Notamos que nenhum deles utilizou a caixa de ferramentas “medida”, tanto para medir o comprimento da aresta, quanto para medir a área ou o volume, o que nos fez pensar que este tipo de abordagem o quadro da métrica não está fortemente presente.
Nesse sentido, a apropriação das noções Matemáticas envolvidas na translação, bem como as ferramentas do Cabri 3D escolhidas para a atividade, fazem com que consideremos que os instrumentos para cada um deles estão sendo construídos no uso.
Nessa fase de institucionalização, apresentamos aos professores a relação existente entre elementos homólogos das pirâmides e entre os volumes delas.
157
158
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O estudo prévio sobre a geometria espacial, mais especificamente sobre o volume de prisma e pirâmide, mostrou-nos que os professores encontram dificuldades em ensinar o tema em questão, principalmente em relação à visualização de figuras geométricas espaciais.Na intenção de contribuir para a melhoria da compreensão dos professores em relação ao estudo do volume de prismas e pirâmides, nosso trabalho buscou ampliar os estudos já realizados.
Nossa hipótese apontava que o software Cabri 3D poderia contribuir, oferecendo aos professores ferramentas necessárias ao desenvolvimento do estudo do volume de prismas e pirâmides.
Nosso objetivo era elaborar uma sequência de ensino a partir dos pressupostos da Teoria das Situações Didática e da Teoria dos Registros de Representações semióticas, mediada pelo uso do software Cabri 3D, para reconstruir o conhecimento sobre o volume de prisma e pirâmide, com alguns professores da rede pública estadual e responder a seguinte questão:
Como os professores reconstroem seus conhecimentos sobre o volume de prismas e pirâmides utilizando o Cabri 3D como ferramenta de aprendizagem?
Separamos nossa pesquisa em duas etapas. Na primeira, aplicamos cinco atividades de exploração do software, com o objetivo de possibilitar aos professores a capacidade de utilizar as ferramentas do software. Além disso, pretendíamos que os professores, na atividade 2, construíssem um triângulo e um retângulo equivalentes. Já na atividade 3, pretendíamos que eles construíssem um pentágono e um triângulo equivalentes.
159
Nesta primeira etapa, a partir das construções realizadas no Cabri 3D, das respostas apresentadas nas fichas de atividades e das anotações dos observadores, entendemos que os professores realizaram as atividades com facilidade e apropriaram-se dos conhecimentos envolvidos.
Percebemos que os professores utilizaram o software e se apropriaram da utilização das ferramentas do Cabri 3D em relação às atividades propostas. O conhecimento apresentado pelos professores na realização das atividades desta etapa, permitiu que os conduzíssemos a um tratamento dessas generalizações e institucionalizássemos a construção de polígonos equivalentes a um retângulo.
Ao analisarmos as atividades deste primeiro grupo, notamos que a maioria dos professores reconheceu, na atividade 2, a equivalência entre o triângulo e o retângulo e, na atividade seguinte, que o pentágono era equivalente ao triângulo. Além disso, perceberam a possibilidade de construir um polígono equivalente a um retângulo pela composição das duas atividades.
Na segunda etapa, aplicamos quatro atividades com o objetivo de possibilitar aos professores a reconstrução do conhecimento sobre o volume de prismas e pirâmides por meio de simulações no Cabri 3D e, partir daí compreender a representação gráfica do volume de prismas e pirâmides, determinando as expressões que representam seus volumes.
Percebemos que com o desenvolvimento das atividades, os professores foram desenvolvendo a capacidade de visualização das propriedades envolvidas no estudo de figuras espaciais.
Entendemos que os professores reconstruíram o conhecimento sobre o volume de prismas e pirâmides, articulando os registros de representação figural, da língua natural e simbólica, já que apresentaram nas atividades do grupo 2 respostas e construções corretas.
Salientamos que ocorreu por parte dos professores a preferência, ao apresentar suas respostas na ficha da atividade, pelo uso do registro de representação da língua natural ao registro simbólico.
160 Ao final das realizações das atividades do segundo grupo, observamos que houve a articulação entre o registro gráfico, da língua natural e simbólico do volume de prismas e pirâmides. Os professores conseguiram compreender essa articulação.
Ressaltamos que o uso do Cabri 3D apresentou grandes contribuições, como recurso dinâmico e auxiliou no processo de compreensão da análise das representações gráficas dos volumes de prismas e pirâmides.
