UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR BINÁRIA PARA OTIMIZAR A CONFIABILIDADE EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

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UM MODELO DE PROGRAMAC

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AO N ˜

AO-LINEAR

BIN ´

ARIA PARA OTIMIZAR A CONFIABILIDADE

EM REDES DE DISTRIBUIC

¸ ˜

AO DE ENERGIA EL ´

ETRICA

Eduardo Zambon D´ebora Z. Bossois Berilhes B. Garcia

UFES – Universidade Federal do Esp´ırito Santo Departamento de Inform´atica

Av. Fernando Ferrari, s/n – Goiabeiras – 29.060-900 – Vit´oria – ES – Brasil

{zambon, deborazb, berilhes}@inf.ufes.br Elias F. Azeredo

ESCELSA – Esp´ırito Santo Centrais El´etricas S.A. BR 101 Norte, Km 9.5 – Serra – 29.161-500 – ES – Brasil

eliasfa@enbr.com.br

RESUMO

Uma empresa responsável pelo fornecimento de energia elétrica (concessionária) busca prestar um serviço de boa qualidade, mantendo um baixo custo operacional. Para quantificar, ana-lisar e regular o desempenho das concessionárias, a ANEEL define os indicadores de continuidade para redes de distribuição e estabelece metas a serem cumpridas para estes indicadores. Neste in-tuito, as concessionárias devem instalar equipamentos de proteção e de seccionamento em locais adequados da rede de distribuiç ão, de forma aumentar a sua confiabilidade. Este trabalho propõe um modelo de Programação Não-Linear Binária com o objetivo de melhorar os indicadores de continui-dade de uma rede de distribuiç ão, identificando o tipo e a localização dos dispositivos que devem ser instalados ao longo da rede. O novo modelo é mais geral que os apresentados na literatura, tratando-os como um caso particular e permitindo encontrar soluç ões de melhor qualidade.

PALAVRAS CHAVE. Indicadores de continuidade, planejamento da proteç ão de redes de distribuição, programaç ão n ão-linear bin ária. Area de classificaç ão principal: PM -´ Programaç ão Matem ática.

ABSTRACT

An electric utility is a company responsible for the electric power supply and aims to provide a good quality service while maintaining its operational costs low. In order to quantify, analize and regulate the service of an electric utility, a board or similar commission defines reliabi-lity indices for distribution networks and sets goals that must be achieved. In doing so, the electric utility installs protection and sectionalizing devices in key locations of its distribution network, to enhance the reliability. This work presents a binary nonlinear programming model that seeks to improve the reliability indices of a distribution network, by identifying the type and location of the devices that should be installed along the network. This new model is a generalization of the ones given in the literature and can find better solutions.

KEYWORDS. Reliability indices, distribution systems protection design, nonlinear binary Reliability indices, distribution systems protection design, binary nonlinear programming. Main area: Mathematical programming.

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1. Introduc¸˜ao

Uma empresa de distribuiç ão de energia elétrica (concessionária) tem como objetivos fornecer um serviço de qualidade aos seus consumidores e manter o seu custo operacional baixo. Para quantificar o desempenho de uma rede de distribuiç ão, a ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica, órgão do governo federal brasileiro responsável por regular e fiscalizar a atuação das concessionárias – define em [ANEEL 2000] os indicadores de continuidade. Esses indicadores permitem mensurar a continuidade do fornecimento de energia elétrica em uma rede e podem ser utilizados como métricas comparativas da qualidade do serviço prestado. De acordo com a definição da ANEEL, a confiabilidade de uma rede de distribuiç ão é inversamente proporcional aos seus indicadores de continuidade, ou seja, quanto menores forem os indicadores, mais confiável é a rede.

A ANEEL estabelece metas de continuidade relativas a esses indicadores para cada con-cessionária: valores máximos a serem observados durante um dado per´ıodo de tempo (geralmente um ano). As empresas que não cumprem os limites determinados ficam sujeitas a sanç ões, tais como multas. Há uma tendência de que as metas da ANEEL se tornem mais exigentes com o passar dos anos, o que obriga as concessionárias a terem uma preocupação crescente com a melhoria dos seus indicadores.

