FUNÇÃO NO R PARA OBTENÇÃO DO DESENHO D-ÓTIMO EM MODELOS DE MISTURAS COM RESTRIÇÃO

FUNÇÃO NO R PARA OBTENÇÃO DO DESENHO D-ÓTIMO EM

MODELOS DE MISTURAS COM RESTRIÇÃO

Edmilson Rodrigues Pinto1 Leandro Alves Pereira1

Faculdade de Matemática Faculdade de Matemática

Universidade Federal de Uberlândia Universidade Federal de Uberlândia

edmilson@famat.ufu.br leandro@famat.ufu.br

Resumo. Experimentos com misturas são usados em diversas áreas da ciência e da indústria, especialmente nas indústrias química e farmacêutica. A obtenção de desenhos ótimos em experimentos com misturas é de grande importância, pois permitem a estimação eficiente dos parâmetros dos modelos considerados, além de economizarem tempo e dinheiro. Nas situações onde os desenhos ótimos tradicionais, comumente aplicados em experimentos com misturas, não puderem ser usados, por exemplo, em alguns problemas de misturas com restrição, desenhos ótimos, obtidos com a ajuda de computadores, devem ser utilizados. Existem poucos pacotes estatísticos que permitem a obtenção de experimentos ótimos nessas situações, sendo todos eles comerciais. O objetivo deste trabalho é apresentar uma função desenvolvida em R para obtenção do desenho D_ótimo em experimentos de misturas com restrição. O software estatístico R é uma linguagem orientada a objetos e faz parte de um projeto de software livre e gratuito. A função, intitulada D.otimo.mix, foi desenvolvida originalmente em Fortran e posteriormente convertida em uma biblioteca do R. Devido à sua praticidade, facilidade de uso e por poder ser adicionada à biblioteca de um software livre e gratuito, acredita-se que essa função possa ser de grande utilidade para pesquisadores e profissionais que necessitem conduzir experimentos que envolvam misturas.

Palavras-chave: Desenhos ótimos para misturas com restrição, desenhos D_ótimos, desenhos

ótimos no R.

1. Introdução

O termo mistura é usado para definir uma formulação ou uma composição de determinadas substâncias. Muitos produtos são confeccionados a partir da mistura de vários componentes. Tintas, alimentos, produtos químicos e farmacêuticos são alguns exemplos. Um experimento com mistura é aquele no qual dois ou mais componentes são misturados, em qualquer proporção e uma resposta é obtida para cada conjunto dos componentes da mistura. O propósito geral em um experimento de mistura com vários componentes, a partir de um número limitado de observações, é tornar possível obter uma estimativa da resposta. Geralmente, as observações são obtidas de combinações pré-selecionadas dos componentes na tentativa de se determinar quais delas, de alguma maneira, otimizam a resposta (Cornell, 2002).

A principal referência sobre a teoria de experimentos com mistura é o livro de Cornell (2002), onde se pode encontrar uma exposição abrangente e detalhada sobre o tema. Myers & Montgomery (2002) dedicam dois capítulos a experimentos com mistura, constituindo uma boa introdução ao assunto. Atkinson et al. (2007) dedicam um capítulo sobre a obtenção desenhos ótimos para misturas, utilizando um algoritmo intitulado BLKL e o software SAS (Statistical

Analysis System). Pinto & Ponce de Leon (2006) também apresentam um capítulo sobre a obtenção

de desenhos ótimos para misturas, considerando diversas situações.

Em certos experimentos com mistura, pode haver a necessidade de restringir a proporção de um ou mais componentes, que, por motivos técnicos ou práticos, não podem satisfazer todas as proporções possíveis. Com isso, a nova região experimental passa a ser uma sub-região da região das proporções matematicamente possíveis. Essas restrições nos componentes, que são muito comuns nos casos industriais, podem ser apenas limites superiores, apenas limites inferiores ou

uma combinação das duas. Na prática, há casos em que muitos dos componentes de uma mistura possuem simultaneamente limites superiores e inferiores em suas composições. De um modo geral, essas restrições podem ser representadas da seguinte forma:

0 ≤ li ≤ xi ≤ ui ≤ 1, i = 1, 2,...,q. (1) Onde li é o limite inferior e ui é o limite superior para o componente de mistura xi.

