Cálculo da perda de carga

(1)

Material de apoio à disciplina Máquinas de Fluxo I (ENG03332)

Método de Hardy-Cross

www.ufrgs.br/maqflu

Prof. Alexandre Vagtinski de Paula [email protected]

Porto Alegre - RS, 2015/1, Método de Hardy-Cross, Slide 2/32 Máquinas de Fluxo I (ENG03332) -www.ufrgs.br/maqflu Prof. Alexandre Vagtinski de Paula [email protected] Universidade Federal do

Rio Grande do Sul

www.ufrgs.br Departamento de Engenharia Mecânica www.ufrgs.br/demec

Cálculo da perda de carga

- Na fórmula de Darcy-Weisbach (ou fórmula universal) necessitamos do valor de f, que nem sempre é transladável de uma situação para outra.

2 V2

D f L

j= Equação de Darcy-Weisbach

- Na verdade podemos apresentar esta equação de diversas formas:

2 V2

D f L j=

2 V2

D f L

j= ρ

g V D f L

j 2

= 2

[J/kg]

[Pa]

[m] - Representação americana

- Representação alemã

KQ2

j=

(2)

- Diversos engenheiros e pesquisadores buscaram desenvolver equações empíricas a partir de observações práticas para solucionar este problema.

- De modo geral, podemos escrever a equação de Darcy como:

p n

D K V j =

- Na verdade, para escoamento turbulento, a perda de carga não varia exatamente com o quadrado da velocidade, mas sim com uma potência que varia normalmente entre 1,75 e 2.

- Darcy adotou um expoente 2 por questões de praticidade:

2 , =

= KQ n

j

ⁿ

Representação alemã:

Escoamento n p

Laminar 1 2

Turbulento 2 1

Rio Grande do Sul

- Se realizarmos uma rápida pesquisa observaremos mais de 100 fórmulas empíricas para o cálculo da perda de carga.

*Tabela extraída da obra de Azevedo Netto, J. M., 1998, “Manual de Hidráulica”, 8ª edição, Edgard Blücher, São Paulo, pp. 142.

Algumas fórmulas práticas

Ano Autor País Ano Autor País

1 1775 Chézy França 21 1877 Fanning Estados Unidos

2 1779 Dubuat França 22 1877 Hamilton Smith Estados Unidos

3 1791 Woltmann Alemanha 23 1878 Colombo França

4 1796 Eytekweub Alemanha 24 1878 Darrach Estados Unidos

5 1800 Coulomb França 25 1880 Ehrmann Alemanha

6 1802 Eisenmann Alemanha 26 1880 Iben Alemanha

7 1804 Prony França 27 1881 Franck Alemanha

8 1825 D’Aubuisson França 28 1883 Reynolds Inglaterra

9 1828 Tadini Itália 29 1884 Thrupp Inglaterra

10 1845 Weisbach Alemanha 30 1886 Unwin Estados Unidos

11 1851 Saint Venant França 31 1887 Stearbs-Brusch Estados Unidos

12 1854 Hagen Alemanha 32 1889 Geslian França

13 1855 Dupuit França 33 1889 Tutton Inglaterra

14 1855 Leslie Inglaterra 34 1890 Manning Irlanda

15 1855 Darcy França 35 1892 Flamant França

16 1867 Ganguillet-Kutter Suiça 36 1896 Lang Alemanha

17 1867 Levy França 37 1898 Fornié França

18 1868 Bresse França 38 1902 Hiran-Mills Estados Unidos

19 1868 Gauckler França 39 1903 Christen Estados Unidos

20 1873 Lampe Alemanha 40 1903 Hazen-Williams Estados Unidos

(3)

- Estas fórmulas já completaram um século.

- A indústria de materiais e as técnicas de fabricação evoluíram bastante desde então.

- Em 1903, Allen Hazen e Gardner S. Williams propuseram uma fórmula prática, fruto de cuidadoso estudo estatístico e de ampla aceitação, devido ao uso e às conformações experimentais:

Coeficiente adimensional (Tabelado)

87 , 4 85 , 1

85 ,

643 1

, 10

D C

j = Q Fórmula de Hazen-Williams no S.I.

