IDENTIFICAÇÃO PARAMÉTRICA DE UMA CABEÇA DE VISÃO ROBÓTICA EM MALHA FECHADA UTILIZANDO REFERÊNCIA ÓTIMA

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IDENTIFICA ¸C ÃO PARAMÉTRICA DE UMA CABE ¸CA DE VIS ÃO ROB ÓTICA EM MALHA FECHADA UTILIZANDO REFERÊNCIA ÓTIMA

Diego Caberlon Santini∗

, Walter Fetter Lages∗

, Jorge Augusto Vasconcelos Alves∗ ∗

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia El´etrica

Av. Osvaldo Aranha, 103 90035-190 Porto Alegre, RS, Brasil

Emails: diegos@ece.ufrgs.br, fetter@ece.ufrgs.br, jorge@ece.ufrgs.br

Abstract— The demand for increased performance has led to the development of complex robot controllers based on dynamic models of the robot. However, accurate values for the parameters of the model can only be obtained through estimation based on experimental data. For good estimation, trajectories that excite the system in an appropriate way are need. This paper presents a method for closed loop parameter estimation based on an optimal trajectory with respect to the d-optimality criterion. The motion constraints in joint space are taken into account in the trajectory design. Real-time experiments with a robot vision head and comparison with other estimated models are presented in order to validate the method and the estimated model.

Keywords— Robot dynamics, Parametric identification, Optimal excitation.

Resumo— A demanda por um maior desempenho em robôs está atrelada ao desenvolvimento de controladores complexos baseados no modelo do robô. Para a obten¸cão de um modelo dinâmico preciso de um robô é necessário a estima¸cão de parâmetros do modelo através de dados experimentais. Para se ter uma identifica¸cão eficaz, deve-se excitar o sistema de forma apropriada para que os parâmetros desconhecidos possam ser identificados. Este trabalho apresenta um método para identifica¸cão paramétrica utilizando uma trajetória ótima com rela¸cão ao critério d-optimilaty. As restri¸cões f´ısicas do robô são levadas em conta para obten¸cão desta trajetória. A valida¸cão do modelo é feita através de experimentos em tempo-real com uma cabe¸ca de visão robótica e da compara¸cão com modelos obtidos em trabalhos anteriores.

Palavras-chave— Dinâmica de robôs, Identifica¸cão paramétrica, Excita¸cão ótima 1 Introdu¸cão

O desempenho de controladores avan¸cados, como controle de torque calculado ou controle preditivo, bem como simula¸cões real´ısticas do movimento do manipulador estão associados a precisão do mo-delo dinâmico do robô. Para a utiliza¸cão efetiva do modelo, os parâmetros geométricos e dinâmi-cos devem ser conhecidos. Os parâmetros geomé-tricos podem ser usualmente obtidos a partir do modelo CAD do robô, ou podem ser medidos no próprio robô. Porém nem todos os parâmetros di-nâmicos podem ser obtidos no modelo CAD, pois dependem da opera¸cão do robô, e portanto, ra-ramente são disponibilizadas pelos fabricantes de robôs (Radkhah et al., 2007).

Desta forma, a identifica¸cão experimental dos parâmetros aparece como uma maneira eficiente de se obter um modelo dinâmico de um robô. A identifica¸cão consiste em estimar os parâmetros do modelo do robô, a partir de medidas da en-trada e das sa´ıdas obtidas durante uma opera¸cão do robô. Em Santini and Lages (2009) foi feita a identifica¸cão dos parâmetros do sistema de vi-são do robô Janus, utilizando o sistema em malha aberta, onde uma entrada apropriada foi escolhida através de tentativa e erro. Apesar de identificar os parâmetros com sucesso, a escolha emp´ırica da entrada é árdua e não há garantias de que os limi-tes f´ısicos do robô (como velocidade máxima das juntas) serão respeitados.

