INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS MEDIDAS E ERROS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS MEDIDAS E ERROS

Introdução ao tratamento de dados1

Antes de Galileu, a “Filosofia Natural” (a Física da época) não fazia medidas com o intuito de comprovar ou verificar um modelo teórico qualquer. No período de 1602 a 1608, Galileu começou a fazer uma série de medidas para compreender o movimento. Deparou-se então com vários problemas práticos, como por exemplo, a definição de velocidade que varia com o tempo. Foi Newton, com o desenvolvimento do cálculo e da Mecânica, que resolveu esse problema. Mas uma das principais conclusões obtidas por Galileu foi sobre o limite prático de exatidão de uma medida. Ele verificou que não importa o quanto se melhore as técnicas de medida, existe sempre um tal limite. Isto constituiu, de fato, uma ruptura com as idéias da “Filosofia Natural” da época. Assim, sempre que é realizada uma medida, o resultado deve ser expresso de uma maneira clara, de tal forma que ele seja compreensível e reprodutível por algum outro experimentador.

Esta medida deve ser expressa num sistema de unidades conhecido e padronizado. O mais usado hoje é o Sistema Internacional, que tem para unidades de distância e tempo, respectivamente, o metro e o segundo.

Suponhamos, por exemplo, que ao se fazer uma medida do período de um pêndulo, um experimentador tenha achado o valor de 1,72s. A pergunta que se faz então é: quão exata ou próxima de um “valor verdadeiro” ou mesmo de um valor teórico está? Pelo que discutimos acima, associada a esta medida existe sempre uma incerteza (no nosso caso, vamos supor que seja 0,07). O resultado da medida é expresso como T=(1,72 + 0,07)s. Com isso, queremos dizer que temos uma previsão de que a repetição de experiência em condições idênticas deve fornecer um resultado entre 1,65 e 1,79s. Você verá ao longo do curso de Física que esta é uma previsão probabilística, isto é, existe uma probabilidade de tantos por cento disso ocorrer.

Mas por que a definição de incerteza é tão importante? Do ponto de vista experimental, ela é uma indicação da qualidade da experiência, isto é, quanto menor for seu valor, mais bem feita a medida. Ela também é importante numa comparação com um modelo teórico. Vamos supor que o período do pêndulo, para um determinado modelo seja T=(1,66 + 0,02)s.

A comparação dos resultados experimental e teórico mostra uma consistência e, portanto, uma concordância da experiência como teoria. Observe que se tivéssemos apenas valores 1,72s e 1,66s nenhum tipo de conclusão seria possível. Resumindo, você deve ter em mente que:

Toda vez que você fizer uma medida você deve expressá-la com a unidade apropriada e com a incerteza associada.

A repetição de uma experiência em condições idênticas não fornece resultados

1 _{Texto extraído, com adaptações, do Módulo 1 de Física 1A, do curso de Licenciatura em Física/UFRJ do} Cederj, de autoria dos Professores Carlos Farina de Souza, Marcos Vinicius Cougo Pinto e Paulo Carrilho Soares Filho.

idênticos, tente, por exemplo, medir o seu tempo de reação usando um cronômetro. Meça o tempo que você gasta dando partida e parando o cronômetro. Embora seja sempre o mesmo cronômetro e a mesma pessoa, você obterá valores diferentes, cada vez que fizer a medida. Observe que isso será valido se usarmos cronômetros razoavelmente precisos (da ordem de centésimos de segundo). Se usássemos um relógio comum com precisão de 1s, provavelmente todas as medidas dariam esse valor. Esse seria o verdadeiro valor da precisão do aparelho de medida.

É bastante intuitivo que se repetíssemos uma experiência várias vezes, através de um tratamento adequado dos dados (cálculo de medida dos valores obtidos, etc.), encontraremos um resultado mais próximo do que seria o valor verdadeiro da grandeza. Meça varias vezes o seu tempo de reação e verifique o que vai acontecendo com a média das medidas.

Assim, se tivéssemos paciência ou possibilidade de repetir num número muito grande de vezes a experiência, esperávamos que a nossa estimativa de valor verdadeiro correspondesse ao valor verdadeiro da medida.

As diferenças de resultados entre estas diversas medidas são chamadas flutuações estatísticas, e aos erros que causaram estas flutuações denominamos erros estatísticos.

Existe outro tipo de erro que é chamado de erro sistemático. Sua principal característica é não poder ser minimizado com a repetição da experiência. Por exemplo, podemos ter um instrumento com calibração desregulada. Imagine que você esteja usando uma régua de metal para medir distâncias. Se ela tiver sido calibrada em uma baixa temperatura e você estiver usando-a em uma alta temperatura, devido à dilatação, sistematicamente você achará um resultado menor que o valor verdadeiro. Nesse caso, não adianta refazer inúmeras vezes a experiência, de modo a diminuir este erro.

