 cm16)4).(2(2h.R2A  cm54

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE CILINDROS – 2011 - GABARITO

1. A altura de um cilindro reto vale 6cm e o raio da base mede 2cm. Determine a área total e o volume do cilindro.

Solução. Utilizando as fórmulas, temos:

i) A_T 2R.(Rh)2(2).(26)2(2).(8)32cm². ii) VR².h(2)².(6)24cm³.

2. O volume de um cilindro equilátero vale 54cm³. Determine o raio da base e a área total desse cilindro.

Solução. No cilindro equilátero o diâmetro é igual a sua altura. Isto é, h = 2R.

2 2

2 T

3 3 3

2 2

2

cm 54 )3(

6 R6 )R3(

R2 )R2 R(R 2) h R(R 2 A

cm3 2 27

R 54 54 R2 54 )R2 54 .(R

V

)R2 .(R h.R V

































 

 









.

3. A secção meridiana de um cilindro equilátero tem perímetro igual a 16cm. Determine a área lateral, a área total e o volume do cilindro.

Solução. A secção meridiana do cilindro equilátero é um quadrado. Logo, se o perímetro vale 16cm, o diâmetro e a altura valem 4cm. O raio, portanto mede 2cm.

i) A_l 2R.h2(2).(4)16cm².

ii) A_T 2R.(Rh)2(2).(24)2(2).(6)24cm². iii) V R².h(2)².(4)16cm³.

4. A figura mostra a planificação da superfície lateral de um cilindro reto. Determine seu volume.

Solução. Repare que há duas possibilidades para a construção do cilindro.

i) No cilindro 1 a rotação foi feita em torno do lado de 4cm (altura). A dimensão 6cm vale o comprimento da base:

3 2

2

1 36 cm

3 )4.(

h.

R 3 V

R 6 R 6 2

C R 2 C

 

 

 





 



 









 

 







ii) No cilindro 2 a rotação foi feita em torno do lado de 6cm (altura). A dimensão 4cm vale o comprimento da base:

3 2

2

1 24 cm

2 )5.(

h.

R 2 V

R 4 R 4 2

C R 2 C

 

 

 





 



 









 

 







5. (FEI SP) Um cilindro reto tem volume igual a 32m³. Sabendo que a medida de sua altura é o dobro da medida de seu raio, podemos afirmar que o seu raio mede:

a) ^2m b) 2 2 m c) ^16m d) 2³ 2 m e) ^4m Solução. A informação de a altura medir o dobro do raio indica que o cilindro é equilátero. Utilizando a fórmula correspondente, temos:

cm 22 2.2 2 16

R 32 32 R2 32 )R2 32 .(R

V

)R2 .(R h.R

V _{3 3 3 3}

3 3 2

2

2         

 











.

6. (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:

a) 1250 b) 1250² c) 6,25² d) 625 e) 625² Solução. A figura mostra a secção (azul) a 6cm do eixo. Ela é um retângulo de dimensões

(2x) e h. O valor de “x” pode ser calculado pela relação de Pitágoras:

cm 8 64 36 100 x

x 6

10²  ² ²     . Logo (2x) = 16cm.

Como a secção é equivalente à base, suas áreas são iguais:

3 2 2

2 2 ção sec

2 2 base

cm 16 625

10000 16 .) 100 10(

h.R V

16 h 100 100 h.16 h16

h).x 2(

A

100 )10 .(

R.

A



 

 

 



  



 





 

 















.

7. (UFG GO) Uma empresa de engenharia fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono regular de lado 20 cm e altura 1 m. Para fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de

um cilindro circular reto, cujo raio da base e a altura medem 1 m, conforme a figura.

Calcule o volume do material necessário para fabricar o molde para esses blocos. Use:

^67º,50 ^{2,41e 3,14}

tg   .

Solução. O molde é formado pelo bloco exterior ao prisma octogonal. A base do prisma está representada a seguir em vista superior (fora das proporções):

Há oito triângulos isósceles no octógono. O triângulo retângulo pintado é metade de um dos isósceles. O cateto “x”

está oposto à metade do ângulo interno do octógono que vale 135º. Temos:

cm 1 , 24 10 x

41 x , 10 2 50 x , 67

tg      .

i) O volume do prisma octogonal será o produto da área da base (octógono) pela altura que é a mesma do cilindro (1m = 100cm).

   





b prisma

2 b

cm 00 1928 cm

100 . cm 1928 h

. A V

cm 1928 )

1 , 24 ).(

80 2 (

1 , 24 . . 20 8 A











 .

ii) O volume do cilindro vale: Vcilindro R².h3,14 .100 ².100 3140000cm³.