Em Swevers et al. (1997), uma identifica¸cão em malha fechada é proposta. O método de iden-tifica¸cão propõe a utiliza¸cão de uma trajetória ótima baseada em uma série de Fourier finita. Deste modo, é poss´ıvel filtrar as medidas da sa´ıda do robô e obter sinais periódicos e de banda li-mitada. Isto permite a estima¸cão da velocidade e da acelera¸cão das juntas no dom´ınio da frequên-cia, o que reduz o ru´ıdo do sinal, sem introduzir distor¸cões de fase (Park, 2006). Porém, para apli-car o método de Swevers et al. (1997) é neces-sário conhecer o torque que é aplicado ao robô, o que é desvantajoso, pois é necessário uma malha de controle de torque, implicando um sistema de acionamento mais complexo, ou uma medida do torque, adicionando sensores ao robô.

Este trabalho propõe um método para iden-tificar o modelo do robô considerando a dinâmica dos atuadores. Nessa abordagem, a necessidade de conhecimento do torque aplicado ao robô é substi-tu´ıda pela necessidade de conhecer a tensão apli-cada aos atuadores. No entanto, considerando que a identifica¸cão é realizada em malha fechada, não é necessário medir a tensão, pois esse é o sinal de sa´ıda do controlador.

Este artigo está divido nas seguintes se¸cões: a se¸cão 2 apresenta o sistema de visão robótica que será identificado; a se¸cão 3 contém a modelagem do robô, bem como as ferramentas utilizadas na identifica¸cão; a otimiza¸cão da trajetória é tratada

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na se¸cão 5; os resultados experimentais são apre-sentados em 6; os resultados são validados através da compara¸cão com o modelo obtido em Santini and Lages (2009) na se¸cão 7; e, por fim, as con-clusões aparecem em 8.

2 Robˆo Janus

Neste artigo serão identificados os parâmetros do sistema de visão do robô Janus. A cabe¸ca de visão do robô Janus é composta por três elos interliga-dos por duas juntas rotacionais, possuindo na sua extremidade duas câmeras de v´ıdeo, como mostra a figura 1. A atua¸cão de cada uma das juntas

Figura 1: Cabe¸ca de visão do robô Janus. é feita por um motor CC, acionado via PWM, e o sensoriamento é feito através de encoders in-crementais, que medem o deslocamento da junta. Cada junta também possui um sensor de fim de curso utilizado para referenciar o encoder e é co-mandada por uma placa de acionamento (deno-minada AIC) que gera os sinais de PWM para acionamento do motor correspondente e faz a de-codifica¸cão em quadratura dos sinais do encoder, formando um sistema de controle distribu´ıdo.

A aquisi¸cão de dados e a malha de con-trole são implementadas utilizando-se uma ar-quitetura (Santini, 2009) baseada no framework OROCOS (Bruynincky, 2001). Essa arquitetura é baseada em um sistema de componentes e permite que o sistema seja facilmente adaptado para qual-quer robô articulado, apenas instanciando os com-ponentes existentes para as novas juntas e elos.

3 Modelagem

O modelo dinâmico de um robô define a rela¸cão entre o movimento do robô e o torque aplicado pelos atuadores. Ele pode ser obtido através da

equa¸c˜ao de Lagrange-Euler (Fu et al., 1987), pos-suindo a seguinte forma:

τ = D(q)¨q + H(q, ˙q) + G(q) (1) onde, para um robˆo de n juntas, D(q) ∈ Rn×n _´e

a matriz de in´ercia generalizada, H(q, ˙q) ∈ Rn_{´e o}

vetor de for¸cas centr´ıfugas e de Coriolis e G(q) ∈ Rn ´e o vetor com as for¸cas gravitacionais. τ ∈ Rn

´e o vetor com os torques dos atuadores, e q ∈ Rn

é o vetor com as posi¸cões angulares das juntas do robô.

Como (1) inclui somente os efeitos de for-¸cas conservativas, pode-se adicionar uma equa¸cão para o atrito, tornando o modelo mais realista. O atrito pode ser modelado como um torque que é apenas fun¸cão da velocidade da junta ˙q (Grotjahn et al., 2004):

τf= r1˙q + r2sign( ˙q) (2)

onde r1 ´e o coeficiente de atrito viscoso e r2 ´e o

coeficiente de atrito seco.