A continuidade do fornecimento de energia elétrica causa um impacto direto aos consu-midores de um modo geral e principalmente aos de grande porte, como indústrias, por exemplo. Nesta área de atividade, pequenas quedas na alimentação de energia podem implicar em um grande preju´ızo. Muitos processos fabris não podem ser suspensos antes do seu término e devem ser retomados do in´ıcio quando ocorre uma interrupção no fornecimento de energia, provavelmente acarretando perda de matérias-primas e necessidade de manutenção de equipamentos. Assim, a busca pela melhoria dos indicadores de continuidade também pode gerar benef´ıcios econômicos aos consumidores e propiciar o uso mais eficiente da energia elétrica, diminuindo o desperd´ıcio no seu consumo.

Interrupç ões no fornecimento de energia podem ser causadas por diversos fatores, tais como tempestades, curtos-circuitos provocados por árvores ou animais, mau funcionamento de equipamentos, entre outros. Além das medidas preventivas empregadas pelas concessionárias para tentar diminuir a ocorrência de falhas, as redes de distribuição contam com um sistema de proteção formado por diferentes tipos de dispositivos. Estes são responsáveis por isolar uma falha na rede e impedir a sua propagação. Por isso, uma alocação adequada dos dispositivos de proteção ao longo de uma rede melhora a sua confiabilidade e, portanto, diminui os seus indicadores de continuidade. Vários estudos sobre o assunto vêm sendo realizados. Soudi e Tomsovic, em [Soudi and Tomsovic 1997] e [Soudi and Tomsovic 1998], apresentam uma formulação baseada em PLB (Programação Linear Binária) com o propósito de minimizar os indicadores de uma rede, sugerindo o tipo e a localização dos dispositivos de proteção a serem empregados. Um artigo subseqüente dos mesmos autores [Soudi and Tomsovic 1999] trata da análise da quali-dade das soluç ões obtidas e do tempo necessário para se resolver o problema de PLB. Final-mente, em [Soudi and Tomsovic 2001], Soudi e Tomsovic apresentam uma modelagem que utiliza Programação por Metas (Goal Programming) na tentativa de buscar um equil´ıbrio na otimização simultânea de mais de um indicador. Baseando-se no trabalho desses autores, Silva [da Silva 2002] desenvolve um modelo de Programação Não-Linear Binária (PNLB) para o problema e aplica a meta-heur´ıstica de Algoritmos Genéticos para tentar encontrar soluç ões viáveis. Os resultados por ele obtidos estão resumidos em [da Silva et al. 2004].

O modelo de Soudi e Tomsovic exige que a rede de distribuiç ão seja dividida em tre-chos classificados por critérios operacionais da concessionária e, embora permita encontrar boas

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soluç ões, essa obrigatoriedade de divisão pode limitar a busca de melhores configuraç ões para os dispositivos de proteção em uma rede. A formulação apresentada por Silva é desnecessariamente complexa e incorpora a mesma forma de divisão do modelo de Soudi e Tomsovic. Tendo em vista essas limitaç ões, este artigo apresenta um novo modelo de PNLB, mais geral e que engloba a formulação original de Soudi e Tomsovic.

2. Caracter´ısticas da rede de distribuic¸˜ao

A energia elétrica produzida em usinas hidrelétricas, termoelétricas e outras fontes passa por um longo caminho até chegar aos consumidores. Entretanto, para efeito do problema aqui tra-tado, considera-se que o ponto inicial do fornecimento de energia em uma rede de distribuiç ão é a

subestaç ão. O entorno geográfico da subestação está coberto por uma rede de distribuição que é

composta por um ou mais alimentadores, os quais formam a linha de distribuição até os consumi-dores. Um alimentador, por sua vez, é constitu´ıdo por diversos blocos, sendo estes delimitados por algum dispositivo de proteção ou seccionamento.

Este trabalho trata somente de alimentadores radiais, isto é, que possuem uma única fonte de energia (no caso, a subestação). Existem chaves ditas “normalmente abertas”, que podem interli-gar dois pontos de alimentadores distintos e ser utilizadas para realizar manobras que redirecionam o fluxo da energia na malha em caso de falhas. Uma vez que a determinação dos melhores pontos para a instalação destas chaves constitui por si só um problema bastante complexo, neste estudo as chaves normalmente abertas são desconsideradas: assume-se que todos os alimentadores são completamente isolados entre si.

