• Nenhum resultado encontrado

 cm16)4).(2(2h.R2A  cm54

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share " cm16)4).(2(2h.R2A  cm54"

Copied!
3
0
0

Texto

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE CILINDROS – 2011 - GABARITO

1. A altura de um cilindro reto vale 6cm e o raio da base mede 2cm. Determine a área total e o volume do cilindro.

Solução. Utilizando as fórmulas, temos:

i) AT 2R.(Rh)2(2).(26)2(2).(8)32cm2. ii) VR2.h(2)2.(6)24cm3.

2. O volume de um cilindro equilátero vale 54cm3. Determine o raio da base e a área total desse cilindro.

Solução. No cilindro equilátero o diâmetro é igual a sua altura. Isto é, h = 2R.

2 2

2 T

3 3 3

2 2

2

cm 54 )3(

6 R6 )R3(

R2 )R2 R(R 2) h R(R 2 A

cm3 2 27

R 54 54 R2 54 )R2 54 .(R

V

)R2 .(R h.R V













 

 





.

3. A secção meridiana de um cilindro equilátero tem perímetro igual a 16cm. Determine a área lateral, a área total e o volume do cilindro.

Solução. A secção meridiana do cilindro equilátero é um quadrado. Logo, se o perímetro vale 16cm, o diâmetro e a altura valem 4cm. O raio, portanto mede 2cm.

i) Al 2R.h2(2).(4)16cm2.

ii) AT 2R.(Rh)2(2).(24)2(2).(6)24cm2. iii) V R2.h(2)2.(4)16cm3.

4. A figura mostra a planificação da superfície lateral de um cilindro reto. Determine seu volume.

Solução. Repare que há duas possibilidades para a construção do cilindro.

i) No cilindro 1 a rotação foi feita em torno do lado de 4cm (altura). A dimensão 6cm vale o comprimento da base:

3 2

2

1 36 cm

3 )4.(

h.

R 3 V

R 6 R 6 2

C R 2 C

 

 

 

 



 

 

 

ii) No cilindro 2 a rotação foi feita em torno do lado de 6cm (altura). A dimensão 4cm vale o comprimento da base:

(2)

3 2

2

1 24 cm

2 )5.(

h.

R 2 V

R 4 R 4 2

C R 2 C

 

 

 

 



 

 

 

5. (FEI SP) Um cilindro reto tem volume igual a 32m3. Sabendo que a medida de sua altura é o dobro da medida de seu raio, podemos afirmar que o seu raio mede:

a) 2m b) 2 2 m c) 16m d) 23 2 m e) 4m Solução. A informação de a altura medir o dobro do raio indica que o cilindro é equilátero. Utilizando a fórmula correspondente, temos:

cm 22 2.2 2 16

R 32 32 R2 32 )R2 32 .(R

V

)R2 .(R h.R

V 3 3 3 3

3 3 2

2

2         

 





.

6. (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:

a) 1250 b) 12502 c) 6,252 d) 625 e) 6252 Solução. A figura mostra a secção (azul) a 6cm do eixo. Ela é um retângulo de dimensões

(2x) e h. O valor de “x” pode ser calculado pela relação de Pitágoras:

cm 8 64 36 100 x

x 6

102 2 2 . Logo (2x) = 16cm.

Como a secção é equivalente à base, suas áreas são iguais:

3 2 2

2 2 ção sec

2 2 base

cm 16 625

10000 16 .) 100 10(

h.R V

16 h 100 100 h.16 h16

h).x 2(

A

100 )10 .(

R.

A

 

 

 

  



 



 

 





.

7. (UFG GO) Uma empresa de engenharia fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono regular de lado 20 cm e altura 1 m. Para fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de

um cilindro circular reto, cujo raio da base e a altura medem 1 m, conforme a figura.

Calcule o volume do material necessário para fabricar o molde para esses blocos. Use:

67º,502,41e 3,14

tg .

Solução. O molde é formado pelo bloco exterior ao prisma octogonal. A base do prisma está representada a seguir em vista superior (fora das proporções):

Há oito triângulos isósceles no octógono. O triângulo retângulo pintado é metade de um dos isósceles. O cateto “x”

está oposto à metade do ângulo interno do octógono que vale 135º. Temos:

cm 1 , 24 10 x

41 x , 10 2 50 x , 67

tg .

i) O volume do prisma octogonal será o produto da área da base (octógono) pela altura que é a mesma do cilindro (1m = 100cm).

(3)

   

2

  3

b prisma

2 b

cm 00 1928 cm

100 . cm 1928 h

. A V

cm 1928 )

1 , 24 ).(

80 2 (

1 , 24 . . 20 8 A

.

ii) O volume do cilindro vale: Vcilindro R2.h3,14 .100 2.1003140000cm3.

Logo o volume do molde (externo ao prisma) vale: Vmolde 3140000192800 2947200cm3ou2,9472m3 .

8. (FGV) Em certa loja, as panelas são anunciadas de acordo com sua capacidade. Uma panela dessa loja, com a etiqueta

"4 litros", tem 20cm de diâmetro. A altura dessa panela é aproximadamente:

a) 7cm b) 9cm c) 11cm d) 13cm e) 15cm.

Solução. O volume 4 litros corresponde em 4dm3 ou 4000cm3. O raio da panela mede 10cm. Aplicando a fórmula do

volume do cilindro, temos:

V 400    3 14, 10. h. 4000 h    ,3 4000 .14 100 3 40 14, 12 73, cm

h.

