PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Marcelo Cardoso Ferraz
Prisma e pirâmide:
um estudo didático de uma abordagem computacional
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Marcelo Cardoso Ferraz
Prisma e pirâmide:
um estudo didático de uma abordagem computacional
Dissertação apresentada à banca examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA,
sob a orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva.
Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
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GRADECIMENTOS
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ESUMO
Nos estudos preliminares, sobretudo, na revisão bibliográfica, observou-se que alguns trabalhos constatam as dificuldades que os professores encontram em ensinar o conteúdo volume de prismas e pirâmides. Com o objetivo de aprofundamento dos conhecimentos relacionados ao estudo do volume de prismas e pirâmides e conscientes de que o tema ainda carece de pesquisas, considerou-se por hipótese deste estudo que uma sequência de ensino concebida à luz da Teoria das Situações Didáticas e da Teoria dos Registros de Representações semióticas, mediada pelo uso de um software de geometria dinâmica, o Cabri 3D, poderá contribuir para aprofundar o estudo sobre o tema. O objetivo da pesquisa foi desenvolver uma sequência de ensino para aprofundar o estudo com professores da rede pública estadual que contribuísse para o desenvolvimento da capacidade de expressar algebricamente e graficamente o volume de prismas e pirâmides, favorecendo o quadro das grandezas. Após a elaboração, a análise a priori da sequência e a aplicação em um grupo de professores de Matemática da Diretoria de ensino de Jacareí da rede pública estadual, a análise a posteriori mostrou que nossa hipótese foi confirmada, isto é, que uma sequência desenvolvida e aplicada com base na Teoria das Situações Didáticas e na mudança de registros de representação conduz os professores a reconhecer o volume de prismas e pirâmides como grandezas.
A
BSTRACT
In the preliminary studies, moreover, in the bibliográphy revision, it's been observed that some works report difficulties that teachers might find when teaching the content: prism and pyramid volumes. Aiming the deepening of the knowledge related to the studies of prism and pyramid volume and aware that the theme still needs reaserch, it's been considered as an hypothesis at this study that a teaching sequence conceived by the Theory of Didatic Situations and the Theory of Registry of semioptical Representations, done by the use of a dynamic geometry software, Cabri 3D, could contribute to deepen the study on the theme. The objective of the rersearch was to develop a teaching sequence to deepen the study with teachers currently in the public network tha would allow the development of the ability to express algebrically and graphically the volume of prisms and pyramids, favoring the greatness chart. After the elaboration, the prior analysis of the sequence and sbjecting that to a group of Mathematics teachers from the board of the Public Teaching Department of Jacareí, The posteriori analysis showed that our hypothesys had been confirmed, that is, that a sequence developed and applied based on the Theory of Didatic Situations and on the change of registry of representation conduct the teachers to recognizing the volume of prisms and pyramids as greatnesses.
S
UMÁRIO
INTRODUÇÃO
... 14CAPÍTULO 1
... 16PROBLEMÁTICA ... 16
1.1 O Interesse pelo Tema ... 16
1.2 Revisão Bibliográfica ... 18
1.3 O Problema de Pesquisa ... 23
1.4 Aspectos Metodológicos ... 24
1.5 Construindo a Fundamentação Teórica ... 26
1.5.1 Registros de Representação Semiótica ... 26
1.5.2 Teoria das Situações Didáticas ... 34
CAPÍTULO 2
... 38ESTUDOS PRÉVIOS ... 38
2.1 Estudo Matemático do Princípio de Cavalieri ... 38
2.2 O Volume de Sólidos Geométricos nos Documentos Oficiais ... 42
2.3 A Geometria Dinâmica e o Cabri 3D ... 50
2.4 O Volume de Sólidos Geométricos nos Livros Didático ... 54
CAPÍTULO 3
... 64AS ATIVIDADES E SUAS ANÁLISES ... 64
3.1 Sujeitos da Pesquisa ... 64
3.2 Descrição da Aplicação da Sequência ... 65
3.3 As Atividades ... 67
3.3.1 Grupo 1: Exploração do Software ... 67
CONSIDERAÇÕES FINAIS
... 158REFERÊNCIAS
... 162APÊNDICE
... 166L
ISTA DE
F
IGURAS
Figura 1: Figuras geométricas ... 39
Figura 2: Objetos com forma de prisma ... 55
Figura 3: Poliedros e corpos redondos ... 56
Figura 4: Duas caixas de madeira ... 57
Figura 5:Objetos com forma de prismas ... 58
Figura 6: Definição do prisma ... 58
Figura 7: Obtenção do prisma por sobreposição de polígonos na mesma direção .... 59
Figura 8: Volume da pirâmide de base triangular ... 62
Figura 9: Pontos no plano e no espaço ... 69
Figura 10: Vista frontal e vista superior ... 70
Figura 11: Posições relativas das retas ... 70
Figura 12: Posições relativas entre planos ... 71
Figura 13: Construção realizada pela dupla B, atividade 1 do grupo 1 ... 73
Figura 14: Construção realizada pela dupla A, atividade 1 do grupo 1 ... 75
Figura 15: Institucionalização da atividade 1 do grupo 1 ... 76
Figura 16: Triângulos simétricos em relação ao ponto T ... 81
Figura 17: Construção realizada pela dupla A, atividade 2 do grupo 1 ... 83
Figura 18: Construção realizada pela dupla B, atividade 2 do grupo 1 ... 84
Figura 19: Construção realizada pela dupla C, atividade 2 do grupo 1 ... 85
Figura 20: Institucionalização da atividade 2 do grupo 1 ... 86
Figura 21: Pentágono e triângulo equivalentes ... 89
Figura 22: Construção realizada pela dupla A, atividade 3 do grupo 1 ... 90
Figura 23: Construção realizada pela dupla B, atividade 3 do grupo 1 ... 91
Figura 24: Construção realizada pela dupla C, atividade 3 do grupo 1 ... 92
Figura 25: Secção reta do paralelepípedo ... 92
Figura 26: Prisma e pirâmide com mesma altura ... 97
Figura 27: Construção apresentada pela dupla C, atividade 5 do grupo 1 ... 98
Figura 28: Solução realizada pela dupla C, atividade 5 grupo 1 ... 99
Figura 30: Estrutura do paralelepípedo ... 104
Figura 31: Secção de um paralelepípedo ... 106
Figura 32: Construção realizada pela dupla A, atividade 1 do grupo 2 ... 116
Figura 33: Construção realizada pela dupla B, atividade 1 do grupo 2 ... 117
Figura 34: Institucionalização da atividade 1 do grupo 2 ... 120
Figura 35: Triângulo e retângulo equivalente ... 121
Figura 36: Prisma e paralelepípedo equivalentes ... 122
Figura 37: Secções do prisma e do paralelepípedo ... 123
Figura 38: Construção realizada pela dupla A, atividade 2 do grupo 2 ... 125
Figura 39: Construção realizada pela dupla B, atividade 2 do grupo 2 ... 126
Figura 40: Institucionalização da atividade 2 do grupo 2 ... 132
Figura 41: Pirâmides equivalentes ... 133
Figura 42: Prisma e pirâmides ... 135
Figura 43: Institucionalização da atividade 3 do grupo 2 ... 144
Figura 44: Pirâmide ... 146
Figura 45: Secção da pirâmide ... 147
Figura 46: Construção realizada pela dupla A, atividade 4 do grupo 2 ... 149
Figura 47: Construção realizada pela dupla B, atividade 4 do grupo 2 ... 150
