RELATÓRIO DE PESQUISA

RELATÓRIO DE PESQUISA

0 U / 8 0 22 AGO 80

CONDIClONANTES TEMPORAIS NO TRATAMENTO DE TRANSIENTES NUCLEARES, SIMULADOS

EM ESPAÇO, TEMPO E ENERGIA - CÓDIGO MONSTREAV

por

E. Schall Arnorim

J. Pantuso Sudano

C. Moura Neto

Walter J. Ferreira

Divisão d@ Estudo» Avonçodoa

Instituto da Atividades Espaciais

Centro Técnico Aeroespacial

12.200-São Jooe' dos Ccmpos-SP

CONDICIONANTES TEMPORAIS NO TRATAMENTO DE TRANSIENTES NUCLEARES, SIMULADOS EM ESPAÇO. TEMPO E ENERGIA - CÓDIGO MONSTREAV

por E, Schall Amorim J. Pantuso Sudano C. Moura Neto Walter J. Ferreira RESUMO

Descreve-se um método de tratamento da dinâmica espacial, através da fatora çao do fluxo de neutrons, numa função amplitude e numa função de forma. As condi çoes de contorno sao tratadas como funções dependentes do tempo, e o acoplamento entre as funções oriundas da fatorização é tratado segundo a aproximação quase estática modificada '*»*'__^

A queima do combustível, como retroalitnentaçao, foi incluída, permitindo-se rever transitórios elevados, com maior precisão, mesmo na presença de nao li

anãli ;r comparativa indicou que o método proposto e suficientemente pre ciso para in * cigações no campo da dinâmica de reatores rápidos.,

i ( jrados módulos, incorporando o presente modelo, no sistema de ana lisc do con :K ,t «mento dinâmico dos reatores nucleares situados na faixa rápida, e em desen' t '/.nento na EAV-IAE.A *- \

ABSTRACT

An irnj.^ >ved a p p r o a c h ^ the treatrnff the spaUaJl dynamics problem is de scribed. T> '.s approach allows the factorization of the flux in amplitude and shape functions. Boundaries conditions are treo+j-tl as time dependent functions and the cpt,)ling between functions is treated, as» the improved quasistatic ag proximat ior (It2)^>

- A burnu) feedback has been included ot'owing to describe extreme excursion in fast reactors very accurately even f&i treatment of nonlinear problems.

• A benchmark analysis shows that cw> improved method is fully sufficient for fast reactor dynamics calculation^.

Computation modules embodyfwft ihe improved model of neutronic behaviour will

b>: integrated wit'n the other Us>Cft of the fast reactor dynamics analysis system

1 - INTRODUÇÃO

Reatores rápidos de potência apresentam pequenas variações locais, que causam deformações na distribuição do fluxo de neutrons e, consequentemente, apresentam desvios quando tratados por modelos computacionais baseados na teo_ ria da cinética pontual. Vários métodos de cálculo foram desenvolvidos consi^ derando-se efeitos espaciais e utilizando, para tanto, um esforço-máquina,ou mesmo uma precisão maior ou menor.

Entre os modelos de cálculo envolvendo em sua plenitude, energia, espaço e tempo, ou mesmo a simples cinética pontual, situam-se as aproximações no_ dais e modais. No interior desta faixa, entre outras, surgem métodos visando diminuir o esforço-máquina, mas sem se descuidar da precisão requerida.

Tratando-se de reatores rápidos, o comportamento temporal do espectro de fissão deve ser considerado com o maior cuidado. Isto é agravado pelo incoti veniente de serem tratados sistemas nucleares com um tempo muito pequeno de geração de neutrons, onde pequenos erros no cálculo da reatividade, próximos ou acima da condição de pronto criticalidade, representam uma liberação de e_ nergia várias décadas superior aquela associada a reatores de água leve.

Nao foram considerados detalhes envolvendo a implementação numérica, ou mesmo associados ao formulismo desenvolvido, visto a existência de uma lite_ ratura abundante sobre pontos de interesse. Isto permite que sejam abordados apenas os pontos julgados relevantes para a identificação e compreensão dos aspectos centrais da trajetória de cálculo selecionada.

0 método é baseado na fatoraçao do fluxo de neutrons em uma função forte mente dependente do tempo, e em uma função dependente de espaço e energia, e tenuemente da variável tempo.

0 tratamento desenvolvido por K.O.Otl e revisado, permitindo-se, des_ ta forma, um tratamento pleno da teoria da difusão, para numa segunda etapa, associá-lo a condições de contorno dependentes de tempo e a uma retroalimen taçao secundária, devido ã queima do combustível.

0 modelo adotado foi testado em vários níveis de sofisticação e os resul^ tados mostraram-se compatíveis, além de manter o esforço-maquina em níveis mínimos, semelhantes àqueles especificados pelo método Otl.

São sumarizados, a seguir, algumas aproximações relevantes, utilizadas no presente trabalho:

1) o espectro de emissão dos npjtrons prontos e retardados é independer^ te do ísótopo físsel..

2) a energia dos neutrons só poderá decrescer em reações de espalhamento.

3) as seções de choque são independentes do espectro de neutrons exister»

te, com exceção das seções de choque de fissão, situadas nas faixas de ene£

gia de ressonância.

4) a seção de choque de transporte, para um determinado grupo, é obtida

através de uma combinação linear das seções de choque microscópicas de trans_

porte dos diferentes nuclldeos existentes em uma região.

