Uma Abordagem Multiobjetivo para o Problema de Despacho de Caminhões em Minas a Céu Aberto

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA – PPGEE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Uma Abordagem Multiobjetivo para o Problema de Despacho de Caminhões

em Minas a Céu Aberto

João Batista Mendes

Tese submetida à banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Doutor em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. João Antônio de Vasconcelos

Belo Horizonte, Novembro de 2013

AGRADECIMENTOS

Tão desafiador quanto desenvolver este trabalho, foi agradecer, em poucas palavras, as pessoas que me auxiliaram, direta e/ou indiretamente, na realização deste trabalho.

Começo agradecendo ao meu Orientador, João Antônio de Vasconcelos, que me ofereceu a oportunidade de desenvolver este trabalho de Doutorado e me mostrou a importância de se produzir novos conhecimentos. Também agradeço pela sua paciência, cobrança e conversas que contribuíram para o meu crescimento.

Agradeço de forma profunda por cada gesto e carinho à minha esposa e ao amor da minha vida, Reininy. Agradeço pelo seu afeto, compreensão e, em especial, pelo nosso filho João Miguel.

Meus sinceros agradecimentos aos colegas do Laboratório de Computação Evolucionária, em especial: Carlos Henrique, Marconi, Marcus Mendes e Rafael Alexandre.

Tenho também que agradecer ao professor Walmir Caminhas, pela simplicidade e demonstrações de sabedoria.

Não posso deixar de agradecer aos colegas da Unimontes, com destaque especial para Marcos Flávio, Renato Dourado e Steve Lacerda. Obrigado pelas demonstrações constantes de amizade.

Agradeço também à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e a Universidade Estadual de Montes Claros (UNIMONTES) pelo apoio que me foi dado para cursar o doutorado.

Por fim, agradeço a DEUS por permitir que eu vivencie essa experiência

única, e por enriquecer a minha vida com a participação de todas estas

pessoas maravilhosas.

RESUMO

O problema de escalonamento de tarefas se faz presente em diversas áreas que envolvam a coleta e entrega de material em locais distintos. Particularmente nas minas a céu aberto, o problema consiste em determinar uma política ótima de despacho, através das diversas rotas existentes, para realização das operações de carregamento, transporte e basculamento (descarga) de material. As operações de carregamento acontecem nas frentes de lavra ou pilhas de estoque, onde funcionam equipamentos de carga (escavadeiras) apropriados para este tipo de operação. Os basculamentos, por sua vez, acontecem nas pilhas de estéril, de estoque ou nos britadores. Na literatura científica, este problema tem sido modelado como mono ou multiobjetivo. No caso da modelagem mono-objetivo, escolhe-se um dos critérios, por exemplo, a qualidade do minério como função objetivo e os outros são considerados como sendo restrições de desigualdade, com a imposição de limites inferiores ou superiores. Entretanto, diante da natureza do problema, é importante considerar na modelagem matemática o seu caráter multiobjetivo, uma vez que diversos objetivos conflitantes podem ser otimizados.

Especificamente, propõe-se uma modelagem multiobjetivo para o problema de despacho de veículos em minas a céu aberto e um algoritmo evolucionário para sua solução. Objetiva-se alocar eficientemente os veículos às rotas existentes na mina para minimizar as filas nos pontos de carregamento e basculamento de material e a distância percorrida pelos veículos. A escolha pelos algoritmos evolucionários é justificada pelo fato de que eles são capazes de identificar diversas soluções eficientes em uma única execução e, além disto, trata de forma natural a presença de variáveis discretas. Inicialmente, foi proposto um modelo matemático multiobjetivo que engloba a maioria das restrições encontradas na literatura pesquisada. Em seguida, foi especialmente desenvolvido um algoritmo evolucionário multiobjetivo para solução do problema de despacho de veículos em minas a céu aberto. O algoritmo desenvolvido nesta tese, chamado de hMOEA, se caracteriza pela proposição de um procedimento para geração da população inicial, do operador de cruzamento especializado e do método para pesquisar a vizinhança do conjunto de soluções viáveis de uma população. Experimentos computacionais mostraram que o algoritmo apresenta bons resultados quando aplicado no problema de despacho de caminhões em minas a céu aberto. Para testar o algoritmo foi desenvolvido um simulador de cenários genéricos de minas virtuais, onde se pode aumentar ou diminuir o grau de complexidade do problema. A interação entre o algoritmo de otimização e a interface é finalizada quando algum critério de parada é atingido. Além disso, no âmbito da otimização multiobjetivo, é proposto um algoritmo para identificação das fronteiras não-dominadas de uma população de soluções eficientes. O algoritmo proposto, denominado de createNDT, utiliza uma adaptação da estrutura de Árvore Binária de Pesquisa, chamada de Non-Dominated Tree. Foram feitos diversos testes para comparação do createNDT com o fast_non_dominated_sort do NSGA- II onde foram mensurados os tempos de processamento e o número de comparações realizados pelos algoritmos para classificação de uma população com tamanho e número de objetivos variados. A comparação dos resultados mostrou que o createNDT propiciou ganhos significativos, tanto no número de comparações quanto no tempo de execução, para problemas envolvendo populações com tamanho superior a algumas poucas centenas de indivíduos.

Palavras chaves: Despacho de Caminhões em Minas a Céu Aberto, busca local Pareto, Método de Ordenação Não-Dominada, Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo.

ABSTRACT

The job scheduling problem is present in several areas involving the loading and delivering of material in specific places. Particularly in open pit mines, this problem consists in having a good dispatch schedule for loading operations, transporting and unloading material through a set of routes. The loading operations take place in ore and waste rock pits where heavy machines (shovels), suitable for this type of operation, work. The deliveries, in turn, must occur in waste rock deposit, ore deposit or crushers. In scientific papers, this problem has been modeled as a single or a multiobjective one. In the case of mono-objective model, a criterion, for example, the ore quality is chosen as the objective function and the remaining objectives are treated as constraints, with the imposition of limits. However, given the nature of the problem, it is important to account its multiobjective feature in the mathematical model once several conflicting objectives may be optimized.

Specifically, it is proposed a multiobjective modeling for the truck dispatching in open pit mines and an evolutionary algorithm for its solution. This study aims to efficiently allocate vehicles to existing routes in the mine to minimize both: the queues in loading and dumping points and the distance traveled by the trucks. The choice for evolutionary algorithms is justified by the fact that they are able to identify several efficient solutions in a single run and, moreover, naturally treat the presence of discrete variables. Initially, it is proposed a multiobjective mathematical model that includes most of the restrictions found in the literature researched. Next, a multiobjective evolutionary algorithm has been specially developed for solving the truck dispatching problem in open pit mines. The algorithm developed in this thesis, called hMOEA, presents some specificities as: a procedure for generating initial solutions set, specialized crossover operator and a method for searching in the neighborhood of feasible solutions set from a population. Computational experiments showed that the proposed algorithm produces good results when applied to the truck dispatch problem in open pit mines. A generic virtual mine scenarios simulator was developed to test the multiobjective algorithm, where it can increase or decrease the degree of scenario complexity. The interaction between the interface and the optimization algorithm finishes when a stop condition is found. As a scientific contribution in the multiobjective optimization, it is proposed an algorithm for identifying the efficient solutions front of a population of candidate solutions. The proposed algorithm, called createNDT, implements an adaptation of a binary search tree structure, called Non-Dominated Tree. Several tests were done to compare the createNDT and fast_non_dominated_sort algorithms performance. The running time and the number of comparisons performed by each algorithm were measured. The comparison of the results showed that the createNDT provided significant gains in both the number of comparisons and at the runtime, for problems involving populations larger than 300 individuals.

Key words: Truck Dispatch in Open Pit Mines, Pareto Local Search, Non-Dominated Sorting Method, Multiobjective Evolutionary Algorithms.

