Instabilidades térmicas de fluidos não newtonianos

Instabilidades térmicas de fluidos não

newtonianos

Tese de Mestrado

desenvolvida no âmbito da disciplina de

Dissertação em Ambiente Académico

Fabrice Antony Vinhas Moreira

FEUP

Departamento de Engenharia Química

Orientador na FEUP: Fernando Manuel Coutinho Tavares de Pinho Co-Orientador na FEUP: Manuel António Moreira Alves

Agradecimentos

Quero deixar aqui o meu especial agradecimento aos meus orientadores, o Professor Fernando Manuel Coutinho Tavares de Pinho e Professor Manuel António Moreira Alves pela orientação e acompanhamento ao longo deste trabalho, e ainda pela disponibilidade no esclarecimento de dúvidas e resolução de problemas. Quero agradecer também ao meu colega Alexandre Miguel Prior Afonso por me ter ajudado na integração e na melhor compreensão deste mundo da reologia computacional. Finalmente quero agradecer à Fundação para a Ciência e Tecnologia pelo financiamento ao projecto “PTDC/MEM-MFE/70186/2006 – UNSTABLE”.

Resumo

A instabilidade de Rayleigh-Bénard é um tema bastante frequente em estudos teóricos, experimentais e numéricos. Estes fenómenos são caracterizados pela ocorrência de células de convecção no escoamento de um fluido em espaços confinados, quando sujeitos a um gradiente de temperaturas suficientemente elevado. Nesta tese foi realizado um estudo de “benchmark”, em cavidades bidimensionais de diversas razões de forma, de modo a obter com elevada precisão o número de Rayleigh crítico, tanto para um caso de um fluido newtoniano como para um fluido não-newtoniano representado pelo modelo constitutivo reológico de Phan-Thien-Tanner. Foram obtidos resultados para cavidades com razões de forma AR = 1, 2, 5, 8, 16 e 20. Para cada cavidade foram também efectuadas simulações para malhas com diferentes níveis de refinamento. Por fim, apresentam-se resultados dos valores do número de Rayleigh crítico obtidos através da técnica da extrapolação para o limite de Richardson.

Palavras Chave (Tema): Reologia computacional, convecção Rayleigh-Bénard, método dos volumes finitos, fluido Phan-Thien-Tanner.

Abstract

There are many studies of the Rayleigh-Bénard convection instability due to its wide technical application in science and engineering. When a fluid contained in a enclosure is heated from below, above a certain critical value of the temperature gradient imposed the formation of convection cells occurs. This flow instability depends on the Rayleigh number and on the aspect ratio of the enclusure, for a two dimensional cavity filled with a Newtonian fluid. In this work several aspect ratio enclosures were investigated, with the goal of obtaining benchmark values of the critical Rayleigh number. Both Newtonian and non-Newtonian fluids were simulated, with the non-newtonian fluid being described by a Phan-Thien-Tanner rheological constitutive equation. Results were obtained for aspect ratios AR =1, 2, 5, 8, 16 and 20, and for each aspect ratio mesh refinement studies were done. Finnaly, results for the critical values of the Rayleigh number obtained by the Richardson extrapolation are presented.

Keywords: Computational Rheology, Rayleigh-Bénard convection,

Índice de Figuras

Figura 1 – (a) Esquema de uma cavidade e sistema de coordenadas; (b) Campo de temperaturas de uma cavidade aquecida na parede inferior e arrefecida na parede superior em condições subcríticas,

quando a transferência de calor é promovida apenas por condução. ...2




Figura 2 – Células de Convecção de Rayleigh Bénard. ...3




Figura 3 – Representação gráfica de um excerto das histórias das oscilações da temperatura obtidas para o refinamento no tempo; (a) para três tempos de integração em que C>B>A; (b) para três tempos de integração em que A>D>E. (ver tabela 1) ... 11




Figura 4 – Representação gráfica de um excerto das histórias das oscilações da temperatura obtidos para o caso A, e para uma malha duplamente refinada A*... 12




