L a
m a t e m á t i c a
m o d e r n a
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l a
e n s e ñ a n z a
p r i m a r l a
Z . P. D I E N E S GH00822L A M A T E M A T I C A M O D E R N A E N L A E N S E Ñ A N Z A
L A M A T E M A T I C A M O D E R N A E N L A E N S E Ñ A N Z A
P R I M A R I A
M O D E R N A
EN LA ENSEÑANZA
P R I M A R I A
Tradiiccign y presentación
d e
ALVARO BUJ GIMENO
Adjunto a la Cátedra de Pedagogía General de la Universidad de Níadrid Jefe del Departamento de Manuales Escolares del C.E.D.O.D.E.P.
Universidad dc Barcelona,
a colección Enseñanza de la Matemática Moderna.
La maiemálica moderna en la Enseñanza Primaria
Los primeros pasos en maiemáíicas
1- Lógica y juegos lógicos
2. Conjuntos, números y potencias
3. Exploración del espacio y práctica de la medida P R E S E N T A C I Ó N
Titulo original:
1965 OCDL,
«. TO Claude Berna,d, Part,
j-°" ' '8 - l!areel„,u,6
JUVEN.. Dcp- legal B. 14.124 ■ 1967
Printed in Spain
La Matemática moderna en la enseñanza primaria es la parte gene ral e introductoria de una colección de textos didácticos que aparecen
con el epígrafe general de oLos primeros pasos en matemáticas» (1).
Es bien sabido que la escuela primaria extiende su misión cultu ral cimentándola en cuatro aspectos: la lengua hablada y oída, la
lengua escrita, el lenguaje del esquema espacial y el de los números. Los cuatro podrían ser interpretados como ayudas formales para la
inteligencia. El campo matemático trata de construir, a través de la complejidad de las vivencias del espacio y los números, un mundo único plenamente objetivado.
Contar, medir y construir fueron las primeras operaciones arit méticas de la humanidad. La matemática es ciencia de represen
taciones, de esquemas, de abstracciones. Nutriéndose de contenidos
conceptuales, para manejarlos y relacionarlos con comodidad y ra
pidez, se vale de símbolos, es decir, de representaciones formales
de los mismos, y traduce los juicios lógicos que relacionan dichos
conceptos mediante leye.^ formales entre sus símbolos representa
tivos; y esto de tal fonna que, combinando con corrección tales
transformaciones, acaba el matemático por olvidarse de los conte
nidos conceptuales. Descansando dichos contenidos en las reglas
®sta colección aparecerán traducidos al castellano, por Editorial
Icidc: I. Lógica y juegos lógicos-, II. Conjuntos, ntímeros y potencias; III.
V I H
PRESENTACIÓN
im oicas que sabe le conducirán a resultados infalibles, por ser
Isycs del razonamiento matemático.
^ proceso de condensación simbólica y formalización del
posible toda la progresión de
ab.slraccio-hov V creciente que constituyen la matemática dey. LOS conceptos expresados mediante formas nuevas engendran
v a s ^ " m e d i a t a m e n t e , n e c e s i t a n d e n u e
-e ind-efinidamtnlT^"^''^'''""' ^
también actual de la matemática como ciencia exige resumir como b ^'^^ctica de esta materia; se podría
q u e c o n d u c e a c o n c e p t o , e v o l u c i ó n
arte de enseñar ^ primacía del arle de aprender sobre el
maria lleva de la°m^^ rnatemática moderna en la Escuela
Pri-tico, sino incluso ^^"sideraciones no sólo de carácter
didác-la necesidad de cons^d'^^^^ü^^' científico. Se pdidác-lantea
temáticas y el de las campos: el de las estructuras
ma-interesantes, a nuestro mentales. Las aportaciones más y profundos realizado P^'^ceden de los esludios extensos quien, siguiendo la línea d°^ Psicólogo ginebrino Jean Piaget.
génesis del conocimientrv .^/^^.^""ocidas investigaciones sobre la
estructuras matemática-; v'? ^us relaciones entre las gencia. Se plantea la cupqh/^ estructuras operatorias de la inteli-"tutemática siiroí.'^ ^ saber si las propiedades
estructu-idades^ objetivas de bs descubrimiento de las cua-
s os ültimos resultan como o si, por el contrario,e s t r u c t u r a s d e
o r i g e n " P e r a t o r i a s d e H ^ c o n c l u s i ó n d e q u e aquello grandes tipos de manifiestan desde su
c T w d c o r r e s p o n d e n a
' de orden y ]"s 'f' ' estructurasalgebrai-es ructuras topológicas. Es
evi-P R E S E N I A C I O N I X
dente que, emitida esta tesis, se invierte el camino para llegar a un método sólido en la enseñanza matemática. De aquí surge la nece
sidad de llegar a una serie de actividades en la enseñanza de esta materia, que faciliten el dinamismo de reversibilidad y de equiva
lencia; en el campo de la geometría se precisa la adquisición cons ciente de una serie de relaciones asociadas a una dinámica per
ceptiva y activa, realizada con el uso de instrumentos elementales.
Desde este punto de vista resulta errónea la programación clá sica en compartimientos separados. En efecto, dicha presentación
no tuvo en cuenta la génesis del pensamiento matemático de la
humanidad y la evolución genética en el pensamiento del niño, cuyo desarrollo es concéntrico y no radial. Hemos de admitir que
se escamoteaba el proceso intuitivo e inductivo. También ha habido
un descuido de la captación de intereses del niño, tratando de su plir esta falta de intuición natural mediante el recurso de estímu
los coactivos secundarios y extremadamente artificiosos.
Quizá mediante las reflexiones anteriores puede entenderse fá cilmente la presentación actual del saber matemático, de la que
es una muestra patente el texto que consideramos.
Desde otro punto de vista ocurre que las nuevas estructuras matemáticas tienden a una mayor generalización, y el estudioso que
reflexione sobre el particular no tardará en percatarse de que las
parcelas de la ciencia matemática estudiadas al modo tradicional
no son sino sectores muy concretos y casos particulares de esta
nueva estructuración. Fácil es comprenderlo cuando se aprecia el
estudio de la numeración en las operaciones aritméticas elemen tales. así como en la presentación de los conocimientos geométri
cos. En el primer caso la numeración decimal, tradicional en el
tratamiento de este sector, es un caso particular de la numeración en general que ahora se estudia en cualquier base; respecto a no
ciones geométricas, puede verse que. lejos de seguir las enseñanzas de Euclides, se comienza ahora por introducir propiedades tipo lógicas del espacio; es decir, en lugar de comenzar por el punto.
X
P R E S E N TA C I Ó N
nocíone/ta?^ figuras geométricas planas, se habla de frontera y de
^ y " e t r á s a n t e s y d e s-imes, y asi sucesivamente.
4e
mática actual^s°upone^e enseñanza de la
mate-algunas consideracionpc^-^ Escuela Primaria, caben
inteUgencia corr«tl I ^P^^^^'ndibles. por otra parte, para una
ya desde la escuela ^ ejemplo, se admite hoy que
uiática. El mundo del ocuparse de esta mate aos. y no solamente a exigirá a todos ciertos conocimicn-sino incluso también ^an a acceder a estudios superiores, estudios primarios Cuanf^^^ pasen del certificado de luto, que existan reglas pretende afirmar, en
abso-0 no aprender en estos dn! J: niño puede
dios ya realizados de cari años; sin embargo, los estu-conocer una serie de anivs^ ^^P®^\"^®utal, permiten al maestro cabMa, con carácter general ^ ^^lutivas a este sector que tienen El texto sirve de IntmH,' primeras edades del niño. « rimeros pasos en rnatem-ír^'^'^ colección sobre primero, sobre la adquisiril^^^' comprende tres fascículos, or os niños; el segundo se n " ^ ^^terminadas relaciones lógicas
fie las propiedades de coniuntn??"' número tratando
brevi„,elTf noción de
poten-caDaí-"?!!"^ ^ ^''uaciones que"im r° aplicaciones prácticas de
in?i"''empo. superficie v^f' ™=bidas de longitud, peso,
debe di" " geometría. La ^^Potúendo una
Peb^desarroUarse Paralelaiin^'i ■aT,"''
fonSdón " «'-cmra Ueva Ío
P i - e d o m i n a ahora la situación a mnos. En la clasey de aprendizaje antes que la
P R E S E N T A C I O N X I
de enseñanza; la enseñanza frontal, que se dirige a toda la clase, deja paso a la enseñanza por pequeños grupos, facilitando la indi
v i d u a l i z a c i ó n .
