A Matemática na Partitura Musical nos Compassos Simples/A Mathematics in the Musical Score we Simple Compassos

(1)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761

A Matemática na Partitura Musical nos Compassos Simples

A Mathematics in the Musical Score we Simple Compassos

DOI:10.34117/bjdv6n11-402

Recebimento dos originais:08/10/2020 Aceitação para publicação:18/11/2020

Marinaldo Carvalho Lobato

Especialização em educação matemática Instituição: Universidade Federal do Pará

Endereço: Trav. João de Deus, Nº 1630, Bairro Aviação, Abaetetuba, Pará E-mail: marinaldo.lobato@gmail.com

Maurício dos Santos Lobato

Mestrando em Ensino de Física Instituição: Universidade Federal do Pará

Endereço: Trav. João de Deus, Nº 1630, Bairro Aviação, Abaetetuba, Pará

E-mail: mlobato14@gmail.com Antonio Maia de Jesus Chaves Neto

Doutorado em Física

Instituição Universidade Estadual de Campinas-UNICAMP

Endereço Profissional: Rua Augusto Correia, 01, Departamento de Física – Belém, Pará E-mail: amchaves@ufpa.br

Marcel Brito Soares

Mestrado profissional em ensino de Matemática Instituição: Universidade do Estado do Pará-UEPA

Endereço: Rua Domingos de Carvalho, Nº 1311, Bairro Santa Rosa, Abaetetuba, Pará E-mail: marcelo.Soares@escola.seduc.pa.gov.br

José Maria dos Santos Lobato Junior

Mestrado profissional em Matemática Instituição: Universidade Federal do Pará

Endereço: Trav. Aristides Reis e Silva, Nº 1486, Bairro São Lourenço, Abaetetuba, Pará E-mail: junioredumat@gmail.com

Manuel de Jesus dos Santos Costa

Doutorado em Geofísica na área de métodos Instituição: Universidade Federal do Pará

Endereço: Endereço Profissional: Campus Abaetetuba. Rua da Angélica, Mutirão, Abaetetuba, Pará E-mail: manuelsc@ufpa.br

Tonival de Sarges Corrèa

Mestrado profissional em Ensino de Matemática Instituição: Universidade Estado do Pará

Endereço: Rua Djalma Dutra S/N, Bairro Telégrafo, Belém, Pará E-mail: sargestonival@gmail.com

(2)

José Francisco da Silva Costa

Doutor em Física

Universidade Federal do Pará -FADECAM

Endereço Profissional: Campus Abaetetuba. Rua da Angélica, Mutirão, Abaetetuba, Pará E-mail: jfsc@ufpa.br

RESUMO

Este artigo aborda um estudo matemático dos símbolos que representam notas musicais em medidas simples, mostrando a existência de uma relação entre música e matemática a partir de séries que podem convergir para dois (medida binária), três (medida ternária) e quatro (quaternária), respectivamente. A razão da verificação da matemática em medidas simples advém do fato de os símbolos musicais possuírem valores fixos, obedecendo a uma soma que converge para os valores citados. Para verificar a convergência dos valores das notas musicais, mostra-se como é obtida a soma da sequência dos valores numéricos dos símbolos. Assim, acredita-se que seja possível utilizar princípios musicais para verificar conceitos matemáticos. Em seguida, como existem várias fórmulas de medidas para binárias, ternárias e quaternárias, constituindo sequências numéricas, a convergência de cada grupo de fórmulas é demonstrada para a conclusão de suas respectivas convergências. O motivo que leva à convergência das sequências das simples medidas musicais verificadas, leva à veracidade de que o som, sendo um fenômeno mecânico, possui harmonia agradável e do ponto de vista matemático, as notas musicais resultam em somatórias que implicam em uma dada série convergente.

