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Conceitos gerais de média

Autor(es): Madureira, Mário António Soares

Publicado por: Faculdade de Direito da Universidade de Coimbra URL

persistente: URI:http://hdl.handle.net/10316.2/27007 Accessed : 11-Aug-2021 06:26:42

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BOLETIM DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS

SUPLEIIIEIITO AO BOLBTIM DA PACULDADB DB DIReiTO DE conll"

VOLUMe IV 1955 _ _ _ _{N.O. 2 3}

Conceitos gerais de média

P)

O. - Introdução

Reveste-ae de especial interesse na EstaUstica a caracterizaçAo dum fenómeno de massas por um valor numérico sU8cepUvel de representar 8 8ua intenlidade média.

Ao fenómeno de ma8888 F aasoeia-se um conjunto de - o - valo reI alo at •• " an re8ultado da medição (ou cootagem) de certo atributo duma população ou universo ulaU3Iico. Como oaraoterizar por um aó oúmero todo eue oonjunto de valores por forma a pOr em evidência o valor tipico que resuma todoa 08 - n - valores i

A resposta a este problema é dada alravé8 da teo- ria das médias. Mas o que deve entender-3e por média1 NAo é fáoil responder a esta pergunta, aendo alé o prin- oipal objectivo deste artigo tentar o aeu esclareoimento e esboçar uma relpoata.

O primeiro conceito de média duma auoeuào é o- correntemeote adquirido - o valor compreendido entre os valores da sucessão-conceito que é devido a Oaucby.

Atenuada a deftniçAo de modo a poder compreender oa valores extremoa da aucellAo o conceito torns-se mais perfeito mas é ainda auftoientemente lato para oos per-

(I) Tnbalho re.llu do no Ceolro de Esludo. de EslaUstica..

Económica Cllmo bolseiro do Inllltuto de Alta Cultura.

,.

mitir critério prAtico de OODstrllcAO de médias. Na rea- lidade esta deftniçAo oAo n08 dê qultlquer b8se de esoo- lha entre 08 in8oito8 valores que S8 podem compreender entre O mio(a,) e o mãx(a.); oAo 008 permite qual- quer jndioaQlo sobre 08 objectivos 8 que 8 média deve satisfazer i oem por outro lado tão lata deHoiçAo é 8uH- ciente para conter toda9 88 médias como D08 CB808 em que cert08 oritérios, 8 que deve satisfuer o valor 8 escolher como Upico, oonduzem 8 um número DAo abar- cado por 881a deHoiçAo.

Devemos, de faoto, reconheoer que o coooeito de média esige 8 deHniçAo prévia doa objecti'f08 8 que ela deve satisfazer. Trallsforms-s8 assim Dum conceito rels- tivo, dependente dos objeotivos e tal conceito restringe- -008, apreciàvelmente, a zona de indeterminação na 8SCO-

lha da média.

A relatividade do conoeito de média, esboçada por Darmois e Bon(erroni, foi estabelecida por Cbisini, dia- cutida por Martinotti e divulgada por Bruno de FlDetti.

A escola italiana tem prestado especial atenção a este problema e pode dizer-Je que lhe pertenoem 08 mais recentes contributos em tal domlnio l3].

A de801çAo de média dsda por ChislDi é a seguinte:

média duma sucessão de valores 8" 8., ... 8" para efeito do cálculo de f( 8,. 9 ••... 8,,) é todo o valor 8 tal que f (a. a, S,. ,. a) =

r

(ai. 8." .. 8n ) A relatividade do oon- ceito é expres811 por

r

(a),8₂ " . 8 11 ) que para os efeitos representarA o objsctivo a que os valores deverão satis- fuer. A médía - o valor a relativamente à finalidade do cAlculo de

r

(8). s".,. a,,) - é o valor único capaz de substitUir todo! os outros. Há aqui certa aC8logia oom o problema de determioaçAo da acluariaPla em oAloulo actuaria!.

67

No sBotido atrás apresentado, 80 determinarmos o preço médio de ^ti beoa cujoa preços 8$0 Pu P" •.. P n, surge Jogo 8 questio de saber qual o objeetil'o em rela~

çAo ao qual S8 deseja oonbecer a média. Deste objeotivo depende o tipo de função r a adoptar.

Uma resposta Cormal de tipo matemático pode COD~

duzir à determinaQão da runçlo

r.

Se por exemplo o objeotivo b determlOar um valor P que deixe imutável a 80ma Z PI, tem-se D P _ l PI, Do meamo modo S8 o objectivo é oonservar imu1ável o produto, a média P serã tal que:

pn Pl' PI" .. Pt!

1. - Diferentes fórmulas de médias e suas propriedades

1. O. - Generalidades

Podemos caracterizar algumas fórmulas das médias pela circuDstAnoia dOI valores 8₁^{, ' , • • • •} 8" figurarem 088888 fórmulas como base, como expoente e simultâ- neamente como base e expoente. No primeiro caso temos as médias potenciadas i DO segundo aa médias exponenciais; e DO terceiro as médiss e:w:pooeociais- -potências.

O facto de oa valores da sucessão nAo apresentarem a mesma importãocia rtllativa pode caraoterizar-se dtra·

vés dum sistema de 'l números inteiroa e positivos que desigoaremos por PI' P ••. ·· pn e cujo efeito se pode con- siderar equivalente ao de substituir a suce8llão ioicial pela 8ucessAo

8_ _ _ _ _ _ 1 ai ... ai a, aJ • • • 8. • • 0

PI vezea Pt veze~

soan •• ·Hn dept+· .. +Pn

~ pn ft)ZOS

..

nlores, com P I valores iguais a 8 I (i -- 1, 2, ... n). EIs&- conjunto de n nó meros ohama·a8 sistema de poodersçAo.