También se introduce el procedimiento de discusión entre los niños. Los errores cometidos por los niños deben ser descubiertos
por los mismos piños; las reglas de este juego matemático son fáciles y no habrá dificultad en que la verdad aflore de la discu sión. Ete esta forma la verdad se admite por sí misma, más que
por el maestro encargado de arbitrarla. Sin embargo, esto no eli mina, ni mucho menos, la acción del maestro, que ha de estar en permanente vigilia para encauzar la actividad y actuar en el mo mento oportuno, siempre con una previsión detallada del desarrollo
de la clase. Sabemos que es tentador interponerse y facilitar inme diatamente el proceso, cuando los niños cometen un error, para decirles en el acto cómo deben hacerlo. Se trata ahora de que el
maestro sepa conducir al niño hasta que descubra por sí mismo
la situación correcta; de esta forma los niños fijan mejor la solu
ción que cuando es el maestro quien dice lo que deben hacer.
Esta metodología lleva implícita, como puede apreciarse, una serie de condicionamientos desde el punto de vista de la auténtica actividad de los niños, y facilita realmente la verdadera
autofor-m a c i ó n .
Quizá la contribución más costosa viene de parle del material manipulable que ha de ser manejado tanto por el maestro como por el discípulo. Tiene dos explicaciones fundamentales: de una
parte el costo del material; de otra, y esto es altamente positivo,
la necesidad de una organización perfecta. Antes de comenzar la
clase el profe,sor necesitará hacer un esquema en la pizarra, dejando
constancia de los nombres del grupo o de los niños que intervie nen, al lado de los elementos del esquema, a fin de que toda la
actividad quede bien organizada; de otra forma, hay caos, pérdida
de tiempo y mediocres condiciones de estudio. También existe la exigencia de que el material tenga un lugar bien determinado. El
X I I
PRESENTACIÓN
maestro pedirá a los niños que lo preparen antes de usarlo, lo
evuelvan después a su sitio, disponiéndolo en cajas ordenadas
en e armario, etc. Se desprende de esta consideración que el uso e material exige de por sí y «a priori» la necesidad de un hábito perativo de orden que, por otra parte, tiene alta correlación con
actividades específicas del aprendizaje matemático.
: ü : í ! t
-cias'^dpTc?' reflexiones acerca de las
exigen-dácticas estructura matemática y de las aplicaciones di-ñanza orimnr- ^°"sigo. La Matemática moderna en la ense-en el ámbitn 'h valiosa aportación al campo didáctico
T e i d e ^ - S ^ a d e c e r a l a E d i t o r i a l
una pauta indelehif" castellano de esta obra, que ha de marcar enseñanza de las m 5.actualización y perfeccionamiento de lalas matemáticas en el sector de la Escuela Primaria.
A . B . G .
P R E F A C I O
Este libro se propone hacer una demostración de cómo puede
¡guiarse a los niños en el aprendizaje de la matemática amodernav; espero convencer así, al menos a algunos educadores, de que ¡a
renovación actual en la enseñanza de la matemática debe comenzar
ya desde la escuela maternal, pues es a esta edad cuando produce mayor efecto, si se propone a los niños experiencias entretenidas
V se les aficiona a las actividades matemáticas. No se trata en
modo alguno de trampear, desnaturalizando el pensamiento mate
mático Kinodernor), sino de adaptarlo a las capacidades de cada
edad en particular.
Este libro hace referencia a William Hull, que fue el pionero
del empleo de los bloques lógicos, a Paul Rosenbloom y Patrick
Suppes, que fueron los primeros en enseñar los conjuntos a los niños, y por último, a la obra del mismo autor, relativa a la Ífi-trodiicción explícita de las potencias y de los diversos sistemas de numeración. Las sugerencias presentadas aquí representan un ensayo de síntesis de todas estas investigaciones: su formulación
práctica ha sido elaborada en Adelaida (Australia) en el curso de
los años 1962-64, y prosigue todavía actualmente. Después de estos dos años de trabajo se ha visto que se pueden definir algunas
PREFACIO
Que se Esas aproximaciones y métodos son los que se consignan en este libro.
t o d o s c o m p r e n s i ó n c o m p l e t a d e
de la escupJ ^ ^ ^^l^ldad matemática por todos los niños
zar tal Un tn resulta necesario decir que es difícil
alean-Q condición Hp matemática universal puede obtenerse
no están concebidos nJo"d materiales descritos en este libro
sino que se trata d ' " ^^^^^racioness hechas por el maestro, para ser puestos en mvestigación y descubrimiento ^na cantidad sufinilü!"^^^ ^ niños. En cada clase debe haber
ños. Favoreciendo el f h ° disposición de todos los
ni-^cl tiempo de manera^ Srupos y organizando el empleo
se den en todas las clase ^ lecciones de matemática no
el precio del equipo. ^ ^ ° Puede reducir notablemente
^n el costo total del mpp'
plena comprensión matemátirn obtener la
n voluntad por parte dpj «, ' necesario introducir igualmente
arnar una nnueva truxtemátiJ^^^^^ enseñar lo que se podría
ya considerada desde un nuT ^ ^^nos la (iantiguaj> matemá-
v«ra en mC T ^^''Suo punto
yrendizaje de procesosZlca^^'T"^ matemática como el
e en mirar estos procesos cT^'r P""'°
T j f V ' 1 ° " ^ " " « - í - e s t r t a t .
Z Z ü u i / '
" m o s
e n
^OS en rit'' '"^e^n unaZT ""''""""'"e, cómo están
^era ¡legar 'lustren concKt^"^'"' ^ '""^^elo colocán-
' " '^o áe en^ZZT''"^ ^stas estructuras.
^ maestro ha de cambiar
completamente de actitud. La arespuestan correcta pasa a segundo
plano; la aptitud esencial consiste en saber encontrar el camino a
troves de situaciones cada vez más complejas; hay que poner el acento en la actividad dinámica del investigador (buscar) más que en el aspecto estático de la tirespuestaj». La visión de la estructura
de los procesos es más importante que el simbolismo formal que
los expresa.
La actividad investigadora de los niños, aislados o por peque ños grupos, predomina en adelante sobre la lección magistral dada
por el maestro frente a su clase; la discusión colectiva conduce
u conclusiones debidamente registradas, a condición de que el maes tro sepa respetar el dinamismo constructivo del pensamiento del
n i ñ o .
Numerosos trabajos están actualmente en curso tanto desde el
punto de vista de la psicología teórica como desde el punto de
vista de la pedagogía práctica sobre los medios de realizar esta
comprensión matemática universal. Éste es el fin que intentan al
canzar varios centros de enseñanza situados en distintos puntos del globo y enlazados entre sí bastante débilmente por el orga
nismo llamado aGrupo Internacional de Estudio para la Enseñanza e las Matemáticas-ü. El cuerpo docente y la administración entre os que están vinculados a este organismo que se ocupan de adop tar nuevos métodos o nuevos programas son invitados a tomar
contacto con el centro más próximo. Constantemente se van
crean-o nuevcrean-os centrcrean-os; accrean-onsejamcrean-os, en cascrean-o de que interese su ccrean-oncrean-oci
miento, la consulta de la lista puesta al día por el Secretariado c Palo Alto. Estos centros aseguran la ejecución de la investiga ción, la formación del personal y la difusión de las más recientes mformaciones. Toda persona aislada puede adherirse al grupo de
bo-P R E F A C I O
feím trimestral, asi como toda información que pida al respecto,
oy que esperar que este Grupo de Estudio continúe
desarrollán-y se convierta en un instrumento cada vez más eficaz al
servi-e to os los quservi-e sservi-e intservi-erservi-esan por la difusión dservi-e la comprservi-ensión
matemática.
