Considerações teóricas a respeito de um carneiro hidráulico sob condições ideais de funcionamento / Theoretical considerations regarding a hydraulic ram under ideal operating conditions

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761

Considerações teóricas a respeito de um carneiro hidráulico sob condições ideais

de funcionamento

Theoretical considerations regarding a hydraulic ram under ideal operating

conditions

DOI:10.34117/bjdv6n7-349

Recebimento dos originais: 03/06/2020 Aceitação para publicação: 15/07/2020

Thiago de Cacio Luchese

Doutor em Física pela Universidade Federal de Santa Catarina Universidade Fedral da Fronteira Sul – Campus Cerro Largo

Rua Jacob Reinaldo Haupenthal, 1.580 - São Pedro, Cerro Largo – RS, Brasil E-mail: [email protected]

RESUMO

O carneiro hidráulico é um equipamento autopropelido utilizado para recalque de água. Sendo de fácil construção e manutenção, tem sido divulgado no Brasil como alternativa de baixo custo, em relação às bombas elétricas, para prover de água pequenas propriedades rurais. Embora a literatura a respeito de estudos empíricos desse equipamento não seja difícil de encontrar, algumas revisões sobre o carneiro hidráulico apontam que estudos teóricos do equipamento datam do início do século XX e indicam como principal dificuldade à sua descrição quantitativa teórica, partindo de leis básicas, o grande número de variáveis de instalação correlacionadas. Sendo assim, apresentamos nesse trabalho um modelo de funcionamento completamente idealizado do carneiro hidráulico com a intenção de divulgar e estimular o desenvolvimento de mais estudos teóricos pormenorizados a respeito desse equipamento tão curioso e simples. Obtivemos expressões analíticas que explicitam dependências entre as vazões associadas ao funcionamento do carneiro hidráulico e seus parâmetros de instalação. Tanto as expressões analíticas quanto a metodologia teórica de abordagem adotada pode vir a servir de ponto de partida para posteriores trabalhos que venham a incluir, minimamente, a viscosidade da água em expressões necessárias para o dimensionamento de instalações do equipamento.

Palavras-chave: bomba hidráulica, golpe de Arìete, recalque de água. ABSTRACT

The hydraulic ram is a self-propelled equipment used for water discharge. Easy to build and maintain, it has been publicized in Brazil as a low-cost alternative to electric pumps to provide small rural properties with water. Although the literature on empirical studies of this equipment is not difficult to find, some reviews of the hydraulic ram indicate that theoretical studies of the equipment date from the early twentieth century and indicate as its main difficulty its theoretical quantitative description, starting from basic laws, the large number of correlated installation variables. Therefore, we present in this work a completely idealized operation model of the hydraulic ram with the intention of disseminating and stimulating the development of more detailed theoretical studies about this curious and simple equipment. We obtained analytical expressions that explain dependencies between the flow rates associated with the operation of the hydraulic ram and its installation parameters. Both the analytical expressions and the theoretical approach methodology may serve as a starting point for further work that will minimally include the viscosity of water in expressions necessary for the sizing of equipment installations.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 Keywords: hydraulic pump, water hammer, water discharge.

1 INTRODUÇÃO

O carneiro hidráulico é um equipamento autopropelido utilizado para o recalque de água. É composto por duas válvulas e uma câmara de ar que, quando corretamente acopladas, é capaz de utilizar a sobrepressão resultante de uma abrupta interrupção em um fluxo de água de uma tubulação (golpe de Ariète) (AZEVEDO, 1998) para recalcar água a níveis superiores àquele do manancial que deu origem ao fluxo que foi interrompido. Do ponto de vista físico, trata-se de um equipamento capaz de converter, de modo automático e cíclico, a energia cinética de um corpo de água em uma tubulação em energia potencial gravitacional. As origens deste equipamento remontam ao término do século XVIII onde a finalidade era a de suprir água a uma cervejaria (KROL, 1951; BASFELD, MÜLLER, 1984).

O carneiro hidráulico trabalha de forma cíclica, repetitiva. Em uma descrição simples, cada ciclo pode ser separado em duas etapas: uma de aceleração do corpo de água da tubulação que ativa o equipamento e outra de recalque de parte da água que está nessa tubulação. Basicamente o que faz o equipamento funcionar é a existência de duas válvulas que trabalham com abertura e fechamento em antissincronia, ou seja, quando uma está aberta a outra está fechada e vice-versa. A válvula que permite o escoamento de água do manancial de origem novamente para o meio ambiente será aqui denominada de válvula de alimentação enquanto que aquela válvula que permite o escoamento da água desde o manancial de origem até o reservatório de recalque será chamada de válvula de recalque. Na etapa de aceleração a válvula de alimentação fica aberta e a válvula de recalque fica fechada enquanto que na etapa de recalque há uma inversão (automática) dessa configuração: a válvula de alimentação fecha-se abruptamente (dando fim à etapa de aceleração) e a válvula de recalque abre-se (iniciando a etapa de recalque) com a finalidade de reduzir a sobrepressão resultante da interrupção abrupta da vazão de alimentação do carneiro hidráulico. Essa abertura acaba por permitir que parte da água que estava em movimento na tubulação de alimentação do carneiro escoe para uma câmara de ar (ar tem resposta rápida de compressão, impedindo a ruptura das instalações devido ao golpe de Ariète), esta chamada de campânula do carneiro hidráulico. Quando a sobrepressão do golpe de Ariète equilibra-se com a pressão na campânula, a válvula de recalque fecha-se e a válvula de alimentação abre-se, reiniciando o ciclo. A água em excesso na campânula é então recalcada ao reservatório de recalque e a pressão na campânula volta a ser aquela pressão hidrostática da altura da coluna de água do reservatório de água recalcada.