2.1. Interrupc¸˜oes e falhas

Uma interrupç ão no fornecimento de energia elétrica pode ser classificada como perma-nente ou temporária. De acordo com a resolução da ANEEL [ANEEL 2000], uma interrupção é definida como permanente quando sua duração exceder um per´ıodo limite e, como temporária, caso contrário. Este per´ıodo pode ser de 1 ou 3 minutos, conforme o contrato da concessionária. A mesma classificação pode ser utilizada para falhas no sistema de distribuiç ão. Uma falha

perma-nente gera uma interrupção permaperma-nente e requer que uma equipe de reparo seja despachada até

o local de ocorrência da falha para realizar o conserto. Uma falha temporária, dependendo do tipo do equipamento de proteção que seja acionado a partir dela, pode gerar tanto uma interrupção permanente quanto uma interrupç ão temporária.

2.2. Equipamentos de protec¸˜ao e seccionamento

Os equipamentos de proteção e seccionamento são instalados ao longo da rede com a intenção de evitar que os consumidores fiquem sem fornecimento de energia elétrica por muito tempo e com muita freqüência. Suas posiç ões devem ser adequadamente escolhidas, de acordo com os seus tipos e as caracter´ısticas de cada trecho da rede. Os dispositivos foram divididos em três grupos: religadores, fus´ıveis e chaves.

Religador é um equipamento automático que interrompe e restabelece o fornecimento de energia de um trecho do alimentador enquanto houver falha, até uma certa quantidade de tentativas. Desta forma, ao atingir um religador, uma falha temporária é tratada, causando somente uma interrupção temporária. Já se a falha é permanente, o religador suspende o fornecimento após alcançar o seu limite de tentativas de religamento e deve ser reativado manualmente (ou remotamente caso possua esta funcionalidade), causando uma interrupç ão permanente. Este equipamento possui um custo elevado, portanto os pontos para sua alocação devem ser bem escolhidos.

Fus´ıvel é um equipamento de proteção simples e barato. Todo fluxo de corrente elétrica superior à sua corrente nominal interrompe o fornecimento e obriga a sua troca. Tanto falhas permanentes quanto temporárias causam uma interrupção permanente ao atingirem um fus´ıvel.

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Chave uma chave não é um dispositivo de proteção e sim de seccionamento. Embora não respon-dam ativamente a uma contingência, as chaves podem ser utilizadas para isolar trechos com falha de um alimentador, permitindo que o fornecimento a alguns consumidores seja restaurado mais rapidamente que a outros.

2.3. Estrutura do alimentador

A Figura 1(a) apresenta a topologia do alimentador A1 e as ´areas correspondentes aos seus oito blocos. As letras R, F e C indicam qual o tipo do equipamento delimitador do bloco: religador, fus´ıvel ou chave, respectivamente.

(a) 2024 5100 3679 3615 5102 3602 5118 3603 (b)

Figura 1: Topologia e ´arvore do alimentador A1

Analisando a estrutura de um alimentador, verifica-se de imediato a existência de uma hie-rarquia de distribuiç ão em que um bloco possui um pai (exceto o primeiro), de onde chega a energia, e zero ou mais filhos, para onde ela flui. Esta forma de estruturaç ão dos alimentadores permite a sua representaç ão como uma árvore, em que cada nó corresponde a um bloco. O nó raiz da árvore corresponde ao primeiro bloco do alimentador, onde restriç ões operacionais obrigam a instalação de um religador automático de subestação (disjuntor). A Figura 1(b) mostra a representaç ão em forma de árvore do alimentador A1.

A cada nó associa-se uma dada quantidade de consumidores que estão localizados na área geográfica correspondente àquele bloco. Uma aresta entre dois nós indica uma ligação (cabeamento elétrico) entre eles. Uma falha em um trecho da rede de distribuiç ão pode levar a uma desconexão (remoção de uma aresta) de um nó, criando uma subárvore formada pelo nó desconectado e todos os seus filhos. Enquanto a aresta removida não for reinserida (i.e., a falha não for consertada), todos os consumidores associados aos nós pertencentes à subárvore ficarão sem energia elétrica.