Florence, 8 de enero de 1964.
I . I N T R O D U C C I Ó N
El proceso para la adquisición de las nociones abstractas en
matemáticas se puede descomponer sumariamente en tres fases:
1.^ En una fase preliminar de tanteo, las reacciones en dis tintas situaciones se ensayan más o menos al azar, como en la
actividad exploradora del niño. Esta fase puede llegar a ser una
fase de maduración, si se eligen situaciones en las que la actividad lúdica se canalice en la forma de «juegos» con reglas definidas; lo cual puede dar como resultado una conciencia más clara de la
dirección en que se preparan los nuevos descubrimientos.
2.* Después viene generalmente una fase intermedia más es
tructurada : se captan las reglas que ligan entre sí los procesos, se
«juega» con estas reglas, y el pensamiento aparece más consciente y más dirigido. Se puede así acceder al instante del descubrimiento, instante en el que el esquema director aparece bruscamente en la
organización de conjunto.
3.'^ Al descubrimiento, una vez logrado, le sigue da necesidad
irresistible de explotar el nuevo descubrimiento. Este aprovecha miento puede hacerse en una forma sabia examinando el contenido.
¿hasta qué punto se ha comprendido por completo?, que es el pro
0
i n t r o d u c c i ó n
n a r - e s d e s c u b r i m i e n t o p e r m i t a d o m inar. es el procedimiento práctico. en el práctico el procedimiento analítico como
cándelo en su lug^^dentrrHdescubrimiento
clasifi-forma que se trama de nuestros conceptos, de
el momento oportuL^°<?°"r^^~^^ concepto adecuado en
suma o una resta?» Pregunta: «¿Hay que hacer una
clasificación no ha s'id^^ evidente que esta puesta en lugar o
sacrificado las nrim/»ra° izada, muy probablemente por haberse
La descn^ióraZ^ hablábamos,
los símbolos en el lo^rn^n el papel desempeñado por
símbolos no es simnlf Este problema de los
troducir los símbolos despSs^d^ f aconsejan que es mejor
in-en ciertos casos la introd,,^ • - el descubrimiin-ento, pues e n t o r p e c e r e l p r o c e s o « ó b o l o s p a r e c e
ba comprobado que el emnler^?" contrario, se
e os descubrimientos. No nh ^ símbolos acelera la aparición
1 ^ nuestras clases ahn^ afirmar con seguri-
de experienciasexcesivamente de lossúnbo-fuerzo^^°" símbolos es concatenadas, seguida de la
aS eficaz que los
es-®xperien^*^^^^'^^°"e^°- aprend^"^ ^ «significación»
me-" « a me-" ' í ' ' c o n u n a s e r i e d e
cient ^""^amentos de la ? explicaciones,
cientemente a i,„ uocion de ni'.«,
vista lógico mat número de trah^^'^^
que alguno¡ filosófico v tís* ^csde los puntos de l^ussel. Piaget los nombres citar más
l-hewer. Los refuis I""*"»' «.ureh,
' <íc estos trabajos seintro-I N T R O D U C C intro-I Ó N 7
ducen progresivamente en los sistemas escolares del mundo entero. A lo largo de esta obra tendremos en cuenta los descubrimientos
más recientes, para sugerir posibles mejoras en las técnicas de en señanza de las matemáticas, sobre todo en lo que concierne a los
primeros años de la escuela primaria. Puesto que todo conocimiento se basa, en última instancia, en la experiencia, no es extraño que prefiramos recurrir a nuestra experiencia personal directa, y que
encontremos en ella métodos de enseñanza más eficaces, especial
mente en el caso de los niños.
A la luz de los problemas planteados en el curso de nuestras investigaciones de laboratorio, sugerimos la introducción de una serie de ejercicios ingeniosos susceptibles de guiar a los niños en el desarrollo lógico-matemático de los conceptos relacionados con
la idea de número.
En lugar de dejar este desarrollo al azar, debemos ser capaces
de construir un acercamiento racional en la adquisición del número,
teniendo en cuenta el estado actual de nuestros conocimientos tanto
en lo concerniente a la estructura del número como en el desarrollo
del pensamiento en los niños. Esto no quiere decir que demos el
problema por definitivamente solucionado, ni mucho menos. Las
sugerencias que se dan en este libro no representan sino un primer intento por reunir en un todo coherente y rápidamente utilizable nuestros conocimientos sobre lo que los niños pueden aprender en matemáticas, y cómo pueden aprenderlo. Es muy cierto que serán
posibles otras formas de aproximación y sin duda mejores. Pero el
estado actual de Ja enseñanza de las matemáticas es hasta tal punto
defectuoso, que es urgente dar desde el principio a los profesores
un conjunto de sugerencias tan coherentes como sea posible.
El número es una abstracción. Los números no tienen existen
propieda-8
INTRODUCCIÓN
nrnníl^^!r^ objetos, no a los objetos mismos. La
carse a nh- vocablo odoss no podrá nunca
apli-raleza «¡ín^^ ^ sucesos o entidades de cualquier natu-entidadcí p ^ conjuntos de tales objetos, sucesos o tos V el <Íp mundo intermedio entre el de los
obje-una éooca r<» ^ ^ saber el mundo de los conjuntos. Hasta
vidas en nue^t^" ^ ntundo no formaba parte de situaciones
vi-las Universidad^ ^cuevi-las, quedaba reservado a los estudiantes de
den introducir los c • siguen explicarán cómo se
pue-mm^at^e,,e paraTonl"
lógico, mientras 00^1^^ «conjuntos llevan a consideraciones de orden
a consideraciones P*"opledades de los conjuntos nos conducen
t ^ r á l a ~
un todo orgánico la ado»^ —experiencias que integrarán en
los conjuntos y de los númw^s^ conceptos de la lógica, de
n . L O S C O N J U N T O S Y L A S O P E R A a O N E S C O N L O S C O N J U N T O S
Los conjuntos están constituidos por elementos. El conjunto de
niños de la clase de primer año tiene por elementos los niños de esta clase. Los conjuntos pueden estar formados por no importa qué tipo de elementos: objetos, sucesos, ideas e incluso por otros con juntos. La idea de ^pertenecer ay> o de aser un elemento den es un
concepto muy importante cuando se habla de conjuntos. Antes de
poder decir que un conjunto está definido, importa precisar con claridad no sólo de qué elementos está formado, sino también cuá
les son todos los objetos (incluso aunque no existan más que en
el pensamiento) que podrían ser elementos del conjunto en cues
tión. Si consideramos, por ejemplo, el conjunto formado por niños que tienen los ojos azules, suponemos implícitamente que ningún
adulto podrá pretender formar parte de este conjunto. Esto lleva
consigo el que debamos reconocer con certeza en qué momento un
uiño deja de serlo para convertirse en adulto. Será necesario del
uiismo modo precisar si pensamos en los niños de ojos azules que se encuentran en la clase, en la escuela, en el país o en el mundo
e n t e r o .