Figura 48: Construção II realizada pela dupla B, atividade 4 do grupo 2 ... 151
Figura 49: Construção II realizada pela dupla A, atividade 4 do grupo 2 ... 154
Figura 50: Construção III realizada pela dupla B atividade 4 do grupo 2 ... 154
L
ISTA DE
Q
UADROS
Quadro 1: Representações do volume da pirâmide ... 29
Quadro 2: Apreensão sequencial de um prisma triangular ... 30
Quadro 3: Apreensão perceptiva de um cubo ... 31
Quadro 4: Apreensão discursiva de um paralelepípedo ... 32
Quadro 5: Modificação mereológica de um prisma reto de base triangular ... 32
Quadro 6: Modificação ótica de uma pirâmide ... 33
Quadro 7: Modificação posicional de um paralelepípedo ... 34
Quadro 8: Área do quadrilátero pelo rastro do segmento ... 41
Quadro 9: Volume do paralelepípedo pela translação do retângulo EFGH ... 41
Quadro 10: Princípio de Cavalieri ... 42
Quadro 11: Ferramentas do Cabri 3D ... 53
Quadro 12: Quadro representativo das atividades propostas aos professores ... 65
Quadro 13: Quadro das construções do retângulo equivalente ao triângulo ... 78
L
ISTA DE
P
ROTOCOLOS
Protocolo 1: Respostas da atividade 1, item “b” (dupla A) ... 109
Protocolo 2: Respostas da atividade 1, item “b” (dupla B) ... 110
Protocolo 3: Respostas da atividade 1, item “f” (dupla A) ... 111
Protocolo 4: Respostas da atividade 1, item “f” (dupla B) ... 112
Protocolo 5: Respostas da atividade 1, item “g” (dupla A) ... 114
Protocolo 6: Respostas da atividade 1, item “g” (dupla B) ... 114
Protocolo 7: Respostas da atividade 1, item “h” (dupla A) ... 115
Protocolo 8: Respostas da atividade 1, item “h” (dupla B) ... 117
Protocolo 9: Respostas da atividade 1, item “i” (dupla A) ... 118
Protocolo 10: Respostas da atividade 1, item “i” (dupla B) ... 118
Protocolo 11: Respostas da atividade 2, item “d” (dupla A) ... 126
Protocolo 12: Respostas da atividade 2, item “d” (dupla B) ... 127
Protocolo 13: Respostas da atividade 2, item “e” (dupla A) ... 127
Protocolo 14: Resposta da atividade 2, item “e” (dupla B) ... 128
Protocolo 15: Respostas da atividade 2, item “g” (dupla A) ... 128
Protocolo 16: Respostas da atividade 2, item “g” (dupla B) ... 129
Protocolo 17: Respostas da atividade 2, item “h” (dupla A) ... 130
Protocolo 18: Respostas da atividade 2, item “h” (dupla B) ... 131
Protocolo 19: Respostas da atividade 3, item “b” (dupla B) ... 136
Protocolo 20: Respostas da atividade 3, item “b” (dupla C) ... 137
Protocolo 21: Respostas da atividade 3, item “c” (dupla B) ... 138
Protocolo 22: Respostas da atividade 3, item “c” (dupla A) ... 138
Protocolo 23: Respostas da atividade 3, item “d” (dupla A) ... 139
Protocolo 24: Respostas da atividade 3, item “d” (dupla B) ... 139
Protocolo 25: Respostas da atividade 3, item “e” (dupla A) ... 141
Protocolo 26: Respostas da atividade 3, item “e” (dupla B) ... 141
Protocolo 27: Respostas da atividade 3, item “e” (dupla C) ... 141
Protocolo 28: Respostas da atividade 3, item “g” (dupla C) ... 142
Protocolo 30: Respostas da atividade 3, item “h” (dupla A) ... 143
Protocolo 31: Respostas da atividade 4, item “e” (dupla A) ... 151
Protocolo 32: Respostas da atividade 4, item “e” (dupla B) ... 152
Protocolo 33: Respostas da atividade 4, item “f” (dupla B) ... 152
Protocolo 34: Respostas da atividade 4, item “f” (dupla A) ... 153
Protocolo 35: Respostas da atividade 4, item “j” (dupla A) ... 155
Protocolo 36: Respostas da atividade 4, item “j” (dupla B) ... 155
Protocolo 37: Respostas da atividade 4, item “k” (dupla B) ... 156
14
I
NTRODUÇÃO
Durante os anos que lecionamos no Ensino Médio nas escolas das redes pública e particular, verificamos algumas dificuldades encontradas pelos professores em ensinar os conteúdos relacionados ao ensino da geometria espacial. O fato levou a buscar elementos que permitissem compreender as questões relacionadas ao tema junto ao Programa de Estudos de Pós-Graduação em Educação Matemática na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, mais especificamente no grupo de pesquisa (PEAMAT Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática).
Resolvemos, então, elaborar nossa dissertação utilizando o conteúdo volume dos prismas e das pirâmides e os referenciais teóricos aliados à utilização da tecnologia no desenvolvimento de uma sequência de reconstrução de conhecimento para professores.
Inicialmente, realizamos uma revisão de alguns trabalhos com foco nesse tema, utilizando sequências didáticas e/ou tecnologia, para verificar a relevância e as alternativas apontadas e, posteriormente, efetuar as escolhas adequadas para nossa pesquisa.
15
Em nossa revisão percebemos diversos aspectos positivos e negativos relacionados ao ensino e aprendizagem da geometria e propusemo-nos a desenvolver uma pesquisa com foco no estudo do volume dos prismas e das pirâmides.
Entendemos, então, que nossa pesquisa tinha relevância e passamos a construir as etapas do trabalho.
O presente estudo foi estruturado em três capítulos, no capitulo 1 apresentamos a problemática, com a justificativa de escolha do tema, uma breve revisão bibliográfica de alguns trabalhos com foco no ensino e aprendizagem da geometria espacial, envolvendo sequências didáticas e o emprego das tecnologias aplicadas ao ensino desse conteúdo, a questão de pesquisa, metodologia e a fundamentação teórica.
Assim, o estudo está fundamentado na linha francesa da Didática da Matemática, na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e na Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval.
No segundo capítulo, realizamos alguns estudos, mediante uma análise das indicações apresentadas pelos documentos oficiais quanto ao estudo do volume de prismas e pirâmides e o uso de tecnologias, seguido de uma apresentação do software Cabri 3D, estudo matemático do princípio de Cavalieri e sobre a abordagem dada pelos livros didáticos em relação ao estudo do volume de prismas e pirâmides.
16
C
APÍTULO
1
PROBLEMÁTICA
Neste primeiro capítulo apresentaremos a questão norteadora deste trabalho de pesquisa, seguido dos aspectos metodológicos que delinearão esse estudo e, por fim, a fundamentação teórica.
1.1 O Interesse pelo Tema
Em nossa experiência profissional na educação básica presenciamos a evidência de diversas deficiências que dificultavam o desenvolvimento das atividades que abordavam o pensamento sobre geometria espacial.
Durante as aulas, percebíamos que os resultados obtidos não eram satisfatórios em questões relacionadas aos volumes de sólidos geométricos, mais especificamente, sobre o volume de prismas e de pirâmides. Então começamos um processo de questionamento sobre possíveis causas que pudessem provocar esses resultados.
17
Almouloud e Mello (2000) afirmam que alguns dos motivos que justificam tais deficiências são que grande parte dos professores atuantes recebeu uma formação muito precária em geometria. Nos cursos de formação inicial não acontecem discussões para produzir uma proposta mais eficiente para o ensino de geometria e as modalidades de formação continuada não têm atingido o objetivo de mudar a prática na sala de aula em relação ao ensino da geometria.
