CÁLCULO I Aula 26: Área de Superfície de Revolução e Pressão

(1)

Área de Superfície de Revolução Pressão e Força Hidrostática

CÁLCULO I

Aula 26: Área de Superfície de Revolução e Pressão

Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida

(2)

Área de Superfície de Revolução Pressão e Força

Hidrostática 1 Área de Superfície de Revolução

(3)

Uma superfície de revolução é um superfície gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo que se situa no mesmo plano da curva. Por exemplo, a superfície de uma esfera pode ser gerada ao girar um semicírculo em torno de seu diâmetro e a superfície lateral de um cilindro pode ser gerada pela rotação de um segmento de reta em torno de um eixo paralelo a ele.

(4)

(5)

Suponha que f seja uma função contínua não negativa em [a, b] e que uma superfície de revolução seja gerada pela rotação da parte da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x.

(6)

Suponha que f seja uma função contínua não negativa em [a, b] e que uma superfície de revolução seja gerada pela rotação da parte da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x.

(7)

Hidrostática Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos, inserindo os pontos

x₁, x₂, ..., xn−1 entre a = x0 e b = xn. Os pontos correspondentes do gráco

de f denem um caminho poligonal que aproxima a curva y = f (x) acima do intervalo [a, b].

(8)

(9)

(10)

Hidrostática Quando esse caminho poligonal gira em torno do eixo x, gera uma

superfície que consiste em n partes, cada uma delas sendo um tronco de cone circular reto.

(11)

(12)

Vamos tomar o k-ésimo tronco de cone com raios f (xk−1) e f (xk) e altura

(13)

Área de Superfície de Revolução Pressão e Força Hidrostática Denição

Se f for uma função contínua e não negativa em [a, b], então a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x é denida por:

S =

Z b

a

(14)

Quando for conveniente, essa fórmula pode ser expressa como S = Z b a 2πf (x)p1 + [f0_{(x )]}2_{dx =} Z b a 2πy s 1 + dy dx 2 dx

(15)

Além disso, se g for não negativa e x = g(y) for uma curva contínua em

[c, d ], então a área da superfície gerada quando a parte da curva x = g(y)

entre y = c e y = d gira em torno do eixo y, pode ser expresso como S = Z d c 2πg(y)p1 + [g0_{(y )]}2_{dy =} Z d c 2πx s 1 + dx dy 2 dy

(16)

Hidrostática Exemplo

Encontre a área da superfície gerada pela rotação da parte da curva y = x3

(17)

(18)

Encontre a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo y da

(19)

(20)

Área de Superfície de Revolução Pressão e Força Hidrostática Exemplo

A curva y = √4 − x2_{, com −1 ≤ x ≤ 1, é um arco do círculo x}2_{+ y}2 ₌_4.

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.

(21)

(22)

Determine a área da superfície obtida pela rotação, em torno do eixo y, do gráco de y = x₂2, de 0 a 1.

(23)

(24)

Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, de f (x ) = sen (x), de 0 a π.

(25)

(26)

Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva y = ex, com

(27)

(28)

Área de Superfície de Revolução Pressão e Força Hidrostática Denição (Pressão)

Se uma força de magnitude F for aplicada a uma superfície de área A, então denimos a pressão P exercida pela força sobre a superfície como sendo

P = F

(29)

Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído.

O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é

m = ρV = ρAd. A força exercida pelo uído na placa é, portanto:

F = mg = ρgAd em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim:

P = F

(30)

Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido

diretamente acima da placa tem volume V = Ad,

assim, sua massa é

P = F

(31)

diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim,

sua massa é

P = F

(32)

diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é

m = ρV = ρAd.

A força exercida pelo uído na placa é, portanto: F = mg = ρgAd

em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim:

P = F

(33)

P = F

(34)

F = mg = ρgAd

em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim:

P = F

(35)

P = F

(36)

Um princípio importante da pressão de uídos é o fato vericado experimentalmente de que em qualquer ponto no líquido a pressão é a mesma em todas as direções. Assim, a pressão em qualquer direção em uma profundidade d em um uido com densidade de massa ρ é dada por:

(37)

Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para a ≤ x ≤ b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x.

(38)

Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para a ≤ x ≤ b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x.

(39)

A ideia básica para resolver este problema é dividir a superfície em faixas horizontais, cujas áreas possam ser aproximadas por áreas de retângulos. Essas aproximações de áreas, nos permitirão criar uma soma de Riemann que aproxime a pressão total na superfície. Tomando um limite das somas de Riemann, obteremos uma integral para F .

(40)

(41)

(42)

Área de Superfície de Revolução Pressão e Força Hidrostática Denição

Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido com densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b ao longo do eixo x cujo sentido positivo seja para baixo. Para

a ≤ x ≤ b, suponha que w(x) seja a extensão da superfície e que h(x) seja

a profundidade do ponto x. Denimos, então, a força do uido sobre a superfície por

F =

Z b

a

(43)

A face de um dique é um retângulo vertical com altura de 100 pés e extensão de 200 pés. Encontre a força total que o uido exerce sobre a face, quando a superfície da água está no nível do topo do dique. Considere ρ =62, 4 lb/pé3.

(44)

Uma placa com o formato de triângulo isósceles, com base de 10 pés e altura 4 pés, é imersa verticalmente em óleo de máquina, conforme mostra a gura a seguir. Encontre a força F que o uido exerce sobre a superfície da placa se a densidade do óleo for ρ = 30 lb/pé3.