Para o caso do robô Janus, o acionamento é feito através da aplica¸cão de tensão utilizando mo-tores CC com imã permanente. Utilizando um modelo de motor CC, onde a constante elétrica é muito mais rápida que a mecânica, pode-se rela-cionar o torque com a tensão:

τ = KT Ra

(V − Kaω) (3)

onde τ é o torque no eixo do motor, V é a tensão aplicada, ω = ˙q é a velocidade angular do eixo do motor e Ra é a resistência de armadura e KT e

Ka s˜ao, respectivamente, as constantes de torque

e de armadura do motor.

A partir de (1), (2) e (3) ´e poss´ıvel obter um modelo da forma:

¨

q = f (q, ˙q, v) (4)

onde v é o vetor com as tensões aplicadas nas jun-tas e f (·, ·, ·) é uma fun¸cão não linear.

Para um robˆo articulado, (4) pode ser rees-crita como

v = Φ(q, ˙q, ¨q)Θ (5) que é linear em rela¸cão aos parâmetros desconhe-cidos Θ ∈ R12

, Φ ∈ R2×12

´e a matriz dos regres-sores, que depende somente dos dados medidos no movimento do robˆo e v ∈ R2

é o vetor com as tensões aplicadas às juntas do robô. Por ques-tões de espa¸co, a estrutura em detalhes do modelo não será apresentada aqui, mas pode ser obtida em Santini and Lages (2009).

4 Identifica¸c˜ao

A identifica¸cão é feita utilizando um estimador de máxima verossimilhan¸ca pois este provê uma estimativa sem erro sistemático independente do

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ru´ıdo de medi¸cão (Swevers et al., 1997). Neste caso, como as posi¸cões, velocidades e acelera¸cões angulares podem ser consideradas livres de ru´ıdo (devido ao seguimento de uma trajetória perió-dica com banda limitada), portanto a matriz Φ também é livre de ru´ıdo e o estimador de má-xima verossimilhan¸ca é simplificado para um esti-mador de m´ınimos quadrados ponderado (Swevers et al., 2007).

Utiliza-se como matriz de pondera¸cão a in-versa da matriz de covariância da tensão medida. Essa pondera¸cão é utilizada por sua capacidade de discriminar entre dados precisos e dados ruidosos. Ou seja, dados com covariância alta são conside-rados mais ruidosos e recebem um peso menor. Assim, o estimador de m´ınimos quadrados ponde-rado é dado por:

ˆ

Θ = (FT_Σ−1

F )−1

FT_Σ−1

v (6)

onde Σ ´e a matriz de covariˆancia de v e

F =    Φ(qt₁, ˙qt₁, ¨qt₁) .. . Φ(qtk, ˙qtk, ¨qtk)    (7) sendo v=    vt1 .. . vtk    (8)

5 Trajet´oria ´Otima

Uma trajet´oria peri´odica qi(t) de uma junta i com

banda limitada pode ser representada por uma s´e-rie de Fous´e-rier finita:

qi(t) = qi,0+ N

X

k=1

(ai,ksen(kωft) + bi,kcos(kωft))

(9) onde t é o tempo e ωfé a frequência fundamental.

O per´ıodo deste sinal ´e determinado pela frequˆen-cia fundamental como T = 2π/ωf, e deve ser m´

ul-tiplo inteiro do per´ıodo de amostragem do sistema para que a trajetória não deixe de ser periódica.

Ao determinar uma faixa de frequˆencia, os co-eficientes ai,k, bi,k e qi,0passam a ser vari´aveis de

decisão de um problema de otimiza¸cão. Note que a faixa de frequência deve conter frequências bai-xas o suficiente para que o robô cubra uma grande faixa da sua área de trabalho, e também deve con-ter frequências altas que excitem a dinâmica do sistema em todos os modos existentes no modelo cujos parâmetros se deseja identificar.

Utiliza-se como custo para o otimizador da trajet´oria o critério conhecido como d-optimality (Ljung, 1998). Este critério corres-ponde a minimizar o determinante da matriz de covariância do estimador, C:

J = log |C| = log F T Σ−1 F−1 (10)

Ao minimizar este critério, minimiza-se tam-bém o tamanho da região de incertezas dos parˆ a-metros estimados (Swevers et al., 2007), aumen-tando a precisão do modelo obtido. Ele também é vantajoso pois o seu cálculo depende apenas da trajetória do manipulador aplicado na matriz Φ e da covariância do ru´ıdo nas medidas do atua-dor. Dessa forma, nenhum conhecimento dos pa-râmetros do modelo é necessário na otimiza¸cão da trajetória.