5) a dependência espacial do fluxo de neutrons, em relação ao tempo, é

produzida por variações não uniformes da geometria e temperatura. Os resulta_

dos de Foderaro permitem admitir-se uma constante de tempo necessária â a.

daptação do fluxo de neutrons a uma nova configuração da ordem do tempo de

geração dos neutrons prontos.

2 - FUNDAMENTOS TEÕRICOS

A equação de transporte de neutrons pode ser apresentada como :

" E(r,u,t)\f;(r,í2,u,t)

df2'du l (r,u',u,ftf ,fi,

°

í • ' ' 1 - 1

+ — — Z <* £3(u)vJ(uf) (l-gJ) ^(r.u'.t) '> iKr,í2\u',t) • S(r,í2,u,t) +

v

<> i

f : J

EAJC.(r,t)f.(u) = — y M , » , » , w (1)

i x 1 x 3t v(u)

r f» ^

j»' Jo

° i i

.(r

(2)

onde:

v(r,f2fu,t) representa a densidade d fluxo direcional.

,.(r,u,t) é a seção de choque mac jHcópiea total.

! (r,u',:2',Q,t) e a seção de che \ue macroscópica de espalhamento de neutrons

de lntart;ia u' e direção íl

para a letargia u c direção Q.

<l fJ (u)v-J (u)(l-8J) hi > e o termo fonte de neutrons rápidos oriunda da fissão

do nuclldeo j .

\>J (u) representa o número total de neutrons emitidos na fissão de um elemento j . f^(u) representa o espectro de emissão do elemento j de tal forma que

fi(u)du - 1

rf(r, u',t) e a seção de choque macroscópica de fissão.

S(r,ft,u,t) representa a densidade da fonte externa.

C£(r,t) e Aj simbolizam a concentração e a constante de decaimento do g r u p o ^ dos emissores de neutrons retardados.

v(u) corresponde ã velocidade dos neutrons com letargia u . ( ~\

£<,v ( u1) 6« rf(r,u',t) ? representa o termo fonte de neutrons retardados d o

j I i

grupo i, e que se torna idêntico à concentração dos precursores deste grupo. B-l representa a fração dos neutrons emitidos na fissão do elemento j que sao retardados e pertencentes ao f;rupo de precursores i.

f.(u) representa o espectro de emissão de neutrons pelos precursores perteti centes ao grupo i.

Considerando o estado estacionário, e na ausência de fontes externas, a equação (1) e sua equação adjunta podem ser representadas segundo:

CD ^ g

1>

i|»o(r

n

,u')

onde fjj(u') - £ f

+ íAu')fi\

( u ) ^ ( í , u )

]l

, sendo que operador Z atua no campo

í

díídu' <

Jo

Definindo-se os operadores abaixo:

L • -ü • 7 - E(r,u,t) •

6.J

dQ'du <' E_(r,u

,u,a

,n,t) •

_ v _

I f^^v^u^E^r.u'.t) I |

f f<»

_ L _ £ I fj(

')v

(u) l\

As equações anteriores serão escritas na forma:

3 3t v(u) - L tí/(r,í2,u,t) (7)

J

(8)

Considerando-se as relações e as propriedades das funções adjuntas, pode-se multiplicar a equação (7) por \\i (r,í2,u,t) r . equação (8) por ifj(r,£2,u,t). Subtraindo-se os resultados, após uma integ fao no espaço de fase (r,H,u) ,

tem-se

v(u)

/(r\â,u,t),

(9)

v(u) v(u)

Esta relação é discutida filosoficamente por Henry , enfatizando a pre_ servaçao d<, importância dos neutrons en um sistema nuclear.

Admitindo-se a separabilidade das variáveis envolvidas, através de uma fatoração do tipo:

* *

^ít) * (

* a.(t) <fr (r.Q.u.t)

onde a função temporal e" expressa por uma exponencial e a:(0)»l, pode-se es crever: v(u) 3t a.(t) J

a.

()

i

Considerando-se a ortogonalidade entre as funções representando a densí_

dade de fluxo direcíonal e de suas autofunções adjuntas, pode-se escrever:

.(t) (. J J

|

, t ) , <• a.(t)

I J v(u)

a.(t) |.(r,n,u,t)f < a.(t)

I

í

(

)

t

1

A conservação imposta pela equação (9), associada ã preservação dos nêti

trons, permite que se escreva:

< ^j*(í,5,u,t), Sj *j (r,â,u,t) - < <í>j(r",â,u,t) Bj*<j>*(r,í2,u,t)>« 0 (IA)

onde 3- e 8? sao os autovalores associados às expressões (7) e (8).

A ortogonalidade existente entre as funções utilizadas nas equações (13)

e (14) garantem os resultados indicados. Entretanto, a redução da equação

(13) para a equação (14) requer uma igualdade termo a termo, o que permite o

aparecimento de aproximações válidas dentro de faixas especificas.

Henry e Otl^5

»6

' desenvolveram um formulismo especial, admitindo, entre

outras, uma condicionante similar ã equação (9), facilitando a transição do

tratamento, para aquela associada ã formulação da cinetica pontual, ou seja:

(r

n,«,o) »<r,a,u.t) .

v(u)

onde t|;*(r,ft, u,0) é a função adjunta para um estado inicial estacionário.