Figura 5 – Representação dos valores de temperatura ao longo de uma oscilação de temperatura obtidos por três técnicas diferentes. A – valores no centro da célula mais próxima do ponto 1; A’ – instantes de A para o qual são retirados os restantes pontos; Int – valores obtidos nas coordenadas do ponto 1 por interpolação linear; Tec – valores obtidos nas coordenadas do ponto 1 por interpolação de Kriging... 13




Figura 6 – Comparação dos resultados obtidos com os resultados de “benchmark” de Guo e Bathe (2002), (a) perfil de temperaturas; (b) perfil de velocidades. ... 14




Figura 7 – (a) Malha de AR = 2, 51 x 25; Ampliação da zona assinalada em (a); (a) malha 51 x 25; (b) malha 101 x 51; (c) malha 201 x 101. ... 16




Figura 8 – (a) Malha de AR = 5; Ampliação da zona assinalada em (a); (b) malha 63 x 13; (c) malha 95 x 19; (d) malha 125 x 25; (e) malha 189 x 39; (f) malha 251 x 51. ... 17




Figura 9 – Esquema da técnica de extrapolação para o limite de Richardson. ... 20




Figura 10 – Ajuste linear para obtenção do

R

c, para AR = 1. ... 21




Figura 11 – Valores de

R

_c para cada nível de refinamento em função de

Δy H

(AR = 1). ... 22




Figura 12 – Mapas de temperatura (isotérmicas) e linhas de corrente para uma malha 201 x 201 e de AR = 1. ... 23




Figura 13 – Ajuste linear para obtenção do

R

_c, para AR = 2. ... 23




Figura 14 - Valores de

R

c para cada refinamento em função de

Δy H

(AR = 2). ... 24




Figura 15 – Representação gráfica da evolução do parâmetro

δ

ao longo de uma simulação (a) para AR = 1; (b) para AR = 2. ... 25




Figura 16 – Mapas de temperatura (isotérmicas) e linhas de corrente para uma malha 201 x 101 e de AR = 2. ... 26




Figura 17 – Ajuste linear para obtenção do

R

c, para o caso de AR = 5. ... 26




Figura 18 - Valores de

R

c para diferentes níveis de refinamento da malha... 27




Figura 19 – Erro absoluto entre

R

c ext _e

R

c obtido em cada refinamento em função de

Δy H

. ... 29




Figura 20 – Mapas de temperatura e linhas de corrente para uma malha 251 x 51 e de AR = 5. ... 29




Figura 21 - Ajuste linear para obtenção do

R

_c, para o caso de AR = 8. ... 30




Figura 22 - Valores de

R

c para cada refinamento em função de

Δy H

. ... 31




Figura 23 – Erro absoluto entre

R

c ext _e

R

c obtido em cada nível de refinamento para AR = 8. ... 32




Figura 24 – Mapas de temperatura (isotérmicas) e linhas de corrente para uma malha 401 x 51 e de AR = 8. ... 33




Figura 25 – Comparação dos resultados para o valor crítico do número de Rayleigh obtidos por Park e Ryu (2001a) com os resultados obtidos neste trabalho. ... 33




Figura 26 - Ajuste linear para obtenção do

R

c, para o caso de AR = 1. ... 34




Figura 27 - Ajuste linear para obtenção do

R

c, para o caso de AR = 5. ... 35




Figura 28 - Valores de

R

_c para cada refinamento em função de

Δy H

. ... 36




Figura 29 – Erro relativo entre

R

_cext _e

R

_c obtido em cada refinamento em função de

Δy H

. ... 37




Figura 30 – Representação gráfica de

δ

em função de

R

para gamas de

R

supercríticas... 38




Figura 31 – mapas de temperatura (isotérmicas) e células de convecção para uma cavidade de AR = 5, para valores de

R

supercríticos; (a)

R

= 323

; (b) R= 357; (c)

R

= 1700

; (d) R= 2250; (e)

R

= 3400

; (f) R= 4250; (g) R= 8500; (h) R= 12750. ... 39




Figura 32 – Mapas de temperatura (isotérmicas) e células de convecção para uma cavidade de, (a) AR = 16; (b) AR = 20. ... 40