Será necesario indicar el universo de los objetos susceptibles
CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS
junto. ^ «niños de ojos azules» define un
con-merando todm presenta si definimos nuestro conjunto
enu-u n o s í n o s p o n e m o s a h a b l a r
conjunto dado Defi™^ ° entidades que no pertenecen a un
ejemplo, Juan y conjunto formado por dos niños, por
conjunto al one nn ¿cuáles son entonces los elementos del bemos incluir en ^ Alicia? ¿Qué elementos de
vest? Si no incluimos á «n él al monte
Eve-verso está definido comJ*^T ^ niños? Si el uni-conjunto en cuestión e t á fainos de la clase, entonces el c l a s e a e x c e p c i ó n d e n i ñ o s d e l a conjunto que tiene nnr ^ Alicia. Este es el complemento del
Cuanto pre^: ^ AUcia.
en una clase de niños H-, ™c^ivo de discusiones apasionantes
scusiones ponemos los f?í!j ° participen en tales
El segundo punto a pensamiento lógico,
entre el símbolo y lo que ^ 1^ distinción
Juan y Alicia ^ dlzado. Tomemos un conjunto,
P rentesis (mejor entre dos coLr?T°^ imágenes en un
Rentos de un coZtq ' P indicar que se trata de
sino los mismTnlo''" "I"® t^ata? No son las
sen niT'°' P''®<íe ofrecer"! ^"¡f ®°°a'fuyen los elementos
a hac« a la ^í J"an de la
ima-bitiSan a est^ ®uanto acabaiM^^" ^ Alicia. Nunca insisti-
"u ae ttSl ® Si loa niños se
ha-«tres.. Ea éfectr" lo qag se^em '^'H^'"'®'^ "í"® ®í®"°®
aon abstracciones L "'res» no''°^^
• Cos signos son las im^ ®u "a realidad:
"uágenes destinadas a evocar
C O N J U N T O S Y O P E R A C I O N E S C O N C O N J U N T O S 1 1 las abstracciones en cuestión. El signo 2 no es realmente ados» de
la misma forma que la palabra «verde» no es realmente verde.
Otro punto muy importante a discutir es la significación de las
palabras «lo mismo» e «igual». Está claro que se da a estas pala
bras sentidos muy distintos, según el género de cosas de que se hable. Tomemos dos ejemplares del mismo libro. Se les puede si
tuar sobre una mesa y decir: «Dame ése; no el que está al lado
de la lámpara, sino el que está más cerca de ti»; lo que implica
que estos dos libros no son idénticos. Otra vez se dirá que se trata
del «mismo libro», para expresar que su contenido es idéntico. En
el primer caso se trata de la identidad individual de los libros: los
dos libros son diferentes, puesto que son objetos diferentes. En el
segundo caso el término «el mismo» no se aplica a los libros, sino
a su contenido impreso, dicho de otra forma a una cierta propiedad
de estos libros. Cuando se dice viendo dos piezas de color verde
que son «la misma cosa», significa que tienen el mismo color, aun que su forma sea diferente. Del mismo modo dos piezas cuadradas pueden ser consideradas como «la misma cosa», incluso aunque
tengan colores diferentes, porque en este caso es la forma la que
es idéntica. En cada uno de estos casos se aisla una cierta propiedad
tal como el contenido, el color o la forma, y la expresión «lo mismo» se refiere a esta propiedad, no a los objetos en sí mismos. Un objeto no es idéntico más que a si mismo, pero la propiedad de un objeto puede ser idéntica a la propiedad de otro objeto.
La definición de conjuntos por sus atributos llevará rápida
mente a los niños a concebir conjuntos desprovistos de elementos.
Por ejemplo el conjunto de todos los objetos verdes situados sobre
la mesa del profesor no tendrá elementos, si no se encuentra nin gún objeto verde sobre la mesa. Se dirá de tales conjuntos que son Vacíos. Los niños se habituarán rápidamente a hablar de conjuntos
CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS
JCÍOS, lo que es una condición esencial para llegar a la noción de
igualdad de coninnNA*'"'fi'° pertenencia a un conjunto, de
abordar las operacioneí conjuntos vacíos, se pueden
portantes. (conjuntos. Vamos a ver las más
im-fonnada por todos ^ reunión de dos conjuntos está
conjunto, bien sea al pertenezcan bien sea a un
de la clase con eí nM ^ ^
que tienen los oios azni^ castaño» con a los niños
n i ñ o s m , - a z u l e s » e s e l c o n i u n t n f r v r ^ « , i i « c
«cnicos de la clase con el n.i .1 ^ reunión de los
que tienen los ojos azule castaño» con a los niños
uiños que tengan al men'* conjunto formado por todos los pelo de color castaño u propiedades enunciadas:
reunión a todos los Se encontrará, pues, en esta
pelo de color castaño u ^ propiedades enunciadas;
reunión a todos los niños ^ ®"<=ontrará, pues, en esta
""oos que tienen el pelo de e i ®^Ples, así como a todos los
f r stqjuesto, a los que tienee"'^ «antaño, comprendiendo también,
^Mo. Es necesario 1°^ ojos azules y el pelo
pona" y estudiar eiemT' «jemplos para ejercitar esta
proceso nrultiplicar e!tr^o ^ ^°°JUntos distintos (o
iiac^,.- reunir quede estos ejemplos, antes de aue el«<iisjunt;7r°'°^ ® otros ejempi;T°"'""*°®
proceso h nrultiplicar e!tr^o ^ ^°°JUntos distintos (o
cados por los ' Presentes en la ói«
v e r s o p o r í ^ o r e i e m n i ° o b j e t o s f a b r i
i m á g e n e s d ° c ^ T u n i
-®®os serán dT"^ Smesos y de niños d" ouales se dibujen
«J"® tt i: ^ y otros de pero entonces
al-^e niños grueso J" ®e podrá "evará más
conjunto
f® -tfias. Será
formar todas las
C O N J U N T O S Y O P E R A C I O N E S C O N C O N J U N T O S 1 3
agrupaciones posibles: hay seis si se asocian los conjuntos por
p a r e s .
La reunión de {niños gruesos) y de (niños) (1) contendrá a
todos los niños gruesos, tanto a los niños como a las niños, y na turalmente a todos los niños, es decir, a los niños gruesos y a los
niños delgados. Así la reunión comprenderá: a todas las niñas
gruesas, a todos los niños gruesos y a todos los niños delgados; todas las niños delgadas estarán excluidas. Ellas forman entonces
el conjunto complementario del precedente, puesto que representan los elementos de nuestro universo que no pertenecen a la reunión. Si se forma la reunión de (niños) y de (niños), se obtendrá la totalidad de los niños; más aún, en esta operación no se cons
tata ya la superposición o recubrimiento parcial como en el caso
<le la reunión (niños gruesos) y (niños). Se llega así a la ope
ración siguiente, es decir, la que consiste precisamente en encon
trar la zona de recubrimiento.
b) Intersección de conjuntos. La intersección de dos conjun tos está constituida por todos los elementos que pertenecen a la vez a los dos conjuntos. En el caso de los niños de ojos azules y niños de pelo castaño la intersección está formada por niños de
ojos azules que tienen a la vez el pelo castaño. En el caso de con juntos distintos (o disjuntos) la intersección será vacía.
Por ejemplo, no hay superposición entre las niños y los niños. Un niño o es niño o niño, nunca las dos cosas a la vez. De suerte que la intersección de conjuntos (niños) y (niños) es vacía. En el
caso de (niños gruesos) y (niños) está claro que da intersección
(O Para mantener una exposición más precisa en estos párrafos la i»-labra «niños» se referirá a ambos sexos, mientras que «niños» indicará sis
^ ^ ^ operaciones con conjuntos
la clase que se existen niños gruesos en
vacía igualmente. ^aiverso, esta intersección se encontrará
C O N J U N T O S Y o p e r a c i o n e s C O N C O N J U N T O S
c) Co *
un conjunto dado está'fn^'^'íi^^ conjunto complementario
verso de que se habla one ° los elementos del
uni-Plo. si el universo está fn^ Pertenecen a este conjunto. Por
ejem-conjunto dado es el de Ioq n° Por los niños de la clase y si el
complementario está formarf ^ azules, entonces el conjunto
ao henen los ojos azules. ° la clase que
^1 complemento del conjunto"?conjunto {niñízs};
universo Sruesos) es {niños delgados},
de un conjunto vacío no vacío y el
comple-eiem ? ^P^rtanTe a ^"iverso.
del cn°' de niños de^ • subconjunto. Por
"iños de ot. subconjunto
os <le los niños'"""''' ' un
su^on-oZ^Z V' Hay que di,:;;' -aiverso a todos
^es no^n^^'^ ®lo®entos. El sulJ"^^ maldadosamente los
«sub-^ios aa elemem^"'''
mamados ¿r.T' "«i^erso coLÍ los niños de
sario distmeir^ aahnente y o está formado por niños
a otras confín ««'e est^d®» y «ser
etcétera. "^"Ones relativas a la J conduciría más
Esta nocida de . i, " 'os factores,
^"■"«■«os exige u^a ^ <«stincidn H .