Incomodado com essa situação e visando diminuir as dificuldades encontradas nas aulas de Matemática, buscamos junto a cursos de capacitação o aprimoramento de nossas práticas e de nosso conhecimento matemático. Encontramos nos cursos oferecidos pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo um caminho para a qualificação e formação profissional.
Ao término da realização desses cursos, percebemos que a prática ainda não respondia satisfatoriamente às necessidades encontradas no processo de ensino e aprendizagem da geometria o que nos fez buscar no curso de mestrado Profissional na PUC-SP conhecimentos em níveis mais avançados. As aulas oferecidas nesse curso nos aproximou de alguns softwares que favorecem o ensino de geometria, como Cabrí II plus, Cabrí 3D, Teleduc.
Dentre as disciplinas houve a geometria em que foram abordados conceitos de geometria plana e de geometria espacial, com ênfase em demonstrações geométricas. As demonstrações relacionadas à geometria plana eram abordas com o auxílio do Cabri II, já as demonstrações relacionadas à geometria espacial eram abordadas com o auxílio do Cabri 3D.
Esse tipo de abordagem nos fez acreditar que seria possível transformar as aulas para uma abordagem mais dinâmica, minimizando as dificuldades encontradas no ensino de geometria.
18
1.2 Revisão Bibliográfica
Com a intenção de ampliar o conhecimento sobre a geometria, mais especificamente sobre a geometria espacial e sobre as tecnologias e sua utilização no processo de ensino e aprendizagem, buscamos materiais que abordam o assunto e encontramos trabalhos como Ramos (2001), Buratto (2006), Silva (2006), Rosalves (2006), Silveira (2008), entre outros. Neles aparece a preocupação com o processo de ensino e aprendizagem de geometria e alguns aspectos que mostram seu abandono.
Para Pavanelo (1995) a geometria está ausente nas salas de aula e algumas causas são:
A primeira é que muitos professores não detêm os conhecimentos geométricos necessários para a realização de suas práticas pedagógicas [...] A segunda causa da omissão geométrica deve-se à exagerada importância que, entre nós, desempenha o livro didático [...] E infelizmente, em muitos livros didáticos, a geometria é apresentada apenas como um conjunto de definições, propriedades, nomes e fórmulas desligada de quaisquer aplicações ou explicações de natureza histórica ou lógica. (PAVANELO, 1995 apud RAMOS, 2001, p. 2)
Além dos aspectos apresentados anteriormente, podemos encontrar em diversas pesquisas em educação matemática, a notificação da importância do desenvolvimento da habilidade de visualização no ensino de geometria espacial.
Nestas pesquisas é dado destaque a atividade de olhar, na tentativa de integrar o saber ver às representações geométricas e à aprendizagem sobre os objetos geométricos. Buscam-se também procedimentos que possam ser colocados em prática na sala de aula com o intuito de aprimorar a desenvoltura desse olhar.
19
O professor tem papel fundamental no desenvolvimento dessa capacidade de imaginar uma situação espacial a partir de um desenho. De modo que, se faz necessário pesquisar como os professores buscam desenvolver essa capacidade no aluno, como podemos perceber a seguir no trabalho de Arent (1972 apud FLORES, 2007). O autor afirma que agora é hora de pensar na relação que o professor tem com o saber que ele ensina. Então que o futuro professor tome consciência da significação que ele dá ao saber que vai ensinar.
Para Parsysz (1988 apud SALAZAR, 2009) a representação de uma figura tridimensional é necessária, porque só depois de passar por ela, os estudantes podem ter imagens mentais dos objetos geométricos. O autor distingue três níveis de representação de uma mesma figura: No nível 0 é a figura propriamente dita, no nível 1 é a representação “próxima”, de objetos geométricos, usando modelos como, por exemplo, maquetes que mantêm as dimensões da figura original e no nível 2 a representação é “distante”, de objetos tridimensionais feita em um suporte bidimensional. Contudo guarda uma relação de proporcionalidade, isto é, a representação envolve conceitos conhecidos e/ou aceitos de modo intuitivo.
O autor ressalta que, de uma passagem para outra, por vários motivos, existe perda de informação. Por exemplo, Na passagem do nível 0 ao 1: nem tudo pode ser mostrado na representação uma vez que algumas propriedades aparecem somente pela “boa leitura” e dependem da natureza da figura representada. Na passagem do nível 0 ao nível 2: a representação de uma figura tridimensional não é muito clara e sua visualização torna-se difícil por causa das propriedades das figuras tridimensionais, havendo perda de informação na representação.
Parsysz (1988 apud SALAZAR, 2009) afirma que a impossibilidade de proporcionar uma “representação próxima” de uma figura tridimensional em um desenho, e na necessidade de recorrer a uma “representação distante” ocorre em problemas de codificação.
20 Encontramos trabalhos apresentados por Parsysz (1988 apud JESUS, 2009) que buscam por possibilidades de diminuir os problemas de codificação (produção) e a decodificação (leitura e interpretação). Essas buscas priorizam o uso da tecnologia, em especial o uso do computador, na intenção de proporcionar representações de figuras espaciais mais próximas da figura propriamente dita.
Com a intenção de introduzir a tecnologia no processo de ensino aprendizagem, Silveira (2008) realizou um trabalho de investigação com a utilização do software Cabri 3D no desenvolvimento de atividades de uma sequência didática sobre prismas e pirâmides, procurando favorecer o raciocínio dedutivo e o desenvolvimento de propriedades desses sólidos.
Em sua pesquisa, a autora afirmou que alguns aspectos positivos em relação ao processo de ensino da Matemática são: A maioria dos professores é experiente, mais da metade possui experiência com o ensino de geometria, conhece o conteúdo e sabe das dificuldades do ensino da aprendizagem destes conhecimentos geométricos. Além disso, todos os professores pesquisados usam livro didático e quadro verde como material didático e a maioria deles usa material concreto.
Porém, em contra partida, constatou-se que em relação ao laboratório de informática nenhum deles o utilizam para desenvolver o conteúdo. Afirmam que o motivo é a falta de material de computadores e softwares ou não possuem conhecimentos sobre sua utilização.
A experiência de Silveira (2008) revelou ainda que o auxílio de um software de geometria dinâmica nas aulas de geometria contribuiu para superar algumas dificuldades de compreensão dos conceitos e propriedades dos sólidos geométricos.
21
não alcançou os objetivos esperados na sua totalidade, pois não souberam responder algumas das questões propostas.
No entanto, observamos que a autora não abordou o volume dos sólidos mencionados como grandeza, mas sim como um número.
Em relação à formação de futuros professores encontramos no trabalho de Buratto (2006), algumas características que apontam para a necessidade de melhoria no processo de formação.
A autora propôs a 30 alunos do 5° semestre do Curso de Licenciatura de Matemática da Universidade do Planalto Catarinense-UNIPLAC, um conjunto de situações na tentativa de contribuir com o ensino e a aprendizagem de conceitos de geometria e com a intenção de auxiliar na formação inicial dos licenciandos e em suas práticas pedagógicas com relação ao “cálculo” de áreas de figuras planas.
