Criac~ao de um Dipolo: O Proto-Potencial Vetor (Creation of a dipole: the proto-potential vector) G. F. Leal Ferreira Instituto de Fsica, Universidade

Criac~ao de um Dipolo: O Proto-Potencial Vetor

(Creationofadipole: theproto-potentialvector)

G. F. LealFerreira

Instituto deFsica,UniversidadedeS~aoPaulo

CaixaPostal369,13560-970, S~aoCarlos, SP,Brasil

Recebido 3 de novembro, 1997

Os campos gerados na criac~ao de um dipolo s~ao obtidos e em especial o que chamamos de proto-potencial vetor do qual derivam os campos eletrico e magnetico. Vendo o movimento de uma carga como a criac~ao continua dipolos ao longo da sua trajetoria os potenciais de Lienard-Wiechert s~ao reobtidos. Express~ao do campo eletrico dada por Feynman, sem demonstrac~ao, no Volume I de suas Lectures, e deduzida.

The elds generated in the creation of a dipole are obtained specially, as we call it, the proto-potential vector, from which both elds, the electric and magnetic, derive. Looking the movement of a charge as a continuous creation of dipoles along the path, the Lienard-Wiechert potentials are found. An expression for the electric eld presented by Feynman, without proof, in the rst volume of his Lectures, is obtained.

1. Introduc~ao

O dipolo oscilante e o paradigma da emiss~ao de ra-diac~ao nos textos introdutorios de Eletromagnetismo. Um caso igualmente simples de ser estudado e o da criac~ao instant^anea de um dipolo, com os campos tran-sientes e permanentes a ela associados. E mesmo mais fundamental, ja que um sistema de correntes no espaco e no tempo pode ser obtido dela por superposic~ao. E mais, pela matematica da func~ao delta, podemos obter os campos de uma carga em movimento, numa abor-dagem alternativa a usual, embora mais longa.

Na formulac~ao do Eletromagnetismo confrontamo-nos com dois campos - o eletrico e o magnetico -, cada um a grosso modo associado a suas fontes, cargas e correntes, que em fen^omenos dependentes do tempo, geram os potenciais retardados. Mas, pela condic~ao de Lorentz, os dois potenciais - o vetorial e o es-calar -, relacionam-se numa equac~ao do tipo de con-tinuidade, reminiscente da equac~ao da continuidade corrente-carga, o que vai permitir, por uma trans-formac~ao de calibre, a denic~ao de um proto-potencial vetor do qual unicamente derivam os campos eletrico e magnetico . No presente trabalho achamos os cam-pos associados a criac~ao do dipolo, o proto-potencial

vetor, os potenciais de Lienard-Wiechert e tambem o campo eletrico associado a uma carga em movimento de forma a reproduzir equac~ao que Feynman apresenta sem demonstrac~ao no Cap.28, Eq.28.3, vol.I de suas Lectures 1].

2. Campos de criac~ao de um dipolo

2.1 O Potencial vetor

Consideremos uma curva e sejaso seu comprimento

de arco. Se ems = 0 e ao longo da tangente a curva

cria-se o dipolo ~p em t = 0, a corrente linear ~

J

s( st)

sera dada por (ver Fig. 1 na qual a curva foi omitida)

~

J

s(

st) =~p(s)(t) (1)

e o potencial vetorA(~x t) sera no ponto~x, contado a

partir des= 0, e no tempot, ~ A(~x t) = Z ~ J s( t;r=c)ds r (2) ou seja ~ A(~xt) =~p(t;r=c)=cr (3)

em quer=j~x jce a velocidade da luz e os deltas

rep-resentam a func~aode Dirac. Portanto, ~

num pulso de intensidade ~p que se propaga

esferica-mente a partir do ponto de criac~ao do dipolo.

Figura 1. O dipolo~pe criado instantaneamente na origem

O. Os campos s~ao calculados no ponto ~x, com~x =re^, ^e

versor. ~

k1 e o vetor componente de ~p na direc~ao normal

a ^e.