A utilização dos princípios da Teoria das Situações Didáticas favoreceu e contribuiu para o enriquecimento do estudo feito sobre os objetos em questão. Parte pela possibilidade de conjecturar e validar suas conjecturas e parte pela diversidade de informações apresentadas pelas duplas.
Acreditamos que nossa pesquisa atingiu os objetivos propostos, a nossa hipótese estava de acordo com a capacidade de desenvolvimento apresentada pelos professores e a nossa questão de pesquisa foi respondida, pois os professores reconstruíram os conhecimentos sobre o volume de prismas e pirâmides, priorizando o aspecto de volume como grandeza. Além disso, destacamos a importância do referencial teórico adotado e da utilização do Cabri 3D como ferramenta de simulação. Assim, esperamos que essa pesquisa contribua na área do ensino da Matemática, que se refere ao aprofundamento do estudo do volume de prismas e pirâmides.
162
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD. S. A. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed. UFPR, 2007.ALMOULOUD. S. A. e MELLO, E. G. S. Iniciação à demonstração aprendendo conceitos geométricos. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, Caxambu, 2001. Anais... (CD-ROM). Caxambu: ANPED, 2001.
BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard Brücher, 1996.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Introdução. Brasília: MEC/SEF, 1999.
BROUSSEAU, G. Introdução ao Estudo da Teoria das Situações Didáticas: Conteúdos e métodos de Ensino. São Paulo: Ática, 2008.
BURATTO, Ivone C. F. Representação Semiótica no ensino da geometria: Uma alternativa metodológica na formação de professores D. M. UFSC, 2006.
DANTE, L. R. Matemática V.1. São Paulo: Ática, 2009.
DOLCE, O e POMPEU, J. N.; Fundamentos da Matemática Elementar, São Paulo: Atual 1985.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
163
FLORES, C. Olhar, saber, representar: sobre a representação em perspectiva. São Paulo: Musa Editora, 2007.
GIOVANNI, J. R. e BONJORNO, R. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005.
IEZZI, Gelson; Matemática: Ciência e aplicações, São Paulo: Atual 2004.
JESUS, G. B. Construções geométricas: uma alternativa para desenvolver conhecimentos acerca da demonstração em uma formação continuada. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.
LONGEN, A. Matemática Ensino Médio. Curitiba: Editora Positivo, 2004.
PAVANELO, R. M. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conseqüências. Zetetiké, n. 1, p. 7-17, 1995.
PAVANELO, R. M. e ANDRADE, N. G. Formar professores para ensinar geometria: um desafio para as licenciaturas em Matemática. Educação Matemática em Revista, ano 9, N. 11 A, p. 78-87, 2002.
RAMOS, E. E. L. Desenvolvimento dos conteúdos de pirâmide, tronco de pirâmide e prisma para um ambiente hipermídia voltado à geometria. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2001.
ROSALVES, M. Y. Relações entre os pólos do visto e do sabido no Cabrí 3D: Uma experiência com alunos do ensino médio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006.
SALAZAR, J. V. F. Gênese instrumental na interação com Cabri 3D: um estudo de transformações geométricas no espaço. Dissertação (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2009.
164 SÃO PAULO. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática 2° grau, Secretaria de Estado e Educação. São Paulo, 1992.
SÃO PAULO. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática/ Coord. Maria Inês Fini. Secretaria de Estado e Educação. São Paulo, 2008.
SILVA, M. B. A geometria espacial no Ensino Médio a partir da atividade Webquest: Análise de uma experiência. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006.
SILVEIRA, A.M. Proposta Metodológica para o Estudo de Prismas e
Pirâmides tendo o Computador como uma Ferramenta de Apoio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – URFJ, Rio de Janeiro, 2008.
SMOLE, K. C. S. e DINIZ, M. I. Matemática V. 2 São Paulo: Saraiva, 2005.
STRUIK, D. J. História Concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1987.
VALENTE, J. A. Por quê o computador na educação? IN: VALENTE, J. A. (Org.) Computadores e Conhecimento: Repensando a Educação. São Paulo: NIED, 1993.
166
APÊNDICE
A SEQUÊNCIA DE ENSINO
GRUPO 1
ROTEIRO
Abra o Cabrí 3D. Sua área de trabalho se apresentará, conforme Figura 1.