A partir da árvore do alimentador A1 e tomando como exemplo a ocorrência de uma falha no bloco 3615, observa-se que os consumidores dos blocos 3615 e 5102 ficarão sem fornecimento de energia até que a falha seja restaurada. Define-se que o bloco 5102 está localizado em uma posição a jusante do bloco 3615 por pertencer à subárvore formada a partir deste bloco. Por outro lado, os consumidores do bloco 3615 também ficarão sem fornecimento de energia caso haja uma falha nos blocos 2024, 5100 ou 3679. Estes três blocos são ditos localizados em posição a montante do bloco 3615.

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2.4. Indicadores de continuidade

Dois indicadores de continuidade foram estudados: DEC (Duração Equivalente de Interrupção por Unidade Consumidora) e FEC (Freqüência Equivalente de Interrupção por Uni-dade Consumidora). O DEC de um alimentador pode ser estimado por

DEC = P i∈BHiNi NT [horas / ano] (1) e o FEC por F EC = P i∈BIiNi NT [interrup. / ano] (2)

ondeB é o conjunto formado por todos os blocos de um alimentador, Ni é o número de

consumi-dores do bloco i, NT ´e o n´umero total de consumidores do alimentador eHi eIi correspondem a

estimativas do número de horas por ano que o blocoi fica interrompido e de quantas interrupç ões

ele sofreu, respectivamente.

Uma vez que se busca estimar como as mudanças nos equipamentos de proteção afetam estes ´ındices, é necessária a utilização de taxas que indiquem uma expectativa para o número de falhas de cada bloco de um alimentador. Para isso, são definidas a taxa de falha de permanente (λ)

e a taxa de falha de tempor´aria (γ), que descrevem uma expectativa para o n´umero de vezes por ano

que um bloco deve sofrer uma falha permanente e uma falha temporária, respectivamente. Ambas podem ser obtidas através do histórico de falhas dos alimentadores mantido pela concessionária. Para os casos onde não há dados suficientes ou confiáveis para se determinar as taxas de falhas, Brown e Ochoa apresentam um método que permite estimá-las [Brown and Ochoa 1998].

3. Modelagem proposta

A aplicação da modelagem proposta gera um problema de Programação Não-Linear Binária com o objetivo de minimizar o FEC ou o DEC de um alimentador, identificando qual dis-positivo de proteção / seccionamento deve ser instalado em cada bloco. Esta seção primeiramente apresenta conceitos básicos de programação matemática e a seguir mostra como o modelo original de Soudi e Tomsovic foi adaptado e aplicado nos alimentadores de teste dispon´ıveis. Finalmente, o novo modelo é propriamente apresentado.

3.1. Programação matemática

A Programação Linear Inteira busca maximizar ou minimizar uma função objetivo linear sujeita a restriç ões também lineares, com todas as variáveis de decisão do problema limitadas a valores inteiros. A Programação Linear Binária é um caso particular da Programação Linear Inteira onde as variáveis de decisão podem assumir apenas os valores 0 ou 1. Os modelos de PLB possuem a seguinte forma geral:

min/max n X i=1 cixi, (3) sujeito a n X i=1 aixi≤ bj, ∀j ∈ {1, . . . , m} e xi ∈ {0, 1} (4)

ondexi são as n variáveis de decisão, ci são os coeficientes de custo, ai ebj são parâmetros que

descrevem as restriç ões em é o número de restriç ões.

Os problemas de PNLB (Programação Não-Linear Binária) tratados aqui possuem uma forma similar à equação (3), com a exceção de que os termos do somatório da função objetivo podem conter um produto de variáveis de decisão. Estes modelos de PNLB podem ser reduzidos a problemas de PLB conforme citado em [Soudi and Tomsovic 1998].

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3.2. Motivac¸˜ao

O modelo de PLB de Soudi e Tomsovic foi desenvolvido com o objetivo de minimizar os ´ındices SAIFI (System Average Interruption Frequency Index) e SAIDI (System Average

Inter-ruption Duration Index) de um alimentador. Estes ´ındices s˜ao empregados por concession´arias

norte-americanas e equivalem ao FEC e DEC, respectivamente.