cantidad de eier.^" ''® °oo'<Sn d®
®J®«.c.os prdeticos. Los
ni-ños deberán entrenarse en cambiar de universo, de manera que sepan siempre exactamente sobre qué trata el juego. El juego se
hace sobre los elementos del universo. Si se modiñca el universo
se cambia de juego, nos ponemos a hablar de otra cosa. Por ejem
plo, supongamos que hay en una habitación tres perros, dos gatos
y cuatro niños. Si se toma por universo el conjunto de los seres presentes en la habitación, entonces los niños forman un subcon
junto del universo. Pero si se cambia de idea decidiendo hablar
de grupos de criaturas de la misma especie, entonces los elementos del universo serán: a) los grupos de niños; b) los grupos de pe
rros ; c) los grupos de gatos. Anteriormente, al hablar de criatura,
se podían formar conjuntos de criaturas; por ejemplo el conjunto
de los niños, o el conjunto de niños y perros, o el conjunto de
perros salvajes y de gatos moteados, o el conjunto formado por
María, Juan, el perro más feroz y el gato negro. Cuando se define
que el conjunto está formado por seres de la misma especie, sólo
©1 conjunto de niños pertenecen a este universo. He aquí otros elementos posibles que pertenecen a este universo:
A. (María, Juan y Susana} B. (María, Susana} C. (Los perros feroces} D. (Todos los perros}
E. (Todos los gatos} F. (El gato negro} G. (Juan, etc.}
Los elementos F y G son conjuntos que comprenden un solo elemento. Importa no confundir el caso en que Juan es un elemento
del universo con el caso del conjunto que comprende a Juan sola
mente, que pertenece a otro universo. Esto puede dar la impresión de que se trata de hilar demasiado fino, pero si se abandonan estas distinciones se desemboca en confusiones y contradicciones. Por
CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS
iKPíiwlc*universo formado por todos los conjuntos
los coniiim hablar y extraigamos de este universo
que coinnrí»°!i solo elemento, o los conjuntos
hre a cada ser" ®^®uientos. Para más claridad demos un
nom-María, Susana, Miguel,
roz)^ dulce), Tarzán (es feroz). Tigre (es muy
fe-Gatos : Negro. Moteado.
de seres de la mism^° universo de los conjuntos
nuación se halla ^ mucho más numeroso. A
conti-eu cada conjunto. ° según el número de seres que figuran
1 criatura por conjunto (conjunto E d.
( J u a n ) / M a n í 1 r ' c o n j u n t o s ) :
{Tatón} {Ti'ire} "íN^^ {Miguel} {Pluto}
Uigre} {Negro} {Moteado}
ÍS.
m^L}'""'°-' por conjunto (couju„to E d
Woan. Maria, Susanal n conjuntos):
{Jnan. Susana. Miguel} fíf*'- ®- "'suel}
' *0. Tatzán, Tigre} Miguel}
CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS 17
4 criaturas por conjunto (conjunto de conjuntos):
(Juan, María, Susana, Miguel)
Naturalmente no hay ninguna razón para restringir el universo al conjunto de los conjuntos de criaturas de la misma especie. Si
se admiten otros conjuntos de criaturas, se obtendrá un universo
todavía más numeroso.
El universo estudiado acaba de ser descompuesto en cuatro
partes. La primera parte contiene los elementos que pertenecen a conjuntos de una criatura cada uno, el segundo contiene elementos
que pertenecen a conjuntos de dos criaturas, etc. El o número 1» es una propiedad común a todos los elementos que pertenecen a la primera parte, el «número 2r> es una propiedad común a todos los elementos que pertenecen a la segunda parte, y así sucesivamente.
El conjunto de los conjuntos del primer grupo, designado E^,
tiene elementos que son por sí mismos conjuntos, y cada uno e estos conjuntos tiene la propiedad de no comprender por si mismos más que un elemento, es decir, un solo ser. El conjunto de los con
juntos del segundo grupo, designado Ha, tiene también elemeifios
que son conjuntos, cada uno de estos conjuntos comprende dos elementos, es decir, dos seres. El conjunto de los conjuntos e tercer grupo, designado E„ tiene también elementos que son con juntos, y cada uno de estos conjuntos posee la propiedad de tener
tres elementos.
«Tener tres elementos» es una propiedad de los conjuntos que
permite aislar un cierto conjunto de conjuntos a partir del universo fie los conjuntos, a saber, el conjunto de los conjuntos en los que cada conjunto-elemento posee precisamente tres elementos. Es un
portante apercibirse de que «tener tres elementos», o «tres» para
coNíimros v operacones con conjuntos elementos de los
muchacho», aser propiedades tales como «ser un
elementos del universo de^ el pelo negro» se aplican a los
conjunto de criaturas seres, no al universo de cualesquiera c o n s i g u i e n t e « s e r u n m u c h a c h o ; p o r junto de criaturas, sino aplicarse a ningún
con-«tener tres elementos» no ^ criatura. Inversamente el
smo solamente a un coniuntoti^ aplicarse a una criatura aislada,
as adquisiciones del niño m a aisladas. No se facilitan
«1 alumno cosas como esta:
• • •
° 1° que es peor todavía
a p r i m e r m - k I T I T ^
^-Sad d^S"- coVuZ^tr "d" °
idéntica » ^°ajunto. No se m, a ^®2uado miembro es una
® U n e o n i n n t ^ j ' » m i s m a ° ° i d é n t i c a
«"■junto de tres objeté "í"" "ttes. no es idéntico
"n cotl^'^'^ f ''o^ eonjuntoí. Extr
tiendo del coniimt ^^ferettcin un subconjunto
conjunto de niños"/® ojos aztíe"/"' ^°°juutos. Si
par-JOS azules de la ci/ azules, queda ^ el erencia entre el co" *^ujnnto de n*~ ^°°junto de niños de c muchachos de oí de niños de azules es la
>a no:«T^etaT: ^
sustracción. ^Peración entre
conjun-C O N J U N T O S Y O P E R A conjun-C I O N E S conjun-C O N conjun-C O N J U N T O S 1 9
Es posible que el subconjunto sea idéntico al conjunto, por ejemplo, es posible que no exista en la clase niña alguna de ojos
azules. En este caso la diferencia es un conjunto vacío. Hay en
esto una dificultad que no es preciso introducir desde el principio.
Los subconjuntos que no son idénticos a los conjuntos de que for
man parte se llaman subconjuntos en sentido estricto. Por ejem
plo, el conjunto de los muchachos de una clase es un subconjunto
en sentido estricto del conjunto formado por todos los niños de la
clase, si existen niñas en la clase, pero no en el caso de que la clase
no comprenda más que a muchachos.
Las operaciones que acabamos de estudiar sobre conjuntos son
los preliminares necesarios para el estudio de las operaciones so
bre los números. Como ya hemos dicho los números son propieda
des de los conjuntos. Cuando se habla de números, se habla de propiedades. El universo en que se aplican estas propiedades está formado por conjuntos; los elementos de estos conjuntos son gene
ralmente objetos o sucesos. A partir del universo de todos los con
juntos posibles, se pueden extraer aquellos que tienen la propiedad
comprender precisamente dos elementos. En efecto, ados» es la
propiedad común a todos los conjuntos posibles que comprenden
úos elementos. De la misma forma que «creando» conjuntos a
par-br de sus elementos creamos esta vez un nuevo universo, el de los
números. No es necesario añadir que este proceso es ilimitado. El
^rte del matemático consiste en la creación continua de nuevos
Universos y en la investigación de las propiedades en tomo a los Cementos de estos universos. Los niños pueden desde la escuela
I I I . AT R I B U T O S Y O P E R A C I O N E S L Ó G I C A S
a) Descripción del material lógico
Ya hemos hablado de las propiedades de los elementos de un <^onjunto. Dado un universo, una propiedad define un conjunto, a condición de ser lo suficientemente precisa, para que cualesquiera
pueda examinar los elementos del universo y decidir si este ele
mento posee o no el atributo en cuestión. Si se considera por ejem
plo Un Universo de objetos coloreados en rojo, azul o amarillo, el
atributo «azul» será suficientemente preciso, puesto que en este caso no importa quién pueda decir si un objeto es azul o no. Pero, por el contrario, si los objetos del universo tienen tonalidades que pasan gradualmente del azul al violeta y después al rojo, el
atri-l'uto «azul» no se presta ya a una distinción totalmente precisa. Si
deseamos que los niños trabajen sobre los atributos, es esencial
colocarles en situaciones en que puedan efectuar discriminaciones
Válidas.
