibéis), e para k = 0.25, o sistema já ca instável. Neste último caso estável, teríamos σ̄(S(jω)) = −0.277 dB, o que representa uma atenuação muito pequena. Então, o erro estacionário deve ser grande nesta situação. Exemplos.

(32) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 8. Singular Values. 30 25. Singular Values (dB). 20 15 10 5 0. -5. -10. -15 10 -2. 10 -1. 10 0 10 1 Frequency (rad/s). 10 2. Figura: Valores Singulares da Matriz de S(jω). 32. 10 3.

(33) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 9. O pico de ressonância indica a presença de um pólo próximo do eixo imaginário, como pode ser vericado na resposta ao degrau unitário, apresentado em Fig. ??.. 33.

(34) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 10. De modo a ter baixo erro estacionário e menor sobressinal (além de maior roubustez) é necessário que σ̄(S(jω)) seja pequeno nas baixas frequências e que kSk∞ = esssupω σ̄(S(jω)) não seja alto (tipicamente, menor que 2). Pela denição de T e S , claramente se vê que S + T = I , e como σ̄(S) é uma norma, então: |σ̄(S) − σ̄(T )| ≤ σ̄(S + T ) = σ̄(I ) = 1 ≤ σ̄(S) + σ̄(T ). 34.

(35) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 11. L(jω) = G (jω)K (jω) tipicamente tende a zero para ω → ∞, o que faz com que S(jω) → I , o que faz com que σ̄(T )(jω) → 0. Ainda. existe uma identidade tal que:. σ(L) − 1 ≤. 1. σ̄(S). ≤ σ(L) + 1. deste modo, se queremos erro estacionário pequeno em baixas frequências, temos que fazer σ(L) alto nestas frequências, ou seja, o menor ganho deve ser sucientemente grande. Não basta então que σ̄(L), porque isso não garante que σ(L) também o seja.. 35.

(36) Pr LA of. C Di -P e TC go -E Co PU ló SP n. Sistema em Malha Fechada MIMO - 12. Podemos também lançar mão do conceito de função peso wp (s), que aqui usaremos em letra minúscula para não confundir com matriz de peso Wp (s). Deste modo, podemos impôr, como condição de desempenho: σ̄(S)(jω) <. 1. |wp (jω)|. Por m, podemos denir a banda-passante ωB como sendo a frequência onde σ̄(S)(jω) cruza 0.707 (ou −3dB) na subida.. 36.

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