Buratto (2006) apurou que os licenciandos pesquisados consideraram a matéria difícil, a metade deles afirma não ter domínio sobre o conteúdo relacionado às áreas de figuras planas, e ainda ter estudado alguns conceitos de geometria como retas, pontos, áreas, ângulos internos e externos, perímetros, trigonometria etc. Na realização das atividades os licenciandos utilizaram o processo de memorização que aprenderam ao longo da sua vida na escola sobre o assunto em questão, levando a autora a considerar que o ensino de matemática em relação ao conteúdo ou ao método de ensino e avaliação ainda não é feito de maneira refletida.
22
Facilidade dos alunos visualizarem as figuras geométricas bem como suas planificações, que dificilmente são encontradas em livros e apostilas; Proporcionar ao aluno o contato com representações de sólidos geométricos manipuláveis, facilitando assim a abstração e a compreensão de alguns conceitos que dificilmente poderiam ser observados em representações bidimensionais. (SILVA, 2006, p. 116).
O autor constatou também, com os resultados obtidos em seu trabalho, que quanto ao aprendizado dos alunos sobre Geometria Espacial e os sólidos Platônicos, os resultados foram satisfatórios, pois após a conclusão da tarefa e apresentação dos trabalhos, ele percebeu que as dificuldades relacionadas à visualização e nomenclatura das características dos sólidos, tais como vértice, aresta e faces foram sanadas.
Rosalves (2006) afirma que devido à grande dificuldade apresentada pelos alunos em representar os objetos tridimensionais com lápis e papel buscou o trabalho com o auxílio do Cabrí 3D, particularmente as relações entre os objetos e suas representações, e teve como objetivo investigar o papel das representações dinâmicas nesse software.
O autor afirma ainda que os resultados mostraram que em determinadas situações as perdas de informações são menores no Cabrí 3D do que no lápis e papel, evidenciando que o software auxilia no processo de decodificação, ampliando a interpretação do desenho por parte dos alunos e levando-os a um melhor aproveitamento das interferências perceptivas.
Para Parsysz (1988 apud Flores, 2009) as dificuldades na visualização gera um dos problemas no processo de aprendizagem de Geometria Espacial. Esse fato conduziu a algumas reflexões didáticas sobre tais dificuldades e a respeito da importância inquestionável da Geometria Espacial e da necessidade de procurar uma alternativa para tentar superá-las.
23
manipulados. Desenho é a representação de objetos geométricos, que quando manipulados não conservam suas propriedades, isto é, deformam-se.
O trabalho realizado por Gobert (2001 apud FLORES, 2007) denota que a importância da visualização no ensino da geometria ainda é merecedora de investigação. Ela constata que, de fato, as pesquisas neste domínio evidenciam, e isso não importa o nível de escolaridade, as dificuldades que os alunos têm para fazer corresponder um objeto do espaço com sua representação plana: “trata-se de dificuldades em mudar ou articular diferentes pontos de vista sobre um mesmo objeto; em sair das representações estereotipadas; em visualizar planos de seções numa representação em perspectiva [...]” (ibid, p. 87).
As pesquisas apresentadas apontam a problemática relacionada à aprendizagem de geometria espacial no ensino brasileiro. Os vários aspectos levantados que justificaram o baixo desempenho dos alunos nas avaliações referentes a esses conteúdos nos aproximaram do estudo do volume de sólidos, mais especificamente de prismas e de pirâmides.
1.3 O Problema de Pesquisa
As várias pesquisas apresentadas em nossa revisão bibliográfica relacionadas ao ensino de geometria, mais especificamente sobre sólidos geométricos, apontam a preocupação com o tema, comprovam as dificuldades já mencionadas e propõem sequências de ensino para a melhoria do processo de ensino e aprendizagem relacionadas ao estudo de geometria.
24 Tomamos como hipótese que o software Cabri 3D poderá contribuir, oferecendo aos professores as ferramentas necessárias ao desenvolvimento do estudo do volume de prismas e de pirâmides.
Para tanto, nosso objetivo consiste em desenvolver uma seqüência de ensino, mediadas pelo uso do software Cabri 3D, para realizar um estudo com os professores, buscando responder a seguinte questão:
Como os professores reconstroem seus conhecimentos sobre o volume de prismas e pirâmides utilizando o Cabri 3D como ferramenta de aprendizagem?
Na tentativa de responder a essa questão de pesquisa objetivamos desenvolver, com os professores, uma sequência de atividades que possa permitir aos participantes justificar matematicamente, com base na geometria plana e espacial, algumas construções geométricas, realizadas por meio do software Cabrí 3D, utilizadas para representar sólidos geométricos em questões em que desenvolvem justificativas para propriedades inerentes a esses sólidos na tentativa de desenvolver a autonomia necessária para trabalhar situações que envolvam esses procedimentos com seus alunos em sala de aula.
Esperamos, com nosso trabalho, contribuir para reflexões, estudos e para o debate em Educação Matemática sobre o ensino de Geometria, em particular das propriedades dos sólidos geométricos em questão.
1.4 Aspectos Metodológicos
Ao buscarmos subsídios para responder nossa questão de pesquisa, apoiamo-nos nos pressupostos da Engenharia Didática, os quais nos auxiliarão na construção e análise de uma sequência de atividades que visem garantir aos professores construir conhecimentos em geometria, especificamente sobre o volume dos prismas, pirâmides.
25
[...] um esquema experimental com base em “realizações didáticas” em sala de aula, isto é na construção, realização, observação e análise de sessões de ensino. Caracteriza-se também como pesquisa experimental pelo registro em que se situa e pelos modos de validação que lhe são associados: a comparação entre análise a priori e análise a
posteriori
A autora distingue quatro fases para uma Engenharia Didática. 1) Análises prévias ou preliminares
2) Concepção e análise a priori das situações didáticas da engenharia; 3) Experimentação
4) Análise a posteriori e validação.
Em nossa pesquisa a Engenharia Didática, em cada uma de suas fases, terá a seguinte composição:
As análises preliminares feitas com o objetivo de identificar os problemas de ensino e aprendizagem sobre o quadro teórico didático e sobre os conhecimentos adquiridos no estudo do volume de sólidos geométricos. Na primeira fase da pesquisa foram feitos estudos envolvendo a Teoria das Situações Didáticas, de Brousseau (1986) e dos Registros de Representação Semiótica, de Duval (2003), além de aspectos de conhecimentos ligados à geometria, e alguns objetos matemáticos como prisma e pirâmide.
Na fase 2: Concepção e análise a priori com a finalidade de responder as questões e validar as hipóteses levantadas na fase anterior, elaboramos e analisamos uma sequência de situações-problemas. Nesta segunda fase delimitamos as análises didáticas a serem consideradas e que serão abordadas nas sessões de realização das atividades pelos professores participantes deste estudo. Nessas atividades são considerados os seguintes aspectos e/ou objetivos:
− Criar condições para que os professores possam levantar conjecturas,
realizar construções e desenvolver as justificativas.
− Utilizar vários registros de representação semiótica, efetuando os
26 Na fase 3: Experimentação, é o momento de colocar em funcionamento todos os dispositivos construídos.Trabalharemos com um grupo de 6 professores da rede estadual de ensino de São Paulo, na realização da sequência didática, que se desenvolverá em cinco encontros com duração de três horas cada, com os seguintes procedimentos: execução das atividades em sala de aula (com a presença do pesquisador e de dois professores observadores) e discussão com o grupo, esclarecendo o conteúdo de cada atividade.
Nesta fase proporemos aos professores que trabalhem com a seqüência de atividades que concebemos, isto é, caberá aos professores a responsabilidade de administrar sua relação com o conhecimento na fase adidática e ao formador, a responsabilidade de coordenar as atividades, fazendo devoluções ainda na fase adidática e institucionalizar o conhecimento na fase didática.
