UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI - ÁRIDO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS CIÊNCIAS AMBIENTAIS
BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
GUSTAVO SOMBRA VASCONCELOS
IMPLEMENTAÇÃO DE UM APLICATIVO ANDROID PARA O DIMENSIONAMENTO DE LAJES NERVURADAS BIDIRECIONAIS
MOSSORÓ – RN 2017
GUSTAVO SOMBRA VASCONCELOS
IMPLEMENTAÇÃO DE UM APLICATIVO ANDROID PARA O DIMENSIONAMENTO DE LAJES NERVURADAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Universidade Federal Rural do Semi-Árido como requisito parcial para a obtenção do grau de Bacharel em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Eric Mateus Fernandes Bezerra
MOSSORÓ – RN 2017
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V331i Vasconcelos, Gustavo Sombra.
IMPLEMENTAÇÃO DE UM APLICATIVO ANDROID PARA O DIMENSIONAMENTO DE LAJES NERVURADAS / Gustavo Sombra Vasconcelos. - 2017.
47 f. : il.
Orientador: Eric Mateus Fernandes Bezerra . Monografia (graduação) - Universidade Federal Rural do Semi-árido, Curso de Engenharia Civil, 2017.
1. Android. 2. Laje nervurada. 3. Concreto armado. I. , Eric Mateus Fernandes Bezerra, orient. II. Título.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente quero agradecer a Deus, não somente por me proporcionar a capacidade de realizar esse trabalho, mas também por tudo que tenho na vida e por todas as pessoas que agradecerei a seguir.
Agradeço aos meus pais, José Haroldo Vasconcelos e Maria Lenilda Sombra Vasconcelos, por sempre terem lutado, esforçado e me apoiado para que eu conseguisse chegar até onde cheguei.
Aos meus irmãos, irmãs e ao meu tio Arilo, que de formas diferentes contribuíram direta ou indiretamente para a realização desse trabalho, bem como da minha formação pessoal e acadêmica.
Ao meu orientador, o Prof. Eric Mateus, pelo material de suporte, dicas, explicações e pelos conselhos acadêmicos e para vida.
Agradeço a minha namorada Ridna Lima, que não só no decorrer desse trabalho, mas durante todo o curso, esteve ao meu lado me dando suporte e força para enfrentar as dificuldades e desafios.
Aos meus amigos da casa 17: Wallace Kacio, Horácio Nepomuceno, Dimas Sombra, Diniz Neto, Pablo Emanuel, Eric Daniel e Ramon Tabosa, obrigado por tudo, pelas risadas, pelas brincadeiras, pelo CS até de madrugada, pelos momentos de tensão, pelas trocas de experiências. Levarei um pouco de cada um comigo e nunca os esquecerei.
Muito obrigado por tudo!
DON’T PANIC!
O guia do mochileiro das galáxias
RESUMO
Com o aumento da capacidade de processamento de dados dos dispositivos móveis, nos últimos anos, os mesmos têm sido muito utilizados no lugar dos computadores pessoais para realizar suas atividades profissionais. Com isso, há um estimula da indústria para o desenvolvimento de aplicativos para oferecer esse suporto. Nesse sentido, e dada a importância das lajes na estruturação de quase toda edificação, este trabalho trata do desenvolvimento de um aplicativo para dispositivos móveis com sistemas operacionais Android, denominada Waffles, para auxiliar no dimensionamento de lajes nervuradas bidirecionais de concreto armado, considerando as prescrições da NBR 6118:2014. Na análise estrutural, utilizou-se a Teoria de placas, mediante a transformação da laje nervurada em uma laje maciça com mesma rigidez à flexão. A programação foi realizada através da IDE Android Studio, utilizando linguagem de programação orientada a objetos em Java. A validação do aplicativo foi comprovada através da comparação dos seus resultados com os obtidos por uma solução analítica e seu potencial é identificado quando comparado com um software consolidado no mercado. Os resultados mostraram que o aplicativo pode ser empregado como uma ferramenta de auxílio na elaboração de projetos de lajes nervuradas, além de poder desempenhar um papel pedagógico.
Palavras-chave: Android. Lajes nervuradas. Concreto armado.
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 - Resumo das áreas de aço calculadas e efetivas nas direções x e y ... 39
Tabela 4.2 - Resultados obtidos pelo aplicativo e pelo exemplo... 42
Tabela 4.3 - Resultados obtidos pelo aplicativo e pelo Eberick ... 43
Tabela 4.4 - Detalhamento gerado pelo aplicativo e pelo Eberick ... 44
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Vigota tipo trilho ... 13
Figura 2.2 - Vigota treliçada ... 13
Figura 2.3 - Lajes alveolares... 13
Figura 2.4 - Laje duplo "T" ... 14
Figura 2.5 - Cubetas plásticas ... 14
Figura 2.6 - Discretização da laje em faixas de largura unitária ... 16
Figura 2.7 - Casos de vinculação de lajes isoladas ... 18
Figura 2.8 - Inclinação das linhas de ruptura para o cálculo das reações de apoio ... 20
Figura 2.9 - Discretização de uma laje em uma grelha plana ... 21
Figura 2.10 - Seção de uma laje nervurada ... 24
Figura 2.11 - Seção “T” com linha neutra fictícia dentro da mesa ... 24
Figura 2.12 - Seção “T” com linha neutra fictícia dentro da nervura ... 25
Figura 3.1 - Tela inicial do aplicativo... 30
Figura 3.2 - Tela de detalhamento do aplicativo ... 32
Figura 3.3 - Tela de relatório do aplicativo ... 33
Figura 3.4 - Fluxograma do dimensionamento à flexão ... 33
Figura 3.5 - Fluxograma de verificação ao cisalhamento ... 34
Figura 3.6 - Fluxograma de verificação da flecha máxima ... 34
Figura 4.1 - Trecho do pavimento a ser projetado ... 36
Figura 4.2 - Trecho da laje nervurada e suas seções transversais... 36
Figura 4.3 - Resultados exibidos no relatório de cálculo ... 38
Figura 4.4 - Resultados no relatório de cálculo ... 42
Figura 4.5 - Malha de grelha pelo Eberick ... 43
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 10
1.1. CONSIRAÇÕES INICIAIS ... 10
1.2. OBJETIVO ... 11
2. LAJES NERVURADAS ... 12
2.1. GENERALIDADES ... 12
2.2. MÉTODOS PARA ANÁLISE ESTRUTURAL ... 15
2.2.1 Teoria de grelha ... 15
2.2.2 Método de Marcus ... 16
2.2.3 Teoria das placas ... 17
2.2.4 Teoria das linhas de ruptura ... 19
2.2.5 Analogia de grelha equivalente ... 20
2.2.6 Elementos finitos ... 21
2.3. PROJETO DE ACORDO COM A NBR 6118/2014 ... 22
3. DESENVOLVIMENTO DO APLICATIVO... 29
3.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 29
3.2. INTERFACE TELA PRINCIPAL ... 29
3.3. INTERFACE DETALHAMENTO ... 31
3.4. INTERFACE RELATÓRIO DE CÁLCULO ... 32
4. APLICAÇÕES NUMÉRICAS ... 35
4.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS ... 35
4.2. DIMENSIONAMENTO DE LAJE NERVURADA BIDIRECIONAL ... 35
5. CONCLUSÃO ... 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 46
1. INTRODUÇÃO
1.1. CONSIRAÇÕES INICIAIS
Nos últimos anos, os dispositivos móveis têm se tornado cada vez mais presentes na vida das pessoas, tanto para o entretenimento como para auxílio nas atividades diárias. Devido à mobilidade e praticidade, é cada vez mais comum que smartphones e tablets substituam os computadores pessoais em diversas atividades. Estes têm sofrido mudanças ao longo dos anos e têm ganhado poder de processamento para desempenhar diversas funções, o que estimula cada vez mais a indústria de desenvolvimento de aplicativos.