Finalmente, o ultimo tipo de erro é o chamado erro grosseiro. Um exemplo desse tipo seria uma medida de uma distância com uma régua, onde o experimentador faria a medida começando da marcação de 1cm em vez da marcação de 0cm. Espera-se ardentemente que esse tipo de erro não seja cometido.

Os conceitos de precisão e acurácia estão intimamente ligados às idéias de erros sistemáticos e de erros aleatórios. Uma historia exemplifica isso muito bem.

Suponha que um jogador de futebol, para treinar passe de bola, tenha de chutá-la de modo a atingir uma estaca no campo. Ele chuta 20 vezes e nestas 20 tentativas a bola atinge uma outra estaca bastante separada da que ele queria acertar. Este jogador é extremamente preciso, já que seus chutes não apresentaram nenhuma variação em torno da segunda estaca. Entretanto, sua acurácia é muito ruim, uma vez que o objetivo era acertar uma estaca e ele acertava outra bastante separada. Isto pode ser resumido da seguinte maneira:

Um experimentador é muito preciso quando ele consegue resultados cuja flutuação em torno de um valor médio é pequena. Ele será um experimentador acurado quando sua discrepância em relação ao valor verdadeiro for pequena.

Assim, erros estatísticos pequenos acarretam uma boa precisão e isso indica que o resultado da medida é bastante reprodutível (acertar 20 vezes a mesma estaca!), mas para ter uma boa acurácia, é necessário, além de uma boa precisão, que os erros sistemáticos sejam pequenos.

1. A incerteza numa medida experimental2

Toda vez que um experimentador realiza uma medida, o resultado que ele obtém não é apenas um número. Essa medida possui unidades, e possui também o que chamamos de incerteza da medida, ou erro da medida.

Uma medida experimental determina, da melhor maneira possível, um valor da grandeza física – cujo valor exato é sempre desconhecido. A expressão que é fornecida para o resultado da medida deve indicar esse fato, e isso é feito através da determinação da incerteza experimental.

A incerteza de uma medida representa, entre outras, a impossibilidade de construção de instrumentos absolutamente precisos – uma régua que leia bilionésimos de centésimos de milímetro, ou menores – e de existência de observadores absolutamente exatos. Quando temos uma régua em nossa mão, o que podemos afirmar é que existe uma região, uma faixa de valores dentre os quais o nosso resultado está.

Um exemplo é apresentado na “régua” mostrada na Figura 1. A régua está dividida em unidades. Imaginemos, inicialmente, que o nosso método de medida seja absolutamente correto. Isso significa que – neste caso – não nos enganamos na definição do que é o zero da medida, e que as unidades fornecidas pelo fabricante são precisas.

Qual é, em unidades da régua (u), o comprimento deste objeto?

régua

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 (u)

Figura 1

Podemos afirmar “com certeza” que o valor medido está entre 4,0 e 5,0 unidades. Mas provavelmente, entre 4,5 e 5,0 unidades. Isso significa que não podemos escrever “o resultado vale 4,8 unidades” – isso absolutamente não estaria correto. Mas podemos dizer que “o resultado está entre 4,5 e 5,0” e expressá-lo como “(4,5 ± 0,5)cm”. Ou talvez algo como “(4,7 ± 0,2)cm”, se tivermos muita confiança em nós mesmos e na régua apresentada.

Assim, qualquer medida experimental representa uma faixa de valores. Essa faixa é sempre expressa por um valor central (4,5) e por uma largura (± 0,5) em torno dessa faixa; e um grau de confiabilidade da medida que está naquela faixa. A existência dessa faixa não é um “erro”. É algo intrínseco a qualquer processo de medida, e decorre das limitações do equipamento utilizado, do método de medida escolhido e da habilidade e capacidade do experimentador.