Com essas restrições, a região experimental pode ter forma bem diferente da região sem restrições. Nesses casos, não é viável recorrer mais aos planejamentos experimentais tradicionais apresentados na literatura, e, muitas vezes, recorre-se a algoritmos computacionais para a escolha da localização dos pontos experimentais. Existem situações em que é possível usar transformações lineares das variáveis originais, os pseudo-componentes, para transformar um problema de mistura com as restrições (1) em um problema de mistura irrestrito e os experimentos tradicionais podem ser usados. Entretanto, quando não for possível o uso de pseudo componentes, desenhos ótimos, baseados em algoritmos computacionais, devem ser usados.

Kiefer (1961) provou que os planejamentos em rede simplex sem restrições nos componentes, usados para modelos polinomiais de primeira e segunda ordem, são D-ótimos. Para experimentos com restrições nos componentes, McLean e Anderson (1966) sugerem que sejam usados os pontos extremos da região de experimentação. Saxena e Nigam (1973) mostraram que o desenho ótimo também pode conter conjuntos de pontos na região de experimentação que não são necessariamente pontos extremos. Snee e Marquardt (1974), através de um algoritmo chamado XVERT, mostraram que os pontos de vértice, o centro e os pontos médios das retas, que delimitam a região experimental, são candidatos a ponto ótimo. Nesse caso, o conjunto de pontos ótimos será um subconjunto dos pontos candidatos.

Este trabalho apresenta uma função no R para obtenção de desenho D_ótimo em experimentos de mistura com restrição, considerando o modelo quadrático de Sheffé com três componentes. Acredita-se que essa ferramenta será de grande importância para pesquisadores e profissionais que necessitem conduzir experimentos para modelos de mistura com restrição.

O R é um software flexível, potente e confiável para realizar tarefas estatísticas de qualquer tipo, desde as mais elementares às mais avançadas. Além disso, ele conta com a vantagem de ser gratuito e de seus processos de instalação e uso serem simples e de ser um software de aceitação mundial, usado não somente por profissionais da área de estatística como também por pesquisadores e profissionais nas mais variadas áreas do conhecimento. Um dos principais motivos da grande utilização do R é o fato de qualquer usuário poder melhorar o código do software básico ou escrever códigos para tarefas específicas, aproveitando todos os recursos já existentes. Além da gratuidade, a outra grande vantagem de se utilizar o R para implementação da função apresentada neste trabalho é a possibilidade de utilizá-la dentro de outros programas.

Na seção 2 é apresentada uma breve introdução sobre experimentos com misturas e a região experimental para o caso de três componentes com e sem restrição. Na seção 3 é apresentada a função D.otimo.mix e um exemplo de aplicação. As conclusões finais deste artigo são apresentadas na Seção 4.

2. Modelos para componentes de misturas

Sejam x , i = 1,...,q, as variáveis que representam as proporções dos q componentes de _i

mistura. Em experimentos envolvendo mistura, a soma das proporções dos componentes é sempre igual a 1, ou seja, 1 1 q i i x = =

∑

e xi ≥ , i=1,...,q (2) 0

Ao modificar a formulação do problema, no sentido de alterar as propriedades de uma determinada mistura em estudo, as novas proporções devem continuar obedecendo à restrição de mistura (2). Assim sendo, em planejamento de experimentos com mistura devem ser adotados projetos que considerem esta restrição. As restrições em (2) são mostradas na Figura 1, para o caso de dois e três componentes. Devido à restrição de mistura, a região experimental se reduz a uma região simplex de dimensão q – 1. Na Figura 1, cada lado do triângulo corresponde a uma mistura binária e os vértices dos triângulos correspondem às formulações de componentes puros. No interior do triângulo, estão situadas as possíveis misturas ternárias. Neste caso, são necessárias apenas duas dimensões para representar graficamente o experimento, como pode ser visto na Figura1c. Como cada componente é representado por um vértice, uma figura geométrica com três vértices e duas dimensões, ou seja, um triângulo equilátero, representa o espaço fatorial restrito de uma mistura ternária.