Por possuir mecanismo de funcionamento bastante simples e requerer pouquíssima manutenção, o carneiro hidráulico tem-se tornado cada vez mais conhecido e utilizado. Na Figura 1

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é apresentado o esquema simplificado da instalação de um carneiro hidráulico, dando-se destaque a alguns dos parâmetros mais relevantes dessa instalação: as alturas de alimentação (h) e de recalque (H), os fluxos de ativação (f) e de recalque (j) e os diâmetros e comprimentos das tubulações de alimentação (D, L, respectivamente) e de recalque (d, l, respectivamente). Não indicados, porém também relevantes para a instalação deste equipamento, são o volume livre da campânula (V0) e a frequência de trabalho do carneiro (f).

Figura 1: Esquema de instalação de um carneiro hidráulico com destaque aos seguintes parâmetros: alturas de alimentação (h) e de recalque (H), comprimentos totais de tubulação de alimentação (L) e de recalque (l), vazões de ativação (f) e de recalque (j) e diâmetros das tubulações de alimentação (D) e de recalque (d).

Alguns estudos pormenorizados deste equipamento podem ser encontrados na literatura (KROL, 1951; BASFELD, MÜLLER, 1984; ALKOUHI, LASHKARARA, 2017; LANSFORD, DUGAN, 1941; CALVERT, 1957; MOHAMMED, 2007; ROJAS, 2002; ABATE, BOTREL, 2002; CARARO et al., 2007). Porém, nenhum desses estudos considera o funcionamento de um carneiro ideal: fluido não viscoso, incompressível, tubulação rígida e sem atrito com fluido e abertura e fechamento instantâneo de válvulas. Embora esse carneiro hidráulico ideal não exista de fato, existem pelo menos duas grandes vantagens em considerar seu funcionamento: (i) o desenvolvimento de considerações analíticas a respeito de um equipamento cujo funcionamento depende de muitas variáveis; (ii) o estabelecimento de um limite superior de rendimento para um conjunto específico de parâmetros de instalação. Além destes amadurecimentos advindos da consideração de seu funcionamento idealizado, acrescente-se a possibilidade de formalização de uma expressão, consistente com a Termodinâmica, para o cálculo do seu rendimento (CALVERT, 1957).

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Pretende-se, com este trabalho, apresentar uma abordagem quantitativa do funcionamento de um carneiro hidráulico ideal. O ciclo de trabalho aqui considerado como ideal será aquele dividido em três etapas: aceleração, armazenamento de água na campânula para posterior recalque, e recalque. Embora as etapas sejam três, deve-se notar que o recalque e a aceleração acontecem simultaneamente, na consideração a ser desenvolvida. Um gráfico da velocidade da água como função do tempo nas conexões de alimentação e recalque, de acordo com o modelo ora proposto, é apresentado na Figura 2. A partir da relação funcional entre velocidade e tempo é possível estimar as vazões de alimentação e recalque, dados desejados no dimensionamento de um carneiro hidráulico. Cabe observar que as pequenas variações de altura de água que ocorrem no processo de armazenamento de água na campânula do equipamento ou no próprio processo de escoamento de água para o ambiente não são consideradas no decorrer de todo o tratamento analítico desenvolvido, uma vez que essas variações são muito pequenas em comparação às alturas de alimentação (h) e de recalque (H).

Figura 2: Gráfico da velocidade da água (nas conexões do carneiro com os reservatórios de alimentação e recalque) como função do tempo para um modelo simplificado do funcionamento de um carneiro hidráulico. Expressões para as funções

v(t) em cada intervalo de tempo possibilitam avaliar as vazões de alimentação e recalque. Indica-se também os tempos de

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Desse modo, este trabalho apresentará a quantificação dos fluxos de água em cada uma das etapas de funcionamento do carneiro, conforme o modelo explicitado. Em seguida, apresentará uma compilação dos resultados obtidos e, finalmente, serão tecidas as considerações finais.

2 ETAPA DE ACELERAÇÃO

O modelo de aceleração ideal do corpo de água na tubulação de alimentação será construído de modo a respeitar as equações de Bernoulli (conservação de energia) e a Segunda Lei de Newton em cada instante de tempo durante o transiente entre os estados de água estacionária e água em movimento imediatamente antes do fechamento da válvula de escape do carneiro.

Considerando a saída da água pela tubulação de alimentação, pode-se afirmar que a pressão (p) e a velocidade (v) da água naquele ponto assumem valores contidos entre os seguintes limites

𝑃_𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ ⩾ 𝑝 ⩾ 𝑃_𝑎𝑡𝑚 e 0 ⩽ 𝑣 ⩽ √2𝑔ℎ

estando os limites à esquerda das desigualdades no tempo t=0 e os limites à direita no tempo t=ta, sendo ta o tempo de término da etapa de aceleração.

Será assumido que o diâmetro da tubulação de alimentação é fixo e igual a D ao longo de todo seu comprimento L e que a altura de alimentação é mantida fixa e igual a h por meio do contínuo reabastecimento de água no manancial de instalação do equipamento.

Ao considerar os pontos de entrada e saída de água da tubulação de alimentação em dois tempos distintos, sendo eles t1 e t2=t1+Dt, e exigir que a equação de Bernoulli seja obedecida a qualquer tempo durante o processo de aceleração, pode-se obter analiticamente a relação entre a velocidade e o tempo durante essa fase do ciclo.