Na fase 4: Análise a posteriori e validação, para obter um conjunto de resultados. Nesta fase, faremos o tratamento dos dados que serão recolhidos durante a experimentação e a observação realizadas. Analisaremos a produção dos professores tendo como base as atividades propostas na sequência didática e nas discussões ocorridas em classe. A validação das hipóteses da pesquisa resultará da confrontação das análises a priori e a posteriori. Recorreremos às documentações salvas nos computadores e aos documentos escritos pelos professores, realizados durante todos os encontros, para observar os resultados e analisar como é o desenvolvimento dos professores durante as resoluções.
1.5 Construindo a Fundamentação Teórica
1.5.1 Registros de Representação Semiótica
27
como: um enunciado em língua materna, uma fórmula algébrica ou uma representação gráfica.
Segundo Duval (1995, apud FLORES, 2007) o relacionamento entre uma figura real com a sua representação está na complexidade que existe entre a coordenação dos registros de representação presente na atividade de leitura e interpretação destas figuras. Essa relação exige um tratamento que vai ao encontro da articulação entre as dimensões bidimensionais, ou seja, entre a articulação da figura no espaço e sua representação.
Segundo o autor uma abordagem com a maquete de um cubo é um bom exemplo. Podemos tomá-la nas mãos e olhá-la por todos os lados e ângulos. Agora imaginemos o desenho deste cubo no papel. Não importa o modo que o desenhamos, haverá certamente uma vista privilegiada, as outras estarão ocultas. É preciso, portanto perceber esta representação plana como contendo todos os aspectos do cubo como se ele estivesse no espaço.
Preocupado com essas representações Raymond Duval desenvolveu a Teoria dos Registros de Representação Semiótica.
Para Duval (1999, apud ALMOULOUD, 2007) a maneira de visualizar e raciocinar é dependente da utilização dos registros de representações semióticas e toda comunicação matemática se estabelece por meio dessa representação. A teoria dos registros de representação semiótica é fundamental no entendimento de qual papel têm as representações semióticas no desenvolvimento cognitivo e na origem das dificuldades encontradas pelos alunos na aprendizagem matemática e serve como modelo para auxiliar na explicação das condições de aquisição dos mesmos e na distinção entre objeto e suas propriedades.
28 apreensão conceitual dos objetos, é só por meio de representação semiótica que uma atividade é possível.
Apresentaremos a seguir as explicações sobre Tratamento e conversão apresentadas por Duval (1999, apud ALMOULOUD, 2007).
O tratamento é a transformação de uma representação em outra do mesmo registro, isto é, uma transformação estritamente interna a um registro. A conversão é uma transformação de uma representação de um registro D em uma outra representação de um registro A, conservando pelo menos a referência ao mesmo objeto.
Para Duval (2003, apud JESUS, 2008) tendo o professor bem claro e definido o objeto matemático a ser ensinado, terá mais facilidade de definir quais registros de representação semiótica serão mais adequados à construção do mesmo, bem como fazer as conversões necessárias. É a coordenação entre vários registros, ou pelo menos dois tipos de registros, e a passagem de um registro para outro, que garante e potencializa a apreensão do objeto matemático. Ao efetuarmos conversão entre registros de representação semiótica, estamos possibilitando o acesso à propriedades e/ou aspectos diferentes de um mesmo objeto matemático que não são perceptíveis nem acessíveis em alguns registros. Quando mudamos de registro de representação não estamos mudando apenas de tratamento, estamos ampliando possibilidades de se explicar propriedades e/ou aspectos diferentes de um mesmo objeto.
Ainda segundo o autor para fazer a análise desse desenvolvimento cognitivo e das dificuldades encontradas pelos alunos é imprescindível levar em conta três fenômenos interligados: Diversos tipos de registros de representação semiótica como; registro em linguagem natural, registro simbólico (numérico ou algébrico) e registro figural. Há diferença entre o objeto representado e seus registros de representação semiótica, pois os objetos não são diretamente perceptíveis ou observáveis, seu acesso está ligado ao registro de representação semiótica.
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ensino, porém não reconhecem os objetos num outro registro e isso limita sua capacidade de compreensão da matemática. Além disso, a compreensão matemática é igual a capacidade de mudar de registro e este não deve ser confundido com sua representação.Tal confusão ocorre principalmente quando utilizamos apenas um tipo de registro e ainda o treinamento num sentido não treina a conversão .
Teremos o cuidado de não abordar o assunto apenas em um registro, já que é onde a maioria dos alunos obtém sucesso, mas queremos que, ao solicitar a resolução de um problema que exija a mudança de registros ou mesmo a articulação simultânea de dois registros diferentes, o sucesso seja alcançado.
Assim procuramos em nosso trabalho caracterizar os objetos matemáticos no quadro geométrico, mais especificamente no quadro da Geometria espacial, usando três tipos de registro de representação semiótica: o registro em língua natural, o registro simbólico e o registro figural, como podemos visualizar no quadro 1.
Quadro 1: Representações do volume da pirâmide
Segundo Duval (1995, apud SALAZAR, 2009), a geometria envolve três formas de processo cognitivo que preenchem específicas funções epistemológicas: A visualização é o processo que serve para a exploração heurística de uma situação; a construção (processo por instrumentos) é a construção de configurações em que as ações representadas e os resultados observados são ligados aos objetos matemáticos representados; o raciocínio na relação do processo do discurso para a extensão do conhecimento conduz para a prova e explicação.
Registro na língua natural Registro figural Registro simbólico
30 Ainda segundo o autor, essas três espécies de processos cognitivos e suas inter-relações são necessárias para se conseguir o conhecimento completo da geometria. Por outro lado, a heurística dos problemas de geometria refere-se a um registro espacial que dá lugar às formas de interpretações autônomas. Para essas interpretações, Duval (1995, apud SALAZAR, 2009) distingue as seguintes apreensões:
• Sequencial: solicitada nas tarefas de construção ou nas tarefas de
descrição, considerando a ordem em que tal fato acontece, com objetivo de reproduzir uma figura com ajuda de um instrumento.Exemplo: construção de um prisma reto triangular.As informações do Quadro 2 mostram a sequência de passos para a construção desse prisma, utilizando o Cabri 3D.
Quadro 2: Apreensão sequencial de um prisma triangular
Apreensão sequencial de um prisma triangular construído com Cabri 3D
A apreensão sequencial, para realizar a construção do prisma reto de base triangular como Cabri 3D, é dada pelo encadeamento de passos para a construção
Passo 1: selecione a ferramenta “polígonos regulares” para criar um triângulo regular no plano horizontal com centro O.
31
Passo 3: com a ferramenta “vetor”, criar um vetor com origem no ponto O e extremidade em um ponto qualquer da reta r.
Passo 4: utilize a ferramenta “prisma” do Cabri 3D. Clique no triângulo que formará a base do prisma e em seguida, clique no vetor . Dessa maneira a construção é validada.
• Perceptiva: é a interpretação das formas da figura em uma situação
geométrica (Quadro 3), permitindo identificar ou reconhecer de forma direta o objeto;
Quadro 3: Apreensão perceptiva de um cubo
Apreensão perceptiva de um tetraedro construído com o cabrí 3D
A figura representa o cubo ABCDEFGH
• Discursiva: é a interpretação dos elementos, inclusive as que não são
32 Quadro 4: Apreensão discursiva de um paralelepípedo.
Apreensão discursiva de um paralelepípedo construído com Cabri 3D
A reta r é perpendicular ao plano horizontal, e aresta está contida na reta r, logo o paralelepípedo ABCDEFGH é retângulo.