Para trabajar sobre los atributos sugiero el empleo de un juego
de piezas concebido en la forma siguiente (1):
Editorial Teide prepara una serie de ejercicios progresivos
desti-Os a las escuelas maternales y las primeras clases de enseñanza pnm^ia.
J-os alumnos de las últimas clases que no han tenido ocasión de d^cubrir"^^otos de la noción de conjunto en el primer grado tendrán gran
en hacer ejercicios de este tipo. (N. del E.)
2 2
atributos y operaciones lógicas
^ Unas piezas serán rojas, otras azules y otras amarillas i
Unas piezas serán de forma redonda, otras cuadradas, otras
triangulares (1) y otras rectangulares (1);
40 P^^zas serán gruesas y otras delgadas;
ñas piezas serán grandes y otras pequeñas.
butos estén todas las combinaciones posibles de estos atri
Poruna soiaT'* de las piezas, y cada una
diferentes (2\ Pcf * torma un universo de cuarenta y ocho piezas
situado sobre ^°njunto, ordenado en una caja de cartón, sera
«obre las mesas de los alumnos. !
^^bsoluto de inculrarl¿"°gf° '^•"^^usuIod y el «rectángulo», no se trata loa el nombri. conceptos. En una primera fase s® PEn una clase maternal en Par^
se Due?^ estos nomh" Puntiagudo y al rectángulo ®1 ^gl tomanH^ Uamar al triángulo el Apelando al sombrero de Cadet
tonundo como referenTu ^ rectángulo se le llamará barra
coi? ^ el coni2 ^ chocolate. (Nota de la ed. francesa-)
^^-ubmar los atribulor¿S°^° piezas diferentes, ya que resulte ti®
IraS'^" ■!= f'mraeC •
redo H ^ ^®ctangular *^uatro formas: redonda, cua
^«^cnda roja gruesa g^^ide ''^°"das pueden ser:
» , , ° pequeña redonda azul gruesa grande » j , c e l g a d a g r a n d e » » d p e q u e ñ a
' p e q u e ñ a ° » d e l g a d a g r a n d e
' ^ ^ ^ i c u d a a m a r i l l a " p e q u e ñ a
» f i ^ a n d e
» B a J . p e q u e ñ a
obtenemos do. • ' » "^^'gada grande
Piezas cuadradas^-redondas h p ° Pequeña
(NiSS'dT ^ '^®®^uwr' K bucemos lo mismo con
® traductor.) ° Por doce — °^cuemos también doce ñif®' - cuarenta y ocho piezasdistintas-atributos y operaciones lógicas
b ) J u e g o s p r e l i m i n a r e s
Los niños comenzarán por jugar con estas piezas como con un juego de construcción y tratarán de realizar conjuntos figurativos, después querrán emprender la clasificación de las piezas, conven a
encaminarles en este sentido. Una pila de piezas rojas, otra e azu
les, otra de amarillas: he aquí la clasificación por colores. Se pue
den hacer también cuatro montones según la forma, o dos según
el espesor, o dos montones según la magnitud. Esto es el pre liminar indispensable para clasificaciones de tipo más comp ejo,
tales como las que hacen intervenir a la vez la forma y el co or,
y así sucesivamente. Al cabo de cierto tiempo será corriente oír
decir a los niños: «Falta en mi caja el "triángulo azul^gran e y
grueso"; ¿quién me lo ha cogido la última vez?». Los niños pren
derán así a designar las piezas por sus cuatro atributos. encomendará que jueguen al «objeto escondido». Uno de los nino niientras sus compañeros cierran los ojos, saca una de las piezas y la esconde; los demás niños deben identificar a continuación
pieza que falta. Se puede imaginar también una variante del juego
del «retrato»: un niño piensa en una pieza, los otros deben a ivin
esta pieza haciendo el menor número posible de preguntas.
Después de esto se pide a los niños que elijan dos expliquen en cuántos aspectos se diferencian. Por ejemp o,
«círculo grande delgado y rojo» difiere de un «rectángulo grp
delgado azuli) en dos aspectos, y así sucesivamente. Cuando se ay
adquirido este concepto, se puede introducir un juego pa ogo
«dominó»: se trata de formar una cadena de piezas, de
cada Una de ellas difiera de la precedente en un solo atri u
atributos y operaciones lógicas
cuadrado rojo _ cuadrado azul _ triángulo azul
triángulo amanUo - círculo amarlUo — círculo rojo — círculo azul
rectángulo azul
triángul) rojo — rectángulo rojo
rectángulo amarillo —• cuadrado amarillo
A T R I B U T O S y o p e r a c i o n e s L O G I C A S
rácter de competición más apremiante, si se encadenan las piezas
en una dirección perpendicular diferenciándose en dos atributos.
Por ejemplo, si nos limitamos a las piezas gruesas y grandes (es
<lecir, no haciendo variar más que la forma y el color) se llega a
configuraciones como las representadas en la página 24.
Cada vez que hay una variación de un solo atributo se des
plaza de izquierda a derecha, y cada vez que hay una variación
de dos atributos se desplazan de arriba abajo (1).
En fin, se introducirá un «juego de negación» haciendo elegir
n Un niño una pieza que tenga el «atributo contrario» de un atri
buto dado. Por ejemplo, si un niño toma las piezas amarillas, otro deberá tomar las piezas que no son amarillas («no-amarillas»); si
tin niño toma círculos rojos, otro deberá tomar piezas que no sean circiños rojos («no-círculos rojos»). Esto nos conducirá a un estu
dio más sistemático de la conexión que existe entre «y» y ano». c) CONJtJNCIONES
Para llegar a esta noción lo mejor es valerse de los diagramas c Venn de complejidad creciente. Se colocan o dibujan en el suelo os círculos: uno que lleve, por ejemplo, la etiqueta «rojo» y otro ^ etiqueta «cuadrado». Se sitúan las piezas rojas y solamente las ojas en el interior del círculo «rojo»; las piezas cuadradas y
so-agente las cuadradas en el interior del círculo «cuadrado».
Nin-fitin objeto rojo puede estar situado en la parte exterior del círculo ®rojo», y ningún objeto cuadrado en el exterior del círculo «cua-fndo». Los cuadrados rojos estarán situados en la región de su perposición de los dos círculos (es decir, en la intersección del
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SVDIOpi S3NOIDVBadO A SOXJiaiHXVatributos y operaciones lógicas
rojas ni ^®™P^alniente del juego las piezas que no sean ni
si se toma en^ei^^ ^servando el diagrama se ve en seguida que
conjunto una pieza que no es roja, será
forzosa-- r o l o , y i d r a d a * c ; .
conduce a una imp'''
«ñ:r±; 7"-» «o.