A deftniçAo de sistema de ponderaçAo nio preoi81 08 pesoa P I (i = 1,2, ... a). poia qualquer aiatema Kpu Kp ••... Kp '" obtido do Bnterior por multiplicaçAo por uma coostante, serve para evidenciar a diferente impor- lADeia relativa em que 88 encontram 08 t1 valores 8 •• Btl

.. ' ln' A indeterminaçAo levanta-se quando, por exem·

plD, pretendemos determinar aquele sistema de pesos de 80m8 uDitAria. Os pesos deiurAo de ser números intei.

r08 para panarem a ser aimplsa partes allquotss da uni- dade. Representando·os por

donde K =

~ (J I

cQusodo existam ponderações 88 médias oalculadas dizem· se ponderadas, sendo simples DO C880 oontráriol.

1. 1. - A mldia potenciada

1. 1. O. - DeflniçAo e propriedades A expresBAo

m

f ( . . ^{l' !ii" "} • o

) ^_

-

^{V8 ~ +M t'+ ... +}

-

^fI::

n

corresponde à média potenciada de ordem m, tomando para valores particulares de m, nomes especiais. Anim para m = - I, O, 1,2,3,4" .. obtém-se respectivamente

"

a média harmOnica, a média geométrica, 8 média aritm6- tios, 8 média quadrtUioB, a média cúbics, 8 mMi. biqua- drâtica, etc.

A média potenciada no ssntido de Chiaini a8rá antlo dada pelo valor M que 8atisfaz à falsçlo

r

(81.8., ... ln) = f (M, M, •.• M)

ou

<ou aeja

A correspondente média ponderada seria:

m m

W = v

^(lt Sr+orttt:;'+ ...

+ans::'- V

lCljSi É fácil verificar que 8ata média é homogénea de -grau 1 pois é (p'81,la., ... 18n)=Ã.f(sl,8., ... 8n).

Portanto 8 818018Ç60 de todos 08 valores da 8UC88-

aAo por um laotor A, determina a 8180t8çlO, por igual Iactor, da média potenoiada, quer se trate de média

Ilimples ou ponderada.

Podemo8 também demonatrar que 8 exprenAo

cODsiderada oomo ruoçlo apenaa de m é (unelo or&s·

cente com m, satisfazendo à de8niçAo de média apresen-

60

tada por O.uohy. A demoDstraçAo apeou pode Ber feita para nlores positivos dOR 8,(81)O.i .... I,2, '" n).

Dem.onstremos primeiramente que f(m) é Cre80eDh~

e supoohamos:

a) O

<

⁰⁰

<

^00'.

Então:

e pondo-98

8 desigualdade a estabelecer é

Ora 8 fuoçAo y = t· ⁽⁸

<

¹⁾ é côncava e como para toda 8 funçAo côocava y = f (x) S8 verifica a deai- gualdade

+ ...

^{- , .1( •• )}

0000 ! «,,,,,,,, 1 (desigualdade de Jeos8n ponderada de n termos para fuoçAo côncava) (I) tem-S8 portanto

a. q. d.

Para m

<

^m'

<

^O basta tomar 08 inversos doa valores 8 , para que o problema 88 reduza ao preoedeDte~

C ^I J V~jl'le I. 1. I.

6'

Se ror m = O

<

^{m'. trata·se entlo de} demonstrar que a,,,

" ( ""+

x, 8 I ", 8^m' t... . . ... "n ^{,.,,)' .'} ou pondo

.;n

⁼ t.

e

tomando logaritmo!:

(Iog t, = m' log a I )

+

^{0:, ti}

^{+ . . . +}

^{Cl" I,,)}

o que equivale à oonvexidade da função log t.

Anàlogameote para m

<

^{O = mi. Port-8Dto para}

m/

>

^{m é sempre}

r

(00')

>

^{f (m). isto é,}

r

(ro) é crescente.

Pode demoD8trar·se também que:

11m r(ml =- a, e 11m l{m) = 8_n

m _ _ 1lO

m _ + 'lO

Supost08 os valores ordenados por ordem creacente:

B, •• , •.•• 8" com ',= mlO("I)

•

li" =-máx(x,).

Pondo

III = kl s" (i = t, 2, ... n·1), donde:

I ( ,

m )

logf(m)= log 1 1118, = log'l +

m i_I

..

+

_m ^log

[ tal +

_{1_}

i

_'

r:t l

b

r]

donde: ^tim ... _ _ log f 10 (m) = log a1 e ^{f (m) - "I'}

De modo anãlogo ^•

log I(ro)- Iog"

+

donde liro log [(ro) = log a, • [(rol - a, .

111_+10

Conolui·lle portanto que a lunclo f (m) é crel!'08nte e que ^Ol! lIeus valores se compreendem entre ⁸¹¹ asslntotaa paralelas ao eixo OX (y = a, e y = a,,). A lunçao I (m) corta o eixo das ordenadas 8 distAncia igual à média geométrioa.

alOoa [2J demoDstra o crescimento da fuoçao f (m) atrués do aioal da aua derivada logarHmica. A lun- ção f (00), continua em todo o campo real, tem uma deri·

vada e para mostrar que esta derivada é positiva há que recorrer ⁸ um problema de máximos e minimos condi- ciooad-.>s ou ligados.

n.

.. em:

d log [(ro) dro

log [(ro) = _l_ log

(l., . i)

ro

[ m.!"'1_• 8i'.IO_m gal _- I _og (, _{_ :1.11.1}

m)]

m^{1 l/XI} a.

6S

desigualdade equivalente a:

ou

ou

ou

"m::..:~~,~,~,~~....:" '~O~.~.,,-I

~

>

log (1 "I ai)

.1: t:it.

ar

!"

u, _r

log (ZOl .~)

> ,

> ,

^(I)

Pondo agora

o método doe multiplioadores de Lagrange fornece a equaçAo:

a

102 Z

a

^UI

_ À 6"

• UI

•

P ,

~O-- -- À «I = 0 _ ⁸¹ = ) . CCI UI UI

donde ll, = ^P,

01

E como

a I

^10~ Z

a u i

..