Sumário

1 Introdução ... 1

1.1 Objetivos ... 2

1.2 Contribuições da Tese ... 2

1.3 Publicações ... 3

1.4 Organização do Trabalho ... 4

2 Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo ... 5

2.1 Introdução à Computação Evolucionária ... 5

2.2 Otimização Multiobjetivo ... 8

2.3 Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo ... 10

2.3.1 Contexto Histórico ... 12

2.3.2 Medidas de Desempenho ... 16

2.4 Aplicações de Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo ... 16

2.5 Considerações Finais ... 18

3 Operação de uma Mina a Céu Aberto ... 19

3.1 Introdução ... 19

3.2 Fatores que Interferem no Processo Produtivo de uma Mina a Céu Aberto .. 21

3.2.1 Relação Estéril/Minério ... 21

3.2.2 Problema da Mistura de Minério ... 21

3.2.3 Compatibilidade entre os Equipamentos de Carga e Transporte ... 23

3.2.4 Distância entre os Locais de Carregamento/Basculamento de Material . 23 3.2.5 Filas nos Locais de Carregamento/Basculamento ... 23

3.2.6 Operação da Frota de Caminhões ... 23

3.3 Revisão Bibliográfica ... 25

3.4 Caracterização dos Principais Modelos Pesquisados ... 29

Critérios avaliados na comparação ... 30

3.5 Modelo Multiobjetivo para o Problema de Despacho de Veículos ... 32

3.5.1 Parâmetros do Modelo ... 32

3.5.2 Variáveis de Decisão ... 34

3.5.3 Funções Objetivo ... 34

3.5.4 Restrições do Modelo ... 35

3.6 Considerações Finais ... 38

4 hMOEA - Algoritmo Evolucionário Multiobjetivo para Despacho de Caminhões em

Minas a Céu Aberto com Alocação Dinâmica dos Veículos ... 39

4.1 Representação dos Indivíduos ... 39

4.2 Descrição do algoritmo hMOEA ... 41

4.2.1 Operadores de Busca Local ou de Movimento ... 42

4.2.2 Construção da população inicial ... 46

4.2.3 Operador de Seleção ... 49

4.2.4 Operador de Cruzamento ... 49

4.2.5 Operador de Mutação ... 51

4.2.6 Implementação do Elitismo ... 51

4.2.7 Condição de Parada ... 52

4.3 Perturbação do Conjunto de Soluções Não Dominadas ... 52

4.4 Conclusão ... 55

5 Classificação de uma População em Fronteiras Não-Dominadas Usando uma Adaptação da Árvore Binária de Pesquisa... 56

5.1 Introdução ... 56

5.2 Trabalhos Relacionados ... 57

5.3 Árvore Binária de Pesquisa ... 61

5.4 Adaptação da Árvore Binária de Pesquisa ... 62

5.5 Estrutura Non-Dominated Tree (NDT) e seus Principais Algoritmos ... 63

5.6 Comparação dos Algoritmos createNDT e FNDS ... 66

5.7 Conclusão ... 71

6 Resultados ... 73

6.1 Introdução ... 73

6.2 Avaliação dos operadores no tratamento de soluções viáveis e soluções não viáveis ... 74

6.2.1 Conjunto de soluções inviáveis ... 74

6.2.2 Conjunto de soluções viáveis ... 76

6.3 Fronteira Pareto Estimada ... 77

6.4 Simulador de Despacho de Veículos ... 79

6.5 Avaliação da rotina de geração da população inicial ... 81

6.6 Avaliação dos critérios de aceitação propostos por Lacomme et al. (Lacomme, Prins, & Sevaux, 2006) ... 86

6.7 Avaliação dos métodos Pareto Improvement ... 96

6.8 Conclusão ... 106

7 Conclusões e Perspectivas Futuras ... 107

7.1 Contribuições ... 110

7.2 Trabalhos futuros ... 111

8 Referências ... 112

Lista de Figuras

Figura 2-1-A função 𝑓 (.) faz o mapeamento do espaço das variáveis de decisão 𝑥 no espaço das funções objetivo 𝑦 para um problema hipotético de minimização. ℱx

corresponde à região factível no espaço 𝑥 e sua imagem no espaço Y é restrita à região descrita por ℱy. ... 9 Figura 2-2 - O método de ponderação aplicado numa região não convexa. Fonte Athan e Papalambros (Athan & Papalambros, 1996). ... 11 Figura 2-3: Ilustração de uma população classificada em 03 níveis de dominância (problema de minimização). As soluções do nível 1 são melhores que as soluções do nível 2 que, por sua vez, são melhores que as do nível 3. ... 13 Figura 2-4-Procedimento para tratamento de partículas fora da fronteira de viabilidade utilizado pelo MOEA MUST. ... 18 Figura 3-1: Ilustração de uma mina que funciona a céu aberto com 03 frentes de lavra, 01 pilha de estéril e um ponto de britamento. V1, V2 e V3 representam três elementos químicos presentes nas frentes de lavra. %Vi corresponde ao teor (ou concentração) do elemento i na frente de lavra. ... 22 Figura 3-2: Estados operacionais de um veículo de transporte para realização de um despacho em uma mina a céu aberto. ... 24 Figura 3-3: Tempos operacionais presentes na realização de um despacho s (s ϵ S) por um caminhão t qualquer (t ϵ T). ... 34 Figura 4-1: Estrutura proposta para representar uma solução da população de soluções candidatas. ... 40 Figura 4-2: Interfaceamento entre um algoritmo de despacho de veículos em minas a céu aberto com o simulador de cenários de minas a céu aberto proposto neste trabalho.

... 41 Figura 4-3: Fluxograma do algoritmo evolucionário multiobjetivo hMOEA proposto neste trabalho. ... 42 Figura 4-4: Ilustração da aplicação do operador L^arb numa solução s qualquer. O primeiro e o terceiro despacho de s foram selecionados de forma aleatória. O primeiro despacho ocupa a posição do terceiro e vice-versa, resultando numa nova solução s’. Neste exemplo, todos os despachos exibidos na figura pertencem a uma mesma categoria de veículo. ... 46 Figura 4-5: Fluxograma da 1º etapa da rotina implementada pelo hMOEA para geração de uma solução da população inicial. A rotina interrompe seu processamento quando o período de simulação foi atingido e não existe nenhum caminhão disponível para alocação de despachos. ... 47 Figura 4-6: Exemplo do operador de cruzamento com 2 pontos de corte implementado pelo hMOEA. ... 50 Figura 4-7: Ilustração do operador de mutação desenvolvido para o hMOEA. ... 51 Figura 5-1: Exemplo de uma árvore binária de pesquisa (BST) com 07 nós. ... 62

