ÍNDICE
Aula Conteúdo Página
01 Divisibilidade, MMC e MDC 151
02 Números Inteiros 156
03 Números Racionais 162
04 Potenciação e Radiciação 166 05 Fatoração e Produtos Notáveis 172 06 Razão, Proporção, Médias e Escalas 176
Sem saber que era impossível, ele foi lá e fez!
PROFESSOR DISCIPLINA
ZERO
151
Aula 01
DIVISIBILIDADE,
MMC
E
MDC
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA DIVISÃO
DIVIDENDO=(DIVISOR X QUOCIENTE)+RESTO EXEMPLO:39
8
(7)
4
Dividendo = 39 Divisor = 8 Quociente = 4 Resto = 7
Logo: 39 = 8 4 + 7 MAIOR RESTO POSSÍVEL DE UMA DIVISÃO NÃO EXATA (MRP)
MRP=DIVISOR-1
EXERCÍCIO DE CLASSE 01
Em uma divisão não exata, o quociente é 8, o divisor é 14 e o resto o maior possível. Portanto, o dividendo é:
a) 125 b) 300 c) 320 d) 360 e) 112
R
EGRAS DE
D
IVISIBILIDADE
DIVISIBILIDADE POR 2Dizemos que um número é divisível por 2 quando o algarismo final das unidades desse número é 0, 2, 4, 6, 8. Tais números chamam-se pares.
Exemplos:
20, 72, 64, 96, 38. DIVISIBILIDADE POR 3
Dizemos que um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é múltiplo de 3, ou seja, quando a soma dos valores absolutos for dividida por 3, teremos uma resposta exata.
Exemplos:
243 (2 + 4 + 3 = 9 9 ÷ 3 = 3) 723 (7 + 2 + 3 = 12 12 ÷ 3 = 4) DIVISIBILIDADE POR 4
Dizemos que um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO Exemplos: 2500 1120 (20 ÷ 4 = 5) 324 (24 ÷ 4 = 6) DIVISIBILIDADE POR 5
Dizemos que um número é divisível por 5 quando o algarismo final desse número é 0 ou 5.
Exemplos:
1000, 25, 8750, 3645 DIVISIBILIDADE POR 6
Dizemos que um número é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
Exemplos:
216 (é divisível por 2 e por 3) 492 (é divisível por 2 e por 3) DIVISIBILIDADE POR 7
Dizemos que um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor de seu algarismo das unidades é divisível por 7.
Exemplos:
819 temos 81 dezenas e 9 unidades Daí fazendo o teste, temos:
81 – 2 x 9 = 81 – 18 = 63 é divisível por 7 Portanto 819 também é divisível por 7 DIVISIBILIDADE POR 8
Dizemos que um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8 ou terminarem em 000.
Exemplos:
1864 temos os últimos três algarismos 864 Fazendo 864 8 = 108
Portanto 1864 também é divisível por 8 DIVISIBILIDADE POR 9
Dizemos que um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é múltiplo de 9, ou seja, quando a soma dos valores absolutos for dividida por 9, teremos uma resposta exata.
Exemplos:
243 (2 + 4 + 3 = 9 9 ÷ 9 = 1) 864 (8 + 6 + 4 = 18 18 ÷ 9 = 2) DIVISIBILIDADE POR 10
Dizemos que um número é divisível por 10 quando o algarismo final desse número é 0 (zero).
Exemplos: 50, 800, 6870
DIVISIBILIDADE POR 11
Dizemos que um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar (a partir das unidades) e a soma dos valores absolutos algarismos de ordem par é um múltiplo de 11.
Exemplos: 23859
Algarismos de ordem ímpar a partir das unidades: 9, 8, 2 9 + 8 + 2 = 19
Algarismos de ordem par: 5, 3 5 + 3 = 8
Diferença entre as duas:
19 – 8 = 11 (múltiplo de 11), portanto divisível por 11 DIVISIBILIDADE POR 13
Dizemos que um número é divisível por 13 quando a soma entre as suas dezenas e o quádruplo do valor de seu algarismo das unidades é divisível por 13.
Exemplos:
351 temos 35 dezenas e 1 unidade Daí fazendo o teste, temos:
35 + 4 x 1 = 35 + 4 = 39 é divisível por 13 Portanto 351 também é divisível por 13 DIVISIBILIDADE POR 12
Dizemos que um número é divisível por 12 quando ele for divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo.
Exemplos: 9468, 5472
DIVISIBILIDADE POR 14
Dizemos que um número é divisível por 14 quando ele for divisível por 2 e 7 ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 15
Dizemos que um número é divisível por 15 quando ele for divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 18
Dizemos que um número é divisível por 18 quando ele for divisível por 3 e 6 ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 21
Dizemos que um número é divisível por 21 quando ele for divisível por 3 e 7 ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 24
Dizemos que um número é divisível por 24 quando ele for divisível por 3 e 8 ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 45
Dizemos que um número é divisível por 45 quando ele for divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo.
EXERCÍCIO DE CLASSE 02
Um número N é formado por dois algarismos a e b tais que a + b = 7. Se N – 1 é divisível por 7, então N + 1 é divisível por: a) 11 b) 7 c) 3 d) 13 e) 5
M
ÚLTIPLOS DE UM NÚMERO
Múltiplo de um número inteiro é o produto deste número por um inteiro qualquer
Exemplos:
M(2)= {0, 2, 4, 6, 8, ...} Observações:
* Qualquer número inteiro é múltiplo de 1 * Somente o próprio zero é múltiplo de zero M(0) = {0}
* O zero é múltiplo de todos os inteiros (múltiplo universal)
N
ÚMEROS
P
RIMOS
Dizemos que um número inteiro é primo, quando ele tem exatamente dois divisores positivos.
p é primo D+(p) = {1, |p|}
Exemplo:
O número 19 é primo, pois tem exatamente dois divisores positivos, que são 1 e 19.
153
NÚMEROS COMPOSTOSDizemos que um número inteiro é composto, quando ele tem mais que dois divisores positivos.
D
ECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Todo número composto pode ser expresso com um produto de dois ou mais fatores primos. EXEMPLO: 18 2 9 3 3 3 1 A decomposição do número 18 é 2 x 32 EXERCÍCIO DE CLASSE 03
A soma dos fatores primos distintos do número 6 10 26 , 1 é: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
D
IVISORES DE UM NÚMERO
Divisor de um número a é qualquer inteiro d tal que a =d x n por algum inteiro n.
* Quando d é divisor de um número n diz-se n divisível por d.
*O menor divisor positivo de um inteiro n qualquer é o número 1.
* O maior divisor de um número inteiro n (n 0) é |n| * O número 1 é divisor de todos os números inteiros (divisor universal)
* O zero não pode ser divisor de nenhum número inteiro.
O conjunto de divisores de um número pode ser reconhecido examinando sua fatoração. Veja:
1 18 2 2 9 3 3, 6 3 3 9, 18 1 D(18) = {1, 2, 3, 6, 18} EXERCÍCIO DE CLASSE 04
Sejam n1, n2, n3, n4, n5 e n6 os números naturais
divisores de 28. A soma 6 n 1 5 n 1 4 n 1 3 n 1 2 n 1 1 n 1 é igual a: a) 1 b) 4 c) 3 d) 2
TOTAL DE DIVISORES DE UM NÚMERO COMPOSTO
Se a decomposição em fatores primos de um número composto N é:
N = p a x q b x r c x ... x t n
Então o número de divisores naturais de N é: (a + 1) x (b + 1) x (c + 1) x ... x (n + 1) EXEMPLO:
Decompondo o número 12 em fatores primos temos: 12 = 2 2 x 3 1
Logo o número de divisores é igual a: (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6
EXERCÍCIO DE CLASSE 05
Determine o valor inteiro positivo M de modo que o número 910M admita 48 divisores naturais distintos:
a) 16 b) 4 c) 3 d) 5 e) 12
M
ÁXIMO
D
IVISOR
C
OMUM
(MDC)
É o maior de todos os divisores comuns de dois ou mais números, diferentes de zero.