• Operatória: é uma apreensão centrada sobre as modificações possíveis
de uma figura de partida e sua reorganização perceptiva que essas modificações apontam para obter novos elementos que podem nos levar à solução de uma determinada situação-problema.
A apreensão operatória das figuras depende das modificações que a figura pode sofrer, que são classificadas por Duval (1995) do seguinte modo:
• Modificação “mereológico”: a figura pode separar-se em partes que
são subfiguras da figura dada, fracionando-se e reagrupando-se, isto é, uma relação da parte e do todo;
Por exemplo, as informações do quadro 5 mostram a decomposição de um prisma de base triangular ABCDEF e três pirâmides ABCD, OPQR, KLMN e GHIJ
Quadro 5: Modificação mereológica de um prisma reto de base triangular
Modificação mereológica de um prisma reto de base triangular construído com o Cabri 3D
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A figura inicial é modificada com a transformação geométrica translação. O prisma reto de base triangular foi transformado em três tetraedros.
• Modificação ótica: é a transformação de uma figura em outra chamada
sua imagem; por exemplo, a modificação apresentado no quadro 6, por meio de uma deformação obtida pela movimentação de dois dos seus vértices.
Quadro 6: Modificação ótica de uma pirâmide
Modificação ótica de uma pirâmide construída com Cabri 3D
Figura inicial: pirâmide ABCV.
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• Modificação posicional: é o deslocamento em relação a um referencial.
Quadro 7: Modificação posicional de um paralelepípedo.
Modificação posicional de um paralelepípedo construído com o Cabri 3D
Na figura inicial, constrói-se o paralelepípedo ABCDEFGH e o vetor de translação .
A figura é deslocada, utilizando a transformação geométrica translação em relação ao vetor .
Para Duval (1995 apud, ALMOULOUD e MELLO, 2001) essas modificações são realizadas psiquicamente, graficamente e mentalmente. A operação que consiste em organizar uma ou várias subfiguras, todas dentro da figura de partida chamaremos de reconfiguração. Essa operação permite engrenar imediatamente os tratamentos tais como as medidas de áreas por soma de partes elementares.
Para Salazar (2009) com a utilização do Cabrí 3D é preciso considerar o registro figural dinâmico que para a autora é o registro utilizado em ambientes de Geometria Dinâmica.
1.5.2 Teoria das Situações Didáticas
A Teoria das Situações Didáticas (TSD) de Guy Brousseau (1986, apud ALMOULOUD 2007) visa elaborar um modelo de interação entre o aprendiz, o saber e o meio no qual a aprendizagem deve acontecer.
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interações entre professor e aluno, mediadas pelo saber numa situação de ensino.
Para o autor, a teoria das situações didáticas é:
O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, um certo meio (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que estes alunos adquiram um saber constituído ou em constituição. (BROUSSEAU, 1986 apud ALMOULOUD, 2007, p. 33).
Segundo Brousseau (2008) para analisar o processo de aprendizagem, a TSD observa e decompõe esse processo em dois grupos de fases diferentes, a fase adidática e a fase didática.
Na fase adidática o aluno se encontrará em ação, formulação, validação, já na fase didática o aluno se apropriará de um novo saber, no momento de institucionalização, planejado e proporcionado pelo professor.
Para Brousseau (1986 apud, ALMOULOUD, 2007), uma situação didática é formada pelas múltiplas relações pedagógicas estabelecidas, com a finalidade de desenvolver atividades voltadas para o ensino e para a aprendizagem de um conteúdo especifico, entre professor, alunos e o saber.
A situação didática não é suficiente para entender por completo o conteúdo em questão. É necessária uma vinculação com outros recursos didáticos, para que se entenda realmente o assunto.
Segundo Almouloud (2007) para analisar o processo de aprendizagem, a Teoria das Situações Didáticas observa e decompõe o mesmo em quatro fases diferentes. Essas fases estão extremamente interligadas de forma que não percebemos seus limites, ou seja, onde termina uma e começa a outra.
36 mesmo e pelo retorno de informações oferecido ao mesmo, pelo meio, devido a suas ações.
Uma boa situação de aprendizagem deve permitir ao aprendiz julgar o resultado de suas ações e ajustá-los, se necessário, sem a intervenção do professor.A situação provoca uma aprendizagem por adaptação e essa fase é essencial para o aluno exprimir suas escolhas e decisões.
Nessa situação o professor pode fazer algumas devoluções, na tentativa de levar o aprendiz a aceitar a responsabilidade da construção do seu próprio conhecimento. A responsabilidade da resolução do problema deve ser do aprendiz, assim ele experimenta, cria estratégias, prova ou abandona suas conjecturas sem a preocupação de explicação de seus argumentos.
Ainda segundo Almouloud (2007) a Fase de formulação é quando ocorre a troca de informações entre uma ou várias pessoas na tentativa de explicar as ações utilizadas na resolução de um determinado problema. Nessa fase os interlocutores são os emissores e receptores e trocam várias mensagens que podem ser escritas ou orais redigidas em linguagem matemática ou natural.
Nesse momento pode surgir uma linguagem não muito característica da aprendizagem matemática, mas são as linguagens utilizadas pelos próprios aprendizes.
Para Almouloud (2007) a Fase de validação é a fase em que o aprendiz utiliza de alguns mecanismos para explicar os motivos ou causas de determinada coisa acontecer ou não. Conhecida também como a fase das certezas e a ausência de contradições, isto é, a fase da prova.
Até o término dessa fase o professor interage com o aprendiz apenas como devolutor (faz devoluções dos questionamentos dos aprendizes em forma de perguntas orientando o mesmo para buscar por si as respostas, aceitando a responsabilidade da situação de aprendizagem), caracterizando assim a situação de acordo com o processo de ensino e aprendizagem idealizado por Brousseau.
37
Então salientamos que, apesar dessas fases proporcionarem momentos de extrema importância na construção do conhecimento do aluno, elas podem deixar conhecimentos falsos, validados de forma incorreta, já que o aluno trabalha de forma mais livre e sem a interferência direta do professor. Para impossibilitar qualquer tipo de conhecimento equivocado pelo aluno se faz necessário outro tipo de fase: a institucionalização.
Almouloud (2007) afirma que a Fase de institucionalização é a fase em que para corrigir possíveis equívocos que possam ter ocorridos nas fases anteriores como: definições erradas, demonstrações incorretas, etc., o professor pesquisador faz as intervenções diretas que achar necessárias na intenção de estabelecer o caráter do objeto e a universalidade do conhecimento. É de responsabilidade do professor pesquisador selecionar tópicos essenciais que devem passar a incorporar um saber formal, oficial, a ser instituído como patrimônio cultural pronto para ser utilizado em novas situações.
De acordo com Almouloud (2007) para Brousseau (1986), as situações de ensino tradicionais são situações de institucionalização, porém o professor não se preocupa com a criação das fases adidáticas (ação, formulação e validação).
Na tentativa de fazer a articulação entre as teorias nosso trabalho se baseará numa sequência didática que permitirá aos professores o contato com uma representação realizada por meio do Cabri 3D que permitirá a visualização da mesma figura por vários ângulos de visão, transformações mais rápidas, levando-os a perceber a existência de várias propriedades de uma mesma figura geométrica.
