Problemas de Programação Linear

(1)

1

TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

AULA 1

(2)

Matemática: Modo de usar

2

A matemática pode ser útil na tomada de decisões fornecendo uma linguagem formal

através da qual pode-se resolver ou pelo menos encontrar boas soluções para

problemas!

© UNESP 6 Agosto 2008

Para que serve a matemática ?

O Pensador, A. Rodin

(3)

3

(4)

4

(5)

5

Problemas de Programação Linear

Max c^tx s.a: Ax ≤≤≤≤ b

∇

∇f

Ponto Ótimo

Problema PL

s.a: Ax ≤≤≤≤ b x ≥≥≥≥ 0

(6)

6

4

Diagnóstico de Câncer de Mama com PL

4

(7)

Diagnóstico de Câncer de Mama com PL

7

(8)

Diagnóstico de Câncer de Mama com PL

8

(9)

9

,

:

t t

y z

e y e z Min m k

Sa A y e e

B z e e

ω γ

+

+ ≥ +

− ≤ −

P1 P3

Modelo de Programação Linear

P1

, 0

B z e e

y z

ω − ≤ γ −

≥

Z⁽¹⁾>0 Benignos classificados

(10)

Modelo de Programação Linear

10

P1

P3 P2

z > 0

B ω − ≤ − z e γ e

Benignos classificados incorretamente !

Usar P3 para separar corretamente !

Usar P2 para separar corretamente ! y > 0

Malignos classificados incorretamente !

A ω + ≥ + y e γ e

(11)

11

Problemas de Programação Não-Linear

Max f(x) s.a: g(x)=0

∇

∇f

Ponto Ótimo

Problema PNL

s.a: g(x)=0 x ≥≥≥≥ 0

(12)

12

h φφφφ(x)

1

4 2

3

Modelo de Otimização para Hidrelétricas

1 Vertedor

θθθθ(u) h_b

Casa de q

máquinas

Adução

x v

Vertedor

2 Reservatório

3 Adução e casa de máquinas

4 Canal de fuga u

(13)

13

Sistema Interligado Nacional (SIN)

Reservatório Fio d’água 11

12

14 15 16 17 18 19 13

21 22 2

3 1

7

27

35 36 37

Legenda:

4 5 6

74 72

71 73

O c e a n

Furnas

19 20

22 23

24 25 9

10 8

27 28 29 30 31 26 32

38 39 40

41 42

52

69 68 66 67

65 70

n o A t l â n t i

(14)

14

Economia proporcionada pelos MPIs

MW Médio Térmica Economia/Ano

Operação das hidrelétricas do SIN

MPI (x,q,v)

MPI (x,q,v)m

279,27

311,67

MW Médio Térmica

R$ 6,4/MWh

Economia/Ano R$ 15 milhões R$ 17 milhões

(15)

15

Fluxo de Potência no SIN

Barras

Geração: Carga:

Ramos

Rede Ramos

Linhas de Transmissão

(16)

16

LIMITES DE INTERCÂMBIO DO BRASIL

(17)

LIMITES DE INTERCÂMBIO DO BRASIL

17

(18)

LIMITES DE INTERCÂMBIO DO BRASIL

18

(19)

19 G1.COM, 31/07/2012 – Edição do dia 31/07/2012

CASO REAL

(20)

20

Problemas de Programação Inteira

Max f(x) s.a: Ax ≤≤≤≤ b

∇

∇f

Ponto Ótimo

Problema PI

s.a: Ax ≤≤≤≤ b x ≥≥≥≥ 0

x inteiro

(21)

21

Problema da Mochila

Quais itens acima devem ser colocados na mochila ?

(22)

22

Para trabalho:

Criar lista:

Utilidade Volume

Fornecer uma nota para cada item (subjetivo !)

Medir para cada item (objetivo, mas dá muito trabalho !)

Solução do Problema da Mochila

Para trabalho:

Para praia:

(23)

23

Gestão de um Portifólio de Projetos

A mesma estratégia pode ser utilizada para determinar a composição de um portfólio de

projetos:

(24)

24

Gestão de um Portifólio de Projetos

Projetos Portfólio

P1

P2

P3

P4

(25)

25

Gestão de um Portifólio de Projetos

Projetos Portifólio

P1 ^{Máximo de}_projetos

do portifólio.

