IV EREEC João Pessoa - PB 19 a 21 de setembro de 2017

19 a 21 de setembro de 2017

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NO

ESTUDO DO RESFRIAMENTO DE BLOCOS CERÂMICOS:

ANÁLISE DO CONFORTO TÉRMICO

Tamara Santos Cunha (tamarasantoscunha@gmail.com) Thaís Mota (thaismfreitas1@gmail.com)

Resumo: Neste artigo é proposto o estudo da aplicação de modelagem matemática por meio das equações diferenciais para analisar a variação de temperatura de “mini-paredes” confeccionadas com blocos cerâmicos e diferentes revestimentos, a fi m de verifi car a validade da Lei do Resfriamento de Newton, analisando a perda de calor do sistema para o ambiente após serem aquecidos em estufa, e, além disso, estudar o conforto térmico de cada “mini-parede”. A metodologia utilizada envolve a construção das “mini-paredes” de alvenaria estrutural relacionando os resultados coletados com ferramentas matemáticas fornecidas pela Equação Diferencial Ordinária que defi ne a Lei e, consequentemente, comparar os dados obtidos experimentalmente com os calculados pela modelagem da equação. Os resultados mostram que a modelagem da equação utilizada é relevante para o cálculo da variação da temperatura de alvenarias estruturais, simulando uma real condição do âmbito da construção civil, de modo que a equação governante da taxa de resfriamento dos blocos cerâmicos pode ser formulada. Diante disso, verifi cada a validação da Lei, é possível utilizar a equação modelada para analisar e controlar variações de temperatura reais encontradas em processos de aquecimento e resfriamento de blocos cerâmicos, sendo de grande valor para a resolução de problemas na área.

Palavras-chave: Blocos cerâmicos. Construção civil. Equação diferencial ordinária. Lei do Resfriamento de Newton.

Abstract: In this article the study of the application of mathematical modeling by means of the diff erential equations for analyzing the variation of temperature of “mini-walls” made from ceramic blocks and diff erent coatings is proposed, in order to verify the validity of Newton’s Cooling Law, analyzing the system heat loss to the environment after being heated in an oven, and in addition, to study the thermal comfort of each “mini-wall”. The methodology involves the construction of “mini-walls” of structural masonry relating the results collected with mathematical tools provided by the ordinary diff erential equation that defi nes the Law and, therefore compare the experimental data with the calculated by modeling the equation. The results show that the modeling of the equation used is relevant to calculate the variation of structural masonry temperature, simulating an actual condition under civil construction, so that the governing equation of the cooling rate of the ceramic blocks can be formulated. Therefore, checked the validation of the law, you can use the equation modeled to analyze and control real temperature variations found in heating and cooling processes of ceramic blocks, being of great value for the resolution of problems in the area.

Keywords: Ceramic blocks. Civil construction. Newton’s cooling law. Ordinary diff erential equation.

INTRODUÇÃO

De acordo com BOYCE (2002), das diversas aplicações da matemática, a determinação de resultados e previsões a respeito de um certo fenômeno está relacionado a modelagem de certas taxas, que signifi cam va-riações das grandezas estudadas no decorrer do tempo e são, dentro dos cálculos desenvolvidos, representados pelas derivadas. Manipulando essas taxas e relacionando-as com uma função incógnita, tem-se uma Equação Diferencial, importante ferramenta matemática, na qual sua modelagem defi ne o funcionamento de eventos es-tudados pelas variadas áreas cientifi cas, além de auxiliar na realização de diversas atividades do cotidiano[1,2]_.

Neste artigo, por meio de uma aplicação matemática e mediante a realização de um experimento, no qual foi construído três “mini-paredes”, sendo a primeira erguida com blocos cerâmicos aparentes e argamas-sa, a segunda com blocos cerâmicos revestidos com gesso e a terceira com blocos cerâmicos revestidos com argamassa; pode-se observar, analisar e obter resultados a respeito da variação de temperatura em função do tempo dos objetos de estudo e sua influência na modelagem da equação diferencial que define o comportamen-to da Lei de Resfriamencomportamen-to de Newcomportamen-ton.