Palavras-chave: Música, Compassos simples, Séries matemáticas, Convergência. ABSTRACT

This article addresses a mathematical study of the symbols that represent musical notes in simple measures, showing the existence of a relationship between music and mathematics from series that can converge to two (binary measure), three (ternary measure), and four (quaternary), respectively. The reason for checking mathematics in simple measures comes from the fact that musical symbols have fixed values, obeying a sum that converges to the values mentioned. To verify the convergence of the values of musical notes, it is shown how the sum of the sequence of the numerical values of the symbols is obtained. Thus, it is believed that it is possible to use musical principles to verify mathematical concepts. Then, as there are several formulas of measures for binary, ternary and quaternary, constituting numerical sequences, the convergence of each group of formulas is demonstrated for a conclusion of their respective convergences. The reason that leads to the convergence of the sequences of the simple musical measures verified, leads to the veracity that the sound being a mechanical phenomenon, has pleasant harmony and from the mathematical point of view, the musical notes result in summation that implies in a given convergent series.

Keywords: Music. Simple compasses. Mathematical series. Convergence.

1 INTRODUÇÃO

A matemática, historicamente, vem se apresentando como uma ferramenta importante à solução de problemas do cotidiano. Das muitas áreas dessa ciência exata, a etino matemática procura partir da realidade chegar a uma ação pedagógica que venha facilitar o conhecimento matemático e

(3)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 fortalecer a fundamentação cultural da humanidade (SIMÕES, D. S., et al, 2020 apud (FALCÃO, C.; SIMÕES-BORGIANI, D. S., 2016)

. No entanto, torna-se difícil contextualizar a matemática em função de fatos e situações sem uma pesquisa prévia para que seja possível saber aplica-la dentro de um contexto científico (FAZENDA, 1999), (FAZENDA 1992) s (ABDOUNUR, 2002)

Foi pensando por esse viés que se verificou a matematização na música partindo da observância das noções elementares de música, cujos símbolos possuem valores associados em algum conceito matemático. A inquietação surgiu quando se questionou como usar os princípios musicais para a verificação dos conceitos matemáticos.

Dessa forma, para alcançar o objetivo deste manuscrito, utilizam-se os símbolos que representam as notas musicais cujos valores numéricos constituem sequencias convergentes nos diferentes tipos de compassos, em particular o binário, ternário e quaternário simples. A aplicabilidade da matemática na música pode ser muito útil para o processo de ensino e aprendizagem, tendo em vista que na música há muito conteúdo matemático a ser explorado

(CAVALCANTE, 2010)

A idéia de considerar valores numéricos para as notas musicais começou por Pitágoras, que viveu há uns 2500 anos também gostavam de música; inventou um instrumento chamado de monocórdio; uma espécie de violão de uma corda só, e realizou suas experiências: esticou uma corda e tocou-a sem pressioná-la com o dedo. Em seguida tocou-a pressionando com o dedo em sua metade. Percebeu que tinha a mesma altura do primeiro, só que mais agudo. Depois tocou a corda pressionando-a a dois terços e a três quartos de seu comprimento (ABDOUNUR, 2002).

Ele na verdade, tocou uma sequência de números (sequência harmônica ou pitagórica). Notou que ao tocar uma fração simples de uma corda, sempre resulta num som agradável, enquanto que frações complexas, como, por exemplo, geravam sons desagradáveis aos ouvidos. Também estudou como as frações de duas ou três cordas distintas, cada uma esticada de um jeito diferente, agradavam ou não. Assim, a matemática dos números ganha som (música)

(FONSECA, 2013)

Foi pensando na relação harmônica entre matemática e música que se propôs investigar a convergência dos símbolos musicais assim como das sequencias que compõe cada tipo de compasso, no caso os compassos simples, com proposito de provar a convergência como será verificado ao longo do texto deste artigo (SANTOS, 2010).

(4)

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 COMPASSO SIMPLES

Entende-se como Compasso a divisão de um trecho musical em séries regulares de tempo. Existem vários tipos de compassos: os simples, os compostos, e ainda os compassos mais complexos. Nesse manuscrito, serão considerados apenas compassos simples, a saber, os compassos binário, ternário e quaternário. Cada nota musical possui um valor e duração que varia de acordo com a natureza da nota existente a partitura musical. A semínima tem a duração de um tempo, a mínima valerá dois tempos, visto o seu valor ser o dobro da semínima; e a semibreve valerá quatro tempos, uma vez que precisamos de quatro semínimas para formar uma semibreve; a colcheia valerá apenas meio tempo, pois são precisas duas colcheias para a formação de uma semínima; e assim por diante (Tabela 1).

