Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES

(1)

MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES

FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA ... 2

MÓDULO ... 6

PROPRIEDADES DO MÓDULO ... 6

FUNÇÃO MODULAR ... 9

GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR ... 9

EQUAÇÕES MODULARES ... 27

INEQUAÇÕES MODULARES ... 32

RESPOSTAS ... 37

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ... 44

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

(2)

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS

DE UMA SENTENÇA

Já vimos, em apostilas anteriores, como tratar com funções definidas por mais de uma expressão e agora vamos usar aqueles conceitos.

Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma delas está associada à um subdomínio D1, D2, D3, ... Dn e a união destes n subconjuntos forma o domínio D da função original, ou seja, cada domínio Di é um subconjunto de D.

Vamos ver alguns exemplos de funções definidas por mais de uma sentença e seus respectivos gráficos.

Ex.1: Seja a função

 

           2 x se 3 2 x 0 se 1 x 0 x se 1 x f

O seu gráfico é dado por:

Ex. 2: Veja o gráfico de

 

          1 x se 1 x 1 x se x x f 2

Ex. 3: Seja a função

 

                 1 x se 1 x 1 x 2 se 1 x 2 x se 1 x x f 2 o gráfico é:

(3)

01) Construa o gráfico de cada uma das funções abaixo: a)

 

        0 x se x 0 x se 1 x x f b)

 

            2 x se 2 2 x 2 se x 2 x se 2 x f

(4)

CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO c)

 

        1 x se x 1 1 x se x 2 x x f d)

 





           1 x se 1 2 x 1 x se 1 x x f 2

(5)

MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES 02) Dada

 

             2 x se 1 2 x 2 x se 2 x x x f 2

a) Construa seu gráfico.

b) Encontre os valores de x que admitem 4 como imagem.

03) Quais valores de x tem imagem 7 na função

 

          0 x se 2 x 0 x se 1 x 2 5 x x f 2

(6)

 

       0 x se x 0 x se x x f ___________________________

MÓDULO

Sendo x um número real, definimos MÓDULO ou VALOR ABSOLUTO que se representa por |x| através da expressão:















0 x

se

x

0 x

se

x

Da expressão acima, podemos tirar duas conclusões:

1. Se x é zero ou um número positivo, então o módulo de x é o próprio x.

2. Se x é um número negativo, então o módulo de x é o oposto aditivo de x.

valor absoluto a distância, assim, o módulo de um número x é a distância do afixo de x até a origem do sistema. Este conceito voltará a ser usado quando você estiver estudando Números Complexos no 3º ano. 2 1 2 1 0 0 3 5 5 3 3 3 1 3 1 3 3 3            

PROPRIEDADES DO MÓDULO

Da definição de módulo, decorrem algumas propriedades que veremos a seguir: I _x ₀_,_x II _x _₀__x_₀ III _x _ _y _ _xy _,__x_,_y__ IV _x 2 __x2_,__x__ V xy  x  y,x,y VI _x_y  _x  _y_,_x_,_y VII _x __a _e_a_₀___a__x__a VIII _x _a _e_a₀ _x_a_ou_x_a

05) Aplicando o conceito de módulo, calcule:

a) 4

b) 18

(7)

d) 512

e) 72

f) 53

06) Para que valores reais de x é válida cada uma das igualdades a seguir? a) x3 x3

b) x2 1 1x2

c) x2 1 x21

07) O módulo de um número real x também pode ser definido desta forma:

2 x x  . Assim, calcule: a)

 

3 2 b)



31



2 c)



x5



2

(8)

A(a) e B(b).

O conceito de módulo pode ser usado para o cálculo da distância AB entre os pontos A e B, a partir de suas coordenadas. Assim, por definição,

a b b a

AB   

Desta forma, calcule a distância AB quando:

a) a = -3 e b = 4

b) a = -5 e b = -8

c) a = 3 e b = 5

reta real. Inicialmente ela se encontra no ponto A(-5), em seguida vai até B(7) e depois até C(-2).

a) Qual a distância total percorrida pela partícula.

b) Qual seu deslocamento final.

10) Verifique se cada uma das afirmativas a seguir é VERDADEIRA ou FALSA. a) x  x x b) x 0x c) x  y xy,x,y d) x 2 x2x e) x axa f) x| x 0 ______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 192 – Exercícios 1 a 4 ______________________

A

B

a

b

(9)

FUNÇÃO MODULAR

A função que associa a cada número real o seu valor absoluto é chamada FUNÇÃO MODULAR e representamos;

 

x

f



Utilizando o conceito de módulo de número real apresentado na página 6 desta apostila, a função modular também pode ser definida da seguinte forma:

GRÁFICO DA FUNÇÃO

MODULAR

Na questão 04 (Pág. 06) desta apostila, você construiu o gráfico da função f

 

x  x porém apresentada sob a forma de duas sentenças. Observe lá o que você fez.