Tendo em vista o cenário atual da engenharia civil, em razão da grande demanda de projetos, a agilidade do engenheiro em suas concepções se tornou imprescindível. O deslocamento entre obra e escritório faz com que, no que diz respeito à agilidade e mobilidade, o uso de computadores pessoais não se mostra como a opção mais eficiente. Desse modo, ao desenvolver produtos para área da engenharia, como softwares para cálculos de dimensionamento e análise estrutural, a mobilidade é cada vez mais considerada com finalidade de facilitar e tornar mais prática e rápida a resolução de alguns problemas na área da engenharia civil.
É sabido que análises mais sofisticadas demandam uma capacidade de processamento de dados muito elevada. Portanto, para um projeto integrando de uma estrutura, por exemplo, é inviável a utilização de dispositivos móveis. Entretanto, para tratar problemas mais simples, a utilização de ferramentas mais leves que façam análise de um problema específico se torna eficiente.
Os aplicativos para dispositivos móveis são também um recurso interessante na área acadêmica, tendo em vista que podem potencializar os estudos e familiarizar os alunos com ferramentas de projeto. Além de servir para conferir as soluções manuais, os mesmos podem ser empregados para realizar várias análises em um curto período de tempo e verificar a influência dos fatores que regem o comportamento do modelo analisado.
O desenvolvimento de ferramentas para auxiliar no projeto de estruturas tem sido muito recorrente, dada à demanda dispendiosa de operações matemáticas inerentes a esses problemas.
Logo, este trabalho trata do desenvolvimento de um aplicativo para dispositivos móveis que utilizem sistemas operacionais Android para auxiliar no dimensionamento de lajes nervuradas bidirecionais retangulares de concreto armado, com base nas prescrições da NBR 6118:2014.
As lajes são elementos estruturais planos que formam o piso das edificações. São responsáveis
por receber diretamente as ações verticais provenientes da utilização do usuário, mas também assumem a função de atuar como diafragmas rígidos, distribuindo os esforços horizontais entre os pilares da edificação. Portanto, as lajes são de fundamental importância para a estabilidade global da estrutura.
A programação foi realizada utilizando a IDE Android Studio, através de programação orientada a objetos em Java. O Android consiste em um sistema operacional móvel baseado no Linux que possui uma plataforma de livre distribuição. Desse modo, qualquer um pode fazer download de códigos e fazer alterações para criação de produtos personalizados, fato que contribui para a sua grande aceitação e utilização (FINCOTTO & SANTOS, 2014).
1.2. OBJETIVO
O objetivo geral deste trabalho consiste em desenvolver um aplicativo simples, intuitivo, esteticamente agradável e eficiente, para dispositivos móveis com sistema operacional Android, para que seja utilizado no auxílio para o dimensionamento e detalhamento de lajes nervuradas armadas em duas direções.
Visando alcançar o objetivo geral, os seguintes objetivos específicos são:
• Realizar levantamento bibliográfico acerca dos elementos estruturais em concreto armado;
• Familiarizar-se com a linguagem de programação orientada a objetos em Java;
• Construir a interface do aplicativo;
• Implementar o código para o dimensionamento e detalhamento da laje à flexão;
• Implementar o código para verificação do esforço cortante;
• Implementar o código para verificação do estado limites de deformações excessivas;
• Comparar resultados do aplicativo com um software de projeto de estruturas de concreto armado.
2. LAJES NERVURADAS
2.1. GENERALIDADES
De acordo com França & Fusco (1997), o pavimento de uma edificação, devido sua grande superfície, é normalmente o elemento da estrutura que mais consome material, podendo chegar, no caso de lajes maciças, a 2/3 do consumo total de concreto da estrutura. Por esse motivo, tem-se buscado cada vez mais otimizar as técnicas de construção, de forma a melhorar o desempenho da estrutura e, ao mesmo tempo, torná-la economicamente viável.
Ao dimensionar um pavimento, é possível obter uma economia considerável reduzindo poucos centímetros na espessura da laje. Em contrapartida, reduzir as dimensões das estruturas tem feito com que se busque concretos cada vez mais resistentes e novas técnicas construtivas, além de aprimorar os processos de cálculo (CARVALHO; PINHEIRO, 2013).
As lajes podem ser maciças ou nervuradas, podendo se apoiar em vigas ou diretamente nos pilares. As lajes nervuradas, que são, segundo o item 14.7.7 da NBR 6118 (2014), as “lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte”, surgiram como uma evolução natural da laje maciça. Eliminando a maior parte do concreto abaixo da linha neutra, que pouco contribui para a resistência, é possível aumentar a altura da laje de forma econômica, devido criação de vazios, formando por um conjunto de nervuras que podem estar dispostas em uma ou nas duas direções, com espaçamentos regulares entre si. Esse sistema de laje foi criado como uma forma de conseguir aliviar o peso próprio da estrutura e, ao mesmo tempo, ter um melhor aproveitamento e eficiência, tanto do aço como do concreto (FRANÇA;
FUSCO, 1997).
Para pequenos vãos a serem vencidos e carregamentos não muito elevados, o sistema de laje maciça é amplamente utilizado, é amplamente usado e apresenta desempenho satisfatório, uma vez que a espessura exigida para a laje não é muito grande. Contudo, para vão maiores, a espessura exigida para atender ao deslocamento máximo permitido, certamente seria muito elevada, tornando a estrutura economicamente inviável devido ao alto consumo de concreto. Nesses casos, as lajes nervuradas se mostram como uma alternativa mais econômica e eficiente que as maciças, pois a redução de concreto nas áreas tracionadas proporciona um melhor aproveitamento do concreto e do aço, fazendo com que haja uma diminuição no uso de concreto e, consequentemente, no seu peso próprio (BEZERRA et al., 2017).
As lajes nervuradas podem ser classificadas em pré-fabricadas e moldadas no local. As pré-fabricadas podem ser encontradas com nervuras feitas com vigotas, que podem ser do tipo trilho (Figura 2.1) ou treliçada (Figura 2.2), lajes alveolares (Figura 2.3) e duplo “T” (Figura 2.4).
