Revisão da NBR 7117

(1)

ABNT/CB-03 ABNT/CB-03

11°°°°°°°°PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117

SET 2011 SET 2011

NÃO TEM VALOR NORMATIVO NÃO TEM VALOR NORMATIVO

Medição da resistividade e determinação da es

Medição da resistividade e determinação da estratificação do solo

tratificação do solo

APRESENTAÇÃO

1)

1) Este 1º Projeto de revisãoEste 1º Projeto de revisão foi elaborado pela Comissão de Estudo de Segurança nofoi elaborado pela Comissão de Estudo de Segurança no aterramento de subestações c.a (CE-03:102.01) do Comitê Brasileiro de Eletricidade aterramento de subestações c.a (CE-03:102.01) do Comitê Brasileiro de Eletricidade (ABNT/CB-03), nas reuniões de:

(ABNT/CB-03), nas reuniões de:

16.09.2004 23.09.2004 18.11.2004 16.09.2004 23.09.2004 18.11.2004 09.12.2004 24.02.2005 05.05.2005 09.12.2004 24.02.2005 05.05.2005 30.06.2005 25.08.2005 29.09.2005 30.06.2005 25.08.2005 29.09.2005 27.10.2005 02.12.2005 12.04.2006 27.10.2005 02.12.2005 12.04.2006 05.03.2006 14.06.2006 02.08.2006 05.03.2006 14.06.2006 02.08.2006 04.10.2006 31.10.2006 04.12.2006 04.10.2006 31.10.2006 04.12.2006 02.02.2007 13.04.2007 04.05.2007 02.02.2007 13.04.2007 04.05.2007 02.06.2007 06.07.2007 31.08.2007 02.06.2007 06.07.2007 31.08.2007 05.10.2007 09.11.2007 07.12.2007 05.10.2007 09.11.2007 07.12.2007 14.03.2008 11.04.2008 09.05.2008 14.03.2008 11.04.2008 09.05.2008 15.08.2008 10.10.2008 14.11.2008 15.08.2008 10.10.2008 14.11.2008 12.12.2008 16.01.2009 13.02.2009 12.12.2008 16.01.2009 13.02.2009 20.03.2009 03.04.2009 24.04.2009 20.03.2009 03.04.2009 24.04.2009 15.05.2009 19.06.2009 10.07.2009 15.05.2009 19.06.2009 10.07.2009 14.08.2009 04.09.2009 09.10.2009 14.08.2009 04.09.2009 09.10.2009 2)

2) Este Este Projeto Projeto é é previsto previsto para para cancelar e cancelar e substituir substituir a a ABNT ABNT NBR NBR 7117:1981 quando7117:1981 quando aprovado, sendo que nesse ínterim a referida Norma continua em vigor;

aprovado, sendo que nesse ínterim a referida Norma continua em vigor; 3)

3) Não tem valor normativo;Não tem valor normativo; 4)

4) Aqueles que tiverem conhecimento de qualquer direito de patente devem apresentar estaAqueles que tiverem conhecimento de qualquer direito de patente devem apresentar esta informação em seus c

informação em seus c omentários, com documentação comprobatória;omentários, com documentação comprobatória; 5)

5) Este Projeto de Norma deve ser diagramado conforme as regras de editoração da ABNTEste Projeto de Norma deve ser diagramado conforme as regras de editoração da ABNT quando de sua publicação como Norma

(2)

(3)

SET 2011 SET 2011

NÃO TEM VALOR NORMATIVO

NÃO TEM VALOR NORMATIVO 2/32/3

6)

6) Tomaram parte na elaboração deste Projeto:Tomaram parte na elaboração deste Projeto:

Participante Representante

ABRADEE

ABRADEE Carlos Carlos Alberto Alberto Ribeiro Ribeiro de de AvellarAvellar AES

AES ELETROPAULO ELETROPAULO Ithamar Ithamar Sene Sene Jr.Jr. Sergio L. Caparoz Sergio L. Caparoz AES

AES SUL SUL Renato Renato OlingOling

B&M

B&M PESQUISA PESQUISA E E DESENVOLVIMENTO DESENVOLVIMENTO LTDA LTDA Flavio Flavio FariaFaria BANDEIRANTE

BANDEIRANTE ENERGIA ENERGIA Ewaldo Ewaldo C. C. NogueiraNogueira CHESF

CHESF Antônio Antônio Varejão Varejão de de GodoyGodoy CLARO

CLARO TELEFONIA TELEFONIA CELULAR CELULAR Carlos Henrique Carlos Henrique PessinPessin COELBA

COELBA Raimundo Raimundo PedreiraPedreira

COLI

COLI ENGENHARIA ENGENHARIA Paulo Paulo César César A. A. ColiColi CONSULTOR

CONSULTOR Pedro Pedro S. S. SumodjoSumodjo

COPEL

COPEL Rosane Rosane Maris Maris RibasRibas

CPE

CPE ENGENHARIA ENGENHARIA LTDA. LTDA. Romildo Romildo Leite Leite SalesSales CPFL

CPFL Alexandre Alexandre Nogueira Nogueira AleixoAleixo Fumio Nakagawa

Fumio Nakagawa ELETRIZAR

ELETRIZAR ENGENHARIA ENGENHARIA Gilberto Gilberto FalcoskiFalcoski ELEKTRO

ELEKTRO Emerson Emerson R. R. FurlanetoFurlaneto Laudemir Caritá Laudemir Caritá Shiguematsu Nosaki Shiguematsu Nosaki Valmir Ziolkowski Valmir Ziolkowski Vinicius M. Benichio Vinicius M. Benichio Wilson Hirakawa Wilson Hirakawa ELETRO-ESTUDOS

ELETRO-ESTUDOS ENGENHARIA ENGENHARIA Paulo Paulo Edmundo Edmundo da da Fonseca Fonseca FreireFreire ELETROSUL

ELETROSUL Dalvir Dalvir MaquerievkiMaquerievki Lucio Volnei Galvani Lucio Volnei Galvani Oquigibson Lima Costa Oquigibson Lima Costa ENCONTRE

ENCONTRE ENGENHARIA ENGENHARIA LTDA LTDA Duílio Duílio Moreira Moreira LeiteLeite ENERSUL

ENERSUL Antonio Antonio de de Pádua Pádua RibeiroRibeiro

Gerson de Almeida Costa Nonato Gerson de Almeida Costa Nonato ENERTEC

ENERTEC Sérgio Sérgio R. R. OliveiraOliveira ERICO

ERICO Marcelo LogliMarcelo Logli

FASTWELD

FASTWELD Rinaldo Rinaldo Junior Junior BotelhoBotelho FPTE

FPTE Nemer Nemer Paschoal Paschoal Fioravante Fioravante Jr.Jr. FPTE – FUND. PTA. DE T

FPTE – FUND. PTA. DE T ECNOLOGIA EECNOLOGIA E EDUCAÇÃO

EDUCAÇÃO Juliano Munhoz BeltaniJuliano Munhoz Beltani FURNAS

FURNAS Arion BarrosArion Barros

José Roberto T. Correa José Roberto T. Correa

(4)

SET 2011 SET 2011

NÃO TEM VALOR NORMATIVO

NÃO TEM VALOR NORMATIVO 3/33/3

Luiz Carlos da Rocha Santos Luiz Carlos da Rocha Santos GALENO ENGENHARIA CONSULT.

GALENO ENGENHARIA CONSULT. TREINAMENTO

TREINAMENTO Galeno Lemos GomesGaleno Lemos Gomes

GILCO

GILCO PROTEÇÃO PROTEÇÃO ELÉTRICA ELÉTRICA Igidio Igidio CastroCastro GRUPO

GRUPO REDE REDE Ivan Ivan NordNord

GUISMO

GUISMO ENGENHARIA ENGENHARIA Jobson Jobson ModenaModena IPT

IPT Mario Mario LeiteLeite

LACTEC

LACTEC José José Maurílio Maurílio da da SilvaSilva

Luis Ricardo Alfaro Gamboa Luis Ricardo Alfaro Gamboa Renata Jacyszyn Bachega Renata Jacyszyn Bachega MANHAHATTAM

MANHAHATTAM EL. EL. Juan Juan Alexandre Alexandre SuarezSuarez MASUKI

MASUKI ENGENHARIA ENGENHARIA Luiz Luiz MasukiMasuki MEGABRAS

MEGABRAS Luis Alberto Luis Alberto PettorutiPettoruti Manuel Jaime Leibovich Manuel Jaime Leibovich MIOMEGA

MIOMEGA João G. CunhaJoão G. Cunha

OFFICINA

OFFICINA DE DE MYDIA MYDIA Carlos Carlos Moreira Moreira LeiteLeite PEA

PEA – – USP USP José José Roberto Roberto CardosoCardoso PROELCO

PROELCO Antônio Antônio Roberto Roberto PanicaliPanicali QUEMC

QUEMC Roberto Roberto Menna Menna BarretoBarreto REIS

REIS MIRANDA MIRANDA ENGENHARIA ENGENHARIA Armando Pereira Armando Pereira Reis Reis MirandaMiranda SANPIETRO

SANPIETRO ENGENHARIA ENGENHARIA Carlos Carlos Antonio Antonio SanpietrSanpietr SOTA

SOTA CONSULTORIA CONSULTORIA E E PROJETOS PROJETOS SC SC LTDA LTDA André André Lima Lima RodriguesRodrigues Carlos Alberto Sotille Carlos Alberto Sotille STS

STS ENGENHARIA ENGENHARIA Sérgio Sérgio T. T. SobralSobral UFMG

UFMG Silvério Silvério Visacro Visacro FilhoFilho Armindo F. Cadihe Armindo F. Cadihe Carlos Magno Camargo Carlos Magno Camargo Ivo Eleutério Bonatti Ivo Eleutério Bonatti J. Brito J. Brito José Mak José Mak Paulo Jarussi Paulo Jarussi

(5)

(6)

ABNT/CB-03

1°°°°PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117

SET 2011

NÃO TEM VALOR NORMATIVO 1/66

Medição da resistividade e determinação da estratificação do solo

Earth resistivity measurements and soil stratification

Prefácio

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o Foro Nacional de Normalização. As Normas Brasileiras, cujo conteúdo é de responsabilidade dos Comitês Brasileiros (ABNT/CB), dos Organismos de Normalização Setorial (ABNT/ONS) e das Comissões de Estudo Especiais (ABNT/CEE), são elaboradas por Comissões de Estudo (CE), formadas por representantes dos setores envolvidos, delas fazendo parte: produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios e outros).