(a) (b) (c)

Figura 1: Representação do espaço experimental simplex para variáveis independentes e misturas (a) para duas variáveis, (b) e (c) para três variáveis.

2.1 Polinômios canônicos

Para se obter o melhor ajuste para a variável resposta, modelos matemáticos devem ser ajustados aos dados obtidos do planejamento experimental. Em procedimentos com modelos de misturas, experiências têm demonstrado que a média da variável reposta Y pode ser estimada utilizando um polinômio de Taylor (Box et al., 1978). Para duas variáveis, um modelo quadrático poderia ser:

( )

2 0 1 1 q q q i i ii i ij x j i i i j E Y β β x β x β x x = = < = +

∑

+

∑

+

∑∑

.

Entretanto, quando a condição para misturas é aplicada ao modelo polinomial, a equação se transforma em:

( )

* * 1 q q i i ij x j i i j E Y β x β x x = < =

∑

+

∑∑

, (3) onde: ii i i β β β β * = ₀ + + jj ii ij ij β β β β * = − − _, , 1, 2,..., , i j= q i< j

O polinômio apresentado em (3) é descrito como o polinômio de segunda ordem ou polinômio quadrático de Sheffé. Este polinômio faz parte de um grupo de polinômios especiais para experimentos com mistura e, em geral, tais polinômios podem tomar as seguintes formas: Modelo linear:

( )

1 q i i i E Y βx = =

∑

Modelo quadrático

( )

1 q q i i ij i j i i j E Y βx β x x = < =

∑

+

∑∑

Modelo cúbico especial

( )

1 q q i i ij i j ijk i j k i i j i j k E Y β x β x x β x x x = < < < =

∑

+

∑∑

+

∑∑ ∑

Modelo cúbico completo

( )

1 ( ) q q q i i ij i j ijk i j k i j i j i j i i j i j k i j E Y βx β x x β x x x β₋ x x x x = < < < < =

∑

+

∑∑

+

∑∑ ∑

+

∑∑

− 3. A Função D.otimo.mix

A obtenção de desenhos D-ótimos envolve procedimentos numéricos como cálculos matriciais e maximização sujeita a restrições. Desta forma, softwares de programação matemática como Matlab ou Fortran são mais adequados. Para construção da função D.otimo.mix foi utilizado como base um programa escrito em Linguagem Fortran 90. Esse compilador possui ricas bibliotecas de funções matemáticas. O programa para obtenção do desenho D-ótimo foi compilado em Fortran e convertido em uma biblioteca do tipo DLL para a linguagem R, através de um pacote de conversões da linguagem R, chamado “Rtools”. A instalação da função “d.otimo.mix” é simples, basta copiar todos os arquivos que fazem parte dessa função no diretório de trabalho do R. Geralmente este diretório é definido como sendo a pasta “meus documentos”, exceto quando o mesmo é alterado pelo usuário. Para habilitar a função no R, o usuário deverá digitar na linha de

prompt do R o comando “source(“dotimomix.r”)” e salvar a área de trabalho para que o comando

não precise ser digitado posteriormente. A função D.otimo.mix poderá ser adquirida através de contato por email com os autores.

3.1. Exemplo de Aplicação

O exemplo abaixo foi reproduzido de Atkinson et al. (2007). Seja uma mistura composta por três componentes, sujeitos às seguintes restrições:

1 0 2, ≤x ≤0 7, 2 0 1, ≤ x ≤0 6, 3 0 1, ≤x ≤0 6,

Suponha-se que o modelo quadrático de Sheffé, com seis parâmetros, seja adequado para a mistura apresentada, ou seja,

1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 ( )

E Y =βx +β x +β x +β x x +β x x +β x x .