As equações (1) e (2), no formulismo de Henry, são escritas em forma sim

bõlica e apresentadas abaixo:

- M + Fpl ^(r,n,u,t) + Ç \i Ci(r,t) fj(u) - — - — — i//(r,fi,u,t) (16)

_! i v(u) 3t

^ ^(r.íí.u.t) - A: Ci(í,t) - - 3 — C.(r,t) (17)

A fatorização da função ij;(r,£2,u,' permite que se escreva:

'_ M + F 1 3 _

l ^(?ffl,u,t) • — i íi>i Ci(r,t)f.(u)

v(u) aj(t) Dt J aj(t)

=

_ i L_ «.(í.^u.t) (18)

v(u) 3t

produto da equação (16) pela função autoadjunta, e auxiliada por uma integra^

çao similar, associada ã equação (17):

P-B.

A

(19)

(20)

onde:

< ^

- M + - ± - |~F

l f.(u) F?~j

, f.(u)F

s J

A •* -j- < <t>..*(r,ft,u,t),

^

^ 0.

n

- ——< <t>.*(r

U,u

t), fi(u)Ci(r,t) >

ZA J

f

F

+ 1 f.(u) F.

)

M

Na dedução da equação (19), admitiu-se, por conveniência, p=0 no tempo

t=0, damlo origem ao termo — ° , sendo ko o fator do convergência (k ) ,

Ak

obtido atravõs da equação adjunta.

Em determinados transientes, a variação da função a(t) torna-se muito ma

íor que a variação da função 4>(r,ft,u,t), permitindo que a mesma seja desprç_

zada. Esta aproximação é utilizada por Oti^

No presente trabalhe, manteve-se a derivada desta função através de uma

diucretização "backward" de primeira ordem, ou seja:

- 4>.Cr,tt,u,t - A t ) '> - i

J

J A t

A função discreta <{».(r,Q,u) é obtida através da equação (18), ou seja:

- Mc - v(u)~

a. At 1 j ' ' . _ .

-7-r- Z \.f.(u)C^(x) — v~*(u) •f

"

(r.n,u) (22)

a. * At J

Esta equação ê resolvida iterativãmente para os diferentes modos. Conse_ quentemente, a função i(>(r,í2,u,t) torna-se sensível aos erros acumulados, não satisfazendo, desta maneira, a equação (15).

Todos os valores associados ã equação (22) são calculados no primeiro ponto de grade de tempo através de interpolaçoes lineares, após sucessivas iterações. 0 processo iterativo termina quando é atingida uma consistência entre os valores estimados de 4> (r,í2,u) e aqueles calculados pela equação

(22). J „ ( t)

Observe-se que p é dependente de <P •'(r,í2,u) e ao valor de J aj lizaJo na equação (22).

A condição de normalização, adotada no processo iterativo, representada pela equação (22), é exatamente aquela preconizada pela equação (15) ou:

M ,

Y - 1 !< Ej (23) onde E. é o fator de convergência especificado.

(24)

A implementação numérica considerara somente sistemas com espalliamento í.sotropíco , isto é, sem dependência angular.

- Condicionantes sobre superfície

A «iplícabílidade da teoria da difusão, a sistemas de potência em evol^ ção, exige um tratamento especial, no que se refere ãs condições de contorno. Nestas circunstâncias, o critério utilizado no cálculo das funções ^,(r,^,u,t

estabelece a nulidade no valor da corrente J

(r,t) (não há retorno de nfu

trons na superfície do sistema).

Assim, pode-se escrever'

^:

•<r.t)

-4v

E

(r,t) St

. t , •

j E ^ | - 0 (25)

ondi* j : ^ = T.^ + j v):

. j

_j

e f(x) c uma funcional de x.

Esta equação, na sua forma discreta, após uma integração do tipo " bac*

integral " , fornece a seguinte relação:

! y

l í

• - L

r?(rr - r. i ) •

(

; , . )

'

Ar,

'

' * T

10

Ar.

Ej(r+ t . ) g a ' ( t )

— - ! l * <r>i> Í (-rj * r ,_) L_

g

í < ' i ' ' i >

r

. i i ^ - X _

( í ; ^

) r . ^ ^ ^ - (26)

a(t.)

a(t.)

onde se considerou apenas o modo fundamental, na presente aproximação.

A equação anterior, implementada na interface de meios dissimuladores,

leva a obtenção de uma expressão discreta da forma:

g g g g

n

thà • + i . i • i »>i *i.i

-6E*

(i,j)

( 2 7 )

sg

onde j ,j representam pontos no gradeamento em espaço e tempo, e o único g p£

ra o grupo de energia de neutrons g.

11

A equação (27V modifica, sumariamente, as condições de contorno para a

função de forma utilizadas nos programas precursores. A equação anterior poderá ser escrita segundo:

*8 Ag Ag

Q _ *>J J. '•«J _ i-»»r

4 6 E (i,j) 6 I (i,j) 4vK E (i,j) At

tg tg o tg

+ EÊ ±UL- (28)

4 v

e S^a.j) «(J) 2..<i.3

Observe-se que o terceiro termo é muito pequeno face ao quarto termo e, da mesma forma, ao íongo do tempo, o último termo, pois é função inversa de

.