Índice de Tabelas

Tabela 1 – Valores do refinamento no tempo das simulações da figura 3. ... 12




Tabela 2 – Malhas usadas para cada razão de forma (AR) e características dos refinamentos. ... 15




Tabela 3 – Resultados de

R

c para AR = 1, e comparação com os valores obtidos por Gelfgat (1999), Luijkx e Platten (1981) e Park e Ryu (2001a). ... 21




Tabela 4 - Resultados de

R

_c para AR = 2, e comparação com os valores obtidos por Gelfgat (1999), Luijkx e Platten (1981) e Park e Ryu (2001a). ... 24




Tabela 5 - Resultados de

R

_c para AR = 5, e comparação com valores da literatura. ... 27




Tabela 6 – Resultados da extrapolação para o limite de Richardson para AR = 5. ... 28




Tabela 7 – Resultados de

R

c para AR = 8, e respectivo valor obtido por Park e Ryu (2001a). ... 30




Tabela 8 – Resultados da extrapolação para o limite de Richardson para AR = 8. ... 31




Tabela 9 – Resultados de

R

c para AR = 5. ... 35




i

Índice

Índice de Figuras... vi




Índice de Tabelas ... viii




Índice... i




Notação e Glossário ... iii




1




Introdução e Estado da Arte ...1




1.1




Enquadramento e Apresentação do Projecto ...1




1.2




Organização da Tese ...5




2




Teoria e Método Numérico ...7




2.1




Equações Principais ...7




2.1.1




Método Numérico...8




3




Validação do Método... 11




3.1




Escoamentos com convecção natural... 11




4




Apresentação e Discussão dos Resultados... 15




4.1




Malhas... 15




4.2




Fluido newtoniano... 17




4.2.1




Razão de Forma, AR = 1 ... 20




4.2.2




Razão de forma, AR = 2 ... 23




4.2.3




Razão de forma, AR = 5 ... 26




4.2.4




Razão de forma, AR = 8 ... 29




4.3




Fluido não-newtoniano ... 34




4.3.1




Razão de Forma, AR = 1 ... 34




4.3.2




Razão de forma, AR = 5 ... 35




4.4




Outros Estudos ... 38




4.4.1




Rayleigh supercrítico em razão de forma, AR = 5 ... 38




4.4.2




Células de convecção em razões de forma superiores ... 40




5




Conclusões ... 41




ii

6.1




Objectivos Realizados ... 43




6.2




Outros Trabalhos Realizados ... 43




6.3




Limitações e Trabalho Futuro... 44




Referências ... 45




Anexo 1




Discretização das Equações Principais ... 49




1.1.1




Equação da conservação de massa ... 50




1.1.2




Equação da quantidade de movimento ... 51




1.1.3




Equação da conservação da energia térmica ... 54




iii

Notação e Glossário

AR

razão de forma -

calor específico J/(kg.K)

meia altura da geometria m

F

caudal mássico m3/s

aceleração gravítica m/s2

componente do vector aceleração da gravidade na direcção i m/s2

H

altura da cavidade m

condutividade térmica W/(m.K)