Figura 1. Atividade 1: Pontos, retas planos.
a) Crie 3 pontos no plano horizontal e 2 pontos no espaço, Nomeie os pontos do plano horizontal de A,B,C e os pontos no espaço de D e E. Movimente os pontos.
b) Com o botão direito do mouse, modifique o ângulo de visão. c) Crie uma reta e nomeia de r. movimente seus pontos. d) Crie um plano. Movimente seus pontos.
Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.fam.1.
167
O retângulo cinza, chamado de plano base, é utilizado para simular o plano horizontal e os vetores de comprimento 1, que são dois a dois perpendiculares, utilizados para representar os eixos no espaço.
Figura 2.
Podemos considerar o vetor vermelho como sendo aquele que fornece a direção e sentido do eixo x, o vetor verde fornecendo a direção e sentido do eixo y e o vetor azul fornecendo a direção e o sentido do eixo z.
Apague o ponto de intersecção entre os três vetores.
Para se familiarizar com as diferentes ferramentas, recomenda-se usar as funções “Ajuda de ferramentas” e “Mudar de vista” (a partir do botão direito do mouse mantido pressionado).
Figura 3.
Para eliminar a última operação realizada, utilize a ferramenta “refazer”
168 Para criar um ponto no plano horizontal, selecione a opção “ponto”, conforme indica a figura 5.
Figura 5.
Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra ponto, conforme indica a figura 6.
Figura 6.
Então, clique com o botão esquerdo do mouse sobre o plano horizontal, conforme indica a figura 7.
Figura 7.
Para criar um ponto no espaço, selecione a opção ponto, pressione a tecla shift e clique com o botão esquerdo do mouse no local desejado, conforme indica a figura 8.
169
Figura 8.
Para nomear um ponto, clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto e digite a letra desejada.
Para modificar o ângulo de visão, clique com o botão direito do mouse na área de trabalho e arraste-o rotacionando a figura.
Para movimentar o ponto clique com o botão esquerdo do mouse sobre a opção manipulação, conforme a figura 9.
Figura 9.
Depois clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto que se deseja movimentar, arrastando-o para a posição desejada.
Para construir uma reta, clique com o botão esquerdo do mouse na ferramenta “reta”, conforme indica a figura 10.
170
Figura 10.
Em seguida clique com o botão esquerdo do mouse sobre dois pontos por onde a reta passará, como indica as figuras 11 e 12.
Figura 11.
171
Para criar um plano, selecione a ferramenta “plano”, conforme indica a figura 13:
Figura 13.
Em seguida, clique em três pontos, conforme figura 14.
172 Para construir um triângulo, selecione a opção “triângulo”, como mostra a figura 15.
Figura 15.
Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse em três lugares, onde se deseja criar os vértices do triângulo, como mostra a figura 16.
Atividade 2: polígonos equivalentes.
a) Crie um triângulo ABC e um ponto T fora da região triangular ambos sobre o plano horizontal.
b) Crie um triângulo DEF imagem do triângulo ABC por simetria central em relação ao ponto T. Movimente os pontos A, B, C e T.
c) Crie a reta p que passe pelos pontos D e F.
d) Crie uma reta q perpendicular à reta p que passe pelo ponto E. Movimente o ponto B.
e) Determine o ponto de intersecção G entre as retas p e q. f) Determine o ponto médio M entre os pontos G e E. g) Crie uma reta r paralela a reta p passando pelo ponto M.
h) Crie uma reta s paralela a reta q que passe pelo ponto D e outra reta t paralela à reta q passando pelo ponto F.
i) Determine o ponto de intersecção H entre as retas r e s e determine o ponto de intersecção I entre as retas r e t.
j) Crie um retângulo DFIH e modifique sua cor. Movimente os pontos do triângulo ABC.
173
Figura 16.
Para transformar uma figura por simetria, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra simetria central, como indica a figura17.
Figura 17
Depois, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a figura que se deseja transformar, como mostra a figura. 18
174
Figura 18.
Depois sobre o ponto referencial sobre a qual a figura será transformada, como mostra figura 19.
Figura 19.
Para construir uma reta perpendicular selecione a opção “perpendicular” na barra de opções, como mostra a figura 20.
175
Figura 20.
Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra Perpendicular e depois sobre a reta já criada no retângulo cinza, como mostra a figura 21.