•

^{:;II IOjl Z}

^{- o}

^{i F j}

a forma quadrática reduz-lIe a08 termos quadrado8, tod08 essenoialmente negativos, pois:

(

iii IO~

Z )

a

^{U j 'I}

" r 'r

011

<

^O

Ir

Portanto 8 função ^7." Ul^8J oom !IXI u, - .!SI é mhima para U'=Pj IXI ou l"j=:.Ij u •. Pondo agora Uj= ai'

81"""

x.

a:" tem-ae ~j_ /lI U, e o numerador de (1)

passa a ser o valor máximo e por conseguinte maior do que todo e qualquer valor (maior do que o denomina- dor) e a desigualdade estA demonstrada.

Podia verificar-se ainda que o ponto de aboissaa o e ordeDada igual à média geométrica ar' a:' ... l:I~n é um ponto de inHexAo sendo a ourva oonvexa em relaçlo à origem pafa m

<

^{O e cOo} cava para m

>

^O.

A imagem da funçAo seria da forma indioada Da figura seguinte:

fiq 1

.,

A média potenoiada oontém como já vimo! as média8 oorrentes (harmónioa, geométrica, aritmétioa, quadrâtioa.

oúbioa, biquadrAtica, eto.) portanto todu 8! proprieda·

de. de que goze lIe eatendem a eat88 médi8l. Vimos já, devido ao cresoimento da funçAo f (00). que estls médias foram indicadaM por ordem ore8cente de grandeza. De facto Mb Mil M. M'I ~I~ '-Mb·

A veri6caçAo de que

f ( - 1) = ~I,,, f (o) = ~I, ' f (

+

^{I )} = ~I. ,

r ( +

^{2) = M'I' f (}

+

^{3) =} ~Ic . e f (

+

^{4 )} ~ ~Ib

é imediata excepto para o caso de f (o) onde 8e torna necea8ãrio o levantamento da indeterminação. Traba- lhando com logaritmos neperiano8

log f (00) = _1 log (10:, 81') m

IOR ~O:l

• log I (O) =

o - o

O

pois Z ^0:1 = 1. Mas a regra de L'HOpitlle fornece o verdadeiro valor da exprenAo

ou

!o 1(0) = [

~lJ(i ~I'

102 8, g _" IJ(I t i '"

A circunstânoia de

ii

term08 estudado aa proprie- dades de f (m) nAo implica que se tenba, assim, esgotado todas 88 propriedades das médias particulares que e888 runçAo compreende. Como se sabe ao aumentarm08 a extensão dum conceito 80mos forçados a abandonar

66

algumas dali IiIUlU!I propriedadea. ABlim e em partioular,

• média geométrioa e a aritmétioa gozam. como le Babe, de importantes propriedade. que nAo 88 transmitem ê.

fuoçAO média potenciada em geral.

Uma dessaa propriedadea, de Buma importADOi!, é a da illvariftncia da média com a 8ubstituiçAo dum certo número de termoa da série pela 8U8 média paroial res· pectiva.

Trabalbaodo com médiaa simples: com g= ^\/

•

⁸_t a, ... ^!tll com

.. êro pira 8 8uce8810

- 8 1

+

^8.

+ ... ⁺

^8"

x= k

" "

' ,8, .. 11,,1111+1" .lIn = II" gt Illl+' 811. " " 8n =

"

=.

/-2R': .. ~rk+,h+ •... 8n

V

^{II vezt.}

oe do meamo modo:

~I. =

!.' +

^8,

+ ... +

⁸¹¹

+

^{8" + 1}

⁺

^{h -+ t}

+. . +

^{8n =}

n

= k X

+

8",+,

+ ... +

⁸ⁿ =

n

-

67

x

+

^X

+ ... +

^X

+

^{811+ Bk+ t}

+

^'111+1

+ . .. +

^8"

n

A extensAo deat88 propriedades a

r

(m) exigia que:

_ [!'

^(.~

^{+ .r + ... +}

^.~)m

,

- -

_{n k}

- +

que s6 88 verifica para m = O e m = t. Eis 8 razão da importAooia que 8at88 duas médias têm.

1. I. l. - FuoçOea oonvens e cOocavas [1\

o

estabeleoimento de desigualdades entre lia médias é muito faoilitado pelo estudo das funções convexas e côncavas. O oresoimento de f (m) foi estabeleoido il ou ata de propriedades deatBa funções.

CODsidere·se urns ^{rUDclo f} (x) conUoua, e portanto satisfazendo ao teorema de Darboux (dos valores com·

preendidos) ( I ).

Esss runelo diz·ae contltXO DO aentido lato num

( I) O teorema de Dlrboux pode eoonciu'18 como 18 legue: .Se uma fuoçio continua tem doia valorel diferente. y,_ f(lt,)

fi Yt r (X!J (Xl

<

x,), entlo ela U8ume tod08 01 n lorel compreen-

didos entre 11 e Y. no Intervalo 11:1

<

11: < 11:1'.

68

intervalo (a, b), se, pafa todo o paf de pontoa de abois- 888 XI e x. dene intervalo é:

Yerificsodo-a8 sempre 8 deBigu81dade, a fUDÇAo diz-lU' convexa no 8ebtido restrito. Veri808odo-ee sem-

pre 8 igualdade, a função

r

(x) reduz·ae 8 uma recta em todo o lotervalo (a, b).

Anllogameot8 sendo

8 ruoçAo f (x) dIZ-S6 cônCAVa.

Geometricamente as figura! 2 3, 4 representam fun- ções CODvt'Xas.