Quando t=t1 a equação de Bernoulli fornece, considerando os pontos à entrada (lado esquerdo da igualdade) e à saída de água (lado direito da igualdade) na tubulação de alimentação:

𝑃𝑎𝑡𝑚+ 𝜌𝑔ℎ = 𝑝(𝑡1) + 1 2𝜌𝑣

2_(𝑡

1). (1)

Quando t=t2=t1+Dt, assumindo que Dt << 1 e considerando apenas termos de primeira ordem nas séries de Taylor para as funções desconhecidas p(t) e v(t) no entorno de t1, é possível escrever 𝑃_𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝(𝑡₁) +1 2𝜌𝑣 2_(𝑡 1) + [ 𝑑𝑝 𝑑𝑡 + 𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑡]_𝑡₁𝛥𝑡. (2)

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𝑑𝑝

𝑑𝑡 + 𝜌𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 0 (3)

onde a arbitrariedade de t1 e de Dt é trazida à atenção com a finalidade de generalizar o instante de aplicação das derivadas. Esta equação diferencial, se obedecida, garante que a equação de Bernoulli será satisfeita durante todo o intervalo de tempo em que a água da tubulação de alimentação estiver sendo acelerada até o atingir da máxima velocidade. A obediência à equação de Bernoulli, por sua vez, garante a conservação de energia durante este processo de aceleração.

A integração da equação (3) resulta na identidade

𝑝 +1 2𝜌𝑣

2 _{= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒}

que é a própria Equação de Bernoulli. Ou seja, há consistência lógica na linha de raciocínio desenvolvida.

Tem-se então uma equação, equação (3), e duas incógnitas, as funções v(t) e p(t). A segunda equação que será usada para modelar a aceleração será a Segunda Lei de Newton aplicada ao corpo de água em movimento. Assumindo que a diferença de pressão na saída de água da tubulação de alimentação, a saber p(t)-Patm, seja a responsável por gerar a aceleração do corpo de água na tubulação de alimentação, é possível aplicar a Segunda Lei de Newton para obter uma segunda equação diferencial 𝐹 = 𝑚_𝑎𝑎 𝜋 4𝐷 2_{[𝑝(𝑡) − 𝑃} 𝑎𝑡𝑚] = 𝜋 4𝐷 2_𝐿𝜌𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑝(𝑡) = 𝑃_𝑎𝑡𝑚 + 𝐿𝜌𝑑𝑣 𝑑𝑡 (4)

que será a segunda equação a ser resolvida. Quando as equações (3) e (4) são simultaneamente resolvidas estamos garantindo a obediência à Segunda Lei de Newton e à Equação de Bernoulli durante o processo de aceleração.

Derivando a equação (4) em relação ao tempo e substituindo o resultado na equação (3) é possível escrever: 𝐿𝜌𝑑2𝑣 𝑑𝑡2+ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 0 𝑑 𝑑𝑡[𝐿 𝑑𝑣 𝑑𝑡 + 1 2𝑣 2_{] = 0} 𝐿𝑑𝑣 𝑑𝑡 + 1 2𝑣 2 _{= 𝐴} 1 (5)

(7)

sendo A1 uma constante de integração. Nesse ponto é preciso resolver a equação diferencial (5), com as seguintes condições de contorno

𝑣(0) = 0 e 𝑣(𝑡) ⩽ √2𝑔ℎ para todo t>0. (6)

A equação diferencial a ser resolvida é conhecida como Equação de Riccati (GRADSHTEIN, 2007) e possui solução analítica que, para as condições de contorno especificadas pela equação (6) e lembrando tratar-se de situação idealizada, pode ser escrita como

𝑣(𝑡) = √2𝑔ℎ 𝑡𝑎𝑛ℎ (√𝑔ℎ 2𝐿2 𝑡)

onde a constante A1 da equação (5) foi identificada como A1=gh para que a função v(t) obedecesse as condições de contorno da equação (6) em qualquer tempo t.

Esta solução permite alcançar o limite de velocidade ao término da etapa de aceleração, conforme previsto pela equação de Bernoulli, somente em um tempo infinito. Desse modo, o tempo de aceleração deverá ser determinado por impor-se um limite na velocidade ao final do processo, limite este correspondendo a algum percentual da velocidade prevista pela equação de Bernoulli.

De posse da dependência temporal da velocidade durante a aceleração, pode-se avaliar a vazão de ativação f do carneiro hidráulico:

𝜙 = 1 𝑇 ∫ 𝜋 4𝐷 2_{𝑣(𝑡)𝑑𝑡} 𝑡𝑎 0 = 𝜋𝐷 2 4𝑇 √2𝑔ℎ ∫ tanh (√ 𝑔ℎ 2𝐿2𝑡) 𝑑𝑡 𝑡𝑎 0

sendo T o tempo total de um ciclo de trabalho do carneiro hidráulico (T=ta+tb, ver Figura 2). A integral que aparece ao lado direito da igualdade tem a seguinte solução analítica

∫ tanh x 𝑑𝑥

𝑡 0

= 𝑙𝑛[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑡)].

(8)

𝜙 =𝜋𝐷2𝐿

4𝑇 𝑙𝑛 [𝑐𝑜𝑠ℎ

2_(√𝑔ℎ

2𝐿2𝑡𝑎)]. (7)

Note-se que a vazão de ativação fica definida em termos do tempo de aceleração ta. Uma vez que a vazão de alimentação (F, a soma das vazões de ativação, f, e de recalque, j) dependerá da vazão de ativação, posteriormente o rendimento será avaliado como uma função desse tempo de aceleração.

Vale observar que quando o tempo de aceleração ta tende ao infinito o período T também tende ao infinito, de modo que a fração ta /T tende à unidade por valores inferiores a 1. Quando esse limite é considerado na equação que fornece a vazão de ativação, equação (7), obtém-se o seguinte resultado

𝜙 =𝜋𝐷2

4 √2𝑔ℎ (quando ta tende ao infinito)

que é, de fato, a máxima vazão teórica prevista ser observada na saída de água do carneiro utilizando a equação de Bernoulli.