Estas condicionantes permitem estabelecer:

0 .,5

]

Ar I

'^ a(j) 3 Ar

(29) Zsg(i,j)

Para transientes de curta duração, e com que1' de combustível, a oprao

B do Código MONSTREAV calcula o fluxo na superf" A.e, de forma semelhante ao código AIM-5 , que é desenvolvido para cal .os no estado estacionãrio, a_ penas dividindo o fluxo por uma fração conv i.ente, ou seja:

. AIM-5)

N>1

fl. l- ^ i i

L

A

«a:

(30)

12

- Depleção

Transientes de pequeno porte associados a reatores rápidos não necessitam,

de uma maneira geral, um tratamento detalhado envolvendo a queima do combus_

tlvel. Estes transientes poderão, por vezes, serem desconsiderados.

Por outro lado, reatores de potência, ou montagens experimentais sujei^

tas a transientes próximos do D.B.A. ("design basis accident") solicitam uma

análise mais detalhada dos cálculos, tendo em vista a segurança das instala_

çoes em projeto. Sabe-se que, em excursões acidentais, certos reatores atiiJ

gem um nível de potência especifico e, ao final desta jornada, apresentam o£

cilações bruscas devido ao reajustamento que ocorre entre os sistemas têrmi^

co e nuclear.

Em reatores rápidos, o tempo de evolução é da ordem de poucos microseguii

dos. Consequentemente, torna-se conveniente permitir, nestas circunstâncias,

um excesso de combustível, capaz de limitar a evolução do sistema a níveis

compatíveis ditados pelas propriedades mecânicas dos materiais envolvidos.

Nesta escala de tempo, os vetores associados ã geração e I destruição dos

isótopos e de seus descendentes, tornam-se me .ores, cabendo avaliar apenas a

destruição destes isótopos através da captura e fissão.

Foram selecionados, entre diferentes opções, o método de queima descrito

(9)

pelo código FASTT , isto e, em termos de uma queima equivalente, facilitai»

do, assim, a programação e a execução dos cálculos.

Numa determinada região M e num tempo t£, define-se uma seção de choque

equivalente segundo a expressão abaixo.

r

E'(M

t

)*

(M

t

) E

(M,t

)<f>

(M,t

)

V

'

e q . G G

4» (M,t£) <|» (M,t£)

(31)

onde <}>X(M,tí) = l <(>?(M,ti) e x sir .olizando os diferentes grupos, j os dite

j J

rentes modos o G o número de grt^os especificados.

Uma vez definido o número total de fissões que ocorre na região M e » num

intervalo de tempo At^, determina-se a depleção, para os diferentes isótopos,

através da relação:

3 N

i G G

— r r — = Ni 0 . Í.Pl,t.J q> (M,t»í {•}*)

àt a,i l e q . 1 e q .

onde N especifica a densidade atômica do elemento de interesse i, existente

na região M, e o subscrito eq[., enfatiza valores equivalentes.

Esta equação permite escrever:

í C {

i*

)

At) - N.(M,ti)exp <' -o£.(M,ti) <í>(M,ti) dt > (33)

I J

Este tratamento preserva, implicitamente, o número de absorções e de fis_

soes ocorrido na região M, e no intervalo de tempo At. A integral descrita

na equação (33) é calculada indiretamente através da energia liberada e dr

seção de choque macroscópica desta região.

- Retroalimentação térmica

As seções de choque de captura e fissão são previamente calculadas para

quatro diferentes temperaturas e em cada grupo. A interpolação destas seções

de choque, para temperaturas intermediárias é feita segundo a expressão abai_

xo:

c

m K m

L

dT (34)

onde o segundo termo, no integrando, representa a maior contribuição, istoé,

na faixa -=— . 0 primeiro termo considera o comportamento da seção de choque

para baixas energias, e o último traduz este comportamento para altas energi^

as, e com ressonâncias superpostas. A auto proteção ("self-shielding") é in_

troduzida posteriormente, via polinomial, ou seja, através da expansão.

14

onde o (TK,p) é a seção de choque efetiva e Ap « p-po traduz uma variação .ta

densidade do combustível, causada pela queima ou pela dilataçao térmica. 0 procedimento adotado visa diminuir o esforço-mãquina e a área de memó ria utilizada durante a execução dos cálculos propostos, â semelhança dos tra

(to) balhos de Richard

- Temperatura do Combustível

0 cálculo da temperatura do combustível permite que se conheça a trajetcí ria de cálculo, em presença da retroalimentaçao, sendo este um mecanismo de resposta imediata.

A densidade de energia, obtida num intervalo Atn , e numa região R, é da

da por:

ri

- (t. - t . ) i:

(i,0) 4"(r\0) dr J (36)

ÍR g

J

oiidc YJ, e o volume de região.

gR é um fator de redução, levando em conta a distribuição de potência

transversa. At._i

Ci

R S r

,0) 4i(r,0)dí é a taxa de fissão inicial, cuja energia gerada se rã sempre removida.

F é um fator de conversão do número fissões para to-s/cm3, isto é,

F = 2.91 . IO1 0.

0 calor específico s determir o para as diferentes fases do combus tível, utilizando-se uma expressão forma polinomial, ou seja:

C - A + B*10~3T - C . 105T"2 u-s/cm3- K (37)

P

onde A, B e C são obtidos pa? cada faixa, ou fase, a partir da referência (11), e transformados, poste ormente, para as unidideu de interesse.