P

_r número adimensional de Prandtl -

número adimensional de Rayleigh -

número adimensional de Rayleigh crítico -

R

c

ext número adimensional de Rayleigh obtido por extrapolação -

taxa de deformação do tensor nas coordenadas ij s-1

tempo s

temperatura K

T

a temperatura da parede superior K

T

f temperatura da parede inferior K

T

* temperatura no ponto (x,y) da cavidade K

T

_i temperatura na célula i K

T

_icond temperatura esperada em condições de condução pura na célula i K

T

média temperatura média das paredes da cavidade K

componente do vector velocidade na direcção i m/s

V

i volume da célula i m

3

W

comprimento da cavidade m

coordenada cartesiana segundo a direcção i m

Letras gregas

parâmetro da equação da energia -

coeficiente de expansão térmica K-1

δ

parâmetro adimensional usado na quantificação da instabilidade de

Rayleigh-Bénard -

parâmetro do modelo PTT -

ε

h

d erro de discretização *

viscosidade polimérica Pa.s

viscosidade newtoniana (do solvente) Pa.s

tempo de relaxação s

viscosidade Pa.s

parâmetro do modelo PTT -

massa volúmica kg/m3

Componente ij da tensão extra Pa

τ

h erro de truncatura *

φ

representação simbólica da solução de uma equação discretizada *

Φ

representação simbólica da solução exacta de uma equação diferencial *

iv

Índices

índices das coordenadas cartesianas

Lista de Siglas

CEFT Centro de Estudos de Fenómenos de Transporte

CFD Dinâmica de Fluidos Computacional (Computational Fluid Dynamics) CUBISTA Convergent and Universally Bounded Interpolation Scheme for

Treatment of Advection PTT modelo de Phan-Thien-Tanner

FEUP Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

UDS Esquema de diferenças de montante de 1ª ordem (Upwind Differencing Scheme)

Introdução e Estado da Arte 1

1 Introdução e Estado da Arte

1.1 Enquadramento e Apresentação do Projecto

São frequentes os sistemas de engenharia onde um fluido está contido num espaço confinado através do qual existe transmissão de calor. Algumas aplicações relevantes são, por exemplo, aquecimento e arrefecimento de edifícios, processos de drenagem de energia, colectores de energia solar, ou mesmo em técnicas de controlo de qualidade na indústria alimentar, nas indústrias farmacêuticas e de cosméticos, e também na indústria de polímeros. Nestas condições pode ocorrer o aparecimento de instabilidades que originam padrões de escoamento bem definidos e uma consequente variação dos coeficientes de transferência de calor. Os escoamentos que resultam desta instabilidade, conhecida como convecção de Rayleigh-Bénard, são também importantes do ponto de vista teórico e científico, daí que tenham sido alvo de vários estudos teóricos, experimentais e numéricos. Neste trabalho realizou-se um estudo numérico de precisão e referência (benchmark) à convecção de Rayleigh-Bénard numa cavidade horizontal 2D com várias razões de forma,

AR

= W H

(ver figura 1(a) onde estão representadas a geometria e o sistema de coordenadas a usar neste trabalho), tanto para fluidos newtonianos, como para fluidos não newtonianos representados pelo modelo constitutivo reológico de Phan-Thien-Tanner (PTT) para fluidos viscoelásticos, considerando viscosidade do solvente nula. O estudo de instabilidades com estes fluidos com comportamentos não-lineares constitui aliás o objectivo último da linha de investigação em que se insere esta tese.

Considere-se uma cavidade horizontal aquecida na parede inferior, e arrefecida na parede superior. Este gradiente de temperaturas imposto vai causar a expansão térmica do fluido mais próximo da parede inferior, tornado este menos denso que o fluido no topo da cavidade. Enquanto o gradiente de temperatura for pequeno, as forças viscosas inibem qualquer movimento do fluido (Chandrasekhar, 1961) e a transferência de calor dá-se apenas por condução. Contudo, este arranjo é potencialmente instável e o potencial gravítico tenta forçar a redistribuição do fluido, que vai ocorrer a partir de uma condição crítica. Em condições subcríticas, teremos a situação da figura 1(b) onde se representa o campo de temperaturas numa situação em que não há movimento de fluido e a transferência de calor ocorre exclusivamente por condução.

Introdução e Estado da Arte 2

(a) (b)

Figura 1 – (a) Esquema de uma cavidade e sistema de coordenadas; (b) Campo de temperaturas de uma cavidade aquecida na parede inferior e arrefecida na parede superior em condições subcríticas, quando a transferência de calor é promovida apenas por condução.