2.2 O potencial escalar

em que  e o potencial escalar e _ sua derivada parcial em relac~ao ao tempo, tira-se

_ = ~p^e r 2 (t;r=c) + ~ pe^ cr _ (t;r=c) (5)

em que se omitiu a depend^encia na posic~ao e no tempo em _. ^ee o versor do vetor posic~ao~x e _ a derivada,

em relac~ao ao seu argumento, da func~ao delta. Na Eq.5 usou-se a identidade vetorial ~

r(~pf) =~p ~

rf, com ~

pum vetor constante ef uma func~ao escalar. Da Eq.5

acha-se  por integrac~ao no tempo:  = ~pe^ r 2 ( t;r=c) + r c (t;r=c)]: (6)

Note-se que o potencial escalar apresenta, alem do termo dipolar para t r=c, termo pulsado, da ordem

de 1=r, reminiscente do campo coulombiano e devido

a discriminac~ao entre os tempos de chegada dos sinais das cargas positiva e negativa, conforme o ponto de ob-servac~ao. Isto caria bem visvel se tivessemos preferido usar os potenciais retardados das cargas criadas.

2.3 O campo eletrico de criac~ao do dipolo

O campo eletrico, ~ E, e obtido de ~ E=; ~ r; 1 c @ ~ A @t (7) Para o gradiente encontramos

c ~ r = h (t;r=c) + r c (t;r=c) i ~ r ~ pe^ c 2 r ; ~ p^e c 2 r _ (t;r=c)^e (8)

onde fundimos no termo em delta contribuic~oes dos dois termos da Eq.6 e renunciando assim ao rastreamento detalhado da origem dos termos. Continuando,@

~

A=@tobtem-se logo da Eq.4 e para o campo eletrico, ~ E, nalmente ~ E=; h (t;r=c) + r c (t;r=c) i ~ r ~ p^e r 2 ;_(t;r=c) ~ p;~p^ee^ c 2 r (9) d

O vetor no termo em _na Eq. 9 nada mais e do que a

componentep~na direc~ao normal a ^ee que chamaremos

de~ k

1(ver Fig. 1), ou seja,

~ p;~pe^e^= ~ k 1 (10)

2.4 O proto-potencial vetor

Denimos o proto-potencial vetor como aquele que gera tanto o campo eletrico como o magnetico. Como

~

r ~

E= 0 em todo o espaco, excluindo a singularidade,

um novo ~ A p( ~ xt), com ~ r ~ A

p= 0, pode ser denido tal

; 1 c @ ~ A p @t = ~ E (11) ou seja, ~ A p( ~ x t) =; Z t ;1 ~ E(~x t 0) dt 0 (12)

Pela Eq. (9) obtem-se

~ A p= ct(t;r=c) ~ r ~ p^e r 2 ;(t;r=c) ~ k 1 cr (13) E interessante que o proto-potencial vetor guarda memoria do tempo de criac~ao do dipolo e n~ao do tempo em que o sinal o alcancou. Poder-se-ia dar algum sen-tido fsico a isto? Nao sabemos. Notemos tambem 1) que o rotacional de ~

A

p e igual ao rotacional de ~

A, Eq.

4, gerando portanto o mesmo campo magnetico e 2) que se usarmos a Eq. 13 como ponte para se obter o (super) vetor potencial de uma distibuic~ao de correntes no espaco e no tempo, as suas singularidades, ligadas a densidade de corrente e carga instantaneas, devem adicionadas.

3. Os potenciais de uma carga em movimento

Seja~x 1 = ~ x 1( t

1) a equac~ao de movimento de uma

carga q, contada de uma origem O (ver Figura 2). A

ac~ao emitida por q no tempo generico t

2 atingira o

ponto ~xno tempottal que t=t 2+ r(t 2) =c (14) em quer(t 2) e igual a j~x;~x 1( t 2) j:

O movimento da carga pode ser visto como a contnua criac~ao de dipolos elementares, de momento

d ~p(t 2), no tempo t 2  d ~p;(t 2) = qd~x 1( t 2) = q ~(t 2) dt 2 (15) sendo~ a velocidade deq.