Respeitando-se a transição entre as diferentes fases, a temperatura fi_ nal (Tf) para a região M é calculada através da relação:

ER(Ati) - P

Tf

Ti

C (T)dT (38) P

Foram incluídas algumas relações, tratando-se de regiões contendo compos^ çocs formadas de multieleraentos. 0 detalhamento não será abordado, neste tr£ balho, em virtude de existir literatura abundante a respeito do mesmo.

3 ~ RESULTADOS

3.1 - Distribuição do fluxo de neutrons em espaço e tempo.

As equações básicas do método quase-estático foram implementadas no códi go QX-1, por Meneloy e este, com pequenas modificações, permitiu que se considerasse a equação (18), além de se obter várias conclusões semelhantes

(1?) ~ - »

aquelas desenvolvidas por Hauss , na descrição do método de síntese. Trabalhos prévios comparam o processo quasc-estático, com o cálculo da

- - (13) teoria da difusão, pelo método direto e incorporado no código WICLE . Este tratamento, sem retroalimentaçao, foi adequado aos recursos computacionais e_ xistentes no CTA, recebendo posteriormente a denominação de COPY . N o mo mento é considerado como sendo o método exato para fins comparativos.

Considerando-se, para fins de cálculo, a composição de um reator rápido típico, em geometria plana , consistindo de um núcleo e de um refletor, per_ mitiu-se a introdução de uma reatividade de 100$. 0 comportamento dinâmico, obtido pelos dois métodos, foi consistente, e parcialmente mostrado na Figu_ ra 1. Nesta figura observa-se a distribuição espacial do fluxo no tempo t « 0 e no tempo t "3,178. Percebe-se que o programa quase-especifico "modificado' e capaz de reproduzir os resultados preconizados pelo tratamento direto da teoria da difusão. A condição de contorno, na superfície do sistema, em am bos os casos, não c aquela especificada através da equação (25), mas aouela associada a estados estacíonnrios.

Deve-se observnr que os desvios (pequenos) observados no tempo t » 0 , en_ trf a forma das curvas em estudo, r.iantiveram-se ao longo do tempo.

As seções de choque utilizadas foram obtidas previamente a partir da KNDK-4 (.1 30 >;rupos), reluzidos posteriormente a 8 grupos, empre>;ando-se um espectro de neutrons gerado pelo código ANIStv. Outros dados, referen_

16

tes a neutrons retardados, foram coletados a partir dos trabalhos de Keepin .

3.2 - Queima do Combustível.

A queima do combustível é introduzida de forma discreta, isto é, ao fi_ nal de cada intervalo At, cuja extensão é determinada automaticamente pelo programa, em função de diversas condicionantes.

A diferença de comportamento entre o programa QX-1 e o programa desenvol^ vido (MONSTREAV), segundo o formalismo anterior, avulta-se diante da depl£ çao do combustível. Na Figura 2 faz-se uma comparação entre os resultados.

A retroalimentação, devido à queima, reproduz um comportamento coerente e esperado, no que diz respeito a função amplitude, isto é, apresenta um nm ximo, uma zona de oscilações e decaimento a seguir.

Nos cálculos, considerou-se uma geometria plana, com 10 cm de espessura. Os dois isótopos considerados (U235 e U2 3 8) apresentam uma densidade atômica

igual (4,819 • 1022ãtomos/cm3).

As frações volumetricas, do estado estacionário inicial (t = 0) apreseii tnm os seguintes valores:

FV(2 3 5) - 0,840091934 FVÍ2 3B) = 0,159908066

_ g

e foram modificados no tempo t • 7,02793 * 10 s, aproximadamente em forma de degrau, permitindo uma evolução no sistema, e cujo desempenho acha-se mostra_ do nas Figuras 2 e 3.

Os valores fornecidos pelos dois códigos foram consistentes, no momento da introdução da reatividade, edivergindo a seguir.

Os resultados iniciais, para uma melhor compreensão do fenômeno, foram: p - 4,15137 • 10"2

tempo de geração de neutrons = 6,50543 * 10 s período inverso (ot) • 6,3048 • 10 s

Observe-se que a função amplitude a(t) é menor no código MONSTREAV, ao longo do tempo, do que aquele produzido pelo código QX-1. A diferença entre as duas curvas acentuam-se, ao longo do tempo, apesar do que a imagem, a prí_ meira vista, possa indicar o contrário, pois o espaçamento entre elas diminui. Na região situada no entorno de 10 s, esta diferença é multiplicada por um

2

fator de 10 . No decorrer do tempo, as diferenças entre as curvas tornam-se menores, porem multiplicadas por constantes varias décadas superiores.

A reatividade apresentada pelo código QX-1 decresce lentamente, devido ao efeito Doppler. Como a temperatura inicial do sistema é de 500K, observa-se que, em temperaturas superiores, o efeito retroalimentado no sistema cau_

17

sara pequenas variações na reatividade. A influência deste mecanismo de re_ troalimentaçao é acentuada em excursões realizadas a baixas temperaturas.

0 efeito da queima do combustível (cuja concentração normalizada em fuii çao do tempo é mostrada na Figura 3) influi profundamente sobre a reativid£ de calculada. Pela Figura 2, verifica-se que o seu comportamento ê regido, £ proximadamente, por uma exponencial, a semelhança do comportamento inverso de a(t).