Figura 2.1 – Vigota tipo trilho
Fonte: JAGIndustrial (2017).
Figura 2.2 - Vigota treliçada
Fonte: ArchieExpo (2017).
Figura 2.3 - Lajes alveolares
Fonte: Prefab (2017).
Figura 2.4 - Laje duplo "T"
Fonte: Lajes Patagonia (2017).
Já as lajes moldadas no local geralmente são construídas utilizando cubetas, que são fôrmas de plástico reforçado para a confecção das nervuras (Figura 2.5). Essas cubetas são encontradas com diversas dimensões em planta e altura, podendo atender desde projetos simples até os mais sofisticados, proporcionando rapidez na execução, possibilidade de reutilização, além de ter ótima precisão, tanto nas dimensões quanto em seu acabamento (CARVALHO; PINHEIRO, 2013).
Figura 2.5 - Cubetas plásticas
Fonte: AltoQI, 2012.
Dentre as vantagens que as lajes nervuradas apresentam, destaca-se a eficiência em vencer grandes vãos. Também são versáteis, podendo ser utilizadas em pavimentos com utilizações diversas, como em edificações comerciais, hospitalares, garagens, dentre outras.
Além disso, necessitam de menos concreto e aço que outros sistemas, o que proporciona uma diminuição no seu peso próprio, aliviando as fundações e possibilitando suportar cargas mais elevadas (CARVALHO; PINHEIRO, 2013).
Segundo França & Fusco (1997), durante algum tempo houve uma certa resistência ao emprego das lajes nervuradas no meio técnico, sobretudo em relação ao sistema de lajes
nervuradas bidirecionais, em virtude, principalmente, da grande quantidade de formas necessárias para sua execução. Hoje, no entanto, este panorama mudou. Com o avanço da tecnologia, novos materiais foram criados, como as armaduras treliçadas e os blocos de E.P.S., tornando o emprego das lajes nervuradas uma alternativa viável em virtude das qualidades técnicas, da eficiência de seu sistema e da economia que esse sistema de lajes apresenta.
2.2. MÉTODOS PARA ANÁLISE ESTRUTURAL
A NBR 6118:2014 preconiza que as lajes nervuradas podem ser calculadas como lajes maciças desde que algumas restrições sejam atendidas. Conforme Araújo (2010), existem diversos métodos de cálculo para análise estrutural de placas, podendo-se citar os seguintes:
Teoria das placas, Método de Marcus, Teoria de grelhas, Linhas de ruptura, elementos finitos e analogia de grelhas.
2.2.1 Teoria de grelha
Essa teoria consiste em analisar um trecho da laje como uma faixa de largura unitária na direção do eixo x e outra no eixo y, independentes entre si, como mostra a Figura 2.6, e, em seguida, fazer a compatibilização dos deslocamentos no centro, desconsiderando os efeitos de torção da laje e assumindo que a laje está simplesmente apoiada nos quatro cantos.
De acordo com Araújo (2010), esse método é uma simplificação do cálculo de lajes armadas em cruz que não possuem rigidez à torção ou que não possuem ancoramento suficiente nos seus cantos, podendo também ser empregado para lajes usuais, com estrutura monolítica constituída de vigas, quando não há armadura de canto na face superior da laje.
Sabe-se que cada faixa é responsável por conduzir parte do carregamento total (quinhão de carga), constante em cada direção e uniformemente distribuído até os apoios. Conhecido esse quinhão de carga que atua em cada faixa (px e py), é possível determinar os diagramas de momento e cortante, conhecendo-se as condições de contorno do painel (CAMACHO, 2004).
Figura 2.6 - Discretização da laje em faixas de largura unitária
Fonte: Camacho (2004).
2.2.2 Método de Marcus
Para as lajes maciças, o método das grelhas apresenta resultados conservadores quando comparados com os resultados reais. Isso se dá pelo fato do método desconsiderar a união entre as faixas e a rigidez à torção. Esse método é fruto da comparação entre esses resultados e a posterior correção dos valores obtidos através do processo das grelhas, de modo a aproximá- los dos valores reais das placas.
O método de Marcus é um método simplificado que procura considerar os efeitos de torção da laje, adaptando a teoria das grelhas. Esse é um método aproximado, sendo uma melhoria da teoria das grelhas, e é bastante empregado por apresentar resultados satisfatórios nos projetos de lajes de concreto (ZENZEN, 2012)
Segundo Araújo (2010), devido a rigidez à torção considerada na análise, os valores de momento fletor positivo assim como os valores de flecha máxima são menores que os obtidos pela teoria de grelhas. Em virtude de sua simplicidade, esse método se mostra muito atrativo, além de possuir diversas soluções analíticas disponíveis, facilitando sua implementação computacional. Entretanto, por considerar rigidez à torção da laje, esse método possui as mesmas restrições que a teoria de placas, como a consideração de apoios rígidos, emprego de armaduras de canto, dentre outras.
2.2.3 Teoria das placas
De acordo com Werner & Vargas (2013), a teoria das placas, também conhecida como Teoria de Kirchhoff-Love, é baseada na lei de Hooke que considera que os materiais estão em regime linear-elástico. Segundo Carvalho et al. (2007), esse método se fundamenta em
“equações de equilíbrio para um elemento infinitesimal de placa e na compatibilidade das deformações do mesmo”. A teoria das placas considera o material da placa sendo, além de elástico, isotrópico e homogêneo, isto é, admite-se que está se trabalhando com um único material que possui as mesmas propriedades em todas as direções.
Além disso, segundo Carvalho & Figueiredo Filho (2014), outras considerações também são feitas a fim de facilitar o emprego das condições de contorno na determinação dos esforços, como:
a) A ação das placas nas vigas do contorno se dá apenas por esforços verticais, não havendo transmissão de momento nem torção paras as vigas;
b) As ações da placa são uniformemente distribuídas nas vigas, passando por essas e só então para os pilares;
c) As vigas de contorno são indeslocáveis na direção vertical e a rotação das placas no contorno é livre (simplesmente apoiada) ou totalmente impedida (engastada).
Aplicando o equilíbrio em um elemento infinitesimal e assumindo as hipóteses da Teoria de Placas Finas, a solução de uma placa recai em uma equação diferencial parcial de quarta ordem (Equação 1), cuja solução é complexa e inexiste para muitos casos.
D y x p y
w y
x w x
w ( , )
2 4
4 2 2
4 4
4
(1)
em que:
w é o campo de deslocamentos verticais;
D é a rigidez à flexão de uma placa, dada por: 𝐸ℎ³
12(1−𝜐2)
E é o módulo de deformação longitudinal do concreto;
υ é o coeficiente de Poisson.