Figura 2. No instante genericot

2 a carga

q, situada em~x 1

com velocidade~, cria o dipolo~dt 2 ^

ee o versor de~x;~x 1

ero modulo deste. ~

ke o vetor componente de~na direc~ao

normal a ^e.

3.1 O potencial vetor de uma carga em

movi-mento

Vamos adaptar a Eq.3 ao problema presente. Em vez det;r=cdevemos por t, abaixo denido, ja que o

tempo de emiss~ao et 2e n~ao zero: t=t;t 2 ;r(t 2) =c (16)

para o potencial vetor no ponto~x e no instantet,

dire-tamente da Eq.3, ~ A(~x t) = 1 c Z 1 ;1 q ~(t 2) ( t) r(t 2) dt 2 (17) Relembremos que Z 1 ;1 ( t(t 2)) f(t 2) dt 2= f(t 20 jdf=dt 20 j (18) ondet 20e a raiz da equac~ao t;(t 2) = 0 e f uma func~ao

regular. Da Eq. 13 e lembrando quetdeve ser mantido

constante dt=;dt 2 ;(dr=cdt 2) dt 2 (19) Mas r= p (x;x 1( t 2)) 2+ ::: (20)

e com o ndicerindicando grandezas retardadas, dr=dt 2= ;~(t 2) e^ r( t 2) (21) e ent~ao dt=;dt 2  1; ~ (t 2) ^e r( t 2) c  (22) Agora, a raiz de t;(t

2) = 0 da o tempo retardado t r, correspondente ate~xe nalmente ~ A= q ~ r c(1;~ r e^ r =c)r r : (23)

3.2 O potencial escalar de uma carga em

movi-mento

A Eq.6 gera dois termos  =q Z 1 ;1 ( t)d~x 2 ^e(t 2) r 2( t 2) + Z 1 ;1 dt 2 r( t) c  (24) O primeiro, 1 com a func~ao degrau, integra as acoes

pregressas do tipo dipolo ao longo de sua trajetoria. Como resultado, dara o potencial da cargaqna posic~ao

retardada, ou seja, 1= q r r (25) Usando agora as Eq.18-22 na integral com a( t), temos

para 2 2= q ~ r e^ r ; 1; ~ r ^e r c  r r (26) A soma de 1e 2da o potencial retardado conhecido

 = q Kr r (27) comK= 1;~ r ^e r =cde agora em diante.

4. O campo eletrico de Feynman

No Cap.28 do livro I de suas Lectures 1], Feynman da a seguinte express~ao para o campo eletrico de uma carga em movimento, sem demonstra-la:

~ E=q  ^ e r r 2 r +r r c d dt ^ e r r 2 r + 1 c 2 d 2 dt 2^ e r  (28) na nossa notac~ao. Na verdade, ele emprega o versor

;^e

r, da direc~ao com que o ponto de observac~ao v^e a

posic~ao retardada deq, permitindo interpretac~ao mais

sugestiva da formula. Na Eq.28, as derivadas temporais s~ao feitas em relac~ao ao tempo atual, e n~ao em relac~ao ao tempo retardado.

Os termos em ,  e _ da Eq.9 o gerar~ao os tr^es

termos da Eq.28. O primeiro deles, com a func~ao , dara o campo retardado, exatamente como fornecido pelo primeiro termo da Eq.24, no calculo do potencial escalar. Passemos ao o termo emna Eq.9.

4.1 Calculo do termo em delta

Seguindo as Eq.14-16 e 19-22, e integrando-se no tempot 2, temos ~ E 2 dado por ~ E 2= ; q K r r c ~ r ~ ^e r r 2 r (29) lembrando que o gradiente e tomado em relac~ao a ~x,

ponto de observac~ao. Mas por identidade vetorial com

~  constante e ^e r =r 2 r irrotacional, tem-se ~ r= ~ r e^ r r 2 r = (~ r  ~ r)^ e r r 2 r (30) e tomando eixos coordenados com o eixox apontando

na direc~ao de~ r  temos (~ r  ~ r) ~e r r 2 r =dx r dt r @ @x ^ e r r 2 r (31) e como@=@x=;@=@x

re ent~ao da Eq.31 segue

(~ r  ~ r) ~ e r r 2 r =; d dt r ^ e r r 2 r (32) Mas, pelas Eqs 14 e 21

dt dt r = 1; ~  r e^ r c =K (33) e sendo d dt r = dt dt r d dt (34) chega-se nalmente ao segundo termo da Eq.28.