R

V 2

cilindro 2

cilindro      

 



.

9. (UFOP MG) Um recipiente cilíndrico, com graduação, na altura, em centímetros, está cheio de água até a marca 30.

Imerge-se nele uma pedra, elevando-se o nível da água para 40. O raio da base do recipiente mede 8cm e a densidade da pedra é 2 kg/L (quilogramas por litro). Considerando 3,1, a massa da pedra, em quilogramas, está mais próxima de:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 Solução. A figura (fora de proporção) ilustra a situação. O volume deslocado é o mesmo da pedra.

kg4 kg 968 ,3 )L 984 L ,1.(

m kg2 )V

).(d ( )d( m densidade

)m(

massa V

L 984 ,1 dm 984 ,1 )dm 1.(

)dm 8,0 ).(1, 3(

h.

R V

pedra

3 2

2 deslocado

 

 

 

 

 



.

10. (FGV) Inclinando-se em 45º um copo cilíndrico reto de altura 15 cm e raio da base 3,6 cm, derrama-se parte do líquido que completava totalmente o copo, conforme indica a figura. Admitindo-

se que o copo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à situação inicial, a menor quantidade de líquido derramada corresponde a um percentual do líquido contido inicialmente no copo de:

a) 48% b) 36% c) 28% d) 24% e) 18%

Solução. O volume inicial do copo vale:

3 2

2

copo R .h (3,6) .(15)cm

V .

A inclinação em 45º derramou um volume que vale a metade do volume do cilindro pintado de raio ainda 3,6cm e altura 7,2cm. Este volume vale: derramado

(3,6)2.(7,2

(3,6)2.(3,6)cm3

2

V 1 .

(4)

O percentual pedido é: 0,24 24% 15

6 , 3 cm ) 15 .(

) 6 , 3 (

cm ) 6 , 3 .(

) 6 , 3 ( V

V

3 2

3 2

copo

derramado

.

11. (UFU-MG) Um “caminhão pipa” transporta álcool em um tanque de formato cilíndrico com 2 metros de diâmetro e 12 metros de comprimento. Sabendo-se que a altura do nível do álcool é de 1,5 metros,

conforme esboçado na figura determine o volume, em litros, do álcool existente no tanque.

Solução. Observando a vista frontal do tanque, temos que a área vazia é a diferença entre a área do setor circular AOB e a do triângulo AOB que é o dobro da área do triângulo retângulo destacado.

i) Cálculo de “x”: m

2 3 4 3 4 1 1 2

1 1 x

2

2

.

ii) Área do triângulo AOB:

 

2

TRI m

4 3 2

2 . 1 3 2

) 5 , 0 2 .(

. 3 2 2

A bxh

.

iii) Área do setor circular AOB: O ângulo “a” é calculado no triângulo retângulo

pela razão trigonométrica:

3rad º 60 2 a

3 1 2 3

sena . Logo o ângulo central (2a) vale 120º e a área do

setor será a terça parte da área da circunferência. Então a área do setor vale: setor

 

2 2 m2 3 3

) 1 R (

3

A 1 .

iv) Área vazia: vazia setor TRI m2

12 3 3 4 4

3 A 3

A

A .

v) Área com álcool: álcool circunferência vazia 2 m2

12 3 3 8 12

3 3 ) 4

1 ( A

A

A

.

vi) O volume pedido é: . 12

8 3 3

m

8000 3000 3

litros

12 3 3 h 8

. A

Válcool álcool 3

.

12. (UEG GO) Uma caixa d’água com capacidade para 1.000 litros tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura h. Aumentando o raio da base em 10% e diminuindo a altura também em 10%, quantos litros caberão nessa nova caixa d’água?

Solução. Com as mudanças, o raio passa a ser r’ = 1,1r e a altura passa a h’ = 0,90h. O novo volume V’ será:

 r' .h'1,1r .0,9h

r .h

.(1,21).0,9V(1,089) (1000)(1,089) 1089litros '

V 2 2 2 .

Referências

Documentos relacionados

Edeltrudes Costa, ex-Vice-Ministro da Administração do Território responsável pelo mapeamento eleitoral, teve participação activa quer nos processos de falsificação do

Dezenove profissionais com culturas positivas em ambas as amostras, configurando um grupo de portadores persistentes, tiveram suas cepas submetidas à antibiograma e a fagotipagem..

Em um cilindro reto, de 4m de altura e 0,5m de raio, foi inscrito um prisma quadrangular regular?. Qual a razão entre os volumes do cilindro e

Determinar o raio da base de um cilindro equilátero sabendo-se que a área lateral excede de 4πcm² a área da secção meridiana.. Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de

34)Calcular a área lateral, área total e volume de um cilindro reto de 5 cm de raio sabendo que a secção meridiana é equivalente à base.. 35)O que ocorre com o volume de um

Solução. Se o diâmetro vale 8m, o raio da base vale 4m. Observando a figura formada na base do cilindro, vemos um círculo inscrito no quadrado de lado 2cm.. A altura do

23) A altura de um cone circular reto cujo raio da base mede r, é r. Sendo 3 cm a medida do apótema do hexágono regular inscrito na base, determine a área da secção meridiana

Se o raio da base de um cone de revolução mede 3cm e o perímetro de sua secção meridiana mede 16cm, então seu volume, em cm 3