Os tempos são agrupados em porções iguais, de dois em dois, três em três ou de quatro em quatro, constituindo unidades métricas, as quais se dão o nome de compasso. Quanto os tipos de compasso, eles podem ser, Os compassos de dois tempos são chamados Binários; Os três tempos são chamados Ternários e de quatro tempos são chamados Quaternários. As pausas ocupam lugares específicos no pentagrama e assim é possível observar a diferença entre uma pausa de semibreve e uma pausa de mínima.

2.2 FÓRMULAS DE COMPASSO SIMPLES

A formula de compasso simples é indicada sempre no inicio da partitura por dois números. O numerador informa quantos tempos existem em cada compasso e o denominador indica a figura que vale um (1) tempo ou em quanta parte uma semibreve deve ser dividida para obtenção de uma unidade temporal, pois a semibreve é a medida com maior duração, por esta razão é tomada como referência para as demais durações.

Figura 01: representação das fórmulas de compasso simples: Quaternário, Ternário e Binário, respectivamente.

(5)

Tabela 01: Valores das notas musicais e suas denominações num compasso simples.

Figura Duração Semibreve ( ) 4 Mínima ( ) 2 Semínima ( ) 1 Colcheia ( ) ½ Semicolcheia ( ) ¼ Fusa ( ) 1/8 Semifusa ( ) 1/16

Fonte: Acervo dos autores

Com base nas notas musicais e nos valores associados, pode-se escrever a seguinte sequência (na ordem crescente):

Cuja sequencia é equivalente a,

ou

Considerando que as sequências tendem para o infinito. Isto é,

Realizando o somatório da última sequência, obtemos,

Equivalente a:

Que representa uma série infinita.

Se todos os termos de uma série infinita são positivos, a sequência das somas parciais é convergente. Logo, pode-se concluir o seguinte teorema:

Uma série infinita de termos positivos é convergente, se e somente se, a sua sequência de somas parciais estiver um limite superior. Prova-se a seguir que:

Possui um limite superior. E para isto, pretende-se calcular a soma da serie:

(6)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 Logo,

Sedo a soma dos n termos de uma progressão geométrica

𝑎

_𝑛 de razão 𝑞 ≠ 1, então

Logo, podemos escrever que,

Reduzindo ao mesmo denominador, temos que,

Passando o limite , resulta que,

Fazendo n tendo ao infinito, temos que,

Portanto a soma de 𝐴𝑛 é igual ao valor 2.

2.3 FÓRMULAS DE COMPASSO SIMPLES

Visto que os símbolos que representam as notas musicais constituem a sequencia,

Que representa uma sequência infinita. A partir desta sequencia, pode-se determinar as fórmulas de compassos musicais mais frequentes, multiplicando o lado direito de (1) por 2, 3 e 4, respectivamente. Então

(7)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 2. (1/16, 1/8, 1/4, 1/2) = 2/16, 2/8, 2/4, 2/2)

Para os compassos binários,

3. ( 1/16, 1/8, 1/4, 1/2) = 3/16, 3/8, 3/4, 3/2) Para os compassos ternários

e

4. (1/16, 1/8, 1/4, 1/2) = 4/16, 4/8, 4/4, 4/2) Para os compassos quaternários. Inserindo na tabela, tem-se que

Tabela 02: Fórmulas de compassos musicais simples.