Os autores definem uma separação do alimentador em tronco principal e ramais laterais, sendo estes classificados em Categorias 1, 2 e 3. No entanto, não há um critério objetivo para se realizar essa classificação. De fato, nem todas as concessionárias utilizam essa separação, como é o caso dos alimentadores de teste dispon´ıveis nesta pesquisa. Assim, tomou-se como o tronco principal de um alimentador o conjunto de blocos com o cabeamento mais longo; as ramificaç ões do tronco principal (taps) formam os ramais laterais. O modelo de Soudi e Tomsovic assume que nenhuma lateral possui ramificação, entretanto, este pode não ser o caso após a determinação do tronco principal. Nestas situaç ões, cada uma dessas laterais é novamente dividida em um sub-tronco e sub-ramais, pelo mesmo critério já apresentado. Este processo é repetido recursivamente nos sub-ramais que ainda possuem ramificaç ões, até que todas as laterais fiquem na forma adequada. Tomando o alimentador fict´ıcio da Figura 2 como exemplo, sendo o tronco principal formado pelos blocos 11, 12, 13, 14 e 15, os ramais são as subárvores formadas a partir dos blocos 21, 31 e 41. As duas últimas laterais não possuem ramificaç ões, mas a primeira ainda deve ser subdividida em um sub-tronco principal formado pelos blocos 21, 22 e 23. O bloco 24 é uma sub-lateral do ramal 21.

11 12 13 14 15 41 31 32 21 22 23 24

Figura 2: Uma ´arvore de um alimentador fict´ıcio

Aplicando-se aos alimentadores de teste o procedimento descrito, a formulação de Soudi e Tomsovic gera soluç ões satisfatórias para o problema, exceto por um fato: dividir os ramais laterais sucessivamente em sub-tronco e sub-ramais obriga a instalação de dispositivos de proteção em cada um dos taps. Como o número de religadores dispon´ıveis para instalação é menor que o de fus´ıveis, as soluç ões obtidas tendem a alocar uma quantidade excessiva de fus´ıveis, prejudicando a sua qualidade. A expectativa de que essa divisão dos alimentadores estava excluindo as melhores soluç ões levou ao desenvolvimento do novo modelo.

3.3. Formulac¸˜ao

A nova modelagem analisa o alimentador como um todo, de forma a obter um modelo mais geral. Assim, há um ganho considerável na liberdade para a alocação dos dispositivos. Para facilitar o entendimento da formulação, consideram-se, inicialmente, as variáveis auxiliares X, Y

eZ, definidas da seguinte forma:

Xj =

(

0 se n˜ao h´a um religador alocado no bloco j,

(7)

Yj =

(

0 se n˜ao h´a um fus´ıvel alocado no bloco j,

1 caso contr´ario. (6)

Zj = Xj+ Yj. (7)

Da equação (7), observa-se que a variável Zj assume um valor diferente de 0 quando qualquer

equipamento de proteção estiver instalado em j, e 0, caso contrário. Além disso, esta equação

obriga a existência de uma restrição impedindo que Xj e Yj sejam iguais a 1 para um mesmo

blocoj.

Para estas três variáveis, também são considerados os complementos Xj, Yj e Zj, que

sempre assumem o valor inverso das originais. Para o complemento deZj, tem-se a f´ormula

Zj = XjYj. (8)

Antes de se empregar o novo modelo, deve-se especificar o parˆametrodipara cada blocoi

do alimentador, correspondente ao primeiro bloco a montante dei onde se garante que um

disposi-tivo de proteção será instalado. Para o caso em que se deseja considerar o alimentador por inteiro, basta fazerdiigual ao bloco do religador de subestação, para todoi ∈ B.

A formulação parte da definição da estimativa do ´ındice FEC de um alimentador. O numerador de (2) pode ser reescrito como

X i∈B λi " X j∈Ui TjZj Y k∈C_ij Zk !# +X i∈B γi " X j∈Ui TjYj Y k∈C_ij Zk !# (9) onde:

B o conjunto formado por todos os blocos de um alimentador. λi taxa de falha permanente do blocoi.

γi taxa de falha tempor´aria do blocoi.

Ui o conjunto dos blocos pertencentes ao caminho entre o blocoi (inclusive) e o bloco di

(inclu-sive).

C_ij o conjunto dos blocos pertencentes ao caminho entre o blocoi (inclusive) e o bloco j

(exclu-sive), a montante dei.

Tj total de consumidores a jusante do blocoj (inclusive).

Como o n´umero de consumidores de cada bloco ´e conhecido, os valores deTjpodem ser calculados

a priori para todos os blocos do alimentador.