O gráfico da função modular é a reunião de duas semirretas de origem em (0, 0) que são as bissetrizes do 1º e 2 º quadrantes.

D =



e Im =

+

Vamos, a partir de agora, desenvolver algumas técnicas para construção de gráficos de função modular.

Em cada exemplo a seguir vamos aprender um tipo de gráfico e, a seguir, construiremos um semelhante.

Vamos construir o gráfico de f

 

x  2x .

Resolução:

Quando nos deparamos com uma função elementar como esta, em princípio, construímos o gráfico de 𝑔(𝑥) = 2𝑥.

A seguir devemos fazer 𝑓(𝑥) = | 𝑔(𝑥) |, ou seja devemos “rebater” a parte do gráfico que se encontra abaixo do eixo horizontal, desta forma:

x

y

 















0 x

se

x

0 x

se

x

f

(10)

Então, o gráfico de 𝑓(𝑥) = | 2𝑥 | é

D =  e Im = + Agora é sua vez:

11) Construa, nas malhas quadriculadas de cada item, o gráfico que se pede. Em todas as malhas, está tracejado o gráfico da função f(x)=|x|. Aproveite para comparar o gráfico que vc construiu com este. a) 𝑓(𝑥) = | 2| D = e Im = . b) 𝑓(𝑥) = |3𝑥| D = e Im = .

(11)

c) 𝑓(𝑥) = −|𝑥|

D = e Im = .

Construir o gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2|.

Resolução:

Assim como fizemos antes, vamos construir o gráfico de g(x) = x + 2

Agora, vamos “rebater” o que estiver abaixo do eixo das abscissas.

Este é o gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| e podemos observar o domínio e a imagem da função olhando para o gráfico:

D = ℝ e Im = ℝ₊

Vamos aproveitar este gráfico para fazer outra observação. Na figura abaixo está o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| e, tracejado em verde, o gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥|.

Comparando os dois gráficos, podemos dizer que o gráfico de f foi obtido a partir do deslocamento do gráfico de g em duas unidades para a esquerda.

A seguir, você pode observar uma família de gráficos do tipo 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 𝑎|. Note cada gráfico é deslocado, em relação do gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥| em a unidades.

(12)

Tente associar esta ideia com o que você viu quando estudou os deslocamentos laterais do gráfico da função quadrática.

12) Construa o gráfico de f

 

x  x1

D = e Im = .

Construir o gráfico da função

 

x x 2x

f  2  .

Resolução:

Da mesma forma que já fizemos, construiremos o gráfico de g(x) = x2_{+ 2x} e “rebateremos” o que está abaixo do eixo x pois f(x) não admite valor negativo.

D = ℝ e Im = ℝ₊

Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 13 a 19.

(13)

13) f

 

x  2x1

D = e Im =

14) f

 

x  2x3

(14)

15) f

 

x  23x

D = e Im =

16) f

 

x  x24x

(15)

17) f

 

x  x2 4

D = e Im =

18) f

 

x  x23x

(16)

19) f

 

x  x23x2

D = e Im =

Construir o gráfico da função definida em todo o capo dos reais dada por f(x) = | x + 1| - 2

Resolução:

Em princípio, vamos construir o gráfico de g(x) = | x + 1 | como vimos nos exemplos anteriores.

Agora devemos “deslocar” o gráfico duas unidades para baixo pois f(x) = g(x) - 2

Podemos ver que o DOMÍNIO desta função são todos os números reais. Observando o gráfico, qual é a IMAGEM desta função?

(17)

20) f

 

x  x 3

D = e Im =

21) f

 

x  2x1 3

(18)

22) f

 

x  x24 3

D = e Im =

23) f

 

x  x24x3 3

(19)

24) f

 

x  x21 4

D = e Im =

Agora vamos começar a tratar com funções que apresentam incógnitas dentro e fora do módulo e outras com soma de módulos.

Ex1.: Construir o gráfico da função

 

x x 2 x 1

f     .

Resolução:

Vamos dividir a função em duas partes. A primeira é o que está no módulo: x2 e a segunda parte será x1.

De x2 , temos:             2 x se 2 x 2 x se 2 x 2 x

De x1 temos que, independente do valor de x, seu valor será x1.