Existem dois processos para se determinar o M.D.C. de dois ou mais números, que são:
(a) Processo das divisões sucessivas;
(b) Processo da decomposição de fatores primos; Para resolução das questões aqui propostas, utilizaremos apenas o processo da decomposição em fatores primos
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
(a) Decompõe-se cada número dado em seus fatores primos;
(b) O M.D.C. será igual ao produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes que entram na composição dos números
Exemplo:
A = 2235 e B = 233257 M.D.C. (A, B) = 2235
EXERCÍCIO DE CLASSE 06
Sabe-se que o M.D.C. dos números A= 2x3354; B =233y52 e C = 24345z é igual a 180. Nessas condições x + y + z é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
M
ÍNIMO
M
ÚLTIPLO
C
OMUM
(MMC)
Chamamos de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números como sendo o menor números, diferente de zero, que seja, ao mesmo tempo divisível por todos esses números.
CÁLCULO DO M.M.C.
(a) Decompõe-se cada número em seus fatores primos;
(b) Multiplicam-se todos os fatores primos comuns e não comuns elevados aos seus maiores expoentes
Exemplo:
A = 2235 e B = 233257 M.M.C. (A, B) = 233257
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO
EXERCÍCIO DE CLASSE 07
O M.D.C.(a, b) = 2 e o M.M.C.(a, b) = 30. Sabendo que a soma dos quadrados de a e b é 136, calcule o quadrado da soma de a e b: a) 196 b) 60 c) 136 d) e) 256 f) N.D.R.
P
ROBLEMAS COM
MMC
E
MDC
EXERCÍCIO DE CLASSE 08Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de chegada:
a) 66, 60 e 55 b) 62, 58 e 54 c) 60, 55 e 50 d) 50, 45 e 40 e) 40, 36 e 32 EXERCÍCIO DE CLASSE 09
Um funcionário recebeu 3 lotes de pastas para colocar num arquivo morto. O primeiro lote tinha 240 pastas; o segundo 360; o terceiro 180. Ele deseja repartir os 3 lotes em pacotes contendo a mesma quantidade de pastas e a maior quantidade de pastas possível. O número de pacotes que ele fará é:
a) 6 b) 10 c) 13 d) 15 e) 18
Questões de Aprendizagem
01. Um certo inteiro positivo n quando dividido por 5 deixa resto 3. O resto da divisão de 4n por 5 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
02. Em uma divisão não exata, o quociente é 8, o divisor é 14 e o resto o maior possível. Portanto, o dividendo é: a) 125 b) 300 c) 320 d) 360 e) 112
03. Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, dividindo-a em quadrados como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40m por 2,75m.Qual o menor número de quadrados que ele pode colocar na parede?
a) 27 b) 40 c) 44 d) 55 e) 60
04. Dois sinos começam a tocar, exatamente às 12 horas. Um toca de 8 em 8 minutos e o outro de 15 em 15. Quantos minutos após às 12 horas, os dois tocarão, pela primeira vez, num mesmo instante?
a) 20 minutos b) 23 minutos c) 47 minutos d) 75 minutos e) 120 minutos
05. Uma empresa montou um painel luminoso com uma sequência de lâmpadas coloridas, onde foram usadas, sempre na mesma ordem, lâmpadas com as seguintes cores: amarela, verde, azul, branca e vermelha. Foram utilizadas, ao todo, 477 lâmpadas. Se a primeira lâmpada for amarela, a cor da última lâmpada será: a) vermelha b) branca c) azul d) verde e) amarela
Gabarito
01 02 03 04 05 B A B E D01. Se n é um número primo positivo e Sn a soma de
todos os números positivos e menores ou iguais a n (por exemplo S5 = 2 + 3 + 5 = 10), o valor de S23 é
igual a: a) 98 b) 99 c) 100 d) 101 RELAÇÃO IMPORTANTE SUPER DICA!
Sempre que nos depararmos com problemas envolvendo eventos periódicos, no qual pergunta-se após quanto tempo esses mesmos eventos ocorrerão
155
02. Num quadrado de 11 m de lado são traçadas retasparalelas a um de seus lados, de modo que a distância entre duas retas consecutivas seja sempre 80 cm. Se a primeira e a última reta traçadas distam 1,50 m do lado mais próximo do quadrado, o número total de retas traçadas é:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12
03. Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após as 10 horas?
a) 10 horas e 31 minutos b) 11 horas e 02 minutos c) 13 horas e 30 minutos d) 17 horas
04. Quantos números naturais existem entre 10 e 100, divisíveis simultaneamente por 2, 5 e 9?
a) nenhum b) um c) dois d) três
05. Deseja-se revestir o piso de uma sala retangular, de dimensões 7,80 m e 5,10 m, com peças de cerâmica quadradas e iguais sem a necessidade de recortar qualquer peça. A medida máxima do lado de cada peça de cerâmica é:
a) 20 cm b) 25 cm c) 30 cm d) 40 cm
06. Considere um número inteiro formado por cinco algarismos cuja representação na base dez seja
abcde. Considere também o fato de que o número
nessa forma é divisível por 11 se, e somente se d
b e c
a for divisível por 11. Com base nessas condições, assinale a alternativa na qual consta um número divisível por 11.
a) 50623 b) 65432 c) 71819 d) 78321 e) 83621
07. Quantos divisores possui o número N = 123456789101112? a) 1584 b) 792 c) 100 d) 1024 e) 19
08. Numa competição, dois nadadores partem juntos e prosseguem atravessando a piscina de uma margem a outra, repetidas vezes. O primeiro leva 26 segundos para ir de um lado ao lado oposto e o segundo gasta 24 segundos para fazer o mesmo percurso. Quanto tempo decorrerá até que eles cheguem simultaneamente à mesma margem de onde partiram?
