Aula 0. Análise Matemática I. Aula 0 - Conhecimentos Prévios 1

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Introduc¸˜ao

Frequentemente se diz que a ´algebra ´e a ”aritm´etica das sete operac¸˜oes”, querendo com isto sublinhar que `as quatro operac¸˜oes matem´aticas, conhecidas de todos, a ´algebra acrescenta mais trˆes: a potenciac¸˜ao e as suas inversas.

A adic¸˜ao e a multiplicac¸˜ao tˆem cada uma a sua operac¸˜ao inversa, a subtracc¸˜ao e a divis˜ao, re-spectivamente. A quinta operac¸˜ao aritm´etica, a potenciac¸˜ao ou a elevac¸˜ao a expoentes, tem duas operac¸˜oes inversas: a determinac¸˜ao da base e a determinac¸˜ao do expoente. Quando a inc´ognita ´e a base, temos a sexta operac¸˜ao matem´atica, denominada extracc¸˜ao da raiz. A determinac¸˜ao do expoente, a s´etima operac¸˜ao, chama-se c´alculo logar´ıtmico.

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E f´acil compreender por que motivo a potenciac¸˜ao tem duas operac¸˜oes inversas, enquanto que a adic¸˜ao e a multiplicac¸˜ao tˆem apenas uma. ´E que a ordem das parcelas (1a _{e 2}a_{) na adic¸˜ao,}

pode ser alterada, o mesmo acontecendo com os factores, na multiplicac¸˜ao. Contudo, os ele-mentos da potenciac¸˜ao, isto ´e, a base e o expoente, n˜ao gozam desta propriedade, pelo que n˜ao podem trocar-se as suas func¸˜oes (p.e., 35 _{6= 5}3_{). Daqui resulta que para determinar cada um} dos termos da adic¸˜ao e da multiplicac¸˜ao se usem os mesmos processos, enquanto que a base da potˆencia se determina por um processo diferente do utilizado para determinar o seu expoente.

Conhecimentos Pr´evios

Potenciac¸˜ao

Definic¸˜ao: an = a× . . . × a | {z } n vezes , n_{∈ N.}

Da definic¸˜ao vem que:

a1 _{= a a}0 _{= 1, ∀ a 6= 0 a}−_n = 1 an, ∀ a 6= 0 a m n = n √ am Propriedades an_{× a}m _{= a}n+m _an_{× b}n _{= (a× b)}n an am = a n−m an bn =  a b n (an₎m_{= a}n×m

Radiciac¸˜ao

Definic¸˜ao: √n x= y _{⇔ y}n_{= x, n∈ N, n ´ımpar se x ∈ R, n par se x ∈ R}+ 0. Propriedades n √ a_×√n b = √n a_{× b} n √ a n √ b = n r a b m p n √ a= m×n√ a Simplificac¸˜ao,_{∀ a ∈ R} n √ an_{= a, para n ´ımpar} √n

an _{=|a|, para n par.}

n √ an_{× b = a}√n b, para n ´ımpar √n an_{× b = |a|}√n b, para n par x√n a_{± y}√n a= (x_{± y)}√n a

Logaritmo

Definic¸˜ao:log_ax= y _{⇔ a}y _{= x,∀ a ∈ R}+_{\ {1}.}

Da definic¸˜ao vem que:

log_aa= 1 pois a1 _{= a log}

a1 = 0 pois a0 = 1

Simplificac¸˜ao: alogab = b log

aab = b

Propriedades

loga(x× y) = logax+ logay

log_a( x y) = logax− logay logaxp = p logax Mudanc¸a de base logax= log x log a = ln x ln a

Notac¸˜ao: log₁₀x= log x log_ex= ln x

M´odulo

Definic¸˜ao:_{|x| =}      x , x_{≥ 0} −x , x < 0

Equac¸˜oes com m´odulos (a_{∈ R}+) |x| = a ⇔ x = a ∨ x = −a Inequac¸˜oes com m´odulos (a_{∈ R}+₎

|x| ≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥ −a |x| < a ⇔ x < a ∧ x > −a |x| ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a |x| > a ⇔ x > a ∨ x < −a