38
C
APÍTULO
2
ESTUDOS PRÉVIOS
Neste capítulo, apresentaremos a importância do contexto histórico, na intenção de mostrar qual foi o papel do Princípio de Cavalieri no estudo dos volumes dos sólidos geométricos. Na sequência, apresentaremos como os documentos oficiais tratam o ensino dos sólidos geométricos e que tipo de abordagem é dada a estudo dos sólidos geométricos pelos livros didáticos, seguindo com a apresentação da introdução da tecnologia na educação.
2.1 Estudo Matemático do Princípio de Cavalieri
Existem relatos que fazem referência à existência da curiosidade sobre o volume dos sólidos mais comuns desde a antiguidade. Segundo Boyer (1996) o primeiro registro desta preocupação é o trabalho apresentado no papiro de Moscou. Comprado no Egito em 1893, o papiro de Moscou tem quase o comprimento do papiro de Rhind, mas só um quarto de largura. Foi escrito por um desconhecido escriba da décima segunda dinastia (1890 a.C. aproximadamente). Contém vinte e cinco exemplos de atividades matemáticas, sendo dois com significado especial.
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Figura 1: Figuras geométricas.
Fonte:(BOYER,1996 , p. 15)
O escriba apresenta sua resolução a partir da fórmula moderna V= (a² + ab + b²) /3, onde h é a altura e a e b são os lados das bases quadradas. Essa fórmula não aparece escrita em nenhum lugar, mas em substância era evidentemente conhecida pelos egípcios. Tomando-se b = 0, a fórmula se reduz à fórmula familiar, um terço da base vezes a altura, para o volume da pirâmide. Como os egípcios chegaram a esse resultado não se sabe.
Porém foi só com um axioma conhecido como princípio de Cavalieri que as demonstrações sobre os volumes dos sólidos teve maior grau de satisfação.
Bonaventura Cavalieri (Milão, 1598 – Bolonha, 1647) foi um sacerdote jesuíta e matemático italiano, discípulo de Galileu e escreveu sobre diversos aspectos de matemática pura aplicada, geometria, trigonometria, astronomia, óptica, etc. Sua obra fundamental é a "Geometria dos indivisíveis”, pela qual é considerado como um dos precursores do cálculo infinitesimal. A base da nova teoria é que toda figura geométrica pode ser considerada como uma totalidade de elementos primordiais, chamados "indivisíveis". Essa teoria ajudou muitos outros matemáticos, principalmente nas demonstrações sobre as figuras espaciais.
Cavalieri foi um dos mais importantes matemáticos que participou da transição da Renascença para o mundo moderno. Estimulado pela Steriometria
40 Em seu livro “Geometria indivisibilibus continuorum” publicado em 1635 argumenta essencialmente o sugerido por Oresmi, Kepler e Galileu – Uma área pode ser pensada como sendo formada de segmentos ou “indivisíveis” e que um volume pode ser considerado como composto de áreas que são volumes indivisíveis ou quase – atômicos.
O método dos indivisíveis é bem ilustrado pela proposição ainda conhecida em muitos livros de geometria no espaço como “o teorema de Cavalieri”.
“Se dois sólidos têm alturas iguais e se secções feitas por planos paralelos às bases e a distâncias iguais dessas estão sempre numa dada razão, então os volumes dos sólidos estão também nessa razão.”
Segundo Struik (1992) com a intenção de alcançar o público sobre os ensinamentos da nova ciência, isto é, sobre o que hoje chamamos de calculo infinitesimal Cavalieri expôs na Gemetria indivisibilibus continuorum (1635) uma forma simples de cálculo, baseando-se na concepção escolástica indivisível, “o ponto gerando a reta e a reta gerando o plano através do movimento. Então, adicionou segmentos de recta para obter uma área e segmentos de plano para obter um volume”. (struik, 1992, p. 161)
Para Eves (2004) Cavalieri argumentava, fazendo-se deslizar cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à da original, uma vez que ambas são formadas das mesmas cordas.
Um procedimento análogo com os elementos do conjunto das secções planas paralelas de um sólido dado fornecerá um outro sólido com o mesmo volume do original. Esses resultados ligeiramente generalizados fornecem os chamados princípios de Cavalieri.
41
Ilustramos a seguir, por meio de simulações realizadas no Cabri 3D, a área de um retângulo, o volume de um paralelepípedo e o princípio de Cavalieri, já que este último representa ferramentas poderosas para o estudo sobre áreas e volume.
Na primeira simulação apresentamos uma área como o deslocamento de um segmento em relação a uma determinada reta.
Quadro 8: Área do quadrilátero pelo rastro do segmento .
Dada uma reta r e um segmento com a extremidade A na reta r.
Ao criar o rastro do segmento , na direção da reta r determinamos a área de um quadrilátero.
Na segunda simulação apresentamos o volume de um sólido pelo deslocamento de um retângulo numa mesma direção.
Quadro 9: Volume do paralelepípedo pela translação do retângulo EFGH.
Dado um retângulo DEFG no plano horizontal.
42 Apresentamos na terceira simulação que: dois sólidos tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja áreas são iguais , então os volumes desses sólidos são iguais.
Vamos considerar os sólidos S1 e S2 apoiados no plano horizontal.
Consideremos também o plano β, paralelo ao plano horizontal, que ao seccionar
S1, também secciona S2, determinando duas regiões planas de áreas A1 e A2.
Nessas condições, podemos afirmar que, se para todo plano beta temos A1
= A2, então: Volume S1 = Volume S2.
Quadro 10: Princípio de Cavalieri.
Dados dois prismas S1 e S2 sobre
um plano horizontal α, com bases
respectivamente A1 e A2.
Se ao transladarmos um plano β
paralelo ao plano α·, este
determina sobre os prismas secções com áreas iguais então esses prismas possuem volumes iguais.
2.2 O volume de Sólidos Geométricos em Documentos Oficiais
43
As reflexões e discussões sobre questões referentes à organização curricular da escola de 2º grau da rede oficial de ensino do Estado de São Paulo possibilitaram à Secretaria da Educação do Estado de São Paulo e a Coordenadoria de Normas Pedagógicas publicarem, em 1986, a primeira edição da Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau.
O documento propõe a inclusão da Matemática nos currículos escolares justificada pela sua dupla função, a de trabalhar com atividades práticas e a de desenvolver o raciocínio lógico.
A Proposta para o 2° grau aponta que é fundamental na concepção de aprendizagem, a participação do aluno na construção do seu conhecimento e a função do professor deve ser a de orientador de rumos, num trabalho de erros e acertos. O documento apresenta ainda que o desenvolvimento de um conteúdo deve desafiar os alunos a refletir, levantar hipóteses, procurar caminhos para solucionar problemas, etc. Acreditamos que a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau é um bom instrumento a possibilitar a aprendizagem no sentido mencionado anteriormente.
A linguagem utilizada deve ser o fim do processo de aprendizagem e não o início, pois é conveniente observar que a ação e linguagem apóiam-se mutuamente, construindo uma aprendizagem com significado para o aluno.
Nesse sentido a Teoria dos Registros e Representações pode contribuir satisfatoriamente, pois durante todo o processo as representações serão privilegiadas.
Em relação à escolha dos conteúdos o documento afirma que deve-se levar em consideração o número de aulas destinadas à Matemática em cada escola e a necessidade de garantir um programa significativo, para isso sugere que o aluno trabalhe prioritariamente com os seguintes conteúdos: Funções, geometria, trigonometria, Análise Combinatória, probabilidade, Geometria Analítica, Matemática Financeira e Estatística.
44 para a 2ª série desta etapa de escolaridade com o objetivo de reconhecimento das formas e relações geométricas e da sistematização da geometria.
