Resumo. Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas. Sinal em Tempo Contínuo. Sinal Acústico

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Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas

Luís Caldas de Oliveira

lco@ist.utl.pt

Instituto Superior Técnico

Sinais e Sistemas – p.1/50

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Resumo

Sinais de tempo contínuo e discreto Transformações da variável independente Sinais básicos: impulso, escalão e exponencial.

Sistemas contínuos e discretos Propriedades básicas dos sistemas

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Sinal Acústico

Sesfor um sinal acústico:

s :Tempo→Pressão

Podemos representá-lo na forma de uma função:

∀t∈,s(t)=. . . s :→

Pressão

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Sinal em Tempo Contínuo

Um sinalx(t)em tempo contínuo é uma função de uma variável contínua.

∀t∈,x(t)=. . . x :→

Passaremos a denominar estes sinais pela forma abreviada de sinais contínuos.

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Valor de Fecho do PSI-20

O valor inicial (base) do PSI-20 é de 3000 pontos e é calculado por referência aos preços de fecho da sessão de bolsa de 31 de Dezembro de 1992.

Exemplo:

{. . . ,7309,7321,7315,7327,7325, . . .}

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Sinal em Tempo Discreto

Um sinalx(n)em tempo discreto é uma função de uma variável discreta:

∀n∈,x(n)=. . . x :→

Passaremos a denominar estes sinais pela forma abreviada de sinais discretos.

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Amostragem de Sinais Contínuos

Muitos dos sinais em tempo discreto resultam da amostragem de sinais em tempo contínuo (xc(t)):

x(n)=xc(nT ),∀n∈

em quexc(t)é uma função da variávelt∈eT é o período de amostragem.

... ...

T

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Problema

Determinar taxa de compressão de uma faixa de música de um disco compacto ao ser codificada em mpeg-3 a 128 Kb/s.

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Codificação da amplitude

Para além da amostragem temporal, a amplitude do sinal pode também ser codificada usando um número finito de bits. No caso de uma codificação linear de 16 bits em complemento para 2:

s :→ {−32768, . . . ,32767}

No caso de uma imagem quadrada com 512x512 pixeis de com 8 bits por cada componente RGB (24 bits):

i :{0, . . . ,511}²→ {0, . . . ,255}³

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Energia

Convencionou-se definir a energia de um sinal como sendo:

E∞= Z +∞

−∞

|x(t)|²dt.

De forma análoga para o caso discreto:

E∞=

+∞

X

n=−∞

|x(n)|².

Podem existir sinais com energia infinita!

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Potência

Com base na definição de energia, podemos também definir a potência média de um sinal:

P∞= lim

T→∞

1 2T

Z +T

−T

|x(t)|²dt.

De forma análoga para o caso discreto:

P∞= lim

N→∞

1 2N+1

+N

X

n=−N

|x(n)|².

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Deslocamento Temporal

y(t)=x(t−t0)

...

... ...

x(n)

y(n)

t0

t

t 0

0

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Problema

... ...

7 n 6 5 4 3 2 1 0

−1

... ...

7 n 6 5 4 3 2 1 0

−1 x(n)

y(n)

y(n)=x(n−n0) Qual o valor den0?

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Inversão Temporal

y(t)=x(−t)

...

... ...

y(n) x(n)

0

0 t

t

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Escalamento Temporal

y(t)=x(at),a∈

...

... ...

y(n) x(n)

0

0 t

t

.

Problema

... ...

−1

x(n)

0 1 2 3 4 5 6 7 n

1 1

2 3

Determine a sequência definida por:

y(n)=x(3−n)

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Sinal Periódico Contínuo

Um sinal contínuo diz-se periódico se se mantiver inalterado por um deslocamento temporal de valorT:

x(t)=x(t+T ), T ∈

Ao menor valor positivo deTdá-se o nome de período fundamental (T0).

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Sinal Periódico Discreto

Identicamente ao caso contínuo, um sinal discreto diz-se periódico se se mantiver inalterado por um deslocamento temporal deNamostras:

x(n)=x(n+N), N ∈

Ao menor valor inteiro positivo deNdá-se o nome de período fundamental (N0).

A amostragem de um sinal periódico contínuo nem sempre resulta num sinal periódico discreto.