Os primeiros estudos experimentais sobre as instabilidades térmicas de fluidos newtonianos foram realizados por Bénard em 1900. Bénard basicamente concluiu que para que ocorra a instabilidade de um fluido, primeiro é necessário atingir um certo gradiente de temperaturas crítico. Bénard também observou que o movimento do fluido criado pela ocorrência da instabilidade originava o aparecimento de um padrão periódico de células de convecção onde o fluido se deslocava de forma bem definida (Drazin, 2002). Posteriormente, Rayleigh mostrou que numa camada de fluido aquecida por baixo o parâmetro quantitativo que permite verificar a ocorrência de instabilidade é dado por:

R

=

g

βΔTd

3

_ρ

2

C

p

µk

(1)

em que representa a aceleração gravítica, o coeficiente de expansão térmica, a diferença de temperaturas imposta (

ΔT = T

f

− T

a), o comprimento característico da geometria, que no caso vertente é a altura H, a massa volúmica,

C

p o calor especifico, a viscosidade, e a condutividade térmica; é então uma quantidade física adimensional, denominado número de Rayleigh. De notar que neste trabalho, usou-se como dimensão característica da geometria a sua meia altura. O valor para o qual ocorre instabilidade e consequentemente movimento de fluido é chamado de número de Rayleigh crítico, . Na Figura 2 pode ser observado um esquema de uma cavidade no interior da qual o movimento de fluido induzido por acção de um gradiente de temperatura, formou cinco células de

Introdução e Estado da Arte 3 convecção de Rayleigh-Bénard. Note-se que ao longo deste trabalho sempre que se representarem mapas de temperatura, a temperatura apresentada é

T

= T

*

_{− T}

média _{em que}

T

* _{é a temperatura nesse ponto, e}

T

média _{a temperatura média das duas paredes.}

Figura 2 – Células de Convecção de Rayleigh Bénard.

À medida que se vai aumentando o número de Rayleigh, logo após a formação das primeiras células de convecção de Rayleigh-Bénard, o escoamento vai adoptando diferentes configurações no seu movimento, acabando por gerar um escoamento cada vez mais complexo e dependente do tempo, resultando posteriormente em turbulência. Ao longo destas transições podem ocorrer bifurcações no comportamento do fluido, e o caminho que o seu escoamento adopta desde a estabilidade até à turbulência pode variar.

Gollub e Benson (1980) mostraram no seu trabalho diferentes trajectórias de instabilidade que um fluido pode adoptar até à turbulência na convecção de Rayleigh-Bénard. Mukutmoni e Yang (1993a, 1993b, 1995) também estudaram este fenómeno das bifurcações, verificando diferentes transições no escoamento à medica que variavam o número de Rayleigh. Para cavidades de razão de forma superiores a 5, verifica-se que aumentando

R

para valores pouco superiores ao valor crítico o escoamento torna-se imediatamente turbulento, como foi demonstrado experimentalmente por Behringer (1985). O número de células de convecção numa cavidade depende da razão de forma e de

R

, e é inversamente proporcional ao número adimensional de comprimento de onda. O número de comprimento de onda é proporcional à razão entre o diâmetro da célula de convecção e a altura da cavidade (H), ou seja, é um parâmetro quantitativo da característico da célula de convecção. O estudo numérico de Schlutter et al. (1965) prevê para uma determinada razão de forma, a diminuição do número de comprimento de onda (aumento do número de células de convecção), com o aumento de

R

em condições supercríticas, contudo, resultados experimentais contraditórios a estes resultados numéricos foram obtidos por Koschmieder (1969). Motivado por estas diferenças, e tendo em conta os resultados de Mukutmoni e Yang (1992), Hernandez (1995) realizou um estudo em regime transiente que verificasse a influência do aumento do gradiente de temperaturas imposto na evolução do escoamento. Gelfgat (1999) apresenta no seu trabalho um estudo paramétrico de “benchmark” 2D e 3D ao

