Definição 1: Uma equação geral do 2

AULA: Superfícies Quádricas

Definição 1: Uma equação geral do 20 grau em três variáveis é uma equação do tipo: 0

2 2

2 _{+ + + + + + + + + =}

J Iz Hy Gx Fyz Exz Dxy Cz

By

Ax (I),

com pelo menos uma das constantes A, B, C, D, E ou F é diferente de zero.

Definição 2: Uma superfície cuja equação é do tipo (I) é chamada de superfície quádrica. Obs: A interseção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por planos paralelos a eles é uma cônica. Em casos particulares, a interseção pode ser uma reta, duas retas, um ponto ou o conjunto vazio. Esses casos constituem as cônicas degeneradas.

Através de uma rotação e/ou translação de eixos a equação (I) pode assumir uma das seguintes formas:

(II) Ax2 +By2 +Cz2 =D (quádricas cêntricas)

(

)

)

(

2 2

2 2

2 2

     

= +

= +

= +

Cx Bz Ay

Cy Bz Ax

Cz By Ax

III

Quádricas Cêntricas: Ax2 +By2+Cz2 =D

Se as constantes A, B, C e D são não nulas, podemos escrever a equação (II) na

forma canônica: 1

2 2 2 2 2 2

= ± ± ±

c z

b y

a x

(IV), com a,b e c números reais positivos.

Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio. Logo, existem três possibilidades: todos os sinais são positivos, dois sinais positivos e um negativo ou um positivo e dois negativos.

A) Todos os sinais positivos: Elipsóide: 1 2 2 2 2 2 2

= + +

c z

b y

a x

Características:

x y (0,0,c)

(0,b,0) (a,0,0)

2) Se duas das constantes a, b e c são iguais temos um elipsóide de revolução. 3) Interseções com os eixos coordenados:

9 Eixo Ox : A

(

)

9 Eixo Oy: B

(

)

9 Eixo Oz: C

(

)

4) Traços sobre os planos coordenados: elipses

    

=

= +

0

1 2 2 2 2

z b

y

a x

,     

=

= +

0 1 2 2 2 2

y c z

a x

,     

=

= +

0 1 2 2 2 2

x c z

b y

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

    

=

− = +

k z

c k

b y

a x

2 2 2

2 2 2

1

, elipses para -c < k < c.

    

=

− = +

k y

b k

c z

a x

2 2 2

2 2 2

1

, elipses para -b < k < b

    

=

− = +

k x

a k

c z

b y

2 2 2

2 2 2

1

, elipses para -a < k < a.

B) Dois sinais positivos e um negativo: Hiperbolóide de uma folha:

1 2 2 2 2 2 2

= − +

c z

b y

a x

(a = b, superfície de revolução),

1 2 2 2 2 2 2

= + −

c z

b y

a x

(a = c, superfície de revolução),

1 2 2 2 2 2 2

= + + −

c z

b y

a x

(b = c, superfície de revolução).

Características:

1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.

2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo coeficiente é negativo na forma canônica de sua equação.

Analisando a equação: 1

2 2 2 2 2 2

= − +

c z

b y

a x

3) Interseções com os eixos coordenados:

9 Eixo Ox : A

(

)

9 Eixo Oy: B

(

)

9 Eixo Oz: não existe

4) Traços sobre os planos coordenados:

    

=

= +

0

1 2 2 2 2

z b

y

a x

( Elipse) ,     

=

= −

0 1 2 2 2 2

y c z

a x

(Hipérbole)

    

=

= −

0

1 2 2 2 2

x c z

b y

( Hipérbole)

x

y z

x

y z

x

y z

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

    

=

+ = +

k z

c k

b y

a x

2 2 2

2 2 2

1

, elipses para qualquer k em R,

    

=

− = −

k y

b k

c z

a x

2 2 2

2 2 2

1

, hipérboles ,     

=

− = −

k x

a k

c z

b y

2 2 2

2 2 2

1

, hipérboles

Esboço da superficie:

1 2 2 2 2 2 2

= − +

c z

b y

a x

1 2 2 2 2 2 2

= + −

c z

b y

a x

1 2 2 2 2 2 2

= + + −

c z

b y

B) Dois sinais negativos e um positivo: Hiperbolóide de duas folhas:

1 2 2 2 2 2 2

= + − −

c z

b y

a x

(a = b, superfície de revolução),

1 2 2 2 2 2 2

= − + −

c z

b y

a x

(a = c, superfície de revolução),

1 2 2 2 2 2 2

= − −

c z

b y

a x

(b = c, superfície de revolução),

Características:

1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos coordenados e a origem.

2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo coeficiente é positivo na forma canônica de sua equação.