Figura 5-2: Representação das fronteiras não-dominadas através de uma BST. ... 63 Figura 5-3: (a) Ilustração da estrutura de dados Non-Dominated Tree (NDT). (b) Ilustração de uma possível disposição das fronteiras de dominância em uma NDT com quatro nós (fronteiras). ... 64 Figura 5-4: Exemplos de diferentes configurações de árvores binárias de pesquisa para o mesmo conjunto de dados. ... 69 Figura 5-5: Resultados obtidos na simulação de uma população com 400 indivíduos aplicado em um MOP com 2 objetivos... 70 Figura 5-6: Resultados obtidos na simulação de uma população com 400 indivíduos aplicado a um MOP com 3 objetivos. ... 70 Figura 5-7: Resultados da simulação aplicado em populações com 400 Indivíduos em um MOP com 4 objetivos. ... 71 Figura 6-1: Fronteira Pareto Estimada (FPE) para os cenários de mina a céu aberto Opm1, Opm2, Opm5 e Opm6... 79 Figura 6-2: Evolução média dos indicadores IGD, Hipervolume e Cobertura durante o processamento dos algoritmos hMOEA⊝ e hMOEA ao longo das iterações de um conjunto de 20 simulações distintas nos 04 cenários de minas a céu aberto. ... 85 Figura 6-3: Evolução média dos indicadores IGD e Hipervolume durante o processamento dos algoritmos hMOEALS1, hMOEALS2, hMOEALS3, hMOEALS4 e hMOEAao longo das iterações de um conjunto de 20 simulações distintas nos 04 cenários de minas a céu aberto. Em cada simulação, gerou-se uma população inicial que foi processada (“evoluída”) pelos 05 algoritmos. ... 88 Figura 6-4-Evolução do indicador CS durante o processamento dos algoritmos hMOEALS1, hMOEALS2, hMOEALS3, hMOEALS4 e hMOEA ao longo das iterações de um conjunto de 20 simulações distintas nos 04 cenários de minas a céu aberto. Em cada simulação, gerou-se uma população inicial que foi processada (evoluída) por cada algoritmo. .... 92 Figura 6-5: Evolução média dos indicadores IGD e Hipervolume computadas para os algoritmos hMOEABPI, hMOEAFPI, hMOEANPI e hMOEA ao longo das iterações de um conjunto de 20 simulações distintas. Para cada simulação, gerou-se uma população inicial que foi processada (evoluída) por cada algoritmo. ... 98 Figura 6-6: Evolução média do indicador de Cobertura (CS) dos algoritmos hMOEABPI, hMOEAFPI, hMOEANPI frente ao hMOEA ao longo das iterações em um conjunto de 20 simulações. Em cada simulação, gerou-se uma população inicial que foi processada (evoluída) por cada algoritmo. ... 102

Lista de Tabelas

Tabela 1-Proposta de classificação dos MOEAs em duas gerações segundo características comuns. ... 14 Tabela 2-Relação cronológica simplificada de alguns MOEAs encontrados na literatura pesquisada. ... 15 Tabela 3: Principais trabalhos pesquisados com identificação das suas características quanto aos objetivos, restrições e forma de alocação dos veículos. ... 30 Tabela 4: Conjunto de rotas definidas para o cenário de mina ilustrado na Figura 3-1. 40 Tabela 5: Alguns exemplos (Autor/Descrição) encontrados na literatura de diferentes procedimentos desenvolvidos para ativações dos mecanismos de busca. ... 54 Tabela 6:Tempos de execução mínimo, médio e máximo dos algoritmos Fast-non- dominated-sort e createNDT para identificação das fronteiras não-dominadas em populações de tamanhos diversos em MOPs com número de objetivos variados. ... 68 Tabela 7: Números mínimo, médio e máximo de comparações realizadas pelos algoritmos Fast-non-dominated-sort e createNDT para identificação das fronteiras não- dominadas em MOPs com vários objetivos usando populações de tamanho variado. 68 Tabela 8: Detalhes dos cenários de mina a céu aberto usada nos experimentos. Dados na coluna Classe de veículos correspondem a uma tripla que identifica a categoria do veículo, capacidade de carga (ton) e tamanho da frota, respectivamente. Cada tripla na coluna Equipamentos de carga identifica, respectivamente, número equipamentos de carga disponíveis e produção (ton/h) mínima e máxima exigida. ... 73 Tabela 9: Parâmetros principais usados nos experimentos para comparação dos diversos algoritmos. ... 74 Tabela 10: Total de soluções viabilizadas e número de avaliações da função objetivo realizadas pelos operadores de movimento quando aplicados a um conjunto de soluções não factíveis usando perturbações (np) e número de buscas (k) variadas para cada cenário de mina. ... 75 Tabela 11: Número de soluções dominantes encontradas e número de avaliações da função objetivo por operador de movimento quando aplicado em um conjunto de soluções viáveis usando número variável de pesquisas (k) nos cenários de mina investigados neste trabalho. ... 77 Tabela 12: Valor médio da métrica IGD calculado para os algoritmos hMOEA e hMOEA⊝

para cada cenário de mina. ... 85 Tabela 13: Valor médio da métrica CS calculado para os algoritmos hMOEA e hMOEA⊝

para cada cenário de mina. ... 86 Tabela 14:Valores médios calculados para as medidas IGD e ER para os algoritmos hMOEALS1, hMOEALS2, hMOEALS3, hMOEALS4 e hMOEA para cada cenário de mina. ... 93 Tabela 15: Valores médios da medida CS calculados para os algoritmos hMOEALS1, hMOEALS2, hMOEALS3, hMOEALS4 e hMOEA em cada cenário de mina. ... 94

Tabela 16:Valores médios finais das medidas IGD e ER calculados para os MOEAs hMOEABPI, hMOEANPI, hMOEAFPI e hMOEA em cada cenário de mina. ... 104 Tabela 17: Valores médios finais da medida de cobertura calculados para os MOEAs hMOEABPI, hMOEANPI, hMOEAFPI e hMOEA em cada cenário de mina. ... 104

Lista de Algoritmos

Algoritmo 1: Pseudocódigo do algoritmo Best Pareto improvement (BPI). ... 44 Algoritmo 2: Pseudocódigo do algoritmo Neutral Pareto improvement (NPI). ... 44 Algoritmo 3: Pseudocódigo do algoritmo First Pareto improvement (FPI). ... 45 Algoritmo 4: Pseudocódigo do algoritmo proposto para otimização de uma solução não viável s. ... 48 Algoritmo 5-Pseudocódigo da heurística implementada pelo hMOEA para aplicação no conjunto de soluções não-dominadas. ... 53 Algoritmo 6: Pseudocódigo da rotina non-dominated-sort (NDS) do NSGA. ... 58 Algoritmo 7: Pseudocódigo da rotina fast-non-dominated-sort (FNDS) do NSGA-II. .... 59 Algoritmo 8: Pseudocódigo do algoritmo de caminhamento in-Ordem. ... 61 Algoritmo 9: Pseudocódigo do algoritmo createNDT, para construção da NDT. ... 65 Algoritmo 10: Pseudocódigo do algoritmo InsertNDT para inclusão de registros na NDT ... 66 Algoritmo 11: Descrição da metodologia empregada para comparação dos algoritmos createNDT e FNDS... 67

Lista de Abreviaturas

BPI Best Pareto Improvement

CWGA Constant Weight Genetic Algorithm DMLS Dominance-based Multiobjective Local

Search

Busca local multiobjetivo baseada em dominância

EAs Evolutionary Algorithms Algoritmos Evolucionários ECs Evolutionary Computation Computação Evolucionária

EMO Evolutionary Multiojective Optimization Otimização Evolucionária Multiobjetivo

EP Evolutionary Programming Programação Evolucionária

ES Evolution Strategy Estratégia Evolutiva

FNDS Fast-Non-Dominated-Sort FPI First Pareto Improvement

Gas Genetic Algorithms Algoritmos Genéticos

GP Genetic Programming Programação Genética

GRASP Greedy Randomized Adaptive Search Procedure

GVNS General Variable Neighborhood Search

IGD Inverted Generational Distance Distância Geracional Invertida MOCO Multiobjective combinatorial

optimization problems

Problemas de otimização combinatorial multiobjetivo

MOEAs Multiobjective Evolutionary Algorithm Algoritmo Evolucionário Multiobjetivo MOGA Multi-Objective Genetic Algorithm Algoritmo Genético Multiobjetivo MOGLS Multiobjective Genetic Local Search Busca Local Genética Multiobjetivo MOP Multiobjective Optimization Problem Problema de Otimização Multiobjetivo

MOPSO Multiobjective PSO PSO Multiobjetivo

NDT Non-Dominated Tree

NPGA Niched-Pareto Genetic Algorithm

NSGA-II Nondominated Sorting Genetic Algorithm II

NPI Neutral Pareto Improvement

OPMOP Open-Pit-Mining Operational Planning Problema de Planejamento da Operação de uma Mina a Céu Aberto PAES Pareto Archived Evolution Strategy

