Sistema não misturado

(1)

Sistema não misturado

Acumulação = F

_ext

± Transporte ± Reações

(2)

Modelagem e Controle da Qualidade da Água Superficial Regina Kishi, , Página 2

1. Transporte

Espaço

Tempo

Espaço

Tempo

(3)

C u _x

C x u

C

u   

R

1.1 - Transporte advectivo

Movimento da substância de uma posição no espaço para outra, ocasionado pelo deslocamento efetivo da água, ou seja, pelo campo de velocidades do fluxo de água.

Dado um volume de controle:

R: reações

u

_x

: velocidade instantânea

(4)

Transporte advectivo (2)

Balanço de massa: _J _A _J _A _R

t

V C 

_entra



_sai





 

VC k

A x x

u C C u CA

t u

V C

_x _x _x

  



 



 

  ( )

Considerando  V=A.  x e lim  x  0:

x kC u C

t C

x





 

 

Uni-dimensional 

Considerando reações de primeira ordem: R=k.  V.C

z kC u C

y u C

x u C

t C

z y

x





 



 



 

 



Tri-dimensional

_u

x, u_y, u_z componentes da velocidade instantânea nas

direções x, y, z, respectivamente.

(5)

1.2 - Transporte difusivo

Movimento da substância de um local mais concentrado para outro menos concentrado  minimizar gradiente de concentração.

Difusão molecular: em uma escala microscópica, devido movimento aleatório das moléculas de um fluido,

promovendo o espalhamento das partículas.

Difusão turbulenta: em uma escala maior, movimento

devido a turbilhões dos mais variados tamanhos e

orientações.

(6)

Transporte difusivo (2)

Matematicamente representado pela lei de Fick:

x D C

J

_x _m



 

 Fluxo de massa é

proporcional ao gradiente da concentração.

Uni-dimensional

D

_m

quantifica a taxa do processo difusivo.

Coeficiente de difusão molecular [L

²

T

^-1

]

Fluxo de massa na direção x [ML

^-2

T

^-1

]

(7)

Primeira Lei de Fick (difusão)

C

x

C

x Direção do fluxo de massa?

dC < 0

Caso 1 Caso 2

dC > 0

Fluxo de massa:

Gradiente:

Positivo Fluxo de massa: Negativo

Gradiente:

(8)

Transporte difusivo (3)

x D

_m

C



 

x x C D x

x

D

_m

C

_m

 



 







 



 

R A

J A t J

V C 

_entra



_sai





 

VC k

A x x

C D x

x D C

x A D C

t

V C

_m _m _m

  



 



  



 







 



 

 



 







 

 

 

x kC D C

t C

m





 



2 2

Balanço de massas:

Considerando  V=A.  x e lim  x  0:

Volume de controle:

Considerando reações de primeira ordem: R=k.  V.C

Uni-dimensional

(9)

1.3 - Transporte advectivo-difusivo

Quando advecção e difusão ocorrem, o efeito dos dois fenômenos são aditivos.

C kC C D

C u

 

 



 

²

Balanço de massas:

VC k

A x x

C D x

x D C

x x u C C u x A

D C C

t u

V C

_x _m _x _x _m _m

  



 



  



 







 



 

 

 

 



 







 

 

 

R A

J A t J

V C 

_entra



_sai





 

Considerando  V=A.  x e lim  x  0:

Considerando reações de primeira ordem:

R=k.  V.C

Uni-dimensional

(10)

1.3.1 - Turbulência

Nos casos de turbulência, pode-se substituir o termo de

velocidade instantânea pela velocidade média temporal acrescida das flutuações de velocidade de turbulência:

2 2

) '

( x

D C x

u C t u

C

x m

x



 



 



 



: velocidade média temporal em x.

u

x

: flutuação da velocidade em x.

' u

x

Para o caso uni-dimensional:

'

x

u

u  

(11)

Difusão turbulenta

Usando-se somente a velocidade média temporal no termo advectivo, tem-se o efeito da turbulência transferido para o coeficiente de difusão, que é

acrescido de um termo referente ao coeficiente de difusão turbulenta ().