De acordo com Duarte (1998), a aplicação de processos para integração da equação geral das placas elásticas por séries trigonométricas é de grande ajuda para a criação de tabelas para cálculo aproximado dos esforços solicitantes e deslocamentos máximos (flechas) nas placas com formas e carregamentos mais comuns. Dentre os processos de cálculo aproximado, destaca-se o de Marcus (1929), de grande importância histórica, por ser o mais indicado da fase
anterior aos computadores eletrônicos. Contudo, com o advento dos computadores e devido ao desenvolvimento de métodos numéricos em engenharia, foi possível elaborar tabelas que substituem hoje, com muitas vantagens, as tabelas de Marcus.
Para Carvalho & Figueiredo Filho (2014), uma das publicações mais completas é a de Bares (1970), que fornece tabelas com coeficientes para cálculo dos momentos fletores e flecha máxima, obtidos a partir da solução por dupla série de Fourier proposta por Navier e particularizada para coeficientes de Poisson entre 0 e 0,30 e para diversas vinculações. A partir da geometria e vinculação (Figura 2.7) da laje, é possível calcular os esforços solicitantes.
Porém, para tanto, é necessário, antes, discretizar o pavimento, tratando cada laje isoladamente de acordo com sua vinculação em relação às demais.
Figura 2.7 - Casos de vinculação de lajes isoladas
Fonte: Carvalho & Filho (2014).
Os esforços das lajes podem ser obtidos admitindo a laje como maciça, desde que atenda algumas prescrições. Porém, de acordo com Carvalho & Pinheiro (2013), os esforços obtidos por esse método são subestimadas, tendo em vista que a rigidez à torção de uma placa não igual à rigidez à torção de uma laje nervuradas. Para fazer uma correção nos valores dos esforços, Hahn (1972) sugere que os valores dos esforços solicitantes obtidos considerando uma laje maciça sejam multiplicados por um coeficiente δ (coeficiente de Hahn), dado por
4 2
1 6 1 5
1
(1) sendo ε = lx/ly, com lx sendo o menor vão e ly o maior.
2.2.4 Teoria das linhas de ruptura
A teoria das linhas de ruptura, conhecida também como charneiras plásticas, considera o equilíbrio da laje na iminência da ruptura, isto é, no ELU (Estado limite último). Para Araújo (2010), essa teoria apresenta uma desvantagem comparada às soluções elásticas, pois não permite a análise da laje em condições de utilização. Todavia, alguns de seus resultados ainda são bastante utilizados, como por exemplo, para o cálculo das reações de apoio das lajes.
De acordo com a NBR 6118, é possível utilizar o método das linhas de ruptura quando as deformações da seção da laje estiverem nos domínios 2 e 3 (sub e normalmente armadas).
Além disso, é necessário que se garanta a ductilidade adequada. Para isso, deve-se obedecer a relação x/d ≤ 0,30, sendo x a posição da linha neutra e d a altura útil.
Segundo Araújo (2010), algumas hipóteses básicas são necessárias para a utilização do método das linhas de ruptura para determinar os esforços. A primeira delas é que na iminência da ruptura da laje, linhas de ruptura são formadas nas regiões de momento máximo, ao longo das quais atuam momentos constante. Além disso, considera-se que a laje é dividida em partes planas que só estão sujeitas a movimentos de rotação e que as deformações elásticas da laje podem ser desprezadas.
De acordo com a NBR 6118, em lajes retangulares com carregamento uniformemente distribuído, as reações de apoio podem ser obtidas considerando as áreas dos triângulos e trapézios que são obtidos traçando, a partir dos vértices, linhas inclinadas de 45°, quando estiver entre dois apoios de mesmo tipo, 60°, a partir do apoio engastado quando o vizinho for simplesmente apoiado, e 90°, a partir do apoio quando a borda vizinha for livre como mostra a Figura 2.8.
Figura 2.8 - Inclinação das linhas de ruptura para o cálculo das reações de apoio
Fonte: Pinheiro (2007).
2.2.5 Analogia de grelha equivalente
Uma grelha é uma estrutura plana reticulada composta de elementos contínuos que se interceptam ou se cruzam mutuamente e está sujeita a cargas perpendiculares ao seu plano. Os esforços solicitantes nas grelhas são determinados por métodos conhecidos na estática das estruturas, como o método dos esforços e o método dos deslocamentos (STRAMANDINOLI, 2003).
Segundo a NBR 6118:2014, é permitido que o cálculo dos esforços solicitantes de uma laje nervurada bidirecional possa ser feito através da substituição desta por uma placa maciça de mesma rigidez à flexão. Contudo, ao se empregar o modelo de placa, por exemplo, usando tabelas para efetuar os cálculos, está se admitindo, implicitamente, que as vigas no contorno da laje não se deslocam e, com isso, a inércia das vigas é desconsiderada (CARVALHO;
PINHEIRO, 2013).
Esse método, segundo Stramandinoli (2003), tem levado a resultados insatisfatórios em diversos casos. Isso decorre do fato de a laje nervurada não possuir a mesma rigidez à flexão de uma laje maciça, fazendo com que os valores de momentos fletores e deflexões atinjam valores mais elevados.
Isso tem feito com que, cada vez mais, busquem-se os métodos de análise mais precisos, dentre os quais, pode-se citar analogia de grelha. Esse método, de acordo com Bezerra et al.
(2017), tem um baixo custo de processamento e apresenta bons resultados na análise de lajes nervuradas, além de ter se mostrado um modelo de cálculo bastante apropriado, uma vez que
as lajes nervuradas obedecem a um sistema similar ao método, isto é, as nervuras fazem o papel da grelha de barras onde se apoia a mesa.
Analogia de grelha equivalente é um dos métodos numéricos mais difundidos e utilizados na análise de lajes de concreto armado, podendo ser utilizado em lajes poligonais de formas variadas, incluindo vigas e apoios. Dessa forma, é possível calcular o pavimento como um todo de forma integrada entre todos os componentes da estrutura, levando em consideração as deformações sofridas pelas vigas de apoio (ARAÚJO, 2010).
O processo de analogia de grelha consiste em discretizar a laje em uma série de faixas ortogonais com determinada largura, formando uma malha equivalente de barras exatamente nos seus eixos (Figura 2.9). Assim, obtém-se uma grelha plana que pode ser considerada como um conjunto de vigas individuais interligadas nos seus nós (COELHO, 2000).
Figura 2.9 - Discretização de uma laje em uma grelha plana
Fonte: Coelho, 2000.
2.2.6 Elementos finitos
O Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em subdividir o domínio de integração em um número finito de elementos. Esses elementos, então, passam a representar o domínio contínuo do problema. A divisão da geometria em pequenos elementos permite resolver um problema complexo, transformando-o em uma série de problemas mais simples, possibilitando realizar essas tarefas com maior eficiência. O método propõe que o número infinito de variáveis desconhecidas, sejam substituídas por um número limitado de elementos de comportamento bem definido. Essas divisões podem apresentar diferentes formas em função do tipo e da dimensão do problema.
Os elementos finitos são interligados por pontos denominados de nós ou pontos nodais.