Para o procedimento de otimiza¸cão da traje-tória, foi considerado que a covariância do ru´ıdo nas medidas é igual a uma matriz identidade, de forma a ponderar com igual peso, inicialmente, to-dos os instantes da trajetória. Já na identifica¸cão dos parâmetros, esta matriz é obtida através da covariância amostral dos dados experimentais.

Na determina¸cão da trajetória ótima, também leva-se em conta limita¸cões f´ısicas do robô, como limite de excursão e velocidades máximas das jun-tas. Desta forma garante-se que o robô não ultra-passará seus limites f´ısicos durante ensaio.

A seguir, a trajetória ótima, é aplicada como referência para o controlador do robô. O controla-dor irá fazer o robô seguir a trajetória de referên-cia e através das medidas das posi¸cões das juntas é poss´ıvel utilizar a série de Fourier discreta para calcular o espectro de frequência do sinal de sa´ıda:

Qi(k) = N −1 X n=0 qi(n)e−j 2π Nkn (11)

onde N corresponde ao número total de amostras do sinal e n é o ´ındice da amostra no sinal, ou seja, o número inteiro n = t/fa sendo fa a frequência

de amostragem.

Caso a trajetória seja seguida com boa pre-cisão, a série de Fourier discreta da sa´ıda do robô (11) terá somente os componentes Qi(k)

equivalentes a ai,k, bi,k. As demais

componen-tes podem ser consideradas ru´ıdo de medi¸cão e, portanto, filtradas na frequência. Neste ponto é importante que o per´ıodo fundamental seja m´ ul-tiplo inteiro do per´ıodo de amostragem, pois isto garante que o sinal de interesse não será espalhado ao longo de todo o espectro. Desta forma, a filtra-gem pode ser feita desprezando-se as componentes que não fazem parte da trajetória ótima. Note que isso somente será poss´ıvel se o manipulador seguir a trajetória de referência, caso contrário, existirá sinal fora das frequências da trajetória ótima

As posi¸cões são obtidas através das medidas do manipulador, desprezando as componentes de frequência que não pertencem a trajetória ótima. Assim, a velocidade e a acelera¸cão angulares são estimadas no dom´ınio da frequência, utilizando a série de Fourier discreta (11) para isso.

(4)

atrav´es de: ˆ qi(n) = 1 N N −1 X k=0 Qi(k)ej 2π Nkn (12)

As velocidades e acelera¸cões angulares são estimadas utilizando a propriedade da deriva¸cão aplicada a série de Fourier:

ˆ˙qi(n) = 2πk N2 N −1 X k=0 Qi(k)ej 2π Nkn (13) ˆ ¨ qi(n) = (2πk)2 N3 N −1 X k=0 Qi(k)ej 2π Nkn (14)

Os sinais ˆqi, ˆ˙qi e ˆq¨i s˜ao considerados sem ru´ıdo e

representam a derivada anal´ıtica de (9). A tens˜ao v ´e obtida diretamente da medida do valor apli-cado pelo controlador.

A partir de ˆqi, ˆ˙qi e ˆ¨qi´e poss´ıvel, ent˜ao,

mon-tar (7) e (8) e identificar o valor dos parˆametros desconhecidos utilizando (6).

6 Resultados Experimentais

No experimento no robô Janus serão utilizados 10 componentes de frequência variando logarit-mamente entre [1

42, 5], sendo todas as frequˆencias

múltiplas inteiras de 1/42. A trajetória é execu-tada pelo robô Janus em um per´ıodo completo, totalizando 42 segundos. Uma taxa de amostra-gem de 10 ms é utilizada, obtendo-se assim 4200 amostras.