~ ^~

' ....

^{r" J hIJ ..}

(7 _~ V

'" f

ti,_

^{b ti, 7}

e 88 8gurta 5, 6 e 7, rUnÇÕ8a côncavas. No ono das ftguras 4 e 7, 88 funções !Ao, respectivamente, cOncava e coo vexa DO a8otido lato.

69

A ioterpretaçAo geométrica permite fornecer uma outra defLoiçAo para 88 funções convexas e CÔDOBVa8.

Será oonvexa DO aentldo lato, 8 fuoeBo cuja imsgem é coostitutda por arcos convexos e ^8~gmeDto8 de recta, entendendo-se por afCO COnvexo todo aquele em que qualquer corda deixa 80ar o arco 8ubteo80 entre 811 BUas extremidades e abaixo dela.

De modo aoálogo sará côoc8'Va DO aenlido lalo toda 8 fucçAo cuja imegem é formada por afOOS C0008V08 6 segmentos de recta, IHltendendo-S6 por afcoa oOncavos aqueles em que qualquer corda deixa Dcar O afCO Bub·

teD80 entre 88 dU8S extremidades e acima dela.

NBa exi8tindo segmentoR de recta ati funçOes eAo COD'Y6X88 (COOC8V88) no a6otido restrito.

CODsidere-se a 6gurll 8 uma luneta convou no sentido restrito.

-:';<-:--"',IH' A

, ,

.'

fig.

8

_ a _,

••• ^~

,

..••. y

, _, ⁼

^f(x)

A recta A

n

tem por equação (reota que passa por dois pODtoS)

o

pontodeabcis8a ).x₁+(1-).)x,. 0<).<1, é 8 média aritmética ponderada doa valortl8 .lI e XI e loca-

70

liza.a8 portanto DO interior do iotervalo (XI' I,), Repre- sentaodo-se por x' = À XI

+

^{(I - 1) JI} é ^XI

<

^{x' < ' 1}

e resulta evidente da figura que 8 ordenada da Ourva é iDferior à ordenada da recta ou

ou

Se o arco coinoidisse oom 8 recta enlAo 8 desigual- dade traDsformava-se em igualdade. Porttloto só bá atenuações de desigualdade para pontoa XI e x, dum mesmo segmento recUltoso.

No 0180 da fuoçAo ser cOocava é fácil veri8car que a ordenada do ponto x' referente 80 aroo A B excede 8

ordenada correspondente na recta A B.

Em particular para À = t - ). ou ). = 1 2 vem:

ou

coo soante 8 runçlo f (1:) for convexa ou cÔncava 00 S60 ...

tido restrito. A expressão

f Ix,)

+

^{f (x,>}

2

71

particularizaçAo de

["', + (I -À)',I<)" I(x,) + )" f(x.)

ohama-se desigualdade de Jona8n simétrica de doia ter- m08, sendo 8 segunda a desigualdade de JaDson ponde- rada de igual nómero de termos.

Do mesmo modo a8odo r ('I) convexa e tomando ta

pontoa _{X IO} XI' " . x"' escolbendo para pesos de 80ma uoittiria IXl • IX, • • • • IX" I é evidente que

x' = 11X1 XI é tal que mio (I

il <

^x'

<

^{mb ('II)}

(por definição de média aritmética ponderada).

Vamos demoD8trar 8 desigualdade de Janson pon- derada de n termos

Par8 D = 3 vem

(desigualdade de Jaoson para doia termos x' e x,). Aqui

Agora desenvolvendo vem a fortiori

+)"

^{(1- ),, ) f(xo)}

+

^{(1-),,) I(xo)}

•

72

e pondo

( l _ ).. ) 1. ^&.: <X:

nm

:r.1 + :x!+~== I,

O <Cl '<.

^{1= 1,2.3}

•

Pro8seguiodo 8 CODstruçAO de médias pooderadaa - 8 dos três primeiros termos (coDsiderada oomo um 8Ó

valor) com o Quarto termo, viria, por prooe88o análogo:

o

processo de CODstruçAo pode ser esclarecido alra-

"é3 do gráftco da figura 9. que DOi mostra que 88 médias

H

1'1 '

I I I I I

,

I I I

, . . ^,

f'S ,q x , x' ,

^Xl'/(2 )(3x3

"""4

Xs

"

pooderlld88 Z Otl f (lI:.) caem sempre sobre cordu do arco oonvexo (logo de ordenadas sempre superiores h da ourva) o que demODltra a de.igualdade de Jaos8n ponderada de n termos.

s.

CIt, =

ti.

^{= ... «n-=}

D

tem-se

r (XI +

x~ ~ ^{' ..}

+ Xn) < '

^(XL)

^t

^I(x;)

^{+ ... +}

^{I(xo '}

D

deaigualdade de Jaoson simétrioa de fi termos (I).

Para o C8S0 de fuoçOea de vAriaa variheis 6 poest.

vai generalizar 88 definições. Uma fuoção Z

=

F (x, • x. ^{I • • •} xn )

diz·a8 oonvexa S8 para todo o par de pontos

[ _x, PI _{, 1I}(II _{~ , ••• X}U) J

I

^{(2) (ti (ti}

n e x, I :I, • " . x ..

88 tem

F [

_{CIt, x,} ^III

₊ «,

^{x, m I 0:, XI til}

+

^{Ctt l(t) t , . '. Ot, x" tilT IXt , X}

("1<

n

F[ ^{"I (i)} PII F

I

^{(~I I~I ,ti}

t f 'J

0:, X, , Xl! , ••• Xn

+

^{(XI X, , X~ , X3 I " . X}n

onde

«1+ «. - 1 0<<<1, Cl! < 1

( I) Poder-ae-ia também ulllln f uma técnica de demonllnçlo por induçio como 86 indicI, por ea:emplo, em Jean A07.6t, Goralll d.