Apenas a critério de exemplo, seja notado que tanh(1)≈0.762, o que implicará em a velocidade no processo de aceleração ter atingido 76% de seu valor final quando o argumento da tangente hiperbólica for unitário. Sendo assim, é apropriado definir como tempo característico de aceleração aquele tempo 𝑡¯ que torna o argumento dessa função hiperbólica unitário. Com isso: _𝑎

𝑡¯ = √_𝑎 2𝐿2

𝑔ℎ. (8)

Deve-se notar que 𝑡¯ não depende do diâmetro da tubulação em um caso de funcionamento _𝑎 ideal, sendo determinado apenas pelo comprimento L (proporção direta) e pela altura de alimentação

h (proporção com o inverso da raiz de h). A critério de exemplo, para uma instalação com h=1 m e L=1.41 m teríamos 𝑡¯ =0.63 s. Considerando T ≈ 𝑡_𝑎 ¯ , a frequência de trabalho prevista seria de 95 _𝑎 ciclos por minuto em um caso ideal. No caso não-ideal o tempo 𝑡¯ seria aumentado devido ao atrito _𝑎 e à viscosidade, de modo que a frequência de trabalho seria menor.

No tempo característico 𝑡¯ a vazão de ativação atinge o valor _𝑎

𝜙 =𝜋𝐷

2_𝐿

4𝑇 𝑙𝑛[𝑐𝑜𝑠ℎ

2_{(1)] ≈ 0.868}𝜋𝐷2𝐿

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ou seja, o carneiro teria o tempo de aceleração atingido quando 87% da água presente inicialmente na tubulação de alimentação tivesse escoado novamente para o seu curso anterior no ambiente. Neste instante haveria a geração do golpe de Aríete, iniciando a próxima fase.

Em resumo, nesta seção foram obtidos a velocidade da água na tubulação de alimentação do carneiro hidráulico como função do tempo [va(t)] e a vazão média para um tempo de aceleração ta [f(ta)]: 𝑣_𝑎(𝑡) = √2𝑔ℎ𝑡𝑎𝑛ℎ (√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡) 𝜙(𝑡_𝑎) =𝜋𝐷 2_𝐿 4𝑇 𝑙𝑛 [𝑐𝑜𝑠ℎ 2_(√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎)]

Caso ta = 𝑡¯ , o tempo característico de aceleração dado pela equação (8), teremos a vazão de 𝑎

ativação dada por:

𝜙 ≈ 0.868𝜋𝐷2𝐿

4𝑇 (para ta = 𝑡¯ ). 𝑎

3 ETAPA DE ARMAZENAMENTO DE ÁGUA NA CAMPÂNULA

A transição entre o término da etapa precedente e o início desta se dará, idealmente, com a mudança instantânea das condições de contorno sobre a extremidade de saída de água. Ao término da etapa precedente a extremidade de saída da água ficava exposta à pressão atmosférica e a água era posta em movimento através da diferença de pressão dada pela Equação de Bernoulli, sempre obedecida, e a atmosférica. No início desta etapa, essa mesma extremidade estará exposta à pressão no interior da campânula, que também será variável à medida que ocorre redução do volume da campânula devido à entrada de água nesta, uma vez que o corpo de água na tubulação de alimentação está em movimento.

Adotaremos o modelo de compressão isotérmica do ar da campânula, pois o processo de trabalho cíclico do carneiro ocorre à temperatura ambiente. Nesse caso, para uma pressão inicial

p0=Patm+rgH no interior da campânula e um volume inicial V0, um gás ideal obedecerá a relação

𝑝0𝑉0 = 𝑝𝑉 (9)

válida para compressão isotérmica, de modo que esta relação consistirá na segunda das equações a ser utilizada para determinar a dependência da velocidade de passagem de água pelo contorno

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considerado – o extremo da tubulação de alimentação. A primeira será obtida da equação de Bernoulli, conforme procedimento aplicado na etapa anterior.

Reiniciando a contagem de tempo para esta etapa, as considerações pertinentes a este caso iniciam-se pela reescrita da Equação de Bernoulli nos tempos t1 e t2=t1+Dt, ambos no intervalo 0<t1<t2<tb, sendo tb o tempo de duração desta etapa, a ser determinado posteriormente. Em seguida o limite de Dt tendendo a zero é considerado.

A Equação de Bernoulli em t=t1 é dada por (usando a equação (9) para escrever p(t1) em função de V(t1) e notando que o lado esquerdo da igualdade corresponde a um ponto à entrada de água na tubulação de alimentação e o lado direito corresponde a um ponto à entrada de água na campânula): 𝑃_𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝(𝑡₁) +1 2𝜌𝑣 2_(𝑡 1) = 𝑝₀( 𝑉0 𝑉(𝑡1)) + 1 2𝜌𝑣 2_(𝑡 1) = 𝑝0 (1−1 𝑉0 ∫ 𝜋𝐷2 4 𝑣(𝑥)𝑑𝑥 𝑡1 0 ) +1 2𝜌𝑣 2_(𝑡 1) (10)

onde consideramos o volume da campânula no tempo t1 dado por

𝑉(𝑡₁) = 𝑉₀− ∫ 𝜋𝐷

2

4 𝑣(𝑥)𝑑𝑥

𝑡1 0

sendo x uma variável muda de integração e v a função procurada. Para t=t2 escreve-se, igualmente:

𝑃_𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝0 (1−1 𝑉0 ∫ 𝜋𝐷2 4 𝑣(𝑥)𝑑𝑥 𝑡2 0 ) +1 2𝜌𝑣 2_(𝑡 2). (11)

Igualando as expressões (10) e (11) e expandindo a função v(t) em série de Taylor no entorno de t=t1, desprezando termos quadráticos em Dt, após algum trabalho algébrico é possível obter a seguinte equação integro-diferencial para v(t) no processo de desaceleração

𝜌𝑑𝑣 𝑑𝑡 + 𝑝0𝜋𝐷2 4𝑉0 1 (1−1 𝑉0 ∫ 𝜋𝐷2 4 𝑣(𝑥)𝑑𝑥 𝑡 0 ) 2= 0 (12)

onde a arbitrariedade de t1 foi considerada para não fixar o tempo de aplicação da derivada e da integral.