Em particular, para o estudo dos volumes dos sólidos geométricos, a Proposta Curricular para o 2º Grau aponta como objetivos, partir de objetos concretos para construir as definições das figuras geométricas, apresentando a seguinte situação como exemplo. ”Construir um cubo qualquer ou então construir um cubo de aresta 5 cm. Verificar que quantidade de cubos e aresta 5 cm cabe dentro de um cubo de aresta 10 cm.”(SÃO PAULO, 1992, p. 340)
Na situação de construções a utilização de um software favorece a simulação de diversas figuras espaciais, possibilitando aos alunos conjecturar e validar suas conjecturas sobre essas figuras e comparando-as. Porém acreditamos na abordagem que privilegie a construção do conceito de volume como grandeza, e nesse sentido a comparação entre cubos unitários não é o caminho mais apropriado para se começar uma abordagem, pois pode conduzir à construção do conceito de volume sobre o aspecto numérico.
Sugerimos uma abordagem que relacione o aspecto figural com o aspecto da grandeza, isto é, o volume como resultado da translação de retângulos sobre uma direção e num determinado sentido.
O documento sugere o trabalho com as propriedades geométricas apresentando ao aluno que a partir das medidas das três dimensões de um paralelepípedo retângulo podemos calcular o seu volume, e que o conceito de volume poderá ser caracterizado como uma pilha de retângulos idênticos de área conhecida. Assim, o volume desse paralelepípedo será a área desse retângulo multiplicada pela sua altura. Sugere ainda que se calcule o volume de várias “caixas paralelepípedas” para constatar tal formalização.
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volume” de um paralelepípedo retângulo a partir das medidas das três dimensões do mesmo. O volume de um sólido não pode ser calculado, ele pode ser representado por meio de uma expressão, mas isso não quer dizer que essa expressão seja o volume.
Em seguida, o documento sugere o trabalho mais genérico explicitando para os alunos as funções de variáveis que medem o volume V = x.y.z, do paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.
Em relação ao estudo dos prismas e pirâmides o documento sugere que a abordagem sobre o assunto seja iniciada pela confecção de prismas e pirâmides por meio de recortes e colagem de cartolinas.
Utilizar as figuras confeccionadas por meio de recortes e colagem de cartolinas é um caminho possível para se apresentar os sólidos geométricos, porém é necessário que se faça a distinção entre superfície poliédrica e poliedros. Outra distinção que se deve fazer é entre o volume de um sólido e a capacidade de um recipiente.
Em relação ao estudo do volume dos sólidos o documento aponta que é fundamental evitar sua redução a um amontoado de fórmulas, apresentando que as situações sobre o tema se desenvolvem em três situações:
Volume dos sólidos como prismas e cilindros, caracterizados como pilhas de placas idênticas.
O volume do paralelepípedo deve ser realizado por comparação com um cubo unitário.
Volumes de sólidos como pirâmides e cones caracterizados como pilhas de placas semelhantes que vão “afunilando” da base até o vértice.
46 decomposta em pirâmides de bases triangulares, mostrando assim que para
qualquer pirâmide vale h.
A sugestão de recorte de sabão possibilita uma experimentação, pois caso não realize o corte adequado não é possível voltar o sabão ao que era antes, não realizando assim com sucesso a atividade. Além disso, nem sempre o corte favorece as comparações entre base e altura das pirâmides, dificultando assim as conjeturas.
Acreditamos que a utilização do software para simular a decomposição do prisma reto de base triangular, em três pirâmides equivalentes, representa outro caminho rico em possibilidades.
Em 1999, o Ministério da Educação (MEC), por intermédio da Secretaria da Educação Média e Tecnológica elaborou os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Médio – PCNEM. O trabalho envolveu discussões realizadas por especialistas e educadores de todo o país, para auxiliar o professor na realização do seu trabalho, servindo de apoio.
O documento propõe um currículo baseado no domínio de competências básicas e não no acúmulo de informações e atribui significados ao conhecimento escolar, na perspectiva de trabalho contextualizado e interdisciplinar (BRASIL, 1999).
No Ensino Médio, o ensino da Matemática, de modo geral, deve dar ênfase ao desenvolvimento de competências que são metas a serem perseguidas durante essa etapa da escolaridade. São três grandes competências a serem desenvolvidas: representação e comunicação, investigação e compreensão e contextualização das ciências no âmbito sócio-cultural. Desse modo, o trabalho com a Geometria deve contemplar o desenvolvimento dos conteúdos específicos dentro de uma abordagem que contribua para o desenvolvimento das competências mencionadas.
47
projetar, transcender o que é imediatamente sensível. Portanto, a matemática tem uma dupla função: aplicações práticas e o desenvolvimento do raciocínio.
Outro aspecto importante apresentado no documento é a participação do aluno na elaboração de seu conhecimento, este é um ponto fundamental da concepção da aprendizagem atual. Essa participação deve ser orientada tendo em vista os conceitos a serem construídos, bem como as tarefas a serem realizadas.
Assim como na Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau (1986), percebemos na TSD um bom caminho para o desenvolvimento do conhecimento sobre a aprendizagem de geometria proposto anteriormente.
O desenvolvimento de uma tarefa pode ter como ponto de partida um problema para se iniciar a discussão de ideias centrais relacionadas ao tema em questão. A linguagem deve aproximar-se o mais próximo possível da linguagem do aluno e cada conceito precisa ser interiorizado pelos estudantes antes de qualquer tentativa de formalização.
Como as representações tanto na construção quanto nas justificativas serão realizadas pelos professores em linguagem própria, acreditamos no fortalecimento na utilização da Teoria de Registros e Representação de Duval.
Diante das sugestões apresentadas anteriormente sentimos reforçada a nossa escolha pelas teorias apresentadas como fundamentais para o nosso estudo.
Em relação ao cálculo do volume dos sólidos geométricos podemos encontrar na Proposta Curricular uma tentativa de sistematização do cálculo indireto de volumes dos sólidos mais frequentes, classificados em três grupos:
48 A proposta Curricular (1986), salienta ainda que no estudo de volumes é fundamental evitar sua redução a um amontoado de fórmulas. Basicamente, as situações elementares envolvendo cálculo de volumes resumem-se em três:
∗ Volume de sólidos como prismas e cilindros, caracterizados como pilhas
idênticas.
∗ Volume de sólidos por comparação com um cubinho de uma unidade de
volume.
∗ Volume de sólidos como pirâmides e cones caracterizados como pilhas
que vão se afunilando.
A inversão dessas situações segue nossa proposta de favorecer o estudo do volume dos sólidos como grandeza, relacionando primeiro a figura com a grandeza e depois com o aspecto numérico.
De forma geral, notamos que esses documentos apontam para um trabalho no qual as primeiras ideias relacionadas ao estudo dos sólidos geométricos devam privilegiar diferentes maneiras de se apresentar os sólidos geométricos em questão.
Percebemos nesse momento, apesar do documento não mencionar diretamente, a sugestão de se ensinar o volume dos sólidos por meio do Princípio de Cavalieri, porém devemos salientar que para essa abordagem se faz necessário ter bem construído o conceito de área como grandeza.
A Proposta Curricular para o estado de São Paulo implementado em 2008, apresenta como seu principal objetivo organizar o ensino nas escolas da rede e melhorar a qualidade da aprendizagem dos alunos (São Paulo, 2008).
O conhecimento é distribuído em quatro áreas: Ciências Humanas e suas Tecnologias; Ciências da Natureza e suas Tecnologias; Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; Matemática e as áreas do conhecimento.