[m]

[m³/s]

[m/m]

Como são os tubos hoje?

- Superfície interna mais homogênea e favorável ao escoamento - São mais longos (menor número de juntas)

- Melhor conhecimento dos processos de corrosão

85 , 1

, =

= KQ n

j

ⁿ

Representação alemã:

Rio Grande do Sul

- Assim, a fórmula de Hazen-Williams é teoricamente correta, pois a soma dos expoentes “n” e “p”, que é 3,02, apresenta uma diferença desprezível sobre o valor teórico.

- Os expoentes “n” e “p” foram escolhidos de maneira que:

Coeficiente C

- Tenha menor variação para tubos de mesmo grau de rugosidade - É praticamente uma função exclusiva da natureza das paredes - Este é um bom parâmetro para se estimar o envelhecimento dos tubos

Expressões propostas e a relação entre os expoentes de “V” e “D”

Autor Fórmula

(aspecto geral)

Expoentes de Soma dos expoentes

“V” “D”

Darcy j = K₁V²/D 2 1 3

Levy-Vallot j = K₂V²/D^1,33 2 1,33 3,33

Manning j = K₃V²/D^1,33 2 1,33 3,33

Flamant j = K₄V^1,75/D^1,25 1,75 1,25 3

Biegeleisen-Bukowsky j = K₅V^1,9/D^1,1 1,9 1,1 3 Lawford j = K₆V^1,87/D^1,127 1,87 1,127 2,997

Scobey j = K₇V²/D^1,25 2 1,25 3,25

Fair, Whipple e Hsiao j = K₈V^1,88/D^1,12 1,88 1,12 3 Hazen-Williams j = K₉V^1,85/D^1,17 1,85 1,17 3,02

(4)

Valor do coeficiente C sugerido para a fórmula de Hazen-Williams*

Tubos Novos Usados

±10 anos

Usados

±20 anos

Aço corrugado (chapa ondulada) 60 - -

Aço galvanizado roscado 125 100 -

Aço rebitado, novos 110 90 80

Aço soldado, comum (revestimento betuminoso) 125 110 90

Aço soldado com revestimento epóxico 140 130 115

Chumbo 130 120 120

Cimento-amianto 140 130 120

Cobre 140 135 130

Concreto, bom acabamento 130 - -

Concreto, acabamento comum 130 120 110

Ferro fundido, revestimento epóxico 140 130 120

Ferro fundido, revestimento de argamassa de cimento 130 120 105

Grés cerâmico, vidrado (manilhas) 110 110 110

Latão 130 130 130

Madeira, em aduelas 120 120 110

Tijolos, condutos bem executados 100 95 90

Vidro 140 140 140

Plástico (PVC) 140 135 130

Rio Grande do Sul

Solução de problemas típicos de escoamentos em tubos

- Sistemas de passo único (de uma trajetória) - SIMPLES - Conhecida a vazão, determinar a perda de carga

- Conhecidos o comprimento e o diâmetro, determinar a vazão - Conhecidos o comprimento e a vazão, determinar o diâmetro - Sistemas de múltiplos passos (de múltiplas trajetórias) - COMPLEXOS

Reservatório

1 2 4 3

5 6 7 8 9 10 11 Condutos principais

(alimentam os secundários) - são de maiordiâmetro

Condutos secundários (abastecem diretamente os

pontos de consumo)

- são de menordiâmetro Nó

Reservatório

Anel externo

Malha

- Redes seccionadas ou ramificadas

(derivações múltiplas) - Redes fechadas ou malhadas

(5)

Dimensionamento de redes fechadas segundo o método de Hardy-Cross

-É um método de dimensionamento de redes fechadas de distribuição, aplicado aos condutos principais dispostos em anéis ou circuitos fechados.

-Não se destina ao estudo de redes tipicamente ramificadas.

-Utiliza um processo iterativo de tentativas diretas.

-A convergência dos erros é rápida (geralmente se obtém precisões satisfatórias nos resultados após apenas 3 iterações).