Podemos fazer uma estimativa simples para essa incerteza ou erro experimental no caso de medidas que são feitas diretamente, como para o tamanho medido com a régua

2 _{O texto a seguir foi adaptado dos livros: 1) Manual de Laboratório de Física, de Abrahão Timoner, Félix}

Majorama e Waldemar Hazoff e, 2) Introdução às Ciências Físicas - Módulo 3 - CEDERJ, de Maria Antonieta de Almeida da Silva. Ambos, livros textos de nosso curso.

citado acima. O nosso processo de medida é comparar o comprimento do objeto com um padrão, fornecido pela régua. E isso significa determinar na régua os dois extremos que corresponde ao “início” e ao “final” do comprimento do objeto que queremos medir. O comprimento é a diferença entre essas duas determinações, ou então a leitura direta na régua do “final” se colocamos o zero da régua no “início” de nosso objeto. Qualquer fabricante de um instrumento de medida divide seu instrumento da melhor maneira que pode. Assim, se ele não faz subdivisões além do milímetro numa régua é porque seu instrumento não pode fazer corretamente leituras inferiores ao milímetro. Portanto, uma boa regra inicial é observar a faixa definida pelo fabricante. Vejamos o exemplo associado à medida do tamanho da barra da Figura 2.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Figura 2

Uma leitura razoável da régua para descrever o tamanho da barra da Figura 2 seria um valor entre 1,35 e 1,45 cm (essa régua faz leitura em centímetros). Escreveríamos o tamanho do objeto então como

Tamanho do Objeto = (1,40 ± 0,05) cm

Com essa expressão, estamos indicando que o nosso valor está dentro da faixa, com valor central 1,40 cm e largura ± 0,05cm – o “erro experimental”.

No caso de medidas indiretas, isto é, medidas que não são feitas diretamente a partir de uma leitura de um instrumento, como por exemplo o perímetro ou área do objeto acima, temos um conjunto de regras para calcular essas incertezas – o que chamamos de

cálculo da propagação de erros.

A questão da incerteza na medida nos remete a outro assunto, meio espinhoso –

algarismos significativos. Exemplo: ao determinar uma velocidade a partir da medida da

distância percorrida e do tempo decorrido,

distância percorrida = 5,0 ± 0,2 m

tempo decorrido = 3,0 ± 0,1 s, obteremos velocidade = 1,6666666...

Onde parar? Onde aproximar? Devemos escrever 1,7 ou 1,67 ou 1,667 ou...? Se não sabemos fazer a chamada “propagação de erros”, essa pergunta é de difícil resposta. Se a propagação for estimada, e tomarmos a incerteza com um único algarismo, obteremos para a velocidade

velocidade = 1,666666666... ± 0,1 m / s

Ou seja, se aceitamos a idéia da faixa de valores, é claro que o resultado que melhor expressa a velocidade é

velocidade = 1,7 ± 0,1 m / s

Então, só faz sentido expressar a velocidade com dois algarismos significativos, isto é, só dois algarismos “têm significado”. A inclusão de outros algarismos perde o sentido, pois o segundo – o 7 – já é incerto: o resultado está na faixa entre 1,6 e 1,8.

Também a medida da distância só tem dois algarismos significativos: a faixa de valores é entre 4,8 e 5,2 m, e a medida do tempo decorrido corresponde à faixa entre 2,9 e 3,1 s. As medidas originais possuem dois algarismos significativos – razoavelmente o resultado da divisão das duas também só dá dois algarismos significativos.

Assim, passamos a entender que todas as vezes que dizemos que um resultado “vale 4,7” o que queremos dizer é que o último algarismo “é duvidoso”, isto é, temos uma faixa de valores estimada entre 4,6 e 4,8 (poderia até ser maior). E aí dizemos que nosso resultado possui dois algarismos significativos; se escrevêssemos 4,70, a faixa corresponderia a 4,69 e 4,71 – isso é completamente diferente.

Se refletirmos por um instante sobre esses conceitos, vemos que eles têm mais lógica do que parece. A idéia principal é que ao realizarmos uma medida experimental

não determinamos um valor exato,

e sim uma faixa de valores

(com convenções a respeito do significado de cada um dos elementos que compõem essa faixa). Portanto, qualquer que seja a forma que escolhemos para expressar esse valor, ele será sempre uma faixa de valores. Se escolhermos a notação mais usada (1,7 ± 0,1) estamos informando de maneira clara e inequívoca o que queremos. Se escolhermos só fornecer o valor 1,7 a informação está um pouco mais escondida, mais ainda está lá.

Assim, por convenção, chamaremos de “algarismos significativos” de uma medida os algarismos que sabemos serem corretos e mais o primeiro duvidoso.

2. Operações com algarismos significativos ADIÇÃO

Ao medir o comprimento de uma parte de uma canalização, foi obtido: L0= 4,782 m. A medida da parte restante da canalização, tomada em seguida: L1= 8,45 m.

Nosso objetivo será obter o comprimento da canalização com o número correto de algarismos significativos, permitido pelas determinações efetuadas: L = L0 + L1.