Vamos agora dispor estas situações num quadro. O que vai separar uma coluna de outra será o -2 que é o valor que faz mudar a expressão na primeira parte da função. 2  2 x  x2 1 x x1 3  2x1

Note que a terceira linha é a soma das duas anteriores. A função que dividimos em duas partes era formada pela soma dessas. Assim, a função que trabalharemos agora será:

 

          2 x se 3 2 x se 1 x 2 x f

(20)

desta função definida por partes.

_____________________________ Ex1.: Construir o gráfico da função

 

x 2x 1 x 1 f     .

Resolução: Assim como fizemos antes, vamos dividir a função em duas partes e, a seguir, formaremos o quadro. Veja.

               2 1 x se 1 x 2 2 1 x se 1 x 2 1 x 2           1 x se 1 x 1 x se 1 x 1 x 2 1  1 1 x 2   2x1 2x1 1 x  x1 x1 x 3  x2 3 x

construir o gráfico será:

 

                  1 x se x 2 1 x 2 1 se 2 x 2 1 x se x 3 x f

(21)

25) f

 

x  x x

D = e Im =

26) f

 

x  x x

(22)

27) f

 

x  x3 x2

D = e Im =

281) f

 

x  x1 x3

(23)

29) f

 

x  2x1 x2

D = e Im =

30) f

 

x  3x2 2x3

(24)

31) f

 

x x2  4x 3

D = e Im =

32) f

 

x  x1 x4

(25)

33)f

 

x  x1  x1

D = e Im =

34) f

 

x  x1 x1

(26)

35) f

 

x  2x2  x3 5

D = e Im =

36) f

 

x  x24  x2

(27)

MATEMÁTICA I 27 RELAÇÕES 37)

 

2 3 x 1 x 2 x f     D = e Im =

No link abaixo, você tem acesso a uma vídeo-aula de cerca de 30 minutos que abrange tudo que vimos até aqui sobre função modular.

EQUAÇÕES MODULARES

Para resolver equações modulares, devemos lembrar de duas propriedades de módulo: P1:

k

x

ou

k

x

k

x









P2:

y

x

ou

y

x

y

x









Utilizando estas duas propriedades e a condição de que x 0, vamos resolver algumas equações modulares.

(28)

CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO Ex.1: Resolver 2x1 7 Resolução:                   4 x 7 1 x 2 ou 3 x 7 1 x 2 7 1 x 2



4; 3



S  Ex.2: Resolver 3x1  2x3 Resolução:





                       5 2 x 3 x 2 1 x 3 ou 4 x 3 x 2 1 x 3 3 x 2 1 x 3       _  5 2 ; 4 S Ex.2: Resolver x1 2x8 Resolução:

Em princípio devemos lembrar que

4 0

8

2x  x

Deste forma só serão convenientes aquelas soluções maiores ou iguais a 4





                    3 x 8 x 2 1 x ou 7 x 8 x 2 1 x 8 x 2 1 x

x = 3 não convém, neste caso,

 

7 S

___________________________

Faça agora os exercícios referentes a este assunto.

(29)

38) Resolva as equações a seguir no campo dos números reais.

a) x2 3 b) 3x1 2 c) 4x5 0 d)\2x3 1 e) x2 3x1 3 f) 4 5 4 1 x 2 5 x2    g) x2 4x5 2

(30)

a) 3x2  x1

b) 4x1 2x3 0

c) x x5  4x1

(31)

a) x2 2x1 b) 3x2 2x3 c) 2x5 x1 d) 2x2 15x3 x2 2x3 e) 3x2 3x2 f) 43x 3x4

(32)

Existem outras situações envolvendo equações modulares que não trataremos aqui mas você pode ver nas vídeo-aulas acessíveis pelos links abaixo:

Equações Modulares Parte 3 Modulares Parte 4 Equações Modulares Parte 5

INEQUAÇÕES MODULARES

A idéia de módulo está ligada ao conceito de distância, como foi dito no início desta apostila. Assim, temos que:

a

x

ou

a

x

a

x

a

x

a

x



















(33)

Utilizando estas propriedades, podemos resolver as equações que envolvem módulo.

Ex.1: Resolver a inequação 2x3 7.