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As condições de contorno sobre esta equação serão

𝑣(0) = 𝑣_𝑎(𝑡_𝑎) e 𝑣(𝑡_𝑏) = 0

onde a primeira das condições indica que a velocidade no início dessa etapa corresponde à velocidade no término da etapa anterior e a segunda delas acaba por definir o tempo tb de duração dessa etapa.

Seja definida a variável auxiliar V(t), que corresponde ao volume de água que adentrou à campânula até o tempo t, conforme segue:

𝑉(𝑡) =𝜋 4𝐷 2_{∫ 𝑣(𝑥)𝑑𝑥} 𝑡 0 .

Pela definição de derivada é possível chegar ao resultado

𝑑𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜋 4𝐷 2_𝑣(𝑡). ₍₁₃₎ Como consequência 𝑑2_𝑉 𝑑𝑡2 = 𝜋 4𝐷 2𝑑𝑣 𝑑𝑡.

Com essa nova variável a equação integro-diferencial (12) pode ser reescrita sob a forma

𝑑2𝑉 𝑑𝑡2 + ( 𝜋𝐷2 4𝑉0) 2_𝑝 0𝑉0 𝜌 1 (1−𝑉 𝑉0) 2= 0. (14)

Esta equação terá de ser resolvida numericamente tendo as correspondentes condições iniciais:

𝑉(0) = 0 e 𝑑𝑉 𝑑𝑡(0) = 𝜋 4𝐷 2_𝑣 𝑎(𝑡𝑎) (15)

em que a primeira condição inicial significa que no início dessa etapa ainda não houve armazenamento de água na campânula, enquanto que a segunda representa o fluxo inicial de entrada de água na campânula.

Apesar de precisar ser resolvida numericamente, cabe uma aproximação analítica que considera o caso particular em que V<<V0. A justificativa desta aproximação reside no fato de que, em muitas situações, o volume recalcado por ciclo de trabalho é muito menor que o volume livre da própria campânula. Neste caso, a equação (14) é aproximada por

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 𝑑2_𝑉 𝑑𝑡2 + ( 𝜋𝐷2 4𝑉₀) 2 𝑝₀𝑉₀ 𝜌 (1 + 2 𝑉 𝑉₀) = 0 que, quando definida a constante auxiliar

𝜔2 _{= 2 (}𝜋𝐷2 4𝑉0)

2_𝑝 0

𝜌 (16)

pode ser escrita sob a forma simplificada 𝑑2_𝑉 𝑑𝑡2 + 𝜔2𝑉 = − 1 2𝜔 2_𝑉 0.

A solução da parte homogênea dessa equação é:

𝑉_𝐻(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) enquanto que uma solução particular pode ser escrita como:

𝑉_𝑃(𝑡) = −1 2𝑉0. Desse modo, a solução geral é

𝑉(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) −𝑉0 2.

Aplicando as condições iniciais anteriormente citadas, equação (15), as constantes A e B são obtidas:

𝐴 =𝑉0 2 e 𝐵 =

𝜋𝐷2

4𝜔 𝑣𝑎(𝑡𝑎).

A solução analítica aproximada para o caso V << V0 é escrita como

𝑉(𝑡) = (𝑉0

2) [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) − 1] + 𝜋𝐷2

4𝜔 𝑣𝑎(𝑡𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). (17)

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 𝑣(𝑡) = 4 𝜋𝐷2 𝑑𝑉 𝑑𝑡 obtém-se 𝑣(𝑡) ≃ −4𝑉0𝜔 2𝜋𝐷2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝑣𝑎(𝑡𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡). (18)

Nessa aproximação é possível determinar tb, o tempo de término desta etapa de armazenamento de água na campânula para posterior recalque, uma vez que a desaceleração irá cessar quando v(tb)=0. Exigindo que v(tb)=0 na equação anterior obtém-se:

𝑡_𝑏 = 1

𝜔𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 [ 2𝜋𝐷2

4𝑉0𝜔

𝑣_𝑎(𝑡_𝑎)].

Notando que o argumento da função arco tangente pode ser expresso como

2𝜋𝐷2 4𝑉₀𝜔𝑣𝑎(𝑡𝑎) = √ 4𝜌𝑔ℎ 𝑝₀ 𝑡𝑎𝑛ℎ (√ 𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎)

onde foi usada a definição de w, equação (16), é possível observar que este argumento será, geralmente, muito pequeno, pois rgh << p0. Sendo assim, pode-se usar a aproximação

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) ≃ 𝑥 para escrever, após algumas simplificações,

𝑡_𝑏 = ( 4𝑉0 𝜋𝐷2_√2𝑔ℎ) ( 2𝜌𝑔ℎ 𝑝₀ ) 𝑡𝑎𝑛ℎ (√ 𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎).

Uma vez que V(t) representa o volume de água que entra na campânula para 0≤t≤tb, então o volume a ser recalcado, Vr, a cada ciclo, para V<<V0, será (de acordo com a equação (17)):

𝑉_𝑟 = (𝑉0

2) [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡𝑏) − 1] + 𝜋𝐷2

4𝜔 𝑣𝑎(𝑡𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡𝑏).