1. OBJETIVOS 1.1 Objetivo Geral

Analisar uma situação prática em que se verifique a validade da lei do resfriamento de Newton aplicada em materiais utilizados na construção civil.

1.2 Objetivos Específicos

Verificar a perda de calor com o ambiente de temperatura mais baixa, utilizando a lei do resfriamento de Newton;

Aplicar a modelagem matemática no estudo do decaimento da temperatura de “mini- paredes” confec-cionadas com blocos cerâmicos, argamassa e gesso aquecidos em estufa;

Analisar em intervalos de tempo pré-determinados a variação da temperatura no interior dos alvéolos de blocos cerâmicos aparentes, revestidos com argamassa e revestidos com gesso;

Relacionar a variação de temperatura com o revestimento utilizado em cada “mini- parede”, comparan-do a perda de calor entre blocos cerâmicos aparentes e os blocos cerâmicos revesticomparan-dos com gesso.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Na maioria dos problemas presentes em algum ramo das Engenharias, possivelmente existe a ideia de encontrar soluções de determinadas equações diferenciais que explique o comportamento dos fenômenos que estão sendo estudados (ZILL, 2011). O estudo de fenômenos físicos está intimamente relacionado com con-ceitos e propriedades matemáticas, uma vez que a maioria desses fenômenos é descrita por meio de equações diferenciais que podem ser solucionadas de diversas maneiras e possuem muitas aplicações.

2.1 Equações Diferenciais

Podem-se tratar as equações diferenciais como modelos formulados para descrever situações reais, aten-tando-se tanto para suas resoluções quanto para o procedimento de modelagem. Na esfera da Matemática Apli-cada, as Equações Diferenciais têm atuação importante na interação com as diversas áreas do conhecimento, já que as aplicações matemáticas envolvem modelos, métodos numéricos, simulação e a implementação e dis-seminação de softwares livres.

Segundo Ulysses Sodré (2003) as equações diferenciais envolvem uma função incógnita e suas deriva-das e ela é dita ordinária se a função incógnita depende apenas de uma variável independente. A solução de uma Equação Diferencial é dada por funções que satisfazem a equação tornando-a uma identidade.

Na aplicação aqui abordada, a equação diferencial ordinária é linear e de primeira ordem a qual pode ser solucionada pelo método de separação de variáveis[3,4]_.

2.2 Lei do Resfriamento de Newton

A lei empírica de resfriamento de Newton descreve que a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo decresce é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia (ZILL,

equilíbrio térmico, considerando que a variação da temperatura é função das condições do ambiente, da dife-rença de temperatura entre o corpo e o meio externo, do material e do tempo em que o corpo permanece em contato com o ambiente. Além disso, a lei descreve um modelo real simples que leva em consideração uma temperatura ambiente constante[4,6]_.

A equação que descreve matematicamente o resfriamento de um corpo é dada por: (Eq. 1)

no qual é a taxa de variação da temperatura, k é a constante de proporcionalidade, T(t) a temperatura atual do corpo e Tm a temperatura constante do meio ambiente.

O sinal negativo na (Equação 1) indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo. A resolução desta equação pode ser feita pelo método da separação de variáveis, que nos fornece a se-guinte solução:

T(t) = Ce-kt _{+ T}

m (Eq. 2)

onde C é a constante gerada por conta da resolução da equação diferencial (Equação 1).

3. METODOLOGIA

Os blocos cerâmicos foram selecionados obedecendo às especificações quanto às características físi-cas e mecânifísi-cas segundo as normas da ABNT NBR 15270:05. As “mini-paredes” foram construídas utilizan-do um bloco cerâmico inteiro no meio e utilizan-dois blocos correspondentes a 1/3 utilizan-do bloco inteiro nas extremidades, todos assentados com argamassa colante industrializada entres eles de acordo com a ABNT NBR 14081:2004 (Figura 1 e 2), reservando um tempo de três dias para secagem e aderência do material antes da aplicação do revestimento.

Figuras 1 e 2. Assentamento dos blocos com argamassa colante

Fonte: Própria.