a) 12 minutos e 30 segundos b) 14 minutos
c) 10 minutos e 24 segundos d) 8 minutos e 12 segundos e) 11 minutos e 10 segundos
09. Para que o máximo divisor comum dos números 2
m
3 3 5
2 e 2n325 seja 20, os valores de m e
n, nesta ordem, são:
a) 0 e 2 b) 2 e 0 c) 2 e 3 d) 3 e 2 e) 1 e 2
10. Seja a e b números inteiros tais que o M.D.C.(a, b) = 6 e ab = 144. O mínimo múltiplo comum de a e b é: a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
11. Seja X um número natural, que ao ser dividido por 9 deixa resto 5 e ao ser dividido por 3 deixa resto 2. Sabendo-se que a soma dos quocientes é 9, podemos afirmar que X é igual a:
a) 7 b) 23 c) 9 d) 2 e) 17
12. Numa divisão, o quociente é 8 e o resto é 24. Sabendo-se que a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 344, então a diferença dividendo menos divisor é:
a) 127 b)
127 c) 100 d) 248 e)
24813. Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor máximo que A pode assumir é:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
14. Qual deve ser o valor de a no número
N =3522a1para que o M.D.C. entre 96, N e 240 seja 24 ? a) 1 b) 4 c) 0 d)
1 e) 215. Três funcionários de um escritório cumprem, sistematicamente, horas extras de um trabalho, inclusive aos sábados e domingos: um deles a cada 15 dias, outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias. Se, hoje, os três cumprirem horas extras, a próxima vez em que irão cumpri-las num mesmo dia será daqui a: a) um mês b) um bimestre c) um trimestre d) um semestre e) um ano
16. Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO meses em B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro de 1982. Coincidirão novamente em: a) outubro de 1984 b) setembro de 1983 c) setembro de 1992 d) algum mês de 1994 e) só depois do ano 2000
17. Qual o menor número primo positivo que divide 13 5 11 3 ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7
18. Três torneiras estão em vazamento. Da primeira, cai uma gota de 4 em 4 segundos, da segunda, cai gota de 6 em 6 segundos e da terceira cai uma gota de 10
em 10 segundos. Exatamente, ás 2 horas cai uma gota de cada torneira. O número de vezes que as torneiras pingaram juntas no intervalo de 2h 30seg a 2h 27min é: a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30
19. Duas estradas, que se cortam formando um T, têm 2940m e 1680m, respectivamente. Pretende-se colocar postes de iluminação ao longo das estradas de modo que exista um poste em cada extremidade do trecho considerado e um no cruzamento das duas estradas. Exige-se que a distância entre cada dois postes seja a maior possível. Quantos postes deverão ser empregados?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
e) Não há dados suficientes
20.(UECE 2012.1)
Um número natural é primo quando possui exatamente dois divisores positivos. Dois números naturais ímpares são consecutivos quando a diferença entre o maior e o menor é igual a dois. Se x, y e z são os três números primos positivos ímpares consecutivos então a soma + + é igual a
A) B) C) D)
Gabarito
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 C C A B C E B C A D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D D E D C B A C AAula 02
NÚMEROS
INTEIROS
S
ISTEMA DE
N
UMERAÇÃO
Os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são chamados de algarismos. Historicamente inventados pelos Hindus e divulgados pelos árabes. Daí chamam-se de
Indo-Arábicos. Os algarismos são usados para
formarem numerais, isto é, formarem números.
S
ISTEMA
D
ECIMAL
O sistema de numeração que usamos é chamado sistema decimal, pois contamos os elementos (unidades) em grupos de dez.
Cada algarismo ocupa uma ordem (ou casa) no numeral. Veja o exemplo:
1
5
9
C asa d as cen ten as C asa d as d ezen as C asa d as u n id ad esOBS: A partir de mil, os números são indicados por 4(quatro) ou mais algarismos.
F
ORMA
P
OLINOMIAL
Baseado no sistema de numeração decimal (posicional), podemos escrever os números na seguinte forma:
Números de dois algarismos
N = ab (forma normal) N = 10a + b (forma polinomial)
Números de três algarismos
Dezenas = 10 unidades (grupo de dez unidades) Centenas = 10 dezenas (grupo de dez dezenas) Milhar = 10 centenas (grupo de dez centenas)
157
N = abc (forma normal)N = 100a + 10b + c (forma polinomial)
Números de quatro algarismos
N = abcd (forma normal)
N = 1000a + 100b + 10c + d (forma polinomial)
EXERCÍCIO DE CLASSE 01
Seja N um número de dois algarismos, tal que o algarismo das dezenas seja o triplo do das unidades, e que subtraindo ao número 60 unidades, o resto seja igual ao algarismo das unidades. O número N é:
a) 93 b) 31 c) 62 d) 39 e) 26
O
PERAÇÕES
F
UNDAMENTAIS
ADIÇÃOOs termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado de
soma ou total.
A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição:
a + b = b + a
O zero é o elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0 = a SUBTRAÇÃO
O primeiro termo de uma subtração é chamado
minuendo, o segundo subtraendo e o resultado da
operação de subtração é denominado resto ou
diferença.
A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração:
a + b ≠ b + a (sempre que a ≠ b)
Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.
EXEMPLO: 4 – 2 = 2 (4 + 2) – 2 = 2 + 2 = 4
Se adicionarmos uma constante k ao
subtraendo, o resto será subtraído de k.
EXEMPLOS 9 – 3 = 6 9 – (3+ 2) = 6 – 2 = 4
A subtração é a operação inversa da adição: M - S = R R + S = M
A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo:
M + S + R = 2 M
EXERCÍCIO DE CLASSE 02
A diferença entre os termos de uma subtração é igual a 50. Aumentando-se o minuendo de 12 e o subtraendo de 8, o novo resto será igual a:
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 MULTIPLICAÇÃO
Os termos de uma multiplicação são chamados
fatores e o resultado da operação de multiplicação é
denominado produto.
O primeiro fator também pode ser chamado de multiplicando, enquanto o segundo fator pode ser chamado de multiplicador.
A ordem dos fatores nunca altera o produto de uma multiplicação:
a b b a
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: a
a 1 1
a
Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o
outro fator: ) b k ( c b ) k a ( c b a
Se multiplicarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será multiplicado por k:
k c b ) k a ( c b a
Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer (Propriedade distributiva):
Adição: a (b + c) = a b + a c Subtração: a (b c) = a b a c
Exercício de Classe 03
O produto de dois números é 620. Se adicionássemos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores? a) 31 e 20 b) 62 e 10 c) 124 e 5 d) 155 e 4 e) 310 e 2 DIVISÃO
Relação fundamental da divisão:
1a. Parcela
2a. Parcela
soma ou
total
minuendo
subtraendo
resto ou
diferença
1º. fator
2º fator
produto
(divisor x
quociente)
resto
dividendo
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO EXEMPLO:
60
7
(4)
8
Dividendo = 60 Resto = 4 Divisor = 7 Quociente = 8 EXERCÍCIO DE CLASSE 04Numa divisão em que o divisor é 16, o quociente é 11 e o resto é 5, o dividendo vale:
a) 176 b) 71 c) 181 d) 55 e) 91
O
PERAÇÕES COM
N
ÚMEROS
I
NTEIROS
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
A partir do ponto O, marcamos à sua direita e à sua esquerda, segmentos consecutivos, com a mesma medida e façamos corresponder a cada ponto à direita de O, os números inteiros positivos e à esquerda de O os números inteiros negativos
Deste modo, verificamos que cada número inteiro pode ser associado a um ponto da reta. A reta onde estão assinalados os pontos é denominada reta numérica.
VALOR ABSOLUTO
O valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.