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 𝜔𝑡𝑏 = √ 4𝜌𝑔ℎ 𝑝0 𝑡𝑎𝑛ℎ (√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎)

que é um valor, em geral, muito menor que a unidade, pois rgh << p0. Desse modo, são válidas as aproximações

𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡_𝑏) ≃ 1 e 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡_𝑏) ≃ 𝜔𝑡_𝑏 (19)

e o volume de recalque, nessa aproximação, pode ser expresso de maneira simplificada

𝑉_𝑟 ≃ 𝑉₀2𝜌𝑔ℎ 𝑝₀ 𝑡𝑎𝑛ℎ

2_(√𝑔ℎ

2𝐿2𝑡𝑎).

Por fim, uma vez que esse será o volume recalcado a cada ciclo, a vazão de recalque é estimada como 𝜑 =𝑉𝑟 𝑇 = 𝑉₀ 𝑇 2𝜌𝑔ℎ 𝑝₀ 𝑡𝑎𝑛ℎ 2_(√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎).

Em resumo, os resultados desta seção, válidos quando Vr<<V0 e p0>>rgh, são:

𝑡𝑏 ≃ ( 4𝑉₀ 𝜋𝐷2_√2𝑔ℎ) ( 2𝜌𝑔ℎ 𝑝0 ) 𝑡𝑎𝑛ℎ (√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎) 𝜑 =𝑉0 𝑇 2𝜌𝑔ℎ 𝑝₀ 𝑡𝑎𝑛ℎ 2_(√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎) 𝑣(𝑡) ≃ 𝑣_𝑎(𝑡_𝑎) −𝜋𝐷2𝑝0 4𝑉0𝜌 𝑡 (20)

onde, na equação (20) está embutida a aproximação dada pela equação (19) na solução apresentada pela equação (18). Caso ta=𝑡¯ , o tempo característico de aceleração dado pela equação (8), então 𝑎

𝑡𝑏 ≃ 0.762 4𝑉₀𝜌√2𝑔ℎ 𝜋𝐷2_𝑝 0 𝜑 = 0.5812𝑉0𝜌𝑔ℎ 𝑇𝑝0 .

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 4 ETAPA DE RECALQUE

Uma vez encerrado o armazenamento de Vr na campânula para então haver seu recalque, o tempo de recalque deverá ser inferior ao tempo de aceleração para que este possa se dar simultaneamente à aceleração do próximo ciclo de trabalho. Deve-se notar que isso é possível pois, após o término da etapa de armazenamento de água na campânula, as tubulações de alimentação e recalque ficam isoladas uma da outra.

Dito isto, o período de trabalho do carneiro será 𝑇 = 𝑡_𝑎+ 𝑡_𝑏

enquanto tc, o tempo de recalque, se dará após ta+tb só que antes do encerramento do novo ta. (Ver Figura 2.)

Caso tc>ta, ocorrerá um armazenamento de água na campânula. Esse caso ocorre no início do trabalho do carneiro, porém, após atingido o fluxo estacionário de repetições cíclicas, certamente

tc<ta. Essa observação pode servir de critério para teste do modelo adotado para descrever a dinâmica de recalque.

O processo de análise a ser adotado aqui será aquele adotado para descrever a etapa de desaceleração, com as devidas alterações de condições de contorno. Exige-se a obediência à equação de Bernoulli em um tempo arbitrário t1, posteriormente em t2 e, por fim, toma-se t2=t1+Dt com Dt tendendo a zero.

No topo do reservatório de água recalcada tem-se

𝑃_𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝐻 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑝₀

enquanto que na base da instalação de recalque, na conexão entre a campânula e o encanamento de recalque, tem-se

𝑝(𝑡) +1 2𝜌𝑣𝑟

2_(𝑡)

sendo p(t) a pressão do ar da campânula sobre o ponto de conexão e vr(t) a velocidade da água fluindo daquela conexão, ambas as grandezas dependentes do tempo.

Desse modo, em t=t1 𝑝(𝑡₁) +1 2𝜌𝑣𝑟 2_(𝑡 1) = 𝑝0 e em t=t2

(16)

𝑝(𝑡₂) +1 2𝜌𝑣𝑟

2_(𝑡

2) = 𝑝0.

Expandindo as funções p(t) e vr(t) em série de Taylor no entorno de t=t1, igualando as duas expressões anteriores, preservando apenas termos de ordem Dt nas expansões e considerando a arbitrariedade de t1, chega-se à seguinte equação diferencial:

𝑑𝑝 𝑑𝑡 + 𝜌𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑡 = 0. (21)

A pressão p(t) pode ser calculada em função do volume de água em excesso na campânula, devido à etapa anterior. Determinado p(t) usamos a equação acima para obter vr(t).

A expansão do ar da campânula no recalque será também considerada isotérmica, assim como foi na compressão. Desso modo:

𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑝0𝑉0 (22)

com p0 sendo a mesma pressão de quando iniciou-se o processo de contração do ar sob a entrada do volume de água Vr na campânula.

O volume V(t) será, nessa etapa, dado por

𝑉(𝑡) = 𝑉0 − 𝑉𝑟+ ∫ 𝜋 4𝑑 2_𝑣 𝑟(𝑥)𝑑𝑥 𝑡 0 = 𝑉₀(1 −𝑉𝑟 𝑉0 +𝜋𝑑 2 4𝑉0 ∫ 𝑣_𝑟(𝑥)𝑑𝑥 𝑡 0 )

onde d é o diâmetro da tubulação de recalque.