PLS Pareto Local Search Busca Local Pareto

PSA Pareto Simulated Annealing

PSO Particle Swarm Optimization Otimização por Enxame de Partículas

SA Simulated Annealing Recozimento Simulado

SPEA 2 Strength Pareto EA 2

SOP Single-objective Optimization Problem Problema de Otimização mono objetivo

VEGA Vector Evaluated Genetic Agorithm

VRP Vehicle Routing Problem Problema de Roteamento de Veículos VRPTW Vehicle Routing Problem with Time

Windows

VRP com Janela de Tempo

Lista de Símbolos

X Espaço das Variáveis de Decisão P^* Conjunto Pareto-Ótimo

PF ^* Fronteira Pareto-Ótima ℝ Conjunto dos Números Reais

S Conjunto das Soluções Viáveis Y Espaço dos Objetivos

1

1 Introdução

concorrência crescente entre as diversas organizações tem provocado uma mudança na forma de operação das empresas que desejam assegurar a sua competitividade no mercado internacional. Diante das dificuldades para elevar suas receitas, as empresas perderão sua competitividade caso não evoluam seus processos produtivos, reduzindo custos operacionais (N., Chamber, Hardland, Harrison,

& Johnston, 2002). Este fato tem levado um número cada vez maior de empresas a investir na otimização de suas operações.

As empresas, geralmente, buscam a solução de problemas que envolvem múltiplos objetivos, que são muitas vezes conflitantes e que precisam ser considerados simultaneamente. Normalmente, os problemas multiobjetivo são de natureza complexa, sendo necessária a aplicação de ferramentas de otimização. A otimização multiobjetivo tem sido uma alternativa empregada na solução destes problemas.

Especificamente, os algoritmos evolucionários, baseados na teoria da evolução natural das espécies, têm despertado a atenção dos pesquisadores e vêm sendo aplicados nas mais variadas classes de problemas. Estes algoritmos utilizam uma população de soluções candidatas para otimização simultânea dos diversos objetivos. Pelo fato de utilizarem uma população de soluções candidatas, eles identificam um conjunto de soluções em uma única execução, o que é bastante útil em problemas que envolvem diversos objetivos (Dias & Vasconcelos, 2002) (Coello, Lamont, & Veldhuizen, 2007).

No contexto das minas que funcionam a céu aberto, os investimentos em máquinas (caminhões, equipamentos de carregamento e britadores) são bastante significativos. Logo, é importante que os recursos disponíveis na mina sejam utilizados de maneira eficiente. Particularmente, a operação de transporte de material numa mina a céu aberto chega a representar de 50 a 60% do custo operacional total da mina (Ercelebi & Bascetin, 2009). Consequentemente, a alocação dos veículos deve acontecer de forma criteriosa para garantir uma produção de minério de qualidade, produção de estéril dentro dos limites definidos e utilização equilibrada dos equipamentos de carga e caminhões disponíveis para operação. Porém, o despacho de caminhões em minas é um problema onde as decisões acerca da alocação dos veículos são tomadas em tempo real (Bastos, 2010) e uma decisão inadequada pode, por exemplo, comprometer a qualidade do minério produzido, ou diminuir a produtividade dos diversos equipamentos, incorrendo em perda de produtividade.

Considerando essas questões, a utilização de algoritmos evolucionários multiobjetivo para aplicação no problema de despachos de caminhões em minas a céu aberto se apresenta como uma alternativa promissora. Diante da quantidade reduzida

A

2

de trabalhos que aplicam algoritmos evolucionários multiobjetivo no contexto de minas a céu aberto, especificamente na alocação de veículos, justifica-se uma investigação para propor algoritmos evolucionários multiobjetivo eficientes para problemas dessa natureza.

Diante do exposto, considera-se relevante a utilização de algoritmos evolucionários para resolver problemas multiobjetivo de despacho de caminhões em minas a céu aberto com características diversas e alocação dinâmica dos veículos.

1.1 Objetivos

O objetivo deste trabalho é estudar o problema de despacho de veículos em minas a céu aberto em uma abordagem multiobjetivo e desenvolver uma solução baseada em algoritmo evolucionário para o mesmo. A escolha pelos algoritmos evolucionários foi motivada pelo fato de que eles evoluem uma população de soluções candidatas, o que possibilita gerar diversas soluções eficientes numa única execução (Coello, Lamont, & Veldhuizen, 2007).

Como objetivos específicos do trabalho têm-se:

 Implementação de uma estrutura de dados para identificação eficiente das fronteiras não-dominadas de um conjunto de soluções para problemas multiobjetivo;

 Construção de um simulador de cenários de minas para avaliação de cadeias de despachos considerando cenários de minas pré-definidos;

 Desenvolvimento de um conjunto de operadores de busca local e evolucionários, específicos para o problema de despacho de veículos em minas;

 Implementação de uma rotina de geração da população inicial para o problema de despacho em minas a céu aberto para substituir a rotina de geração aleatória da população inicial;

 Desenvolvimento de um algoritmo multiobjetivo adaptado ao problema de despachos de veículos em minas a céu aberto. O algoritmo proposto utiliza o mecanismo de geração da população inicial e os operadores propostos neste trabalho.

1.2 Contribuições da Tese

A seguir são apresentadas as principais contribuições obtidas com o desenvolvimento desta tese:

1. Elaboração de uma revisão da literatura sobre o problema de despacho de caminhões em minas a céu aberto destacando os tipos de alocação, objetivos abordados e

3

algoritmos utilizados para resolução do problema. Esta revisão pode ser útil para desenvolvimento de novos trabalhos e algoritmos acerca do problema em questão;

2. Desenvolvimento de uma estrutura de dados, denominada Non-Dominated Tree (NDT) para identificação das fronteiras não-dominadas de uma população de soluções de problemas multiobjetivo;

3. Desenvolvimento de um simulador de despachos de caminhões para cenários de minas a céu aberto com alocação dinâmica dos veículos. O simulador recebe uma sequência de despachos como parâmetros de entrada e retorna um conjunto de dados (produção de minério e estéril, produção dos equipamentos, etc...) como resultado do processamento da sequência de despachos;

4. Construção de um modelo multiobjetivo para despacho de caminhões em minas a céu aberto. O modelo proposto reúne as principais restrições encontradas na literatura pesquisada e contempla duas particularidades: permite definir vários locais para descarga de material (estéril e minério) e utilizar até dois equipamentos de carga em uma frente de lavra;

5. Desenvolvimento de um algoritmo evolucionário multiobjetivo, denominado hMOEA, para aplicação no problema de despacho de caminhões em minas a céu aberto. O hMOEA apresenta as seguintes singularidades:

a. Implementa uma rotina específica para geração da população inicial;

b. Utiliza um operador de cruzamento especializado;

c. Utiliza um mecanismo de pesquisa de vizinhança do conjunto de soluções não- dominadas baseado nos métodos de busca local propostos por Drugan e Thierens (Drugan & Thierens, 2012);

6. Validação do hMOEA através da utilização de um conjunto de cenários de minas a céu aberto disponíveis na literatura especializada.

1.3 Publicações

Até o presente momento, duas publicações foram geradas como fruto deste trabalho. A primeira foi publicada em 2010 e a segunda foi submetida em 2013. São elas:

 MENDES, J. B.; VASCONCELOS, J. A. Using an Adaptation of a Binary Search Tree to Improve the NSGA-II Nondominated Sorting Procedure. Lecture Notes in Computer Science, Pag. 558-562, 2010.

o Eighth International Conference on Simulated Evolution and Learning (SEAL-2010). 01 - 04 December 2010, Indian Institute of Technology Kanpur, India.

 MENDES, J. B.; ALEXANDRE, R.F.; VASCONCELOS, J. A. A Hybrid Multiobjective Evolutionary Algorithm for Truck Dispatch in Open-Pit- Mining. Artigo a ser submetido a periódico internacional.