EXEMPLOS: |-5| = 5 | +23| = 23 NÚMEROS SIMÉTRICOS
Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos, quando:
a + b = 0 EXEMPLOS:
-3 e 3 são simétricos ou opostos, pois (-3) + (3) = 0 5 e -5 são simétricos ou opostos, pois (5) + (-5) = 0 O oposto de 4 é -4
O simétrico de 6 é -6
O oposto do zero é o próprio zero
EXEMPLOS:
|-3| = 3 e |3| = 3 |41| = 41 e |- 41| = 41 ADIÇÕES E SUBTRAÇÕES
Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os seguintes exemplos:
EXEMPLO 1:
Calcular o valor da seguinte expressão: 10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4
Solução:
Faremos duas somas separadas
– uma somente com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29
– uma somente com os números negativos: (– 7) + (– 9) + (– 3) = – 19
Agora calculamos a diferença entre os dois totais encontrados: + 29 – 19 = + 10
EXEMPLO 2:
Calcular o valor da seguinte expressão: – 10 + 4 – 7 – 8 + 3 – 2
Solução:
Faremos somas de duas em duas parcelas
20 2 18 2 18 3 21 2 3 21 2 3 21 8 13 2 3 8 13 2 3 8 13 7 6 2 3 8 7 6 2 3 8 7 6 4 10 EXERCÍCIO DE CLASSE 05 Se A = 25 – 16 + 21 – 24 , então o valor de A é: a) 6 b) – 4 c) – 36 d) 20 e) 8 MULTIPLICAÇÕES E DIVISÕES
Nas multiplicações e divisões de números inteiros é preciso observar com atenção os sinais dos dois termos da operação:
SINAIS IGUAIS (+) SINAIS OPOSTOS () (+5) (+2) = +10 (+5) ( 2) = 10 ( 5) ( 2) = +10 ( 5) (+2) = 10 (+10) (+2) = +5 (+10) ( 2) = 5 ( 10) ( 2) = +5 ( 10) (+2) = 5 Seqüência para resolução de expressões (operações):
1. Resolver potências e raízes;
2. Resolver multiplicações e divisões;
3. Resolver adições e subtrações.
Seqüência para resolução de expressões (eliminação): ATENÇÃO!
O valor absoluto de um número nunca é
negativo, pois representa uma distância; A representação do valor absoluto de um
número n é |n|. (Lê-se “valor absoluto de
n” ou “módulo de n”)
Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo.
ATENÇÃO!
É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!
159
1. Parênteses;
2. Colchetes;
3. Chaves.
OBS: A eliminação de parênteses, colchetes e chaves, devem obedecer às mesmas regras dos sinais, utilizadas na multiplicação e divisão.
EXEMPLO: 1 ) 2 ( ) 20 ( ) 7 ( ) 3 ( 4 3 (mult. e div.) 1 ) 10 ( ) 7 ( 12 3
(elim. parênteses)
–3 + 12 – 7 + 10 + 1 = – 10 + 23 = + 13 EXERCÍCIO DE CLASSE 06Resolva a seguinte expressão
(-50): (-5 - 5) - [20 + (-42) : (+7) - (-35) : (-1 - 4)] a) 10 b) – 8 c) –2 d) 13 e) 7
P
ROBLEMAS COM
N
ÚMEROS
I
NTEIROS
Os problemas aqui propostos deverão ser vistos como questões algébricas, em que se apresentam uma ou mais quantidades conhecidas (DADOS DO PROBLEMA) e se busca a identificação de uma ou mais quantidades desconhecidas (INCÓGNITAS). A solução de um problema consta de quatro etapas:
(1) Identificar e dar “nome“ à(s) incógnita(s);
(2) A formulação da equação ou do sistema de equações;
(3) A resolução propriamente dita da equação ou do sistema de equações;
(4) Discussão da(s) solução(ões)
EXEMPLO:
Qual o número cuja metade é igual ao seu triplo mais 5 unidades?
SOLUÇÃO
1ª. Etapa - Identificar e dar “nome“ à(s) incógnita(s)
Número = x
Metade do número =
2 x
Triplo do número = 3x
2ª. Etapa - A formulação da equação ou do sistema de equações 5 x 3 2 x
3ª. Etapa - A resolução propriamente dita da equação ou do sistema de equações
3x 5 2 3x 5 1 x 6x 10 x 2 x 2 x 5 10 x 10 x 5 10 x x 6 4ª. Etapa - Discussão da(s) solução(ões)
5 x 3 2 x
2 5 3 2 2 5 6 1 -1 = -1(verdadeiro)
EXERCÍCIOS DE CLASSE 07Qual o número que, se somado a um quarto dele próprio, mais dois quartos dele próprio, mais três quartos dele próprio dá 100?
a) 40 b) 30 c) 25 d) 732 e) 122
Questões de Aprendizagem
01. Os ingressos para um teatro custam R$ 40,00, mas os estudantes pagam R$ 25,00. Num dia foi vendido 120 ingressos e foi arrecadado um total de R$ 4.320,00. O número de ingressos vendidos para estudantes, foi de:
a) 108 b) 72 c) 64 d) 54 e) 32
02. A soma de dois algarismos de um número é 12. Se trocarmos a ordem desses algarismos, o número aumenta em 18 unidades. Determine a terça parte desse número: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
03. Um atirador ganha R$ 10,00 por tiro acertado e perde R$ 15,00 por tiro errado. Se num total de 100 tiros, lucrou R$ 250,00, quantos tiros ele errou?
a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20
04. Um comerciante pretendia vender as laranjas de seu estoque a R$ 3.000,00 a dúzia. Entretanto, estragaram-se 3 dúzias e, para não ter prejuízo, resolveu vender o restante a R$ 3.200,00 a dúzia. Quantas dúzias de laranja ele tinha inicialmente?
a) 42 b) 48 c) 50 d) 56 e) 58
05. Pedro gastou R$ 540,00 na compra de certo número de rádios portáteis. Se ele aumentasse a sua compra em mais 5 unidades teria gasto R$ 690,00. Nessas condições, a quantidade de rádios que Pedro comprou é: a) 24 b) 22 c) 19 d) 20 e) 18
06. Foi elaborada uma prova com 39 questões. Na primeira parte da prova havia X questões valendo 3 pontos cada; na segunda parte havia Y questões valendo dois pontos cada. A prova toda valia 100
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO pontos. A quantidade de questões da primeira parte era: a) 17 b) 22 c) 21 d) 20 e) 19
07. Em uma mesa de um restaurante estavam a família Silva (um casal e duas crianças) e a família Costa (um casal e uma criança). A conta de R$ 75,00 foi dividida de modo que cada adulto pagasse o triplo de cada criança. Quanto pagou a família Silva?
a) R$ 40,00 b) R$ 42,00 c) R$ 43,00 d) R$ 44,00 e) R$ 45,00
08. Um trem de 400m de comprimento, tem velocidade de 10 Km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300m de comprimento? a) 1min 48seg b) 2min 24seg c) 3min 36seg d) 4min 12seg e) 5min
09. Um digitador ganha R$ 8,00 por página digitada e calcula que leva 12 minutos para digitar uma página. Se ele trabalhar durante 15 dias das 14h 40min às 18h 16min, ele vai receber:
a) R$ 3.760,00 b) R$ 2.256,00 c) R$ 2.016,00 d) R$ 3.360,00 e) R$ 2.160,00
10. Em uma agência trabalham 82 funcionários, entre homens e mulheres. Se o número de mulheres excede de 16 unidades a metade do número de homens, quantos homens trabalham nessa agência?
a) 36 b) 38 c) 42 d) 44 e) 48
Gabarito
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 E D C B E B A D E D01. Num jogo disputado entre Alfredo e Mário, combinou-se que Mário receberia $100,00 por cada partida que ganhasse e pagaria $40,00 cada vez que perdesse uma partida. Após 30 partidas, Mário recebeu $2.160,00. Pode-se afirmar que Mário perdeu: a) 8 partidas b) 5 partidas c) 6 partidas d) 2 partidas e) 4 partidas
02. As idades de um pai e um filho hoje são 60 e 21 anos. Há quantos anos a idade do pai era o quádruplo da idade do filho? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
03. Comprou-se vinho a $4,85 o litro e chope a $2,50 o litro. O número de litros de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de $19,75 a mais do que a paga pelo chope. A quantidade de litros de vinho comprada foi de:
a) 60 b) 40 c) 65 d) 35 e) 25
04. Certa quantidade de sacos precisa ser transportado e para isto dispõe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram 13 sacos; se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram 3 jumentos desocupados. Quantos sacos precisam ser carregados?