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Sinais Pares e Ímpares

Um sinal é par se for igual à sua inversão temporal

x(t)=x(−t) Um sinal é ímpar se:

x(t)=−x(−t)

...

y(n) x(n)

0 t

t

...

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Componente Par e Ímpar

Qualquer sinal pode ser decomposto na soma de um sinal par com um sinal ímpar:

x(t)=xe(t)+xo(t)

xe(t) = 1

2[x(t)+x(−t)]

xo(t) = 1

2[x(t)−x(−t)]

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Exemplo

Determinar a componente par e ímpar do sinal:

...

0 t

...

−2 −1 1 2

1 2

x(t)

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Impulso Unitário Discreto

δ(n)=

(0, n,0.

1, n=0.

... ...

n (n)

4 3 2 1 0

−1

−2

−3

−4

δ

Qualquer sequência pode ser expressa em termos de uma soma de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo:

x(n)=

+∞

X

k=−∞

x(k)δ(n−k)

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Escalão Unitário Discreto

u(n)=

(0, n<0.

1, n≥0.

... ...

n 4 2 1 0

−1

−2

−3

−4 3

u(n)

u(n)=

+∞

X

k=0

δ(n−k)

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Impulso e Escalão Discretos

O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso unitário:

u(n)=

n

X

k=−∞

δ(k) Inversamente:

δ(n)=u(n)−u(n−1)

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Impulso Unitário Contínuo

O impulso unitário, também designado por função delta ou distribuição de Dirac, define-se por:

δ(t)=0, t,0 Z +

−

δ(τ)dτ=1, ∀∈+

A funçãoδ(t)não se encontra definida parat=0

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Interpretação do Impulso

...

0 t

...

δ_∆(n)

1/2

∆

−1/2∆

δ(t)=lim

∆→0δ∆(t)

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Representação do Impulso

...

0 t

...

(t) (1) δ

A amplitude da seta indica a área do impulso e não o valor parat=0.

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Propriedade de Amostragem

x(t)δ∆(t) ≈ x(0)δ∆(t) lim∆→0x(t)δ∆(t) = lim

∆→0x(0)δ∆(t) x(t)δ(t) = x(0)δ(t)

O produto de uma função por um impulso produz um impulso com área igual ao valor da função no instante do impulso.

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Escalão Unitário Contínuo

u(t)=

(0, t<0.

1, t≥0.

...

0 t

...

u(t)

u(t)= Z +∞

0

δ(t−τ)dτ.

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Impulso e Escalão Contínuos

O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso unitário:

u(t)= Z t

τ=−∞

δ(τ)dτ.

Inversamente:

δ(t)= d dtu(t)

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Exponencial Contínua

x(t)=Ce^at

em queCeapodem ser números complexos:

C = Ae^jφ, A, φ∈ a= −α+ jω0, α, ω0 ∈

x(t)=Ae^−αte^j(ω⁰^t+φ) decompondo em parte real e imaginária:

<{x(t)} = Ae^−αtcos(ω0t+φ)

={x(t)} = Ae^−αtsin(ω0t+φ) .

Exponencial Real Discreta

SendoαeAnúmeros reais:

x(n)=Aαⁿ

|α|>1 a sequência|x(n)|é crescente;

|α|<1 a sequência|x(n)|é decrescente;

α >0 as amostras da sequência x(n)têm todas o mesmo sinal deA;

α <0 as amostras da sequência x(n)são alternadamente positivas e negativas.

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Exponencial Complexa Discreta

Seα=e^jω⁰ eA=|A|e^jφ: x(n) = |A|e^j(ω⁰^n+φ)

= |A|cos(ω0n+φ)+ j|A|sen(ω0n+φ) Por analogia com a correpondente função contínua, aω0

chama-se frequência da sinusoide complexa eφé a sua fase.

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Periodicidade Temporal

No caso discreto, a sequência exponencial complexa nem sempre é periódica.

x(n) = x(n+N)

|A|e^j(ω⁰^n+φ) = |A|e^j(ω⁰^(n+N)+φ)

= |A|e^j(ω⁰^n+φ)e^jω⁰^N Só é periódica se:

ω0N=2πk⇔N =2πk/ω0

MasNtem de ser inteiro!