- São comumente aplicadas através de duas modalidades:

- ajuste das vazões(usaremos esta modalidade).

- ajuste das perdas de carga.

- Redes fechadas de distribuição têm a vantagem de permitir mais de um caminho de acesso para a maior parte dos pontos de retirada, mas são mais complexas de dimensionar.

Rio Grande do Sul

1) Definir os nós, anéis ou circuitos fechadose tubos

letras números romanos números arábicos

ETAPAS E CONVENÇÕES:

Q

L₁, D₁

L₂, D₂

Q

L₁, D₁

L₂, D₂

nó A Anel I nó B tubo 1

tubo 2

2) Assumir uma direção inicial e as vazões iniciais (Q_o) do escoamento, de modo que:

Sentido horário = Q positiva Sentido anti-horário = Q negativa

Q

L₁, D₁

L₂, D₂

tubo 2 +Q₁

-Q₂ a) Em cada nó, o somatório das vazões deve ser igual a zero:

b) As vazões queCHEGAMem um nó sãoPOSITIVAS, e as queSAEMsãoNEGATIVAS.

c) Os sinais das vazões e das perdas de carga são dados conforme o sentido horário:

=0

∑

Qnó

Q = Q_chegam

ao nó

saem do nó

(6)

3) Calcular as perdas de carga em cada circuito fechado:

Coeficiente adimensional (Tabelado) 87 , 4 85 , 1

85 ,

643 1

, 10

D C

j= Q Eq. de Hazen-Williams

no S.I.

- Após assumir as vazões iniciais do escoamento, em cada anel deve ser verificada a condiçãoΣj = 0, ou seja, qualquer que seja o percurso a pressão resultante em cada nó deve ser a mesma.

- Porém, dadas as aproximações, isso não se verifica, exigindo uma correção das vazões nos trechos de cada anel.

Em cada anel, o somatório das perdas de carga deve ser igual a zero [m/m]

Rio Grande do Sul

- Escrevendo a perda de carga ao longo de um trecho como

KQ

n

j =

, a perda de carga total em cada circuito fechado fica:

≠ 0

= ∑

∑ ^j ^KQ

ⁿ

- Para cada trecho, podemos adotar uma correção∆, de modo que

(

₀

+ Δ ) = ⁰

=

= ∑ ∑

∑ ^j ^KQ

ⁿ

^K ^Q

ⁿ

Δ +

= Q

₀

Q

- Utilizando o binômio de Newton para determinar∆, temos:

( ) ( )

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + Δ + − Δ +

= Δ

+

⁻ ⁻

...

2 . 1

1

2 ₂

1 0 0 0 0

n n

n

n n Q

nQ Q

K Q

K

(7)

- Isolando∆, temos:

∑

∑ ⁻ ∑ ₌ ⁻ ∑

=

Δ

₋

0 0 0 0 1

0

Q nK Q

KQ nKQ

KQ

n n n

n

- Como o valor de ∆ é pequeno em relação a Q₀, os termos que contém ∆ elevados a uma potência igual ou superior a 2 são desprezados:

(

⁰

⁺

⁰ ¹

^Δ ) ⁼ ⁰

∑ ^K ^Q

ⁿ

^nQ

ⁿ⁻

- Como

j

₀

= KQ

₀ⁿ

∑

= − Δ

0 0 0

Q n j

j

Rio Grande do Sul

4) Usando a fórmula de Hazen-Williams, onde n=1,85, calcula-se∆:

∑

= − Δ

0 0 0

85 ,

1 Q

j j

5) Realiza-se um processo iterativo, até que ∆ assuma um valor desejado (próximo de zero).

COMENTÁRIO

- As perdas de carga localizadas podem ser desprezadas nas tubulações longas cujo comprimento exceda cerca de 4000 vezes o diâmetro (linhas adutoras, redes de distribuição, etc.).

- São ainda desprezíveis nas canalizações em que a velocidade é baixa e o número de peças especiais não é grande.

- Tais perdas devem ser consideradas em instalações prediais, encanamentos de recalque e em condutos forçados de usinas hidrelétricas.