 

² ₂

x D C

x u C t

C

m



 

 

 

 

 

D

_m

<< 

(12)

12

Velocidade na seção transversal

RTK

Variação da velocidade

Hudson, 1983.

Fonte: Santos et al. Hidrometria Aplicada.

(13)

1.3.2 - Dispersão

Adotando-se a velocidade média da seção transversal (U) no termo advectivo, os possíveis efeitos das variações do perfil de velocidades devem ser incluídos no termo de

difusão, que agora passa a ser o coeficiente de dispersão longitudinal. Logo:

2 2

x D C

x U C

t C

L



 



 

 



C : concentração média na seção transversal [ML^-3] U : velocidade média na seção transversal [LT^-1] D_L: coeficiente de dispersão longitudinal [L²T^-1]

(14)

Dispersão

Deslocamento do poluente caracterizado pela tendência de uniformização de

concentração e diferenças

de velocidade.

(15)

Coeficiente de Difusão

(16)

Resumo

Equação Geral do Transporte:

z kC D C

y D C

x D C

z u C

y u C

x u C

t C

z y

x z

y

x





 



 



 



 



 



 

 



2 2 2

2 2

2

kC C

D t Cu

C

i

   



 

 ( )

ou

i: vetor direção em relação aos eixos x,y,z u

_i

: velocidade

D: coeficiente de dispersão

C: concentração da substância ⁽ ^I ^x ^J ^y ^K ^ ^z ⁾

 



 



 



operador nabla:

Advecção Difusão Reação

Substância não-conservativa

(17)

2 - Número do estuário (η)

η » 1 Predomina difusão η > 10

η ≈ 1 Advecção e difusão são importantes

0,1< η <10 η « 1 Predomina advecção η < 0,1

Faixa sugerida U

2

kD

_x

 

(18)

3 Condições steady-state

3.1 – Sistemas predominando a advecção

t 0 C 



Considerando mistura instantânea completa no ponto x

₀

Qe Q

Q C Q

C C

rio

e e rio

rio

0



 

X₀ x

C

_e

Q

_e

C

_r

Q

_r

x kC U C

0

_x





 



a) Cargas pontuais

Integrando:

Para x

₀

=0, tem-se C=C

₀

U x k 0 e C C





(19)

b) Cargas distribuídas uniformemente

S_d [ML^-3T^-1]

X₀ x

d

x kC S

x U C

0  



 



Integrando:

Para x

₀

=0, tem-se C=C

₀

 





 



 







 x

U k x d

U k

k e e S

C

₀

1 C

₀

– conc. do rio no início da carga distribuída

t 0 C 



(20)

Exercício

A(m²) 60

20 1 2,25

8 16

1000 kg.d^-1 10gm^-3d^-1

X₀ x

8 16

X₀ x

8 16

X₀ x

Q(m³s^-1) 5mg.l^-1

T(°C) 25 20

8 16

X₀ x

Determine a distribuição do poluente ao longo do rio, com as cargas

pontuais e distribuída conforme a figura.

Condição steady-state.

Determine em que ponto a concentração do rio volta à concentração igual ao ponto x

₀

.

A taxa de decaimento do poluente é k=0,1 d

^-1

a 20°C (=1,05).

t 0 C 



(21)

3 - Condições steady-state

3.2 – Sistemas onde a advecção e difusão são importantes

a) Carga pontual

x 0



 



 



²^D ⁽¹ ^m⁾^x

U

x x

m e AU

C W



 



 



²^D ⁽¹ ^m⁾^x

U

x x

m e AU

C W

2 x x

U 4 kD 1

m  

Para x  0 Para x ≥ 0

Sendo:

η

x kC D C

x U C

0

₂

2 x

x





 



 



t 0 C 



(22)

b) Cargas distribuídas uniformemente ^S

_d

^[ML

^-3

^T

^-1

^]

0 x

_a

x

Para x ≤ 0 :

x ) m 1 D ( 2 x U

) m 1 D ( 2

U

d _x

a x x

x

e e

m 1 2

1 m k

C S





 