a) 44 b) 45 c) 57 d) 22 e) 30
05. Interrogado sobre sua idade, respondeu um menino: "Há oito anos eu tinha um quarto da idade que terei daqui a um ano". Que idade tem o menino?
a) 10 anos b) 9 anos c) 8 anos d) 11 anos e) 12 anos
06. Uma fábrica dispõem de duas máquinas que produzem diariamente um total de 1600 peças, sendo que a primeira máquina produz 200 peças a mais que a segunda. Examinando-se a produção de certo dia, verificou-se que havia 80 peças defeituosas no total, tendo a primeira máquina, 10 peças defeituosas a mais que a segunda. Neste dia, o total de peças boas, produzidas pela primeira máquina foi de:
a) 900 peças b) 885 peças c) 855 peças d) 825 peças e) 700 peças
07. Um negociante comprou alguns bombons por R$ 720,00 e vendeu-os a R$ 65,00 cada um, ganhando, na venda de todos os bombons, o preço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombom foi: a) R$ 12,00 b) R$ 75,00 c) R$ 60,00 d) R$ 40,00 e) R$ 15,00
08. Que horas são agora se
4 1
do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido?
161
b) 4 horasc) 4 horas e 48 minutos d) 6 horas e 48 minutos e) 5 horas e 48 minutos
09. Uma pessoa, ao fazer um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso pagou a mais a importância de $270,00. Sabendo-se que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2, o algarismo, no cheque, que está na casa das dezenas é o: a) 6 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4
10. A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Podemos então afirmar que atualmente:
a) Carlos é uma criança de menos de 12 anos b) Carlos é um jovem de mais de 12 anos e
menos de 21 anos
c) Carlos tem mais de 21 anos e menos de 30 anos
d) Carlos já passou dos 30 e não chegou aos 40 anos
e) Carlos tem mais de 60 anos
11. Que horas são, se 114 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido? a) 7 horas e 40 minutos b) 7 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas e 24 minutos
12. Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agência bancária contou "t" moedas de 1 real, "y" de 50 centavos, "z" de 10 centavos e "w" de 5 centavos. Ao conferir o total, percebeu que havia cometido um engano: contara 3 das moedas de 5 centavos como sendo 50 centavos e 3 das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nessas condições a quantia correta é igual a inicial:
a) acrescida de $1,35 b) diminuída de $1,35 c) acrescida de $1,65 d) diminuída de $1,75 e) acrescida de $1,75
13. Isaura tem o dobro da idade de Juraci, que é um ano mais velha que Benedita. Sabendo-se que daqui a dois anos a soma das idades de Isaura, Juraci e Benedita será igual a 77 anos, qual a idade de Benedita daqui a 8 anos?
a) 16 b) 17 c) 18 d) 25 e) 36
14. Um setor de uma repartição pública recebeu um lote de processos. Desse lote, cada funcionário arquivou 15 processos, restando 5 processos. Se cada funcionário tivesse arquivado 8 processos, restariam 33. O número de funcionários desse setor é:
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8
e) 10
15. Comprei 12 dúzias de canetas e 15 dúzias de chaveiros por R$ 276,00. Uma dúzia de chaveiros é mais cara do que uma dúzia de canetas R$ 4,00. Qual o preço de um chaveiro? a) R$ 4,00 b) R$ 3,00 c) R$ 1,00 d) R$ 12,00 e) R$ 15,00
16. Numa eleição em que dois candidatos disputam o mesmo cargo, votaram 2.150 eleitores. O candidato vencedor obteve 148 votos a mais que o candidato derrotado. Sabendo-se que houveram 242 votos nulos, quantos votos obteve cada candidato?
a) 1.149 e 1.001 b) 1.100 e 952 c) 1.223 e 1.075 d) 1.028 e 880 e) 1.001 e 907
17. Atualmente, Gilda tem 14 anos e Aluísio, 4 anos. Daqui a quantos anos Gilda terá o dobro da idade de Aluísio? a) 2 b) 6 c) 10 d) 18 e) 20
18. Se o produto de dois números inteiros e positivos aumenta de 10 unidades, quando os mesmos são substituídos pelos seus consecutivos, então a soma desses dois números é:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 18 e) 20
19. Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres, restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada, entretanto, subiram nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. O total de passageiros desse vagão no início da viagem era:
a) 42 b) 65 c) 68 d) 73 e) 75
20. Um leiteiro vende o litro de leite por $65,00. A quantidade de água que o leiteiro deve acrescentar a 385 litros de leite para que possa vender o litro da mistura por $55,00 é: a) 70 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90
Gabarito
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 C C D C D C C C D B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 E A D A C D B A B AMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO
Aula 03
NÚMEROS
RACIONAIS
N
ÚMEROS
R
ACIONAIS
(Q)
DEFINIÇÃO: São aqueles que podem ser expressos na forma
b a
, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de zero. Q ={ x x = b a
com a e b Z com b diferente de 0 }
Q = RACIONAIS = {..., -2, 2 3 , -1, 0, 2 1 , 1, 2, ...}
T
IPOS DE
F
RAÇÕES
FRAÇÃO PRÓPRIAÉ aquela em que o numerador é menor que o denominador
FRAÇÃO IMPRÓPRIA
É aquela em que o numerador é maior que o denominador
FRAÇÃO APARENTE
É aquela em que o numerador é múltiplo do denominador
D
ÍZIMASP
ERIÓDICAS EF
RAÇÃOG
ERATRIZToda fração pode ser representada por um número decimal. A fração que dá origem a dízima periódica é chamada de fração geratriz.
OBTENÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ ...(g)
DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
g = Período Um nove por cada algarismo do período
Exemplos: 0,4444... = 9 4 0,515151... = 99 51 2,555... = 9 23 9 5 2 ... 55 , 0 2
DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA
g =
Parte não periódica seguida do período menos a parte não periódica
Um nove por algarismo do período seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica Exemplos: 0,3454545... = 55 19 110 38 990 342 990 3 -345 3,257... = 900 25 -257 3 ... 2577 , 0 3 225 733 900 2932 900 232 3 EXERCÍCIOS DE CLASSE 01
Encontre a fração geratriz da dízima 0,454545...
A
DIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
COM DENOMINADORES IGUAIS
Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores. EXERCÍCIOS DE CLASSE 02 Determine o valor de 2 5 2 3 2 1 COM DENOMINADORES DIFERENTES
Substituem-se as frações dadas por outras, equivalentes, cujo denominador será o MMC dos denominadores dados. EXERCÍCIOS DE CLASSE 03 Determine o valor de 2 1 4 3 6 1
M
ULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Para multiplicar duas ou mais frações, deve-se: a) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador;
b) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador; EXERCÍCIOS DE CLASSE 04 Determine o valor de 6 1 4 3 5 2
D
IVISÃO DE FRAÇÕES
Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos números envolvidos é uma fração, devemos multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo.
163
EXERCÍCIOS DE CLASSE 05 Determine o valor de 5 4 3 1N
ÚMERO
M
ISTO
Dados três números inteiros n, a e b, com n ≠ 0 e 0 < a < b, denomina-se número misto à representação de um número racional escrito sob a forma: b a n b a n EXERCÍCIOS DE CLASSE 06 Transforme 2 1 8 em fração imprópria.