Os Documentos Técnicos ABNT são elaborados conforme as regras da Diretiva ABNT, Parte 2. O Escopo desta Norma Brasileira em inglês é o seguinte:

Scope

This Standard establishes the requirements for resistivity measurements and bedding of the soil determination.

(7)

ABNT/CB-03

SET 2011

1 Escopo

Esta Norma estabelece os requisitos para medição da resistividade e determinação da estratificação do solo.

2 Referências normativas

Os documentos relacionados a seguir são indispensáveis à aplicação deste documento. Para referências datadas, aplicam-se somente as edições citadas. Para referências não datadas, aplicam-se as edições mais recentes do referido documento (incluindo emendas).

ABNT NBR 5410:2004, Instalações elétricas de baixa tensão

ABNT NBR 5456, Eletricidade geral – Terminologia

ABNT NBR 5460, Sistemas elétricos de potência

ABNT NBR 14039, Instalações elétricas de média tensão de 1,0 KV a 36,2 kV

ABNT NBR 15749, Medição de resistência de aterramento e de potenciais na superfície do solo em sistemas de aterramento

ABNT NBR 15751, Sistema de aterramento de subestações – Requisitos

IEC 61010-1:2010, Safety requirements for electrical equipment for measurement, control, and laboratory use – Part 1: General requirements .

IEC 61557-1, Electrical safety in low voltage distribution system up to 1 000 V a.c. and 1 500 V d.c. – Equipment for testing, measuring or monitoring of protective measures – Pat 1: General requirements

3 Termos e definições

Para os efeitos deste documento, aplicam-se os termos e definições das ABNT NBR 5456, ABNT NBR 5460 e os seguintes.

3.1

aterramento

ligação intencional de parte eletricamente condutiva à terra, através de um sistema de aterramento 3.2

condutor de aterramento

condutor ou elemento metálico que faz a ligação elétrica entre a instalação que deve ser aterrada e o eletrodo de aterramento

3.3

corrente de interferência (no processo de medição de resistividade do solo)

qualquer corrente estranha ao processo de medição capaz de influenciar seus resultados 3.4

eletrodo de aterramento

condutor nu ou envolto em material parcialmente condutor (concreto e outros) enterrado no solo com função de dissipação de corrente

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ABNT/CB-03

SET 2011

3.5

eletrodo natural de aterramento

elemento condutor ligado diretamente à terra cuja finalidade original não é de aterramento, mas que se comporta naturalmente como um eletrodo de aterramento

3.6

malha de aterramento

conjunto de condutores, interligados e enterrados no solo 3.7

potenciais perigosos

potenciais que podem provocar danos quando aplicados ao elemento tomado como referência 3.8

resistência de aterramento (de um eletrodo)

resistência ôhmica entre o eletrodo de aterramento e o terra de referência 3.9

resistividade aparente do solo

resistividade vista por um sistema de aterramento qualquer, em um solo com característica de resistividade homogênea ou estratificado em camadas, cujo valor é utilizado para o cálculo da resistência de aterramento desse sistema

3.10

resistividade elétrica do solo, resistência específica do solo ou, simplesmente, resistividade do solo

resistência entre faces opostas do volume do solo, consistindo de um cubo homogêneo e isótropo cuja aresta mede uma unidade de comprimento

3.11

resistividade média do solo a uma dada profundidade

valor de resistividade resultante da avaliação das condições locais e do tratamento estatístico dos resultados de diversas medições de resistividade do solo para aquela profundidade, efetuada numa determinada área ou local, e que possa ser considerado como representativo das características elétricas do solo

3.12

sistema de aterramento

conjunto de todos os eletrodos e condutores de aterramento interligados entre si, assim como partes metálicas que atuem com a mesma função, tais como: pés de torre, armadura de fundações, estacas metálicas e outros

3.13

tensão de passo

diferença de potencial entre dois pontos da superfície do solo, separados pela distância de um passo de uma pessoa, considerado igual a 1,0 m

3.14

tensão de toque

diferença de potencial entre uma estrutura metálica aterrada e um ponto da superfície do solo, separado por uma distância horizontal equivalente ao alcance normal do braço de uma pessoa, e considerado igual a 1,0 m

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ABNT/CB-03

SET 2011

3.15

tensão máxima do sistema de aterramento

tensão máxima que um sistema de aterramento pode atingir relativamente ao terra de referência, quando da ocorrência de injeção de corrente para o solo

3.16

terra de referência

região do solo suficientemente afastada da zona de influência de um eletrodo ou sistema de aterramento, tal que a diferença de potencial entre dois quaisquer de seus pontos, devido à corrente que circula pelo eletrodo para a terra, seja desprezível. É uma superfície praticamente equipotencial que se considera como zero para referência de tensões elétricas

3.17

terra de referência para um eletrodo de aterramento (ou ponto remoto)

região do solo suficientemente afastada da zona de influência de um eletrodo ou sistema de aterramento, tal que a diferença de potencial entre dois quaisquer de seus pontos, devido à corrente que circula pelo eletrodo para a terra, seja desprezível. É uma superfície praticamente eqüipotencial que se considera como zero para referência de tensões elétricas

4 Geral

4.1 Composição do solo

O solo é um meio geralmente heterogêneo, de modo que o valor de sua resistividade varia de local para local em função do tipo, nível de umidade, profundidade das camadas, idade de formação geológica, temperatura, salinidade e outros fatores naturais, sendo também afetado por fatores externos como contaminação e compactação. Exemplos de variação da resistividade em função de alguns destes parâmetros são mostrados na Tabela 1 e na Figura 1.

Tabela 1 — Valores típicos de resistividade de alguns tipos de solo Tipos de solo Faixa de resistividades

(Ω·m)

Água do mar menor do que 10

Alagadiço, limo, humus, lama até 150

Água destilada 300 Argila 300 – 5 000 Calcário 500 – 5 000 Areia 1 000 – 8 000 Granito 1 500 – 10 000 Basalto a partir de 10 000 Concretoa Molhado: 20 – 100 Úmido: 300 – 1 000 Seco: 3 kΩ·m – 2 MΩ·m

a _{A categoria molhado é típica de aplicação em ambientes}

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ABNT/CB-03

SET 2011

corrosivos.

Figura 1 — Variações típicas de resistividade (ρρρρ) do solo

5 Condições específicas

5.1 Medição de resistividade do solo

5.1.1 Considerações gerais

A determinação dos valores das resistividades do solo e sua estratificação é de importância fundamental para o cálculo das características de um sistema de aterramento, subsidiando o desenvolvimento de projetos, bem como a determinação de seus potenciais de passo e toque.

Em geral, o solo é constituído por diversas camadas, cada uma apresentando um certo valor de resistividade e uma espessura própria.

5000 1000 500 100 50 ρ ρ ρ ρ (ΩΩΩΩm) 5000 1000 500 100 50 –25 –20 –15 –10 – 5 0 5 10 15 20 25 temperatura (°C) 5000 1000 500 100 50 5000 1000 500 100 50 ρ ρ ρ ρ (ΩΩΩΩm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salinidade (%) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Umidade (%) ρ ρ ρ ρ (ΩΩΩΩm)

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ABNT/CB-03

SET 2011

O valor de resistividade do solo é determinado através de medições, cujos resultados recebem um tratamento matemático, de modo a se obter a estratificação do solo em camadas paralelas ou horizontais, de diferentes resistividades (ρ) e de espessuras (e ) definidas, conforme Figura 2.

Legenda

ρ1, e1 Resistividade e espessura da camada de número 1 ρ2, e2 Resistividade e espessura da camada de número 2 ρ3, e3 Resistividade e espessura da camada de número 3 ρ4, e4 Resistividade e espessura da camada de número 4

Figura 2 — Solo real (a) e solo estratificado (b)

Considerando-se, portanto, a heterogeneidade do solo, verificada pela variação de sua resistividade à medida em que suas camadas são pesquisadas, há necessidade de se procurar meios e métodos que determinem essas variações, sem que seja necessário lançar mão de prospecções geológicas, o que, decerto, inviabilizaria os estudos para implantação de sistemas de aterramento. Assim sendo, foram desenvolvidos métodos de prospecção geoelétricos que se caracterizam pela facilidade operacional e precisão fornecidas. A complexidade adicional causada pelos solos não uniformes é comum, e apenas em poucos casos a resistividade é constante com o aumento da profundidade, ou seja, homogênea. Basicamente, os métodos que utilizam sondagem elétrica procuram determinar a distribuição vertical de resistividade, abaixo do ponto em estudo, resultando então em camadas horizontais, geralmente causadas por processos sedimentares.

Em função de pesquisas já realizadas pode-se dizer que metade da corrente injetada no solo, circula acima de uma profundidade igual à metade da distância entre eletrodos, e que grande parte da corrente flui acima da profundidade igual à separação entre eles. Para estas conclusões pressupõe-se a condição de solos homogêneos, não sendo as mesmas válidas para solos estratificados, nos quais a densidade de corrente varia de acordo com a distribuição de resistividades.

Os gradientes de potencial da superfície do solo, dentro ou adjacentes a um eletrodo, são principalmente uma função da resistividade da camada superficial do solo. Em contraste, a resistência do eletrodo de terra é primariamente uma função de suas dimensões e das resistividades das camadas mais profundas do solo, especialmente se o eletrodo for de grandes dimensões.