Resolução:

Aplicando a primeira propriedade acima, encontramos 7 3 x 2 7    Resolvendo o sistema de inequações temos: 2 x 5   Logo:



x | 5 x 2



S     Ex.2: Resolver a inequação 3x1 2

                2 1 x 3 ou 2 1 x 3 2 1 x 3

Resolvendo as equações acima, temos: 1 x ou 3 1 x  Assim:       __ _ _  ou x 1 3 1 x | x S

41) Resolva, no campo dos números reais, cada uma das cinco inequações a seguir:

a) 3x2 4

b) 2x3 1

(34)

d) 3x4 0

e) 2x1 3

42) Resolver em ℝ as quatro inequações a seguir.

a) x2 5x5 1

b) x x4 2

(35)

MATEMÁTICA I 35 RELAÇÕES d) x2 3x4 6 43) Resolver em ℝ a inequação 0 1 x 7 x 2     .

(36)

CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 44) Resolver em ℝ a inequação 0 7 x 3 1 x    . 45) Resolver em  a inequação 0 x 3 4 1 x 2     .

(37)

RESPOSTAS

01) _a) b) c) d) 02) Resolução a)

b) Para encontrar os pontos de imagem 4, devemos resolver as equações:

 

1 4 2 x 2 4 2 x x ) 1 ( 2       De (1), temos x1 = -3 e x2 = 2 Mas -3 não convém

De (2) temos x = -6.

Assim 2 e -6 tem imagem 4. 03) 4

04)

05) a) 4 d) 12 - 5 b) 18 _e) ₇_₂ c) 9 - 4 _f)₃_ ₅

(38)

CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 06) a) x3 c) x b) 1x1 07) a) 3 c)         5 x se 5 x 5 x se 5 x b) 1 3 08) a) 7 _c) ₃_₁ b) 3 09) a) 21 c) 3 10) Verdadeiras: a, b, d, f Falsa: c, e 11) a) D =  e Im = + b) D =  e Im = + c) D =  e Im =  -D =  e Im = + 13) D =  e Im = +

(39)

MATEMÁTICA I 39 RELAÇÕES 14) D =  e Im = + 15) D =  e Im = + 16) D =  e Im = + 17) D =  e Im = + 18) D =  e Im = + 19) D =  e Im = +

(40)

CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 20) D =  e Im = [-3; ) 21) D =  e Im = [3; ) 22) D =  e Im = [-3; ) 23) D =  e Im = [-3; ) 24) D =  e Im = [-3; ) 25) D =  e Im = + 26) D =  e Im = +

(41)

MATEMÁTICA I 41 RELAÇÕES 27) D =  e Im = [-1; ) 28) D =  e Im = [4; ) 29) D =  e Im = [ 2 3  ; ) 30) D =  e Im = [ 3 13 ; ) 31) D =  e Im = [-1; ) 32) D =  e Im = + 33) D =  e Im = [2; ) 34)

(42)

CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO D =  e Im = [-2; 2] 35) D =  e Im = [-1; ) 36) D =  e Im = + 37) D =  e Im = [2; ) 38) a) S



1, 5



b)       _  3 1 , 1 S c)        4 5 S d) S e) S



1, 1, 2, 4



f)        , 2, 3 2 1 , 2 1 S g) S

 

1, 3 39) a)      _ _  4 1 , 2 3 S b)       _  3 1 , 2 S c) S



6, 1, 1, 4



d)        , 1 3 1 , 2 3 S 40) a)        3 1 S b) S c) S



2, 4



d) S



13, 6



e)     _  ; 3 2 S f) _ ; _ 3 4 S 41) a)       __ _ _ _  x 2 3 2 | x S b) S



x|1x2



(43)

MATEMÁTICA I 43 RELAÇÕES c)       __ _ _ _  x 3 3 1 | x S d)        3 4 S e) S



x|x1ou x2



42) a)



x |1 x 2ou3 x 4



S      b)



x |x 2ou 1 x 2ou x 3



S       c)



x |x 1ou2 x 3ou x 6



S      d)



x | 2 x 1ou2 x 5



S       43) (Resolução) Sabendo que             1 x se 1 x 1 x se 1 x 1 x ,

devemos considerar duas situações: 1ª situação: x1 2 x 0 1 x 7 x 2 0 1 x 7 x 2            

Assim, a solução desta primeira parte é



 





x |x 2



2 x | x 1 x | x S₁               2ª situação: x1 8 x 0 1 x 7 x 2 0 1 x 7 x 2            

Logo, temos como S2,



 

 

  





 x |x 1 x |x 8

S₂

Portanto, a solução da inequação proposta será: 2 1 S S S  Ou seja:



x |x 2



S   44) S



x|x3



45) S



x|x5



(44)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 1988.

IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição, 1977.

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