 



 

 

 



  

Para 0 ≤ x ≤ x_a :

 





 



    



^ ^ ²^D ⁽¹^^m⁾^x

) U x x )(

m 1 D ( 2

U

d _x

a x x

x

m e 2

1 e m

m 2

1 1 m

k C S

Para x ≥ x_a :

) x x )(

m 1 D ( 2 x U

) m 1 D ( 2

U

d x ^a

a x x

x

e e

m 1 2

1 m k

C S



 





 



 

 

 



  

t 0 C 



(23)

4 – Condição não permanente – variável no tempo

Carga pontual instantânea: acidentes, derramamento 4.1 – Sistemas predominando a advecção

4.2 – Sistemas predominando a difusão/dispersão

4.3 – Sistemas predominando a advecção e dispersão 4.4 – Sistemas ocorrendo advecção, dispersão e reações

Estudos com traçadores 4.5 –Traçadores

É feita análise discreta no tempo.

(24)

4 – Condição não permanente

4.1 – Sistemas predominando a advecção

x kC U C

t C

x 



 

 



Se um vazamento ocorre e causa:

uma concentração C

₀

em t=0 e x=0 a solução pode ser:

Para t=x/U : C  C ₀ e ^ ^kt

Outro : C=0

x kC D C x U C t C

2 2

x 



 



 

 



(25)

Exercício

Pergunta-se:

a) Qual a extensão e concentração do vazamento?

b) Em quanto tempo a pluma alcançará 10 km?

c) Responder os itens acima se substância fosse não

x W = 5 kg / 5min

Q

_r

= 2 m

³

/s A = 10 m

²

Carga acidental: Substância conservativa

(26)

4 – Condição não permanente

4.2 – Sistemas predominando a difusão/dispersão

x kC D C x U C t C

2 2

x 



 



 

 



2 2

x D C

t C

x



 



Substância conservativa  k = 0 U ~ 0  advecção negligenciável

Carga pontual instantânea em x=0:

t D

x

p _x

t e D t m

x

C

⁴

2

) 2 , (



 

^m^p = massa total ponderada pela

seção transversal

Solução idêntica ao movimento aleatório da partícula  Distribuição normal

(27)

Movimento aleatório da partícula

 Probabilidade da partícula estar a uma distância x no tempo

t pode ser formulada como uma distribuição normal

Representação do movimento aleatório/randômico

~ distribuição normal

(mesma forma)

(28)

Assim, tem-se uma distribuição normal padronizada mostrando a probabilidade (expressa em %) e abrangendo vários múltiplos do desvio padrão:

Curva com média = 0 e variância = 2D

_x

t

Por exemplo Para 3,9 σ:

Compreende 95% da área sob a curva

Distância que compreende 95% da massa

Considerando 95% da extensão do vazamento

t D

_x

 2



(29)

Exercício

Substância conservativa  k = 0

Carga acidental no centro de um canal com águas paradas, sem fluxo.

Se coeficiente de dispersão = 10

⁵

m

²

/d

a) Onde estará o espalhamento do poluente em um dia?

Considere que uma faixa de 95% aproxima adequadamente da extensão do vazamento.

b) Se a carga acidental for de 5kg e seção transversal de 10 m², quais as concentrações em x=0 e x=500m após 1 dia?

c) Responder itens a e b para após 2 dias

(30)

4 – Condição não permanente

4.3 – Sistemas predominando a advecção e dispersão

2 2

x D C

x U C t

C

x



 



 

 



Substância conservativa  k = 0

Carga acidental em x=0:

t D

Ut x

x

p _x

t e D t m

x

C

⁴

)

( ²

) 2 , (



 

x kC D C x U C t C

2 2

x 



 



 

 



(31)

Carga acidental em x=0:

t D

Ut x

p _x

t e D t m

x

C

⁴

)

( ²

) 2 , (



 

Concentração de pico:

e

⁰

= 1

Se comparar com o item 4.2, nota-se que o efeito da advecção é “mover” a solução

da dispersão intacta a jusante com velocidade U.

t D

x

p _x

t e D t m

x

C ⁴

2

) 2 , (







Predominando difusão:

Predominando advecção+difusão:

(32)

Exercício

Vazamento de 5 kg de substância conservativa.