M

P2

P3

(26)

26

Gestão de um Portifólio de Projetos

Projetos

Critérios

P1

C1 C2 C3

5

P2

P3

P4

Valor do critério j para cada

projeto i

4

3

1

(27)

27

Gestão de um Portifólio de Projetos

Critérios

^{Grau Pref.}

C1 C2 C3 w1 w2 w3

w

^{Grau de}

(28)

28

Carteira de Investimentos

A Gryphon Investimentos S.A. gerencia recursos de terceiros para decidir a composição de uma ou mais

carteira de investimentos:

(29)

29

Carteira de Investimentos

A Tabela 1 mostra os dados dos títulos existentes.

Determine qual o percentual do total deve ser aplicado em cada tipo título.

Título Retorno anual Anos para vencimento

Risco vencimento

1 8,7% 15 1 - Muito baixo

2 9,5% 12 2 - Regular

3 12,0% 8 4 - Alto

(30)

30

Carteira de Investimentos

Variáveis de Decisão:

33% 34% 33%

Percentagem do total investido Dinheiro

(31)

31

Carteira de Investimentos

Deve ser considerado que:

(A)Todo dinheiro deve ser alocado em alguma das opções disponíveis;

+

+ =

P1% P2% P3% 100%

(32)

32

Carteira de Investimentos

(B)Não mais que 25% do total aplicado deve ser investido em uma única aplicação;

P₁≤ 25 P₂≤ 25 P₃≤ 25

(33)

33

Carteira de Investimentos

(C)O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido;

(34)

34

Carteira de Investimentos

(D)Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maior que

10 anos.

P₁+ P₃ ≥ 50

(35)

Problema do Caixeiro Viajante

35

(1) Percorrer todas as cidades.

(2) Passar por todas apenas uma única

(3) Minimizar a distância

percorrida !

apenas uma única vez.

(36)

Problema do Caixeiro Viajante

36

4

3

2 1

1 4 2 3

4

3

2 1

1 4 2 3 4

3

2 1

1 3 2 4

4

3

2 1

1 2 3 4

1 4 2 3 4 2 3 1 2 3 1 4 3 1 4 2

1 4 2 3 4 2 3 1 2 3 1 4 3 1 4 2 1 3 2 4

3 2 4 1 2 4 1 3 4 1 3 2

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

Para o Problema do Caixeiro Viajante Simétrico existem (n-1)!/2 soluções distintas em termos de

distância !

(37)

Problema do Caixeiro Viajante

37

4

3

2

1 NP-Difícil

Variáveis inteiras

(38)

Problemas NP-difícil

38

Cidades (n-1)!/2 Tempo

5 12 Insignif.

10 181440 0.001 s

15 43 bilhões 10 min 20 6.0 x 10¹⁶ 36 anos Quanto tempo

para resolver usando 1 computador capaz de fazer

20 6.0 x 10¹⁶ 36 anos 25 3.1 x 10²³ 235 milhões

de anos 1 bilhão de

adições por segundo ?

E para valores acima de 26 ?

(39)

39 VEJA.COM, 01/08/2012 – Brasil

O Problema Real

(40)

O Problema Real

40

(41)

Perfuração de Placas de Circuitos

41

(42)

42

1 2

3 4 5

6 7

Qual Trajeto Percorrer ?

8 9

10 11

12

13 14

(43)

43

1 2

3 4 5

6 7

Qual Trajeto Percorrer ?

8 13 9

14

(44)

44 EXAME.COM, 23/07/2012 – Consumidores – Punições da Anatel elevam pedidos de portabilidade

Redes de Telefonia Celular em ação

(45)

45

1

Uso do celular 1

Capta ligação 2

2

Rede de Telefonia Celular em ação

4

3 3

4

(46)

Formulação do problema

46

8 9 10

5 6 7

4

1 2 3

3 4

1 2

1 1 2 2

Célula Central

1 2 3 4

2

1

(47)

47

Formulação do problema

(1) Custo de Cabeamento

3 4

Custo c₃₄: Custo de cabeamento entre a célula 3 e a Central 2 2

1 2

localizada na Célula 4.