Para garantir que em nenhum momento ao longo da trajetória o robô ultrapassará os seus li-mites f´ısicos, as seguintes restri¸cões são considera-das na determina¸cão da trajetória ótima:

0 ≤ q1(t) ≤ 3π/2 para 0 ≤ t ≤ 42 −3π/4 ≤ q2(t) ≤ 5π/4 para 0 ≤ t ≤ 42 −π/3 ≤ ˙q1(t) ≤ π/3 para 0 ≤ t ≤ 42 −π/3 ≤ ˙q2(t) ≤ π/3 para 0 ≤ t ≤ 42 −50 ≤ ¨q1(t) ≤ 50 para 0 ≤ t ≤ 42 −25 ≤ ¨q2(t) ≤ 25 para 0 ≤ t ≤ 42

O problema de otimiza¸cão é resolvido utili-zando o software MatLab com a fun¸cão de oti-miza¸cão não linear com restri¸cões fmincon. A figura 2 apresenta as trajetórias ótimas para as duas juntas.

Esta trajetória é, então, executa 10 vezes, para obter-se a covariância amostral da tensão ao longo da trajetória.

A figura 3 mostra a série de Fourier (11) da posi¸cão medida da junta 1 durante um experi-mento. Nela é poss´ıvel visualizar que as amplitu-des das componentes de frequências da trajetória de referência ótima são consideravelmente maiores

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Posição (Rad) Tempo (s) Junta 1 Junta 2

Figura 2: Trajet´orias ´otimas.

que as demais. Desta forma, pode-se filtrar o si-nal selecionando tais componentes e desprezando as demais (que são consideradas ru´ıdos). Assim se obtém um sinal periódico e de banda limitada para o movimento do robô. O ru´ıdo presente nas demais componentes é então eliminado ao re-construir o sinal, levando-se em conta somente as frequências de interesse. O sinal é reconstru´ıdo com a série inversa de Fourier discreta (12).

0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Amplitude Frequência (Hz) Junta 1

Figura 3: Série de Fourier da posi¸cão da junta 1. A tensão que é gerada pelo controlador du-rante um experimento é apresentada na figura 4. Com esses dados, é poss´ıvel montar as matrizes F e Σ de (6) obtendo assim os dados necessários para realizar a identifica¸cão acima mencionada.

Os parâmetros identificados para o modelo do robô Janus são os seguintes:

θ1= 0.1580 θ2= 0.1310 θ3= 0.0069

θ4= 0.0335 θ5= −0.0022 θ6= 0.0039

θ7= 1.6611 θ8= −0.0577 θ9= 6.9473

θ10= 8.9915 θ11= 0.0798 θ12= 0.8700

7 Valida¸c˜ao do Modelo

A valida¸cão do modelo obtido deve ser feita atra-vés da compara¸cão de dados medidos com dados

(5)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 Tensão (V) Tempo (s)

Figura 4: Tens˜ao aplicada no robˆo.

obtidos do modelo utilizando uma trajetória dife-rente da utilizada para identifica¸cão dos parâme-tros (Aguirre, 2004). Para compara¸cão com tra-balhos anteriores, usa-se a mesma trajetória utili-zada na valida¸cão do modelo de Santini and La-ges (2009). Compara-se a resposta experimental do sistema com as respostas obtidas pelo modelo proposto neste trabalho e pelo modelo de Santini and Lages (2009) para verificar se houve uma me-lhora significativa na qualidade do modelo.

Inicialmente, (4) é simulada. Neste ensaio, uma tensão é aplicada ao modelo do robô, e junta-mente com a condi¸cão inicial para sua simula¸cão. O modelo é integrado numericamente com um in-tegrador Runge-Kutta de quarta ordem com um passo de 2 ms. As figuras 5 e 6 mostram o re-sultado obtido. Nestas figuras, a legenda Modelo anterior refere-se ao modelo obtido em Santini and Lages (2009) e a legenda Modelo ao modelo obtido neste trabalho.

0 1 2 3 4 5 6 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 Posição (Rad) Tempo (s) Medida Modelo Modelo Anterior

Figura 5: Posi¸c˜ao Angular da junta q1.

Em ambos os modelos, inicialmente os resul-tados simulados são próximos dos medidos, com o passar do tempo, os modelos come¸cam a se distan-ciar. Isto é esperado pois com o passar do tempo, todos os pequenos erros no modelo, devido à erros paramétricos bem como eventuais dinâmicas não modeladas, são acumulados. Também ocorrem

er-ros no procedimento numérico de integra¸cão. A tabela 1 apresenta os valores de erros entre a tra-jetória medida e as simuladas.