Analisando a equação: 1

2 2 2 2 2 2

= + − −

c z

b y

a x

3) Interseções com os eixos coordenados:

9 Eixo Ox : não existe

9 Eixo Oy: não existe

9 Eixo Oz: C

(

)

4) Traços sobre os planos coordenados:

    

=

= − −

0

1 2 2 2 2

z

b y

a x

( vazio) ,     

=

= + −

0

1 2 2 2 2

y

c z

a x

(Hipérbole)

    

=

= + −

0

1 2 2 2 2

x

c z

b y

( Hipérbole)

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

    

=

− = +

k z

c k

b y

a x

1 2 2 2 2 2 2

, elipses para k < -c ou k > c

    

=

+ = + −

k y

b k

c z

a x

2 2 2

2 2 2

1

, hipérboles , ∀k∈R ,

    

=

+ = + −

k x

a k

c z

b y

2 2 2

2 2 2

1

, hipérboles ∀k∈R

Esboço da superficie:

1 2 2 2 2 2 2

= + − −

c z

b y

a x

x

y z

1 2 2 2 2 2 2

= − + −

c z

b y

a x

x

1 2 2 2 2 2 2

= − −

c z

b y

a x

x

y z

Quádricas não Cêntricas: ( )

2 2

2 2

2 2

     

= +

= +

= +

Cx Bz Ay

Cy Bz Ax

Cz By Ax

III

Se as constantes A, B e C são não nulas, podemos escrever as equações (II) nas

formas canônicas:

   

    

 

= ± ±

= ± ±

= ± ±

cx b z

a y

cy b

z

a x

cz b y

a x

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(IV), com a,b números reais positivos e c real não nulo.

Temos duas possibilidades: os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais ou contrários.

A) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais: Parabolóide elíptico.

cz b

y

a

x _{+ =}

2 2 2 2

, cy

b z

a

x _{+ =}

2 2 2 2

, cx

b z

a

y _{+ =}

2 2 2 2

.

Características:

1) Se a = b temos um parabolóide de revolução.

2) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0).

Analisando a equação cz b

y

a

x _{+ =}

2 2 2 2

(c > 0)

4) Observe que para c > 0 temos que z ≥ 0. Logo, a superfície se encontra inteiramente acima do plano xy.

5) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz. 6) Traços sobre os planos coordenados:

) 0 , 0 , 0 ( 0

0 2 2 2 2

= 

   

=

= +

z b

y

a x

,     

= =

0 2 2

y cz a x

(parábola),     

= =

0 2 2

x cz b

y

( parábola)

7) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

    

=

= +

k z

ck b y

a x

2 2 2 2

, elipses para k > 0.

    

= − =

k y

b k cz a x

2 2 2

2

, parábolas e     

= − =

k x

a k cz b

y

2 2 2

2

, parábolas.

Esboço da superficie:

cz b y

a

x _{+ =}

2 2 2 2

(c > 0) cz

b y

a

x _{+ =}

2 2 2 2

(c < 0)

z

x

cy b

z

a

x _{+ =}

2 2 2 2

(c > 0) cy

b z

a

x _{+ =}

2 2 2 2

(c < 0)

x y

z

x

y z

cx b

z

a

y _{+ =}

2 2 2 2

(c > 0) cx

b z

a

y _{+ =}

2 2 2 2

(c < 0)

x y

z

x

y z

B) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais contrários: Parabolóide hiperbólico (sela)

cz b

y

a

x _{+ =}

−

2 2 2 2

, cy

b z

a

x _{+ =}

−

2 2 2 2

, cx

b z

a

y _{+ =}

−

2 2 2 2

.

Características:

1) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0).

Analisando a equação cz b

y

a

x _{+ =}

−

2 2 2 2

(c > 0).

3) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz. 4) Traços sobre os planos coordenados:

   

=

=    

  +    

  − = 

   

=

= + −

0

0 0

0 2 2 2 2

z

a x b y a x b y

z

b y

a x

, par de retas concorrentes

    

= = −

0 2 2

y

cz a x

(parábola),     

= =

0 2 2

x cz b

y

( parábola)

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:

    

=

= + −

k z

ck b y

a x

2 2 2 2

, hipérboles para k≠ 0. Para k > 0, hipérboles no plano z = k, com

o eixo focal paralelo ao eixo Oy e para k < 0, hipérboles no plano z = k, com o eixo focal paralelo ao eixo Ox.

    

=

− = −

k y

b k cz a x

2 2 2

2

, parábolas e     

= + =

k x

a k cz b

y

2 2 2

2

Esboço da superficie:

cz b y

a

x _{+ =}

−

2 2 2 2

(c > 0) cz

b y

a

x _{+ =}

−

2 2 2 2

(c < 0)

x

y z

x

y z

cy b z

a

x _{+ =}

−

2 2 2 2

(c > 0) cy

b z

a

x _{+ =}

−

2 2 2 2

(c < 0)

x

y z

x

y z

cx b z

a

y _{+ =}

−

2 2 2 2

(c > 0) cx

b z

a

y _{+ =}

−

2 2 2 2

(c < 0)

x

y z

x

Bibliografia:

Lehmann. Charles, Geometria Analítica, Editora Globo

Boulos, Paulo, Geometria Analítica um tratamento vetorial, MAKRON Books.