P
ROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES
Vejamos algumas observações importantes para facilitar a resolução de problemas:
(1) A unidade é o número básico para resolvermos problemas de números fracionários;
(2) Para maior facilidade de cálculos, devemos escrever a unidade como fração aparente, isto é, na qual o numerador seja igual ao denominador. Isto depende da situação de cada problema;
EXEMPLO: Se você perdeu
4 1
do que possuía, era porque você possuía 1, mas escreve
4 4 ) resto ( 4 3 ) perdeu ( 4 1 ) possuía ( 4 4
(3) Para se saber quanto é uma fração de um número ou de outra fração, multiplica-se a fração pelo número ou pela outra fração;
EXEMPLOS: Quanto é 4 3 de 20 ? 15 4 60 20 4 3 Quanto é 3 2 de 5 4 ? 15 8 5 4 3 2
(4) Quando se tem uma fração que equivale ou corresponde a um número ou uma quantia e se deseja saber o total, multiplica-se o número ou a quantia pela fração invertida.
EXEMPLO:
3 2
de um número corresponde a 60. Calcule esse número. Resposta: 90 2 180 2 3 60 EXERCÍCIOS DE CLASSE 07
Numa certa cidade, 312 são de nacionalidade estrangeira. Sabendo-se que o total de habitantes é 11.760, o número de brasileiros nessa cidade é:
a) 8.250 b) 9.600 c) 10.780 d) 8.500 e) 8.820
R
EGRA
:
“
PROBLEMA DAS TORNEIRAS
”
O problema das torneiras é bem típico na operação com números racionais. Para resolver com maior facilidade vamos considerar um tanque de capacidade C inicialmente vazio. A primeira torneira consegue encher sozinha em T1. A segunda torneira consegue encher também sozinha, o mesmo tanque em T2. Utilizando-se as duas torneiras juntas simultaneamente abertas ao mesmo tempo, o tempo para encher o tanque é N. Calculado pela seguinte expressão:
2
T
1
1
T
1
N
1
OBS: É válido ressaltar que o sinal positivo da fórmula é utilizado para torneiras que estão enchendo o tanque. Caso torneiras ou vazamentos esvaziando o tanque, devemos utilizar o sinal negativo.
EXERCÍCIOS DE CLASSE 07
Uma caixa d'água tem um vazamento que a esvaziaria em 8 horas. A torneira que a abastece pode enchê-la em 6 horas. Com a torneira aberta, em quanto tempo a caixa d'água ficará cheia?
a) 60 horas b) 12 horas c) 24 horas d) 36 horas e) 48 horas
Questões de Aprendizagem
01. A dízima periódica 0,1454545... é igual a: a) 11 5 b) 55 8 c) 180 29 d) 198 29 e) 999 145 02. O numeral 5120,555... equivale a: a) 32 b) √ c) 2 d) √ e) √
03. Três irmãos devem dividir uma determinada quantia, de modo que o primeiro receba 32 menos R$ 600,00; o segundo 41 e o terceiro a metade menos R$ 4.000,00. O valor que o primeiro irmão deve receber é:
a) R$ 6.760,00 b) R$ 1.520,00
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO c) R$ 2.760,00
d) R$ 2.250,00 e) R$ 11.040,00
04. Dois trabalhadores fazem juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza o mesmo trabalho em 15 dias, o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa em:
a) 18 dias b) 20 dias c) 25 dias d) 27 dias e) 30 dias
05. O tanque de gasolina de um carro tem a capacidade para 65 litros. No momento, ele apresenta apenas 52 de gasolina. Quantos litros de gasolina há nesse tanque? a) 30 litros b) 32 litros c) d) 18 litros e) 26 litros
06. O salário de Sérgio é igual a 73 do salário de Renato. No entanto, se Sérgio tivesse um acréscimo de R$ 2.400,00 em seu salário, passaria a ter um salário igual ao de Renato. A soma dos salários de Sérgio e Renato é: a) R$ 3.800,00 b) R$ 4.200,00 c) R$ 5.000,00 d) R$ 6.000,00 e) R$ 10.000,00
07. Um pai faleceu deixando uma herança para ser dividida em partes iguais por 5 filhos, um dos quais é viúvo e possui 4 filhos. Sabendo-se que a parte que cabe ao viúvo é metade dele e metade dividida entre seus filhos, podemos afirmar que cada filho do viúvo receberá:
a) 401 b) 251 c) 111 d) 101 e) 91 08. Um "pool" de cursos de Pós-graduação em Administração realizou seu processo seletivo. Dos candidatos inscritos, 85 foram reprovados nos testes. O número total de aprovados nesse ano foi de 978. quantas inscrições recebeu inicialmente o "pool"?
a) 3.204 b) 4.503 c) 5.800 d) 2.608 e) 3.275 09. O valor de 0,666... 2 é: a) 0,333... b) 1,333... c) 3,333... d) 3 e) 12
10. Retirei inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancária. Depois saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram R$ 7.500,00. Qual era o saldo?
a) R$ 12.750,00 b) R$ 12.500,00 c) R$ 12.250,00 d) R$ 10.200,00 e) R$ 9.600,00
Gabarito
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 B A A E D D A D D BO1. Se 0,24444... é escrito em forma de fração irredutível, então a soma do numerador com o denominador dessa fração é:
a) 56 b) 64 c) 98 d) 112 e) 156
02. Os 32 de 5 do preço de uma moto equivalem a 3 2
3 de 2 do preço de um automóvel avaliado em 5 R$ 9.600,00. O preço da moto é: a) R$ 5.760,00 b) R$ 8.640,00 c) R$ 6.400,00 d) R$ 16.000,00 e) R$ 5.184,00
03. Três torneiras quando abertas sozinhas, enchem uma piscina em 36h, 6h e 18h, respectivamente. Abertas simultaneamente, a piscina estará cheia em:
a) 9 horas b) 7 horas c) 6 horas d) 4 horas e) 3 horas
04. Uma bola de tênis é abandonada de uma altura de 1,2m. Sabendo-se que ela volta até 83 da altura de onde caiu, pergunta-se quantos metros percorreu essa bola desde que foi abandonada até bater no chão pela segunda vez? a) 1,56 m b) 1,65 m c) 2,10 m d) 2,20 m e) 3,20 m
05. Em uma amostra retirada de um lote de feijão, constatou-se que 73 dele era branco e o resto preto. Sabendo-se que a diferença entre as quantidades de sacos de um e de outro tipo de feijão é 120, os sacos de feijão branco eram, portanto, em número de:
a) 840 b) 480 c) 360 d) 240 e) 120
06. Um comerciante vendeu 4 de uma peça de 7 tecido e ainda restavam 450cm. Quantos metros tinha a peça?
165
b) 150,50 mc) 105,00 m d) 45,50 m e) 10,50 m
07. Um tanque é alimentado por duas torneiras; a primeira pode enchê-lo em 5 horas e a segunda em 4 horas. Em quanto tempo se pode encher esse tanque, se abrirmos a segunda torneira uma hora após a primeira?