Acima de 4 • 10 s, este decaimento torna-se acentuado, correspondendo a uma deplexão intensa e crescente dos isótopos físseis existentes, j Fig.(3) j.

Este acoplamento qualitativo mostra as possibilidades do programa deseri volvido.

A Figura 2 destaca uma faixa de oscilações entre os valores de escala de tempo de 5 • 10~6e 6 • 10~6. Estas oscilações são introduzidas devido ao arr£

fecimento do sistema em pontos próximos ao valor de pico de a(t). Estas n-cri_ ticalidades secundárias traduzem exclusivamente o efeito da retirada de ene£ gia do sistema, causando um aumento do valor de seção de choque, através do efeito Doppler (verifica-se em certos momentos, um decréscimo na temperatura do combustível).

Esta competição entre a queima do combustível e o sistema de arrefeciraeii to é acomodada em tempos superiores a 6ps.

As oscilações produzidas no fluxo, e discutidas acima, sao correntemen_ te investigadas, face ã possibilidade da existência de oscilações auto-susteii tadas, no nível de potência em questão, permitindo instabilidades no sistema nuclear considerado.

3.3 - Influência das condições de contorno dependentes do tempo, na função de forma.

A implementação da condição de contorno, descrit? anteriormente, e mos^ trada para um sistema esférico submetido a um degrau de reatividade. As con clusoes analíticas reproduzem-se no resultado numérico, comparando-se as d£ as curvas mostradas na Figura 4, para um tempo de 10~7s. Percebe-se, na cur

va ou na distribuição do fluxo de neutrons (função forma), relativa ao grupo 2, uma diminuição de seu valor no centro e um aumento junto ã superfície. E£ ta diferença ao lon»o da evolução do sistema, e para tempos maiores, tende a se acomodar, mostrando que o efeito é importante nos primeiros pontos de gra_ de da variável tempo.

Deve-se levar em conta que as condições de contorno, modificando o per_ íil na distribuição espacial da função dp forma, modifica o valor da reatíví^ (l.ule calculada, apesar da normalização em f|ue é submetida.

18

Cálculos auxiliares, forçando a elevação do fluxo, permitiu a simulação do comportamento do fluxo para tempos posteriores. Os resultados mostram que a distribuição, nestas condições, tende a ser invertida. Esta análise foi £ fetuada dividindo-se o sistema homogêneo em cinco regiões hipotéticas, de me£ ma composição. Desta forma, obteve-se uma distribuição de temperatura mais realística.

Comparando-se os valores de reatividade para dois casos, isto é,

J (L) = 0 e J (L,t) = 0, verifica-se que o segundo cálculo fornece valores um

pouco maiores que o primeiro, sendo que estes valores apresentam um desvio

máximo da ordem de 1,5%, e situado proximo aos primeiros pontos de grade da variável tempo.

3.A - Efeito do calor especifico na avaliação da temperatura.

A formulação anterior permite introduzir o calor especifico através da

funcional C = A + B . 10~5T - C — — .

P T

A Figura 5 mostra temperaturas obtidas através do código MONSTREAV para dois tratamentos distintos, permitindo-se visualizar a influência dor.ilor es pecifico no cálculo térmico selecionado.

0 reator considerado, no presente trabalho, encontra-se a uma temperatiu ra inicial de 750K, consistindo de uma placa infinita com liem de espessurae com densidade atômica igual a 4,819 «10 átomos/cm , associado a uma fração volumétrica igual a 0,86 de U2 3 5, e sem elementos de controle e produtos de

fissão.

No primeiro caso adotou-se um Cp médio, na faixa de temperatura em estij do, e igual a 0,333 cm3- K/ws. No segundo caso, os valores de A,B e C foram

retirados da referência 11. A 940K esta referência apresenta um valor de Cp (para o urânio metálico) igual a 0,307 cm3-K/w-s.

Isto justifica níveis mais elevados para a temperatura média do sistema. Considerando-se uma energia acumulada da dem de 0,52Mev, os dois mode_ los divergem de 100°C (pontos A e B da Figuiu 5 ) .

0 tratamento detalhado da parte térmíci, associado a reatores rápidos,to£ na-se de interesse t.m fases posteriores, principalmente quando associado ao comportamento dos materiais envolvidos.

0 esforço máquina, associado ao r.ílculo da distribuição de temperatura, é triplicado* por ponto incrementai na grade de tempo, se se adota Cp na for_

* 113M-135 - 155 de CPU giislus nu ucomoduçiiu entre a retroalimentaçao o a

física di- neutrons (excluindo-si? a queima de combustível e o calculo das no v:!s si\;.u^ ilo rlioqiie por eOíto Floppier uitoproterao) .

19

ma polinomial (E * 10 ) .

Os resultados da Figura 5 indicam a sensibilidade do método. A precisão torna-se funcional dos vários critérios de convergência selecionados.

3.4 - Distribuição Espectral.

A distribuição espectral dos neutrons foi realizada através da utiliza^ ção de seções de choque obtidas previamente pelo código MC-2, isto é, 30 grii pos colapsados para nove grupo, através de um espectro padrão obtido pelo co_ digo ANISN.

Estas seções de choque colapsad.is permitiram cálculos, através do código MONSTREAV e do código DIF-O-EAV-l* , associados ã distribuição espectral do fluxo de neutrons.