As restrições nos componentes da mistura geram um hexágono, de forma bem diferente da região simplex regular (Veja Figura 2). Para este problema deve-se, primeiramente, obter os pontos candidatos e depois obter o desenho ótimo através de algum método numérico. Para obtenção da região experimental e dos pontos candidatos pode-se utilizar a Figura 1c, onde as linhas internas representam os eixos relativos à x₁, x₂ e x e onde serão traçadas as linhas de restrição. A área ₃

interna delimitada por estas linhas de restrição será a região de experimentação. Cada ponto de vértice desta área será um ponto candidato, juntamente com os pontos médios das linhas de restrição e o ponto central da região experimental. Este esquema está representado na Figura 2. A

região experimental está representada pelas linhas em negrito e os pontos em preto representam os pontos candidatos. Tendo em mãos estes pontos e o modelo especificado, tem-se as condições necessárias para executar a função D.otimo.mix no R.

Figura 2: Região experimental e pontos candidatos

Para executar a função D.otimo.mix usa-se a seguinte comando:

Objeto <- d.otimo.mix(c(a1,a2,a3),c(b),c(c),c(modelo),c(l),c(u))

Onde o vetor “Objeto” representa a matriz que receberá os resultados. Os parâmetros a1, a2 e a3 representam o número de pontos candidatos, o número de variáveis e o número de parâmetros do modelo, respectivamente. O número de pontos candidatos deve ser, no mínimo, igual ao numero de parâmetros do modelo. O vetor b contém os pontos candidatos. Estes pontos devem ser

digitados em seqüência e separados apenas por vírgulas. O vetor c contém os pesos associados aos

pontos candidatos. Estes pesos devem ter soma igual a um. O objeto “modelo” contém as informações sobre o modelo considerado. Cada parâmetro a ser estimado no modelo deve ser informado pelo nome da variável ou da interação que ele deve descrever, entre parênteses. A interação é representada pelo símbolo “*”. Se o modelo tiver a constante, essa deve ser informada como numero 1. Os vetores l e u contêm os limites inferiores e superiores para os componentes

da mistura, respectivamente. O comando para a função D.otimo.mix para o exemplo considerado é dado por:

Des_mix <- d.otimo.mix(c(13,3,6), c(0.6,0.3,0.1,0.2,0.6,0.2,0.7,0.2,0.1,0.4,0.3,0.3,0.3,0.4,0.3,0.2,0.3,0.5), c(0.076, 0.076, 0.076, 0.076, 0.076, 0.076, 0.076, 0.076, 0.076, 0.076, 0.076, 0.076,0.088), c("x1","x2","x3", "x1*x2","x1*x3","x2*x3"), c(0.2,0.1,0.1), c(0.7,0.6,0.6))

Os resultados (pontos ótimos e pesos) são colocados em um vetor qualquer, que no exemplo, recebeu o nome de “Des_mix”:

O Quadro 1 apresenta os pontos candidatos e os pontos ótimos obtidos pela função D.otimo.mix. O tempo gasto pelo software para retornar os resultados foi de, aproximadamente, 4 segundos, para um computador com processador de 2.0 Gigahertz e 1 Gigabyte de memória RAM. Após a execução da função, 10 pontos ótimos foram encontrados, coincidindo com o resultado obtido por Atkinson et al. (2007), utilizando o algoritmo BLKL, implementado em Fortran, para obtenção de desenhos ótimos exatos. Note que os pontos excluídos do experimento foram os pontos centrais dos seguimentos de retas menores, que delimitam a região de experimentação (Figura 2). O Quadro 1 também apresenta os pesos obtidos pelo algoritmo BLKL e pela função D.otimo.mix. Novamente, os resultados foram, aproximadamente, coincidentes. Os pesos em cada ponto ficaram distribuídos de tal forma que o ponto central teve menor peso e os pontos centrais dos seguimentos de retas maiores tiveram maior peso.