Dá-se o nome de malha aos conjuntos desses itens (elementos e nós). Devido à essas subdivisões na geometria, as equações matemáticas que determinam o comportamento físico serão feitas de forma aproximada por este método numérico e não de forma exata (ARAÚJO, 2010).
De acordo com Soriano (2003), a precisão do Método dos Elementos Finitos dependerá da quantidade de pontos nodais e elementos. No processo de discretização, o número infinito de pontos do domínio do modelo matemático com incógnitas a se determinar, será substituído pelo número finito de nós da malha de elementos com número discreto de incógnitas. Portanto, dependendo do tamanho e dos tipos de elementos da malha, o comportamento do modelo discreto se aproxima do modelo matemático. Isto é, quanto menor o tamanho desses elementos e maior a sua quantidade, mais refinada é a malha, conduzindo a resultados da análise mais precisos.
De acordo com Araújo (2010), esse método numérico pode ser usado para auxiliar em diversos problemas na área da engenharia, como na análise estrutural, além do fluxo de fluidos, condução de calor, dispersão de poluente etc. No caso da análise estrutural, o método é comumente utilizado para a obtenção de deformações e tensões.
2.3. PROJETO DE ACORDO COM A NBR 6118/2014
A NBR 6118/2014 permite que as lajes nervuradas possam ser dimensionadas como lajes maciças, desde que sua espessura seja tal que proporcione uma mesma rigidez à flexão.
Para que isso seja permitido, o projeto de lajes nervuradas deve atender algumas condições. Se a distância entre eixos das nervuras (bf) for menor do que 65 cm, poderá ser dispensada a verificação de flexão na mesa, sendo dimensionada como uma laje maciça, adotando-se, por consequência, uma armadura mínima. Caso bf esteja entre 65 e 110 cm, deve ser calculada uma armadura de flexão para a mesa e as nervuras podem ser verificadas ao cisalhamento como vigas. Essa última na qual deve ser maior do que a armadura mínima. Se bf for maior que 110 cm, a mesa deve ser dimensionada como uma laje maciça apoiada em uma grelha de vigas.
De acordo com a NBR 6118/2014, alguns critérios devem ser atendidos quanto as dimensões das lajes nervuradas: a espessura da mesa (hf) deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre as faces das nervuras (l0) e do que 4 cm quando não houver tubulações horizontais embutidas; caso haja e o diâmetro da tubulação for menor ou igual a 10 mm, esse
limite sobe para 5 cm; se o diâmetro for maior do que 10 mm, a altura da laje será de 4 cm mais o diâmetro do tubo. A largura da nervura (bw) não pode ser inferior a 5 cm, e para uma espessura menor do que 8 cm, a nervura não poderá conter armadura de compressão.
A lajes estão submetidas a esforços tais como as cargas variáveis (q) decorrentes da sua utilização (pisos de escolas, hospitais, arquibancadas, edifícios residenciais, etc.), cargas permanentes provenientes do peso próprio da estrutura (gpp), do revestimento (grev) e de sobrecargas (gsc). Ainda que as cargas acidentais possam assumir posições e magnitudes distintas, será considerado uma distribuição uniforme e a carga considerada dependerá, como sugere a NBR 6120:1980, da finalidade proposta para a laje. Essa norma considera o peso específico do concreto armado (γc) igual 25 KN/m³. Dessa maneira, o peso próprio da laje (por metro quadrado) será:
c y
x
c wy fy wx fx f y
x
pp l l
N b b b b h h l
g l ( ) ( ) γ
(2)
em que lx e ly são, respectivamente, o menor e o maior vão da laje, Nc é o número de espaços vazios existente entre as nervuras (pode ser considerado o número de cubetas plásticas), dado por,
Ncy Ncx
Nc (3)
sendo Ncx e Ncy, respectivamente, o número de vazios nas direções x e y. O valor de Ncx será dado pelo arredondamento para o número inteiro imediatamente menor da fração lx/bfx e de forma análoga para Ncy, mas para a razão ly/bfy.
Para obter os valores dos momentos fletores e esforços cortantes, fez-se uso do método de Bares, que é baseado na teoria da elasticidade. Os momentos fletores, tanto na direção x como na direção y, podem ser calculados por
4 100 , 1
2 x x
dx
M P
(4)
4 100 , 1
2 x y
dy
M P
(5)
4 10 ,
1 x x
dx
k P
V (6)
4 10 ,
1 y x
dy
k P
V (7)
em que xeysão coeficientes retirados, onde também é retirado o coeficiente α, usado para o cálculo da flecha máxima.
Obtidos os dados das solicitações, materiais e da geometria da laje, o dimensionamento da armadura para cada nervura através do cálculo de equilíbrio de uma seção “T”, considerando que essa está sujeita a flexão simples no ELU (Estado Limite Último), utilizando o diagrama de tensões de compressão simplificado. Caso a posição da linha neutra passe por dentro da mesa, o dimensionamento deverá ser feito considerando uma seção retangular (“T” falso) de largura b1 e altura h (soma de hw e hf sendo, respectivamente, a altura da nervura e a altura da mesa, como mostra a Figura 2.10). Caso a posição da linha neutra esteja na alma, o dimensionamento deverá ser feito considerando uma seção “T”, e que a mesa e uma parte da alma estão sendo comprimidas.
Figura 2.10 - Seção de uma laje nervurada
Fonte: Adaptado de Construção e Decoração de casas (2013).
A fim de identificar se o cálculo será desenvolvido considerando seção “T” ou falso
“T”, compara-se a altura útil (d) com uma altura útil de comparação (d0), expresso pela equação 8, que é um valor teórico da altura útil que faz com que a posição da linha neutra (y) tangencie a face inferior da mesa, fazendo com que esta fique totalmente comprida como é mostrado na Figura 2.11. Dessa maneira, é possível desenvolver o dimensionamento considerando um falso
“T”, ou seja, quando y = hf (CLÍMACO, 2008).
Figura 2.11 - Seção “T” com linha neutra fictícia dentro da mesa
Fonte: Clímaco, 2008.
2 1
85 ,
0 0
d hf
hf b fcd
d M
(8)
sendo Md o momento fletor máximo de projeto.
Portanto, se d > d0, o dimensionamento será feito considerando uma seção retangular.
Nesse caso,
² f b1
d kmd M
cd d
(9)
em que b1 é a largura colaborante, que assumirá o menor valor entre a distância entre eixos das nervuras e a largura da nervura mais duas vezes 10 % do vão nessa direção e kx é a posição adimensional relativa da linha neutra, expressa por
KMD
kx1,251,9174 0,425 (10)
De acordo com a NBR 6118:2014, para que seja garantida a ductilidade, quando fck for menor do que 50 MPa, kx deverá ser menor do que 0,45, e 0,35, quando o fck for maior do que 50 MPa. Desse modo, numa peça com ruptura dúctil, a deformação na armadura será maior do que a deformação de escoamento do aço, e a área de aço será dada pela equação 11.
yd d
s kx d f
A M
) 4 , 0 1 (
(11)
Por outro lado, se d < d0, o dimensionamento será feito como seção “T” (Figura 2.12) e o cálculo da armadura será feito dividindo o momento fletor (Md) em duas parcelas, sendo uma do momento resistido pela mesa (M1) e a outra do momento absorvido pela alma (M2) que é obtido subtraindo, do momento solicitante, a parcela resistida pela mesa, isto é, M2 = Md – M1
(CLÍMACO, 2008).