Corpo de água: Q = 2 m

³

/s A = 10 m

²

D

_x

= 0,1 m

²

/s

Considere que uma faixa de 95% aproxima adequadamente da extensão do vazamento.

Calcule extensão da pluma e concentração de pico para t=3h, 6h e 9h.

Faça esquema de C versus x com os valores encontrados.

5 kg

(33)

4 – Condição não permanente

4.4 – Sistemas ocorrendo advecção, dispersão e reações

x kC D C

x U C t

C

2 2

x





 



 

 



Carga acidental em x=0:

t kt D

Ut x

x

p _x

t e D t m

x C

 





⁴

)

( ²

) 2 ,

( 

Se comparar com o item 4.3, o efeito do decaimento reduz a área sob a curva ao mover para

jusante.

t D

Ut x

p _x

m e t

x

C ⁴

)

( ²

) , (



 

t D

x

p _x

t e D t m

x

C ⁴

2

) 2 , (



 

Predominando difusão: Predominando advecção+difusão:

(34)

Exercício

Vazamento de 5 kg de substância não conservativa, k = 0,1 d

^-1

Corpo de água: Q = 2 m

³

/s

A = 10 m

²

D

_x

= 0,1 m

²

/s

Considere que uma faixa de 95% aproxima adequadamente da extensão do vazamento.

Calcule extensão da pluma e concentração de pico para t=3h, 6h e 9h.

Faça esquema de C versus x com os valores encontrados.

5 kg

(35)

4.5 - Estudos com traçadores

Estimar certas características:

- Velocidade

- Coeficiente de dispersão - Taxa de decaimento

É feita análise discreta no tempo.

a) Concentração média

) t t

( 2

) t t

)(

C C

( C

0 n

1 n

0

i i i 1 i 1 i



  





  

t₀ t₁ t₂ t_n-1 t_n

C No ponto X:

Ponto de medição X Ponto

lançamento

(36)

b) Massa

) t t

( C Q

M 

_n



₀

c) Tempo de percurso

  



_

  



   

1 n

0

i i i 1 i 1 i

1 n

0

i i i i 1 i 1 i 1 i

) t t

)(

C C

(

) t t

)(

t C t

C

(

t

(37)

d) Variância temporal

e) Velocidade média

2 1

n 0

i i i 1 i 1 i

1 n

0

i i 1 i

2 1 i 1 i 2

i 2 i

t

( t )

) t t

)(

C C

(

) t t

)(

t C t

C (

S 

  



_

  



   

1 x 2

x

1 2

t t

x U x



 

Se são conhecidos dados de 2 estações, localizadas em x1 e x2:

(38)

f) Coeficiente de dispersão

g) Coeficiente da taxa de reação de primeira ordem

Se são conhecidos dados de 2 estações, localizadas em x1 e x2:

) t t

( 2

) S

S ( E U

1 x 2

x

2 1 x , t 2

2 x , t 2



 

2 x

1 x 1

x 2

x

M

ln M t

t k 1

 

Se são conhecidos dados de 2 estações, localizadas em x1 e x2:

(39)

Exercício

t(min) 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

C(μg/L) 0 2 24 78 108 89 52 23 9 3 0

Um estudo com traçadores é conduzido para se determinar a velocidade no rio e o coeficiente de dispersão.

No tempo t=0 e x=0 foi injetado instantaneamente 5kg de uma substância conservativa. As concentrações medidas em dois pontos a jusante são:

x = 1 km

x = 5 km

t(min) 550 600 650 700 750 800 850 900 950

C(μg/L) 0 7 26 47 43 23 8 2 0

(40)

5 – Fonte bibliográfica:

• Chapra, S. 1997. Surface water-quality

modeling. Boston: McGraw-Hill. 844p.

Sistema não misturado