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Periodicidade em Frequência

No caso discreto, as exponenciais complexas com frequência(ω0+2πr)são indistinguíveis entre si:

|A|e^j[(ω⁰^+2πr)n+φ] = |A|e^j(ω⁰^n+φ)e^j2πrn

= |A|e^j(ω⁰^n+φ)

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Sistemas

Os sistemas são funções que transformam sinais.

Algumas operações relizadas por sistemas:

armazenamento de sinais;

codificação e descodificação;

encriptação e desencriptação;

realçar parte da informação do sinal;

detecção de informação;

controle de processos físicos;

conversão de formatos;

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Espaço de Funções

Sendoxum sinal cujo domínio éDe o contradomínioC:

x : D→C

Se o sistemaS aceitar à sua entrada sinais do tipo x podemos dizer que o seu domínio é um espaço de funções ou espaço de sinaisXa quexpertence.

Representaremos o espaço de funções envolvendo em parenteses rectos o domínio e contradomínio dos sinais que ele representa:

X=[D→C]

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Sistemas como Funções

Um sistema faz o mapeamento de um espaço de sinais para outro espaço de sinais.

Por exemplo, um microfone é um sistema que converte sinais acústicos em sinais eléctricos:

S : [Tempo→Pressão]→[Tempo→Tensão]

S

Tempo Tensão

Tempo Pressão

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Sistemas Contínuos e Discretos

Um sistema de tempo contínuo é um sistema que tem como domínio e contra-domínio sinais em tempo contínuo:

C : [→]→[→]

Um sistema de tempo discreto é um sistema que tem como domínio e contra-domínio sinais em tempo discreto:

D : [→]→[→]

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Associação em cascata

Sistema 1 Sistema 2

Saída Entrada

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Associação em paralelo

Sistema 1

Sistema 2

Saída Entrada

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Retroacção

Sistema 1

Sistema 2

Entrada Saída

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Sistemas Com e Sem Memória

Um sistema diz-se sem memória se a sua saída num dado instante só depender da entrada nesse instante.

y(t)=x²(t) – sem memória

y(n)=x(n)+x(n−1) – com memória y(n)=x(n)−y(n−1) – com memória y(t)=Rt

−∞x(τ)dτ – com memória

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Sistema Inverso

Um sistema é invertível se entradas distintas produzirem saídas distintas.

Se um sistema é invertível pode-se encontrar um sistema inverso que ligado em cascata com o primeiro produza na sua saída a entrada original

x(n)

Sistema Inverso

w(n) x(n)

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Causalidade

Um sistema é causal se a saída num instante de tempo só depender de entradas presentes e passadas.

y(t)=x(t−1/2) – causal

y(n)=x(n+1)+x(n−1) – não causal Todos os sistemas sem memória são causais.

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Estabilidade

Um sistema é estável se todos os sinais de entrada limitados produzirem sinais de saída limitados:

|x(n)| ≤Bx<∞ ∀_n−−−−−−−−→

estabilidade |y(n)| ≤By<∞ ∀_n

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Sistema Acumulador

y(n)=

n

X

k=−∞

x(k)

Se a entrada for o escalão unitário (x(n)=u(n)a saída será:

y(n)=

n

X

k=−∞

x(k)=(n+1)u(n)

O sistema acumulador é instável: para uma entrada limi- tada produz uma saída que cresce indefinidamente.

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Invariância Temporal

T{x(n)}=y(n)−−−−−−−−−−−−−→

invariante no tempo T{x(n−n0)}=y(n−n0) Exemplos:

1. y(t)=x(t−2) – invariante 2. y(t)=x(2t) – variante 3. y(n)=sen(x(n)) – invariante 4. y(n)=nx(n) – variante

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Linearidade

Propriedade da aditividade ( T{x₁(n)}=y1(n)

T{x₂(n)}=y2(n) −−−−−−−→

aditividade T{x₁(n)+x2(n)}=y1(n)+y2(n) Propriedade da homogeneidade

T{x(n)}=y(n)−−−−−−−−−−→

homogeneidade T{ax(n)}=ay(n) em queaé uma constante arbitrária.

Um sistema linear tem de verificar as propriedades da aditividade e da homogeneidade.

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Problema

Quais dos seguintes sistemas são lineares?

1. y(t)=tx(t) 2. y(t)=x²(t) 3. y(n)=<{x(n)}

4. y(n)=2x(n)+3