Para a reta ser criada no plano horizontal, mantenha a tecla “Cntrl” pressionada no momento da criação.
Figura 21.
Para construir um ponto médio entre dois pontos basta selecionar a opção “perpendicular” e, em seguida, clicar sobre a expressão ponto médio e clicar sobre os pontos nos quais se deseja encontrar o ponto médio.
176 Para construir uma reta paralela selecione a opção “perpendicular”. Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra paralela, como mostra a figura 22.
Figura 22.
Em seguida, clique na reta suporte à reta que será construída e em um ponto por onde a reta paralela deverá passar, como mostra a figura 23.
Figura 23.
Para construir um polígono, selecione a opção “polígono”, conforme indica a figura 24.
177
Figura 24.
Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra polígono, conforme indica a figura 25.
Figura 25.
Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o plano horizontal, determinando a quantidade de pontos do polígono desejado e clicando duas vezes no último ponto para validar o polígono, como mostra a figura 26.
178 Para construir um paralelepípedo, basta selecionar a opção “Tetraedro” na barra de ferramentas, como mostra a figura 32.
Figura 32. Atividade 3:pentágono e triângulo equivalentes.
a) Crie um pentágono convexo ABCDE. b) Crie a reta r que contenha os pontos A e B. c) Crie os segmentos e .
d) Crie uma reta paralela ao segmento passando pelo ponto C e nomeando-a de
s. Depois crie uma reta paralela ao segmento passando pelo ponto E e
nomeando-a de t. Movimente o ponto D.
e) Marque o ponto de intersecção entre as retas r e s e nomeie de F e o ponto de intersecção entre as retas r e t e nomeie de G.
f) Crie o triângulo DFG e mude a cor da sua superfície. Movimente o ponto D. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.expl.2.
Atividade 4: paralelepípedos.
f) Crie um paralelepípedo sobre o plano horizontal.
g) Modifique o estilo de superfície do paralelepípedo para vazio para observar a estrutura do paralelepípedo.
h) Crie um plano paralelo ao plano horizontale secante10 ao paralelepípedo.
i) Crie o polígono da secção reta11.
j) Modifique o estilo de superfície do retângulo, utilizado para representar o plano , para vazio e do polígono para hachuras finas. Movimente o plano .
179
E em seguida, sobre a palavra paralelepípedo xyz, como mostra a figura 33.
Figura 33.
Clique sobre o plano horizontal e, em seguida, no espaço, como mostra a figura 34.
Figura 34.
Para criar um plano paralelo selecione a opção “perpendicular” na barra de ferramentas. E em seguida clicar sobre a palavra paralela, sobre o plano horizontal e por um ponto no espaço, como mostra a figura 35.
180
Figura 35.
Para criar uma reta perpendicular ao plano horizontal selecione a opção “perpendicular”, clique sobre o plano horizontal duas vezes, como mostra a figura 33.
Figura 36.
Para construir um segmento, selecione na barra de ferramentas a opção “segmento”, conforme indica a figura 27.
181
Figura 27.
Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra segmento, conforme indica a figura 28.
Figura 28.
Em seguida, nos pontos que serão as extremidades do segmento, conforme indica a figura 29.
182 Para mudar a cor da superfície, clique com o botão direito do mouse sobre a figura, que se deseja modificar, sua cor como mostra figura 30.
Figura 30.
E em seguida, clicar sobre a expressão cor de superfície e selecionar a cor escolhida, clicando sobre ela, como mostra a figura 31.
183
Para construir um vetor , selecione a opção “reta” e em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra vetor, como mostra a figura 37.
Figura 37.
Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse em dois pontos distintos, determinando sua origem e sua extremidade, como mostra figura 38
Atividade 5: prismas e pirâmides.
a) Crie um quadrilátero e um hexágono, ambos convexos, sem ponto em comum no plano horizontal.
b) Crie uma reta perpendicular r ao plano horizontal fora dos polígonos já construídos.
c) Crie um vetor sobre a reta r, com origem no plano horizontal. Movimente o ponto extremidade do vetor .
d) Construa um prisma definido pelo polígono (base) e pelo vetor .
e) Crie um plano paralelo ao plano horizontal que intersecciona o vetor em sua extremidade.
f) Construa uma pirâmide com base no outro polígono e com vértice no plano . g) Utilize o recurso “esconder” e esconda o plano , movimente a extremidade do
vetor , para observar a modificação sofrida pelos prismas.
