ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDO NÃO VISCOSO

(1)

ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDO NÃO VISCOSO

Em diversas situações, como nos escoamentos de fluidos de baixa viscosidade longe de paredes, as forças de cisalhamento podem ser desprezadas e a

força de superfície por unidade de área agindo sobre cada face do volume de controle diferencial é igual a pressão com sinal negativo.

Equação de Euler:

P ρ g

t D

V

ρ D     grad

P ρ g

V t V

ρ V grad     grad





 



  



    

ou

(2)

Equação de Euler

r θ g P

r ρ u u u

u ρ u

r g P

r ρ u u

u ρ u

θ θ r z

u θ z

r θ u r

u t r

u

r θ2

z u θ z

r θ u r

u t r

u

θ θ

r r





 



 



    



 







 



    

Direção radial

Direção angular

z ρg P

z w w y

v w x

u w t

ρ w

y ρg P

z w v y

v v x u v t ρ v

x ρg P

z w u y

v u x u u t ρ u

z y

x



 

 



 







 



 



 



 

 



 







 



 



 



 

 



 







 



 



 



coordenadas cartesianas

coordenadas cilíndricas

(3)

- Componentes em coordenadas ao longo de uma linha de corrente:

s s e v V  



Na direção do escoamento - s:

s ρg P

s v v

t

ρ v ^s _s ^s _s



 

 



 







 



s g z g

e k g e

g

g_s _s _s



 















     cos

es

k

 ds dz

ds

 dz





 sen cos



 

V V²

s P ρ g 1

s V V t

V

s 

 

 

 



n g p

R v

s n



 

 ^ ^

 ²

Na direção normal ao escoamento - n:

V v _s 

Na direção do escoamento - s:

(4)

s ds g z

s ds P ρ

ds 1 2

V ds s

t

V ²

 

 

 

 

   





 







 

 



constante



 



  

 gz

ρ dP 2

ds V t

V ²

Equação de Bernoulli

Integração da Equação de Euler ao Longo de Uma Linha de

Corrente: Equação de Bernoulli

(5)

 Escoamento incompressível,  constante:

constante 2

2   

  

 g z

ρ P ds V

t V

1 2 V

V2

Casos particulares:

 Regime permanente:

constante 2

2    g z  ρ

P d V

 Regime permanente e incompressível:

constante 2

2   g z  ρ

P V

2 2 2

1 2 2 1

1

2

2 V P gz

P gz

V 

 



 



(6)

Obs: Para escoamentos irrotacionais (  

V 0) pode-se demonstrar que a constante de Bernoulli tem um único valor em todo o campo de escoamento (ver seção 6.6.1)

OBSERVAÇÃO: Um escoamento não viscoso sofre somente a ação de força de corpo (força volumétrica) e da força de superfície normal, devido a pressão. Portanto, é impossível induzir uma rotação em um escoamento não viscoso. Se o escoamento não viscoso for irrotacional, será sempre irrotacional, se for rotacional, será sempre rotacional.

Por outro lado, TODO ESCOAMENTO VISCOSO É ROTACIONAL.

(7)

Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica Aplicando a equação de Bernoulli na mesma cota de altura, temos

p V

p

_o

 

²



2

p = pressão estática ou termodinâmica

p_o = pressão de estagnação

V

²

2

= pressão dinâmica

(8)

Tubo de Pitot:

Medidor de velocidade

H ρ g

h ρ g

P P*

H ρ g

h ρ g P

P*

m 2

1 









1 2

p* h p*

H

 

h ρ g

ρ ρ

ρ P

P

₁ ₂ _m



 

h ρ g

ρ

V 2 ( ^m  )



2 2 2

1 2 2 1

1 gz

ρ P 2

gz V ρ

P 2

V     

ρ P 2

V ρ

P ₁  ²  ₂

ρ P V P ¹  ²

 2



(9)

Exemplo 6.1: Determine a vazão volumétrica de ar através do duto de seção transversal L = 0,1 m e altura H = 0,3 m. Tomadas de pressão são instaladas numa curva do duto, cujo raio interno é R = 0,25 m. A diferença medida de pressão entre as tomadas é de 40 mm de água [(P₂-P₁)=(_H2O- _ar ) g h]

Solução: As linhas de corrente acompanham a curva, sendo a direção normal às mesmas a direção radial. Aplicando a Eq. de Euler na direção normal (radial) temos

r p r

V²



 







1 2 2

1 2

2 r

r V

p p

r r d V

p

d ln



 

 

) / ) ln(

( ) (

1 2 ar

1 2

r r

p L p

H L

H V

Q 

 





(10)

Exercício 6.4: Determine:

(i)a velocidade da água saindo como um jato livre.