""■cuadrado, entonces rojo
c) Implicaciones
gennen de l7 de ver la
a-reúnen en im '*^^°°^®ientos» Pr^ f^^y^ciones llevan en sí el
« se toma de^te*^" '«a piezLlt"®'"' ™"S™emos 1"®
<lebe ser una nie, una pieTj, redondas o azules;
toma^r "° "
eonjuntos disyunt¡v7°"^- Una vez ''''® °°
aaáiogo^ loa nmos han formado^ un grupo de niños que
A T R I B U T O S V O P E R A C I O N E S L Ó G I C A S 2 9
extraigan cada uno una pieza de tal conjunto, asegurándose de que esta pieza no posea uno de los atributos que deñnen la dis yunción ; ellos se dan cuenta de que la pieza elegida posee entonces
e otro atributo. En el caso de montón «redondo o azul» si se dice
os niños que cojan una pieza cualquiera que no sea redonda, ^ a uno de ellos se apercibirá de que tiene en las manos una P^cza azul. Algunos podrán comprender entonces que decir: «re-u o o az«re-ul» es tanto como decir: «si no es redonda, entonces
sera azul».
a lo^ complicar el juego introduciendo negaciones. Se pide
nmos que amontonen todas las piezas que no son azules o no«azuí^^°°^^^' ^ forma de este modo la reunión del conjunto
» con el conjunto «no-redondo». Después se dice a los niñosse piezas redondas en el montón así formado:cuenta de que son todas azules. Aparece así que el mon-ent o azul» es también el montón «si es redondo,
form^^^^ azul». El mismo montón puede ser descrito de dos
US distintas o llevar dos nombres diferentes (fig. 5).a z u l y r e d o n d o a z u l y n o - r e d o n d o n o - r e d o n d o y no-azui
/
"....auius y OPERACIONES LÓGICAS
las pie^ reston'f° del juego las no-azules. Todas
que si se tom azules o no-redondas. Acabamos de veí azul; aún conjunto una pieza redonda, es forzosamente redonda. De azul es forzosamente
no-a dos implicno-aciones^^ disyuntivo estudino-ado conduce
Si es redondo, entonces es azul.
Impo ta ' entonces es no-redondo.
una pieza azul no^LT^^ inverso no es verdadero: si se toma
uo-redonda, no e«i °^°samente redonda; si se toma una pieza
L a n e g a c i ó n n o - a z u l .
con los juegos de dis »0 sean azules o redo J *=°"^'gna «dame todas las piezas
"e la vez no-azules y j ^ reunir las piezas que so®
bres distintos pata Z una vez más, dos nom
1 todas las oie^° tnontón. Del mismo modo el montoú
^ 1® ®®dondas y ai®'
Piezas que "Jbién diciendo a los niños: «reunid
e l « t t o d u c i r l a ° u o - a z u l e s » .
'®s PieS't """'dn «no-aSl'"" formando desde
"a la Vez a^ ^ de las tedn '®''°®doi. (es decir, la unión d
partir de este ^ °®"'®dondoii y " ®o'onces la negación ser
"Otacián Sbnw®®"'® que s¡ L ®"®®S'vuniente. Se percibirá ®
los resultados ni?®' la cual ""^Sente imaginar un modo d®
E® la ° Po^'We observar y discutir
^^a8a^:^\»aterna,vene,_
A T R I B U T O S Y O P E R A C I O N E S L O G I C A S
la escuel ° Posible observar y discutir
^de 5 a 8 a" "®^temal v
®1 Wtaciplo^^®®5 ®a° de escuela prnnari®
'°''te trozos de I^?ear las palabras y, o, «o,
c a r t o n , a s í ^ . « í i r e s
de los atributos. Para los niños que no saben todavía leer, algunos atributos podrán estar simbolizados por dibujos representando las
formas o por pequeñas manchas de pintura. Las nociones de gran de, pequeño, grueso y delgado pueden en rigor representarse por
símbolos figurativos sin pretensión.
La dificultad comienza con los montones más complejos, para
los cuales el agrupamiento de los símbolos plantea problemas de significación. Así, en los símbolos siguientes:
N o ( r e d o n d o y a z u l )
no quiere decir lo mismo que:
(No redondo) y (azul)
io que hace necesario el uso de paréntesis o de dispositivos
análo-§os. Esta dificultad ligada a la función de los símbolos puede ser
salvada eligiendo distintos métodos convenidos para expresar las
conjunciones, las disyunciones y las negaciones. Estos métodos se escriben a continuación y pueden ser utilizados conoiiños de se gundo curso de escuela primaria (8-9 años) (1).
O Simbolismo lógico
El simbolismo comienza naturalmente por los atributos primi fivos: color, forma, tamaño, grosor. Se designan los montones o conjuntos mediante nombres tales como el conjunto rojo, el con
junto cuadrado, el conjunto delgado, etc. Estas especificaciones par ticulares o valores de los atributos constituyen nombres valederos para los conjuntos. Después viene la negación. La letra
mayúscu-a N puede situmayúscu-arse delmayúscu-ante del nombre de un conjunto y esto
cons-^Presas ^ Pt^iucipio escuela priman» fu^uc simarse delante del nombre ae un cuujuu.^ j
nofflbiS Tercer curso de escolaridad oblieatoria. cu España. (N. de. T.)
3 2
atributos y operaciones lógicas
ejemplo si am el del conjunto complementario. Por zas que no son ama representa todas las
pie-relaciona únicamente^ i^ convendrá en que este símbolo N se
puesto que Nam es 1 ®°nibre que le sigue inmediatamente,
que lo es NNam- un conjunto, de la misma forma
verso que no perten^ conjunto de todas las piezas del
uni-tiene el mismo sianifT^J* ^ conjunto «no-amarillob, pues NNam
gico se corresponden con^i negaciones en el plano
ló-juntos; la negación de i ^°"^Plementos en el plano de los con
que el atributo primitivo^ negación de un atributo no es otra cosa
conjunto no es otra eos/ ^°"^PÍcniento del complemento de un
Podemos introducir complemento primitivo,
xaciones. El símbolo 05^1??°*"® ^^bolos para las
con-tales como: mayúscula K con abreviaturas
az, r, ca, te, ro, gr, de, ge, pe
para los once tipo d
coT^d ^°°^®°^^cnios en aur^i existen en nuestro universo de
os nombres de conjuntos ^ ^relaciona tínicamente
A s í : s i g u e n i n m e d i a t a m e n t e .
ATRIBUTOS Y OPERACIONES LÓGICAS
II I® ^"1 y cuadrado.
En este último • no-azul y cuadrado»
«íado; no'hay ^ *=°n^tedrad relaciona
y «no-azui y cua.S.S^'"''^" P^^ible entrTTn T'
el pr¡,n„ 'no azul y cuadrado»
debe escribirse N Kaz ca, d
segundo K Naz ca; en el primer caso K az ca es el nombre del
conjunto que sigue inmediatamente a N, puesto que Kaz no es nombre de conjunto; en el segundo caso el nombre az es el nom-del conjunto que sigue inmediatamente a N, y por consiguiente
no se relaciona con ca. No hay pues necesidad de recargar la
escritura con paréntesis.
Se puede naturalmente formar la conjunción de una conjunción yn ormada y de otros atributos: esto lleva consigo el empleo de
^ n segundo símbolo K. Por ejemplo: K de K Naz ca significa aa
Vez delgado y a la vez no azul y cuadrado», lo cual es lo mismoqne escribir:
Naz ca, es decir: «a la vez delgado, no-azul y cuadrado».
co Í"®So instructivo consiste en hacer imaginar nombres de
n. algunos niños y hacer formar estos conjuntos a otrosniñ^^ ^ ^^os pueden construir conjuntos, después otros
nombre. Hay que hacer notar que el mismo conjunto® tener varios nombres, como acabamos de ver.
