Todo número complexo z pode ser escrito de maneira única na forma:

Números Complexos Resumo

Os conjuntos dos números complexos ( ) é mais abrangente que o conjunto dos números reais ( ). Esse conjunto surgiu após diversos estudos, principalmente após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau, pois os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Para os mais íntimos, dizemos que números complexos são números de duas dimensões. Legal, não é?

Forma Algébrica

Todo número complexo z pode ser escrito de maneira única na forma:

z = + a bi

( a  , b  , ² i = − 1)

Essa é a forma algébrica de se escrever um número complexo. Observe que um número complexo tem duas partes:

Partes real: Re(z) = a Parte imaginária: Im(z) = b

• i é a unidade imaginária, tal que 𝑖²= −1;

• Como 𝑖²= −1, podemos definir i como

i = − 1

;

Potências de i

Usando propriedades já conhecidas de potenciação e sabendo que

i = − 1

, temos:

 = 

 =

 = −

  = −



0 1 2 3

1

1 i

i i

i

i i

`

A partir da potência i⁴ as outras vão se repetindo de 4 em 4. Por isso, para calcularmos iⁿ (n um número inteiro qualquer iremos dividir o expoente n por 4 e o resto será a potência que usaremos.

Ex.: Calcule o valor de i²⁴⁷.

Como dito, dividindo 247 por 4, encontramos resto 3. Ou seja:

247

1³

i = = − i

Operações com números complexos na forma algébrica, conjugado

Adição de números complexos

Para a adição de números complexos, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Se z1=a+bi e z2=c+di, a soma de z1 e z2 será:

Subtração de números complexos

Para a subtração de números complexos, diminuímos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.

Se z1=a+bi e z2=c+di, a subtração de z1 e z2 será:

Multiplicação de números complexos

Para a multiplicação dos números complexos, multiplicamos cada termo do primeiro número por todos os membros do segundo número.

Assim: Se z1=a+bi e z2=c+di, a multiplicação de z1 e z2 será:

Conjugado de um número complexo

Seja um número complexo:

z = − a bi

, seu conjugado será

𝑧̅

= 𝑎 − 𝑏𝑖̅̅̅̅̅̅̅̅, para obtê-lo apenas trocamos o sinal da parte imaginária do número, ou seja, a parte real permanece igual e as imaginárias são simétricas.

Assim, o conjugado de z é dado por

a bi +

.

Divisão de números complexos

Para a divisão de números complexos, multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor.

Forma trigonométrica

Plano de Argand-Gauss

Os números complexos podem ser representados de diversas formas, até aqui vimos a forma algébrica a + bi. Outra maneira de representar é em um sistema de coordenadas em um plano cartesiano. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss, no eixo horizontal ficam as partes reais dos números complexos e o no eixo vertical, as partes imaginárias. Diz-se que o ponto P (a,b) é o afixo do número complexo a + bi.

Módulo de um número complexo: |𝒛|𝒐𝒖 𝝆

O segmento de reta OP é chamado de módulo do número complexo, representado por |z| ou 𝜌. O ângulo entre o eixo Ox e o segmento OP é chamado de argumento de Z, representado por .

Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:

Então:

Argumento de Z

No Triângulo retângulo formado pelos vértices AOP, temos que:

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑏

𝜌 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑎 𝜌

Sendo θ o argumento de Z e b = 𝜌. 𝑠𝑒𝑛𝜃 e a= 𝜌. 𝑐𝑜𝑠𝜃

Reescrevendo z = a+b.i ficamos com:

𝑧 = 𝜌. (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑧 = 𝜌 (𝑐𝑖𝑠𝜃) e essa é a forma trigonométrica.

Operações na forma trigonométrica

Sendo 𝑧1= 𝜌₁ . 𝑐𝑖𝑠𝜃₁ e 𝑧2= 𝜌₂ . 𝑐𝑖𝑠𝜃₂

Multiplicação

𝑧₁ . 𝑧₂= 𝜌₁ . 𝜌₂ . 𝑐𝑖𝑠(𝜃₁+ 𝜃₂)

Divisão 𝑧₁ 𝑧₂= 𝜌₁

𝜌₂ [𝑐𝑖𝑠(𝜃1− 𝜃2)]

Operações na forma trigonométrica

Sendo

z

₁

= z (cos

₁

 +

₁

i.sen ) 

₁ e

z

₂

= z (cos

₂

 +

₂

i.sen 

₂

)

Multiplicação

1 2 1 2 1 2 1 2

z z = z z (cos(  +  + ) i.sen(  +  ))

Divisão

1 1

1 2 1 2

2 2

z z

(cos( ) i.sen( ))

z = z  −  +  − 

1ª lei de moivre

Dados um número complexo não nulo Z = ρ(cosθ + isenθ) e o número n ∈ ℕ. Podemos fazer a seguinte operação:

Generalizando, temos que:

Essa relação é chamada de primeira lei de Moivre em Homenagem ao matemático francês Abragan De Moivre.