Estratificações oblíquas e verticais, derivadas de acidentes geológicos, não são objeto de estudo desta norma.

Dispondo-se de dois eletrodos de corrente pelos quais se faz circular uma corrente I, e de dois eletrodos de potencial que detectarão uma diferença de potencial V, pode-se mostrar que a resistividade do solo é proporcional a V/I, sendo o fator de proporcionalidade uma função do método empregado.

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ABNT/CB-03

SET 2011

5.1.2 Metodologia de medição

São os seguintes os métodos de medição:

 Amostragem física do solo;

 Método da variação de profundidade;  Método dos dois eletrodos;

 Método dos quatro eletrodos, com os seguintes arranjos:  arranjo do eletrodo central

 arranjo de Lee  arranjo de Wenner

 arranjo Schlumberger – Palmer

5.1.2.1 Amostragem física do solo

A amostragem física do solo está descrita no Anexo E. 5.1.2.2 Método da variação de profundidade

Este método também conhecido como “método de três eletrodos” consiste de um ensaio de resistência de terra executado para várias profundidades (L) do eletrodo de ensaio de diâmetro (d ). O valor da

resistência medida (R m) refletirá a variação da resistividade, relativa ao incremento de profundidade.

Usualmente, o eletrodo de ensaio é uma haste pela facilidade da cravação desta no solo.

As medições citadas podem ser executadas usando um dos métodos para medição da resistência de aterramento, descritos na ABNT NBR 15749.

O método de variação de profundidade dá informação útil sobre a natureza do solo na vizinhança da haste. Contudo, se um grande volume de solo deve ser investigado, é preferível que se use o método dos quatros eletrodos, já que o cravamento de hastes longas não é prático.

Este método supõe que o aterramento a ser ensaiado é composto de uma haste de aterramento de comprimento L. O raio r da haste é pequeno ao se comparar com L. Os valores de resistividade obtidos

com esse método são médios e não podem ser extrapolados.

A resistência de aterramento de uma haste enterrada em um solo uniforme, para fins práticos é dada pela equação:       − ⋅ =

ln(

4 )

1 )

2

r L L R π ρ (1)

Dependendo das aproximações usadas para cada comprimento L da haste, o valor R da resistência

média determina o valor da resistividade aparente que, quando plotado em função de L, fornece uma

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ABNT/CB-03

SET 2011

5.1.2.3 Método dos dois eletrodos

O método dos dois eletrodos está descrito no Anexo D. 5.1.2.4 Método dos quatros eletrodos (geral)

É o método mais aplicado para medição da resistividade média de grandes volumes de terra. Pequenos eletrodos são cravados no solo a pequenas profundidades, alinhados e espaçados em intervalos não necessariamente iguais. A corrente de ensaio I é injetada entre os dois eletrodos externos e a diferença

de potencial V é medida entre os dois eletrodos internos com um potenciômetro ou um voltímetro de

alta impedância, conforme Figura 3. A resistividade é dada pela equação (2):

( ) ( )       × + − + − + = I V d d d d d d ₁ ₃ ₁ ₂ ₂ ₃ 1 ₁ ₁ ₁ ₁ 2π ρ (2) Legenda

I corrente entre os eletrodos de correnteC 1eC 2

V diferença de tensão entre os eletrodos de potencialP 1eP 2 d 1 distância entre os eletrodosC 1eP 1

d 2 distância entre os eletrodosP 1eP 2 d 3 distância entre os eletrodosC 2eP 2 b profundidade de cravação dos eletrodos

Figura 3 — Método dos quatro eletrodos (geral) Algumas variações do método dos quatro eletrodos são apresentadas a seguir. 5.1.2.4.1 Arranjo do eletrodo central

O arranjo é recomendado para prospecção a grandes profundidades, ou em locais onde a resistividade é elevada. O eletrodo C 2 é fixado no centro da área a ser medida, variando-se a posição de C 1, P 1 e P 2,

e obedecendo-se a condição: d 3 muito maior que d 1 e d 2, conforme Figura 4. A resistividade para uma

profundidade H (dada pela média aritmética das distâncias d 1, d 2 e d 3) é obtida (admitindo-se erro de

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ABNT/CB-03

SET 2011

3 3 2 1 d d d H = + + (3) Onde ( ) ( ) I V d d d d H × + × × = 2 2 1 1 2π ρ (4) Em particular, se d 1 = d 2: I V d × × × = 4 π ₁ ρ (5) Legenda I corrente P 1eP 2 eletrodos de potencial C 1eC 2 eletrodos de corrente

d 1 distância entre os eletrodos C 1eP 1 d 2 distância entre os eletrodos P 1eP 2 d 3 distância entre os eletrodos C 2 eP 2

ρ1 resistividade aparente da primeira camada

Figura 4 — Arranjo do eletrodo central

5.1.2.4.2 Arranjo de Lee (ou das cinco hastes)

É um arranjo que requer duas medidas por espaçamento e permite detectar variações nas espessuras das camadas do solo, conforme Figura 5.

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ABNT/CB-03

SET 2011

Legenda

I corrente

P 1eP 2 terminais de potencial para as medições comparativas entre os eletrodos: A – B e B – C C 1eC 2 eletrodos de corrente

a distância entre os eletrodos

Figura 5 — Arranjo de Lee (ou das 5 hastes)

1ª medição: I 4 AB a 1a V × = ρ ρ 2ª medição: I 4 BC a 1a V × = ρ ρ

(16)

ABNT/CB-03

SET 2011

Figura 7 — Solo com camadas de espessuras variáveis

5.1.2.4.3 Arranjo dos quatros pontos igualmente espaçados ou arranjo de Wenner

Neste arranjo os eletrodos são igualmente espaçados, como mostrado na Figura 8. C 1 e C2 são os

eletrodos de corrente. A tensão é medida entre os eletrodos P 1 e P 2 do arranjo. Sendo a a distância

entre eletrodos adjacentes e b a profundidade de cravação destes, a resistividade em função de a e b é

dada por: 2 2 2 2 ₄ 2 1 4 b a a b a a I V a + − + +       × × × = π ρ (6)

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ABNT/CB-03

SET 2011

Figura 8 — Arranjo de Wenner

Na prática são usados quatro eletrodos localizados em uma linha reta em intervalos a , enterrados a

uma profundidade que não exceda 10 % de a . Quando b ≤ a /10, a equação se torna a equação (7):

      × = I V a π ρ _(a) 2 (7)

Essa equação é aproximadamente a resistividade média do solo na profundidade a . Um conjunto de

leituras tomadas com vários espaçamentos entre eletrodos, resulta em um conjunto de resistividades que, quando plotadas em função do espaçamento, indicam a variação da resistividade com a profundidade.

Os eletrodos do instrumento devem estar sempre firmes e com boa aderência ao solo; solos arenosos ou rochosos podem requerer adição de água ao redor do eletrodo para facilitar o contato elétrico.

Um conjunto de leituras, tomadas com vários espaçamentos entre hastes, resulta em um conjunto de resistividades que, quando plotadas em função do espaçamento, indica a variação da resistividade com a profundidade.

Por exemplo, se o espaçamento for de 4 m e os eletrodos forem cravados a 20 cm, a equação simplificada pode ser utilizada mas, se o espaçamento for de 1 m, ter-se-ia que cravar o eletrodo com menos de 10 cm, o que geralmente não é suficiente para ter um contato adequado com o solo.

O número mínimo de linhas de medição, os croquis recomendados para áreas com diversos tamanhos e formatos, bem como o procedimento de medição para o arranjo de Wenner, são apresentados no Anexo A.

5.1.2.4.4 Arranjo de Schlumberger

O arranjo de Schlumberger é uma disposição para o método dos 4 pontos onde o espaçamento central é mantido fixo (normalmente igual a 1,0 m), conforme Figura 9, enquanto os outros espaçamentos variam de forma uniforme. Daí, uma alta sensibilidade na medição dos potenciais é necessária, especialmente se a fonte do terrômetro é de baixa potência.

Ponto

I

a

C

1

a

C

₂

b

Ponto central

V

P

1

P

2

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ABNT/CB-03

SET 2011

Figura 9 — Arranjo de Schlumberger

As curvas padrão para arranjo de Schlumberger em duas camadas são obtidas pela equação 8: ( ) K (x ) ( J (xu xv ) J (xu xv ))dx v v u u,v _× × − − +      × − × = ₂

∫

₀∞ ₀ ₀ 2 2 1 as 2 ρ ρ (8) onde,

ρasé a resistividade do arranjo de Schlumberger;

u é a metade do afastamento das hastes de potencial = (1,0)/2;

v é a metade do afastamento das hastes de corrente = (a + 1,0 + a )/2; K (x ) é a função kernel das camadas;

J 0 (y) é a função de Bessel de primeira classe de ordem zero.

5.1.2.4.5 Arranjo Schlumberger – Palmer

Para medir resistividades com grandes espaçamentos, especialmente em terrenos de alta resistividade (da ordem de ou superior a 3 000 Ω×m), pode ser usado o arranjo mostrado na Figura 10, com os

eletrodos de potencial situados muito próximos aos eletrodos de corrente correspondentes para melhorar a resolução da medida da tensão. Mesmo assim, os terrômetros convencionais, de baixa potência (com corrente compatível com a sensibilidade do aparelho), dificilmente operam de forma eficiente.