NalerndllCO. 0.°" 41-42, I)etembro de 1949, p'gll. 6·7, problema. 22 e 28,

,.

E,ta é 8 desigualdade de JeDlien ponderAda 8 "

I

vaná veis fi de d( ii! termol', Para ^01:1

-=

^0:1 = obtém-se ^8.

2 de~iJ!uald8de simétrica.

No 0880 de termo! @ó duas variáveis, Z ^:::II F (I, y), a deaigualdadtl rte Jeot!en torn8 8 forma

A interpretação geométrica desta desigualdade é 8 uguiote: 8 supedlcie que representa fl funçlo está 8em- pre situada abaixo de qualquer das 8U88 cordas (t).

Generalizaodo 88 desigualdades de Je0860 tem-!IE~

para a rUDçlo F (XI y):

desigualdade ponderada de duss variáveis fi de n term08,

I .

Sendo .%, = oe, = .'. """ IX ⁿ = obtém-se 8 de8lgual- o

dada de Jeos6n simétrica de

F

(X, +

^x,

+ ... + ' o y, + y. + ' .' + y,, )

D I o

<

F (x" y,l

+ ... +

^{F (x o, y.l}

o

(' ) Por esle raCIO 8e chama', IUR4;ôel cODvex . . eub·lio6IrO"

"

1. I. 2 - Desigualdades enlre 88 médias

n u

a) ,'(I

+ .,) (I + .,) ".

(I

+ ' 0) 7 1 + ,1',8, ,, .••

Ê fáoil ver que log (I

+

^{8") é} uma fuOÇAo COo vexa e pondo ai""'" a^lli vem por aplicaçlo da del!igusldade de Jeoaen

ou

(

o _ ) I

log I

+ V " " . . ' '..

^{'<;; -}_o ^Iog (I

+

^a,) (I

+

^a,)

".(1+'0)

o o

V(I

+

',)(1

+ .,) ".

(I

+

'o) veriSoaodo-s6 a igualdade apeou DO C880 de

8. = a~ = ... = 8Q •

8, b.

+

a. bi

+ ... +

^{8n b"}

com

I I

• -

_r

+ -

_,

=1

desigualdade de Hõlder.

Para demoDstrar esta desigualdade note'~8 que

76

é uma fuoçAo cOccava

( q.

<

^{1) e q,}

+

^{q. = 1}

e escrevendo a desigualdade de Jeoasn simétrica de "

termos vem

.em

ou

X\llq, x~lIq,

+

^{X!l." X~'l"b}

+ ... +

^{x~nl'l. X~")Q·}

o Pondo

1

r =q,

s =

q, fI,=X • • ^{f (II} ,. 8^r n==x, ^ln) b• I =-= xU. ~ ... b' ⁿ = X, ^{ai

1 1

• -+ --1

r 8

,

(ar

+ 8: + ... +

^{8~)' (b~}

+

^b:

+

, ,

+(.~).

(b:)'

, ,

(

8

.

,

+

^fl

. + ... +

.~)7

(b:+ b l+ . . . + b :)',

Para r ^{= !!} 8 desigualdade de Hôlder transforma-se oa deeiguHldade de Cauoby.Schwarlz.

"

Oe laoto com

r = s e

,

+ - -

.

I I - r"""'8= 2 e elilvando 8 delligualdade 80 quadrado vem:

( '

^8,

+ •

^Bt

+ ... +

⁸

') ("

u b1

+

^b.

+ .. .

^{1'" b}

')

n ;7

rorma por que u8ualmente se conhece 8 desigualdade de Oaucby·Schwartz.

,

",.,--;---,,- a, a! ... 811

+ .;

^{b, bi ... bll}

RSilulta da convexidade da função log (8"', b7), escrev8ndo-ae·lbe depois a correspondente deeigualdade de JenseD de n termos e !ubstituiodo 8lrl por 8. e A' I por bj •

2 - As médias compreendidas em f (m).

Suas propriedades

2. 1 - Mldi. harmónica - H

Sejam 8 e b doi~ números quaisquer e designe m

8 8U8 média aritmétioa m = 8

+

b ; média harmónica 2

"

é o teroeiro proporoioDa) ou aeja o número la tal que m

•

= ^b

b

• b _ b -

m

2. b

=

. + b

Nas 6lperiêoois8 feitll8 por Pitágoras DO monoc6r·

dia (I) a expressão h desempenhava importante papel e por isso se lhe cbamou harmónioa (figurava Duma expres8Ao matemática que rClgulava a harmonia musioal).

Pode veriflcar·se que /. 86 pode 88CrElVer 80b 8 forma

h

po1tmdo portaoto deflnir-se 8 média harmónica como o inverso da média aritmética dos inverso!!. Sob este upecto 8 expressão é generalizável, CQD8erv8odo'S6 a primitiva desigoação (média harmónica) sem que agora haja qualquer relação com as leis da harmonia musical.

Costuma aimbohzaf'S6 8 média harmónica por H e 6S0re·

Vê-te babitulllmeote

H =_I_! _I_ o "

( I) Por experiências feil'& DO monoc6rdlo veriftcou PitAgora8 que os comprimeotos das cordas que, com igual lendo, dilo oot ••

em internlo de OltOl'O estio eotre .i na ruio de 2 para I; em inter- Vila de qUinta, na razio de .. para 3. Por exemplo 01 nOmeroa

.=

¹²

e b = 6 ellio na razio de 2 para I, a média aritméticI é n.".. 9 e a harmónica 8 e portanto 12

-.!.

Veja·se Heato Car.~a, ^Conui·

9 •

10' F .. ndomlntal' di Nalemdhw, Lisbol, 195'. pAga. 71-72 .

•

"

para a média harmónica 8implea e

H'_Z ~

. ^,

para 8 média ponderada.