a) 3 horas e 10 minutos b) 3 horas e 15 minutos
c) 3 horas 15 minutos e 10 segundos d) 2 horas 46 minutos e 40 segundos e) 2 horas 10 minutos e 10 segundos
08. Na planilha de previsão orçamentária de uma empresa para um certo mês, consta um total gasto equivalente a R$ 216.000,00. Deste total 21 destina-se ao pagamento de funcionários, 41 a pagamento de impostos e 1 , a gastos com documentação. O 6 restante, que se destina a despesas miúdas, é de:
a) R$ 108.000,00 b) R$ 54.000,00 c) R$ 36.000,00 d) R$ 18.000,00 e) R$ 16.000,00
09. Uma caixa d'água com capacidade para 960m3
possui uma tubulação que a alimenta e que a enche em 7 horas. Possui também um "ladrão" que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o "ladrão" funcionando simultaneamente, em quanto tempo a caixa d'água ficará cheia?
a) 16horas e 8 minutos b) 14 horas e 8 minutos c) 16 horas e 28 minutos d) 16 horas e 48 minutos e) 14 horas e 48 minutos
10. Há 8 anos a idade de A era o triplo da de B e daqui a 4 anos a idade de B será 95 da de A. Achar a razão entre as idades de A e B:
a) 21 b) 2 c) 1 3 d) 2 2 e) 3 3 1 11. Uma pessoa comprou dois objetos pagando preços iguais e vendeu-os por R$ 4.900,00 no total. Um dos objetos foi vendido pelo preço de compra e no outro obteve-se um lucro de 31 sobre o preço da compra. O custo do primeiro objeto foi de:
a) R$ 2.100,00 b) R$ 1.900,00 c) R$ 1.750,00 d) R$ 1.690,00 e) R$ 1.850,00
12. João faz um muro em 20 dias e Pedro faz o mesmo muro em 30 dias. Tendo trabalhado juntos durante 5 dias, passaram a ser ajudados por Carlos e terminaram o serviço em 3 dias. Em quantos dias, Carlos construiria o muro sozinho?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
13. Uma costureira confecciona 40 blusas em 3 dias de 7 horas de trabalho; outra costureira confecciona o mesmo número de blusas em 2 dias de 9 horas. Trabalhando juntas, em quantos dias de 7 horas farão 260 blusas? a) 7 b) 36 c) 12 d) 9 e) 8
14. Um negociante ganhou no primeiro mês de negócio, 31 do seu capital. No segundo mês ganhou
4
1 do novo capital, obtendo assim um lucro de R$ 2.000,00.O capital inicial do negociante era:
a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 2.750,00 d) R$ 3.000,00 e) R$ 3.500,00
15. Ana fez 52 de um tapete em 8 horas e Clara fez 3
1 do restante em 6 horas. Se trabalharem juntas, terminarão o tapete num tempo igual a:
a) 4 horas e 12 minutos b) 4 horas e 30 minutos c) 4 horas e 36 minutos d) 4 horas e 45 minutos e) 4 horas e 48 minutos
16. Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os dois começaram a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o trabalho. 2 dias após a saída desse, Carlos também abandona. Antônio sozinho, consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro sozinho, Antônio levaria:
a) 48 dias b) 60 dias
c) 12 dias e 12 horas d) 75 dias
e) 50 dias
17. Seja X o número de fichas cadastrais recebidas para arquivo. Dois funcionários, A e B, trabalhando juntos, arquivam 3 de X em 8 horas. Se A, 5 trabalhando sozinho, consegue arquivar 41 de X em 10 horas, quantas horas levará B para arquivar a metade de X? a) 15 horas b) 14 horas c) 12 horas d) 11 horas e) 10 horas
18. Um negociante, num dia, recebeu 108 ovos, que os colocou em duas cestas. A um freguês vendeu 31 dos ovos da primeira cesta e a outro freguês vendeu
6
1 dos ovos da segunda cesta. As duas cestas têm agora o mesmo número de ovos. Quantos ovos havia em cada cesta? a) 65 e 43 b) 60 e 48 c) 50 e 58 d) 70 e 38 e) 55 e 53
19. A máquina A tira 800 cópias em 1 hora e a máquina B tira 800 cópias em 1 hora e 20 minutos.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO Em quanto tempo, as máquinas A e B, juntas, tirarão 2.100 cópias? a) 1 hora e 15 minutos b) 1 hora e 20 minutos c) 1 hora e 25 minutos d) 1 hora e 30 minutos e) 1 hora e 40 minutos
20. Um tanque é alimentado por 4 torneiras. A primeira demora 15 horas para encher sozinha o tanque, a segunda gasta 20 horas, a terceira 30 horas e a quarta 60 horas. Após ficarem abertas juntas durante 4 horas, fecharam as duas primeiras. Calcule quanto tempo demorarão as duas últimas torneiras ficando abertas para terminar de encher o tanque:
a) 6 horas b) 6 horas e 18 minutos c) 6 horas e 40 minutos d) 5 horas e 24 minutos e) 7 horas e 10 minutos
Gabarito
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 A E D C C E D D D B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D D D E E E B D CAula 04
POTENCIAÇÃO
E
RADICIAÇÃO
P
OTENCIAÇÃO
DEFINIÇÃO: A potência de expoente m (com m inteiro, m>1) do número real a é definida como sendo o produto de m fatores iguais a a e é representada por
am. fatores m a . ... . a . a . a m a Onde a = base m = expoente EXERCÍCIO DE CLASSE 01 O valor da expressão 2 4 2 5 5 2 2 3 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
A potência de expoente 2 do número a, a2 é chamada de quadrado de a e a potência de expoente 3 do número a, a3 é chamada de cubo de a.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Para simplificar expressões envolvendo potências é útil conhecermos as seguintes propriedades:
1ª. Propriedade: a1 = a
Toda potência cujo expoente é 1 (um), será igual a própria base. EXEMPLO: 7 1 7 2ª. Propriedade: a0 = 1
Qualquer número, diferente de zero, elevado ao expoente zero, é igual a 1.
EXEMPLOS: 1 0 1258
167
3ª. Propriedade: m a 1 m a Todo número elevado a um expoente negativo, é igual a uma fração que tem para numerador o número 1 e para denominador o próprio número elevado a esse expoente positivo. EXEMPLO: 125 1 3 5 1 3 5 4ª. Propriedade: am . an = am+ n
Para multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
EXEMPLO: 32 5 2 2 3 2 2 2 3 2 5ª. Propriedade: mn a a = m n a
Para divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
EXEMPLO: 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 6ª. Propriedade: (an) m = an . m
Para se elevar uma potência, a outra potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
EXEMPLO: 81 4 3 2 2 3 2 2 3 7ª. Propriedade: am . bm = (a . b)m
Para se elevar um produto a uma potência, multiplica-se o expoente de cada fator pelo expoente da potência dada. EXEMPLO: 900 25 9 4 2 5 2 3 2 2 2 ) 5 3 2 ( 8ª. Propriedade: m m m b a b a
Para se elevar uma fração a uma potência, elevam-se o numerador e o denominador a essa potência.
EXEMPLO: 9 4 2 3 2 2 2 3 2 9ª. Propriedade: m a b m b a
Para se elevar uma fração a um expoente negativo, eleva-se o inverso da fração a esse expoente positivo.
EXEMPLO: 4 9 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 10ª. Propriedade: n n ma m a
Para se elevar um número a um expoente fracionário, o denominador do expoente será o índice do radical e o numerador do expoente será o expoente do radicando. EXEMPLO: 2 3 8 3 18 3 1 8 EXERCÍCIO DE CLASSE 02
Reduzir a uma única potência
10 10 )
(1042 3: a) 10 b) 2 10 c) 3 104 d) 10 e) 5 106
REGRAS DE SINAIS NAS POTENCIAÇÕES
O sinal da potência depende sempre do sinal da base (+ ou -) e da paridade do expoente(par ou ímpar).