Legenda

A Amperímetro V Voltímetro

(19)

SET 2011 SET 2011

NÃO

NÃO TEM TEM VALOR VALOR NORMATIVO NORMATIVO 14/6614/66 b

b Profundidade Profundidade dos dos eletrodoseletrodos c

c Distância Distância entre entre os os eletrodos eletrodos de de potencialpotencial d

d Distância Distância entre entre os os eletrodos eletrodos de de corrente corrente e e os os eletrodos eletrodos de de potencialpotencial Figura 10 —

Figura 10 — Arranjo Schlumberger – PalmerArranjo Schlumberger – Palmer Se a profundidade

Se a profundidade b b do eletrodo é pequena comparada com as separaçõesdo eletrodo é pequena comparada com as separações d d ee c c então a resistividadeentão a resistividade

medida pode ser calculada pela

medida pode ser calculada pela seguinte equação (9):seguinte equação (9):

I I V V c c d d c c d d × × + + × × = = π π (( )) ρ ρ (9)(9) 5.1.3 Procedimentos da medição 5.1.3 Procedimentos da medição

5.1.3.1 Número e localização das linhas de

5.1.3.1 Número e localização das linhas de mediçãomedição

Uma medição é definida como o conjunto de leituras obtidas em uma mesma direção de cravamento e Uma medição é definida como o conjunto de leituras obtidas em uma mesma direção de cravamento e diversos espaçamentos entre hastes, conforme

diversos espaçamentos entre hastes, conforme 5.1.2.4.5.1.2.4.

A localização dos pontos e das direções das medições dependem da geometria da área e das A localização dos pontos e das direções das medições dependem da geometria da área e das características locais. O número mínimo de linhas de medição bem como os croquis recomendados características locais. O número mínimo de linhas de medição bem como os croquis recomendados para medições em áreas retangulares são apresentados na Tabela

para medições em áreas retangulares são apresentados na Tabela 2.2. Tabela 2

Tabela 2 — — Área do Área do terreno e terreno e número mínimo número mínimo de linhas de linhas de mediçãode medição Área do terreno

Área do terreno (m

(m22₎₎ Número mínimo deNúmero mínimo de_{linhas de medição}_{linhas de medição} Croquis para as linhas deCroquis para as linhas de_medição_medição

S S ≤≤ 1 0001 000 1 000 < S 1 000 < S ≤≤ 2 0002 000 2 000 < S 2 000 < S ≤≤ 5 0005 000 5 000 < S 5 000 < S ≤≤10 00010 000 10 000 < S 10 000 < S ≤≤20 00020 000 22 33 44 55 66 Figura 11-(a) Figura 11-(a) Figura 11-(b) Figura 11-(b) Figura 11-(c) Figura 11-(c) Figura 11-(d) Figura 11-(d) Figura 11-(e) Figura 11-(e)

(20)

SET 2011 SET 2011

NÃO

NÃO TEM TEM VALOR VALOR NORMATIVO NORMATIVO 15/6615/66 NOTA

NOTA Para Para medições medições em em áreas áreas acima acima de de 20 20 000 000 mm22 recomenda-se dividir o terreno remanescente em áreasrecomenda-se dividir o terreno remanescente em áreas de até 10 000 m

de até 10 000 m22, acrescentando-se linhas de medição equivalentes às descritas na tabela adicional. Assim, para, acrescentando-se linhas de medição equivalentes às descritas na tabela adicional. Assim, para uma área de 25 000 m

uma área de 25 000 m22 executa-se (6 + executa-se (6 + 4) 4) = 10 = 10 linhas de linhas de medição.medição.

Legenda Legenda A,B,C,D,E,F

A,B,C,D,E,F Linhas Linhas de de mediçãomedição Figura 11 —

Figura 11 — Croquis para medições de resistividadeCroquis para medições de resistividade

Além da área, outros aspectos devem ser observados na determinação do número de medições, Além da área, outros aspectos devem ser observados na determinação do número de medições, ressaltando-se:

ressaltando-se:



 As variações nas características do solo local, devendo-se medir separadamente a resistividadeAs variações nas características do solo local, devendo-se medir separadamente a resistividade

nos diferentes tipos de

nos diferentes tipos de terreno existentes;terreno existentes;

A=B A=B A A B B CC DD A A B B _C_C A A C C B B DD E E F

Fiigguurra a 116 6 - - ((aa)) FiigF guurra a 116 6 - - ((bb))

Figura 16 - (c)

Figura 16 - (c) Figura 16 - (d)Figura 16 - (d)

A A==BB DD E E C C F F Figura 16 - (e) Figura 16 - (e) (d) (d) (a) (a) _(b)_(b) (e) (e) (c) (c)

(21)

SET 2011 SET 2011

NÃO

NÃO TEM TEM VALOR VALOR NORMATIVO NORMATIVO 16/6616/66



 As variações entre os resultados obtidos nas diversas linhas de medição para uma mesmaAs variações entre os resultados obtidos nas diversas linhas de medição para uma mesma

distância entre eletrodos; quanto maior a discrepância entre os resultados, maior deve ser o distância entre eletrodos; quanto maior a discrepância entre os resultados, maior deve ser o número de linhas de

número de linhas de medição.medição.

5.1.3.2 Condições mínimas a serem observadas 5.1.3.2 Condições mínimas a serem observadas

Deve ser considerada a variação sazonal da resistividade do solo, devendo ser realizada uma medição Deve ser considerada a variação sazonal da resistividade do solo, devendo ser realizada uma medição no período mais crítico;

no período mais crítico;

De maneira geral, a situação mais crítica é a de solo seco, que ocorre após um período de 7 dias sem De maneira geral, a situação mais crítica é a de solo seco, que ocorre após um período de 7 dias sem chuvas. Esse período deve ser observado sempre para comprovação da situação mais crítica, caso seja chuvas. Esse período deve ser observado sempre para comprovação da situação mais crítica, caso seja necessária;

necessária;

Para estimativa de projeto ou casos especiais podem ser efetuadas medições com o solo na situação Para estimativa de projeto ou casos especiais podem ser efetuadas medições com o solo na situação que não seja a mais crítica.

que não seja a mais crítica. Uma medição posterior éUma medição posterior é necessária, caso acordado entre as partes;necessária, caso acordado entre as partes;

Em áreas onde seja necessário corrigir o nível do terreno, pelo menos uma das medições deverá ser Em áreas onde seja necessário corrigir o nível do terreno, pelo menos uma das medições deverá ser realizada após a conclusão da

realizada após a conclusão da terraplenagemterraplenagem;;

Pontos de uma mesma área em que sejam obtidos valores de resistividade com desvio superior a 50 % Pontos de uma mesma área em que sejam obtidos valores de resistividade com desvio superior a 50 % em relação ao valor médio das medições realizadas podem vir a caracterizar uma sub-área específica, em relação ao valor médio das medições realizadas podem vir a caracterizar uma sub-área específica, devendo ser realizadas medições complementares ao seu redor, para ratificação do resultado; se isso devendo ser realizadas medições complementares ao seu redor, para ratificação do resultado; se isso não for possível, considerar a conveniência de descartar a linha de medição;

não for possível, considerar a conveniência de descartar a linha de medição;

No caso de medições de resistividade próximas a malhas existentes, objetos condutores enterrados ou No caso de medições de resistividade próximas a malhas existentes, objetos condutores enterrados ou cercas aterradas, deve-se afastar a linha de medição a uma distância onde as interferências sejam cercas aterradas, deve-se afastar a linha de medição a uma distância onde as interferências sejam reduzidas e utilizar instrumentos que possuam filtros que separem os resultados do sinal injetado para reduzidas e utilizar instrumentos que possuam filtros que separem os resultados do sinal injetado para evitar ou atenuar os

evitar ou atenuar os efeitos da proximidade com circuitos efeitos da proximidade com circuitos energizadoenergizados;s;

Para projetos de linhas de transmissão devem ser realizadas duas medições em direções ortogonais Para projetos de linhas de transmissão devem ser realizadas duas medições em direções ortogonais nos pontos escolhidos, preferencialmente no sentido longitudinal ao encaminhamento da linha de nos pontos escolhidos, preferencialmente no sentido longitudinal ao encaminhamento da linha de transmissão e outra perpendicular, que devem coincidir

transmissão e outra perpendicular, que devem coincidir com a localização das com a localização das estruturas;estruturas; Cada linha de medição deve possuir no mínimo 5

Cada linha de medição deve possuir no mínimo 5 medidas com distâncias diferentes entre eletrodos;medidas com distâncias diferentes entre eletrodos; A linha de medição deve ser prospectada a partir de uma distância entre eletrodos de 1 m e prosseguir, A linha de medição deve ser prospectada a partir de uma distância entre eletrodos de 1 m e prosseguir, se possível, em potência de 2, a saber: 1; 2; 4; 8; 16... m. Podem ser utilizadas distâncias entre se possível, em potência de 2, a saber: 1; 2; 4; 8; 16... m. Podem ser utilizadas distâncias entre eletrodos intermediárias.

eletrodos intermediárias.

Condições diferentes das acima indicadas só podem ser definidas sob justificativas técnicas e após Condições diferentes das acima indicadas só podem ser definidas sob justificativas técnicas e após expressa concordância entre os agentes envolvidos, observadas as condições específicas do local. expressa concordância entre os agentes envolvidos, observadas as condições específicas do local. Na execução das medições deve-se anotar todas as características locais e os resultados obtidos em Na execução das medições deve-se anotar todas as características locais e os resultados obtidos em planilhas como a apresentada no Anexo

planilhas como a apresentada no Anexo B.B. 5.1.4 Instrumentos de medição

5.1.4 Instrumentos de medição

As características de instrumentos de medição estão descritas no Anexo C. As características de instrumentos de medição estão descritas no Anexo C. 5.1.5 Cuidados na medição

5.1.5 Cuidados na medição Durante a medição de

(22)

ABNT/CB-03

SET 2011

 não fazer medições sob condições atmosféricas adversas, tendo-se em vista a possibilidade de

ocorrência de descargas atmosféricas;

 utilizar Equipamentos de Proteção Individual (EPI’s) compatíveis com o tipo e o local da medição a

ser realizada;

 evitar que pessoas estranhas e animais se aproximem do local;  não tocar nos eletrodos durante a medição.