Binários Ternários Quaternário

2/2 3/2 4/2

2/4 ¾ 4/4

2/8 3/8 4/8

2/16 3/16 4/16

Fonte: Acervo dos autores

Percebe-se que as fórmulas de compassos representam, também, sequência numéricas de termos positivos que podem tenderem ao infinito. Logo, pode-se escrever:

2/2,2/4, 2/8, 2/16, . . . , 2/2𝑛 que representa uma sequencia para um compasso binário, 3/2,3/4, 3/8, 3/16, . . . , 3/2𝑛_{que representa uma sequencia para um compasso Ternário}

e

4/2,4/4, 4/8, 4/16, . . . , 4/2𝑛_{que representa uma sequência para um compasso quaternário.}

Pode-se representar cada sequência por meio de um somatório. Isto é

e

As sequências podem convergir para 2, 3 e 4, respectivamente. Pode-se demonstrar a convergência de cada uma delas.

2.4 SEQUÊNCIAS DAS FÓRMULAS DE UM COMPASSO BINÁRIO SIMPLES

(8)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 uma série de somas parciais, quer-se demonstrar que a mesma converge para 2. Ou seja, que possui um limite 2.

Como 1

2𝑛 é uma progressão geométrica de razão

½

, então,

Como a soma dos

𝑎

_𝑛 termos de uma progressão geométrica obedece a sequência com 𝑞 ≠ 1, tem-se que, Logo, O que se reduz a 𝐴_𝑛 = 2. {1 2. 1−(1 2) 𝑛 1/2 } (17) Ou 𝐴_𝑛 = 2. [1 − (1 2) 𝑛 ] (18)

Como n tende ao infinito, o termo

(

1

2

)

𝑛

tende a zero,

Logo, obtém-se que;;

𝐴

_𝑛

= 2

O que se demonstra que a serie dada é convergente. Desta forma, conclui-se que a fórmula de compasso binário tem convergência 2.

2.5 SEQUÊNCIAS DAS FÓRMULAS DE UM COMPASSO TERNÁRIO SIMPLES Seja, de acordo com a relação em (9). Isto é,

3 2+ 3 4, + 3 8, + 3 16+ . . . + 3 2𝑛 = 3. ∑ 1 2𝑛 ,

uma série de somas parciais, quer-se demonstrar que a mesma converge para 3. Ou seja, que possui um limite 3.

(9)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 Como 1

2𝑛 é uma progressão geométrica de razão

½

, então,

3. ∑ 1 2𝑛 = 3. ( 1 2+ 1 4, + 1 8, + 1 16+ . . . + 1 2𝑛) . (19)

Como a soma dos termos de uma progressão geométrica obedece a sequência com 𝑞 ≠ 1, tem-se que da relação, 𝑆_𝑛 = 𝑎₁.1−𝑞𝑛 1−𝑞 . (20) Logo, 𝐴_𝑛 = 3. ∑ 1 2𝑘 𝑛 𝑘=1 = 3. (1 2+ 1 4, + 1 8, + 1 16+ . . . + 1 2𝑛) 𝐴_𝑛 = 3. ∑ 1 2𝑘 𝑛 𝑘=1 = 3. {1 2. 1 − (1 2) 𝑛 1 −1 2 } O que se reduz a 𝐴_𝑛 == 3. {1 2. 1−(1₂)𝑛 1/2 } (21) Ou 𝐴𝑛 == 3. [1 − ( 1 2) 𝑛 ] (22)

Como n tende ao infinito, o termo

(

1

2

)

𝑛

tende a zero. Logo, obtém-se que

𝐴_𝑛 = 3.

O que se demonstra que a serie dada é convergente. Desta forma, conclui-se que a fórmula de compasso ternário tem convergência 3.

2.6 SEQUENCIAS DAS FÓRMULAS DE UM COMPASSO QUATERNÁRIO SIMPLES Seja da relação (11), isto é,

4 2+ 4 4, + 4 8, + 4 16+ . . . + 4 2𝑛 = 4. ∑ 1 2𝑛 ,

Uma série de somas parciais, quer-se demonstrar que a mesma converge para 4. Ou seja, que possui um limite 4.