Figura 2.12 - Seção “T” com linha neutra fictícia dentro da nervura
Fonte: Clímaco, 2008.
A parcela do momento resistida pela mesa (M1) será calculada pela Equação 12.
Substituindo b1 por bw e Md por M2 na Equação 9, pode-se obter o momento adimensional
absorvido pela alma. Em seguida, calcula-se kx pela Equação 10 e, finalmente, a área de aço total pela Equação 13 (CLÍMACO, 2008).
0,85 ( 1 ) 2
1
f w
f cd
d h b b h f
M (12)
yd yd
s kx d f
M hf f
d A M
(1 0,4 )
2
2
1 (13)
A área de aço deve ser suficiente para absorver o momento de fissuração. Portanto, a área de aço deve atender a um valor mínimo dado por:
)
min (
min
, w f
s b h h
A (14)
em que ρmin, taxa de armadura mínima, é obtida através da Equação 15, respeitando o mínimo de 0,15%.
% 15 , 0784 0
,
0 2/3
min
yd ck
f
f (15)
Como já foi dito, sendo atendida as prescrições associadas à distância entre eixos da nervura e a largura desta, a verificação quanto à força cortante pode ser feita como uma laje maciça. Portanto, para que possa ser dispensada armadura transversal, o esforço cortante de projeto (Vd) deve ser inferior ou, no máximo, igual ao esforço cortante resistente de projeto (VRd1), que pode ser calculado pela Equação 16.
d b k
VRd1Rd (1,2401) w (16) em que:
ck Rd 0,0375 f 2/3
, com fck em MPa;1 6
,
1
d
K , com d em metros;
02 ,
1 0
1
d b
A
w
s , sendo As1 a armadura efetiva de tração da nervura.
Além disso, também será necessário verificar se ocorre o esmagamento das bielas comprimidas. Para que não haja o esmagamento, Vd deverá ser menor que VRd2, dado pela Equação 17.
d b
f
VRd20,5v1 cd w0,9 (17) em quev1
0,7 fck/200
0,5, com fck em MPa.A flecha total máxima (δ) é dada pela soma da flecha imediata (δi) com a flecha diferida no tempo. A flecha diferida pode ser estimada multiplicando δi pelo coeficiente de fluência (αf).
Como no aplicativo não será considerada armadura de compressão nas lajes nervuradas, o coeficiente de fluência, de acordo com a NBR 6118:2014, poderá ser estimado pela Equação 18.
' 50 1
) ( )
( 0
t t
f (18)
sendo ρ’ a taxa de armadura de compressão e ξ um coeficiente função do tempo que recebe valor igual a 2 quando o tempo for superior a 70 meses e quando for inferior a este tempo, o valor será calculado pela Equação 19.
t) 0,68 0,996t t0,32
(
(19)
em que t é o tempo em que se deseja o valor da flecha diferida e t0 é a idade em que será feita a aplicação da carga de longa duração. Dessa maneira, a flecha total será calculada pela Equação 20.
250 / ) 1
( f x
i l
(20)
Quando o momento fletor solicitante da seção crítica (M) for menor ou igual ao momento de fissuração (Mr), não haverá fissuração na peça, logo, pode-se considerar a seção inteira, calculando o momento de inercia (I1) e a posição da linha neutra (x1), no Estádio 1, pelas Equações 21 e 22.
f f w w
f f w
f f w w
I b h b h
b h h
h b h x b
2 2
5 , 0 5
,
0 (21)
Logo, o momento de fissuração (Mr), pode ser calculado por
1 1 3 /
36 2
, 0
x I Mr fck
(22)
e a flecha imediata pode ser calculada por
3 4
100 eq
x qp
i E h
P
(23)
em que Pqp é o carregamento quase permanente, α é encontrado nas tabelas de Bares e a altura equivalente (heq) pode ser calculada por:
3 / 1
12
f
eq b
h I (24)
Quando o momento fletor solicitante da seção crítica (M) for maior do que o momento de fissuração (Mr), haverá fissuração na peça, o que deve ser considerada no cálculo da flecha imediata. Porém, o momento fletor varia ao longo do vão, podendo não haver fissuração em alguns trechos, isto é, a peça terá seções no Estádio I e II. Dessa forma, para representar de forma mais realista os deslocamentos desenvolvidos nas nervuras, o efeito da fissuração será considerado de forma aproximada através da inércia média (Im), proposta por Branson, definida, conforme sugere a NBR 6118:2014, expressa por
3 3
1 M
I M M
I M
Im r II r (25)
em que
f
s f
s s
II b
A d
b A
A
x
2 2 (26)
)² 3 (
³
II II
f
II b x d x
I
(27)
c s
E
E
(28)
Nesse caso, a flecha imediata será calculada utilizando a Equação 19, porém, ao calcular a altura equivalente heq (Equação 20), deve-se usar a inércia média (Im) para se considerar a fissuração na peça.
3. DESENVOLVIMENTO DO APLICATIVO
3.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O Android é uma plataforma baseada no Linux com foco em dispositivos móveis, como smartphones e tablets e foi desenvolvido pela Google em parceria com empresas da Open Handset Alliance (OHA) com o intuito de disponibilizar para o mercado uma plataforma padrão para dispositivos móveis, independente do fabricante de hardware. Hoje, diversas empresas como Motorola, Samsung, HTC, dentre outras, comercializam diversos modelos de smartphones e tablets com o sistema Android, possibilitando que os usuários possam escolher aparelhos com diferentes configurações, seja de capacidade de processamento, espaço de armazenamento ou qualidade da câmera. Isso traz uma grande vantagem para os usuários finais, que possuem diversas opções, podendo escolher a que melhor atenda suas necessidades (FREITAS, 2012).
O aplicativo desenvolvido no presente trabalho foi nomeado como Waffles e tem como premissa auxiliar no dimensionamento de lajes nervuradas bidimensionais retangulares de concreto armado com base nas prescrições da NBR 6118:2014, utilizando teoria de placas na análise estrutural através do procedimento exposto no item 2.2. Para o cálculo dos esforços solicitantes e deslocamentos máximos, fez-se uso das tabelas extraídas de BARES (1972) e adaptadas por Pinheiro (2007), considerando lajes isoladas e apoiadas em todo seu contorno.
3.2. INTERFACE TELA PRINCIPAL
Na tela inicial do aplicativo (Figura 3.1), a interface apresenta campos de texto para que sejam informados os dados de entrada necessários para o cálculo e dimensionamento da laje.