Manifestamente

(

1 1

H(al' s" ^o" Bn}::::.M_1 - -, - -, •• '

8, 8t

:, ⁾

é verdadeiro tanto para médias aimplell como ponde·

fadas.

Há problemas em que o recurso à média harmónica é maia coo veniente. Auim:

Se três ciclht88 fazem um perourso dado em 2. 3 e .. boras respeotivameote, qual foi 8 velooidade média t

Evidentemente

~, ..!, ~

^{são 8S} velooidades doa três 2 3 4

A média sarã _1

(~+ ~ + ~).

3 2 3 4

o

^tempo

ciclistas.

médio do percurso serê dado por

3 d 3

H - ---:.---"-:;"-:;--- ~.---T-.--

-

^2,76

~+~+~

_ 1 +_ 1 +_ 1

2 3 4 2 3 4

(média harmónioa de 2, 3 e 4). E 88 por exemplo, d c : 100 km, a velooidade média será

- -100 - 30,6 km/b.

H

80

2. 2 _ MEdi. gcorntlrlca - O

A deaigo8Qão mM ia geométrica de doia nómeros

(I e b está ligada 80 facto de 88 designAr por meio geo- métrico ou meio proporcional numa progressAo geomé- trioa o número ^J; tal que

Portanto Xl = ^A b ou x ... ^{8 b.}

8 X

-

_x

--

_b

A generaliuçAo li imediata

G =

ti

8. 8 , ..• 8" (média l!implee) ou

o/ =-

^{a~1 8~} . . . 8:" com 11lt1 = I (média ponderada) Por extracçAo de logaritmos vemoa que

log G = - 1 1 log 8 I n

(média aritmética de logaritmos) ou

log (li = !« I log 8 ^I

(média aritmética ponderada doa logaritmos).

Uma média geométrica é apenu uma média aritmé- tica, desde que S6 mude 8 88cala, de aritmética para logarltmio8.

Propriedadtt

PI - Se 0\ 6 a média geométrica simples dos k_l pri- meiros termos, G. a dos k. aegundos termos, '" Gp a dos k p p-ésimos termos (kl

+

k.

+ . _. +

kp ^=< o) Da auces- silo doa termos a ^{I, 8:, .•.} so. entAo ⁸ média geomé·

trica G é igual à média geométrica ponderada dos vslo- res 01, O ••... Gil' utilizando como pesos

k,

n

k.

n (evidentemente 1

~

^{I =}

1)

R: De facto por definição de média geométrica:

"

.. ,Op = ak.+k.+ ... +kp_I+I ... a"

e porque

vem:

O, ₌ O" _I O" t.·. O', ^p

... 0/

^~

(i= 1,2, ... n)

q .•. d.

O(CI, c!, ... oll)= O(al' 8:, ... an)x O(bl , b.,.,.bD )

Resulta imediatamente pelo facto de Ber:

, , ,

\1r.O\ = ~ X V7tbl

82

e DO caso particular de

bl= k O(kal.k at • • . • k8n) = kO(a .. a^{t ••.•} a,,)

Ps - Se

vem de modo análogo

o

^{(CI. Ct • .. ' ('n)= 0("1 •• , .-- . ', 8n )}

O( bl, bl, ". bn )

E S8 os valores a I forem todos iguais à unidade:

I ) I

b_n = Olbl,bt,.,.b,,)

2,3 - M~di • • ritm~tica - M

As expressões da média aritmética. muito oonbeci·

dae. sAo:

M=~

o

•

^M/=!1X18,

respectivamente para a média eimples e média ponde·

rada.

Propriedadu

PI - ~8e forem MI. MI •... Mp as médias re!pectiva·

mente doa k, , primeiros valores, doa k, valores eeguio.

8.

te8, .. , 8 doa últimos kp valores eotAo 8 média aritmé- tica M exprime-se por uma m6dill ponderada de

l)~ facto:

(com o = kl

+

^kt

+ ... +

kp )

pondo

(i _ 1, 2, ^{o o o} p)

qo to d.

Pt - Se for c, = 8, ± bt

como resultava imediatamente. No C880 particuiar de

ler sempre b. = k (cOD!ltante):

M (fi! ± k, 8t ± k, ... I'n ± Ic) = M ("I. 8" ... 8")

±

k

8'

Estas médias desempenham papel importaote no alltudo du distribuições de rrequênoia (médiu ponde·

radas) e sAo 88 seguintes 88 respectiva8 eXpre!l108a:

Mg =

V

^!

^8~

^{e JW'l =}

^V

^{2: exl}

^{8 ~}

ⁱ

o

,

!

,. , ,

M, - \

- . , _•

^{Mlc .,.}

_V!

«\ 8~ o

M.-V ,

² _o ^8~

• V ^,

^{lati 8~}

onde ^{i = 1, 2, ...} n.

o

caso que mais importa à Estat1stioa é aquele em

que 08 " !Ao 811 diferenças 3. = 81 - M (desvios doa 81

em rellçlo à média aritmética simples ou ponderada) e

08 «t são 88 frequências relativas ^{fi =} FI lF, .

3 - Média da soma de potências 3. 0-Odiniçlo

Tomemo8 8 8xpre8slo

f('I, :. ,.' Bn) - ! .. j

• ,m_'

- ,

^{1= 1, 2, '., u}

e c8lculem08

, (ti, 8, •. a). Tem-se

'(II, I, ." I) = o a^m

o a^{m - I} =a e a diz·se média da aoma de potências.

A exprs8l!Ao da média de soma de potência8 é muito geral, abrangendo a média aritmética o harmónica. Oon- siderando·a comu funçao de m tem·a8:

,Cm) = ^E

aF

t, 2, .