O primeiro termo da equac¸˜ao (9) calcula o impacto das falhas permanentes de um blocoi

quando o dispositivo de protec¸˜ao do blocoj atua, podendo ser interpretado da seguinte forma:

con-tabilize uma interrupc¸˜ao permanente para todos os consumidores a jusante e emj (Tj), ponderada

pela taxa de falha permanente do bloco onde ocorreu a falha (λi), se um dispositivo de protec¸˜ao

estiver instalado emj (Zj) e não houver nenhum equipamento de proteção entrei e j (Q_k∈Cj i Zk). O segundo termo da equação (9) contabiliza o efeito das falhas temporárias de um blocoi quando

o fus´ıvel do blocoj é acionado, causando uma interrupção permanente. Este termo pode ser lido

como: contabilize uma interrupc¸˜ao permanente para todos os consumidores a jusante e emj (Tj),

ponderada pela taxa de falha tempor´aria do bloco onde ocorreu a falha (γi), se um fus´ıvel estiver

instalado emj (Yj) e não houver nenhum equipamento de proteção entrei e j (Q_k∈Cj i

(8)

Agrupando os termos da equação (9), obtém-se X i∈B " X j∈Ui Tj(λiZj + γiYj) Y k∈C_ij Zk !# . (10)

Agora, as variáveisX, Y e Z devem ser substitu´ıdas pelas variáveis de decisão x e y. As

vari´aveisxj eyj s˜ao definidas por xj =

(

0 se um religador deve ser alocado no bloco j,

1 caso contr´ario (11)

yj=

(

0 se um fus´ıvel deve ser alocado no bloco j,

1 caso contr´ario. (12)

A partir de (11) e (12), as vari´aveisXj eYje seus complementos podem ser redefinidos como

Xj = 1 − xj Xj = xj (13)

Yj = 1 − yj Yj = yj. (14)

Para a vari´avelZj e seu complemento, basta substituir (13) e (14) em (7) e (8):

Zj = 2 − xj− yj Zj = xjyj. (15)

Finalmente, reescrevendo (10) utilizando-se (14) e (15) e rearrumando os coeficientes de

xjeyj, chega-se a X i∈B ( X j∈Ui Tj[2λi+ γi− λixj− (λi+ γi)yj] Y k∈C_ij xkyk !) . (16) ´

E poss´ıvel utilizar a definição inversa (normalmente mais intuitiva) para as variáveis de decisãox e y. Isto não foi feito porque, neste caso, o complemento de Zjseria: Zj = 2 − xj− yj, e

comoZ aparece dentro de um produtório, o número de termos produto na equação final da função

objetivo seria maior. ´

E importante notar que o modelo apresentado permite que um problema de PNLB equiva-lente ao de Soudi e Tomsovic seja obtido. Para isto, o alimentador deve ser dividido em um tronco principal e ramais laterais, definindo-se as vari´aveisdida seguinte forma:

• para todo i no tronco principal, di é igual à raiz da árvore, • para cada lateral l e para todo i em l, di é igual ao tap del.

Considera-se como um “problema equivalente”, um problema de PNLB diferente do obtido a partir do modelo de Soudi e Tomsovic, mas que possui a mesma soluc¸˜ao.

Para se calcular o DEC do alimentador, a equac¸˜ao (16) deve ser substitu´ıda por X i∈B ( X j∈Ui Tjti[2λi+ γi− λixj− (λi+ γi)yj] Y k∈C_ij xkyk !) (17)

(9)

3.4. Restric¸˜oes

Embora somente as restriç ões obrigatórias estão listadas nesta seção, nada impede que certas restriç ões operacionais também sejam utilizadas.

Para todos os blocos onde se sabe que haver´a um dispositivo instalado deve-se fazer:

xj + yj = 1, j ∈ {di}, i ∈ B. (18)

Nos blocos restantes, sabe-se que não é poss´ıvel instalar mais de um equipamento de proteção, logo vale a seguinte restrição:

xi+ yi≥ 1, i ∈ B. (19)

Como sempre há um religador de subestação instalado na raizR do alimentador, tem-se:

xR= 0. (20)

Com relação ao custo, a seguinte restrição deve ser utilizada: X

i∈B

xi ≥ |B| − (r + 1) (21)

onde r é o número de religadores dispon´ıveis para alocação, desconsiderando o religador da

subestac¸˜ao. 4. Exemplo

Considere o alimentador da Figura 3 e as suas informaç ões deλ, γ e número de

consu-midores (N ) para cada bloco mostradas na Tabela 1 (este alimentador ´e o mesmo apresentado por

Soudi e Tomsovic em [Soudi and Tomsovic 1998]).