4 1.4 Organização do Trabalho

O restante do texto desta tese foi estruturado em capítulos, conforme descrito a seguir:

Capítulo 2: Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo

Este capítulo introduz conceitos acerca da teoria de otimização multiobjetivo e computação evolucionária, enfatizando os algoritmos evolucionários multiobjetivo e suas aplicações.

Capítulo 3: Operação de uma Mina que Funciona a Céu Aberto

Este capítulo descreve a operação de uma mina que funciona a céu aberto. Também é detalhado o modelo matemático proposto para o problema de despacho de caminhões.

O modelo contempla dois objetivos e reúne as principais restrições encontradas na literatura pesquisada.

Capítulo 4: hMOEA - Algoritmo Multiobjetivo para Despacho de Caminhões em Minas a Céu Aberto com Alocação Dinâmica dos Veículos

Este capítulo detalha o algoritmo evolucionário multiobjetivo para despacho de veículos em minas a céu aberto proposto neste trabalho.

Capítulo 5: Classificação de uma População em Fronteiras Não-Dominadas Usando uma Adaptação da Árvore Binária de Pesquisa

Este capítulo descreve a estrutura de dados chamada de Non-Dominated Tree (NDT) juntamente com seus principais algoritmos. A NDT permite identificar, de forma eficiente, as fronteiras não-dominadas de um conjunto de soluções.

Capítulo 6- Resultados

Neste capítulo são apresentados alguns resultados experimentais obtidos com o algoritmo hMOEA.

Capítulo 7- Conclusões e Perspectivas Futuras

Este capítulo resume as contribuições obtidas até o presente momento e apresenta as principais atividades para posterior desenvolvimento.

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2 Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo

este capítulo faz-se uma apresentação das teorias referentes à Computação Evolucionária e à Otimização Multiobjetivo. São apresentados os conceitos e características relevantes de cada teoria, os principais algoritmos e algumas aplicações envolvendo algoritmos multiobjetivo.

Primeiramente, faz-se uma descrição das características principais dos algoritmos evolucionários. Em seguida, faz-se uma exposição sobre modelos de problemas de otimização multiobjetivo. Este conteúdo visa facilitar a compreensão do modelo multiobjetivo para despacho de caminhões em minas a céu aberto proposto e apresentado no capítulo 3 deste trabalho.

Na sequência, faz-se uma apresentação de vários algoritmos multiobjetivo encontrados na literatura. Esta explanação faz-se importante para facilitar a compreensão do algoritmo multiobjetivo, proposto e detalhado no capítulo 0 do presente trabalho. Também faz se uma descrição de algumas medidas de desempenho, encontradas na literatura, para avaliação de algoritmos multiobjetivo e que são utilizadas para avaliação do algoritmo desenvolvido nesta tese.

2.1 Introdução à Computação Evolucionária

A evolução é um processo de otimização. Portanto, é natural que se procure descrever a evolução na forma de um algoritmo que possa ser empregado na resolução de problemas complexos encontrados nas diversas áreas da engenharia. A evolução também serve de inspiração para a determinação de soluções para problemas que parecem insolúveis (Fogel D. B., 1997).

A maioria dos métodos clássicos de otimização existentes exige o cálculo de derivadas para determinar a solução ótima do problema ou para se obter uma aproximação da mesma. Em alguns casos, sob condições específicas da função objetivo, essas técnicas conseguem convergir rapidamente para uma solução ótima global.

Contudo, as técnicas são de atuação local, ou seja, identificam o ótimo local mais próximo do seu ponto de partida (Schoenauer & Michalewicz, 1997). Muitas vezes as soluções ótimas locais são insuficientes para aplicações reais de engenharia (Fogel D. B., 1994).

A Computação Evolucionária (Evolutionary Computation - EC) é um ramo da Ciência da Computação que utiliza os princípios da evolução natural para resolução de problemas da engenharia, i.e., problemas de otimização restrita, multiobjetivo, multimodal e combinatória. A sua origem data do final da década 50 e início da década

N

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de 60 com o advento da computação digital, que possibilitou aos cientistas e engenheiros a construção e teste de vários modelos de processos evolucionários. Essas investigações iniciais resultaram em diversos paradigmas da EC como, por exemplo, Programação Evolucionária (Evolutionary Programming-EP, (Fogel, Owens, & Walsh, 1966)), Estratégias Evolutivas (Evolution Strategies-ES, (Recheuberg, 1973)), Programação Genética (Genetic Programming – GP, (Koza, 1992), (Koza, 1994)) e Algoritmos Genéticos (Genetic Algorithms-GAs, (Holland, 1975)). Eles serviram de modelo para a maioria dos trabalhos desenvolvidos na década seguinte (década de 70), tida como um período de intensa exploração e refinamento dessas ideias. Para exemplificar, tem-se o trabalho de Holland (Holland, 1975) que descreveu como aplicar os princípios da evolução natural na otimização de problemas e propôs o primeiro algoritmo genético. A partir de então, observou-se um crescimento significativo no número de publicações envolvendo os princípios da EC (Back, Fogel, & Michalewicz, 1997) (Bäch, Hammel, & Schwefel, 1997).

As décadas seguintes, de 80 e 90, caracterizaram-se por um período de planejamento e divulgação dos trabalhos em conferências específicas para cada paradigma da EC (ES, GAs, EP e GP). Também, foi na década de 90 (para ser mais exato, em 1991) que o termo EC foi escolhido para identificar esse campo do conhecimento, num esforço para reunir diversos pesquisadores que trabalhavam com abordagens distintas para simular modelos de evolução (Fogel D. B., 1997).

Os algoritmos evolucionários (Evolutionary Algorithms-EAs) (algoritmos que desenvolvem os princípios da EC na sua implementação) têm sido empregados na resolução de problemas de otimização não lineares, os quais normalmente possuem componentes estocásticos, temporal ou caótica. Eles também se baseiam no processo de aprendizado coletivo presente numa população de indivíduos, onde cada indivíduo corresponde a uma solução no espaço das soluções possíveis para um problema. A população de indivíduos (ou conjunto de soluções candidatas) é inicializada num primeiro passo, de forma aleatória ou utilizando algum conhecimento sobre o problema em questão. Neste caso, quando existe algum conhecimento sobre o problema, pode- se introduzir uma inteligência na representação ou nos operadores para eliminar candidatos indesejados, buscando mais rapidamente a solução almejada. Numa etapa seguinte, a população sofre a ação de operadores estocásticos de Seleção, Mutação e Recombinação. A ação desses operadores resulta num conjunto de indivíduos (filhos) que podem entrar na constituição de uma nova população. Em seguida, os indivíduos filhos são avaliados, seguindo algum critério de qualidade previamente estabelecido, utilizando uma função conhecida por função aptidão.

A avaliação dos indivíduos representa uma medida que indica qual o grau de adaptação de cada indivíduo (solução candidata) ao seu ambiente. Essa medida é utilizada pelos EAs para comparação de soluções candidatas, e define, basicamente, o

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quanto uma solução é melhor que a outra. O processo se repete durante várias gerações e a ação combinada dessas operações promove uma evolução da população para as melhores regiões do espaço de soluções.

Diversas propostas de EAs podem ser encontradas na literatura, com destaque para: Estratégias Evolutivas desenvolvidas por Rechenberg e Schwefel em meados da década de 60 e 70, Programação Evolucionária, proposta por Fogel, Owens e Walsh em meados da década de 60, Algoritmos Genéticos, originado dos trabalhos de Holland na década de 60, e Programação Genética, proposta por Koza no início da década de 90.

Embora cada EA possua suas especificidades, todos seguem princípios comuns (Peña-Reyes & Moshe, 2000). Normalmente, as diferenças entre um algoritmo e outro estão na representação dos seus indivíduos (máquina de estados, números reais, strings binárias, programas armazenados na forma de árvores), na importância dos operadores de cruzamento (fundamental para o GA e GP) e mutação (relevante para EP e ES) e os mecanismos de seleção e reposição dos indivíduos.