Figura 3.1 - Tela inicial do aplicativo
z
Fonte: Autoria própria, 2017.
A entrada de dados é dividida em quatro partes:
a) A primeira é referente às dimensões da laje. Pede-se para informar os vãos lx e ly, sendo, respectivamente, o vão principal (menor) e vão secundário;
b) A segunda parte apresenta campos que devem ser preenchidos referentes à geometria da seção transversal da laje, como: altura da laje (h), altura da capa da laje (hf), largura da nervura (bw) e largura entre eixos das nervuras nas direções x e y (bf);
c) A terceira é referente a escolha do material e definições de durabilidade. Pede-se para inserir informações sobre a resistência característica do concreto (fck), o tipo de aço (CA 25, 50 ou 60) e o grau de agressividade do ambiente;
d) A quarta é a aba referente aos carregamentos que serão aplicados na laje. Pede-se para informar a carga acidental, carga do revestimento, e uma carga permanente extra. Já a carga de peso próprio será, de posse das informações de geometria, calculada automaticamente.
A interface principal, possui dois botões, o botão “VOLTAR”, que retorna para a tela inicial, e o botão “CALCULAR”, que ao ser clicado, inicia o cálculo e ao termino do mesmo, abre uma nova tela, onde os resultados estarão representados pelo detalhamento da laje.
Caso haja algum campo em branco, o aplicativo emitirá a seguinte mensagem:
“ATENÇÃO! Há valores em branco”.
O vão x deve ser menor que o vão y. Portanto, se no preenchimento dos dados, o valor de ly for menor que o valor de lx, o aplicativo emitirá a seguinte mensagem “ATENÇÃO! O valor de lx deve ser menor que ly”, informando o erro.
Se o valor informado de bf for menor que 65 cm e o usuário tentar inserir um valor de bw menor que 5 cm, o aplicativo emitirá o seguinte aviso: “ATENÇÃO! O valor de bw deve ser de no mínimo 5cm.”. Caso o valor de bf esteja entre 65cm e 90 cm, o valor de bw deverá ser de no mínimo 12cm e o aplicativo emitirá o seguinte aviso caso o usuário tente informar um valor menor: “ATENÇÃO! Quando 65 cm < bf < 90 cm, o valor de bw deve ser de no mínimo 12cm”.
No caso de bf > 110 cm a mesa deverá ser dimensionada como laje maciça apoiada na grelha de vigas, porém, para fins de simplificação da implementação do código, o aplicativo só aceita valores de bf até 90 cm, caso o usuário informe um valor maior, o mesmo emitirá o seguinte aviso: “ATENÇÂO! Valor de bf não deve exceder 90cm.
3.3. INTERFACE DETALHAMENTO
A Figura 3.2, ilustra a interface de detalhamento, mostrando os resultados dos cálculos de forma resumida, exibindo o detalhamento final da laje, informando número e bitolas das barras e comprimentos. Além disso, a interface apresenta dois botões, sendo eles “VOLTAR”, que retorna a tela inicial de cálculo e o botão “RELATÓRIO” que abre uma tela com o relatório de cálculo. A interface apresenta, ainda, informações como número de nervuras em cada direção, o detalhamento da armadura longitudinal por nervura e armadura na mesa.
No detalhamento da armadura nas nervuras, o aplicativo escolhe a bitola que forneça uma área de aço efetiva maior ou igual à requerida e que necessite de apenas uma barra, visto que aramar nervuras com mais de uma barra não é comum e, construtivamente, inviável. Além disso, esse método de escolha da bitola dispensa verificações de espaçamentos entre barras na nervura, simplificando a implementação no código.
Para a armadura de flexão da mesa, o aplicativo utiliza uma área de aço mínima, calculada considerado a taxa de armadura mínima e uma seção de concreto com uma faixa de um metro e com a altura da mesa. Foi fixada uma bitola de 5mm, então o aplicativo calcula quantidade de barras necessária em cada direção.
Figura 3.2 - Tela de detalhamento do aplicativo
Fonte: Autoria própria, 2017.
3.4. INTERFACE RELATÓRIO DE CÁLCULO
A Figura 3.3, ilustra a interface de relatório de cálculo, onde são mostrados os valores de diversos parâmetros usados e calculados para o dimensionamento da laje, como valores dos momentos fletores, esforços cortantes solicitantes e resistentes, momentos de inércia, coeficientes, área de aço calculadas, flechas, dentre outros. A interface possui também o botão
“VOLTAR”, como o nome sugere, faz com que o aplicativo retorne para a tela principal.
Caso o esforço cortante solicitante de cálculo seja maior do que o cortante resistente VRd1, o aplicativo emitirá o seguinte aviso: “ATENÇÃO! VSd > VRd1. É necessário dimensionar armadura transversal para as nervuras ou redimensionar a seção”. Entretanto, o aplicativo não fará o dimensionamento da armadura transversal, pois armar as nervuras com estribo não é uma prática comum por não ser uma solução economicamente viável. Caso VSd > VRd2, o aplicativo irá exibir a mensagem: “ATENÇÃO! VSd > VRd2. Haverá o esmagamento das bielas comprimidas”.
O mesmo acontece caso a flecha total sobrepuje a flecha limite. Nesse caso, o aplicativo mostra a seguinte mensagem: “ATENÇÃO! A flecha excede ao limite para aceitabilidade sensorial visual”.
Figura 3.3 - Tela de relatório do aplicativo
Fonte: Autoria própria, 2017.
A figura 3.4 mostra o fluxograma do procedimento seguido pelo aplicativo para o cálculo da armadura.
Figura 3.4 - Fluxograma do dimensionamento à flexão
Fonte: Autoria própria, 2017.
As figuras 3.5 e 3.6 mostram, respectivamente, os fluxogramas dos procedimentos seguidos pelo aplicativo para a verificação ao cisalhamento e para a flecha máxima.
Figura 3.5 - Fluxograma de verificação ao cisalhamento
Autoria própria, 2017.
Figura 3.6 - Fluxograma de verificação da flecha máxima
Fonte: Autoria própria, 2017.
4. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
4.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS
Neste ponto, apresentam-se os resultados referentes às analises e dimensionamento realizado com o aplicativo HAND/Waffles. O principal objetivo das modelagens é verificar o funcionamento e a eficiência do aplicativo. Para a validação dos resultados, os resultados obtidos foram confrontados com o exemplo resolvido 1.3, de Carvalho & Pinheiro (2013). Além disso, foi realizada uma análise do mesmo sistema de laje utilizando o Software Eberick, novamente comparando os resultados obtidos com os do aplicativo.
