OPERAÇÕES UNITÁRIAS NA INDÚSTRIA DE ALIMENTOS

OPERAÇÕES UNITÁRIAS NA INDÚSTRIA DE ALIMENTOS

Livro de Exercícios

Condução de Calor Numa Placa Plana: Estado Transitório Condição de Contorno de 1

Tipo

Método Explicito 1. Introdução

Esta planilha em MathCad mostra a aplicação do método de diferenças finitas para solucionar um problema de trasnferência de calor por condução em estado transiente em uma placa plana de espessura L; comprimento e largura supostos infinitos. As faces da placa podem ser subtamente elevadas e mantidas em temperaturas iguais ou

diferentes. Esta condição de contorno é do tipo 1.

2. Modelo Físico do Problema

A equação de condução de calor unidimensiona (direção x) em uma placa plana é.

( )1 δT

δt αδ²T δx²

=

condição inicial: t=0 T=T0 0≤x ≤L

condição de contorno x=0 T=Te (face esquerda)

x=L T=Td (face direita)

3. Discretização por Diferenças Finitas

A equação (1) pode ser solucionada numéricamente por meio do método das diferenças finitas expressando cada derivada parciial diferenças finitas: ∆T, ∆t e ∆x.

Supondo que a placa plana de espessura L é s ubdividida em n fatias, cada uma das fatias terá uma espessura ∆x Localizando um ponto na posição média de cada fatia (nodo), e fazendo um balanço de energia em estado transitório para cada um dos nodos, ou seja:

(taxa de calor que entra ) - (taxa de calor que sai) = (acúmulo de calor)

( )2 k A⋅

∆x

( )

− −

( )

  



kA

∆x

( )

( )

− +

  

−



A⋅∆x⋅ρ⋅cp

∆t

 (

)

( )

 

⋅



=

M (∆x)²

= α∆t ( )3

T^t+∆t

( )

M

( )

+ + (M−2) T⋅

( )

( )

  

⋅



= ( )4

Este é um método explicito, pois a temperatura no nodo n em um novo tempo ( t+ ∆t) é calculada com base em temperaturas já conhecidas em três pontos ( n−1, n e n+1 ).

Observação sobre M:

Se M<2 é violada a segunda lei da termodinâmica

Se M≥2 é assegurada a convergência.

Se M≥4 é assegurada a estabilidade numérica.

Se M( ≥6) é minimizado o erro devido ao truncamento das derivadas.

Se M=2 há uma simplificação da equação (4) e o método é conhecido como o Método Simplificado de Schmidt, e a equação fica:

( )5 T^t+∆t

( )

2

( )

( )

1 + −

  

⋅



=

Observar que neste caso, a temperatura no tempo t +∆t é calculada através da média aritiméticas das temperaturas dos nodos adjacentes no tempo anterior (t).

4. Parâmetros Físicos da Placa

Propriedadedes do material da placa:

Densidade ρ:= 998kg m⋅ ⁻³

Calor específico cp:= 2300J kg⋅ ⁻¹⋅K⁻¹

Condutividade térmica k:= 0.197⋅W⋅m⁻¹⋅K⁻¹

α k ρ⋅cp Difusividade térmica :=

α 8.582×10⁻⁸m²

= s

Espessura da placa L:= 3cm

Número de nodos n:= 60

∆x L

:= n ∆x=0.05⋅cm

Espessura da fatia

5. Parâmetros para o Método de Diferenças Finitas

Intervalo de tempo de integração ∆t:= 1sec

Parâmetro M M (∆x)²

α ∆t⋅

:= M=2.913

Número máximo de passos de integração Nt:= 4200

Tempo máximo de simulação Tempomax:= ∆t Nt⋅ Tempomax=70⋅min

Contador de nodos: i:= 0..n

Condição de contorna a esquerda Te:= 400K Obs: Te e Td podem ter valores distintos.

Condição de Contorno a direita Td:= 400K

Conidção inicial de temperatura da placa Tini_i:= 300K T0:= Tini₁

5. Solução do Problema

5.1 Algoritimos para a Solução do Problema

Para cada passo de integração é necessário um vetor contendo as temperaturas (T) em cada nodo no tempo anteior (t), bem como as temperaturas no contorno ( Te e

Td), pois utilizando a equação 4 é possível calculara a temperatura no tempo futuro ( t+∆t) em cada nodo. Uma vez calculadas as temperaturas no tempo futuro este mesmo vetor já atualizado conterá as temperaturas para cálculo no tempo subsequente e assim até o número máximo de passos de simulação (Nt).

A função abaixo Temperatura(T) será utilizada para esta tarefa.

Temperatura T( ) Temp₀←Te Temp_n←Td

Temp_i T_i 1

M^⋅

(

)

+

← i∈1..n−1 for

Temp :=

Em primeir lugar, uma função denominada de Soluciona(passos) atribui o valor da temperatura inicial ( Tini_i) para cada nodo, e "chamará" a função Temperatura(T) para calcular a temperatura em cada nodo até que o número máximo de passos de integração (Nt) seja atingido.

Desde o inicio da simulação (t = 0 s), a temperatura de cada nodo na condição inicial, bem como as temperaturas no contorno, são armazenadas na matriz T.

Dessa forma, cada coluna da matriz T conterá as temperaturas que poderão ser utilizadas a posteriori.

Soluciona passos( ) T〈 〉⁰ Tini

←

T〈 〉ⁱ

Temperatura T

(

)

←

i∈1..floor passos( ) for

T :=

A função Soluciona(passos) deve ser "chamada" por uma outra função que receberá a matriz T no final da simulaçao.

5.2 Resposta do Problema

Resposta:= Soluciona Nt( )

Para mostrar o conteúdo da função Resposta(Nt) por linha é necessário obter a sua trasnposta:

Resposta^T = K

A primeira linha contém a temperatura inicial da placa: T0=300K A segunda linha contém as temperaturas iniciais de cada nodo e as novas temperaturas para as faces:

Te=400K Td=400K

Na linha 3 em diante é possível verificar as temperatura alteradas em cada passo de integração.

Clique na Tabela acima e faça a rolagem da

A última linha contém o perfil de temperaturas ao final da simulação:

Resposta〈^Nt−1〉^T

K

=

Clique na Tabela acima e faça a rolagem da barra para ver todas as temperaturas.

5.3 Resposta Gráfica do Problema

x_i:= i⋅∆x Posição em cada nodo da placa

0 0.75 1.5 2.25 3

300 350 400 450

Perfil de Temperatura

Posição na Placa (cm)

Temperatura (K)