\"' m_1

,-

^{. 0}

- 0,

e vê-!e que

f (I) = l III

o

•

f (O) - ^o

, I

- --

_a,

008 reshmtea valores particulares de ,,(m) interessa destacar o correspondente a m = 2 - média antibar·

mÓoica.

A média de aoma de potência8 ponderada8 tem a 8eguinte expressão

,(m) =

,. m

_ !XI III

1 Gtl aj-I ^I = 1,2, .. , u

"

Vamoll ver que 8 média da soma de potênoiaa tam· bém 86 pode oODlliderar como média DO sentido de Cauoby desde que os valores Bejam positivo8.

Demonstremos em primeiro lugar que

Tem-as

com i.,j

No Bomatório

, , ,m

^,DI-!!

- - I J 08 termOI sAo da forma

por ler

8 ; + 8 :

2

(média aritmética maior que 8 média geométrica) tem08 (:) pares de parcelas em que, como para o primeiro par, é

Portaoto o numerador é maior do que

~

(,m-'

^I

l' +

^{? _ _ < ,111-1 I 8j ",-I = [~m-IJ... 81 '}

·7

, (m)

e portanto -

>

^{1. E de modo} .aAlogo ao da , (m-I)

m~di8 potenciada (1. 1. O) turt8m08, pondo

(i = 2, .. , n)

ou

(k - 1,2, ... o-I) viria:

•

^{liro ip (m) =-an}

ID _ _ •

ID_+_

Manifsatamuote 6ata demoD8traçAo apresentada no

0880 da média aimples é extensiva I à média ponderada desde que o aistema de valores IXI seja cODvertido Dum eiatema de números intoiros e positivo! (t).

3. 1 - Proprledadu e importlnda no. utudoa dtmogrAUcoa

A função IP (8" 8" '" 'n) é homogénea do pri- meiro grau e é uma fuoção de média com generalidade diferente da funçlo f (ro), poie que das forrou abrangi- das por uma e outra 8Ó !!lIa comUDa 8 média harmónica e 8 média aritmétioa.

CODsideremos um certo número de casai a Fil F_{I ,_}. ·

F.. cujO! ftlhos correapondeotes slo 8" 8" •• ' 8"

(podendo ser 81 = O p8ra alguDs valore, de i - iato é alguDs dos casais 0110 terem filhos). O número médio de filhos por casal é

~

^(média aritmética d08 filhos

o

( I) O que é aempre poaalveJ. Buta fuer k = m. m. c. dOI deDomioadorea de a.

88

Ilor famnia na I,· geraçAo) que nos mede a proliftoidade dae D lamUias. E partindo da hipótese (pouco realista embora) de que oaraoterlstic88 hereditAriaa ou outraa levem oada fUbo 8 ter taot08 OlhoR oomo 08 da famtlia donde proveio, entlo cada 08881 FI teré a: netos. Entlo doa Olbos em número.! 81 resultam 1. a~ Olhos (Olhos da 2,- geraçãO) e o número médio por casais progenitoraa é

,. ,

- "

~ (média Boti-harmónioa). Do mesmo modo e proli-

. ^"

_{1 a}⁵

flcidade da 2,· geraçAo serã

) ,--!

^{e 88sim por diante,}

- ^"

A média de 80ma de potênoias ê portanto 8u8cepU- vel de medir 8 proliftcidade de BUC8I1Siv88 gerações que obedeçam à lei: (ter laot08 Olbos qUl\Ot08 08 doa S8ua progenitores).

4 -Médias combinatórias [4]

8e Das fórmuln [(ml e , Cm) 88 substitui o termo 8,

pelo produto de k ~ o termos e so interpreta o soma- tório 1: ar como 8 soma extendida a toda8 88 cambio a- çoe8 de produtos dos termos tomados k 8 k tem08 8B

médias combinatórias.

Assim para n """ 3 e k= 2 vem:

( ) _ (a b)"

+

^{(a e)O}

+

^{(b e)m}

9et m -

(a b)"'-I

+

^{(a c) ID-I}

+

^{(b 0)"'-1}

designando por f~ (m) e por 9~t (ro) 88 médi88 combiaa- tóriaa de ordem k rererentes 8 f (m) e f (00) respeotiva- mente.

o.

A fÓrmula que 8 leguir 88 indica - média biplao8 '(Iombinatória potenoiada - generaliza todol 01 tipos de médiu apresentadas.

pt q<l

B " ^{dI) =}

(;)

(~)

1_

p ~

^(ar)

(k)

(:) ¹

^{PI ('I)}

<onde B:: é o sim bolo representativo desta média ^(I).

Por exemplo: Para k """ 2 d = S e D = 4 vem:

!P-Pll, . - , _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

V(

^4)[(ab)'

⁺

^(80)'

⁺

^(ad)'

⁺

^{(bo)' + (bd)'}

⁺

^(cd)'

^J

ntp_ 3

" - (:) [(abe)'

+

(abd)'

+

(acd)' (bcd)'

J

Aos 8omatório8

•

pode dar-se outra interpretaçAo.

(I) Este slmbolo permite· DOS uma rápida evooação ds fÓr.

mula. O Indlce do radioal é • diferença do. produtos kp _ dq {diferença do fadica superior II interior do slmbolo); kp e kq IIslio ISIDOildol respeotlvamente oom 01 80ml16ri08 do numerador II do denominador.

:(k) P~

^{(Ir) é. 10m.} exteodid •• lod •• II oombi.

nações de produtos dOI termos tomldos k • k; Inllogamente

~"" m ^pi

^(.j).

90

Subatitua-se I Buce8sAo 81, II '" ln reapeotlnmeot6 pelu ,ucaslões

onde oada x, é uma das (: ) combiosçOea dOIl 8, e x; uma

dia (: ) oombinação doa 8, e desigoam também o pro-

duto doa elemento! pertenoentes a cada oombioaçlo.

