Algoritmos e Estruturas de Dados 2

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Algoritmos e Estruturas de Dados 2

Unidade 1: Árvores rubro-negras

Rafael Beserra Gomes

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Material compilado em 26 de março de 2013. Licença desta apresentação:

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Um nó de uma árvore rubro-negra contém: chave, filho esquerdo,

filho direito, pai e cor (vermelho ou preto).

pai

ch

(3)

16

8

4

2 nil

nil

6 nil

nil

12

10 nil

nil

14 nil

nil

24

20

18 nil

nil

22 nil

nil

28 nil

nil

1. Todo nó ou é vermelho ou preto.

2. O nó raiz é sempre preto.

(4)

A rotação é uma operação básica na árvore que será utilizada para as demais operações.

É uma forma de reescrever uma subárvore modificando a raiz e mantendo

as propriedades de uma árvore binária de busca.

x

a

y

b

c

a x b y c

y

a x b y c

rotação à esquerda

(5)

Todo nó a ser adicionado será a princípio vermelho.

x

Suponha que a árvore está vazia.

1. Todo nó é vermelho ou preto

2. A raiz é preta

3. Toda folha é um nó nulo e preto

4. Se um nó é vermelho, então ambos os filhos são pretos

5. Para cada nó, todos os caminhos até uma folha tem a mesma altura de preto

Solução: tornamos este nó preto.

(6)

Se o pai for preto, nada precisa ser feito.

16

8

24 1. Todo nó é vermelho ou preto

2. A raiz é preta

3. Toda folha é um nó nulo e preto

4. Se um nó é vermelho, então ambos os filhos são pretos

(7)

Se o pai for vermelho, precisamos modificar a árvore.

8

4 ?

1. Todo nó é vermelho ou preto

2. A raiz é preta

3. Toda folha é um nó nulo e preto

4. Se um nó é vermelho, então ambos os filhos são pretos

(8)

O procedimento depende da cor do tio.

16

8

4 ?

24 ?

?

(9)

Caso o tio for vermelho trocamos

as cores do pai, do tio e do avô.

16

8

4 ?

24 ?

?

16

8

24 Note que com a mudança deste nó para vermelho

precisamos verificar as propriedades que este nó

pode estar violando.

(10)

Caso o tio for preto, verificamos se

o novo nó é filho esquerdo ou direito.

16

8

4 a

(11)

Observação: este caso é quando o tio for filho direito de seu pai.

Caso seja filho esquerdo, considere toda a regra de forma simétrica.

Se o novo nó for filho esquerdo realizamos uma rotação

à direita entre seu pai e seu avô. Mudamos também a cor do pai e do avô.

16

8

4 a

24

8 Note que com este nó preto, não poderá

mais haver violações das propriedades.

(12)

Observação: este caso é quando o tio for filho direito de seu pai.

Caso seja filho esquerdo, considere toda a regra de forma simétrica.

Se o novo nó for filho direito realizamos uma rotação à esquerda entre o novo nó e seu pai.

Como consequência, temos o caso anterior (nó a ser analisado é filho esquerdo).

16

8 a

10 b

c

24

16

10

8 a

b

c

24

(13)

(14)

A remoção deste nó exige a extração do seu sucessor (nó 10).

16

8

4

2

1

3

6

5

12

10

11

14

13

24

20

18

17

19

22

21

23

28

26

30

(15)

Este nó contém agora a chave do sucessor.

16

10

4

2

1

3

6

5

12

11

14

13

24

20

18

17

19

22

21

23

28

26

30

(16)

(17)

16

8

4

2

1

3

6

5

12

10

14

13

24

20

18

17

19

22

21

23

28

26

30

(18)

16

8

4

2

1

3

6

5

12 nil

14

13

24

20

18

17

19

22

21

23

28

26

30

(19)

Observação: este caso é quando o irmão for filho direito de seu pai.

Caso seja filho esquerdo, considere toda a regra de forma simétrica.

Caso 1: o irmão é vermelho

16

8 x

24 w

22

26

24

16

26

(20)

Caso 2: o irmão é preto e respectivos filhos também

16

8 x

24 w

22

26

16

8

24

(21)

Observação: este caso é quando o irmão for filho direito de seu pai.

Caso seja filho esquerdo, considere toda a regra de forma simétrica.

Caso 3: irmão preto, filho esquerdo do irmão é vermelho e filho direito do irmão é preto