A argamassa utilizada no revestimento do bloco cerâmico está em conformidade com a NBR 10907:1990 com traço de 3:1, e no revestimento do bloco cerâmico com gesso consoante a ABNT NBR 13867 - 1997 (Figura 3).

Figura 3. “Mini-paredes” finalizadas: duas revestidas e uma sem revestimento

Fonte: Própria.

Após o período de três dias as “mini-paredes” foram colocadas na estufa para esterilização e secagem modelo 402/N Ethik Technology - Nova Ética, em acordo com o manual do fabricante (Figura 4). O protó-tipo dos blocos cerâmicos aparentes e blocos cerâmicos revestidos com gesso, foram aquecidos individual-mente em tempos de 30 minutos e os blocos cerâmicos revestidos com argamassa foram aquecidos por uma hora, posteriormente foram aferidas as temperaturas entre os septos dos blocos cerâmicos utilizando o ter-mômetro de mercúrio em concordância ao manual do fabricante (Figura 4), obedecendo ao tempo de 5 mi-nutos para que a temperatura do ar entre os alvéolos esteja em equilíbrio, e um intervalo de um minuto para que a temperatura retorne a ambiente. Sendo o procedimento repetido pelo menos cinco vezes em intervalos de seis minutos. Figura 4. Blocos cerâmicos levados à estufa e aferição de suas respectivas temperaturas Fonte: Própria.

Os resultados obtidos no experimento foram manipulados através do software MATLAB, onde foram plotados os gráficos das variações de temperatura dos protótipos.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Os procedimentos experimentais expostos anteriormente possibilitaram observar, analisar e discutir a respeito das variações de temperaturas percebidas no processo de aquecimento em estufa e posterior resfria-mento à temperatura ambiente dos blocos cerâmicos estudados.

A modelagem da equação que obedece a Lei do Resfriamento de Newton para cada uma das “mini-pa-redes” consistiu na determinação das constantes C e k da Equação (2). Para isto foram selecionados dois pares de medidas de tempo e temperatura de cada procedimento e com as constantes determinadas obtiveram-se as equações que descrevem cada um dos modelos reduzidos de paredes. Dessa forma foi possível comparar as medidas obtidas experimentalmente com os resultados fornecidos pela equação modelada.

Os dados obtidos do modelo constituído de blocos cerâmicos aparentes está evidenciado na (Tabela 1), considerando que a temperatura ambiente no momento do procedimento era Tm = 23[?][?][?].

Tabela 1. Dados relativos à “mini-parede” de blocos aparentes.

Intervalo Tempo_{[min] Temperatura [[?][?][?]]}Experimental T(t) = 37,7513 • e_{Temperatura [[?][?][?]]}–0,0095t + 23

1 5 59,0 59,0000 2 11 57,0 57,0054 3 17 55,5 55,1213 4 23 53,0 53,3416 5 29 50,5 51,6605 Fonte: Própria.

De maneira análoga, na (Tabela 2), apresentam-se os resultados logrados para o modelo constituído de blocos cerâmicos revestidos com gesso. Considerando que a temperatura ambiente no momento do procedi-mento era Tm = 23[?][?][?].

Tabela 2. Dados relativos à “mini-parede” com gesso

Intervalo Tempo_{[min] Temperatura [[?][?][?]]}Experimental T(t) = 17,2353 • e_{Temperatura [[?][?][?]]}–0,0189t + 23

1 11 37,0 37,0000 2 17 35,5 35,4991 3 23 34,0 34,1591 4 29 32,5 32,9628 5 35 31,5 31,8947 Fonte: Própria.

Neste caso, a temperatura aferida para os primeiros 5 minutos foi descartada para a modelagem da equa-ção porque a diferença entre T(5) = 47,5[[?][?][?]] e T(11) = 37,0[[?][?][?]] foi relativamente maior que as di-ferenças entre as demais medições, o que desconfigura a proporcionalidade da perda de calor proposta pela Lei do Resfriamento. Esta discrepância pode ser justificada pela baixa condutividade térmica do gesso, observan-do que o sistema sofre uma grande variação térmica ao ser retiraobservan-do da estufa. No entanto, as variações que se-guem após tal constatação apresentaram comportamento semelhante possibilitando a modelagem da equação de forma que esta esteja em concordância com a Lei em questão e forneça resultados satisfatórios quando re-lacionados com as medidas obtidas experimentalmente.