Deste modo

•

d (:) P'( ,)

I 'I =

.(:l,

~ Xl = XI

"+

X:r

'+

' . '

+" x(:)'

Querendo por exemplo cODstruir

para a 8U088810 de valores 8, b, 0, d, 8, teriam os :

x) Xl = ahc, x. = abd,

1', = bea, .1'. = cd e, :1:10 = bde

91

(:) = (~) = 5

^{x') z~ = abod, s:~ = abce,}

1'; -

^abde,

:I;

^{- Iode, ~ =- bode}

A média biplaD8 combinatória potenciada dâ para

Jc ^=> 1 e q = O 8 média potenciada f (p). De facto

,

=V

^lll8f

+ 1 J

^{D (' )}

Para

k = I, P = mi d = I, q = m - 1

(') NOI&-eequele q_O,

:<:) P1(.~ )= {~}

^{poia cid. pro-}

<dulo vlle I e bl (~) doalea produtoe.

92

B ::_ I

A fórmula B ~~ tem poia grande generalidade abran- gendo 88 dUBS médias f (ro) e , (00). Outras fórmul ••

nela 88 oontêm oomo por exemplo 88 médias tnonopra-

"as combinatórias potenciada8 (q = O)

"

V (:) . (- )'

B~g~

^!

el·' ·

e que S8 repressot! por ~Pp.

No C8S0 de ser

81 = a, = ... = Bp :=..:: 8

tem-ae

e 88 for

D = k M~P = M_r •

Em todos 08 outros C8808 com 8,

>

^O domoDatra-8&

que esla média ^Mtp oresoe com p com k coost8nte, 6 cresce ou decresce com k, para p CODstante, conaoante p > 0 ou p < 0. De faoto cada produto 811811'" al_t pode substituir-se pela respectiva média geométrica

ele-

TIda ao AXpo8ote k. Então 08 8xprsssAo

G'"

, +

G"

,

~

.. . + (:l

G"

( ~ )

.s

que 6 8 média potenciada de 01, GI, ... G(~) (ordem kp) pode observar-ss que oom k constante

M" =

I [o t 0\, ... ,0(;). PJ-

Ora a funçlo

cresce com p 8 oomo

[JOg M" ]'

=

^{_I [JOg I (P)]'}

=

^{_1 I' (p)}

>

^{O (')}

k k I (p)

também 10g (Mt^p) oresoe com p e portanto Mlop é cres- cBnte com p.

B"

_dO

,-.

é 8 média biplana combinatória que segundo Gini decresce com k desde que d ou k - d seja C008tsnte.

Interesss sublinhar que 8 média biplaoa oombina- tória potenciada nem sempre n08 oferece valores com- preendidos entre o meDor e maior dos valores, isto é, nem sempre é média no sentido de Cauoby. Satisfaz, contudo, ao conoeito de média que adoptamos: o de Chisini.

(I) Por defiDlçilio k> I.

9'

A veri8oaçAo r8Z~!e imediatamente (subatituindo todos 08 valores por B na respeotiva fórmula)

pt-Ild

=>

li

^{Bpt~qd = B}

86 8eam de fOfa desta expre8sAo 88 médias combi· 'Datórias que não satisfazem 8 deftniçAo de Cbisioi f t't (m) e fCt que poderiam no eotaoto veri8câ·la 86

em vez de associarmos estes valores às fórmulas f (m) .e '(00) usociássemos 8stes outros

De facto

[

f ~l J +

para todos 08 valores iguais a a produz

. ,

V ^{(~). (~) ' ==}

^ai

6 8Dàlogamente

os

5 - Outr •• média.

6. I - Média. uponenc:lall - fi' e ,,'

A fórmula da8 média. exponenciai. é dada pOr

.para 88 médiae simples e

para 88 médias ponderadas, designando !.L e fio' 8. médias exponenciai8.

Por ler

" D 011

1" y.'

C = - - e c _ c . E « ••

D

conclui-ae que I'" e fi.' alo de facto médiaa DO sentido de Chiaini. É ainda uma mMi. DO 8entido de Cauoby -como é fâeil de verinoar.

5.2 -Midiu exponenciais-potencl .. - w

Deftnem-se pela e_prento

" " ' .

8 + 8 + ... + _

)

, . ^.

I " = - - ' - - - ' - - : : - - - - " --

D (média aimploa)

96

ou

1') '1-1= Cl 8'·

+

^« sat

+ ... +

^{IX S"ll} (média pODdend.~

I I ! I A ..

e slo ainda mM"s no sentido de Chieini.

6 - Médias nAo firmes

Até agora as fuoçOsa f(al, 81, ... Sn) que apresenta_

mos eovolvem na realidade todss 88 variáveis e por i.IO 88888 médias 88 designam por firmu. A funçllo objeo- tivo que serve de base à de8niçAo de Cbisini pode,.

porém, oio envolver todos 08 valores 81, 8t, ' . , 8_n e pode ser definida de outro modo qualquer. As médillll correspondentes dizem-se entlo médias não firmes.

quando o cálculo respeotivo oAo envolve o oonheci- menta de todos 08 valores 8 \. Entre 88 médias oAo Or- me. assumem particular imporUlncia 8 moda e 8 mediaDa. Note-se porém que há médias ftrmes Duja de8oição 88 pode dar de modo diferente do apresentado através de qualquer propriedade caracterlstica. A média, por exemplo, satisfaz l condiçAo de a 80ma dos desvi08 calculados em relaçAo a ela terem 80ma nula, isto é ~

a i +

^&,

+ .. ' + aa

⁼ o onde

a

I = aI - M

E sempre que em relação a algum valor M a 80ma dos desvios for nula é porque eS8e valor é a média aritmá- tica. Podemos portanto de6nir média arilm~tica como o valor M em relaçAo ao qual a 80ma dos desvios é nula~

De igual modo de