(ii) a pressão no ponto A

Exercício 6.5 e 4.6: Água escoa sob uma comporta. Determine a

força na comporta da figura. ^D¹^{=1,5 m} ^D²^{=0,0563 m}

(11)

D1=1,5 m

D₂=0,0563 m

1

0

2 2 1

1

A  V A  V  V A A 

V /

 ^D ^z 

g P

P

₁



_atm

 

₁



 ^D ^z 

g P

P

₂



_atm

 

₂





² ²²

0 1 2

0

V W D V

V m SC

A d n V u VC

d t u

F ext     _ 

 





 



 

  

  

 



 









)

(

₁ ₂

0 2 0

1

2 1

D D

W P

Wdz P

ext R

F

_atm

D D

x

   

   

2 2

2 2 1

1 2

1

gz

ρ P 2

gz V ρ

P 2

V     

 0 z

ρ

D g P

2 V ρ

D g

P

_atm

 

₁



₂²



_atm

 

₂

)

(

₁ ₂

2 g D D

V

₂²

 

(12)

D1=1,5 m

D2=0,0563 m

)

(

₁ ₂

2 2 2

2 1

1

2 D 2 P W D D

gW WD

D P gW WD

P ext R

F

_x



_atm

 

_atm

 

_atm



   

 

 



 

  

2 2

2 2 2

1

D

gW D ext R

F

_x



^D²^W ^V²² ^D²^W²^g⁽^D¹ ^D²⁾

SC

A d n V

u   

  ^^  

 



 

 



 



 



 2 2 2

2 2 2

1 2

D D D

D D

Wg

R

_x

 ( )

 2

2

2 0 0

2

gW D WD

P zdz

gW gD

P DW Wdz

P

_atm

D D atm

D

        



/

) (

 ^D ^z 

g P

P 

_atm

  

(13)

Exemplo 6.9: (i) Determine a velocidade da água na saída da tubulação. Em uma

primeira aproximação, despreze o atrito e considere regime permanente e D >> d

1

2

V₂=?

h

D

d b L

Equação da continuidade: 

  

t d V n d A

SC VC

 



 



^ ^

⁰

Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável

 

V n d A V A V A

SC



^ ^ ⁰ ^ 1 1 ^ 2 2 ^ 0

D V d

V 2

2 2

1  

mas

d t

h

V

₁

  d

, logo nível permanece constante, h  h_o =cte

(14)

Equação de Bernoulli: 

 

V

t ds d p V V

g z z

 ^  ^

²

^ ^ ^ ^

2

1 2

2 1

2 2 ( ) 0



  

V

t ds p p V V

g z z

 ^

²

^

¹

^

²

^ ^ ^ ^

2

1 2

2 1

2 2 ( ) 0 ,

p

₁

= p

₂

= p

atm ,

z

₂

= 0 , z

₁

 h

o

, V

₁

 0 ; regime permanente

 g h 0

2 V

o

22

  V g h

2

 2

o

(15)

Exemplo 6.9: (ii) Determine a variação com o tempo da velocidade da água na saída da tubulação, considerando que inicialmente a tubulação encontra-se fechada. Novamente, despreze o atrito e considere D >> d

1

2

V₂=?

h

D

d b L

Equação da continuidade: 

  

t d V n d A

SC VC

    

 ^ ^ ⁰

Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável

 

V n d A V A V A

SC



^ ^

⁰

^ ¹ ¹ ^ ² ² ^ ⁰

D V d

V 2

2 2

1  

;

mas d t

h

V

₁

  d , logo nível permanece constante, h  h

_o

=cte

(16)

Equação de Bernoulli: 

 

V

t ds d p V V

g z z



^



^ ² ^ ^ ^ ^

2

1 2

2 1

2 2 ( ) 0

0 z

z 2 g

V 2

V p

ds p t

V

1 2

12 22

1 2 2

1









 

 

  

 ( ) ,

p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1  ho , V1  0 ; regime transiente

 g h 0

2 ds V

t ds V

t V

o 22

t ds V 2 b t 0

0 V V

b 1

2 b 1 2

1





  