Ela também, é valida para expoentes inteiros negativos.

2ª lei de Moivre

Dado um número complexo z = a + bi e o número complexo u tal que uⁿ = z. Chamamos u de raiz de z. Para encontrar seu valor, usando a fórmula:

Essa relação é conhecida como 2ª lei de Moivre.

Exercícios

1.

Dentro do conjunto dos números complexos, o conjunto solução da equação

x

²

+ 625 = 0

é a) 𝑆 = {−5,5}

b) 𝑆 = {−25,25}

c) 𝑆 = {−5𝑖, 5𝑖}

d) 𝑆 = {−25i, 25i } e) 𝑆 = ∅

2.

No plano complexo, temos uma circunferência



de raio 2 centrada na origem. Sendo ABCD um quadrado inscrito à



, de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que representa o vértice B é

a)

1 3

2 2 i

− +

b)

− 3 − i

c)

− + 1 3i

d)

1 3

2 2 i

− −

e)

3 1 2 2 i

− +

3.

Dados os números complexos

z

1

= ( 2, 1 − )

e

z

2

= ( ) 3, x

, sabe-se que

z z

₁

 

₂ . Então, x é igual a a) – 6

b)

3

− 2

c) 0 d)

3 2

e) 6

4.

Sabe-se que

− + 2 2 i

é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand- Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a

a)

⁴ ( ^{3 1 +} )

b)

6 3

c)

⁸ ( ^{3 1 −} )

d)

10 3

e)

12 3

5.

No conjunto dos números complexos, considere a progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a 1 + i e a razão é igual a i, onde i é o número complexo tal que

i

²

= − 1

. Observa-se que, dentre os termos dessa progressão, existem apenas n números complexos distintos. Então, n é igual a

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

6.

Na figura abaixo, está representado, no plano complexo, um hexágono regular cujos vértices são imagens geométricas das n raízes de índice n de um número complexo Z.

O vértice A tem coordenadas ( -1, 1). Qual dos seguintes números complexos tem por imagem geométrica o vértice D?

a)

3 3

2 cos

4  isen 4 

     +     

     

 

b)

17 17

2 cos

12  isen 12 

     +     

     

 

c)

17 17

2 2 cos

12  isen 12 

     +     

     

 

d)

7 7

2 cos

4  isen 4 

     +     

     

 

e)

13 13

2 cos

12  isen 12 

     +     

     

 

7.

Considere os números complexos

z

₁

= + a bi

,

z

₂

= − + b ai

e

z

₃

= − + b 3 i

, com a e b números

inteiros. Sabendo que

z

₁

+ + z

₂

z

₃

= 0

, o valor de

3 2 1

z z

 

 

 

^{é igual a}

a) 1 b) -1 c) –i d) i

8.

O quociente entre os números complexos

z

₁

= + 1 i

e

z

₂

= − 1 i

é a) 1

b) i c) 0 d) 2 e) 2i

9.

Em relação ao número complexo

^{z = i}

⁸⁷

( ⁱ

¹⁰⁵

^{+ 3} )

é correto afirmar que a) Sua imagem pertence ao 3° quadrante do plano complexo.

b) É imaginário puro.

c) O módulo de z é igual a 4.

d) Seu argumento é igual ao argumento do número complexo

1 3 2 2 v = − i

.

10.

Sejam z e v números complexos onde

z = 1

e v tem coordenadas no plano Argand-Gauss

2 2 2 , 2

 

 

 

 

. Sobre o número complexo

z v 

(resultante da multiplicação dos complexos z e v), podemos afirmar que

a) Sempre é um número real.

b) Sempre tem módulo igual a 2.

c) Sempre é um número imaginário puro.

d) Pertence à circunferência

x

²

+ y

²

= 1

.

e) Sempre tem argumento igual a

4



.

Gabarito

1. D

2. C

3. D

4. E

5. A

6. D

7. C

8. B

9. D

10. D