F R m a. Dinâmica dos Sólidos. 1. Introdução:

1

EMENTA

Dinâmica dos sólidos: formulação. Dinâmica dos sólidos em movimento geral.

OBJETIVOS GERAIS

Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, criando no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Estabelecer os conceitos básicos sobre Dinâmica do Sólido.

Estabelecer as leis dinâmicas que regem o movimento de um sólido (movimento de translação, de rotação em torno de eixo fixo, movimento plano e movimento geral). Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos comuns à vida do Engenheiro.

Fornecer ferramentas aos estudantes para o entendimento de disciplinas específicas do curso.

 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Dinâmica dos sólidos

Teorema do Centro de Massa - TCM Teorema do Momento Angular – TMA Teorema de Steiner ou dos eixos paralelos.

Dinâmica dos sólidos em translação

Dinâmica dos sólidos em movimento de rotação Dinâmica dos sólidos em movimento plano Dinâmica dos sólidos em movimento genérico.

Matriz de inércia; momentos de inércia e produtos de inércia.

Dinâmica dos sólidos: formulação matricial para o momento angular.

 BIBLIOGRAFIA Básica

BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994.

HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia.

8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.

KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004.

FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar Blucher, 2005.

GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003

KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher, 2000.

SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley, 2008.

Dinâmica dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.

Dinâmica dos Sólidos

1. Introdução:

A dinâmica dos sólidos consiste do estudo dos movimentos dos sólidos, desconsiderando os efeitos de deformações do mesmo. Um corpo que não sofre deformações, independente de suas forças aplicadas, possui a propriedade que a distância entre quisquer dois pontos pertencentes a ele permanece constante.

2. Efeitos das forças:

Os efeitos das forças dependerão dos fatores:

 ponto de aplicação da força;

 intensidade;

 direção e sentido.

Quando o estudo refere-se a um ponto material, não há influência do ponto de aplicação.

Para um sólido, a troca do ponto de aplicação acarretará alterações no efeito sobre o corpo.

3. Dinâmica:

A escolha do sistema de referência para o estudo e escolhido de forma que o sistema seja inercial, ou seja, que satisfaz a Lei de Newton do Movimento.

3.1. Dinâmica do ponto material.

A segunda Lei de Newton utilizada é:

ext

n i i

F    R m a



3.2. Dinâmica dos sólidos.

Definimos um ponto especial associado ao corpo, não necessariamente pertencente a ele, denominado centro de massa do sólido, CM.

 Centro de massa do sólido, CM:

 Pertence a linhas de simetria de distribuição de massa do sólido.

 Quando há mais de uma linha de simetria, o CM é a interseção dessas linhas.

 Para corpos de dimensões desprezíveis, o centro de massa coincide com o centro de gravidade do corpo CG.

Definimos como centro de massa de um sistema de n partículas de massa mi localizadas em relação a um sistema de coordenadas em (xi , yi, zi):

2

1

1 n

i i i

cm n

i i

m x x

m













1

1 n

i i i

cm n

i i

m y y

m







 







1

1 n

i i i

cm n

i i

m z z

m







 



Para corpos extensos:

corpo cm

corpo

xdm x   dm 



^{cm corpo}

corpo

ydm y

dm









^{cm corpo}

corpo

zdm z 



dm



Definindo o ponto de origem do sistema inercial de I e P a posição da massa dm de um corpo sólido, definimos como vetor de posição:

r   P I

Em geral:

^{I }  ^{0; 0; 0} 

ˆ ˆ ˆ

cm cm cm cm

r  x   i y   j z  k

 Cinemática do centro de massa:

 Velocidade do centro de massa:

ˆ ˆ ˆ

cm cm cm cm

cm cm

dr dx dy dz

v v i j k

dt dt dt dt

       

ˆ ˆ ˆ

cm cm cm

cm

cm cm x y z

v dr v v i v j v k

 dt       

 Aceleração do centro de massa:

ˆ ˆ ˆ

cm cm cm

x y z

cm

cm cm

dv dv dv

a dv a i j k

dt dt dt dt

       

ˆ ˆ ˆ

cm cm cm

cm

cm cm x y z

a dv a a i a j a k

 dt       

Forma da

Superfície Figura

x y

^A

Triângulo

3 h

2 b h 

Quarto de círculo

4 3 r

 4 3 r



2

4

 r

semicírcul o

0

4

3 r



2

2

 r

Quarto de elipse

4 3 a

 4 3 b

 4

 ab

Meia elipse

0 4 3 b

 2

 ab

Semi parábola

4 8

a 3 5

h 2 3 ah

parábola

0

3 5

h 4 3 ah

Arco de parábola

3 3

a 3 10

h 3 ah

Curva

geral 1

2 n a n





1

4 2

n h

n



 1

ah n

Setor

circular 2

3 rsen



0  _r

²

Quarto de Arco

2r

 2r

 2

 r

Semi arco 0

2r

  ^r

Arco

rsen



0 2  r

3

Forma Figura

x

^V

Hemisféri o

3 8

a 2

3

3  a

Semi- elipsóide

de revolução

3 8

h

^{2 2}

3a h

Parabolói de de revolução

3 h

1 2

2a h

Cone

4

h

^{1 2}

3a h

Pirâmide

4 h

¹

3abh

Exemplos:

 Cálculo do centro de massa:

1. Encontre o centróide ou centro de massa CM de um aro circular de raio R e massa M.

M dm r ds

 ^  ^ ds   r d 

M

dm ds

 r

 



0 corpo 1

cm cm

ydm

y y R sen M Rd

M M R



 

   







 

0 cm

y R M Rsen d R M



 



 

 



 

₀

0

cm cm cos

R R

y sen d y

  

  



 







   

 

²

cos cos 0

cm cm

R R

y



y



^{ }



     

2. Mostre que a coordenada x do centróide do exemplo anterior é nula.

3. (pag. 6 Livro Unip) A placa em forma de semi corôa na figura abaixo é plana, homogênea e possui raios R1 e R2. Pedem-se, determinar seu centro de massa.

Tratando em coordenadas polares:

cos

x   r     y r sen 

Como a figura é uniforme, sua densidade de massa

será:

M dm

A dA

    



₂² ₁²

  ²

^{22 12}



2

M M

R R R R

 ^    ^{ }    

dA r dr d    

4

corpo cm

xdm x 



M 

corpo cm

ydm y 



M



2² 1²



dm dA dm 2M dA

R R

 

    

 



2² 1²



2

cm

y M dA

R R

y M

 

 





 

2

1 2

2 2

2 1

2 ^R

cm

R

y M r sen rdrd

R R M





 

  

 

 

 

2

1

2

2

2 2

2 1

2 ^R

cm

R

y sen d r dr

R R





  

  

 

 

2

1 2 3

2 2

2 1

2 cos

3

R cm

R

y r

R R







 

 

     

 

1 1 3 3

2 1

2 2

2 1

2 cos 2 cos

cm 3

R R

y R R  



      

         

  ^{ }

3 3

2 1

2 2

2 1

2 2

cm 3

R R

y



R R

  

     

3 3

2 1

2 2

2 1

4

cm 3

R R y  R R

  

   

cm

0

x   simetria

4. (pag. 8 – Livro Unip) Encontre as coordenadas do centro de massa para a peça do exemplo anterior para raios 2 mm e 3 mm. (0; -1.6mm).

5. (Kraige 5.1) Localize o centróide da figura unidimensional:

R.:

r sen

x 



 

6. (Kraige 5.3) Localize o centróide da figura bimensional:

R.:

0

2 3

r

r sen

x 



 

7. (Kraige – 5.2) Mostre que, para a figura plana homogêna triangular, seu centróide (centro de massa CM) é dado por:

Faça:

dA   x dy

Use semelhança de triângulos:

5 x b

h y  h



0

3 2

h

cm cm

y xdy

y y h

bh



   

x b hx 1 x

h y y h

h y h b b

 

        

  

0 0

1

2 2

b b

cm cm

x ydx x h x dx

x x b

bh bh

 

    

 

    

2

0

2

^b

cm

x x x dx

b b

 

   

 



2 3

0

2

2 3

b cm

x x

x b b

 

   

 

2 3 2 2

2 2 3 2

2 3 6 6

cm cm

b b b b

x x

b b b

   

        

   

cm

3 x  b

8. Localize o centro de massa das figuras. (B.J. Cap.

5).

8.1

8.2

6

Teoria da dinâmica do sólido

http://www.claudio.sartori.nom.br/cinematicaDinamicaSol idos.html

A teoria geral da dinâmica dos sólidos apóia-se em dois teoremas:

 Teorema do centro de massa.

“ A resultante das forças aplicadas ao sólido, e que são de origem externa ao mesmo, é igual ao produto da massa do sólido pela aceleração do centro de massa”.

ext cm

R   m a

 Forças de origem externa: Forças aplicadas em um elemento de massa dm do sólido, por outros corpos que não o próprio sólido. Sua soma é dada por:

 df

_ext

 R

_ext

  m a

_cm

 Forças de origem interna: são aquelas aplicadas num elemento de massa dm so sólido, por outros elementos de massa do mesmo sólido: pelo princícpio de ação e reação, as forças internas aparecem aos pares. A soma de todas as forças internas é nula:

 df

_int

 0

^.

 Definições:

 A cinemática do pólo

A escolha de um pólo, pode ser feita em qualquer ponto do espaço, inclusive pode ser um ponto do sólido em estudo. Caracterizando:

1. O sistema de eixos I(x,y,z) representa um sistema de referência inercial.

2. O ponto P(x,y,z) é um ponto do sólido onde se encontra o elemento de massa dm.

3. O ponto O(xo,yo,zo) é um ponto qualquer, que será adotado como pólo.

Vetor posição de P(x,y,z):

 

r

P

 P  I

Vetor velocidade de P(x,y,z):

 

P

v d P I

 dt 

Vetor aceleração de P(x,y,z):

P P

a dv

 dt

Vetor posição de O(xo,yo,zo):

 

r

O

 O  I

Vetor velocidade de O(xo,yo,zo):

 

O

v d O I

 dt 

Vetor aceleração de O(xo,yo,zo):

O O

a dv

 dt

Observe que:

 ^{P  I}   ^{ O   I}   ^{P O } 

 

P O

r  r  P  O

Derivando:

 

P

dr

O

dr d

dt  dt  dt P O 

 

P O

v v d P O

  dt 

Chamando de velocidade relativa no ponto P em relação ao pólo O:

 

rel P O

v v v d P O

   dt 

 Momento linear:

sól CM

p   v dm  p   m v

 2^a Lei de Newton: Pode ser escrita por:

df dm a df dp

    dt

 

^a

d dm v

dp dv

dt dt dm dt

   

 Momento polar:

Uma força

F

, aplicada no ponto P(x,y,z), tem um momento polar em relação ao polo O(x0, y0, z0) dado por:

 

M

O

 P O   F

M

Oexpressa a capacidade da força

F

, de produzir rotação no sólido em que é aplicada, em torno de um eixo que passa pelo pólo O, e qu tem direção do próprio momento polar

M

O, no sentido definido pela regra da mão direita: mão em P e os dedos se curvam no sentido da rotação .

x,

i ˆ

z,

k ˆ

y,

ˆ j

I

O(xo,yo,zo)

P (x,y,z)

r

P

r

O

y,

ˆ j

z,

k ˆ

x,

i ˆ

O

P

M

O

F



7

 Momento angular:

Seja

dp

o momento linear do elemento de massa dm, que ocupa o ponto P(x,y,z), que se desloca com velocidade

v

. O momento angular desse elemento de massa dm, em relação ao pólo O é dado por:

 

dH

O

 P O   dp

A soma de todos os momentos angulares fornece o total dado por:

H

O

  dH

O

   P O    dp

 Prova do Teorema do Momento Angular:

 

H

O

  P O   dp

     

O

d P O d dm v

dH dm v P O

dt dt dt

 

       

 

O

d P O

v v dt

  

   

O

O

dH dv

v v dm v P O dm dt          dt

 

0

O O

v  v  dm v    v dm v    v dm v 

   

O

O

dH v v dm v P O dm a dt          

   

O

O

dH v v dm v P O R dt         

O

O O

dH v dm v M

dt       

O

O O

dH v v dm M

dt       

O

O CM O

dH v v m M

dt      

O

O O CM

M dH v v m

 dt   



O

O O CM

M dH v v m

 dt   

 Teorema do Momento angular.

“ considera-se que num certo nstante , um sólido com massa m tem seu centro de massa CM deslocando-se com velocidade

v

_CM e seu momento angular

H

_O em relação ao pólo O, possui derivada em relação ao tempo

dH

^O

dt

, enquanto que o pólo apresenta velocidade

v

_O; o momento resultante das forças aplicadas nesse sólido é dado por:

O

O O CM

M dH v m v

 dt   

Dinâmica do movimento de translação

O movimento de translação é caracterizado como aquele em que “ a reta definida por dois pontos do sólido não muda de direção durante o movimento”. Todos os pontos apresentam velocidades e acelerações iguais.

 TCM: Teorema do Centro de Massa.

ext cm

R   m a

 TMA: Teorema do Momento Angular.

Considerando a definição de Momento Angular do sólido:

 

H

O

  P O    v dm

Como todos os elementos de massa dm do sólido apresentam a mesma velocidade:

 

 

H

O

  P O   dm  v

Pela definição de Centro de massa:

 

CM

P O dm CM O r

m

    

Substituindo, teremos:

H

O

  CM  O   v

Adotando-se como pólo, o centro de massa CM:

  ⁰

CM CM

H  CM  CM   v H 

“ O valor do momento angular em relação ao pólo no Centro de Massa CM é constante e igual a zero”.

Do TMA, Teorema do Momento Angular, com pólo no CM – Centro de Massa, tem-se:

0 0

CM

CM CM

M dH M

 dt   

Dinâmica do movimento plano

O movimento plano é aquele o sólido em estudo tem movimentos restritos a um único plano, denominado plano de movimento, restringindo portanto a sólidos planos.

 Cinemática do movimento plano:

Seja

e ˆ

o vetor ortogonal ao plano de movimento.

Lembramos que o vetor velocidade angular e aceleração angular são dados por, respectivamente:

ˆ ˆ

e e

        

Sendo P e Q pontos do sólido, a velocidade de P pode ser obtida a partir da velocidade de Q por:

 

P Q

v  v    P Q 

8

A aceleração do ponto P em termos da aceleração do ponto Q será dada por:

     

P Q

a  a    P Q       P Q 

 Teorema do momento angular aplicado ao movimento plano:

O TMA: Teorema do Momento Angular, exige uma escolha apropriada do pólo. Seja O o pólo fixo, pertencente ao sólido e igual ao CM: O = CM. (CM:

Centro de Massa).

Assim:

O O

M dH

 dt

Se Q coindide com O:

Q Q

M dH

 dt

Considere a definição de momento angular e o pólo Q:

 

Q P

H   P Q   dm v 

     

Q Q

H   P Q   dm v     P Q 

     

Q Q

H   P Q    v dm   P Q     P Q dm  

Pela definição de Centro de Massa CM:

 ^{P Q dm }  ^{ }  ^{CM  P m}  ^

  

 

   

Q Q

CM Q m

H P Q dm v P Q  P Q dm

 

               

     

Q Q

H  CM  Q    v m  P Q     P Q dm  

Se Q é fixo:

v

_Q

 0

Aplicando a regra:

  ^{ }  

a   b c  a c   b a b  c

Para:

a        P Q b  c P Q

 ^{P Q }  ^{ } _ ^{ }  ^{P Q }   ^ _ ^{ P Q }   ^{P Q }  ^{  }

 

 ^{P Q  }  ^{  P Q  }

Como:

 ^{P Q }   ^{P Q }  ^{ P Q }

^{2 e}

 ^{P Q }  ^{ }  ^{P Q }  ^{ }

(vetores perpendiculares!)

 

⁰

 

²

HQ  CMQ   m



PQ dm



 

²

H

Q

 ^   P Q   dm ^   

 Momento de Inércia:

Denominamos de momento de inércia IQ:

 

²

IQ 



PQ dm

O momento de inércia expressa fisicamente a inércia de rotação do sólido, quando acelerado em movimento de rotação em torno do eixo ortogonal ao plano do moviemnto que passa pelo pólo Q. O momento de Inércia de um elemento de massa de um sólido, é expresso pelo produto entre a massa do elemento, e o quadrado da distância entre o ponto P, que contém o elemento de massa dm e o pólo Q.

Logo:

H

Q

 ^    P Q  

²

 dm ^   

Q Q

H  I  

Tomando-se a derivada em relação ao tempo:

 

^Q

Q Q Q

d d dI d

H I I

dt dt dt dt

  

     

 

0 P Q cte

Q

Q Q

d dI d

H I

dt dt dt



 

 

   

Q Q

d H I dt   

Q Q Q

d H M I

dt    

 Raio de Giração

Sendo IO o momento de inércia de um sólido de massa m, em relação ao eixo que passa pelo pólo O. O raio de giração k, do sólido em relação a esse eixo é dado por:

I

O

k  m

Dinamica do moviemnto plano: Resumo:

TCM: Teorema do centro de massa:

ext CM

R   m a

TMA: Teorema do momento angular:

Q Q

M  I  

Sendo:

 

²

IQ 



PQ dm Pólo Q pertencente ao sólido;

Pólo Q fixo (vQ = 0) Pólo Q = CM.

9

 Momento de inércia de figuras:

 Teorema dos eixos paralelos (Teorema de Steiner)

2

P CM

I  I   M d

 Cálculos de momento de inércia.

Quando um corpo rígido não pode ser representado por massas puntiformes, podemos escrever a relação integral:

2 corpo

I   r dm

Dependendo de como a massa está distribuída, podemos definir as densidades:

Densidade Símbolo Definição Unidade

Linear 

M

  L kg m

Superficial 

M

  A kg

₂

m

Volumétrica 

M

  V kg

₃

m

Para o caso unidimensional, podemos definir:

dm dm dl

  dl    

2 corpo

I   r   dl

Para corpos bi e tridimensionais, veja a tabela a seguir.

Tabela - Definições de Momentos, Momentos de inércia e centro de massa.

Corpos Bidimensionais (Figuras Planas)

Corpos tridimensionais

Centro de Massa

) , ( x

_m

y

_m

) , , (x_m y_m z_m

R m

R

x dA x

dA













R m

R

x dV x

dV













R m

R

y dA y

dA













R m

R

y dV y

dV













R m

R

z dV z

dV













Momentos

Lâmina Sólido

m x

M

_y

 M

_xy

 z m m

y

M

_x

 M

_xz

 y m m x M

_yz



Momentos de Inércia

Figuras Planas Corpos Tridimensionais

Ix

2 R

y  dA



^{( 2 2)}

R

y z dV



Iy

2 R

x  dA



^{( 2 2)}

R

x z dV



Io, Iz

2 2

( )

R

x y dA



( ^{2 2})

R

y x dV



10

 Exemplo 1 – Barra delgada uniforme, eixo ortogonal ao seu comprimento. A figura mostra uma barra ou vara delgada uniforme de massa M e comprimento L.

Determine seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto O, a uma distância arbitrária h de uma de suas extremidades.

 Solução:

Escolhendo um elemento de massa de uma seção reta da barra com comprimento dx situado a uma distância x do ponto O. Assim, se a densidade linear é uniforme:

dm M M

dm dx

dx L L

     

2 corpo

I   r dm

2 2

L h L h

h h

M M

I x dx I x dx

L L

 

 

      

3

3

x L h

x h

I M x L

 



 



^{2 2}



1 3 3

I  3 M L  L h   h

o Se o eixo passar pela extremidade esquerda: h = 0:

1

2

I  3 M L 

o Se o eixo passar pela extremidade direita: h = L:

1

2

I  3 M L 

o Se o eixo passar pelo centro: h=L/2:

1

2

I  12 M L 

 Exemplo 2 – Cilindro maciço ou oco girando em torno de seu eixo. A figura mostra um cilindro oco e uniforme com comprimento L, raio interno R1 e externo R2 e massa M.

Calcule o momento de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro.

 Solução:

 ² 

dm   dV  dm       r L dr

2 corpo

I   r dm

 

2

1

2

2

R

R

I   r      r L dr

2

1

2

3 R

R

I    L r dr 



^{24 14}



4

I   L R R

 

 Exemplo 3 – Esfera homogênea de raio R e eixo passando pelo centro. A esfera abaixo poderia ser uma bola de bilhar. Determine seu momento de inércia.

 Solução:

r  R

²

 x

²



²



dm   dV  dm      r dx

2 corpo

I   r dm



^{2 2}



dm      R  x  dx

Para um disco:

1

2

dI  2 r dm



^{2 2}



²

^

^{2 2}

^

1

dI  2 R  x     R  x  dx



^{2 2}



²

dI    2   R  x  dx



^{2 2}



²

0

2 2

R

I  ^      R  x  dx ^ 

  

5 5

8 8

15 15

I   R   I  R 

4 3

3

M M

V R

 

     ³

3 4

M

 R

 

5 3

8 3

15 4

I R M

R



   2

²

I 5 M R

  

11

 Exercícios

1. (Beer Johnston pg. 1033 16.1) Uma Van a 30 ft/s aciona os freios, impedindo a rotação das rodas e pára após percorrer 20 ft. Determine a força normal e a de atrito em cada roda. Dado: g = 32.2 ft/s².

 Solução:

Aceleração da Van:

2

2 2 0

0

2

2 v v a s a v

       s



2

2

30 22.5

2 20

^CM

a a ft

     s 



exti R

i

F   m a



A B

0

N  N   W

A B

N N m a

 

     

A B

W  N  N

 N

A

N

B

 m a



    

W m a



    m g m a a

  g

       

22.5 0.699

   ^ 32.2   

iA

n

F R

i

M  M



12 5 4

N

B

      W m a

32.2

12 5 22.5 4 12 2.795 5

B B

N W W N W W

    g         12N_B7.795WN_B0.65W

0.65 0.35

A B A A

W  N  N   W N    W N   W

0.35 0.699

0.245

A A

AT k A AT

W

F  N F W



    

0.65 0.699

0.454

B B

AT k B AT

W

F  N F W



    

0.65

0.325 2

W B

Frente Frente

N  N  N   W

0.35

0.175 2

W A

Tras Tras

N  N  N   W

0.245

0.122 2

A

Tras Tras

W AT

AT AT

F  F  F   W

0.454

0.227 2

B

Frente Frente

W AT

AT AT

F F F W



   

2. (Unip 2.01 pag. 22) – Um dico de massa m = 5 kg, raior R = 0.15 m, apóia-se em uma superfície horizontal rugosa, com coeficiente de atrito  = 0.4. Uma força F, aplicada à altura h, faz com que o disco translade apoiado na superfície horizontal, com aceleração a = 2 m/s². Pedem-se:

(a) a intensidade da força F;

(b) a altura h.

 Teorema do Centro de Massa: TCM:

0 F F

at

m a

N P

  

   



F N m a N P



   

  



F       m g m a

0.4 5 10 5 2 F         m g m a F    

30 F  N

TMA:

0

CM F FAT

M  M  M 



30 0.15 20

Fat

0 F    R  h    F   R

 

4.5 30 3 1.5 0.05

h h 30 h m

     

R

F

h

R

F N

h

x y

F

at

CM

P

12

3. (Unip – pag. 24) – A figura mostra um veículo com massa 200 kg e tração traseira, do qual removeu-se um par de rodas. Indignado com a brincadeira, seu motorista parte do repouso e mantém o veículo movendo-se por um período de tempo significativo, conforme ilustrado. As dimensões são d1= 1.3 m; d2 = 0.4 m e h = 1.6 m. Pedem-se:

(a) a aceleração do centro de massa;

(b) a força de atrito.

Forças agentes:

 TCM: Teorema do centro de massa:

200 10

200

0 2000

at at

f m a f a

N P N P N



    

      



 TMA: Teorema do Momento angular: pólo: CM.

2

800

2000 0.4

N N

M N d M



      

at at

1.6

F at F at

M  F h   M  F 

O peso tem momento nulo pois tem linha de ação passando pelo pólo.

Assim:

0 1.6 800 0

Fat N at

M  M   F   

500

800 1.6

N

F

at



2

500 2.5

200 200

F

at

m

a a a

     s

4. (Unip pag. 25 – 2.03) – A figura ilustra um bloco de granito de massa m = 800 kg, de altura H = 4 m, largura L = 2 m, que encontra-se apoiado em uma superfície horizontal, com coeficiente de atrito  = 0.3. Uma força F horizontal, com linha de ação, distante h = 3 m do solo, aciona o bloco fazendo- o deslizar, sem tombar. Para a condição de máxima aceleração, pedem-se:

(a) a força F;

(b) a máxima aceleração.

 TCM: Teorema do centro de massa:

80 10

800

0 800

at at

F f m a F f a

N P N P N



      

      



 TMA: Teorema do Momento angular: pólo: CM.

 

1

2 1

N N

M N L x M N x

 

 

          

 

4

2

2

at at

F at F at

M   F   h M   F  H

 ² 

F

2

F

M    F   h  H    M     F h

 

O peso tem momento nulo pois tem linha de ação passando pelo pólo. O atrito é cinético:

2400

0.3 8000

at at

N

F     N F  

 ^{F  2400 800   a}

Assim:

 

0 2 1 0

Fat N F at

M  M  M    F     N x   F

   

2400 2 8000 1 x 2400 800 a 0

        

Quando a força F chegar ao máximo, o bloco fica na iminência de tombar; o granito apóia-se em sua aresta, e desta forma pode-se garantir que a normal tem sua linha de ação passando pela mesma. Assim, x = 0;

   

4800 8000 1 0 2400 800 a 0

       

13 4800 8000 2400 800 a 0

     

2

800 1

800

a a m

   s

1

2400 800 3200

F a F N

     

 

5. (Unip pag. 28 – 2.04) – A figura mostra um caminhão que desloca-se em movimento reto e uniforme, transportando uma carga de massa m = 350 kg, que se apóia na carroceria. O coeficiente de atrito entre a carga e a carroceria é

 = 0.30. As dimensões indicadas, são: d = 0.3 m e h = 0.6 m.

Num certo instante, o caminhão freia mantendo desaceleração uniforme, nessas condições, pedem-se:

(a) a desaceleração do caminhão que produz escorregamento da carga;

(b) a desaceleração do caminhão que produz tombamento da carga.

 TCM: Teorema do centro de massa:

350 10

350

0 3500

at at

f m a f a

N P N P N



    

      



 TMA: Teorema do Momento angular: pólo: CM.

 

0.3

3500 0.3

N N

M N  d x  M x

        

 

at at

0.6

F at F at

M     F h M    F

O peso tem momento nulo pois tem linha de ação passando pelo pólo.

Assim, na iminência de tombar, x = 0.

0

0 3500 0.3 0.6

Fat N at

M M  x F

      

1750

1050 0.6 0 1050

0.6

N

at at

F F

    

0.3 3500

0  F

_at

   N   0 F

_at

 1050

Como a força de atrito máxima permitida é inferior ao valor calculado, há uma impossibilidade física; ou seja, o bloco nunca tombará...

5. (Beer Johnston 5 Ed. Pag. 549) – A placa ABCD de 8.00 kg está sustentada pelas barras articuladas AE e DF e pelo fio BH. Desprezando-se as massas AE e DF, determinar imediatamente após o corte de BH: (a) a aceleração do centro de massa da placa; (b) a força em cada barra.

 Equações de movimento:

 Aceleração do centro de massa:

cos 30

t cm cm

F m a P m a

        

cos30

_cm

m g      m a

2

2 9.81

30 8.5 60

cm cm

m s

a g cos a m

     s   ⦫

 Forças nas barras AE e DF:

n

30

F P sen

    

AE DF

30

F  F   P sen 

⤹   M

_G

 0



FAEsen³⁰ 



²⁵⁰



FAE^{cos 30} 



¹⁰⁰



FDFsen³⁰ 



²⁵⁰



FDF^{cos 30} 



¹⁰⁰⁰