4.2 Calculo do termo em delta ponto

Seguindo os mesmos passos, temos para essa com-ponente do campo, ~ E 3, ~ E 3= ; q c 2 Z 1 ;1 _ ( t) ~ k(t 2) r(t 2) dt 2 (35) em que o vetor~ k representa o vetor ~ k 1, Eq.10, com ~ p

para se obter a delta devemos atualizar a derivada para a variavelt 2 pondo _ ( t) = dt 2 dt (t 2) (36)

usando-se o resultado na Eq.19 e integrando em dt 2, tem-se ~ E 3= ; q K(t r) c 2 d dt r ~ k(t r) K(t r) r r( t r) (37) Vamos mostrar que esta express~ao reproduz o ter-ceiro termo da Eq.28. Mudemos a derivada em relac~ao at

r, em derivada em relac~ao a

tcom o auxlio da Eq.33.

Temos ent~ao que provar a igualdade

d dt ~ k r K r r r =; d dt d dt ^ e r (38) ou que de^ r dt =; ~ k r K r r r (39) Mudando a derivac~ao para a variavelt

rusando a Eq.33, vem ~ k r r r =de^ r dt r (40) relac~ao que segue diretamente da denic~ao de ^e

r.

Adi-cionado nas provas: na 4] apresenta-se deduc~ao alter-nativa do campo de Feynman, Eq.28.

5. Conclus~oes

Usualmente pensamos que so a Mec^anica Qu^antica tem seus misterios de interpretac~ao. Mas o proprio Eletromagnetismo os tem. Vejamos: a denic~ao de suas grandezas fundamentais, os campos, se faz com o auxlio de uma carga imaginada em cada ponto do espaco, com uma dada velocidade, e da forca que a solicitaria. Enquanto isto pode ser considerado per-feito do ponto de vista matematico, do ponto de vista fsico, a primeira vista, e insatisfatorio. Feynman diz que como ha forca quando a carga esta ali, alguma coisa ca quando ela e retirada 3]. Pode ser que n~ao haja outra saida. A propria ambiguidade de preval^encia en-tre os campos (de forca) e os potenciais, os ultimos se

expressando de forma inteligvel pelos potenciais retar-dados e os primeiros com a potencialidade de exercer forca (os campos de forca s~ao neste sentido tambem potenciais) e embaracosa. Neste trabalho chegamos ao proto-vetor potencial do qual podemos extrair os cam-pos eletrico e magnetico do elemento de corrente e da, por superposic~ao, aqueles de uma distribuic~ao no tempo e no espaco (sem outras discuss~oes se o ponto e exte-rior). Mas acontece que ele e apenas um potencial.

Acreditamos que num ensino de Fsica menos formal estas diculdades deveriam ser expostas com clareza, o que talvez viesse a trazer, no futuro, alguma luz ao as-sunto. Tudo isto sem prejuizo do ensino da teoria com a mesma tecnicidade com que se faz o da Mec^anica Qu^antica.

Finalmente, o longo caminho percorrido na Sec~ao 4 deste para a identicac~ao dos termos da formula de Feynman nos mostra como foi ele engenhoso na obtenc~ao deles.

Agradecimentos

O autor agradece bolsa de pesquisador concedida pelo CNPq.

Refer^encias

1. R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands The Feynman Lectures, Addison-Wesley, Reading (1966) Vol.I, Cap. 28.

2. E.V. Bohn Introduction to Electromagnetic Fields and Waves, Addison-Wesley, Reading (1968) Cap.II.

3. R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands The Feynman Lectures, Addison-Wesley, Reading (1966) Vol. II, Sec~ao 1-2.

4. A.R. Janah, T. Padmanabhan e T.P. Singh, Am.J.Phys.

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