Quadro 1: Pontos candidatos e desenhos ótimos obtidos pela função d.otimo.mix em R no caso contínuo, e usando o algoritmo BLKL, no caso discreto, implementado em Fortran.

Pontos Pontos candidatos

Pontos ótimos obtidos pela função D.otimo.mix e pelo algoritmo BLKL

Pesos (BLKL) Pesos (D.otimo.mix) 1 0,7 0,1 0,2 0,7 0,1 0,2 0,1 0,1008 2 0,2 0,6 0,2 0,2 0,6 0,2 0,1 0,1008 3 0,7 0,2 0,1 0,7 0,2 0,1 0,1 0,1008 4 0,2 0,2 0,6 0,2 0,2 0,6 0,1 0,1009 5 0,3 0,6 0,1 0,3 0,6 0,1 0,1 0,1008 6 0,3 0,1 0,6 0,3 0,1 0,6 0,1 0,1008 7 0,7 0,15 0,15 8 0,2 0,4 0,4 0,2 0,4 0,3999 0,11 0,1084 9 0,5 0,1 0,4 0,5 0,1 0,3999 0,11 0,1083 10 0,25 0,6 0,15 11 0,5 0,4 0,1 0,49989 0,4 0,1084 0,11 0,1084 12 0,25 0,15 0,6 13 0,4 0,3 0,3 0,3999 0,2999 0,3 0,07 0,0701 4. Conclusão

A obtenção de desenhos ótimos é de grande importância, pois promovem diminuição do número de pontos a serem considerados no experimento, acarretando economia de tempo e dinheiro, além de fornecer a proporção de recursos que se deve gastar em cada ponto considerado ótimo. O desenho ótimo também garante que nos pontos e nas proporções consideradas para cada ponto, os parâmetros do modelo serão estimados da melhor forma possível. Este artigo apresentou uma função alternativa para obtenção de desenhos D-ótimos em experimentos de misturas com restrição. A função foi implementada no R e apresentada através de um exemplo obtido da literatura. A implementação da função no R é bastante simples. Devido à sua praticidade, facilidade de uso e por poder ser adicionada à biblioteca de um software livre e gratuito, acredita-se que essa função possa acredita-ser de grande utilidade para pesquisadores e profissionais que necessitem conduzir experimentos que envolvam misturas.

5. Referências

Atkinson, A. C., Donev, A. N., Tobias, R. D.; Optimum experimental Designs with SAS. London,

Oxford Statistical Science Series, Oxford university Press, 2007.

Box, G. E., Hunter, W. G., Hunter, J. S.; Statistics for Experimenters. John Wiley & Sons, New

York, 1978.

Cornell, J.A.; Experiments with mixtures: designs, models and the analysis of mixtures data.

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Kiefer, J.; Optimum designs in regression problems II. Annals of Mathematical Statistics, 32, pp.

298–325, 1961.

McLean, R. A., Anderson, V. L.; Extreme vertices design of mixture experiments.

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Myers, R.H., Montgomery, D.C.; Response Surface Methodology. Segunda Edição, John Wiley

& Sons, New York, 2002.

Pinto, E. R., Ponce de Leon, A. C. M.; Planejamento Ótimo de Experimentos. XVII Simpósio

Nacional de Probabilidade e Estatística, Caxambu, Associação Brasileira de Estatística, 2006. Prescott, P.; Modelling in misture experiments including interactions with process variables.

Quality Technology & Quantitative Management, 1, pp. 87-103, 2004.

Saxena, S. K., Nigam, A. K.; Symmetric-simplex block designs for mixtures. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 35, pp. 466–472, 1973.

Snee, R. D., Marquardt, D. W.; Extreme vertices designs for linear mixture models.