11 12 13 14

21 41

31

Figura 3: Um alimentador radial simples com 7 blocos [Soudi and Tomsovic 1998].

Tabela 1: Dados do alimentador da Figura 3 [Soudi and Tomsovic 1998].

Bloco λ γ N

[falhas/ano] [falhas/ano] [cons.]

11 1.00 2.00 300 12 0.75 1.75 180 13 2.25 5.50 125 14 2.00 4.75 190 21 0.25 0.75 20 31 1.00 2.00 50 41 0.50 2.50 10

Para ilustrar o novo modelo, este exemplo considera o alimentador por inteiro, sem di-vis˜oes de tronco principal e ramais laterais. Assim, inicialmente, faz-se di = 11 para todos os

(10)

Tabela 2: Consumidores acumulados para cada bloco.

j 11 12 13 14 21 31 41

Tj 875 575 325 200 20 50 10

blocos (i ∈ {11, 12, 13, 14, 21, 31, 41}) e, a seguir, calcula-se os valores Tjmostrados na Tabela 2.

A determinação da função objetivo se dá através da fórmula do FEC (2), com o seu numerador substitu´ıdo pela equação (16) que, a partir dos valores fornecidos pelas Tabelas 1 e 2, leva à função objetivo a ser minimizada (22).

i = 11 : j = 11 : [(3500 − 875x11− 2625y11) + (22) i = 12 : j = 12 : (1868.75 − 431.25x12− 1437.5y12) + j = 11 : (2843.75 − 656.25x11− 2187.5y11)x12y12+ i = 13 : j = 13 : (3250 − 731.75x13− 2518.25y13) + j = 12 : (5750 − 1293.75x12− 4456.25y12)x13y13+ j = 11 : (8750 − 1968.75x11− 6781.25y11)x13y13x12y12+ i = 14 : j = 14 : (1750 − 400x14− 1350y14) + j = 13 : (2843.75 − 650x13− 2193.75y13)x14y14+ j = 12 : (5031.25 − 1150x12− 3881.25y12)x14y14x13y13+ j = 11 : (7656.25 − 1750x11− 5906.25y11)x14y14x13y13x12y12+ i = 21 : j = 21 : (25 − 5x21− 20y21) + j = 12 : (718.75 − 143.75x12− 575y12)x21y21+ j = 11 : (1093.75 − 218.75x11− 875y11)x21y21x12y12+ i = 31 : j = 31 : (200 − 50x31− 150y31) + j = 12 : (2300 − 575x12− 1725y12)x31y31+ j = 11 : (3500 − 875x11− 2625y11)x31y31x12y12+ i = 41 : j = 41 : (35 − 5x41− 30y41) + j = 14 : (700 − 100x14− 600y14)x41y41+ j = 13 : (1137.5 − 162.5x13− 975y13)x41y41x14y14+ j = 12 : (2012.5 − 287.5x12− 1725y12)x41y41x14y14x13y13+ j = 11 : (3062.5 − 437.5x11− 2625y11)x41y41x14y14x13y13x12y12]/875.

Considerando que há dois religadores dispon´ıveis para alocação (r = 2), as restriç ões se

resumem a:

x11+ x12+ x13+ x14+ x21+ x31+ x41≥ 4

x11= 0 x11+ y11= 1

x12+ y12≥ 1 x13+ y13≥ 1 x14+ y14≥ 1 x21+ y21≥ 1 x31+ y31≥ 1 x41+ y41≥ 1.

A solução ótima para o problema de PNLB definido por (22) corresponde a um FEC de 3.27 interrupç ões por ano.