Apesar das particularidades de cada algoritmo, em alguns trabalhos, características específicas de um EA foram introduzidas em outros algoritmos para se tentar melhorar o desempenho do algoritmo ou para fugir de ótimos locais em uma aplicação específica. Por exemplo, existem aplicações de GP que utilizam o operador de mutação (em populações de tamanho reduzido) (Esmin, Lambert-Torres, & Souza, 2005) e aplicações de ES que utilizam o operador de cruzamento (Schoenauer & Michalewicz, 1997).

Apesar da sua importância e vasta aplicação, existem algumas limitações quanto à utilização dos EAs (Hajela & Lin, 1992), (Schoenauer & Michalewicz, 1997) :

 Devido a sua natureza estocástica, não se pode garantir que um EA irá convergir para o ótimo global durante seu processamento;

 Além disso, o número de avaliações da função objetivo necessário para determinar a solução do problema é, normalmente, maior que a exigida pelos métodos determinísticos (Vasconcelos, Saldanha, Krähenbühl, & Nicolas, 1997).

Em resumo, os EAs não devem ser empregados em contextos onde algum método de otimização determinístico é aplicado com sucesso. Os métodos tradicionais são mais eficientes na resolução de problemas lineares, quadráticos, fortemente convexos, unimodal, etc. Nessas situações, os EAs tampouco conseguem gerar melhores soluções ou realizar as atividades com menor esforço computacional (Schwefel, 1997).

8 2.2 Otimização Multiobjetivo

Otimizar um problema implica em determinar ou buscar a melhor solução (ou o melhor conjunto de soluções) para o problema em questão. Quando o problema de otimização é formulado com uma função objetivo (e, possivelmente, algumas restrições), tem-se um problema de otimização mono-objetivo (Single Objective Optimization Problem - SOP). Neste caso, a solução ótima ou sua aproximação (caso exista) é aquela que proporciona os melhores ganhos para a função objetivo.

Porém, os problemas práticos se caracterizam por apresentar diversos objetivos, conflitantes entre si. Problemas desta natureza, que podem ser restritos ou não, são conhecidos como Problemas de Otimização Multiobjetivo (Multiobjective Optimization Problem-MOP) (Veldhuizen V. , 1999). Caso o conflito entre os diversos objetivos não se verifique, o problema possui somente uma solução global. Nesse caso, os objetivos podem ser otimizados isoladamente para se chegar à solução final (Coello, 2006) (Deb K. , 2001).

Um MOP é um problema que possui dois ou mais objetivos a serem simultaneamente otimizados e sujeito ao conjunto de restrições impostas aos objetivos (Coello, 2006). Geralmente, um MOP pode ser definido da seguinte maneira (Deb K. , 2001):

Minimizar/Maximizar F (x) = [f1(x), ⋯, fM(x)],

Sujeito a: gj(x) ≥0, j =1, ⋯, J;

hk(x)=0, k=1, ⋯, K;

xi(L) ≤ xi ≤ xi(u), i=1, ⋯, n.

Onde:

 x Є X é um vetor de n variáveis de decisão x = (x1, x2,..., xn)^T onde cada variável (ou solução) xi deve assumir valores dentro do intervalo definido por xi(L) e xi(u). X constitui o espaço das variáveis de decisão;

 gj(x) e hk(x) representam um conjunto de (J+K) funções de restrições que devem ser respeitadas durante as etapas de otimização de F(x). Uma solução x, que (não) atende todas as (J+K) restrições, e todos os 2n limites impostos às variáveis de decisão, é chamada de solução (inviável) viável. O conjunto das soluções viáveis compõem a região viável S;

 F(x) é um vetor de M funções objetivo, representado por F(x) = (f1(x), f2(x),..., fM(x))^T (M>1). Na otimização multiobjetivo, as funções objetivo constituem

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um espaço multidimensional, simbolizado por Y. Para cada solução x=(x1, x2,..., xn) existe um ponto, no espaço dos objetivos, representado por F(x) = (y1, y2,..., yM)^T onde yi = fi(x) (i = 1..M). O mapeamento entre os espaços n- dimensional e M-dimensional é ilustrado pela Figura 2-1.

Figura 2-1-A função 𝑓 (.) faz o mapeamento do espaço das variáveis de decisão 𝑥 no espaço das funções objetivo

𝑦 para um problema hipotético de minimização. ℱx corresponde à região factível no espaço 𝑥 e sua imagem no espaço Y é restrita à região descrita por ℱy.

O conjunto de soluções de problemas de otimização multiobjetivo MOPs é denominado como soluções não-dominadas ou conjunto de soluções Pareto-Ótimas.

Para identificação desse conjunto de soluções, é comum utilizar-se o conceito de otimalidade proposto por Francis Ysidro Edgeworth (em 1881). Este conceito foi difundido, posteriormente, por Vilfredo Pareto (em 1896), sendo denominado de Edgeworth-Pareto ótimo ou, simplesmente, Pareto ótimo, descrito a seguir.

Em um problema de minimização, diz-se que um vetor u = (u1, u2,⋯, uM) domina fracamente outro vetor v = (v1, v2,⋯,vM), representado por u ≼ v, se e somente se:

∀ i ∊ {1, ..., M}, ui ≤ vi.

Ainda no mesmo problema, diz-se que o vetor u domina o vetor v, representado por u ≺ v, se e somente se, u é parcialmente menor do que v, isto é:

∀ i ∊ {1, ..., M}, ui ≤ vi ∧ ∃ j ∊ {1, ..., M} : uj < vj.

Nesse caso, diz-se que o vetor v é dominado enquanto u é dominante. Quando u não domina e nem é dominado por v, diz-se que ambos não possuem relação de dominância entre si (u ~ v).

A partir do conceito de relação de dominância apresentado é possível aplicar a condição de otimalidade em MOPs. Dada a região viável S, uma solução x ∊ S é identificada como Pareto-ótima, se e somente se, não existe outra solução x’ ∊ S tal que:

x2

x1 f

1

f2

ya

yb

xb

xa

F(.)

x

3

X Y

Fx

Conj.Pareto Ótimo Fy

10

F(x’) ≺ F(x).

Um Conjunto Pareto Ótimo, P^* é definido por:

P^* =

{

}

Quando mapeadas no espaço dos objetivos, as soluções Pareto-ótimas são chamadas coletivamente de Fronteira Pareto, PF ^*. Ou seja:

PF ^* = {u = F(x) | x Є P^* }.

O ótimo global de um MOP é representado pela fronteira Pareto determinada através da avaliação de cada membro de um conjunto de soluções Pareto ótimo. A natureza da fronteira Pareto pode ser contínua, descontínua, côncava ou convexa e multidimensional (van Veldhuizen & Lamont, 1999). O modo usual de gerar a fronteira Pareto é pegar vários pontos do conjunto S e calcular o correspondente F(S). Quando existe um número suficiente de pontos, é possível identificar os pontos não-dominados para gerar uma aproximação da fronteira Pareto (Coello, Pulido, & Lechuga, 2004).

Contudo, encontrar a fronteira Pareto exata de um MOP qualquer pode ser uma tarefa difícil. Sendo assim, são aceitáveis aproximações de uma fronteira Pareto encontradas dentro de um intervalo limitado de processamento (Coello, Lamont, & Veldhuizen, 2007) (Coello, 2006).

Na resolução de um MOP, um algoritmo deve tratar duas questões distintas:

Encontrar um conjunto de soluções não-dominadas que esteja o mais próximo da fronteira Pareto real e a diversidade das amostras da fronteira deve ser a maior possível.

2.3 Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo

Os pesquisadores têm buscado soluções para os MOPs desde a década de 50, sendo que as primeiras ferramentas utilizadas para a solução de MOPs se basearam em técnicas de programação matemática (Box, 1957) (Box, 1957), (Friedberg, 1958).