Como 1

2𝑛 é uma progressão geométrica de razão ½, então,

4. ∑ 1 2𝑛 = 4. ( 1 2+ 1 4, + 1 8, + 1 16+ . . . + 1 2𝑛)

(10)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 Como a soma dos 𝑎𝑛 termos de uma progressão geométrica obedece a sequência com 𝑞 ≠ 1,

tem-se que da relação (22), isto é,

𝑆_𝑛 = 𝑎₁.1 − 𝑞 𝑛 1 − 𝑞 . Logo, 𝐴_𝑛 = 4. ∑ 1 2𝑘 𝑛 𝑘=1 = 4. ( 1 2+ 1 4, + 1 8, + 1 16+ . . . + 1 2𝑛) (23) Ou 𝐴_𝑛 = 4. ∑ 1 2𝑘 𝑛 𝑘=1 = 4. { 1 2. 1−(1 2) 𝑛 1−1 2 } (24) O que se reduz a 𝐴_𝑛 = 4. {1 2. 1−(1₂)𝑛 1/2 } (25) Ou 𝐴_𝑛 = 4. [1 − (1 2) 𝑛 ] (26)

Como n tende ao infinito, o termo (1

2) 𝑛

tende a zero, Logo, obtém-se que

𝐴_𝑛 = 4.

O que se demonstra que a serie dada é convergente. Desta forma, conclui-se que as fórmulas de compasso quaternário têm convergência 4.

3 APLICAÇÕES DE PARTITURA MUSICAL E A MATEMÁTICA

A convergência de uma determinada partitura musical pode ser verificada a partir de uma equação do 1º grau do tipo a seguir.

𝑛𝐶 = 𝑛( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( )

Onde:

𝑛𝐶 Corresponde ao número de compassos numa partitura musical;

𝑛( ), 𝑛 ( ) , 𝑛 ( ) , 𝑛 ( ) , 𝑛 ( ) , 𝑛 ( ) , 𝑛 ( ) Correspondem aos números de

símbolos existentes na partitura musical.

As atividades a seguir mostram a importância da utilização da matemática na partitura musical. Foram selecionadas três partituras de músicas: Garota de Ipanema, Silent Night e Tara’s Theme, para verificar a que compasso pertence cada uma delas.

(11)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 3.1 MÚSICA GAROTA DE IPANEMA

A figura 2 apresenta a partitura musical da música Garota de Ipanema.

Figura 02: Partitura musical da Garota de Ipanema.

As notas musicais desta partitura podem ser escrita obedecendo as seguintes conversões:

= + ; = + + ; = ; = e =

Sendo que a partitura apresenta um total de nC = 38, onde:

𝑛 ( ) = 10; 𝑛 ( ) = 40; 𝑛 ( ) = 11 e 𝑛 ( ) = 68.

Em que o somatório da música apresenta a seguinte equação:

𝑛𝐶 = 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ),

Considerando os valores dos símbolos presentes na Tabela (Tabela 1) e substituindo na equação a cima, obtém-se:

𝑛𝐶 = 𝑛 ( ) . 2 + 𝑛 ( ) . 1 + 𝑛 ( ) .1

2+ 𝑛 ( ) . 1 4

Logo, substituindo os números de cada símbolo presente na partitura, tem-se que:

𝑛𝐶 = 11. 2 + 10.1 + 68.1 2+ 40.

1 4= 76

(12)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 Sendo o número de compassos de 38, vem que

38𝐶 = 76

Ou

𝐶 = 2.

Concluindo que a música Garota de Ipanema representa um compasso binário.

3.2 MÚSICA SILENT NIGHT

A figura 3 apresenta a partitura musical da música Silent Night.

Figura 03: Partitura musical de Silent Night.

= + ; = + e =

Sendo que a partitura apresenta nC = 24 compassos, onde:

(13)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 Em que o somatório da música apresenta a seguinte equação:

𝑛𝐶 = 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ).

𝑛𝐶 = 𝑛 ( ) . 2 + 𝑛 ( ) . 1 + 𝑛 ( ) .1 2+

Logo, substituindo os números de notas, vem que:

𝑛𝐶 = 15.2 + 33.1 + 18.1 2= 72 Como o número de compasso é de 24.C, vem que

24. 𝐶 = 72 Ou

𝐶 = 3

Concluindo que a música Silent Night representa um compasso ternário.