 

 



 

 



 















0 h

2 g L V

t d

V d

o 22

2   



1

V₂=?

h

D

d b

(17)

 ^{d V}

g h V

d t

o L

2 2

2  2  2 integrando 0  V2  V2 e 0  t  t  V

g h

t

L g h

o 2 o

2  2 2

 



tanh

Note que quando t→∞ 

2 2 g ho

V  (caso anterior)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4

t* sqrt(2 g ho) /(2L)

V2/ sqrt(2 g ho)

(18)

Exemplo 6.9: (iii) Determine a variação com o tempo da velocidade da água na saída da tubulação, considerando que inicialmente a tubulação encontra-se fechada. Novamente, despreze o atrito e considere D ≈ d

1

2

V₂=?

h

D

d b L

Equação da continuidade:



  

t d V n d A

SC VC

    

 ^ ^ ⁰

Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável

 

V n d A V A V A

SC



^ ^ ⁰ ^ 1 1 ^ 2 2 ^

0 D V d

A V A

V

2

2 2

1 2 2

1    ;

mas

d t

h

V

₁

  d

, logo nível não permanece constante, h ≠ cte

(19)

Equação de Bernoulli:



 

V

t ds d p V V

g z z



^



^ ² ^ ^ ^ ^

2

1 2

2 1

2 2 ( ) 0

0 z

z 2 g

V 2

V p

ds p t

V

1 2

12 22

1 2 2

1









 

 

  

 ( )

,

p

₁

= p

₂

= p

atm ,

z

₂

= 0 , z

₁

= h ; regime transiente



 V

t ds V

t ds V V

g h

b

1 b 2 2 0

2 2

2

1 2



^



^ ^ ^ ^ 

d V

d t ds d V

d t ds V V

g h d V

d t h d V

d t L V V

g h

b

1 2 2

2 2

1 2

1 2 2

2

1 2

1 2 2 0

2 2 0



^



^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

0 h 2 g

V A

1 A t L

d V h d

A A t d

V

d ² ₂²

1 2 2

1 2

2  















 



 



  _g _h ₀

2 V A

1 A L

A h A t d V

d ² ₂²

1 2 1

2

2  















 



 

 



 



 

(20)

















 



 















 



 





1 2 2

1 2

2 2 2 1 2 2

A V A t

d h d

L A h

2 A

A V 1 A h

g 2 t

d V d





 



 



 



















 



 





L A h

A A

2 A

t d

h d A

A A

1 A h

g 2 t

d h d

1 2 2

1

2 2

1 2

1 2 2

2

condição inicial: 1) t = 0 , h = ho , 2) t = 0 , V2 = 0

Para resolver estas equações diferenciais ordinárias, o MatLab pode ser utilizado. As equações serão resolvidas pelo método de Runge-Kutta.

Para utilizar o método de Runge-Kutta, deve-se resolver as duas equações de 1a. ordem para h e V2, em vez da eq. de 2a. ordem para h

(21)

Dois programas com a terminação *.m devem ser escritos. No primeiro, os parâmetros do problema são especificados, assim como a condição inicial. A preparação dos gráficos de saída também é feita neste programa. Este primeiro programa, “chama” o segundo programa, no qual as equações diferenciais a serem resolvidas são apresentadas.

Chamaremos, para este exemplo, o primeiro programa de “taque.m” e o segundo programa será chamado de “bernoulli.m”.

As listagens dos programas são apresentadas a seguir.

Dados: d = 1 in = 0,0254 m ; D = 5 in = 0,127 m; L = 15 m ; h

_o

= 5 m t

_i

= 0 s ; t

_f

= 18 s ; g = 9,81 m/s

²

d h d t

d

D V

  

 



2 2

 





 





 





 



  



 





 





 



  



 



 



L D h

2 d

V D 1

h d g 2 t

d V d

2

2 2 4

2

(22)

Arquivo:

tanque.m

clc;

clear;

fim=0;

global L D1 d2 g ; d2=0.0254;

D1=0.127;

L=15;

ho=5;

Vo=0;

g=9.81;

ti=0;

tf=18;

yo=[ho Vo];

periodo=[ti tf];