Contudo, estas técnicas se mostraram limitadas quando empregada em problemas que apresentavam características como, por exemplo, fronteira Pareto côncava ou descontínua, funções e restrições não diferenciáveis. Além disso, a maioria dos trabalhos baseou-se em técnicas que produzem uma solução do conjunto Pareto ótimo em cada execução. Esse fato exige que o algoritmo seja processado diversas vezes, utilizando pontos de partida diferenciados, para obtenção de pontos distintos na fronteira Pareto ótimo (Miettinen, 1999).

Diversos métodos foram propostos para aplicação em MOPs como, por exemplo, método da soma ponderada dos objetivos e ε-restrito. No primeiro método, atribui-se

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fatores de ponderação (pesos)¹ a cada objetivo. Infelizmente, o sucesso desse método depende da precisão dos pesos atribuídos a cada um dos objetivos do problema. Além disso, existem outros empecilhos na utilização do método (Athan & Papalambros, 1996) (Das & Dennis, 1997):

 Se a curva da fronteira Pareto é não convexa, não existem pesos para os quais a solução do problema seja identificada na parte não convexa (Deb K. , 2001), conforme ilustrado pela Figura 2-2;

 Mesmo sendo a curva Pareto convexa, uma definição apropriada dos pesos não resulta necessariamente em espalhamento dos pontos na curva Pareto.

Figura 2-2 - O método de ponderação aplicado numa região não convexa. Fonte Athan e Papalambros (Athan &

Papalambros, 1996).

O método ε-restrito tem sido aplicado em MOPs cujo espaço dos objetivos é não convexo. Nesse método, um dos objetivos é escolhido como principal (correspondente à função objetivo). Os demais objetivos são tratados como restrição do problema, limitados a intervalos pré-definidos pelo usuário. O sucesso do método ε-restrito depende dos intervalos de restrição (Deb K. , 2001).

A Otimização Evolucionária Multiobjetivo (Evolutionary Multiojective Optimization-EMO) compreende uma linha de estudos que consiste na adaptação de diversos EAs para aplicação em MOPs. Seus algoritmos, conhecidos como Algoritmos

1 O peso de um objetivo, normalmente, é definido com base na dimensão da relevância de cada objetivo no contexto do problema (Deb K. , Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms, 2001).

Ponto Pareto Descartado

Ponto Pareto Determinado

Imagem da Região Viável f

2

f

1

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Evolucionários Multiobjetivo (Multiobjective Evolutionary Algorithms-MOEAs), buscam, através da aplicação de técnicas específicas, as soluções Pareto ótimo.

Uma das vantagens em se empregar EAs na resolução de MOPs é a sua capacidade de determinar diversos pontos na fronteira Pareto ótimo numa única execução. Outra vantagem é que os EAs não são tão sensíveis ao formato ou descontinuidade da Fronteira Pareto (Coello, Lamont, & Veldhuizen, 2007) (Deb K. , 2001).

O processo de tomada de decisão também é uma etapa importante para escolha de uma solução adequada dentre as diversas soluções não-dominadas encontradas (Fonseca & Fleming, 1998). Neste caso, uma solução final para um MOP deve satisfazer duas condições: deve ser um ponto da fronteira Pareto e deve ser a solução mais adequada segundo as preferências do decisor, considerando vários critérios de decisão (Parreiras & Vasconcelos, 2009).

Quanto à preferência do decisor, existem três maneiras dela ser introduzida nos algoritmos de busca: antes (a Priori) do processo de otimização - requerem que o decisor defina o grau de importância de cada objetivo do problema antes de se iniciar o processo de otimização; durante (Interativo ou Progressiva) - a tomada de decisão e o processo de otimização acontecem em etapas intercaladas; ou após (a Posteriori) o processo de otimização - os algoritmos geram um conjunto de soluções candidatas antes de o decisor expressar suas preferências. A solução mais adequada é escolhida a partir desse conjunto de soluções. Maiores informações acerca de tomada de decisão podem ser encontrados em (Pedrycz, Ekel, & Parreiras, 2011) (Parreiras & Vasconcelos, 2009) (Parreiras R. O., 2006).

2.3.1 Contexto Histórico

Quanto à aplicação de EAs na resolução de MOPs, ela foi considerada, inicialmente, em 1967, num trabalho de Doutorado (Rosenberg, 1970). Porém, nenhum MOEA foi desenvolvido no trabalho. Comumente, a primeira implementação de um EA multiobjetivo é creditada a David Schaffer que propôs, em meados da década de 1980, o Vector Evaluated Genetic Agorithm (VEGA) que consiste numa adaptação do GA padrão com uma adaptação no mecanismo de seleção do algoritmo (Schaffer, 1985).

Uma característica presente no desenvolvimento de diversos MOEAs é a utilização do conceito de otimalidade de Pareto. Esta ideia partiu de Goldberg (Goldberg D. E., 1989) que propôs aplicar um ordenamento baseado em critério de não- dominância, combinado com a operação de seleção, para determinar a fronteira Pareto de um conjunto de soluções de um MOP: Um conjunto de soluções não-dominadas é identificado na população corrente. Esse conjunto recebe um valor máximo de aptidão e é retirado da população atual. Novamente determina-se outro conjunto de soluções não-dominadas da população atual. Esse conjunto solução também é retirado da

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população e recebe um valor de aptidão máximo, porém, inferior ao valor atribuído aos indivíduos do primeiro grupo. O processo se repete até que toda a população esteja classificada (Coello, Lamont, & Veldhuizen, 2007) (Mendes & Vasconcelos, 2010).

A partir de então, diversos algoritmos introduziram as ideias de Goldberg na sua concepção. Eles classificam a população em vários níveis de não-dominância, conforme ilustrado na Figura 2-3, garantindo a mesma probabilidade de reprodução aos indivíduos não-dominados (Fonseca & Fleming, 1998). As melhores soluções não-dominadas são chamadas de soluções não-dominadas do nível 1, seguidas pelas de nível 2, 3, etc. As soluções não-dominadas do nível 1 são melhores do que as do nível 2 que, por sua vez, são melhores que as do nível 3 e assim por diante (Deb K. , 2001).

Figura 2-3: Ilustração de uma população classificada em 03 níveis de dominância (problema de minimização). As soluções do nível 1 são melhores que as soluções do nível 2 que, por sua vez, são melhores que as do nível 3.

Diante da quantidade e variedade de algoritmos, Coello (Coello, 2006) classificou os principais MOEAs em duas gerações distintas, descrito na Tabela 1, segundo características comuns dos mesmos:

 1º. Geração: Este grupo reúne MOEAs desenvolvidos no período de 1989 a 1998, que se caracterizam pela simplicidade dos algoritmos e pela ausência de funções e parâmetros (métricas) para comparação dos mesmos - a avaliação dos algoritmos era feita de forma visual. Uma contribuição dessa primeira geração é a constatação de que o sucesso de um MOEA depende da combinação dos mecanismos de seleção de indivíduos não-dominados com mecanismos que garantam a diversidade da população;

 2º. Geração: Os algoritmos reunidos neste grupo introduziram o conceito de elitismo e utilizaram uma população externa (exceto o NSGA-II) para manter as melhores

Soluções do nível 1 Soluções do nível 2 Soluções do nível 3 f

1

f

2

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soluções encontradas durante o processamento do algoritmo. Nesta fase, os MOEAs introduziram técnicas como, por exemplo, grid adaptativo e entropia para promover a diversidade das soluções.

Tabela 1-Proposta de classificação dos MOEAs em duas gerações segundo características comuns.