Considerou-se uma geometria plana, em refletor e com condição de contoir no y~ * 0 junto à superfície. Este procedimento permite reduzir as trajet£ rias de cálculo *Los dois códigos e uma mesma base, possibilitando a obtenção de dados significativos, para fins de comparação.

A densidade atômica adotada foi de 4,819 • 10 átomos/cm e as frações v£ lumétricas associadas aos isótopos existentes foram de:

FV(235) = 0,840091934 FV(238) » 0,159908066

No código MONSTREAV, estas frações foram modificadas no tempo t - 0 s. A Figura 7 mostra os fluxos (espectros) de neutrons calculados pelos dois códigos, quer no centro do sistema ou na superfície do mesmo, e a seguir a evolução deste espectro, pelo código MONSTREAV, para um tempo t « 4,8 * 10 s e para uma temperatura inicial do sistema igual a 750K.

Os resultados normalizados, para os cinco primeiros grupos, sao apresen_ tados abaixo na Tabela 1.

20

GRUPO

1

2

3

4

5

TEMPO - 0

MONSTREAV

CENTRO

8,98«10"2

2,94*10~1

3,21'KT1

2,09'ICT1

8,19'KT

MONSTREAV

SUPERFÍCIE

I.OI-IO"

3,34'IQ"1

1,82'IQ"1

9,58«10"2

DIF-O-EAV-1

CENTRO

8,59«10~?

2,95'lü"1

3,21'IÜ"1

2,08'10-J

8,14«10"2

DIF-O-EAV-1

SUPERFÍCIE

1,02'IG"1

3,21«10"1

3,34'Kf

1,80*10-'

5,55«10-2

TEMPO - 4,8 • 10"6s

MONSTREAV

CENTRO

9,23«10"2

3,18'IQ"1

3,23'lü-1

1,92»1O~2

6,82'IQ"1

MONSTREAV

SUPERFÍCIE

l,08«10~'

3,32'IQ""1

1,65'IQ-1

4,67«10"2

Tabela 1: Resultados normalizados para os códigos MONSTREAV e DIF-O-EAV-1 p£

ra t - 0 e t • 4,8 • IO"6 s, no centro e na superfície do sistema.

A convergência, entre o* resultados obtidos pelos dois códigos considera^

dos, e satisfatória no tempo t • 0. Deve ser lembrado que as seções de ch£

que utilizadas pelo código DIF-O-EAV-1 são consistentes com aquelas utilizai

das pelo código MONSTREAV, através de redefinições efetuadas pelo programa

LINK (auxiliar). Com o emprego do programa auxiliar, preservou-se a absorção,

o espalhamento e a fissão existentes no sistoma em estudo, isto e, definiin

do-se, a partir dos dados fornecidos nclo ,digo MONSTREAV, os seguintes va_

lores:

X(.í)

xP(j) vP E

. cfr.

_{. , X}

fj.f

21

v?

Z

J

v? . Z

O restante dos dados utilizados foi compatível entre os códigos utiliza_ dos permitindo a produção de cartões de dados diretamente para o programa DIF-O-EAV-1.

Os resultados mostrados na Figura 7 demonstram o bom desempenho do códi^ 50 MONSTREAV, relativamente ao cálculo espectral.

Deve ser observado que, com o decorrer do tempo, o espectro de neutrons torna-se mais duro, quer no centro, quer na superfície do sistema, aumentaii do, desta maneira, a população relativa dos grupos 1, 2 e 3. Este fato deve-se â forte absorção dos neutrons existentes, de grupos mais elevados, visto que, nestas faixas, a absorção é elevada. Em conseqüência, isto deixa, no sis_ tema, uma apreciável população de neutrons rápidos.

Na superfície, devido ã fuga dos neutrons, toda a população diminui, ass<) ciada ã forte absorção dos grupos de índice elevado. Entretanto, parte dos neutrons rápidos migram, sem quase perder energia, do centro para a superfí cie, endurecendo o espectro (ver Tabela 1 e Figura 7 ) .

Grupos de Neutrons 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Velocidade Media (m/s) 0,30711 • I O1 0 0,19967 • I O1 0 0,11805 • 1 01 0 0,73910 • IO9 0,40724 • IO9 0,19737 • IO9 0,99898 • 10a 0,45120 • IO8 0,20699 • 108

Limite Inferior em Energia(ev)

3,679 • 10* 1,353 • IO6 0,497 • 106 0,183 • IO6 0,067 • 106 1,989 • IO1» 5,531 • 1 03 2,035 • 1 03 6,826 • 10-1+ gtupo térmico(2,520 • 10"2 )

22

Face aos resultados prévios expostos na Referencia 17, verifica-se que o espectro apresentado pela Tabela 1 e pela Figura 7 é semelhante ao obtido eat perimentalmente no reator rápido EBR-2, dando consistência à trajetória de cálculos realizada p»-.lo código MONSTREAV.

Com relação ao endurecimento do espectro, cumpre salientar que, neste cal culo, a temperatura do sistema evolui de 750K para 95OK, num intervalo de tem po igual a t • 4,8 • 10" s.

3.5 - Comparação dos resultados fornecidos pela cinética pontual epelo c£ digo MONSTREAV.

Os trabalhos de Otl e Meneley comparam os resultados entre os códigos QX-1 e a opção, deste mesmo código, relativamente aos cálculos efatuados atr£ vês da cinética pontual.