184
Figura 38.
Para construir um prisma selecione a opção “Tetraedro” e, em seguida, clique sobre a palavra prisma, como mostra a figura 39.
Figura 39.
Em seguida clique no polígono que será a base do prisma e no vetor de referência, com mostram as figuras 40 e 41.
185
Figura 40.
Figura 41.
Para criar uma pirâmide selecione a opção “Tetraedro” e clique sobre a palavra pirâmide, como mostra a figura 42.
186
Figura 42.
Em seguida clique sobre o polígono que será a base e sobre o vértice (um ponto no espaço), como mostra a figura 43.
Figura 43.
Para esconder uma figura geométrica clique com o botão direito do mouse sobre a figura que se deseja esconder e selecione a opção esconder, como mostra a figura 41.
187
Figura 44.
Atividade 1: Descobrindo uma Relação
j) Crie um paralelepípedo sobre o plano horizontal, Modifique seu estilo de superfície para vazio e nomeie seus vértices de ABCDEFGH.
k) Crie o polígono ABCD base do paralelepípedo ABCDEFGH. Que tipo de polígono é formado por sua base? Justifique (é permitido o uso das ferramentas “paralelas” e “perpendiculares” para auxiliar em suas justificativas)
l) Crie, no plano horizontal, uma reta perpendicular a um dos lados do polígono ABCD, interseccionando-o. Nomeie a reta obtida de r e o ponto de intersecção entre a reta r e o lado do polígono ABCD de J.
m) Determine o ponto de intersecção entre a reta r e o outro lado do polígono ABCD e nomeio de K. Crie o segmento .
n) Selecione a ferramenta “rastro” e crie o rastro do segmento , preenchendo completamente o polígono ABCD.
o) Que tipo de polígono é formado pelo rastro? Qual é a expressão que representa a área desse polígono? Justifique.
p) Construa o polígono determinado por uma secção reta ao paralelepípedo e nomeie seus vértices de LMNO. Que tipo de polígono é formado pela secção reta? Qual é a expressão que representa a área desse polígono? Justifique.
188
q) Com a movimentação da secção reta, a área do polígono LMNO se altera? Qual é a relação entre o polígono da base ABCD do paralelepípedo ABCDEFGH e o polígono LMNO da secção? Justifique.
r) Com a movimentação da secção reta é possível obter o volume do paralelepípedo ABCDEFGH? Qual é a expressão que representa esse volume? Justifique.
Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.rec.1.
Atividade 2: Sólidos equivalentes
i) Crie um polígono convexo e um retângulo, equivalentes, no plano horizontal. j) Crie uma reta r perpendicular ao plano horizontal fora dos polígonos já
construídos.
k) Sobre a reta r crie um vetor com origem no plano horizontal.
l) Construa dois prismas definidos pelos polígonos (bases) e pelo vetor ·. Que tipo de prismas foram obtidos? Justifique.
m) Construa os polígonos obtidos pelas secções retas dos prismas. Que tipo de polígonos foram obtidos?
n) Modifique o estilo de superfície dos prismas e do plano das secções retas para vazio.
o) Movimente as secções, observe e responda: Qual é a relação entre os polígonos das bases dos prismas e os polígonos das secções retas? Justifique.
p) Qual é a relação entre os volumes dos prismas?Justifique
Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.rec.2
Atividade 3: Trissecção do prisma.
i) Abra o arquivo DESCOBRINDO.2
j) Qual é o tipo do prisma ABCDEF? E do polígono ABC?
k) Movimente o ponto U arrastando a pirâmide OPQR para dentro do prisma ABCDEF. Compare e responda: A pirâmide OPQR possui base e altura
congruentes ao prisma ABCDEF?Justifique.
l) Movimente o ponto S arrastando a pirâmide GHIJ para dentro do prisma ABCDEF. Essa pirâmide possui base e altura congruentes ao prisma ABCDEF?Justifique. m) Que relação existe entre os volumes das pirâmides OPQR e GHIJ? Justifique.
n) Movimente o ponto T arrastando a pirâmide KLMN para dentro do prisma ABCDEF. A pirâmide KLMN possui base e altura congruentes às pirâmides OPQR
e GHIJ?
189
p) Que relação existe entre os volumes das pirâmides OPQR, KLMN, GHIJ e o volume do prisma ABCDEF? Justifique.