No que se refere ao modelo constituído de blocos cerâmicos revestidos completamente com argamassa, os dados tiveram que ser obtidos de maneira diferente, abriu-se apenas um orifício com diâmetro aproxima-damente equivalente ao do termômetro para que fosse aferida a temperatura. O primeiro ensaio foi realizado da mesma maneira que os anteriores: 30 minutos dentro da estufa e seis medições periódicas. Contudo, os da-dos obtida-dos durante este ensaio não geraram resultada-dos satisfatórios visto que a temperatura não variou, isso resultou do completo revestimento do bloco cerâmico, cobrindo os alvéolos de maneira que a temperatura de-moraria um tempo muito grande para o resfriamento, uma vez que a argamassa possui propriedades isolantes. No entanto, optou-se por fazer uma nova medição, submetendo o bloco a um tempo de uma hora em estufa e posteriormente fazendo as medições periódicas, conseguindo que houvesse a variação de temperatura para a modelagem da (Equação 2) e obtendo os dados dispostos na (Tabela 3).

Tabela 3. Dados relativos à “mini-parede” com argamassa

Intervalo Tempo_{[min] Temperatura [[?][?][?]]}Experimental T(t) = 37,8609 • e_{Temperatura [[?][?][?]]}–0,0046t + 24

1 5 61,0 61,0000 2 11 60,0 59,9928 3 17 59,0 59,0130 4 23 58,0 58,0598 5 29 57,0 57,1326 Fonte: Própria.

Com a equação de cada “mini-parede” modelada, foi possível estimar quanto tempo cada uma levará pa-ra retornar à tempepa-ratupa-ra do momento do ensaio, considepa-rando as condições do ambiente. Papa-ra isso, utilizou-se um valor de temperatura T(t) muito próximo do valor da temperatura ambiente Tm de cada ensaio. A (Tabela 4) explicita os resultados atingidos.

Tabela 4. Tempo de retorno à temperatura ambiente

Tipo Equação T(t) [[?][?][?]] Tm [[?][?][?]] tamb

Blocos Aparentes T(t) = 37,7513 • e–0,0095t _{+ 23 23,1 23,0 4 horas e 32 min.} Revestimento de Gesso T(t) = 17,2353 • e–0,0189t _{+ 23 23,1 23,0 10 horas e 25 min.} Revestimento de Argamassa T(t) = 37,8609 • e–0,0046t _{+ 24 24,1 24,0 21 horas e 31 min.}

Fonte: Própria.

Dessa forma, foi verificado que os blocos aparentes são os que levam menos tempo para retornar à tem-peratura ambiente e, como era esperado, os blocos revestidos com argamassa retém mais o calor e demoram mais tempo para resfriar, uma vez que este modelo foi completamente revestido para simular uma situação mais próxima da realidade.

O gráfico (Figura 5), a seguir, enfatiza os resultados da (Tabela 4), mostrando que a perda de calor da “mini-parede” completamente revestida com argamassa é mais lenta que nos outros dois casos. A queda de temperatura dos outros modelos é mais rápida e, apesar do protótipo de gesso ter a curva que atingiu menores temperaturas, este demora mais para retornar à temperatura ambiente do que o modelo de blocos aparentes.

Figura 5.

Gráfico comparativo do resfriamento dos três modelos

Fonte: Própria.

Baseado nos dados e resultados coletados ao longo da etapa experimental, foi possível a realização do cálculo do desvio estatístico entre os valores das temperaturas encontradas no laboratório e encontradas atra-vés das equações diferenciais[5]_{, por meio da (Equação 3).}

(Eq. 3)

Cujos valores de Tlab e Tedo correspondem às temperaturas aferidas no laboratório e através do cálculo das equações diferenciais, respectivamente. E conferem-se na (Tabela 5).