4.2. DIMENSIONAMENTO DE LAJE NERVURADA BIDIRECIONAL
Com intuito de validar o aplicativo e mostrar sua praticidade, será resolvido um problema, proposto por CARVALHO & PINHEIRO (2003, p.72) pela solução “analítica”, sendo esta última obtida por meio da aplicação da teoria de placas finas com base na substituição da laje nervurada por uma laje maciça de rigidez à flexão equivalente em seguida, sua solução será comparada com a obtida pelo software Eberick. As dimensões da laje são mostradas na Figura 4.1. Sobre a laje atuam, além do peso próprio da estrutura, uma carga acidental de 5 KN/m² e a carga do revestimento de 1 KN/m². Foi considerado concreto de classe C20 e aço CA-50. Será considerado um cobrimento de 2,5cm e estimada uma armadura longitudinal inicial 20mm. Ambas as soluções
Figura 4.1 - Trecho do pavimento a ser projetado
Fonte: Bezerra et al (2013).
a) Determinação da seção transversal
As dimensões iniciais da seção transversal são indicadas na Figura 4.2. A laje em questão possui altura total (h) igual a 37 cm, largura das nervuras (bw) igual a 15 cm, altura da mesa (hf) igual a 7 cm e a distância entre o eixo das nervuras tanto na direção x (bfx) como na direção y (bfy) é igual a 90 cm.
Figura 4.2 - Trecho da laje nervurada e suas seções transversais
Fonte: Bezerra et al (2013)
b) Carregamento
Por se tratar de um pré-dimensionamento, o modelo de cálculo é o de placas e a carga atuante é calculada por m² de laje. O exemplo em questão apresenta os seguintes valores para cargas permanente (peso próprio da estrutura mais a sobrecarga) e acidental:
• Carga permanente total = 5,04 kN/m² o Peso próprio = 4,04 kN/m² o Sobrecarga = 1 kN/m²
• Carga acidental = 5 kN/m²
Sendo assim, a carga total (Pt) é igual a 10,04 kN/m².
c) Calculo dos máximos momentos fletores por nervura
Como já foi explicado no item 2.6, o cálculo dos momentos fletores nas direções x e y é feito como para as maciças, lançando mão de tabelas, que nesse caso, são as criadas por Bares, considerando o caso 1 (laje simplesmente apoiada em todo seu contorno). Como a laje tem dimensões iguais nas direções x e y, os momentos fletores, esforços cortantes e áreas de aço são as mesmas.
m m P KN
M
Mx y x x 22,86 . /
100 20 , 7 04 , 41 10 , 100 4
2 2
Para obter os momentos fletores em cada nervura, multiplica-se o momento fletor pela distância entre os eixos das nervuras para cada direção:
nervura KNm
M
Mdx dy 1,422,860,9028,80 /
Além disso, é necessário fazer a correção nos valores dos momentos fletores e esforços cortantes. Para tanto, deve-se calcular o coeficiente de Hahn e multiplica-lo pelo valor do momento obtido como sendo para laje maciça de modo a reduzir a rigidez a torção da laje.
714 , 1 1 14
12 6 1 5
1 1
6 1 5
1
4
2
Obtém-se, assim, os valores de momento fletor de projeto em cada nervura e devidamente corrigido
nervura KNm
M
Mdx dy 28,801,71449,56 / d) Cálculo do esforço cortante
O esforço cortante em cada direção é calculado como para uma laje maciça, também através do uso das tabelas de Bares. As reações para uma laje simplesmente apoiada são dadas por:
m P KN
k
Vx x x 18 /
10 20 , 7 04 , 50 10 ,
10 2
Assim como para o cálculo dos momentos fletores, é necessário encontrar o valor dos esforços cortantes atuantes em cada nervura. Logo:
nervura KN
V bfx
Vdx 1,4 x 1,40,90181,71439,04 /
Os resultados do cálculo dos momentos fletores e esforços cortantes atuantes obtidos através do aplicativo encontram-se na Figura 4.3.
Figura 4.3 - Resultados exibidos no relatório de cálculo
Fonte: Autoria própria, 2017.
e) Cálculo da armadura longitudinal
Como as armaduras se cruzam no encontro da nervura, a altura útil será diferente para cada direção. O exemplo considera a altura útil sendo a distância entre a borda comprimida superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva da nervura. Sendo assim, a altura útil considerada foi 37 cm (h), menos o cobrimento (2,5 cm) e menos o diâmetro da armadura longitudinal inicial, de 2cm. Logo, a altura útil final será, aproximadamente, 32,5 cm.
Para identificar se o cálculo será feito como seção T ou falso T, a altura útil (d) será comparada com a altura útil de comparação (d0).
h cm h
b f
d M f
f cd
d 9,98
2 07 , 0 07 , 0 9 , 4 0 , 1 20000 85
, 0
56 , 49 2
85 ,
0 1
0
Como d = 32,5 cm > d0 = 9,98 cm, logo, o cálculo será feito para uma seção retangular. Nesse caso, o momento fletor (kMd) e a posição da linha neutra adimensionais e a área de aço são calculados por
0365 , 0 9 , 4 0 , 1 20000
² 325 , 0
56 , 49
² 1
d f b k M
cd d Md
055 , 0 0365 , 0 425 , 0 9174 , 1 25 ,
1
x k
² 58 , 3 15 , 1 325 50 , 0 ) 055 , 0 4 , 0 1 (
56 , 49 )
4 , 0 1
( cm
f d k A M
yd x d
s
De posse das áreas de aço para as armaduras longitudinais nas direções x e y, escolhe- se a bitola que melhor atende a área de aço calculada. Por não ser comum e inviável construtivamente aramar as nervuras com várias barras, escolhe-se a menor bitola que forneça uma área de aço maior ou igual à requerida, que nesse caso, foi uma barra de 25 mm para as duas direções. Os resultados obtidos para as áreas de aço requerida e efetivas são expostos na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 - Resumo das áreas de aço calculadas e efetivas nas direções x e y
DIREÇÃO SITUAÇÃO ÁREA DE AÇO
X e Y Normal 3,58 cm²/nervura
X e Y Efetiva 4,91 cm²/nervura
f) Resistência de projeto ao cisalhamento
Atendidas as prescrições associadas à distância entre eixos da nervura e a largura desta, a verificação de cisalhamento pode ser feita como uma laje maciça. Para dispensar a armadura transversal, a força cortante de cálculo (Vd) deverá ser menor ou igual à força cortante resistente de cálculo VRd1, isto é:
² / 276 276
, 0 20 0375 , 0 0375
,
0 fck2/3 2/3 MPa KN m
Rd
1 275 , 1
| 325 , 0 6 , 1
|
| 6 , 1
|
d
k
02 , 0 02
, 0 010 , 5 0 , 32 15
91 , 4
1 1
1
d b
A
w s
KN d
b k
V
Vd Rd1 Rd (1,2401) w 2761,275(1,2400,02)0,150,32534,31 Com isso, observa-se que o esforço cortante solicitante é maior que o resistente, sendo, portanto, necessário calcular armadura transversal para as nervuras.
É necessário também verificar se há esmagamento das bielas comprimidas.
5 , 0 6
, 0 ) 200 / 20 7 , 0 ( 5 , 0 ) 200 / 7 , 0
( 1
1 ck v
v f