Soudi e Tomsovic definem uma divisão arbitrária do alimentador da Figura 3, em que o tronco principal é formado pelos blocos 11, 12, 13 e 14 e os três ramais laterais, pelos blocos 21, 31 e 41. No novo modelo, o parâmetro di permite considerar essa divisão, tomando-se d21 = 21, d31= 31, d41= 41 e di= 11 com i ∈ {11, 12, 13, 14}. Com isso, é poss´ıvel se obter um problema

(11)

5. Testes e resultados

Para resolver o problema de PNLB obtido com a nova modelagem, três alternativas podem ser empregadas. A primeira é realizar uma transformação do problema de PNLB para um problema de PLB e a ele aplicar softwares livres como GLPK1 e LPSolve2. A segunda é aplicar pacotes comerciais de otimização, tais como LINGO3ou CPLEX4. A outra alternativa é o desenvolvimento de um algoritmo espec´ıfico para resolver o problema de PNLB apresentado. Esta foi a técnica empregada, mas a sua apresentaç ão foge ao escopo deste artigo. Mais detalhes podem ser vistos em [Zambon 2006].

A Tabela 3 apresenta os resultados dos testes realizados nos 12 alimentadores dispon´ıveis. Os dados destes alimentadores foram obtidos junto à concessionária do estado do Esp´ırito Santo e possuem caracter´ısticas t´ıpicas das redes de distribuiç ão da empresa. Em todos os casos, cada alimentador foi analisado sem separaç ões. Os campos NF mostram os valores ótimos de DEC e FEC obtidos com a nova formulação e as colunas ST correspondem aos ´ındices do modelo de Soudi e Tomsovic. O valor denb representa o número de blocos do alimentador respectivo. Todos

os testes foram feitos para a alocação de 1 religador, sem restriç ões sobre o número de fus´ıveis e chaves dispon´ıveis.

Tabela 3: Resultados da nova formulac¸˜ao.

Alimentador DEC FEC

NF ST NF ST A1 nb = 8 1.08 3.53 0.41 1.21 A2 nb = 16 4.23 5.77 1.36 1.86 A3 nb = 23 5.08 5.19 1.76 1.86 A4 nb = 28 5.62 5.75 2.51 2.62 A5 nb = 34 11.78 12.28 3.81 4.02 A6 nb = 37 6.84 8.05 2.94 2.98 A7 nb = 38 8.54 10.77 2.69 3.46 A8 nb = 38 8.34 8.68 3.35 3.51 A9 nb = 41 9.62 10.25 3.12 3.27 A10 nb = 43 9.27 10.03 4.15 4.51 A11 nb = 46 8.84 11.73 3.37 5.21 A12 nb = 48 6.04 6.60 2.65 2.94

Como pode ser visto na Tabela 3, os ´ındices obtidos com a nova modelagem são sempre melhores que os de Soudi e Tomsovic. A partir da tabela, observa-se que o ´ındice DEC obteve uma média de melhora com o novo modelo de31.4% e o ´ındice FEC, uma média de 30.1%. O

alimentador A1 atingiu a maior taxa de melhora para ambos os ´ındices, com um resultado 3.27

vezes melhor para o DEC e 2.95 vezes melhor para o FEC. J´a os piores resultados foram obtidos

pelos alimentadores A3, com apenas2.2% de melhora considerando o DEC, e o A6, com 1.4% de

melhora em relação ao FEC. 6. Conclus ão

Este artigo propõe uma nova modelagem para otimizar a confiabilidade de uma rede de distribuição de energia elétrica. A aplicação do modelo gera um problema de Programação

1 http://www.gnu.org/software/glpk/glpk.html 2 http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/ 3 http://www.lindo.com/ 4_{http://www.ilog.com}

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Não-Linear Binária, cuja solução sugere uma configuração dos dispositivos de proteção e sec-cionamento em uma rede de distribuiç ão, visando minimizar os indicadores FEC e DEC da rede. Trata-se de um modelo mais geral, que engloba o modelo proposto por Soudi e Tomso-vic [Soudi and TomsoTomso-vic 1998], fornecendo resultados sempre melhores ou, na pior das hipóteses, iguais aos do modelo original. Além disso, a nova modelagem permite uma implementação simples de programas para a obtenção automática dos problemas de PNLB a partir dos dados da estrutura dos alimentadores e do histórico de falhas. Os modelos dos alimentadores de teste foram gerados com rotinas escritas na linguagem de programação Python e resolvidos com um algoritmo escrito em C. Estes programas compõem um sistema computacional desenvolvido para o uso da ESCELSA (Esp´ırito Santo Centrais Elétricas S.A.), financiadora desta pesquisa.

Referˆencias

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