(8)

Exemplo 1: Qual será a vazão em cada tubo do circuito abaixo, usando o método de Hardy-Cross? O tubo é novo e de PVC.

Q= 100l/s

L= 100 m, D = 20 cm

L= 85 m, D = 30 cm

Solução:

-Antes de qualquer procedimento, transformar TODAS as unidades para o S.I.

Q= 0,1 m³/s

L = 100 m, D = 0,2 m

L = 85 m, D = 0,3 m

Rio Grande do Sul

Q = 0,1 m³/s

tubo 2 L₁= 100 m D₁= 0,2 m

L₂= 85 m D₂= 0,3 m

+Q₁ -Q₂

Q = 0,1 m³/s

tubo 2 L₁= 100 m

D₁= 0,2 m

L₂= 85 m D₂= 0,3 m

+Q₁= 0,04 m³/s -Q₂= 0,06 m³/s

(9)

3) Calcular as perdas de carga em cada circuito fechado:

Coeficiente adimensional: Para um tubo novo de PVC, C= 140.

87 , 4 85 , 1

85 ,

643 1

, 10

D C

j = Q Eq. de Hazen-Williams

no S.I.

4) Usando a fórmula de Hazen-Williams,

onde n=1,85, calcula-se∆:

∑

= − Δ

0 0 0

85 ,

1 Q

j j

5) Realiza-se um processo iterativo, até que ∆ assuma um valor desejado (próximo de zero).

Estimativa

inicial 1ª iteração Tubo D [m] L [m] C Q₀[m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆

1 0,2 100 140 0,04 0,0075 0,7 18,7

-0,014

2 0,3 85 140 -0,06 -0,0022 -0,2 3,1

0,1 0,6 21,8

Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

[m/m]

Q [m³/s]

0,026170 -0,073830

0,1 Σ|Q₀|

Rio Grande do Sul

Estimativa

inicial 2ª iteração

Q₀[m³/s] Q₁[m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆ 0,04 0,026170 0,0034 0,3 13,1

-0,00215 -0,06 -0,073830 -0,0032 -0,3 3,7

0,1 0,1 0,067 16,8

Σ|Q⁰| Σ|Q⁰| Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,024022 -0,075978

0,1 Σ|Q₀|

3ª iteração

Q₂[m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆ 0,024022 0,0029 0,3 12,1

-0,000067 -0,075978 -0,0034 -0,3 3,8

0,1 0,002 16,0

Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,023954 -0,076046

0,1 Σ|Q₀|

(10)

DICA:

O sinal da vazão deve ir junto a tabela de cálculo, para indicar o sentido do escoamento. Porém, na hora do cálculo, cuidar o sinal da vazão:

No Excel: j = SINAL(Q)*((10,643*ABS(Q)^1,85)/(C^1,85*D^4,87))

Utilização de planilhas eletrônicas nas soluções

Estimativa

inicial 1ª iteração 2ª iteração Final

Tubo D [m] L [m] C Q₀[m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆ Q₁[m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆ Q [m³/s]

1 0,2 100 140 0,04 0,0075 0,7 18,7

-0,014 0,02617 0,0034 0,3 13,1

-0,002 0,024022

2 0,3 85 140 -0,06 -0,0022 -0,2 3,1 -0,07383 -0,0032 -0,3 3,7 -0,075978

0,1 0,6 21,8 0,1 0,067 0,1

Σ|Q0| Σ j Σ j/Q Σ|Q0| Σ j Σ j/Q Σ|Q0|

Q= 0,1 m³/s

L = 100 m, D = 0,2 m

L = 85 m, D = 0,3 m - Qual será a vazão em cada tubo do

circuito abaixo, usando o método de Hardy-Cross? O tubo é novo e de PVC.

Rio Grande do Sul

Exemplo 2: Qual será a vazão em cada tubo do circuito abaixo, usando o método de Hardy-Cross? ConsiderarC= 120.