Usando a equação das isotermas, equação (22), é possível isolar p(V) e obter p(t)

𝑝 = (𝑉0 𝑉) 𝑝0 ⇒ 𝑝(𝑡) = 𝑝₀ 1 −𝑉𝑟 𝑉0+ 𝜋𝑑2 4𝑉0 ∫ 𝑣𝑟(𝑥)𝑑𝑥 𝑡 0

Em t=0 nota-se que p(t)>p0, pois a integral é nula. Em t=tc, o tempo de término do recalque, deveremos ter a integral de fluxo igual a Vr, de modo que p(t)=p0.

Derivando p(t) em relação a t e posteriormente levando o resultado na equação (21), obteremos uma equação para vr(t) no recalque.

(17)

Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = − 𝑝₀ [1 −𝑉𝑟 𝑉0+ 𝜋𝑑2 4𝑉0 ∫ 𝑣𝑟(𝑥)𝑑𝑥 𝑡 0 ] 2 𝜋𝑑2 4𝑉₀ 𝑣𝑟(𝑡)

de modo que a equação (21) é reescrita como

𝜌𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑡 −

𝜋𝑑2𝑝0

4𝑉0[1−𝑉𝑟_𝑉0+𝜋𝑑2_4𝑉0∫ 𝑣₀𝑡 𝑟(𝑥)𝑑𝑥]

2 = 0. (23)

Mais uma vez, com a finalidade de evitar uma equação integro-diferencial, define-se a variável auxiliar 𝑉¯(𝑡) ≡𝜋𝑑 2 4 ∫ 𝑣𝑟(𝑥)𝑑𝑥 𝑡 0

que corresponde ao volume de água que sai da campânula em direção ao reservatório de água recalcada.

Com isso, a equação integro-diferencial (23) é reescrita, nessa nova variável, como

𝑑2_𝑉¯ 𝑑𝑡2 − ( 𝜋𝑑2 4𝑉0 ) 2 𝑝₀𝑉₀ 𝜌 1 (1 −𝑉𝑟 𝑉0+ 𝑉¯ 𝑉0) 2 = 0

que deve ser resolvida numericamente em um caso arbitrário.

No entanto, mais uma vez sob a aproximação 𝑉¯<<V0, é possível obter a seguinte equação diferencial aproximada 𝑑2_𝑉¯ 𝑑𝑡2 + 𝜔𝑟2𝑉¯ ≃ 𝜔_𝑟2_𝑉 0 2 (1 + 2 𝑉_𝑟 𝑉0 )

onde foi definida a constante auxiliar

𝜔𝑟2 ≡ 2 ( 𝜋𝑑2 4𝑉0 ) 2 𝑝₀ 𝜌. A solução geral para 𝑉¯ é

𝑉¯(𝑡) = 𝐴′𝑐𝑜𝑠(𝜔_𝑟𝑡) + 𝐵′𝑠𝑒𝑛(𝜔_𝑟𝑡) +𝑉0

2 (1 + 2 𝑉𝑟

(18)

Aplicando as condições iniciais

𝑉¯(0) = 0 e 𝑑𝑉¯

𝑑𝑡 (0) = 𝜋𝑑2

4 𝑣𝑟(0) = 0

determina-se A’ e B’ e a solução 𝑉¯(t) toma a forma

𝑉¯(𝑡) =𝑉0

2 (1 + 2 𝑉_𝑟

𝑉₀) [1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑟𝑡)] Voltando para a função velocidade de recalque, vr(t), tem-se

𝑣𝑟(𝑡) = 4 𝜋𝑑2 𝑉₀ 2 (1 + 2 𝑉_𝑟 𝑉0 ) 𝜔𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑟𝑡).

O tempo tc será o tempo em que 𝑉¯(tc) se iguala ao volume de água em excesso na campânula (Vr) e, ainda, deverá ser tal que wrtc<p, caso contrário vr(t) assumirá valores negativos (o que significaria que a água está escoando do reservatório de recalque para o carneiro!). Desse modo

𝑉¯(𝑡_𝑐) = 𝑉_𝑟 ⇒ 𝑐𝑜𝑠(𝜔_𝑟𝑡_𝑐) = 1 1 + 2𝑉𝑟

𝑉0

e, lembrando que está-se tratando do caso Vr<<V0, pode-se aproximar este resultado por

𝑐𝑜𝑠(𝜔_𝑟𝑡_𝑐) ≃ 1 − 2𝑉𝑟

𝑉0. (24)

Por sua vez, notando que a função cosseno pode ser aproximada por

𝑐𝑜𝑠(𝜔_𝑟𝑡_𝑐) ≃ 1 −(𝜔𝑟𝑡𝑐)

2

no caso em que wrtc<<1, caso que deve ser este pois Vr<<V0 na equação (24), pode-se escrever que

𝑡𝑐 ≃ 2 𝜔𝑟 √𝑉𝑟 𝑉0 .

(19)

Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 𝑡𝑐 ≃ 4√2 𝜋𝑑2√ 𝜌𝑉₀𝑉_𝑟 𝑝₀

e nota-se a necessidade da idealização adicional que vr(t) caia abruptamente a zero quanto t=tc. Em resumo, nesta seção foram obtidos os resultados, válidos quando Vr<<V0

𝑣𝑟(𝑡) = (1 + 2 𝑉𝑟 𝑉0) 𝜋𝑑2𝑝0 4𝑉0𝜌 𝑡 (25) 𝑡𝑐 ≃ 4√2 𝜋𝑑2√ 𝜌𝑉₀𝑉_𝑟 𝑝₀

onde, na equação (25) está embutida a aproximação wrt<<1, utilizada para obter tc.