Tabela 1: Erros entre as trajet´orias.

Erro Modelo Modelo Ant.

Máximo q1 5.27 × 10 −2 1.24 × 10−1 Médio q1 −5.37 × 10 −4 −5.59 × 10−2 Quadrático q1 7.06 × 10 −4 4.41 × 10−3 Máximo q2 8.72 × 10 −2 1.39 × 10−1 Médio q2 1.91 × 10 −2 −7.58 × 10−2 Quadrático q2 1.65 × 10 −3 6.94 × 10−3

O modelo obtido neste trabalho apresenta va-lores de erros médios menores que o modelo an-terior para ambas as juntas, neste caso, pode-se afirmar que o Modelo é menos tendencioso do que o modelo de Santini and Lages (2009). Os valores de erros quadráticos demonstram que o modelo obtido aqui é mais preciso que o modelo de San-tini and Lages (2009).

A segunda verifica¸cão é feita com base em (5), ou seja, dada uma trajetória, é utilizado o modelo para verificar qual seria a tensão a ser aplicada para a execu¸cão da mesma. As figuras 7 e 8 mos-tram os valores de tensão medidos no ensaio e si-mulados. Comparando as duas figuras, é poss´ıvel afirmar que o modelo obtido consegue prever a tensão com algumas oscila¸cões. Isto está associ-ado ao ru´ıdo nos sinais do robô, uma vez que neste ensaio, utilizou-se uma trajetória não periódica, e sem limita¸cão de banda, e portanto nenhum tra-tamento foi aplicado aos sensores. As regiões nas quais a diferen¸ca entre os modelos e a medida é grande indicam que o modelo de torque utilizado em (2) foi incapaz de representar o real comporta-mento do atrito. A tabela 2 apresenta uma com-para¸cão entre os dois modelos, através da análise do erro obtido entre as suas previsões e as medidas de tensão.

Neste caso, verifica-se que os modelos apresen-tam um resultado similar, por´em o modelo deste

0 1 2 3 4 5 6 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 Posição (Rad) Tempo (s) Medida Modelo Modelo Anterior

(6)

0 1 2 3 4 5 6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 Tensão (V) Tempo (s) Aplicada Modelo Modelo Anterior

Figura 7: Tens˜ao da junta q1.

0 1 2 3 4 5 6 −2 0 2 4 6 8 10 12 Tensão (V) Tempo (s) Aplicada Modelo Modelo Anterior

Figura 8: Tens˜ao da junta q2.

trabalho melhora a predi¸cão para a junta 1. Um fato importante é que as predi¸cões apresentam um erro médio quadrático pequeno, quando compa-rado com as tensões que foram aplicadas durante o ensaio. O pequeno valor do erro médio também indica que o modelo é não tendencioso.

8 Conclus˜oes

A utiliza¸cão de uma entrada periódica de banda limitada permitiu a obten¸cão de uma matriz de observa¸cão livre de ru´ıdo, de forma que a estima-tiva dos parâmetros obtida aqui é menos tendenci-osa do que a obtida em Santini and Lages (2009). O método dos m´ınimos quadrados ponderado per-mite que os valores com menores covariâncias

te-Tabela 2: Erros de tens˜ao.

Erro Modelo Modelo Ant.

Máximo q1 4.22 × 100 3.51 × 100 Médio q1 −6.42 × 10 −3 1.70 × 10−1 Quadrático q1 3.91 × 10 −1 7.65 × 10−1 Máximo q2 2.27 × 10 0 1.94 × 100 Médio q2 3.31 × 10 −2 8.12 × 10−3 Quadrático q2 4.43 × 10 −1 4.11 × 10−1

nham um peso maior na identifica¸c˜ao, aumentado assim a sua precis˜ao.

O método apresentado neste trabalho é uma boa alternativa na identifica¸cão de parâmetros de um robô manipulador. Isso porque o modelo foi obtido através de experimentos que garantida-mente obede¸cem às limita¸cões f´ısicas do manipu-lador, que são levadas em conta no problema de otimiza¸cão, além de que o modelo fornece boas estimativas do desempenho real do robô.

Referˆencias

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