Teoria da Probabilidade
Anna Regina Cˆorbo
DEMAT - CEFET/RJ
Aula Te´orica 4
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional ´e uma probabilidade calculada n˜ao mais a partir do espa¸co amostral S, e sim a partir de um subconjunto deS.
SejaS espa¸co amostral e dois eventosAe B. Com o s´ımbolo P(A|B) indicamos a probabilidade condicional do evento A, uma vez queB tenha ocorrido.
Probabilidade Condicional
Exemplo: S = 100 pessoas onde 40 com diploma, 20 microempres´arios e 10 ambos.
Probabilidade Condicional
Formalmente, temos:
P(A|B) = #(A∩B)
#B =
#(A∩B)
#S
#B
#S
= P(A∩B) P(B)
Ou seja,
P(A|B) = P(A∩B)
P(B) , onde P(B)>0.
Probabilidade Condicional
Teorema da Multiplica¸c˜ao
Consequˆencia: Teorema da Multiplica¸c˜ao P(A∩B) =P(B)·P(A|B)
Parti¸c˜ ao do Espa¸co Amostral
Os eventosB1,B2,B3,· · · ,Bk formam uma parti¸c˜ao do espa¸co amostral se:
1 Bi ∩Bj =∅
2 S
Bi =S
3 P(Bi)>0, para todo i
Parti¸c˜ ao do Espa¸co Amostral
Teorema da Probabilidade Total
Consequˆencia: Teorema da Probabilidade Total
SejaB1,B2,· · · ,Bk uma parti¸c˜ao do espa¸co amostralS e Aum evento qualquer deS. Ent˜ao:
P(A) =P(A|B1)·P(B1) +P(A|B2)·P(B2) +· · ·+P(A|Bk)·P(Bk) Ou seja,
P(A) =
k
X
i=1
P(A|Bk)·P(Bk)
Parti¸c˜ ao do Espa¸co Amostral
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
a) Forma Simples:
Sejam dois eventosA eB de um espa¸co amostralS.
P(B|A) = P(A|B)·P(B) P(A)
Parti¸c˜ ao do Espa¸co Amostral
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
b) Forma Geral:
SejaB1,B2,· · · ,Bk uma parti¸c˜ao do espa¸co amostralS e Aum evento.
P(Bi|A) = P(A|Bi)·P(Bi) Pk
j=1P(A|Bj)·P(Bj)
Parti¸c˜ ao do Espa¸co Amostral
Teorema de Bayes - Exemplo
Exemplo 1:
Cidade em que 40% s˜ao homens e 60% s˜ao mulheres. Al´em disso, 50% dos homens fumam e 30% das mulheres fumam. Qual a probabilidade de ser homem dado que ´e fumante?
Parti¸c˜ ao do Espa¸co Amostral
Teorema de Bayes - Exemplo
Exemplo 2:
Empregados de uma empresa: 40% economistas, 30% engenheiros e 30% administradores.
O percentual de cada grupo exercendo cargo gerencial ´e: 30% dos economistas, 40% dos engenheiros e 10% dos administradores.
Seleciona-se um empregado aleatoriamente.
a) Qual a probabilidade de ser gerente?
b) Qual a probabilidade de ser economista dado que ´e gerente?
Independˆ encia de eventos
Independˆencia de dois eventos
Dois eventosAe B s˜ao ditos independentes se:
P(A∩B) =P(A)·P(B) Neste caso, seAindepende deB ent˜ao
P(B|A) = P(A∩B)
P(A) = P(A)·P(B)
P(A) =P(B)
Logo,
P(B|A) =P(B) P(B|A) =P(B)
Independˆ encia de eventos
Independˆencia de trˆes ou mais eventos
SejamA,B,C eventos independentes do espa¸co amostralS. P(A∩B∩C) =P(A)·P(B)·P(C)
Generalizando, seA1,A2,· · · ,Ak s˜aok eventos independentes de S, ent˜ao
P(A1∩A2∩ · · · ∩Ak) =P(A1)·P(A2)· · · · ·P(Ak)
Independˆ encia de eventos
Exemplos
Exemplo 1:
A probabilidade de um certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de uma certa data, ´e 0,4 e de que sua esposa sobreviva mais de 10 anos a partir da mesma data ´e 0,5. Qual a probabilidade de:
a) ambos sobreviverem mais de 10 anos a partir daquela data?
b) ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data?
Independˆ encia de eventos
Exemplos
Exemplo 2:
A probabilidade de um atirador acertar o alvo ´e de 20%. Ele atirou 5 vezes.
a) Qual a probabilidade dele acertar exatamente 3 tiros?
b) Qual a probabilidade dele acertar pelo menos 1 tiro?
O Paradoxo de Monty Hall
Vulgo: Porta dos desesperados
Monty Hall, um apresentador de TV, apresentava trˆes portas aos concorrentes. Atr´as de uma delas estava um prˆemio (um carro) e as outras duas dois bodes.
Qual ´e a estrat´egia mais l´ogica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Por
O Paradoxo de Monty Hall
Vulgo: Porta dos desesperados