5 PERÍODO, VAZÕES E RENDIMENTO

O período aproximado de cada ciclo será

𝑇 = 𝑡𝑎[1 + ( 4𝑉₀ 𝜋𝐷2_√2𝑔ℎ) ( 2𝜌𝑔ℎ 𝑝₀ ) 𝑡𝑎𝑛ℎ (√ 𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎)]

e vê-se que, de fato, com ta tendendo ao infinito tem-se T tendendo a ta. Para o cálculo de fluxos será usada a aproximação

𝑇 ≃ 𝑡_𝑎. O fluxo de ativação aproximado será

𝜙 ≃𝜋𝐷2𝐿 4𝑡𝑎 𝑙𝑛 [𝑐𝑜𝑠ℎ 2_(√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎)] (26) e o fluxo de recalque 𝜑 ≃𝑉0 𝑡𝑎 2𝜌𝑔ℎ 𝑝0 𝑡𝑎𝑛ℎ 2_(√𝑔ℎ 2𝐿2 𝑡𝑎). (27)

Caso ta=𝑡¯ , o tempo característico de aceleração dado pela equação (8), então os fluxos de 𝑎

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 𝜙 ≃ 0.482𝐷2_√𝑔ℎ 𝜑 ≃ 0.820𝑉0𝜌(𝑔ℎ) 3 2 𝑝₀𝐿 = 1.34 ( 𝑉₀ 𝜋 4𝐷 2_𝐿) ( 𝜌𝑔ℎ 𝑝₀ ) 𝜙

onde a última expressão para o fluxo de recalque está escrita diretamente em termos das razões entre o volume livre da campânula e o volume total da tubulação de alimentação, entre as pressões estática manométrica de alimentação e absoluta de recalque e o fluxo de ativação.

Por fim, uma vez que a potência total utilizada para ativar o equipamento seria rFgh e que a potência útil advinda do funcionamento do equipamento seria dada por rjgH, o rendimento h com equivalente termodinâmico seria dado por

𝜂 =𝐻𝜑 ℎ𝛷

em que F=f+j corresponde à vazão de alimentação do carneiro hidráulico (soma das vazões de ativação com a de recalque). No entanto, uma vez que muito geralmente temos j<<f, essa expressão para rendimento pode ser aproximada por

𝜂 =𝐻𝜑 ℎ𝜙(1 −

𝜑 𝜙)

que, por sua vez, quando for possível desprezar o termo de correção à unidade dentro dos parênteses, reduz-se à expressão

𝜂 = 𝐻𝜑 ℎ𝜙.

Substituindo os resultados aproximados para as vazões, equações (26) e (27), nesta última expressão para o rendimento, obtém-se

𝜂 ≃ 4𝑉0 𝜋𝐷2_𝐿 2𝜌𝑔ℎ 𝑝0 𝑡𝑎𝑛ℎ2_(√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎) 𝑙𝑛 [𝑐𝑜𝑠ℎ2_(√𝑔ℎ 2𝐿2𝑡𝑎)]

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 46766-46787, jul. 2020. ISSN 2525-8761 𝜂 ≃ 1.34 (_𝜋𝑉0 4𝐷 2_𝐿) ( 𝜌𝑔ℎ 𝑝0 )

que explicita a dependência do rendimento com os parâmetros de instalação do equipamento em funcionamento idealizado.

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Consideramos analiticamente o funcionamento de um carneiro hidráulico sob condições idealizadas: nenhuma viscosidade no fluido, nenhum atrito entre fluido e tubulações, incompressibilidade do fluido e tubulação infinitamente rígida. Ainda, o ciclo de funcionamento do equipamento foi subdividido em três etapas, uma de aceleração do corpo de água que liga o manancial de alimentação até o equipamento, uma de armazenamento de água na campânula e, finalmente, uma de recalque de água desde o equipamento até o reservatório de água recalcada. As transições entre etapas foram consideradas instantâneas e a compressão de ar na campânula do equipamento foi considerada isotérmica.

Diante de todas essas idealizações cabe notar que os resultados aqui apresentados correspondem a um dimensionamento superestimado da vazão de recalque para um dado conjunto de parâmetros de instalação do equipamento. Ainda assim, o tratamento analítico dado pode servir de ponto de partida para aqueles que desejam desenvolver expressões de dimensionamento mais realistas, que considerem minimamente a Lei de Poise em relação ao escoamento viscoso que ocorre nas tubulações.

O funcionamento do equipamento poderia ser descrito de forma ainda mais simplificada, com apenas duas etapas: a de aceleração e de recalque. A idealização nesse último caso seria a de considerar uma colisão inelástica entre os corpos de água de alimentação e de recalque, quando da troca de válvulas abertas. Por tentar evitar a dissipação de energia durante essa colisão é que foi inserida a etapa de armazenamento de água na campânula antes da etapa de recalque.

Espera-se que este trabalho possa estimular reflexões a respeito da aplicabilidade dos conhecimentos básicos de Física ao estudo quantitativo de sistemas novos ou antigos. Uma abordagem teórica, mesmo que limitada, a um problema específico leva ao aprimoramento conceitual e aprofundamento de compreensão do sistema em estudo, de tal maneira que inovações tecnológicas tornam-se sequência natural dessa compreensão. No caso em específico tratado aqui, o desenvolvimento de expressões analíticas para dimensionamento de uma instalação de carneiro hidráulico pode facilitar e agilizar o vislumbre de aplicação do mesmo mecanismo de funcionamento para, por exemplo, gerar ar comprimido, gerar energia elétrica, ou outros, uma vez que, atualmente,

(22)

o dimensionamento dessas instalações se dá por meio, apenas, de dados empíricos, limitando, assim, as possibilidades múltiplas de seu uso.

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