3.3 MÚSICA TARA’S THEME

(14)

Figura 04: Partitura musical de Tara’s Theme.

= + e =

A partitura apresenta nC = 32 compassos, onde:

𝑛 ( ) = 50; ( ) = 11 e 𝑛 ( ) = 32 e 𝑛( ) = 10

Em que o somatório da música apresenta a seguinte equação:

𝑛𝐶 = 𝑛( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( ) + 𝑛 ( )

𝑛𝐶 = 𝑛( ). 4 + 𝑛 ( ) . 2 + 𝑛 ( ) . 1 + 𝑛 ( ) .1 2 Assim, temos que,

32. 𝐶 = 10. 4 + 11.2 + 50.1 + 32.1

2= 128 Logo, tem-se que,

(15)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 11, p.89715-89730 nov. 2020. ISSN 2525-8761 𝐶 = 4

Concluindo que a música Tara’s Theme representa um compasso quaternário.

4 CONCLUSÃO

De acordo com o que foi exposto ao longo desse texto, observou-se a tamanha relação entre a música e a matemática. Considerando as palavras ditas por Galileu Galilei que considerou que a matemática é o alfabeto com a qual Deus criou o universo. Levando em conta o presente manuscrito, pode-se acreditar que a música é de certa forma, a Harmonia por onde através dela a matemática se faz presente de acordo como está descrito ao longo do texto do presente manuscrito. Essa relação intrínseca entre música e matemática como entes essenciais, conforta, alegra e fortalece o homem através da melodia.

Dessa maneira os compassos simples binários, ternários e quaternários comprovam que há uma sequência convergente que conduz qualquer melodia dentro desses compassos a uma soma de valores 2, 3 ou 4. Essa relação é intrigante, pois não importunando qual seria a melodia. Um samba, um bolero e um rock, tudo converge para um compasso simples e aos mesmos valores 2, 3 e 4. A série de Cauchy conduz e mostra essa relação entre a soma finita para todas as partituras descritas através da simplicidade dos compassos binário, ternário e quaternário. Assim sendo, esse manuscrito traz como resultado que a música tem a matemática como um maestro que a converge para um valor finito à medida que suas canções se propagam de forma harmoniosa pelo ouvido humano.

(16)

REFERÊNCIAS

ABDOUNUR, O. J. Matemática e Música: O pensamento analógico na construção de significados. 4. ed. São Paulo: Escrituras, 2002. (Coleção Ensaios transversais).

CAVALCANTE, V. de S; LINS, A. F. Ensino e aprendizagem da matemática através da música no ensino médio. X Encontro Nacional de Educação Matemática. Salvador-BA 2010.

FALCÃO, C.; SIMÕES-BORGIANI, D. Inclusive Fashion Design: Interdisciplinary Practice in the Fashion Design Degree Program at SENAC-PE College. In: Di Bucchianico G.; Kercher P. (eds). (Org.). Advances in Intelligent Systems and Computing. 01ed.: Springer International Publishing, 2016, v. 500, p. 227-234.

FAZENDA, I. Interdisciplinaridade: história, teoria e pesquisa. 4ª ed. Campinas: Papirus, 1999.

FAZENDA. I. Integração e Interdisciplinaridade no Ensino Brasileiro: Efetividade ou ideologia? São Paulo: Loyola, 1992.

FONSECA, D. F. Aspectos Estruturais e Históricos que Relacionam a Música e a Matemática. Dissertação (mestrado) Universidade Federal de Lavras. Lavras-MG 2013.

SANTOS, P. A. e BORGES, M. R. Música, arte ou ciência? II Simpósio Sergipano de Pesquisa e Ensino em Música – SISPEM. Núcleo de Música (NMU) – Universidade Federal de Sergipe (UFS), 2010.

SIMÕES, D., S.-B., SANTOS, A. S., FRADE, H. G., ROCHA, J. M. T. S., Mônica Cristina TANAKA, M. C., CAVALCANTI, R. V. B., Saberes interdisciplinares aplicados em coleção de moda inclusiva para portadores de monoplegia, Brazilian Journal of Development, ano 2020.