Q = 15 ft³/s 5 ft³/s

5 ft³/s 5 ft³/s

D = 18 in, L = 1500 ft

D = 15 in, L = 1500 ft

D = 12 in, L = 1500 ft

D = 12 in L = 500 ft D = 15 in

L = 500 ft

D = 10 in L = 500 ft D = 12 in

L = 500 ft

(11)

Q = 15 ft³/s 5 ft³/s

5 ft³/s 5 ft³/s

D = 18 in, L = 1500 ft

D = 15 in, L = 1500 ft

D = 12 in, L = 1500 ft

D = 12 in L = 500 ft D = 15 in

L = 500 ft

D = 10 in L = 500 ft D = 12 in

L = 500 ft

nó A nó B

nó D nó C

nó F nó E

Anel I

Anel II tubo 1

tubo 2 tubo 3

tubo 4

tubo 5 tubo 6

tubo 7

Rio Grande do Sul

Q = 15 ft³/s 5 ft³/s

5 ft³/s 5 ft³/s

D = 18 in, L = 1500 ft

D = 15 in L = 1500 ft

D = 12 in, L = 1500 ft

D = 12 in L = 500 ft D = 15 in

L = 500 ft

D = 10 in L = 500 ft D = 12 in

L = 500 ft

nó A nó B

nó D nó C

nó F nó E

Anel I

Anel II tubo 1

tubo 2 tubo 3

tubo 4

tubo 5 tubo 6

tubo 7

-3 ft³/s

2 ft³/s

7 ft³/s -4 ft³/s

8 ft³/s

-7 ft³/s 3 ft³/s

4 ft³/s

Começar por uma extremidade

a jusante

(12)

3) Calcular as perdas de carga em cada circuito fechado, até que as aproximações ∆assumam um valor desejado (próximo de zero):

Estimativa inicial

Estimativa

inicial 1ª iteração Anel Tubo D [in] L [ft] D [m] L [m] C Q⁰[ft³/s] Q⁰[m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆Q

I

1 18 1500 0,4572 457,2 120 8 0,22653 0,0044 2,0 8,9 -0,0025 2 12 500 0,3048 152,4 120 3 0,08495 0,0052 0,8 9,3 -0,0025 3 15 500 0,3810 152,4 120 -7 -0,19822 -0,0083 -1,3 6,4 -0,0025 4 15 1500 0,3810 457,2 120 -4 -0,11327 -0,0030 -1,4 12,0 0,0471

0,0 0,2 36,5

Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,224036 0,082452 -0,200717 -0,066198

II

4 15 1500 0,3810 457,2 120 4 0,11327 0,0030 1,4 12,0 -0,0471 5 10 500 0,2540 152,4 120 7 0,19822 0,0601 9,2 46,2 -0,0496 6 12 500 0,3048 152,4 120 2 0,05663 0,0024 0,4 6,6 -0,0496 7 12 1500 0,3048 457,2 120 -3 -0,08495 -0,0052 -2,4 27,8 -0,0496

10 0,31149 8,5 92,5

Σ|Q0| Σ|Q0| Σ j Σ j/Q

0,066198 0,148650 0,007066 -0,134518 Recebe a correção

dos dois anéis Mesmo tubo:

sinais trocados

Rio Grande do Sul

2ª iteração

Q1[m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆Q 0,224036 0,0043 2,0 8,8 -0,01535 0,082452 0,0049 0,7 9,0 -0,01535 -0,200717 -0,0085 -1,3 6,5 -0,01535 -0,066198 -0,0011 -0,5 7,6 0,01304

0,9 31,9 Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,208687 0,067102 -0,216066 -0,053154

0,066198 0,0011 0,5 7,6 -0,01304 0,148650 0,0353 5,4 36,2 -0,00230 0,007066 0,0001 0,0 1,1 -0,00230 -0,134518 -0,0121 -5,5 41,0 -0,00230

0,368 85,9 Σ j Σ j/Q

dos dois anéis

(13)

3ª iteração

Q2[m³/s] j [m/m] j [m] j/Q ∆Q 0,208687 0,0038 1,7 8,3 -0,00758 0,067102 0,0033 0,5 7,6 -0,00758 -0,216066 -0,0098 -1,5 6,9 -0,00758 -0,053154 -0,0007 -0,3 6,3 0,00842