[t, y]=ode23('bernouli', periodo, yo);

figure(1) plot(t,y(:,2));

title('Grafico de V2 x t');

xlabel('t (s)');

ylabel('Velocidade na Saida do Tubo (m/s)');

figure(2) plot(t,y(:,1));

title('Grafico de h (V1) x t');

xlabel('tempo (s)');

ylabel('Altura (m)');

Arquivo:

bernouli.m

function ydot = bernouli(t,y) global L D1 d2 g ;

dD = (d2 * d2 ) / (D1 * D1) ; ydot(1) = - y(2) *dD;

ydot(2) = inv(2*(dD*y(1)+ L)) *(2*g*y(1)+(dD^2-1)*y(2)^2);

ydot=[ydot(1) ydot(2)]';

d h d t

d

D V

  







2 2













 

 













  



 



 



d

V D 1

h d g 2 t

d V d

2

2 2 4

2

(23)

Caso ii) D > > d

d = 1 in = 0,0254 m t

_i

= 0 s

D = 100 in = 8,33 ft = 2,54 m t

_f

= 18 s

L = 15 m g = 9,81 m/s

²

h

o

= 5 m

Note que ao atingir o regime permanente V g h m s

2

 2

o

 9 90 , /

(24)

Caso iii) D  d  o tanque irá esvaziar d = 1 in = 0,0254 m ; ti = 0 s

D = 5 in = 0,127 m ; t_f = 18 s

L = 15 m ; g = 9,81 m/s² ho = 5 m

(25)

Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m³)é descrito pelo campo de velocidades

  

V A x i  A y j , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s^-1 , x e y são medidos em metros. Sabe-se que  

g  g k, onde g = 9,81 m/s².

i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) .

 

     

a DV

Dt a i a j a k Du

Dt i Dv

Dt j Dw

Dt k

x y z

       V u

t u t

D u

a_x D  



 

 

a u

t u u

x v u

y w u

z Ax A A x

x          



 0 0 0 ²

a v

t u v

x v v

y w v

z A y

y      



 ² e a w

t u w

x v w

y w w

z      z 



 0



  

Exercício: Um escoamento de água (_H20=1000 kg/m³)é descrito pelo campo de velocidades

  

g  g k, onde g = 9,81 m/s².

 

     

a DV

Dt a i a j a k Du

Dt i Dv

Dt j Dw

Dt k

x y z

       V u

t u t

D u

a_x D  



 

 

a u

t u u

x v u

y w u

z Ax A A x

x          



 0 0 0 ²

a v

t u v

x v v

y w v

z A y

y      



 ² e a w

t u w

x v w

y w w

z      z 



 0



  

Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m³)é descrito pelo campo de velocidades

  

g  g k, onde g = 9,81 m/s².

 

     

a DV

Dt a i a j a k Du

Dt i Dv

Dt j Dw

Dt k

x y z

       V u

t u t

D u

a_x D  



 

 

a u

t u u

x v u

y w u

z Ax A A x

x          



 0 0 0 ²

a v

t u v

x v v

y w v

z A y

y      



 ² e a w

t u w

x v w

y w w

z      z 



 0

(26)

i) Avaliar o gradiente de pressão no mesmo ponto, sabendo que a viscosidade é desprezível

Equação de Euler :  D V 

D t g p

    grad _ grad p g D V

    D t

grad p p

x i p

y j p

z k

   



  

g  g_zk ; g_z   g



 p  

x   a_x   A x² , 

 p  

y   a_y   A y² , g z

p   



k g j

y A i

x A p

grad ²  ²  













 

k 9810 j

y 9000 i

x 9000 p

grad   



  gradp(1,5,2) 10³(9i 45j 9,81k)



  





Exercício: Um escoamento de água (_H20=1000 kg/m³)é descrito pelo campo de velocidades

  

V  A x i  A y j , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s^-1 , x e y são medidos em metros. Sabe-se que  

g  g k, onde g = 9,81 m/s².

ii) Avaliar o gradiente de pressão no mesmo ponto, sabendo que a viscosidade é desprezível

(27)

i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)



 p  

x A x p A x

f y z

  ²    ² ²  ₁

2 ( , )



 p  

y A y p A y

f x z

  ²    ² ²  ₂

2 ( , )  gz C

2 y A x

p

2

2 2  









 







) y , x ( f z

g p

z g p

 3













 



   

p 1 5 2 p 0 0 0 p p 9 10 1 25

2 9810 2 0 1 37 10

1 0 3 5

, ,  , ,        ,

 