5.1.6 Interpretação das medidas

A interpretação dos resultados obtidos no campo é a parte mais crítica do processo de medição e, conseqüentemente, necessita maiores cuidados na sua validação. Como já mencionado, a variação da resistividade do solo pode ser grande e complexa por causa da sua heterogeneidade. Exceto para alguns casos é essencial estabelecer uma equivalência simples para a estrutura do solo. Esta equivalência depende:

 da exatidão e extensão das medições;  do método usado;

 da complexidade matemática envolvida;  da finalidade das medições.

Para a maioria das aplicações, o modelo da redução a duas camadas equivalentes é adequado, dispensando detalhamento matemático mais complexo.

5.1.6.1 Método dos quatro eletrodos

A interpretação do método dos quatro eletrodos é similar àquela do método de profundidade já descrito. No caso do arranjo de Wenner, a resistividade medida é registrada em função do espaçamento a do eletrodo. A curva resultante indica a estrutura do solo. A interpretação da curva obtida pode indicar desvios nas medições ou necessidade de informação adicional sobre o solo, inclusive de medições em profundidades adicionais.

5.2 Modelagem matemática do solo para duas camadas

5.2.1 Modelagem convencional

Dependendo da finalidade da medição da resistividade do solo, um modelo equivalente de duas camadas pode vir a ser eficaz em termos de resultados. Neste modelo o solo é caracterizado pelos seguintes parâmetros:

 espessura da primeira camada, h ;  resistividade da primeira camada, ρ1;

 resistividade da camada mais profunda, ρ2;

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ABNT/CB-03

SET 2011

A determinação da resistividade usando o arranjo de Wenner resulta em uma resistividade equivalente que é função da separação de eletrodos a . A resistividade equivalente é mostrada pela equação (10):

(ver Figura 12).                                   + −       + + =

∑

∞ −1 2 2 1 (a) 2 4 2 1 4 1 n n n a h n k a h n k ρ ρ (10)

onde o coeficiente de reflexão k é dado por:

1 2 1 2 ρ ρ ρ ρ + − = k (11)

Figura 12 — Solo estratificado em duas camadas 5.2.2 Método semiesférico

O método semiesférico pode ser empregado para avaliar a resistividade aparente em malhas de aterramento situadas em estratificações horizontais e com componentes verticais (beira de rios em malhas de usinas, por exemplo).

Este método considera uma malha de terra com raio equivalente r instalada na superfície de uma calota semi-esférica (Figura 13) de solo estratificado em duas camadas radiais, com resistividade inicial ρ1, de

(24)

ABNT/CB-03

SET 2011

Figura 13 — Solo modelado em duas camadas semi-esféricas A resistividade aparente ρ a é usualmente definida considerando:

d é a espessura da primeira camada, de resistividade superficial, ρ 1;

a é o raio da semi-esfera da malha de aterramento;

b é a distância do centro da malha até a interface entre ρ 1e ρ 2;

r é o raio do círculo de área igual à da malha de aterramento (r = 2a ).

Como d = b − a, chega-se à expressão:

a d 2 1 1 1 1 2 1 2 + − + = ρ ρ ρ ρ ₍₁₂₎

A partir desta expressão, para diversas condições de r / d e ρ 2 / ρ 1 são construídas as curvas da

Figura 14.

Com o valor r / d , intercepta-se (ou interpola-se) a curva correspondente de ρ 2 / ρ 1 e desta forma obtém-se

o valor de ρ a / ρ 1. O produto deste valor com ρ 1 fornecerá ρ a.

Neste modelo, a camada de resistividade mais elevada mantém maior influência na resistividade aparente, para quaisquer valores de r / d .

ρ1

ρ2

a

b

(25)

ABNT/CB-03

SET 2011

0,01 0,1 1 10 100 0,01 0,1 1 10 100 r/d ρ ρρ ρ2/ρρρρ1 50 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,5 20 10 5 2 1 100 ρ ρρ ρa/ρρρρ1

Figura 14 — Curvas utilizadas pelo método semi-esférico

6 Estratificação do solo

6.1 Métodos gráficos

Os métodos gráficos normalmente adotados são apresentados no Anexo A. O método simplificado, detalhado em A.1, é aplicado a solos de duas camadas.

O método das curvas padrão e auxiliar, detalhado em A.2, aplica-se a solos de duas ou mais camadas. O método da queda de potencial é recomendado para medição de resistência de aterramento através de equipamento específico (terrômetro).

As curvas padrão, conforme Sunde, para o arranjo de Wenner (aw) em duas camadas obedecem a equação (13):

(26)

ABNT/CB-03

SET 2011

( a ) a K ( x ) ( ) ( ( J x a J x a ))dx

aw = × × ×

∫

× − × × ∞ 2 2 ₀ ₀ ₀ 1 ρ ρ (13) onde

ρ awé a resistividade medida;

a é o espaçamento;

ρ 1 é a resistividade da primeira camada;

K (x ) é a função kernel das camadas;

J 0(y ) é a função de Bessel de primeira classe de ordem zero;

x é a variável de integração.

A função K (x ), para as curvas padrão em solos de duas camadas, é dada por:

h x h x e k e k x K ₋ _⋅ _⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = ₂ 2 1 1 ) ( (14)

onde k é o coeficiente de reflexão entre as resistividades das camadas 1 e 2 obtido pela equação 11 eh

é a espessura da primeira camada.

Para solos com mais de duas camadas é necessária a utilização de curvas auxiliares. Exemplos de aplicação são apresentados no Anexo B.

6.2 Métodos computacionais

A solução das equações 13 e 14 pode ser uma tarefa complexa, o que motiva o desenvolvimento de métodos computacionais para a estratificação de solos.

Os softwares existentes estratificam o solo em camadas e são adequados à grande maioria dos casos.

No entanto, a utilização de programas computacionais não exime o projetista da interpretação física dos resultados para verificar a aplicabilidade da modelagem obtida do solo.

A parte contratual que recebe as medições e as estratificações do solo pode especificar limites ou condições que venham a comprovar as interpretações físicas dadas à modelagem obtida.

Casos especiais merecem cuidados adicionais de interpretação.

6.3 Exemplos de curvas de resistividade e quantidades de camadas do solo

O número de camadas de uma estratificação é, matematicamente:

Ncam = 1 +Npi

Onde Npi é o número de pontos de inflexão da curva; assim, um solo homogêneo tem como curva uma

reta, um solo de duas camadas tem uma curva com um ponto de inflexão etc., ou, visto de outra forma, uma curva com um ponto de inflexão significa um solo de duas camadas.

(27)

ABNT/CB-03

SET 2011

Solo homogêneo Com 2 camadas Com 3 camadas Com 4 camadas Legenda ρ R esistividade

a D istância entre eletrodos

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ABNT/CB-03

SET 2011

Anexo A

(normativo)

Métodos gráficos de estratificação do solo

A.1 Métodos gráficos

O solo é formado por diversas camadas cujo perfil pode ser: horizontal; paralelo à superfície, inclinado e até vertical, devido à formação geológica. A estratificação é a determinação destas camadas pelas suas resistividades e respectivas profundidades. Os métodos de estratificação apresentados nesta Norma consideram as camadas aproximadamente horizontais.

São os seguintes os principais métodos:

 método simplificado;

 método gráfico de curvas padrão e auxiliar;  método de Pirson;

 2º método de Tagg.

A.1.1 Método simplificado

Este método é apropriado para solos de duas camadas. A curva ρ = f (a ) deve ter uma das formas

típicas indicadas na Figura A.1.

Figura A.1 – Curvas típicas de solos de duas camadas

Determinam-se as resistividades e profundidades das camadas através da seguinte rotina: (ver Figura A.2).

 prolongar a curva ρ ×a até interceptar o eixo das ordenadas, o qual indica o valor da resistividade da

(29)

ABNT/CB-03

SET 2011

 traçar a assíntota à curva ρ ×a e prolongá-la até o eixo das ordenadas, indicando o valor da

resistividade da camada inferior do solo ( ρ 2);

 através da relação ρ 2 / ρ 1 determinar o valor de M o na tabela abaixo;

 calcular ρ m = M o× ρ 1;

 na curva ρ ×a localiza-se ρ m para obter o valor da camada superior do solo, h .

 O exemplo abaixo é para ρ 2 / ρ 1= 4. A Tabela A.1 fornece M o = 1, 26. Então, da Figura A.2

obtem-se:

ρ m= 1,26× ρ 1→ h≈ 2,7 m

(30)

ABNT/CB-03

SET 2011

Tabela A.1 – M o em função de ρ ρ 2 ρ ρ / ρ ρ ρ 1ρ ρ ρρ ρ 2 ρ ρ 1/ ρ ρ M o ρ ρ 2 ρ ρ / ρ 1 ρ ρρ M o ρ ρ 2 ρ ρ / ρ ρ ρ 1ρ M o 0,001 0,684 0,70 0,936 14,5 1,413 0,002 0,684 0,75 0,948 15,0 1,416 0,003 0,685 0,80 0,959 15,5 1,418 0,003 0,685 0,85 0,970 16,0 1,421 0,004 0,686 0,90 0,981 16,5 1,423 0,005 0,686 0,95 0,990 17,0 1,425 0,005 0,686 1,0 1,000 17,5 1,427 0,006 0,687 1,5 1,078 18,0 1,429 0,007 0,687 2,0 1,134 18,5 1,430 0,008 0,688 2,5 1,177 19 1,432 0,009 0,688 3,0 1,210 20 1,435 0,010 0,689 3,5 1,237 30 1,456 0,015 0,691 4,0 1,260 40 1,467 0,02 0,694 4,5 1,278 50 1,474 0,03 0,699 5,0 1,294 60 1,479 0,04 0,704 5,5 1,308 70 1,482 0,05 0,710 6,0 1,320 80 1,484 0,06 0,715 6,5 1,331 90 1,486 0,07 0,720 7,0 1,334 100 1,488 0,08 0,724 7,5 1,349 110 1,489 0,09 0,729 8,0 1,356 120 1,490 0,10 0,734 8,5 1,363 130 1,491 0,15 0,757 9,0 1,369 140 1,492 0,20 0,778 9,5 1,375 150 1,493 0,25 0,798 10,0 1,380 160 1,494 0,30 0,817 10,5 1,385 180 1,495 0,35 0,835 11,0 1,390 200 1,496 0,40 0,852 11,5 1,394 240 1,497 0,45 0,868 12,0 1,398 280 1,498 0,50 0,883 12,5 1,401 350 1,499 0,55 0,897 13,0 1,404 450 1,500 0,60 0,911 13,5 1,408 640 1,501 0,65 0,924 14,0 1,410 1 000 1,501