Logo o volume do molde (externo ao prisma) vale: V_molde 3140000192800 2947200cm³ou2,9472m³ .

8. (FGV) Em certa loja, as panelas são anunciadas de acordo com sua capacidade. Uma panela dessa loja, com a etiqueta

"4 litros", tem 20cm de diâmetro. A altura dessa panela é aproximadamente:

a) 7cm b) 9cm c) 11cm d) 13cm e) 15cm.

Solução. O volume 4 litros corresponde em 4dm³ ou 4000cm³. O raio da panela mede 10cm. Aplicando a fórmula do

volume do cilindro, temos:

V 400    ^{3 14, 10. h. 4000 h}    ^{,3 4000 .14 100 3 40 14, 12 73, cm}

h.

R

V ₂

cilindro 2

cilindro      

 







.

9. (UFOP MG) Um recipiente cilíndrico, com graduação, na altura, em centímetros, está cheio de água até a marca 30.

Imerge-se nele uma pedra, elevando-se o nível da água para 40. O raio da base do recipiente mede 8cm e a densidade da pedra é 2 kg/L (quilogramas por litro). Considerando   3,1, a massa da pedra, em quilogramas, está mais próxima de:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 Solução. A figura (fora de proporção) ilustra a situação. O volume deslocado é o mesmo da pedra.

kg4 kg 968 ,3 )L 984 L ,1.(

m kg2 )V

).(d ( )d( m densidade

)m(

massa V

L 984 ,1 dm 984 ,1 )dm 1.(

)dm 8,0 ).(1, 3(

h.

R V

pedra

3 2

2 deslocado



 



 

 

 



 

















.

10. (FGV) Inclinando-se em 45º um copo cilíndrico reto de altura 15 cm e raio da base 3,6 cm, derrama-se parte do líquido que completava totalmente o copo, conforme indica a figura. Admitindo-

se que o copo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à situação inicial, a menor quantidade de líquido derramada corresponde a um percentual do líquido contido inicialmente no copo de:

a) 48% b) 36% c) 28% d) 24% e) 18%

Solução. O volume inicial do copo vale:

3 2

2

copo R .h (3,6) .(15)cm

V     .

A inclinação em 45º derramou um volume que vale a metade do volume do cilindro pintado de raio ainda 3,6cm e altura 7,2cm. Este volume vale: derramado





2

V  1   .

O percentual pedido é: 0,24 24% 15

6 , 3 cm ) 15 .(

) 6 , 3 (

cm ) 6 , 3 .(

) 6 , 3 ( V

V

3 2

3 2

copo

derramado   



  .

11. (UFU-MG) Um “caminhão pipa” transporta álcool em um tanque de formato cilíndrico com 2 metros de diâmetro e 12 metros de comprimento. Sabendo-se que a altura do nível do álcool é de 1,5 metros,

conforme esboçado na figura determine o volume, em litros, do álcool existente no tanque.

Solução. Observando a vista frontal do tanque, temos que a área vazia é a diferença entre a área do setor circular AOB e a do triângulo AOB que é o dobro da área do triângulo retângulo destacado.

i) Cálculo de “x”: m

2 3 4 3 4 1 1 2

1 1 x

2

2     



 





 .

ii) Área do triângulo AOB:

 

2

TRI m

4 3 2

2 . 1 3 2

) 5 , 0 2 .(

. 3 2 2

A bxh 



 





 















 .

iii) Área do setor circular AOB: O ângulo “a” é calculado no triângulo retângulo

pela razão trigonométrica:

3rad º 60 2 a

3 1 2 3

sena      . Logo o ângulo central (2a) vale 120º e a área do

setor será a terça parte da área da circunferência. Então a área do setor vale: setor

 

) 1 R (

3

A  1      .

iv) Área vazia: _{vazia setor TRI} m²

12 3 3 4 4

3 A 3

A

A       .

v) Área com álcool: _{álcool circunferência vazia} ² m²

12 3 3 8 12

3 3 ) 4

1 ( A

A

A 

 

 







 .

vi) O volume pedido é: ^. ¹²









12 3 3 h 8

. A

V_{álcool álcool}    ³  









 



 .

12. (UEG GO) Uma caixa d’água com capacidade para 1.000 litros tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura h. Aumentando o raio da base em 10% e diminuindo a altura também em 10%, quantos litros caberão nessa nova caixa d’água?

Solução. Com as mudanças, o raio passa a ser r’ = 1,1r e a altura passa a h’ = 0,90h. O novo volume V’ será:

 r' .h' 1,1r .0,9h





V  ²  ²   ²    .