Sabe-se que a reatividade prevista pela cinética pontual é bem menor do que a prevista pelo código QX-1, ou mesmo pelo código UIGLE, devido ao ráp_i ào reajustatnento do fluxo através de todo o sistema perturbado. Tanto no c£ digo MONSTREAV, como no código QX-1, a reatividade é calculada através do flii xo de neutrons calculado em cada espaçamento, na escala do tempo.

Em outras palavras, todos os dois processos permitem escrever, por sim plicidade, para um grupo de neutrons, na ausência de neutrons retardados, e pela teoria a perturbação, a seguinte expressão para a reatividade.

f ti/* I v

5 I !

p

- ^ « o )

v ii»; , ( r . t ) E,ii»(r,t) d "

Observe-se que f f é a função adjunta .culada para o reator de refe

rência, no tempo t_. Entretanto, a função r,t) é calculada do modo diferen te, em ambos os casos. Na aproximação código MONSTREAV, esta função é cal^ culada através da expressão (22). N.- ..nética pontual, i^(r,t) é obtida, con_ síderando-se um estado estacionar' de referência. Portanto, o» valores m?djí_ os diferem entre si, favorecend< o formulismo preconizado pelo código deseii volvido, visto que, por este \ ^tot\of \|Kr,t) é mais realistico.

Em termos de acomodação, pode-se simplificar, dizendo que a tforí/i cíné_ tíca pontual L nu);] irrm in us tcrmo.s — - — :,';(?,t) e —r-- — ; — a(t).

23

Assim, desprezando-se estes termos, pode-se dizer que a cinêtica pontual nao considera o tempo de transição necessário ao ajuste da população de nêti trons, âs modificações na composição do reator, e nem o deslocamento da popu

lação para distribuir-se de acordo com o nível de potência atingido (—=-). v* Em outras palavras, na teoria cinêtica pontual <í>(r,t) é uma solução perfeita^ mente estacionaria.

Uma verificação na forma discreta da equação (18) complementa a expos_i çao qualitativa acima.

A Figura 6 reproduz os trabalhos de Meneley , na presença de não line£ ridades introduzidas e, portanto, em concordância com a literatura e cora as conclusões obtidas através do formalismo desenvolvido.

-'• - DISCUSSÃO E CONCLUSÕES

A divergência entre os resultados fornecidos pelo presente tratamento,f«i ce aqueles obtidos pela solução direta, reside no calculo da função 4>'K\r,t). Se a derivada da função de forma for calculada repetidamente, isto é, em ca_ dn ponto da grade do tempo, ambas as soluções convergem.

Este fato foi investigado quantitativamente, admitindo-se espaçamentos da

— —8

ordem de 30 * 10 s, e a seguir, espaçamentos menores, da .ordem de 3* 10 s. A diferença de reatividade, obtida entre estes cálculos, foi da ordem de 10* . C fluxo total 4>(r,t) apresentou um desvio máximo da ordem de 7Z, com ura fator de convergência e = 10 .

As distorsões verificadas na Figura 1 provêm de imperfeições introduzidas na matriz de convergência do processo iterativo selecionado, pois seus coefi_ cientes foram calculados com diferentes precisões numéricas*

Os resultados obtidos encontram-se dentro da faixa de valores existentes na literatura, inclusive aqueles obtidos previamente pelo código QX-1.

As condições de contorno introduzidas no programa MONSTREAV tornam-se par_ ticulares, mas seus efeitos quantitativos mostram-se coerentes (Figura 4 ) .

Face aos resultados, conclui-se que o método é de razoável precisão, pe£ mitindo descatar a necessidade de se calcular diretamente o fluxo de nêti trons em espaço, tempo e energia, que é ura processo limitado, por requerer grande esforço-máquína.

A precisão dos resultados depende dos fatores de convergência, e estes si-rão selecionados criteriosamente, em função do nível de sofisticação des£ jmlo.

24

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100 9 8 7 6 5

Retro alimentação não incluída t fhwo i t r o na dittàncio e«-trapotoda. .0» 9 8 7 6

i

1

i

neutron» tofol em função do do dí»tflncio o portir do

»u-.o1 0 .os .0»

h

lê

riquro 2 - Funçdo omplitudt t rcolividodt tm função do ttmpo.

10

10 Ttmpo(»)

Figuro 3-Funçõo omplitu' ko ( t JJ!voter ocumulodo do

in-ttgrol do funçc omplitudt • dtntidod* otômíco t m funeflo - ttmpo.

FLUXO OE NEUTRONS (FUNÇÃO OE FORMA)

l

í

n o

10° U l IÓ'

i r

Figuro 5 - Energia acumulada t temperatura* calculada» pelo Código MONSTREAV «taundo o trotomtrrto doao oo valor do color ttptcffico.

9 0 0 Temperoluro(K)

6,2 6,1 6P 53 f -5* 5,5 O a .2 3,3 5,2 ! -5,1 i i i i r 10

R«<)iao d< COMPORTAMENTO ASSINTO'TICO

I I I I I

.0-r i .0-r

J I

Figuro 6 - Valores do Ptrfttdo imrtrso t da rtatividad* cm função do tempo

forntcido» p « t eiMRiea pontual t polo forwulHwo do codioo MONSTREM

5165 4,16 5155 4,15 « i O M

1

.0

i r

I !

I

I

1 1