(31)

ABNT/CB-03

SET 2011

A.1.2 Método gráfico de curvas padrão e auxiliar

A estratificação do solo parte de equações matemáticas, desenvolvidas pelas transformadas de Laplace e aplicação da equação de Bessel. Para maior praticidade deve-se utilizar as curvas de Hummel: “curvas-padrão”, (ver Figura A.3) e “Curvas Auxiliares”, (ver Figura A.4) que foram montadas de forma a determinar a resistividade e profundidade das camadas do solo, como descrito a seguir:

 traçar a curva ρ ×a , em papel transparente (A5), com escala bilogarítmica de módulo idêntico ao das

curvas-padrão e auxiliares;

 dividir a curva ρ ×a em trechos ascendentes e descendentes;

 colocar a curva ρ ×a sobre as curvas padrão e pesquisar a que mais se identifica com o primeiro

trecho da curva ρ ×a , mantendo-se os eixos paralelos;

 marcar a origem das curvas padrão no gráfico ρ ×a , chamando este ponto de pólo 01 e anotar a

relação ρ 2 / ρ 1;

 na curva ρ ×a são lidas as coordenadas do pólo 01, que representam a profundidade , em a1 e a

resistividade da primeira camada do solo ( ρ 1);

 obtém-se a resistividade da segunda camada ( ρ 2) pela relação ( ρ 2 / ρ 1);

 a seguir colocar o pólo 01 da curva ρ ×a sobre a origem das curvas auxiliares e tracejar a curva

auxiliar de relação ρ 2 / ρ 1;

 voltar às curvas-padrão mantendo sua origem sob a curva tracejada, até identificar uma outra

curva-padrão para o segundo trecho da curva ρ ×a , mantendo-se os eixos paralelos;

marcar a origem das curvas-padrão no gráfico ρ ×a , chamando este ponto de pólo 02 e anotar a

relação ρ 3 / ρ ’ 2;

 na curva ρ ×a são lidas as coordenadas do pólo 02, que representam a profundidade a2 e a

resistividade ρ ’ 2

 obtém-se a resistividade da terceira camada ( ρ 3) pela relação: ρ 3 / ρ ’ 2;

 havendo mais trechos ascendentes e/ou descendentes, prossegue-se analogamente, obtendo-se

(32)

ABNT/CB-03

SET 2011

Figura A.3 – Curvas-padrão

0,5 0,6 0,7 0,8 0,91 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90100 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1,5 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,15 0,1 10 9 8 7 6 5 4 3 2,5 2 1,5 1 1/1,5 1/2 1/2,5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/10 ρ ρ ρ ρ2/ρρρρ1= ∞ 50 20 15 0 1/15 ρ ρ ρ ρ2/ρρρρ1 a/d1

(33)

ABNT/CB-03

SET 2011

Figura A.4 – Curvas auxiliares

0,5 0,6 0,7 0,8 0,91 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90100 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1,5 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,15 0,1 ρ ρ ρ ρ2/ρρρρ1=∞ 50 20 15 10 8 7 6 5 4 3 2,5 2 1,5 1 1/1,5 1/2 1/2,5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/10 ρ ρρ ρ2/ρρρρ1 d2/d1

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ABNT/CB-03

SET 2011

(35)

ABNT/CB-03

SET 2011

A estratificação pode ser resumida para maior clareza conforme a Figura A.6.

Legenda

ρ 1 Resistividade da primeira camada d 1 Espessura da primeira camada

ρ 2 Resistividade da segunda camada d 2 Espessura da segunda camada

ρ A Resistividade da camada A d A Espessura da camada A

ρ A+1 Resistividade da camada A+1 ∞ Infinito

a 1 Profundidade até a segunda camada a 2 Profundidade até a terceira camada a A Profundidade até a camada A + 1

Figura A.6 – Estratificação do solo em n camadas

A.1.3 Método de Pirson

A partir da curva de resistividade ρ ×a , construída conforme mostrado na Figura A.2 conforme o descrito

a seguir:

A.1.3.1 A resistividade da primeira camada, ρ 1, é determinada através de uma série de medições com

pequenos espaçamentos de eletrodos (entre 1,5 m e 6,0 m), prolongando a curva média dos resultados obtidos até encontrar o eixo das resistividades. A interseção da curva no eixo determina o valor de ρ 1.

A.1.3.2 Supor um valor de a 1, contido na primeira parte da curva ρ ×a , determinando sua respectiva

resistividade ρ (a 1). “As partes das curvas são definidas como trechos entre dois pontos de inflexão da

curva ρ ×a dada”.

0 2 2 ₌       da d ρ

A.1.3.3 Uma vez escolhido a, e conseqüentemente determinado o valor de ρ (a 1) estabelecer a

seguinte relação: ( ) 1 1 ( )1 1 ρ a ρ ρ a

ρ ′ = , se a curva for ascendente (k > 0) e ( ) 1 ρ 1 ρ ( )1 ρ 1

(36)

ABNT/CB-03

SET 2011

A.1.3.4 A partir da relação definida anteriormente, extrair das Tabelas A.2 ou A.3 a série de valores de

a / a 1, dada em função da série de valores de k .