Tabela 5. Desvio estatístico dos dados

Blocos Aparentes [%] Revestimento de Gesso [%] Revestimento de Argamassa [%]

0,00000 0,00000 0,00000 0,00947 0,00254 0,01200 0,68234 0,46794 0,02203 0,64453 1,42400 0,10310 2,29802 1,25302 0,23263 Média 0,726872 0,629499 0,073952 Fonte: Própria.

Em média, os desvios encontrados entre os resultados experimentais para as temperaturas em análise apresentaram valores abaixo de 1,0%, os quais representam uma baixa, quase desprezível, diferença percentu-al, evidenciando a eficiência e validade na utilização das equações diferenciais no experimento.

Entretanto, a presença de um desvio, por menor que seja, traz consigo a análise de possíveis erros iden-tificados durante o processo experimental, como erros sistemáticos, por conta de falhas dos instrumentos de medidas tais como na medida da temperatura pela estufa ou no termômetro, bem como nas condições ambien-tais de realização do experimento e falhas de observação; e, além disso, erros grosseiros devido à falta de aten-ção na observaaten-ção de algum dado.

Os gráficos mostrados nas (Figura 6) e (Figura 7) referentes aos dois ensaios, do modelo revestido com gesso e do modelo de blocos aparentes, respectivamente, indicaram resultados muito satisfatórios tendo em vista que os pontos gerados pelos dados experimentais foram muito próximos da curva da equação de cada mo-delo, verificando, dessa forma, a validade da Equação Diferencial da Lei do Resfriamento de Newton.

Figura 6. Gráfico do

comportamento do modelo revestido com gesso Fonte: Própria. Figura 7. Gráfico do comportamento do modelo de blocos aparentes Fonte: Própria.

A partir da análise das tabelas e gráficos acima, é possível inferir que o resfriamento dos blocos cerâmi-cos depende das condições ambientais, do material do bloco e de seu revestimento, além disso, consideram-se satisfatórios os resultados obtidos por meio dos métodos experimentais, uma vez que o desvio calculado entre os dados e as equações está dentro dos valores aceitáveis pela estatística que é de até 10%, validando, assim, o

CONCLUSÕES

O estudo pretende contribuir no setor da construção civil, uma vez que os resultados obtidos poderiam ser manipulados para utilização em situações reais que objetivam um eficiente dimensionamento do arejamen-to no interior de residências, contribuindo para um menor gasarejamen-to energético com climatizadores e afins. Dessa maneira, os dados observados poderiam auxiliar em projetos nos quais se deseja atender as exigências de con-forto térmico, já que os resultados definem o material ou revestimento que melhor atente a requisitos de maior ou menor perda de calor. Isso pode ser exemplificado por meio da análise da “mini-parede” revestida com ges-so, uma vez que, como mostrado anteriormente, tal material possui baixa condutividade térmica tornando-o mais adequado para locais onde a variação de temperatura tende a ser maior.

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Me. Gislan Silveira Santos por toda a orientação matemática e estrutural, Prof. Me. Joaz Batista e ao Prof. Esp. Márcio Matos pelo grande apoio nas diversas fases dos experimentos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] BASSANEZI, R. C. FERREIRA JR, W. C. Equações diferenciais com aplicações. São Paulo: Editora Har-bra Ltda, 1998.

[2] BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de

Contor-no. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

[3] BRONSON, R.; COSTA, G. Equações Diferenciais. Coleção Schaum. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. [4] ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 9. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

[5] BARRETO, A.; CABRAL F.; CESÁRIO R.; SANTOS E.; Textos de Laboratório: Teoria de Erros. Dispo-nível em: <http://physika.info/physika/documents/teoerrosufba.pdf>. Acesso em: 23/01/2016.

[6] BONFIM, P.; SUSIN, R.; CARGNELUTTI, J. Aplicação da Lei do Resfriamento de Newton em Blocos

Cerâmicos: Modelagem, Resolução Analítica e Comparação Prática dos Resultados. Disponível em: <http://