       Pa

iii) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)



 p  

x A x p A x

f y z

  ²    ² ²  ₁

2 ( , )



 p  

y A y p A y

f x z

  ²    ² ²  ₂

2 ( , )  gz C

2 y A x

p

2

2 2  









 







) y , x ( f z

g p

z g p

 3













 



   

p 1 5 2 p 0 0 0 p p 9 10 1 25

2 9810 2 0 1 37 10

1 0 3 5

, ,  , ,        ,

 

       Pa



 p  

x A x p A x

f y z

  ²    ² ²  ₁

2 ( , )



 p  

y A y p A y

f x z

  ²    ² ²  ₂

2 ( , )  gz C

2 y A x

p

2

2 2  









 







) y , x ( f z

g p

z g p

 3













 



   

p 1 5 2 p 0 0 0 p p 9 10 1 25

2 9810 2 0 1 37 10

1 0 3 5

, ,  , ,        ,

 

       Pa

(28)

i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido calculada com a aplicação da equação de Bernoulli

u = Ax ; v = - Ay

      

  rot V    V 0    _x i  _y j _z k _,

para escoamento plano

 

  _z k ;  



z

v x

u

  y  0  é irrotacional

Equação de Bernoulli (V = módulo do vetor velocidade)

p V

g z p V

1 g z

2

1 0 02

0 1

2 2

        ^p1 ^p0 ^V ^V ^{g z}



^z



2

02

1 0

1

2 2

   











  



















Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0)  V0 = 0, z0 = 0

Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2) 

   

V₁  V₁ V₁²  V_x²₁V_y²₁  A x ²  A y ² 3² 15² 234

, ,

u = Ax ; v = - Ay

      

  rot V    V 0    _x i  _y j _z k _,

 

  _z k ;  



z

v x

u

p V

g z p V

1 g z

2

1 0 02

0 1

2 2

        ^p1 ^p0 ^V ^V ^{g z}



^z



2

02

1 0

1

2 2

   











  



















Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0)  V0 = 0, z0 = 0

Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2) 

   

V₁  V₁ V₁²  V_x²₁V_y²₁  A x ²  A y ² 3² 15² 234

, ,

u = Ax ; v = - Ay

      

  rot V    V 0    _x i  _y j _z k _,

 

  _z k _; 



z

v x

u

p V

g z p V

1 g z

2

1 0 02

0 1

2 2

        ^p1 ^p0 ^V ^V ^{g z}



^z



2

02

1 0

1

2 2

   











  



















Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0)  V0 = 0, z0 = 0

Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2) 

   

V₁  V₁ V₁²  V_x²₁V_y²₁  A x ²  A y ² 3² 15² 234

, ,

(29)

Exercício: Um escoamento de um jato contra uma parede para ser representado por   10 x y

u y x v

x y

       



 

10 ,  10 0

y u x

0 v 0

V _k 



 



 











 

irrotacional

•

2 U p

2 V

p

² _



²_

 

 

então

2 L

p

_

; U

_

constante z

2 g V

p 

²

 



Aplicando entre um ponto na parede e ao longe

   

V²  u²  v²  10 x ²  10 y ²

 

V

²

 u

²

 v

²

 10 x

²

U

_

2 ao longo da parede y = 0, logo

onde

(30)

A força é

F p b dx p U

x b dx

L L

L

  

L

   

  





 ⁽ ^

²

^

²

⁾

2 50

F p U

b L b x

p U L

b L

L L

   

 





 

      

 





 

 





 



²



³



²



²

2 2 50

3 2

50 3 2

( ) ( )

(31)

Exercício: Um vórtice é definido pelo seguinte campo de velocidade

V  u  e 

_



, onde o

componente angular é

r u K







2

, sendo K a intensidade do vórtice constante (K=-10 m²/s).

(i) Determine se o escoamento é irrotacional.

(ii) Determine a função de corrente que representa o escoamento

(iii) Determine a diferença de pressão entre os pontos (1) e (2) e entre (1) e (3), sabendo que o fluido é ar [=1,2 Kg/m³]. O ponto (1) possui coordenadas (ri = 2 ; 1 = 0⁰) , enquanto o ponto (2) e (3) possuem coordenadas (r2 = 2 ; 2 = 90⁰) e (r3 = 4 ; 3 = 90⁰)