Tabela A.2 – Valores de ρ ρ (an) ρ ρ / ρ ρ ρ ρ ’nparak negativo

a /a 1 Valores dek negativo − − − −0,100 0 −−−−0,200 0 −−−−0,300 0 −−−−0,400 0 −−−−0,500 0 −−−−0,600 0 −−−−0,700 0 −−−−0,800 0 −−−−0,900 0 −−−−1,000 0 0,000 0 0,818 2 0,666 7 0.538 5 0,423 6 0,333 3 0,250 0 0,175 5 0,111 1 0,052 5 0,000 0 0,025 0 0,818 5 0,667 1 0,538 9 0,429 0 0,333 7 0,250 3 0,179 7 0,111 2 0,052 7 0,000 0 0,050 0 0,819 4 0,668 3 0,540 2 0,430 1 0,334 7 0,251 0 0,177 2 0,111 6 0,052 9 0,000 0 0,075 0 0,820 8 0,670 4 0,542 3 0,432 1 0,336 3 0,252 4 0,178 2 0,112 2 0,053 2 0,000 0 0,100 0 0,822 9 0,673 3 0,545 4 0,435 0 0,338 8 0,254 4 0,179 7 0,113 2 0,053 6 0,000 0 0,125 0 0,825 5 0,677 1 0,549 6 0,439 0 0,342 3 0,257 2 0,181 8 0,114 6 0,054 3 0,000 1 0,150 0 0,828 7 0,681 9 0,554 8 0,444 1 0,346 9 0,261 0 0,184 7 0,116 6 0,055 4 0,000 3 0,175 0 0,832 4 0,687 6 0,561 3 0,450 7 0,353 0 0,266 3 0,189 0 0,119 8 0,057 5 0,001 2 0,200 0 0,836 6 0,694 1 0,569 1 0,458 7 0,360 7 0,273 3 0,195 0 0,124 6 0,061 0 0,003 4 0,225 0 0,841 2 0,701 5 0,578 1 0,468 3 0,370 3 0,282 3 0,203 1 0,131 6 0,066 7 0,007 7 0,250 0 0,846 1 0,709 7 0,588 2 0,479 4 0,381 7 0,293 5 0,213 6 0,141 1 0,075 0 0,014 7 0,275 0 0,851 2 0,718 4 0,599 3 0,492 0 0,394 9 0,306 8 0,226 5 0,153 3 0,086 2 0,024 7 0,300 0 0,856 6 0,727 7 0,611 3 0,505 7 0,409 7 0,322 1 0,241 8 0,168 1 0,100 4 0,037 9 0,325 0 0,862 1 0,737 3 0,623 9 0,520 6 0,426 0 0,339 1 0,259 2 0,185 5 0,117 4 0,054 2 0,350 0 0,867 6 0,747 2 0,637 1 0,536 2 0,443 3 0,357 7 0,278 5 0,205 1 0,137 0 0,073 5 0,375 0 0,873 2 0,757 1 0,650 6 0,552 4 0,461 6 0,377 5 0,299 4 0,226 7 0,158 8 0,095 4 0,400 0 0,878 7 0,767 1 0,664 2 0,569 0 0,480 5 0,398 2 0,321 5 0,249 7 0,182 5 0,119 4 0,425 0 0,884 1 0,777 1 0,677 9 0,585 8 0,499 9 0,419 6 0,344 4 0,273 9 0,207 6 0,145 2 0,450 0 0,889 4 0,786 9 0,691 6 0,602 6 0,519 4 0,441 3 0,368 0 0,298 9 0,233 8 0,172 3 0,475 0 0,894 6 0,796 5 0,705 0 0,619 3 0,538 8 0,463 2 0,391 8 0,324 5 0,260 7 0,200 3 0,500 0 0,899 6 0,805 9 0,718 2 0,635 8 0,558 2 0,485 0 0,415 8 0,350 2 0,288 1 0,229 0 0,525 0 0,904 5 0,815 0 0,731 0 0,651 9 0,577 2 0,506 5 0,439 5 0,376 0 0,315 5 0,257 9 0,550 0 0,909 2 0,823 8 0,743 5 0,667 6 0,595 8 0,527 7 0,463 0 0,401 5 0,342 8 0,286 8 0,575 0 0,913 6 0,832 3 0,755 5 0,682 9 0,613 9 0,548 4 0,486 1 0,426 6 0,369 8 0,315 5 0,600 0 0,917 9 0,840 4 0,767 1 0,697 6 0,631 5 0,568 6 0,508 6 0,451 2 0,396 3 0,343 7 0,625 0 0,922 0 0,848 2 0,778 3 0,711 8 0,648 5 0,588 1 0,530 4 0,475 2 0,422 2 0,371 4 0,650 0 0,925 9 0,855 7 0,789 0 0,725 5 0,664 9 0,607 0 0,551 6 0,498 4 0,447 4 0,398 4 0,675 0 0,929 6 0,863 8 0,799 2 0,738 5 0,680 6 0,625 1 0,572 0 0,520 9 0,471 8 0,424 6 0,700 0 0,933 1 0,869 5 0,808 9 0,751 0 0,695 7 0,642 6 0,591 6 0,542 6 0,495 4 0,449 9 0,725 0 0,936 5 0,876 0 0,818 2 0,763 0 0,710 1 0,659 3 0,610 4 0,563 4 0,518 1 0,474 4 0,750 0 0,939 6 0,882 1 0,827 0 0,774 3 0,723 8 0,675 2 0,628 5 0,583 4 0,539 9 0,497 9 0,775 0 0,942 6 0,887 8 0,835 4 0,785 2 0,736 9 0,690 4 0,645 7 0,602 5 0,560 8 0,520 5 0,800 0 0,945 5 0,893 3 0,843 4 0,795 5 0,745 4 0,705 0 0,662 2 0,620 8 0,580 9 0,542 1 0,825 0 0,948 1 0,898 5 0,850 9 0,805 2 0,761 2 0,718 8 0,677 9 0,638 3 0,600 0 0,562 9 0,850 0 0,950 7 0,903 5 0,858 1 0,814 5 0,772 5 0,732 0 0,692 8 0,654 9 0,618 2 0,582 6 0,875 0 0,953 1 0,908 1 0,864 9 0,823 3 0,783 2 0,744 5 0,707 0 0,670 8 0,635 6 0,601 6 0,900 0 0,955 4 0,912 5 0,871 3 0,831 7 0,793 4 0,756 4 0,720 5 0,685 9 0,652 2 0,619 5 0,925 0 0,957 5 0,916 7 0,877 4 0,839 6 0,803 0 0,767 6 0,733 4 0,700 2 0,668 0 0,636 7 0,950 0 0,959 5 0,920 7 0,883 2 0,847 1 0,812 1 0,778 3 0,745 6 0,713 8 0,683 0 0,653 0 0,975 0 0,961 5 0,924 4 0,888 7 0,854 2 0,820 8 0,788 5 0,757 2 0,726 8 0,697 3 0,668 5 1,000 0 0,963 3 0,927 9 0,893 8 0,860 9 0,829 0 0,798 1 0,768 2 0,739 1 0,710 8 0,683 3 1,025 0 0,965 0 0,931 3 0,898 7 0,867 3 0,836 8 0,807 3 0,778 6 0,750 8 0,723 7 0,697 3 1,050 0 0,966 6 0,934 4 0,903 3 0,873 3 0,844 2 0,815 9 0,788 5 0,761 9 0,735 9 0,710 7 1,075 0 0,968 1 0,937 4 0,907 7 0,879 0 0,851 2 0,824 2 0,797 9 0,772 4 0,747 6 0,723 4 1,100 0 0,969 6 0,940 2 0,911 9 0,884 4 0,857 8 0,832 0 0,806 8 0,782 4 0,758 6 0,735 4 1,125 0 0,971 0 0,942 9 0,915 8 0,889 6 0,864 1 0,839 4 0,815 3 0,791 9 0,769 1 0,746 8 1,150 0 0,972 3 0,945 5 0,919 5 0,894 4 0,870 0 0,846 4 0,823 3 0,800 9 0,779 0 0,757 7 1,175 0 0,973 5 0,947 9 0,923 1 0,899 0 0,875 7 0,853 0 0,830 9 0,809 5 0,788 5 0,768 1 1,200 0 0,974 6 0,950 1 0,926 4 0,903 4 0,881 0 0,859 3 0,838 2 0,817 6 0,797 5 0,777 9

(37)

ABNT/CB-03

SET 2011

Tabela A.2 (continuação)

a /a 1 Valores de k negativo

− − − −0,100 0 −−−−0,200 0 −−−−0,300 0 −−−−0,400 0 −−−−0,500 0 −−−−0,600 0 −−−−0,700 0 −−−−0,800 0 −−−−0,900 0 −−−−1,000 0 1,225 0 0,975 7 0,952 3 0,929 6 0,907 5 0,886 1 0,865 3 0,845 0 0,825 3 0,806 0 0,787 2 1,250 0 0,976 8 0,954 3 0,932 6 0,911 5 0,891 0 0,871 0 0,851 6 0,832 6 0,814 1 0,796 0 1,275 0 0,977 8 0,956 3 0,935 4 0,915 2 0,895 5 0,876 4 0,857 7 0,839 6 0,821 8 0,804 5 1,300 0 0,978 7 0,958 1 0,938 1 0,918 7 0,899 9 0,881 5 0,863 6 0,846 2 0,829 1 0,812 5 1,325 0 0,979 6 0,959 9 0,940 7 0,922 1 0,904 0 0,886 4 0,869 2 0,852 5 0,836 1 0,820 1 1,350 0 0,980 4 0,961 5 0,943 1 0,925 3 0,907 9 0,891 0 0,874 5 0,858 4 0,842 7 0,827 3 1,375 0 0,981 2 0,963 1 0,945 5 0,928 3 0,911 7 0,895 4 0,879 6 0,864 1 0,849 0 0,834 2 1,400 0 0,982 0 0,964 6 0,947 7 0,931 2 0,915 2 0,899 6 0,884 4 0,869 5 0,855 0 0,840 8 1,425 0 0,982 7 0,966 0 0,949 7 0,933 9 0,918 6 0,903 6 0,888 9 0,874 7 0,860 7 0,847 0 1,450 0 0,983 4 0,967 3 0,951 7 0,936 5 0,921 8 0,907 4 0,893 3 0,879 5 0,866 1 0,853 0 1,475 0 0,984 1 0,968 6 0,953 6 0,939 0 0,924 8 0,911 0 0,897 4 0,884 2 0,871 3 0,858 7 1,500 0 0,984 7 0,969 8 0,955 4 0,941 4 0,927 7 0,914 4 0,901 4 0,888 6 0,876 2 0,864 0 1,525 0 0,985 3 0,971 0 0,957 1 0,943 6 0,930 5 0,917 6 0,905 1 0,892 9 0,880 9 0,869 2 1,550 0 0,985 8 0,972 1 0,958 8 0,945 8 0,933 1 0,920 8 0,908 7 0,896 9 0,885 4 0,874 1 1,575 0 0,986 4 0,973 2 0,960 3 0,947 8 0,935 6 0,923 7 0,912 1 0,900 7 0,889 6 0,878 7 1,600 0 0,986 9 0,974 2 0,961 8 0,949 8 0,938 0 0,926 6 0,915 4 0,904 4 0,893 7 0,883 2 1,625 0 0,987 4 0,975 1 0,963 2 0,951 6 0,940 3 0,929 3 0,918 5 0,907 9 0,897 6 0,887 5 1,650 0 0,987 8 0,976 0 0,964 6 0,953 4 0,942 5 0,931 8 0,921 4 0,911 2 0,901 3 0,891 5 1,675 0 0,988 3 0,976 9 0,965 8 0,955 1 0,944 5 0,934 3 0,924 2 0,914 4 0,904 8 0,895 4 1,700 0 0,988 7 0,977 7 0,967 1 0,956 7 0,946 5 0,936 6 0,926 9 0,917 5 0,908 2 0,899 1 1,725 0 0,989 1 0,978 5 0,968 2 0,958 2 0,948 4 0,938 9 0,929 5 0,920 4 0,911 4 0,902 7 1,750 0 0,989 5 0,979 3 0,969 4 0,959 7 0,950 2 0,941 0 0,932 0 0,923 2 0,914 5 0,906 1 1,775 0 0,989 9 0,980 0 0,970 4 0,961 1 0,952 0 0,943 1 0,934 3 0,925 8 0,917 5 0,909 3 1,800 0 0,990 2 0,980 7 0,971 5 0,962 4 0,953 6 0,945 0 0,936 6 0,928 4 0,920 3 0,912 4 1,825 0 0,990 6 0,981 4 0,972 4 0,963 7 0,955 2 0,946 9 0,938 8 0,930 8 0,923 0 0,915 4 1,850 0 0,990 9 0,982 0 0,973 4 0,964 8 0,956 7 0,948 7 0,940 8 0,933 2 0,925 6 0,918 2 1,875 0 0,991 2 0,982 6 0,974 3 0,965 1 0,958 2 0,950 4 0,942 8 0,935 4 0,928 1 0,920 9 1,900 0 0,991 5 0,983 2 0,975 1 0,967 2 0,959 6 0,952 1 0,944 7 0,937 5 0,930 5 0,923 6 1,925 0 0,991 8 0,983 7 0,975 9 0,963 3 0,960 9 0,953 6 0,946 5 0,939 6 0,932 7 0,926 1 1,950 0 0,992 0 0,984 3 0,976 7 0,969 4 0,962 2 0,955 1 0,948 2 0,941 5 0,934 9 0,928 5 1,975 0 0,992 3 0,984 8 0,977 5 0,970 4 0,963 4 0,956 6 0,949 9 0,943 4 0,937 0 0,930 7 2,000 0 0,992 5 0,985 3 0,978 2 0,971 3 0,964 6 0,958 0 0,951 5 0,945 2 0,939 0 0,932 9