0,4090 29,0 Σ j Σ j/Q

Q [m³/s]

0,201110 0,059526 -0,223642 -0,044733

0,053154 0,0007 0,3 6,3 -0,00842 0,146345 0,0343 5,2 35,7 0,00084 0,004761 0,0000 0,0 0,8 0,00084 -0,136823 -0,0125 -5,7 41,6 0,00084

-0,1326 84,4 Σ j Σ j/Q

dos dois anéis

Rio Grande do Sul

Outros exemplos

*Figura extraída da obra de Evett, J. B. e Liu, C., 1989, “2500 Solved Problems in Fluid Mechanics and Hydraulics”, Schaum’s Solved Problems Series”, Revised First Edition, McGraw-Hill, pp. 320.

(14)

Outros exemplos

Rio Grande do Sul

Outros exemplos

(15)

Outros exemplos

Rio Grande do Sul

Outros exemplos

(16)

- Referências

- Na preparação deste material foram utilizadas as seguintes referências:

OBS.: Algumas das figuras que acompanham os slides deste capítulo possuem um link para acesso e podem conter direitos autorais.

- Netto, J. M. A., 1998, “Manual de Hidráulica”, 8ª edição, Edgard Blücher, São Paulo, 669 p.

- Giles, R. V., 1967, “Mecânica dos Fluidos e Hidráulica”, Ao Livros Técnicos S. A., Rio de Janeiro, 401 p.

- Evett, J. B. and Liu, C., 1989, “2500 Solved Problems in Fluid Mechanics and Hydraulics”, Schaum’s Solved Problems Series”, Revised First Edition, McGraw-Hill, 797 p.

Rio Grande do Sul

- As imagens da capa (primeiro slide) deste material foram retiradas dos seguintes endereços eletrônicos em fevereiro de 2015, e podem conter direitos autorais:

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www.directindustry.com/prod/soler-palau/axial-fans-circular-ducts-14160-584670.html www.tecnocino.it/wp-galleryo/hovercraft-militare/hovercraft.jpg

s.hswstatic.com/gif/artificial-heart-abiocor-hand.jpg

www.sulzer.com/en/-/media/Media/Images/ProductsAndServices/PumpsAndSystems/Single_

Stage_Pumps/BA/BA_end_suction_single_stage_centrifugal_pump.jpg?mw=690

2.bp.blogspot.com/-4hrKgSCITIU/UI0fsJLiX_I/AAAAAAAAAWg/1UuIf6ckGn0/s320/turbina.jpg www.rockridgewindmills.com/faq/FAQ4.jpg

img.directindustry.com/images_di/photo-mg/centrifugal-fan-low-pressure-14160-6463601.jpg www.adsadvance.co.uk/media/images/RR%20Trent%20XWB_tcm239-17683%5B1%5D.jpg

•

Cálculo da perda de carga

Material de apoio à disciplina Máquinas de Fluxo I (ENG03332)

Método de Hardy-Cross

Cálculo da perda de carga

D K V j =

2

, =

= KQ n

j

85 , 1

, =

= KQ n

j

∑

KQ

j =

≠ 0

= ∑

∑ j KQ

(

+ Δ ) = 0

=

= ∑ ∑

∑ j KQ

K Q

Δ +

= Q

Q

( ) ( )

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + Δ + − Δ +

= Δ

+

...

2 . 1

1

n n Q

nQ Q

K Q

K

∑

∑ − ∑ = − ∑

=

Δ

Q nK Q

KQ nKQ

KQ

(

+

Δ ) = 0

∑ K Q

nQ

j

= KQ

∑

∑

= − Δ

Q n j

j

∑

∑

= − Δ

85 ,

1 Q

j j

∑

∑

Utilização de planilhas eletrônicas nas soluções

Outros exemplos

Outros exemplos

Outros exemplos

Outros exemplos

∑ ^j ^KQ

+ Δ ) = ⁰

∑ ^j ^KQ

^K ^Q

∑ ⁻ ∑ ₌ ⁻ ∑

⁺

^Δ ) ⁼ ⁰

∑ ^K ^Q

^nQ