EXEMPLOS: (+ 2)4 + 16 ( 2)4 + 16 (+ 2)5 + 32
( 2)5 32
(base negativa e expoente ímpar)Atenção!
Note que - 32 (- 3)2, pois: - 32 = - 9
(- 3)2 = + 9
Observe que a32 (a3)2, pois:
9 3 a a 2 6 2 . 3 2 3) a a a (
EXERCÍCIO DE CLASSE 03
O valor da expressão 2 2 1 1 3 1 2 ) 4 ( 0 8 é igual a: a) 7 2 b) 4 22 c) 2 7 d) 4 13 e) 4 7R
ADICIAÇÃO
DEFINIÇÃO: Dado um número real a e um número natural n 2, define-se n a (raiz n-ésima de a) como sendo o número real r, se existir, tal que:
para n par: n a= r desde que rn ae r 0
para n ímpar: n a = r desde que rn b Na expressão n a, temos: DICA!O resultado de uma potenciação só é negativo em um único caso: Quando a base é
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS/Matemática ZERO n = índice; a = radicando e = radical
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
1ª. Propriedade:
an anPara se elevar um radical a uma potência eleva-se somente, o radicando a essa potência.
EXEMPLO: 3 4 2 4 3 2 2ª. Propriedade: n ann na a
A potência n da raiz enésima de um radical é igual ao radicando. EXEMPLO: 2 3 3 2 3ª. Propriedade: n a npap ou p n p k a n ka
Multiplicando-se ou dividindo-se, o índice do radical e o expoente do radicando, pelo mesmo número, diferente de zero, o radical não se altera.
EXEMPLOS: 6 22 32 Multiplicando-se por 2 4 32 8 62 Dividindo-se por 2 4ª. Propriedade: nab nanb
A raiz enésima de um produto de vários fatores é igual ao produto das raízes enésimas dos fatores.
EXEMPLO: c b 9 c 2 b 81 c 2 b 81 5ª. Propriedade: nb n a n b a
Para se extrair a raiz enésima de uma fração, extrai-se a raiz enésima do numerador e do denominador.
EXEMPLO: 5 3 25 9 25 9 6ª. Propriedade: mna m an
Para se extrair uma raiz qualquer de um radical, isto é, para substituir um radical duplo, por um radical simples, basta multiplicar os índices dos radicais.
EXEMPLOS: 2 6 62 6 64 3 64 a b 12 6a b 12a6b12 3 4a6b12
EXERCÍCIO DE CLASSE 04
Seja a 32 então 2a é igual a:
a) 32 b) 8 c) 83 4 d) 3 4 e) 4
Atenção!
Seja nanb. Pela primeira propriedade podemos escrever que nanb anb, então pela propriedade simétrica da igualdade temos que anb nanb, de
onde concluímos que: para escrever um número que esteja fora do radical, no radicando, basta elevarmos esse número a uma potência igual ao índice do radical. EXEMPLO: a 9 a 2 3 a 3
OPERAÇÕES COM RADICAIS
Redução ao mesmo índice
a) Acha-se o MMC dos índices dos radicais. Esse será o índice comum;
b) Divide-se o índice comum achado pelo índice de cada radical, os quocientes obtidos multiplicam-se pelos expoentes dos respectivos radicandos.
EXERCÍCIO DE CLASSE 06
Reduzir ao mesmo índice os radicais:3 2a e a
Adição e subtração
Só podemos somar e subtrair radicais semelhantes, isto é, aqueles que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. EXEMPLOS: a 5 a 3 a 6 a 2 a 6 b 5 a 4 b 2 a 2 b 3 Multiplicação
O produto de dois ou mais radicais de índices iguais é um radical que tem o mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores. EXEMPLO: 10 2 40 5 4 2 5 4 2 Divisão
O quociente de dois ou mais radicais de índices iguais é um radical que tem o mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos dos fatores. EXEMPLO: 2 4 4 16 EXERCÍCIO DE CLASSE 07 A expressão 18 50 é equivalente a: a) 2√ b) 34√ c) 8√ d) 5√ e) 2√
RACIONALIZAÇÃO DE RADICAIS
DEFINIÇÃO: Racionalizar uma fração em cujo denominador figure um radical é encontrar outra fração equivalente à fração dada cujo denominador não contenha mais o radical.
1º. Caso: O denominador contém um só radical Multiplicamos ambos os termos da fração por outro radical do mesmo grau, de modo que o produto dos radicandos se torne uma raiz exata.
169
EXERCÍCIO DE CLASSE 08
Racionalize a fração 5 3 .
2º. Caso: O denominador é formado pela soma ou diferença de dois termos dos quais um, pelo menos, é radical.
Multiplicam-se ambos os termos pelo conjugado do denominador. OBS: Conjugado de a + b é a – b Conjugado de a – b é a + b EXERCÍCIO DE CLASSE 09 Racionalize a fração 2 5 3 .
RADICAL DUPLO
Dado o radical duplo a b , podemos transformá-lo em radical simples pela fórmula:
2 c a 2 c a b a onde c a2b OBS: É importante lembrar que nem todos os radicais duplos se reduzem a radicais simples pela fórmula. Isso só ocorre se a2b for um quadrado perfeito.
EXERCÍCIO DE CLASSE 10
A expressão 7 24 equivale a:
a) 6 1 b) 61 c) 71 d) 71
Questões de Aprendizagem
01. Seja x um número real estritamente positivo e n um número natural maior ou igual a 2. Sobre as sentenças I. xn 1 n x II. n 1 x n x III. 2 n x n x
é correto afirmar que: a) somente I é falsa b) somente II é falsa c) somente III é falsa d) I, II e III são falsas. e) I, II e III são verdadeiras.
02. Quaisquer que sejam os números reais positivos x e y, a expressão xy xy y y x x é equivalente a: a) x x y y b) y yx y c) 2 x x 2 y y d) y2 yx2 x e) xy
x y
03. Se A4 32341250 , então A é igual a: a) 174 2 b) 2042 c) 254 2 d) 17 2 e) 30 04. A expressão 3 7 7 3 7 3 é equivalente a: a) 3 7 3 6 b) 3 7 3 6 c) 2 2 21 d) 2 7 3 e) 2 21 205. Sobre o número x 74 3 3 é correto afirmar que: a) x ]0, 2[ b) x é racional c) 2 é irracional x d) x é irracional 2 e) x ]2, 3[
06. Se x e y são números reais positivos, tais que
729 4 y 2 x 81 2 y 4
x , então o produto x y é igual a:
a) 3 b) 3 1 c) 3 3 d) 9 1 e) 3 07. Se x e y são números reais tais que
25 , 0 ) 25 , 0 ( x e y160,125, é verdade que: a) x = y b) x > y c) xy2 2 d) x – y é um número irracional
e) x + y é um número racional não inteiro 08. Sejam x 16 , y(1 5)2,
1 5
1 5
z e w 71. Podemos afirmar que:
a) x, z são irracionais; y, w são racionais b) y, w são irracionais; x, z são racionais c) y, z são irracionais; x, w são racionais d) x, w são irracionais; y, z são racionais 09. Se p3 2 e q2 2, então pqp é igual a:
