NOTA DE AULA
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
VETORES
01 INTRODUÇÃO
Em Física, há duas categorias de grandezas: as escalares e as vetoriais. As primeiras caracterizam-se apenas pelo valor numérico, acompanhado da unidade de medida. Já as segundas requerem um valor numérico (sem sinal), denominado módulo ou intensidade, acompanhado da respectiva unidade de medida e de uma orientação, isto é, uma direção e um sentido.
Na figura abaixo, o comprimento = 4,75cm medido por uma régua milimetrada é uma grandeza escalar, já que fica totalmente determinado pelo valor numérico (4,75) acompanhado da unidade de medida (cm).
FIGURA 1 Régua milimetrada.
São também escalares as grandezas: área, massa, tempo, energia, potência, densidade, pressão, temperatura, carga elétrica e tensão elétrica, dentre outras.
Agora, observe, na figura abaixo, que o deslocamento sofrido pelo carro ao movimentar-se de P até Q é uma grandeza vetorial, caracterizada por um módulo (10 m), uma direção (leste-oeste) e um sentido (de oeste para leste).
FIGURA 2 Deslocamento sofrido por um carro.
São também vetoriais as grandezas: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento (ou momento linear), vetor campo elétrico e vetor indução magnética, dentre outras.
Atenção: não confunda direção com sentido, pois são conceitos diferentes. Uma reta define uma direção. A essa direção podemos associar dois sentidos.
Na figura seguinte, os carros A e B percorrem uma mesma avenida retilínea e vão se cruzar. Suas velocidades têm a mesma direção, mas sentidos opostos.
FIGURA 3 Carros A e B na mesma direção, mas sentidos opostos.
02 VETOR
Um vetor pode ser esboçado graficamente por um segmento de reta orientado (seta), como mostrado na figura a seguir:
O comprimento do segmento orientado está associado ao módulo do vetor, a reta suporte r fornece a direção e a orientação (ponta aguçada do segmento) evidencia o sentido.
FIGURA 5 Placas indicativas informando sobre direção e sentido.
Nas placas indicativas existentes nas cidades, o motorista obtém informações sobre direção e sentido a serem seguidos para chegar a um determinado destino. Essas informações se referem às grandezas vetoriais deslocamento e velocidade do veículo.
Até este capítulo, velocidade e aceleração foram tratadas com caráter escalar, isto é, não nos preocupamos com a natureza vetorial dessas grandezas, mas apenas com seus valores algébricos. Note que essa é uma simplificação conveniente e permitida quando as trajetórias são previamente conhecidas. Insistimos, entretanto, que ambas são grandezas vetoriais, cabendo-lhes, além do módulo ou intensidade, uma direção e um sentido.
Podemos definir vetor como um ente matemático constituído de um módulo, uma direção e um sentido, utilizado em Física para representar as grandezas vetoriais.
FIGURA 6 Características de um vetor.
No exemplo da figura a seguir, um homem está empurrando um bloco horizontalmente para a direita, aplicando sobre ele uma força de intensidade 200 N (N = newton, a unidade de força no SI).
FIGURA 7 Homem empurrando um bloco.
A força de 200 N que o homem aplica no bloco (grandeza física vetorial) está representada pelo segmento de reta orientado, de comprimento 5,0 unidades, em que cada unidade de comprimento equivale a 40 N.
A notação de um vetor é feita geralmente se utilizando uma letra sobreposta por uma pequena seta, como, por exemplo, a, b, V, F ou em NEGRITO.
Outra notação também comum é obtida nomeando-se com letras maiúsculas as extremidades do segmento orientado que representa o vetor.
Nessa notação, faz-se sempre a letra que nomeia a ponta aguçada da seta menos a letra que nomeia a extremidade oposta (ou "origem"): a = B -A.
03 SOMA E DIFERENÇA DE VETORES
Os cálculos envolvendo uma grandeza escalar são feitos pelas operações aritméticas usuais. Por exemplo, 6 kg + 3 kg = 9 kg ou 4 x 2 s = 8 s. Contudo, os cálculos que envolvem vetores necessitam de operações específicas.
Para entender mais de vetores e as operações com eles envolvidas, começaremos com uma grandeza vetorial muito simples, o deslocamento. O deslocamento é simplesmente a variação da posição de um ponto. (O ponto pode representar uma partícula ou um objeto pequeno.) Na figura 9a, representamos a variação da posição de um ponto P1
ao ponto P2 por uma linha reta unindo estes pontos, com a ponta da flecha apontando para P2 para representar o
sentido do deslocamento. O deslocamento é uma grandeza vetorial, porque devemos especificar não só a distância percorrida como também a direção e o sentido do deslocamento. Caminhar 3 km do sul para o norte leva a um local completamente diferente de uma caminhada de 3 km para o sudeste. Estes dois deslocamentos possuem o mesmo módulo, mas direções e sentidos diferentes.
Vamos representar a grandeza vetorial por uma única letra, tal como a letra A , que indica o deslocamento na figura 9a. Neste curso sempre designaremos uma grandeza vetorial por um tipo normal e com uma flecha sobre a letra. Fazemos isto para você lembrar que uma grandeza vetorial possui propriedades diferentes das grandezas escalares; a flecha serve para lembrar que uma grandeza vetorial possui direção e sentido. Se você não fizer esta distinção na notação entre uma grandeza vetorial e uma grandeza escalar, poderá ocorrer também uma confusão na sua maneira de pensar.
O comprimento do segmento fornece o módulo do vetor, a direção é indicada pelo segmento da reta e o sentido é indicado pela seta. O deslocamento é sempre dado por um segmento de reta que fornece o módulo que liga o ponto inicial ao ponto final da trajetória, mesmo no caso de uma trajetória curva. Na figura 9b, a partícula se deslocou ao longo de uma trajetória curva do ponto P1 ao ponto P2, porém o deslocamento é dado pelo mesmo vetor A . Note
que o vetor deslocamento não é associado com a distância total da trajetória descrita. Caso a partícula continuasse a se deslocar até o ponto P3 e depois retornasse ao ponto P1, seu deslocamento na trajetória fechada seria igual a zero.
FIGURA 9 (a) O vetor A é o deslocamento do ponto P 1 ao ponto P2. (b)
O deslocamento é um vetor cuja direção é sempre traçada do ponto inicial até o ponto final, mesmo no caso de uma trajetória curva. Quando o ponto final da trajetória coincide com o ponto inicial, o deslocamento é igual a zero.
Vetores paralelos são aqueles que possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Se dois vetores possuem o mesmo módulo e a mesma direção e sentido eles são iguais, independentemente do local onde se encontram no espaço. Na figura 10 o vetor A que liga o ponto P 1 ao ponto P2 possui o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo
sentido do vetor A ' que liga o ponto P 3 com o ponto P4. Estes dois deslocamentos são iguais, embora eles comecem em
pontos diferentes. Na figura 10, vemos que A = A '. Duas grandezas vetoriais são iguais somente quando elas possuem o mesmo módulo e a mesma direção e sentido.
Contudo, o vetor B na figura 10 não é igual a A , porque possui sentido contrário ao do deslocamento A . Definimos um vetor negativo como um vetor que possui mesmo módulo e direção do vetor dado, mas possui sentido contrário ao sentido deste vetor. O vetor negativo de um vetor A é designado por - A , onde usamos um sinal negativo em negrito para enfatizar sua natureza vetorial. Caso A seja um vetor de 87 m apontando do norte para o sul, então -A será um vetor de 87 m apontando do sul para o norte. Logo, a relação entre o vetor A e o vetor B na figura 10 pode ser escrita como A = -B ou B = -A . Quando dois vetores A e B possuem a mesma direção, mas sentidos contrários, possuindo ou não o mesmo módulo, dizemos que eles são antiparalelos.
FIGURA 10 O deslocamento de P3 até P4 é igual ao
deslocamento de P1 até P2. O deslocamento B de P5
até P6 possui o mesmo módulo de A e de A ',
porém seu sentido é oposto; o deslocamento B é um vetor igual e contrário ao vetor A .
Normalmente representamos o módulo de uma grandeza vetorial (o comprimento, no caso do vetor deslocamento) usando a mesma letra do vetor, porém sem a pequena seta. O uso de barras verticais laterais é uma notação alternativa para o módulo de um vetor:
(Módulo de A ) = A = l A l. [1 .2]
Por definição, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar (um número), sendo sempre positivo. Note que um vetor nunca pode ser igual a um escalar porque eles representam grandezas diferentes. A expressão "A = 6 m" é tão errada quanto dizer "2 laranjas = 3 maçãs"!
3.1 SOMA DE VETORES
Muitas vezes, encontra-se em vários problemas não somente um vetor, mas dois ou mais vetores. Para se saber o efeito total combinado destes dois vetores, é necessário obter o vetor resultante, ou seja, somá-los para obter um vetor cujo efeito seja igual ao efeito combinado de todos os vetores do problema.
Pode-se obter o vetor resultante através de métodos gráficos (desenhos) e de métodos analíticos (cálculo). Graficamente, têm-se dois processos: o método do paralelogramo, indicado para soma de dois vetores e o método geométrico, indicado para soma de vários vetores. A seguir, são apresentados os dois métodos:
3.1.1) Regra do polígono
Considere os vetores a, b, c, d e e representados abaixo.
FIGURA 11 Vetores a, b, c, d e e
Como podemos obter o vetor soma (ou resultante) s , dado por s =a b + c d + e ?
Para responder a essa questão, faremos outra figura associando sequencialmente os segmentos orientados - representativos dos vetores parcelas -, de modo que a "origem" de um coincida com a ponta aguçada do que lhe antecede. Na construção dessa figura, devemos preservar as características de cada vetor: módulo, direção e sentido. De acordo com a figura a seguir, o que se obtém é uma linha segmentada, denominada linha poligonal.
FIGURA 12 Soma dos Vetores a, b, c, d e e pela regra do polígono.
Então, temos que:
a = B - A; b = C - B; c = D - C; d = E - D e e = F - E. Logo:
s =(B-A) + (C-B) + (D-C) + (E-D) + (F-E) Assim: s = F - A
Na figura abaixo, está ilustrado o vetor resultante s . O segmento orientado que representa s sempre fecha o polígono e sua ponta aguçada coincide com a ponta aguçada do segmento orientado que representa o último vetor parcela.
FIGURA 13 Resultado da Soma dos vetores a, b, c, d e e
pela regra do polígono.
A esse método de adição de vetores damos o nome de regra do polígono. Notas:
•Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores parcelas não altera o vetor soma. a b c d e b e d a c
•Se a linha poligonal dos vetores parcelas for fechada, então o vetor soma será nulo, como ocorre no caso da soma dos vetores a, b e c da figura abaixo:
FIGURA 14 Resultado da Soma dos Vetores a, b e c pela regra do polígono.
s =a b c 0
3.1.2) Regra do paralelogramo
Considere os vetores a e b representados na figura 15.1. Admitamos que seus segmentos orientados representativos tenham "origens" coincidentes no ponto O e que o ângulo formado entre eles seja θ.
Na figura 2, está feita a adição a bpela regra do polígono.
FIGURA 15 Soma dos Vetores a e b e seu resultado pela regra do paralelogramo.
Observe que o segmento orientado representativo do vetor resultante s nada mais é que a diagonal do paralelogramo formado.
Assim, dados dois vetores, é sempre possível obter-se graficamente o vetor soma (resultante) pela regra do paralelogramo: fazemos com que os segmentos orientados representativos dos vetores tenham "origens" coincidentes; da ponta aguçada do segmento orientado que representa um dos vetores, traçamos uma paralela ao segmento
orientado que representa o outro vetor e vice-versa; o segmento orientado representativo do vetor resultante é a diagonal do paralelogramo obtido.
Retomando a figura anterior, em que aparece a soma a bdada pela regra do paralelogramo, temos que o módulo do vetor soma (resultante) s pode ser obtido aplicando-se uma importante relação matemática denominada Lei dos cossenos ao triângulo formado pelos segmentos orientados representativos de a, b e s .
Sendo a o módulo de a , b o módulo de b e s o módulo de s , temos: s2 = a2 + b2 - 2ab cos(180°- θ) Mas: cos(180°- θ) =-cosθ Assim: s2 = a2 + b2 + 2ab cosθ [1] Casos particulares
I. a e b têm a mesma direção e o mesmo sentido:
Neste caso, θ = 0°; então, cos0° = 1. s2 = a2 + b2 + 2ab => s2 = (a + b)2
s = a + b [2]
II. a e btêm a mesma direção e sentidos opostos:
Neste caso, θ = 180°; então, cos180° = -1. s2 = a2 + b2 – 2ab => s2 = (a - b)2
s = a – b [3] III. a e bsão perpendiculares entre si:
Neste caso, θ = 90°; então, cos90° = 0. s2 = a2 + b2 [4]
3.2 DIFERENÇA DE VETORES
A diferença vetorial nada mais é do que um caso especial da soma vetorial. Efetuar a diferença vetorial entre dois vetores A e B significa realizar a soma do vetor A com o oposto do outro vetor B . Sendo que o oposto do vetor B é um vetor idêntico ao vetor original, porém com sentido contrário.
FIGURA 16 Vetores opostos.
Por se tratar de um caso especial da soma vetorial, todas as considerações feitas para soma também valem para diferença vetorial, e os métodos de obtenção do vetor diferença Dsão os mesmos processos de obtenção do vetor resultante ou vetor soma. Veja o exemplo com o método geométrico:
FIGURA 17 Diferença dos vetoresA e B .
04 COMPONENTES DE UM VETOR E VETORES UNITÁRIOS
O método geométrico de adicionar vetores não é o procedimento recomendado em situações que requerem grande precisão, ou em problemas tridimensionais, pois somos forçados a desenhá-los em um papel bidimensional. Nesta seção descrevemos um método de adicionar vetores que utiliza as projeções de um vetor ao longo dos eixos de um sistema de coordenadas retangular.
Considere um vetor A no plano xy fazendo um ângulo arbitrário θ com o eixo x positivo, como na figura 18a. O vetor A pode ser representado por suas componentes retangulares, A x e Ay. A componente Ax representa a projeção de
A ao longo do eixo x, e Ay representa a projeção de A ao longo do eixo y. As componentes de um vetor, que são
grandezas escalares, podem ser positivas ou negativas. Por exemplo, na figura 18a, Ax e Ay são ambas positivas. O valor
absoluto das componentes são os módulos dos vetores componentes associados Ax e Ay.
FIGURA 18 (a) Um vetor A no plano xy pode ser representado por seus vetores componentes A x e Ay. (b) O vetor
componente y, Ayˆj, pode ser movido para a direita de tal forma que ele seja adicionado a Ax. O vetor soma dos vetores
componentes é A . Esses três vetores formam um triângulo retângulo.
A figura 18b mostra novamente os vetores componentes, mas com o vetor componente y deslocado de tal forma que ele seja adicionado vetorialmente ao vetor componente x. Esse diagrama nos mostra dois aspectos importantes. Em primeiro lugar, um vetor é igual à soma de seus vetores componentes. Assim, a combinação dos vetores componentes é um substituto válido para o vetor real. O segundo aspecto é que o vetor e seus vetores componentes formam um triângulo retângulo. Assim, podemos deixar o triângulo ser um modelo para o vetor e
podemos usar a trigonometria de triângulos retângulos para analisar o vetor. Os catetos do triângulo têm comprimentos proporcionais às componentes (dependendo de qual fator de escala foi escolhido), e a hipotenusa tem um comprimento proporcional ao módulo do vetor.
Da figura 18b e da definição do seno e do co-seno de um ângulo, vemos que cos θ = Ax/A e sen θ = Ay/A.
Portanto, as componentes de A são dadas por Ax = A cos θ e Ay = A sen θ [5]
É importante notar que ao utilizar essas equações componentes, θ tem de ser medido em sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. De nosso triângulo, segue-se que o módulo de A e sua direção estão relacionados com suas componentes por meio do teorema de Pitágoras e da definição da função tangente:
A2 = A
x2 + Ay2 [6]
tg θ = Ay/Ax [7]
Para obter θ, podemos escrever θ = tg-1 (A
y/Ax), que é lida "θ" é igual ao ângulo cuja tangente é a razão Ay/Ax.
Observe que os sinais das componentes Ax e Ay dependem do ângulo θ. Por exemplo, sen θ = 120°, Ax é negativa e Ay é
positiva. Por outro lado, se θ = 225°, tanto Ax quanto Ay são negativas.
Se você escolher eixos de referência ou um ângulo diferentes daqueles mostrados na figura 18, as componentes do vetor têm de ser modificadas de acordo com isso. Em muitas aplicações é mais conveniente expressar as componentes de um vetor em um sistema de coordenadas tendo eixos que não são horizontais e verticais, mas que ainda são perpendiculares entre si. Suponha que um vetor B faça um ângulo θ, com o eixo x' definido na figura 19.
FIGURA 19 As componentes do vetor B em um sistema de coordenadas que está inclinado.
As componentes de B ao longo desses eixos são dadas por B x’ = B cos θ’ e por By = B sen θ’, como na Equação
(5). O módulo e a direção de B são obtidos das expressões equivalentes às Equações (6) e (7). Assim, podemos expressar as componentes de um vetor em qualquer sistema de coordenadas que seja conveniente para uma situação particular.
Grandezas vetoriais são expressas frequentemente em termos dos vetores unitários. Um vetor unitário é um vetor sem dimensões com módulo unitário e é usado para especificar uma direção. Os vetores unitários não têm outro significado físico. São usados simplesmente como conveniência prática ao descrever-se uma direção no espaço. Os vetores unitários fornecem uma notação conveniente para cálculos que envolvem os componentes de vetores. Sempre usaremos acento circunflexo ou "chapéu" (^) para simbolizar um vetor unitário e distingui-lo de um vetor comum cujo módulo pode ser igual a 1 ou diferente de 1.
Usaremos os símbolos ˆ ˆi, j e kˆ para representar vetores unitários apontando nas direções x, y e z, respectivamente. Assim, os vetores unitários ˆ ˆi, j e kˆformam um conjunto de vetores mutuamente perpendiculares, como mostrado na figura 20a, onde o módulo de cada vetor unitário é igual a um; isto é, lˆil = lˆjl = l ˆk l = 1.
FIGURA 20 (a) Os vetores unitários ˆ ˆi, j e kˆ estão direcionados ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente, (b) Um vetor A no plano xy tem vetores componentes Ax e Ay onde Ax e Ay são as
componentes de A .
Considere um vetor A no plano xy, como na figura 20b. O produto da componente A x com o vetor unitário ˆi é
magnitude Ay paralelo ao eixo y. Ao utilizar a forma unitária de um vetor, estamos simplesmente multiplicando um vetor
(o vetor unidade) por um escalar (a componente). Assim, a notação de vetor unitário para o vetor A é escrita
xˆ yˆ
A A i A j [8]
Suponha agora que você deseje adicionar o vetor B ao vetor A , onde B tem componentes B x e By. O
procedimento para realizar essa soma é simplesmente adicionar as componentes x e y separadamente. O vetor resultante R A B é, portanto,
x x ˆ y y ˆ R A B i + A B j [9]Assim, as componentes do vetor resultante são dadas por Rx = Ax+ Bx
Ry = Ay+ By [10]
O módulo de R e o ângulo que ele faz com o eixo x podem então ser obtidos de suas componentes utilizando as relações 2 2 2 2 2 x y x x y y R R R (A B ) (A B ) [11] y y y x x x R A B tg R A B [12]
O procedimento que acabamos de descrever para adicionar dois vetores A e B utilizando o método de componente pode ser checado usando-se um diagrama como a figura 21.
A extensão desses métodos para vetores tridimensionais é direta. Se A e B têm componentes x, y e z, expressamos os vetores na forma
x y z x y z ˆ ˆ ˆ A A i A j A k ˆ ˆ ˆ B B i B j B k A soma de A e B é
x x ˆ y y ˆ z z ˆ R A B A B i A B j (A B )k [13]O mesmo procedimento pode ser usado para adicionar três ou mais vetores. Se um vetor R tem componentes x, y e z, o módulo do vetor é
2 2 2 2
x y z
R R R R
O ângulo θ que R faz com o eixo x é dado por x
x
R cos
R
com expressões similares para os ângulos em relação aos eixos y e z.
FIGURA 21 Uma construção geométrica mostrando a relação entre as componentes da resultante R de dois vetores e as componentes individuais.
05 PRODUTOSDEVETORES
Podemos escrever concisamente muitas outras relações entre grandezas físicas usando produtos de vetores. Os vetores não são números comuns, de modo que o produto comum não é diretamente aplicado para vetores. Vamos definir três tipos de produtos usando vetores. O primeiro será denominado produto de um escalar por um vetor dando como resultado um novo vetor. O segundo será o produto de dois vetores denominado produto escalar, fornece um resultado que é uma grandeza escalar. O terceiro, também será o produto de dois vetores, denominado produto vetorial, fornece outra grandeza vetorial.
O produto de um escalar e por um vetor A é um novo vetor com as seguintes características: Módulo: eA
Direção: a mesma de A
Sentido: depende do sinal de e: e > 0: mesmo sentido de A e < 0: sentido oposto de A .
Para dividir A por e , basta multiplicar A por (1/e) .
Na figura abaixo mostramos o resultado do produto de um escalar e por um vetor A com e = 3 e e = -3.
FIGURA 22 Produto de um escalar e por um vetor A
5.2 PRODUTO ESCALAR
O produto escalar de dois vetores A e B é designado por A B
Para definir o produto escalar A B de dois vetores A e B , desenhamos o início destes vetores no mesmo ponto (figura 23a). O ângulo entre os vetores é designado por como indicado: o ângulo está sempre compreendido entre 0o e 180°. A figura 23b mostra a projeção do vetor B na direção de A ; esta projeção é dada por Bcos e corresponde
ao componente de B paralelo ao vetor A. (Podemos obter componentes ao longo de qualquer direção conveniente e não somente nas direções dos eixos Ox e Oy.)
FIGURA 23 (a) Dois vetores desenhados a partir de um mesmo ponto para definir o produto escalar A B = AB cos. (b) B cos é o componente de B paralelo ao vetor A e A B é o produto deste componente pelo módulo de A. (c) A B é também o produto do módulo de B pelo componente de A paralelo ao vetor B.
Definimos A B como sendo o módulo de A multiplicado pelo componente de B paralelo ao vetor A . Ou seja, A B = AB cos = lA l.lB l cos (definição do produto escalar), [14]
onde está compreendido entre 0° e 180°.
Como alternativa, podemos definir A B como o produto do módulo de B multiplicado pelo componente de A na direção do vetor B, como indicado na figura 23c. Logo, A B = BA cos = lBl. lA l cos, confirmando as Equações (14).
O produto escalar é uma grandeza escalar, não é um vetor, possuindo um valor positivo, negativo ou nulo. Quando está compreendido entre 0° e 90°, o produto escalar é positivo. Quando está compreendido entre 90° e 180°, o produto escalar é negativo. Desenhe um diagrama análogo ao da figura 23 porém com compreendido entre 90° e 180°, para você se convencer de que nesse caso o componente de B na direção do vetor A é negativo, do mesmo modo que o componente de A na direção do vetor B. Finalmente, quando = 90°, A B 0 . O produto escalar de dois vetores ortogonais é sempre igual a zero.
Para dois vetores arbitrários, A e B , ABcos = BAcos. Isto significa que A B B A . O produto escalar obedece à lei comutativa da multiplicação; a ordem dos dois vetores não importa.
Usaremos o produto escalar no capítulo de Trabalho e Energia para definir o trabalho realizado por uma força. Quando uma força constante F é aplicada a um corpo, que sofre um deslocamento s , o trabalho W (uma grandeza escalar) realizado por esta força é dado por
W F s .
O trabalho realizado por uma força é positivo quando o ângulo entre F e s estiver compreendido entre 0° e 90°, negativo se este ângulo estiver compreendido entre 90° e 180° e igual a zero quando F e s forem dois vetores ortogonais. Em capítulos posteriores usaremos o produto escalar para diversas finalidades, desde o cálculo de um potencial elétrico até a determinação dos efeitos produzidos pela variação de campos magnéticos em circuitos elétricos. Podemos calcular o produto escalar A B diretamente quando os componentes x, y e z dos vetores A e B forem conhecidos. Para ver como isto é feito, vamos calcular o produto escalar dos vetores unitários. Isto é fácil, visto que
ˆ
ˆ ˆi, j e k são vetores mutuamente ortogonais. Usando as Equações (14), achamos ˆ ˆi i = ˆ ˆj j = ˆ ˆk k = 1 . 1 . cos0° =1
ˆ ˆi j = ˆˆi k = ˆˆj k = 1 . 1 . cos90° =0 5.3 PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial de dois vetores A e B é designado pelo símbolo A B . Usaremos este produto em um capítulo posterior para descrever o torque e o momento angular. Mais tarde também usaremos frequentemente este produto para campos magnéticos, quando então ele nos será útil para determinar relações entre direções espaciais para diversas grandezas vetoriais.
Para definir o produto vetorial A B de dois vetores A e B desenhamos os dois vetores com início em um mesmo ponto (figura 24a).
FIGURA 24 (a) Dois vetores A e B situados em um mesmo plano; o produto vetorial A B é perpendicular a este plano e seu sentido é dado pela regra da mão direita. (b) A B = -B A , o produto vetorial de dois vetores é anticomutativo.
Assim, os dois vetores ficam situados em um mesmo plano. Definimos o produto vetorial como uma grandeza vetorial perpendicular a este plano (isto é, perpendicular tanto ao vetor A quanto ao vetorB) e possuindo módulo dado por AB sen. Isto é, seC A B , então
Medimos o ângulo entre A e B como sendo o menor ângulo entre estes dois vetores, ou seja, o ângulo está compreendido entre 0o e 180°. Logo, lCl na Equação (15) possui sempre valor positivo, como era de esperar para o
módulo de um vetor. Note que quando A e B forem dois vetores paralelos ou antiparalelos, = 0° ou 180° e lCl = 0. Ou seja, o produto vetorial de dois vetores paralelos ou antiparalelos é sempre igual a zero. Em particular, o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero. Para avaliar o contraste entre o produto escalar e o módulo do produto vetorial de dois vetores, imagine que o ângulo entre os vetores A e B possa variar enquanto seus módulos permanecem constantes. Quando A e B são paralelos, o produto escalar possui seu valor máximo enquanto o módulo do produto vetorial é igual a zero. Quando A e B são perpendiculares, o produto escalar é igual a zero enquanto o módulo do produto vetorial possui seu valor máximo.
Existem sempre dois sentidos para uma direção ortogonal a um plano, um para cima e outro para baixo do plano. Escolhemos o sentido de A B do seguinte modo: imagine que o vetor A sofra uma rotação em torno de um eixo ortogonal ao plano até que ele se superponha com o vetor B, escolhendo nesta rotação o menor ângulo entre os vetores A e B . Faça uma rotação dos quatro dedos neste sentido; o dedo polegar apontará no sentido de A B . A regra da mão direita é indicada na figura 24a. O sentido do produto vetorial é também dado pela rotação de um parafuso de rosca direita quando ele avança ao ser girado de A para B, conforme indicado.
Analogamente, determinamos o sentido de B A fazendo uma rotação de B para A como indicado na figura 24b. O resultado é um vetor oposto ao vetor A B . O produto vetorial não é comutativo! De fato, para dois vetores
A e B
A B = -B A . [16]
Assim como fizemos para o caso do produto escalar, podemos fazer uma interpretação geométrica para o módulo do produto vetorial. Na figura 25a, B sen é o componente de B em uma direção perpendicular à direção deA. Pela Equação (15) vemos que o módulo de A B é igual ao módulo de A multiplicado pelo componente de B em uma direção perpendicular à direção de A . A figura 25b mostra que o módulo de A B é também igual ao módulo de B multiplicado pelo componente de A em uma direção perpendicular à direção de B. Note que a figura 25 mostra um caso no qual está compreendido entre 0o e 90°; você deve desenhar um diagrama semelhante para compreendido
entre 90° e 180° para verificar que a mesma interpretação geométrica vale para o módulo de A B .
FIGURA 25 (a) Bsen é o componente de B em uma direção perpendicular à direção de A , e o módulo de A B é igual ao produto do módulo de A por este componente, (b) O módulo de A B é também igual ao módulo de B multiplicado pelo componente de A em uma direção perpendicular à direção de B.
Quando conhecemos os componentes de A e de B, podemos calcular os componentes do produto vetorial mediante procedimento análogo ao adotado para o produto escalar. Inicialmente convém fazer uma tabela de multiplicação vetorial para os vetores unitários ˆ ˆi , j e kˆ. O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero, logo
ˆ ˆi i = ˆ ˆj j = ˆ ˆk k = 0
O zero com a flechinha é para lembrar que este produto fornece um vetor nulo, isto é, aquele cujos componentes são nulos e não possui direção definida. Usando as Equações (15) e (16) e a regra da mão direita, achamos
ˆ ˆ ˆi j ˆ ˆj i k
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k i i k j
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. No plano quadriculado abaixo, estão representados três vetores: x , y e z .
Determine o módulo do vetor soma s x y z .
SOLUÇÃO
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado, vem: s2 = 32 + 42
s = 5u
02. Duas forças F e F 1 2estão aplicadas sobre uma partícula, de modo que a força resultante é perpendicular a F1. Se |F1| = x e |F2| = 2x, qual o ângulo entre F e F 1 2?
SOLUÇÃO 1 2 F x 1 sen F 2x 2 30 90 120
03. Quais são as propriedades dos vetores a e b tais que: a) a b c e a + b = c b) a b a b c) a b c e a2+b2=c2 SOLUÇÃO a) Temos que:
c c a b a b a a b b 2a b ou seja: c2 = a2 +b2 + 2abcos θPara que c = a + b é necessário que θ = 0 pois c2 = a2 + b2 + 2ab = (a+b)2
Portanto a| b
b) Da equação acima, temos que: a a b b 2b 0 b 0 c) Como
c2 =a2 +b2 + 2abcos θ para que
c2 = a2 + b2+ 2ab = (a+ b)2
devemos ter θ = π/2 portanto
a b
04. Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpendicular á sua diferença.
SOLUÇÃO
a b a b
a2 b2 0 a b 05. Dois vetores são dados por a 3i 5j ˆ ˆ e b 2i 4j ˆ ˆ. Calcule: a) a b b) a b c)
a b b
SOLUÇÃO a)
ˆ ˆ ˆi j k ˆ ˆ a b = 3 5 0 k 3.4 5.2 2k 2 4 0 b) a b = 3.2 + 5.4 = 26 c)
a b b = 5i 9j 2i 4j
ˆ ˆ
ˆ ˆ
5.2 9.4 46 06. Determine o valor de a para que o vetor u ai 10j ˆ ˆ seja ortogonal ao vetor v 4i 2j ˆ ˆ.
SOLUÇÃO
Para que sejam ortogonais devemos ter: u v 0
-4a + 20 = 0 a = 5
07. Considere as seguintes forças (em newtons):
1 ˆ ˆ F 2i 3j 2 ˆ ˆ F 3i 5j 3 ˆ ˆ F 5i 2j 4 ˆ ˆ F i 6j Calcule:
a) o módulo do vetor resultante,
b) a tangente do ângulo formado entre o vetor resultante e o eixo Ox.
Podemos escrever diretamente: Fx = 2-3 + 5-1 = 3
Fy = 3 + 5 + 2-6 = 4
a) O módulo do vetor resultante é dado por: F=(32 + 42)1/2 = 251/2 = 5N
b) A tangente do ângulo entre a força resultante e o eixo Ox é dada por: tanα= Fy/Fx = 4/3 = 1,333
08. Dados dois vetores,
x y z x y z ˆ ˆ ˆ a a i a j a k ˆ ˆ ˆ b b i b j b k
determine o produto escalar a b .
SOLUÇÃO
Multiplicando escalarmente membro a membro as duas relações anteriores e lembrando que ˆ ˆi, j e kˆ são vetores unitários ortogonais entre si, obtemos facilmente a expressão solicitada:
X X y y Z Z a b a b a b a b 09. Considere as forças: 1 2 3 ˆ ˆ F 2i j ˆ ˆ ˆ F i j + k ˆ ˆ ˆ F i j + k
onde as forças são dadas em newtons e todas as unidades são do sistema MKS. Calcule a força que deve ser adicionada a este conjunto de forças para que a soma vetorial de todas as quatro forças seja igual a zero.
SOLUÇÃO
Procuramos uma força F4 que deverá equilibrar o conjunto das três forças dadas. Esta força procurada será dada por:
4 ˆ ˆ ˆ
F xi yj zk (1)
onde x, y e z são os componentes da força procurada. O newton (N) é a unidade de cada componente das forças é, de modo que não é necessário fazer nenhuma conversão de unidade, ficando implícito que todas as unidades são homogêneas; portanto, não mencionaremos mais as unidades deste problema.
Como sabemos, para fazer uma soma vetorial basta somar algebricamente os componentes dos vetores, ou seja:
1 2 3 4 ˆ ˆ ˆ
F F F F 4 x i 1 y i 3 z k
Para que a soma vetorial indicada acima seja nula, cada componente deve ser igual a zero, isto é, 4 + x = 0; 1 + y = 0; 3 + z = 0
Das relações anteriores obtemos: x = -4; y = -1; z = - 3
Substituindo estes valores na relação (1), determinamos a força necessária para equilibrar o conjunto das três forças dadas:
4 ˆ ˆ ˆ
F 4i j 3k
10. Dois vetores formam um ângulo de 110°. Um dos vetores é de 20 unidades de comprimento e faz um ângulo de 40° com o vetor resultante da soma dos dois. Determine o módulo do segundo vetor e do vetor soma.
SOLUÇÃO
Vamos supor que c a b e que |a | = 20, fazendo um ângulo α = 40° com o vetor resultante c .
Escolhendo o eixo Ox na direção e sentido do vetor a então o ângulo entre o vetor b e este eixo vale θ = 110° (o mesmo que entre a e b ).
Cálculo do módulo do vetor b Da mesma forma, α é o ângulo entre o vetor c e o eixo Ox (figura). Em termos das componentes: ax = acos0° = 20 bx = bcos110° = −0,34b cx = ax + bx = 20 − 0,34b ay = sen0° = 0 by = bsen110° = 0,94b cy = ay + by = 0,94b ˆ ˆ c (20 0,34b)i 0,94bj
Para α = 40°, e como sabemos que
x y c tg c 0,94b tg40 20 0,34b 0,94b (20 0,34b).tg40 com tg 40° = 0,84, temos: 0,94b = (20 − 0,34b) . 0,84 0,94b + 0,29b = 16,8
b = 13,7 que é o módulo do vetor b.
Para calcular o módulo do vetor c , basta usar sua representação
ˆ ˆ
c (20 0,34b)i 0,94bj para b = 13,7. Assim,
ˆ ˆ ˆ ˆ
c (20 0,34.13, 7)i 0,94.13,7 j 15,3i 12,9 j
2 2
c 15,3 12,9 20
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER
01. Quais das grandezas seguintes são vetores e quais não são: força, temperatura, o volume da água em um pote, as avaliações de um show de TV, a altura de um prédio, a velocidade de um carro esportivo, a idade do Universo?
02. É possível adicionar uma grandeza vetorial a uma grandeza escalar? Explique.
03. Dois vetores que tenham módulos diferentes podem ser combinados de modo que sua resultante seja nula? E três vetores?
04. Um vetor pode ter módulo nulo se uma de suas componentes é diferente de zero?
05. Suponha que d d 1 d2. Isto significa que temos de ter d d 1, ou d d 2? Se não, explique por quê. 06. Explique em que sentido uma equação vetorial contém mais informação que uma equação escalar.
07. Se a b = 0, isto quer dizer que a e b são perpendiculares entre si? Se a b = a c , isso quer dizer queb c ? 08. Se a b = 0, é necessário que a seja paralelo a b? O inverso é verdadeiro?
09. a) Mostre que, se invertermos os sentidos de todas as componentes de um vetor, então o próprio vetor também terá invertido o seu sentido.
b) Mostre que se invertermos as componentes de dois vetores que formam um produto vetorial, então o vetor produto não é alterado.
c) O vetor produto, nesse caso, é um vetor?
10. Considere dois deslocamentos, um de módulo 3m e outro de módulo 4m. Mostre como os vetores deslocamentos podem ser combinados de modo que o deslocamento resultante tenha módulo
a) 7m b) 1m c) 5m
11. Dois vetores a e b são somados. Mostre graficamente, com diagramas vetoriais, que o módulo da resultante não pode ser maior do que a + b nem menor do que |a – b|; as barras verticais significam valor absoluto.
12. Um quarto tem como dimensões 3,0m x 3,7m x 4,3m. Uma mosca parte de um dos vértices e termina no vértice diametralmente oposto.
a) Ache o vetor deslocamento num referencial cujos eixos coordenados sejam paralelos às arestas do quarto. b) Qual é o módulo do deslocamento?
c) Poderia o comprimento da trajetória percorrida pela mosca ser menor do que essa distância? Maior do que essa distância? Igual a essa distância?
d) Se a mosca anda em vez de voar, qual é o comprimento da trajetória mais curta que ela pode tomar? 13.
a) Qual é a soma, na notação de vetores unitários, dos dois vetores a 5i 3j ˆ ˆ e b – 3i 2j ˆ ˆ? b) Qual é o módulo e a direção de a b?
14. Dois vetores são dados por a 4i 3j + k ˆ ˆ ˆe b – i j + 4k ˆ ˆ ˆ. Encontre a) a b
b) a b
c) um vetor c tal que a b c 0
15. Dois vetores A e B têm módulos iguais de 12,7 unidades. Eles estão orientados como mostra a figura e sua soma vetorial é r . Encontre:
a) as componentes x e y de r b) o módulo de r
c) o ângulo que r faz como o eixo + x.
16. Um vetor a de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b de módulo igual a 6 unidades apontam para direções que fazem um ângulo de 60° entre si.
a) Determine o produto escalar entre os dois vetores e b) o produto vetorial entre eles.
17. a) Usando vetores unitários ao longo de três lados de um cubo, expresse as diagonais de um cubo em termos de seus lados, que têm comprimento a.
b) Determine os ângulos formados pelas diagonais com os lados adjacentes. c) Determine o comprimento das diagonais.
a) a a = a2 b) a a = 0 19. Considere as forças: 1 2 3 4 ˆ ˆ ˆ F 2i 3j k ˆ ˆ F i k ˆ ˆ F i j ˆ ˆ ˆ F i j k
Determine a força F5 necessária para equilibrar a ação destas quatro forças. 20. Dados dois vetores,
x y z x y z ˆ ˆ ˆ a a i a j a k ˆ ˆ ˆ b b i b j b k
determine o produto vetorial a b.
21. Mostre que a b pode ser expresso por um determinante 3 x 3 como
a b = x y z x y z ˆ ˆi ˆj k a a a b b b
22. Três vetores somam zero, como no triângulo retângulo da figura.
Calcule
a) a b b) a c c) b c d) a b e) a c f) b c
23. (a) Determine os componentes e o módulo de r a b c se a 5i 4 j 6k ˆ ˆ ˆ, b 2i 2j 3kˆ ˆ ˆ e c 4i 3j 2k ˆ ˆ ˆ. (b) Calcule o ângulo entre r e o eixo z positivo.
24. Sejam b e c dois lados quaisquer de um triângulo. Deduza uma relação para obter a área deste triangulo em função dos vetores b e c . 25. Mostre que: a) u v v u b) u v v u c) u (v w) u (w v) 26. Mostre que: u (v w) w (u v) v (w u) 27. Dados os vetores ˆ ˆ t i j ˆ ˆ v 2i 3j ˆ ˆ v i j
calcule os seguintes produtos: a) t (u v)
b) t (u v) c) ( t u) v
28. Determine o valor de m para que os vetores c 3i 5j 9k ˆ ˆ ˆ e a 7i mj 4k ˆ ˆ ˆ sejam perpendiculares entre si. 29. Considere os vetores: 1 2 3 4 5 6 ˆ ˆ F 2i 3j ˆ ˆ F -5i 5j ˆ ˆ F -7i 4j ˆ ˆ F -2i 3j ˆ ˆ F 8i 2j ˆ ˆ F 2i j Calcule: a) o módulo da resultante:
b) o ângulo formado entre a resultante e o eixo Ox.
30. Sabendo que: v 1 v2 v30. Calcule o dobro da área A formada por estes três vetores.
31. Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por (A B) C . Quaisquer que sejam os vetores A,BeC , prove que (A B) C A (B C) .
a)Calcule (A B) C para os três vetores: A 3i 5j ˆ ˆ, B i 2j 2k ˆ ˆ ˆ e C 2i 4j 3k ˆ ˆ ˆ. b) Calcule A (B C) .
32. Seja: t (u v) .Determine o sinal dos seguintes produtos: a) u ( v)
b) ( u) ( v) c) v u d) v ( u)
33. Considere um paralelepípedo de lados a, b e c . Deduza uma relação para o cálculo do volume V deste paralelepípedo em função dos vetores a, b e c .
34. Considere os vetores: ˆ ˆ t i 2j ˆ ˆ u 2i j ˆ ˆ v i j Faça as operações: a) t u u v b) u v c) t (u v) d) t (u v)
35. Considere os pontos (1,1,3) e (2,3,6). Escreva o vetor d com origem no primeiro ponto e extremidade no segundo. 36. Os vetores A e B têm módulos iguais de 5,00. Se a soma de A e B é o vetor 6,00ˆj, determine o ângulo entre A e B . 37. Dois vetores A e B têm módulos perfeitamente iguais. Para o módulo de A B ser n vezes maior que o módulo de
38. Cada um dos vetores deslocamento A e B mostrados na figura tem um módulo de 3,00 m.
Encontre graficamente
a) A B . b) A B . c) B A . d) A 2B .
Informe todos os ângulos no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. 39. Dados os vetores A 2,00i 6,00j e B 3,0i 2,0j ˆ ˆ ˆ ˆ
a) trace o vetor soma S A B e o vetor diferença D A B . b) calcule S e D em termos dos vetores unitários.
40. Uma pessoa indo para uma caminhada segue a trajetória mostrada na figura. O passeio total consiste em quatro trajetórias em linha reta. No final da caminhada, qual é o deslocamento resultante da pessoa medido a partir do ponto de partida?
41. O vetor A tem componentes x e y de -8,70 cm e 15,0 cm, respectivamente; o vetor Btem componentes x e y de 13,2 cm e -6,60 cm, respectivamente. Se A B 3C 0 , quais são as componentes de C?
42. Considere dois vetores A 3i 2j e B i 4j ˆ ˆ ˆ ˆ. Calcule a) A B b) A B
c) IA B I d) IA B I e) as direções de A B e A B .
43. O vetor A tem componentes x, y, e z de 8,00, 12,0 e - 4,00 unidades, respectivamente. a) Escreva uma expressão vetorial para A em notação de vetor unitário,
b) Obtenha uma expressão de vetor unitário para o vetor B com um quarto do comprimento de A apontando na mesma direção que A.
c) Obtenha uma expressão de vetor unitário para um vetor C com três vezes o comprimento de A apontando na direção oposta à de A.
44. Um vetor B tem componentes x, y, e z de 4,00, 6,00, e 3,00 unidades, respectivamente. Calcule o módulo de B e os ângulos que B faz com os eixos coordenados.
45. Se A 6,00i 8,00j
ˆ ˆ
unidades,B 8.00i 3,00 j
ˆ ˆ
unidades, e C 26,0i 19,0 j
ˆ ˆ
unidades, determine a e b tal que aA bB C 0 .46. A figura mostra um hexágono regular de lado a sobre o qual se apoiam 5 vetores. Determine a resultante desses vetores.
47. Determine o módulo do vetor resultante em cada um dos sistemas abaixo. Todas as figuras são polígonos regulares de lado 1.
48. Considere três vetors X, Y e Z de módulos respectivamente iguais a x, y e z. Determine os módulos máximo e mínimo do soma X Y Z nos seguintes casos:
a) x = 5;y = 8 e z = 10. b) x = 3;y = 7e z = 15.
49. Dois vetores são dados por a 3i 2j k ˆ ˆ ˆ e b 3i j 2k ˆ ˆ ˆ. Determine o vetor 3a 2b . 50. No plano quadriculado abaixo, estão representados quatro vetores: v , v , v e v 1 2 3 . 4
Determine o módulo do vetor 3v1 v + 2v v2 3 . 4
51. Dados dois vetores a 2i j ˆ ˆ e b i j ˆ ˆ, determine o módulo e a direção de a , de b, de (a b) , de (a b) e de (b a) .
52. Um vetor v possui módulo igual a 4 m e está situado a 45° com a direção Oeste-Leste no sentido anti-horário. Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores:
a) v /2 b) 2v .