1

(48)

48

(2) Custo de Handoff

Formulação do problema

Custo h₂₄: Custo de se mover uma ligação para uma célula adjacente alocada para uma

h

₃₄

= 0

3 4

1 2

h

₁₂

= 0

adjacente alocada para uma antena diferente. No caso, de se mover da célula 2 (Central 1)

para a célula 4 (Central 2).

2

1

(49)

49

(3) Capacidade das Centrais

Formulação do problema

3 2 4

Demanda λ λ λ λ₃ Demanda λ λ λ λ₄

+

≤≤≤≤ Capacidade M

3 4

1 Demanda λ λ λ λ₂ 2

1

+

≤≤≤≤ Capacidade M₂

2

(50)

50

Formulação do problema

(4) Uma única central para cada célula

3 2 4 ^Central

1 1e2 2 2

3 4

1

2

1 2

1 1e2 2 2

Célula

1 2 3 4

(51)

51

Formulação do problema











=

≤

=

− +

∑

∑ ∑ ∑∑∑

=

= = = = =

m , 1,

k para

,

1 para

1 a

sujeito

) 1

(

Minimizar

1

1 1 1 1 1

M x

n i

x

y h

x C

n

k ik

i m

k

ik n

i

n

i

n

j

ij m

k

ij ik

m

k

ik

L L

λ

(2) Handoff (1) Cabeamento (4) Única.









=

∑

=

,

, 1

e , ,

1 para

1 ou 0

1

m k

n i

x_ik

i

k ik

i

L L

onde: se existe alocação da célula i para a central k x_ik = 1,

∑

=

= ^m

k

jk ik

ij x x

y

1

(3) Capac.

(52)

52

Representação da Solução

1 1 2 2

Célula 1 2 3 4

Central

3 4 2

1 1 2

Número de possíveis soluções = centrais^células Em um problema médio: 5⁶⁵ ≈≈≈≈ 10⁴⁵ !

(53)

53

Comparando Soluções

(54)

54

Outro Problema Real

FOLHA ON-LINE, 03/11/2011 – 08H30 – Oi bloqueia DDD via Embratel e Anatel intervém

(55)

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

55

Autopsicografia O poeta é um fingidor.

Finge tão completamente Que chega a fingir que é dor

A dor que deveras sente.

E os que lêem o que escreve, Na dor lida sentem bem, Não as duas que ele teve, Mas só a que eles não têm.

(56)

Teoria de Filas - Resumo

56

Chegada

A Atendimento

C1

C B Fila

C2

(57)

57

Estudo de Caso

REVISTA EXAME, EDIÇÃO 1001, ANO 45, NO. 18, PP. 60-64, 05/10/2011

(58)

58

Estudo de Caso

(59)

ALGUMAS DEFINIÇÕES

59

Modelo determinístico de simulação

É tal que não emprega variáveis aleatórias.

(60)

ALGUMAS DEFINIÇÕES

60

Modelo determinístico de simulação

É tal que não emprega variáveis aleatórias.

1

2 3

(61)

ALGUMAS DEFINIÇÕES

61

Modelo estocástico de simulação

É tal que emprega uma ou mais variáveis aleatórias.

Tempo de descarregamento pode ser variável em [11,13]

Pode existir a probabilidade de uma máquina quebrar.

(62)

Teoria de Filas - Resumo

62

Fila de Navios

Atendimento no Porto

Posto de Gasolina Lanchonete

(63)

Teoria de Filas - Resumo

63

Fila de Aviões

Atendimento no Aeroporto

(64)

Teoria de Filas - Resumo

64

(65)

Ferramenta de Simulação

65

Duas mulheres operando o ENIAC (fotografia pertencente ao Exército

dos Estados Unidos (U.S. Army) em Fevereiro de 1946.

Alguns dados:

• Peso de cerca de 30 toneladas

• Ocupava 270m²

• Capacidade de processamento:

5x10³ FLOPS/s Alguns dados de um Laptop:

• Peso de cerca de 3 quilos

• Ocupa 30 cm²

•

(66)

66