Para obtenção do total com o número correto de algarismos significativos, lançaremos mão do método dos X, que consiste em acrescentar-se um algarismo à direita do último algarismo significativo dos números considerados. Como esse algarismo que foi acrescentado não é significativo, pode-se representá-lo genericamente por X (é desconhecido o algarismo acrescentado).

L0 = 4,782

L1 = 8,45X

L = 13,23X m.

No caso, 2 + desconhecido (X) = X. Portanto L = L0 + L1 = 13,23 m. Temos, portanto, o comprimento da canalização com o número correto de algarismos significativos que as medidas e a operação efetuadas permitem.

O número de casas decimais do total (ou soma de n parcelas) será igual ao da parcela que contiver o menor número de casas decimais.

Este resultado seria mais rapidamente alcançado se tivéssemos arredondado previamente o número 4,782 de modo tal a ficar com duas casas decimais.

Então, L0 = 4,78

L1 = 8,45

L = 13,23 m.

Note que, numa soma todas as medidas devem ser expressas num mesmo sistema de unidades. Caso tal não aconteça, deve-se antecipadamente proceder a mudanças adequadas de unidades, de modo a que todas as parcelas estejam expressas numa mesma unidade.

SUBTRAÇÃO

O procedimento será análogo ao da operação de adição. Para subtrair com algarismos significativos, arredonda-se antecipadamente o minuendo, fazendo-se com que ambas as parcelas (minuendo e subtraendo), fiquem com igual número de casas decimais. A seguir, efetua-se a subtração e, assim, todos os algarismos da diferença obtida serão significativos. Minuendo e subtraendo deverão estar expressos em função de uma mesma unidade.

MULTIPLICAÇÃO

Para o cálculo da área de um retângulo cujos lados meçam, respectivamente, b = 8,837 m e h = 7,5 m, o produto A = b . h será obtido com o número correto de algarismos significativos, lançando mão de método dos X:

8 ,8 3 7 X 7 , 5 X X X X X X 4 4 1 8 5 X 6 1 8 5 9 X 6 6,2 X X X X X 3. Arredondamento de números

Freqüentemente ocorre que números devem ser arredondados. Por exemplo, na soma ou subtração de 2 quantidades, as mesmas devem ser escritas com o mesmo número de algarismos

significativos.

Quando um dos números tem algarismos significativos excedentes, então estes devem ser eliminados com arredondamento do número. O arredondamento também deve ser empregado na eliminação dos algarismos não significativos de um número.

Se em um determinado número, tal como

... W, Y X …… A B C D

A B C D ... são algarismos que por qualquer motivo devem ser eliminados, o algarismo X

deve ser arredondado aumentando de uma unidade ou não, conforme as regras a seguir.

•de X000... a X499..., os algarismos excedentes são simplesmente eliminados

(arredondamento para baixo).

•de X500... a X999..., os algarismos excedentes são eliminados e o algarismo X aumenta

de 1 (arredondamento para cima).

•No caso X500..., então o arredondamento deve ser tal que o algarismo X, depois de

arredondado, deve ser par.

Tabela 1. Exemplos de arredondamento de números.

2 , 4 3 → 2 , 4 5 , 6 5 0 0 → 5 , 6 3 , 6 8 8 → 3 , 6 9 5 , 7 5 0 0 → 5 , 8 5 , 6 4 9 9 → 5 , 6 9 , 4 7 5 → 9 , 4 8 5 , 6 5 0 1 → 5 , 7 3 , 3 2 5 → 3 , 32

4. Experimento 1:

TÍTULO: Cálculo do valor de

π

MATERIAL NECESSÁRIO

1 objeto cilíndrico (tipo lata de leite em pó) fio inextensível paquímetro régua milimetrada DADOS Comprimento da circunferência (c): (________ + _________) ______ Diâmetro da circunferência: (________ + _________) ______

TRATAMENTO DOS DADOS c = 2

π

_r

valor teórico

π

=

_3,14

CONCLUSÃO

Compare o valor encontrado com o valor teórico.

valor encontrado é razoável? Justifique.

FÓRMULAS DE ALGUMAS INCERTEZAS: 1) INCERTEZA DA SOMA OU SUBTRAÇÃO: se, f = x ± y , então: δf = √ (δx)2 + (δy)2

2) INCERTEZA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE se, f = a . x, então: δf = a . δx

3) INCERTEZA DA MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO DE VARIÁVEIS se, f = x . y ou f = x ÷ y , então: δf = f √ (δx ÷ x)2 + (δy ÷ y)2

Onde a, b, c, etc., são constantes e x, y, z, w, t, etc., são variáveis.

O símbolo δ é a letra grega “delta”, minúscula e significa, neste caso, o erro ou incerteza da medida daquela variável.