conc^^ evidencia este hecho, se puede utilizar un juego
d ff*- siguiente forma: se constituyen los cuatro
conjun-K N ^ por símbolos tales como, por ejemplo, conjun-K am <r>
estos^ N tr, K Nam N fr; se pueden poner de manifiesto
cerca dibujando un diagrama de Venn por medio de una Cada y poniendo el nombre correspondiente sobre
letrascampos que se forman; después uno mezcla las
qne componen los símbolos. Pueden presentarse tres casos:1 ° T
úccir ^ nueva composición no es un nombre de conjunto, es men/ escritura no está de acuerdo con las reglas
atributos y operaciones lógicas
2 o T
conjunto ^ combinación representa otro nombre del mismo
junto. ^ combinación representa el nombre de otro
con-y que^°w?'que se parte del símbolo K Nam f
nombres de conii ♦ Qne el símbolo K debe referirse a dos
cribe Kam tr N ta" ^^^"^dos inmediatamente tras él. Si se es
puesto que la letra ^®sponde a ningún nombre de conjunto, junto. Si se escribe K seguida de ningún nombre de con
conjunto; pero si c.» ^ ctro nombre para el mismo
^re de otro coniunto^^^^ ^ ^ obtiene entonces ©1
el mismo diagrama de
junto; es el conjunto ^ también un nombre de
con-y triangulares, es decir la ' a la vez amarillas
das con el de las pieza. conjunto de piezas
no-amafi-a m i l i no-amafi-a r i z no-amafi-a d o s s i e s t á n s u f i c i e n t e m c t i * ®
«te conjunto es los niños reconocerá^
lada/ (fig, - complemento del conjunto
«ama-^oaalado con las líneas
ondu-libre en 1 •Jefinido'^ * ^Wbuto N; el espacio cubierj"
de los dol '™''° definido T' '""''"«0 Nam; el espaci®
pues definido por el atributo
^ N am NA (i)
tt) El atributo A <t j^ se define en k •
página 3#;
ATRIBUTOS Y OPERACIONES LÓGICAS 35
que es también claramente el complemento del tercer conjunto, es
decir, de aquel que se encuentra en el centro del diagrama, y otro
nombre para la reunión de los dos primeros conjuntos es pues:
N K a m A
Ésta es una de las reglas de De Morgan uniendo conjunciones, disyunciones y negaciones. Las otras tres se obtienen definiendo
Fig. 6
^cs circuios originales por medio de la negación de atributos, es
36
atributos y OPKRACIüNKS i.ügtcas
elación entre la lógica y los conjuntos (1)
de maneiar^^^ se hacen mucho más fáciles de entender y
lenauaie Hp'i establece la correspondencia siguiente entre el
^ conjuntos y el lenguaje de la lógica:
complementos de conjuntos intersecciones de conjuntos reuniones de conjuntos < = > negaciones de atributos conjunciones de atributos disyunciones de atributos « n o » , l a s l o s c o m p l e m e n t o s c o r r e s p o n d e«"sea.ones a ay.. la, reuniones a «en».
h) E>®amoli.os ulteriores
las disyunciones ■ estr» introducir un símbolo pa'"
f ha dicho, se conve^T generalmente A. Como más arriba
los dos nombres de símbolo A se relaciona con
ejemplo, A Nam re siguen inmediatamente.
ao amarillas o rectanaulá ®^cunir todas las piezas que soU
«ti también repre eX""-^ teconocerá que esta consigntt
, estén t™ it! P" N Kan, N re.
t""= los jucl^j P'' P°" cálculo propo.sicionai
que corr" """'"logias» en el """^tión descansan sobre lo V"
experim " cada tinl h ' ^ P"""" "" í"'®"
t P c n n t e n t n , y v e z e n u n n i v e l
ít) Se ene ^ ^^nipuJación de las p'®
de Cálculo proposicional en ^
matemática de O. C D. L.)
A I R i m i O S Y O I ' l R A t l O M S I C H i l C A S
zas representan un juego a nivel experimental, la combinación de los cartones que llevan los símbolos representa un juego a nivel Simbólico. Se pueden así introducir otros elementos del cálculo
proposicional, por ejemplo traduciendo «si... luego» por un
sím-® o de implicación: e.sle símbolo será normalmente C. Por ejemplo.
/ » A
r az significa: «Si en este conjunto se toma un triángulo, será
^rzosamente azul»; se recordará que tal conjunto se puede formar Siguiendo la notación A N ir az, es decir: «RcLinir todas las piezas
Que son no triángulos o azules».
la misma forma se podrá introducir un símbolo para la
^Quivalencia, por ejemplo E. Entonces, E az tr significa: «Si se
tri^^ pieza azul, es forzosamente triangular y si se toma un
^ ' UjjUlo es forzosamente azul». Es la conjunción de dos implica-
Des C az fr y c tr az V por consicuiente la notación E az ir a K C az ir az.IV. EL NÚMERO Y EL ORIGEN DE SU NOTAQÓN
El nivel de abstracción del número
P l '
berse propiedad de los conjuntos. Después de
ha-conjuntos, los niños no encuentran
di-dentro alguna cosa relativa a los conjuntos y en clasificar
fiecir^i ™ísma clase todos los conjuntos de los que se puede
^ niisnia cosa. Hay que percatarse de que cuando se pasaanive^ ^°°Í*íatos a los números se cambia de universo: se pasa del
P^opi^° objetos al de los conjuntos. «AmarillOD es una
babland^^ ^ conjunto de objetos de los que hemos venido
gados ojcmplo, al conjunto de los triángulos grandes
del-Piedad^T^^ círculos pequeños y gruesos, a Dos» es una
pro-grueso ^ conjuntos tales como el de los círculos azules ana rectángulos amarillos pequeños. «Cuatro» es
^ojos los conjuntos tales como el de los cuadrados
^omo ab^ triángulos azules. Se podrá emplear la letra N
^®njüat ^®^latura para designar «el número de los elementos del
más^^' riesgo en confundirla con la N de la negación,
aiisino * enseñar a los niños lo antes posible que el forana puede representar cosas distintas, de la misma
^tie símbolos distintos pueden significar la misma cosa.
Im-4 1 ) *
número y origen de su notación
porta dej^r bien sentado que los símbolos no son en modo alguno
mnf H simbolizadas, sino simples convencionalis
mos destinados a evocar lo que se trata de simbolizar.
El símbolo N {círculos pequeños gruesos}
""mero de los elementos que forman el conjunto
misma nror.*^ Pequeños gruesos. Encontramos que es la
misma propiedad que está representada por
N (rectángulos pequeños delgados)
de igualdad no^° el signo = entre estos símbolos. Este sigu"
conlapropieL'n conjuntos en cuestión. siflO
en efecto, es utilÍ7aT^ de comün: su número. El símbolo 3,
número de coniunt ° designar una propiedad común a un gi"a®
memos. Esta tran^i^iÁ ^ conjuntos formados por tres
ele-abstracto de los ni'im " ^ mundo de los conjuntos al mundo luas
trabajo, destinados ^^cilitada mediante instrumentos de
de los que se encontra ° como a los profesores,
del universo de los obJ^ ^ ^dicación en las referencias. Se
piedades que permiten conjuntos, y las
pro-sino números; hay en e^t ^ objetos no definen conjuntos ? l e s e n c a n t a d a a b s t r a c c i ó n ,
fruten las experiences ^ ^°"dición de que se Ies
abstracción. convenientes para fundamentar esta nueva t^i número de loe
■"«•iMte la cifta «to ™7^ ™ vacío se design»
^ «^«nbe simbólicamente
N Ú M E R O V O R I G E N D L S U N O T A C I Ó N 4 1
Por ejemplo, se tienen N (triángulos cuadrados) = O,
p o r q u e
(triángulos cuadrados) = { )
i') La adición de números
siguiente en el proceso de aprendizaje parece definida
uúme^ "tente, como la construcción de las operaciones sobre los
de hab ^ "u^Sen de las operaciones sobre conjuntos. Después
Igualdad^distinción entre números y conjuntos, la
posible * ^ números, los conjuntos vacíos y el número cero, es
do noción de adición sobre la noción de reunión
poseen^^?^°^ presenta una dificultad: los conjuntos que
resultad comunes, una vez reunidos, no dan el mismo tienen el '^""^^t'lco que los conjuntos del mismo número que nomentos comunes. Por ejemplo:
N (cuadrados grandes delgados) = 3
N (cuadrados azules delgados) = 2
S^dos^qu^ conjuntos está formada por cuadrados
del-"tente- Iq Standes o azules, lo que da cuatro elementos
sola-^ números «no se suman». Pero si se toman
grandes delgados) reunidos con
se obtiene- (cuadrados grandes gruesos)
^ "adrados grandes delgados)
- o — I
+ N (cuadrados grandes gruesos) -I- 3 = N (cuadrados grandes) = 6