Casos Particulares, b

_{∈ R}

−

:

|x| = 0 ⇔ x = 0 |x| = b ⇔ x ∈ ∅ |x| ≤ 0 ⇔ x = 0 |x| ≤ b ⇔ x ∈ ∅ |x| < 0 ⇔ x ∈ ∅ |x| < b ⇔ x ∈ ∅ |x| ≥ 0 ⇔ x ∈ R |x| ≥ b ⇔ x ∈ R |x| > 0 ⇔ x ∈ R \ {0} |x| > b ⇔ x ∈ R

Polin´omios. Operac¸˜oes com polin´omios

Definic¸˜ao de polin´omio

Chama-se polin´omio de grau n numa vari´avel x a uma express˜ao alg´ebrica do tipo:

anxn+ an−1xn−1+ ... + a0, com ai ∈ R, i = 1, ..., n e a0 6= 0.

Operac¸˜oes com polin´omios Adic¸˜ao e subtracc¸˜ao (3x2 _{+ 2x− 5) − (x − 3) = 3x}2_{+ 2x− 5 − x + 3 = 3x}2_{+ x− 2} Multiplicac¸˜ao (3x_{− 2)}  x₋ 1 3  = 3x2_{− x − 2x +} 2 3 = 3x 2 − 3x + 2₃ Divis˜ao 3x2 _{+2x +1 |x − 3} −3x2 _{+9x 3x + 11} 11x +1 −11x +33 34 3x2_{+ 2x + 1} x_{− 3} = 3x + 11 + 34 x_{− 3} Nota: N D = Q + R

Regra de Ruffini

Esta regra utiliza-se para determinar o quociente e o resto da divis˜ao de um polin´omio por um bin´omio do 1ograu. (x4_{− 3x}2 _{+ 1)÷ (x − 3)} 1 0 _{−3 0} 1 3 3 9 18 54 1 3 6 18 55 x4_{− 3x}2_{+ 1 = (x− 3)(x}3_{+ 3x}2_{+ 6x + 18) + 55}

Casos Not´aveis

(a + b)(a + b) = (a + b)2 _{= a}2_{+ 2ab + b}2 (a_{− b)(a − b) = (a − b)}2 _{= a}2_{− 2ab + b}2 (a + b)(a− b) = a2_{− b}2

Gr´aficos

Rectas

y= mx + b, equac¸˜ao reduzida da recta (equac¸˜ao do 1o_{grau) em que m representa o declive}

da recta e b a ordenada na origem.

m >0, b6= 0 m <0, b6= 0 -10 -5 5 10 x -10 10 20 y=2x+5 -6 -4 -2 2 4 6 x -4 -2 2 4 6 8 y=-x+2

m_{6= 0, b = 0} y= x, y = _−x -6 -4 -2 2 4 6 x -30 -20 -10 10 20 30 y=-2x,y=5x -6 -4 -2 2 4 6 x -6 -4 -2 2 4 6 y=-x,y=x

Rectas Horizontais m= 0, y = b Rectas Verticais x= k

-6 -4 -2 2 4 6 x 1 2 3 4 y=2 1 2 3 4 x=2 -1 -0.5 0.5 1 y

Tabela 1: Par´abolas:y= ax2_{+ bx + c, a6= 0, equac¸˜ao do 2}o_{grau em que a representa o sentido}

da concavidade da par´abola

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

a >0 a <0

Func¸˜ao Exponencial Func¸˜ao Logar´ıtmica

ex : R→ R+ _{ln x : R}+ _{→ R} x y=ex x y=ln x lim x→+∞e x = +∞ lim x→−∞e x = 0 lim x→0+ln x =−∞ _x→+∞lim ln x = +∞