Geração MOEA Autores

1ª

Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA)

Srinivas e Deb (Srinivas & Deb, 1995) Niched-Pareto Genetic Algorithm

(NPGA)

Horn et al (Horn, Nafpliotis, &

Goldberg, 1994) Multi-Objective Genetic Algorithm

(MOGA)

Fonseca e Fleming (Fonseca &

Fleming, 1993)

2ª

Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA)

Zitzler e Thiele (Zitzler & Thiele, 1999) (Zitzler & Thiele, 1999)

Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 (SPEA 2)

Zietler et al. (Zitzler, Laumanns, &

Thiele, 2001) Pareto Archived Evolution Strategy

(PAES)

Knowles e Corne (Knowles & Corne, 2000)

Nondominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II)

Deb et al. (Deb, Pratap, Agarwal, &

Meyarivan, 2002)

Neste grupo, têm recebido maior atenção da comunidade científica os MOEAs NSGA-II e SPEA2. O primeiro, o NSGA-II (Deb, Pratap, Agarwal, & Meyarivan, 2002) é uma versão melhorada do MOEA NSGA (Srinivas & Deb, 1995). Este algoritmo implementa uma população inicial de indivíduos (de tamanho N) que, em cada geração, sofre ação dos operadores de seleção, cruzamento e mutação resultando uma população filha. A população filha e a inicial são combinadas num único conjunto e as N melhores soluções do conjunto são copiadas para a geração seguinte. Para ranquear os indivíduos de uma população, o seguinte procedimento é implementado pelo NSGA-II:

Primeiramente, os indivíduos de uma população são classificados em diferentes fronteiras segundo o conceito de dominância Pareto. Em seguida, uma medida de distância de multidão é computada para os indivíduos localizados numa mesma fronteira para estabelecer uma ordem entre os mesmos. A combinação da fronteira com o valor computado de distância de multidão permite a comparação de soluções pelo MOEA. O NSGA-II é um dos algoritmos mais empregados para comparação de MOEAs (Coello, Lamont, & Veldhuizen, 2007).

O SPEA 2 (Zitzler, Laumanns, & Thiele, 2001) é uma adaptação do MOEA SPEA (Zitzler & Thiele, 1999) (Zitzler & Thiele, 1999). Este MOEA implementa uma população P (gerada de forma aleatória inicialmente e que é atualizada em cada geração do MOEA) e um arquivo externo A (inicialmente vazio) onde são mantidas as soluções não-

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dominadas identificadas durante o processamento do algoritmo. O fitness de cada solução do conjunto Q = P U A é determinado segundo o tamanho da resistência das soluções que a dominam em Q somado a um valor computado segundo a densidade da solução (o mecanismo usado no SPEA 2 para determinar a densidade de uma solução segue o método do k-ésimo vizinho mais próximo, onde 𝑘 = √|𝑄| ).

Vários outros MOEAs foram propostos no decorrer das últimas décadas. Cada algoritmo apresenta particularidades quanto à função de avaliação, representação dos indivíduos, operadores evolucionários, mecanismos de busca local, etc. Uma amostra reduzida é apresentada na Tabela 2.

Tabela 2-Relação cronológica simplificada de alguns MOEAs encontrados na literatura pesquisada.

Ano Algoritmo Autor (ES)

1985 Lexicographic Ordering Fourman, M. P.

1991 Vector Optimized Evolution Strategy (VOES) Kursawe, F.

1992 Weight Based Genetic Algorithm (WBGA) Hajela, P.; Lin, C. Y.

1995 Distance-based Pareto Genetic Algorithm (DPGA)

Osyczka A.; Kundu, S.

1996 Thermodinamical Genetic Algorithm (TDGA) Kita, H.; Yabumoto, Y.; Mori, N.; Nishikawa, Y.

1996 Multiobjective Genetic Local Search (MOGLS) H. Ishibuchi and T. Murata 1998 Pareto Simulated Annealing (PSA) Piotr Czyzak and Andrzej

Jaszkiewicz

1998 Predatory-Prey ES (PPES) Laumanns, M.; Rudolph, G.;

Schwefel, H.

1999 Multi-Objective Messy Genetic Algorithm (MOMGA-I,II,III)

Veldhuizen, D. A. Van 2000 Pareto Envelope-based Selection Algorithm

(PESA, PESA II)

Corne, D. W.; Jerram, N. R.;

Knowles, J. D.; Oates, M. J.

2000 Pareto Simulated Annealing for Fuzzy Multi- Objective Combinatorial Optimization

Maciej Hapke, Andrzej Jaszkiewicz and Roman Slowinski

2000 Memetic PAES (M-PAES) Knowles, J.D.; Corne, D.W.

2001 Micro GA-MOEA (μGA) Coello, C. A. C.; Pulido, G. T.

2001 Rudoph‘s Elitist Multi-Objective Evolutionay Algorithm (REMOEA)

Rudolph, G.

2002 Multi-Objective Bayesian Optimization Algorithm (mBOA)

Laumanns, M.; Ocenasek, J.

2004 Multiobjective Particle Swarm Optimization (MOPSO)

Coello, C. A. C.; Pulido, G. T.;

Lechuga, M.S.

2007 Multiobjective Evolutionary Algorithm based on Decomposition (MOEA/D)

Zhang, Q.; Li, Hui.

2011 Multiobjective Staff-to-job assignment model (MUST)

I-Tung Yang, Jui-Sheng Chou

16 2.3.2 Medidas de Desempenho

Diante de uma variedade grande de MOEAs, é importante a definição de medidas de desempenho (ou indicadores de qualidade) apropriadas para validar um algoritmo multiobjetivo. Porém, o fato de se trabalhar com diversas soluções e a natureza estocástica dos EAs dificulta a avaliação da qualidade dos resultados obtidos por um algoritmo (Abraham, Jain, & Goldberg, 2005). Assim, no contexto da otimização multiobjetivo, a definição de qualidade é substancialmente mais complexa do que nos SOPs, visto que se busca otimizar vários objetivos simultaneamente (Zitzler, Deb, &

Thiele, 2000). Basicamente, os indicadores de qualidade visam medir:

 A distância da fronteira gerada pelo algoritmo em relação à fronteira Pareto real (admitindo que ela exista) estimada;

 A uniformidade do espalhamento das soluções encontradas;

Diversos indicadores foram propostos para avaliação do desempenho de MOEAs, como, por exemplo, Taxa de Erro (Veldhuizen V. , 1999), Distância Geracional (Veldhuizen & Lamont, 1998), Espalhamento (Schott, 1995) apud (Coello, Pulido, &

Lechuga, 2004), Cobertura entre Conjuntos (Zitzler, 1999), Distância do Conjunto de Solução de Referência (Czyzak & Jaszkiewicz, 1998), Distância Geracional Invertida, dentre outras. Apesar das críticas quanto às escolhas dos indicadores, (Zitzler, Thiele, Laumanns, Fonseca, & Fonseca, 2003), (Yan, Li, Wang, Deng, & Sun, 2007), (Deb & Jain, 2002) sugerem utilizar duas medidas para avaliação do conjunto de soluções geradas por um MOEA: a primeira para mensurar a convergência e a segunda o espalhamento do conjunto de soluções.

Informações adicionais acerca de medidas para avaliação de MOEAs podem ser encontradas em Coello et al. (Coello, Lamont, & Veldhuizen, 2007) e Zitzler et al. (Zitzler, Deb, & Thiele, 2000).

2.4 Aplicações de Algoritmos Evolucionários Multiobjetivo

Os primeiros trabalhos envolvendo MOPs datam da década de 60 e abordam, basicamente, problemas financeiros de investimento público (Coello, Lamont, &

Veldhuizen, 2007). A partir de então, os princípios da otimização multiobjetivo têm sido aplicados com sucesso em problemas de Engenharia (Elétrica, Hidráulica, estrutural, etc.), Química, Física, Ciências da computação, etc. (Coello, 2006). Alguns trabalhos são apresentados a seguir.

Ishibuchi e Murata (Ishibuchi & Murata, 1998) desenvolveram um GA híbrido multiobjetivo com busca local (Multiobjective Genetic Local Search-MOGLS) para