Tabela A.3 – Valores de ρ ρ (an) ρ ρ / ρ ρ ρ ρ ’_n para k positivo

a /a 1 Valores dek positivos

0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 0,000 0 0,818 2 0,666 7 0,538 5 0,423 6 0,333 3 0,250 0 0,175 5 0,111 1 0,052 5 0,000 0 0,025 0 0,818 6 0,667 6 0,539 9 0,430 6 0,336 1 0,253 8 0,181 8 0,118 8 0,064 3 0,018 1 0,050 0 0,818 9 0,670 2 0,543 9 0,436 3 0,343 6 0,263 4 0,193 9 0,133 6 0,081 8 0,036 1 0,075 0 0,822 0 0,674 4 0,550 2 0,444 6 0,354 2 0,276 2 0,208 8 0,150 6 0,100 0 0,054 2 0,100 0 0,824 8 0,679 8 0,558 1 0,454 9 0,366 6 0,290 7 0,225 1 0,168 2 0,118 4 0,072 3 0,125 0 0,686 2 0,567 2 0,466 5 0,380 4 0,306 3 0,242 1 0,186 1 0,136 7 0,090 3 0,150 0 0,832 1 0,693 5 0,577 3 0,479 0 0,394 9 0,322 4 0,259 4 0,204 2 0,155 0 0,108 4 0,175 0 0,836 5 0,701 4 0,588 1 0,492 1 0,409 9 0,338 8 0,276 9 0,222 2 0,173 2 0,126 5 0,200 0 0,841 2 0,709 7 0,599 4 0,505 7 0,425 2 0,355 5 0,294 4 0,240 3 0,191 4 0,144 5 0,225 0 0,846 1 0,708 5 0,611 1 0,519 6 0,440 8 0,372 3 0,312 0 0,258 4 0,209 6 0,162 6 0,250 0 0,851 2 0,727 4 0,623 0 0,533 7 0,456 5 0,389 1 0,329 6 0,276 4 0,227 7 0,180 7

(38)

ABNT/CB-03

SET 2011

Tabela A.3 (continuação)

a /a 1 _{0,100 0} _{0,200 0 0,300 0} _{0,400 0 0,500 0}Valores de k _{0,600 0}positivos_{0,700 0 0,800 0} _{0,900 0 1,000 0}

0,275 0 0,856 5 0,736 6 0,635 0 0,547 9 0,472 3 0,406 0 0,347 2 0,294 3 0,245 8 0,198 7 0,300 0 0,861 8 0,745 8 0,647 1 0,562 1 0,488 1 0,422 8 0,364 7 0,312 3 0,263 8 0,216 8 0,325 0 0,867 2 0,755 1 0,659 3 0,576 4 0,503 8 0,439 6 0,382 2 0,330 1 0,281 8 0,234 8 0,350 0 0,872 5 0,764 3 0,6714 0,590 5 0,519 5 0,456 3 0,399 6 0,347 9 0,299 8 0,252 9 0,375 0 0,877 8 0,773 5 0,683 3 0,604 6 0,535 0 0,472 9 0,416 9 0,365 6 0,311 7 0,270 9 0,400 0 0,883 0 0,782 5 0,695 3 0,618 5 0,550 4 0,489 4 0,434 1 0,383 3 0,335 6 0,288 9 0,425 0 0,888 1 0,791 4 0,706 9 0,632 2 0,565 6 0,505 7 0,451 1 0,400 8 0,353 4 0,306 9 0,450 0 0,893 1 0,800 1 0,718 3 0,645 7 0,580 6 0,521 8 0,468 0 0,418 2 0,371 1 0,324 8 0,475 0 0,897 9 0,808 6 0,729 5 0,659 0 0,595 4 0,537 7 0,484 7 0,425 4 0,388 6 0,342 6 0,500 0 0,902 6 0,816 8 0,740 5 0,672 0 0,609 9 0,553 4 0,501 2 0,452 4 0,406 1 0,360 4 0,525 0 0,907 2 0,824 8 0,751 1 0,684 6 0,624 2 0,568 8 0,517 4 0,469 3 0,423 4 0,378 0 0,550 0 0,911 5 0,832 6 0,761 5 0,697 0 0,638 1 0,583 9 0,533 4 0,486 0 0,440 5 0,395 5 0,575 0 0,915 7 0,840 0 0,771 5 0,709 0 0,651 7 0,598 7 0,549 2 0,502 4 0,457 4 0,412 9 0,600 0 0,919 7 0,847 2 0,781 2 0,720 7 0,665 0 0,613 1 0,564 6 0,518 6 0,474 1 0,430 0 0,625 0 0,923 6 0,855 1 0,790 6 0,732 1 0,677 9 0,627 3 0,579 7 0,534 4 0,490 6 0,447 0 0,650 0 0,927 3 0,860 8 0,799 6 0,743 0 0,690 4 0,641 1 0,594 5 0,550 0 0,506 8 0,463 8 0,675 0 0,930 8 0,867 1 0,808 3 0,753 6 0,702 6 0,654 5 0,608 9 0,565 3 0,522 7 0,480 3 0,700 0 0,934 1 0,873 2 0,816 7 0,763 9 0,714 3 0,667 5 0,623 0 0,580 2 0,538 4 0,496 5 0,725 0 0,937 3 0,879 0 0,824 7 0,773 8 0,725 7 0,680 2 0,636 7 0,594 8 0,553 7 0,512 6 0,750 0 0,940 3 0,884 6 0,832 4 0,783 3 0,736 7 0,692 5 0,650 1 0,609 0 0,568 6 0,528 2 0,775 0 0,943 2 0,889 9 0,839 7 0,792 4 0,747 4 0,704 3 0,663 0 0,622 9 0,583 3 0,543 6 0,800 0 0,945 9 0,8950 0,8468 0,8011 0,7576 0,715 8 0,675 6 0,636 3 0,597 6 0,558 5 0,825 0 0,948 5 0,8998 0,8536 0,8095 0,7674 0,726 9 0,687 7 0,649 4 0,611 5 0,573 3 0,850 0 0,951 0 0,9044 0,8600 0,8176 0,7769 0,737 6 0,699 5 0,662 1 0,625 0 0,587 6 0,875 0 0,953 3 0,9087 0,8662 0,8253 0,7860 0,748 0 0,710 9 0,674 5 0,638 2 0,601 5 0,900 0 0,955 5 0,9129 0,8720 0,8327 0,7947 0,757 9 0,721 9 0,686 4 0,651 0 0,615 2 0,925 0 0,957 6 0,9168 0,8776 0,8398 0,8031 0,767 4 0,732 5 0,698 0 0,663 4 0,628 3 0,950 0 0,959 5 0,9206 0,8830 0,8465 0,8112 0,776 6 0,742 7 0,709 1 0,675 4 0,641 3 0,975 0 0,961 4 0,9241 0,8880 0,8530 0,8189 0,785 4 0,752 5 0,719 9 0,687 0 0,653 7 1,000 0 0,963 2 0,9275 0,8929 0,8592 0,8262 0,793 9 0,762 0 0,730 3 0,698 3 0,665 7 1,025 0 0,964 9 0,9307 0,8975 0,8651 0,8333 0,802 1 0,771 2 0,740 3 0,709 2 0,677 4 1,050 0 0,966 5 0,9338 0,9019 0,8707 0,8400 0,809 9 0,779 9 0,750 0 0,719 7 0,688 9 1,075 0 0,968 0 0,9367 0,9061 0,8760 0,8465 0,817 3 0,788 3 0,759 3 0,729 8 0,699 8 1,100 0 0,969 4 0,9394 0,9100 0,8812 0,8527 0,824 5 0,796 4 0,768 3 0,739 6 0,710 4 1,125 0 0,970 7 0,9420 0,9138 0,8861 0,8586 0,831 4 0,804 2 0,776 9 0,749 0 0,720 8 1,150 0 0,972 0 0,9445 0,9174 0,8907 0,8643 0,838 0 0,811 7 0,785 2 0,758 1 0,730 6 1,175 0 0,973 2 0,9469 0,9209 0,8952 0,8697 0,844 3 0,818 8 0,793 1 0,766 9 0,740 1 1,200 0 0,974 4 0,9491 0,9241 0,8994 0,8748 0,850 3 0,825 7 0,800 8 0,775 5 0,749 3 1,225 0 0,975 5 0,951 3 0,927 3 0,903 5 0,879 8 0,856 1 0,832 2 0,808 1 0,783 4 0,758 1 1,250 0 0,976 5 0,953 3 0,930 2 0,907 3 0,884 5 0,861 6 0,838 5 0,815 2 0,791 2 0,766 8 1,275 0 0,977 5 0,955 2 0,933 0 0,911 0 0,889 0 0,866 9 0,844 6 0,822 0 0,798 7 0,775 0 1,300 0 0,978 5 0,957 0 0,935 7 0,914 5 0,893 3 0,871 9 0,850 4 0,828 5 0,805 9 0,782 9 1,325 0 0,979 3 0,958 8 0,938 3 0,917 9 0,897 4 0,876 8 0,855 9 0,834 7 0,812 8 0,790 5 1,350 0 0,980 2 0,960 4 0,940 8 0,921 0 0,901 3 0,881 4 0,861 3 0,840 7 0,819 5 0,797 8 1,375 0 0,981 0 0,962 0 0,943 1 0,924 1 0,905 0 0,885 8 0,866 3 0,846 5 0,825 9 0,805 1 1,400 0 0,981 7 0,963 5 0,945 3 0,927 0 0,908 6 0,890 0 0,871 2 0,852 0 0,832 0 0,811 8 1,425 0 0,982 5 0,964 9 0,947 4 0,929 8 0,912 0 0,894 1 0,875 9 0,857 2 0,837 9 0,818 3 1,450 0 0,983 2 0,966 3 0,949 4 0,932 4 0,915 3 0,898 0 0,880 4 0,862 3 0,843 6 0,824 5