Introdução e Estado da Arte 4 problema da convecção de Rayleigh-Bénard em que são representadas curvas que mostram a variação do número de Rayleigh crítico em função da razão de forma da cavidade. Dentro dos estudos numéricos também se pode citar o trabalho de Getling (2003) que numa geometria 3D estudou a evolução dos movimentos de fluido nas células de convecção num plano horizontal, verificando que ao longo do tempo as células de convecção iam adoptando várias formas procurando evoluir para o estado de equilíbrio. Lir e Lin (2001) também procuraram observar experimentalmente num plano horizontal, a formação das células de convecção e os padrões geométricos por elas formados numa cavidade. Devido à vasta gama de aplicações técnicas são vários os estudos de transferência de calor em cavidades. Por exemplo, Bairi (2008) apresenta resultados experimentais e numéricos para diferentes configurações de uma cavidade com o objectivo de apresentar correlações que permitam o projecto de situações reais da indústria. Embora na sua maioria estes trabalhos explorem cavidades cuja face de maiores dimensões está orientada horizontalmente, existem outros que exploram cavidades “verticais” como por exemplo o estudo de D’Orazio et al. (2004). Podem ainda ser enumerados outros exemplos de estudos numéricos de transferência de calor em cavidades, como por exemplo Kao e Yang (2007), Ouertatani et al. (2008) e Brito et al. (2009).

Mais recentemente estas investigações começaram a ser efectuadas em sistemas operando com fluidos não-newtonianos, embora estes não sejam tão frequentes como para fluidos newtonianos. Park et al. (2001a, 2001b, 2002, 2004) estudaram numericamente o problema da convecção de Rayleigh-Bénard numa cavidade horizontal 2D para um fluido não-newtoniano representado por uma equação constitutiva geral, que engloba os modelos convectivo superior de Maxwell, Oldroyd-B e Phan-Thien-Tanner. Nos seus trabalhos foram analisados os efeitos da razão de forma, do gradiente de temperaturas imposto, do número de Débora, e do tempo de retardação adimensional no valor crítico do número de Rayleigh e no tamanho das células de convecção. Infelizmente estes trabalhos não são totalmente explícitos em relação a alguns parâmetros e definições de números adimensionais, tornando a sua compreensão bastante complexa. Outro exemplo é o trabalho de Demir (2003), em que se estudou numericamente o escoamento de um fluido viscoelástico descrito pelo modelo de Criminale-Erikson-Filbey (CEF) numa cavidade quadrada.

Neste trabalho procurou-se validar e comparar os resultados obtidos com os trabalhos de Park et al. (2001a, 2001b, 2002, 2004) e de Gelfgat (1999). Gelfgat (1999) compara os seus resultados com os de Luijkx e Platten (1981), como tal também iremos incluir estes resultados nas comparações efectuadas. As simulações numéricas foram realizadas num código de simulação de escoamento de fluidos viscoelásticos descrito pelo modelo constitutivo de Phan-Thien-Tanner (Oliveira et al. 1998; Alves et al. 2003).

Introdução e Estado da Arte 5

1.2 Organização da Tese

No capítulo 2, é feita a descrição das equações principais inerentes à simulação de escoamentos de fluidos. Após a apresentação das equações principais é feita uma descrição do método numérico utilizado na resolução destas equações que aí figuram na sua forma discretizada.

No capítulo 3, é descrito um estudo de validação da implementação da equação da conservação da energia térmica no código de simulação. Esta validação é feita através da simulação do escoamento de um fluido por convecção natural no interior de uma cavidade vertical. Estes resultados são validados através da comparação com os resultados de referência de Guo e Bathe (2002).

No capítulo 4, é feita a descrição do processo de obtenção de resultados bem como os valores obtidos para cada situação estudada. São ainda referidos dois estudos adicionais que apenas servem de referência a eventuais futuros aprofundamentos no tema.

Finalmente nos capítulos 5 e 6 descrevem-se as conclusões e resultados finais obtidos, e tecem-se as considerações finais relativas a este trabalho.

Teoria e Método Numérico 7

2 Teoria e Método Numérico

2.1 Equações Principais

As equações principais necessárias à simulação numérica do escoamento e da transferência de calor do fluido PTT são a equação da conservação de massa,

(2) a equação da quantidade de movimento,

∂

( )

ρu

i

∂t

+

∂

(

ρu

j

u

i

)

∂x

j

= −

∂p

∂x

i

+

η

s

∂

2

u

i

∂x

j

∂x

j

+

∂τ

ij

∂x

j

+

ρg

i (3)

e a equação da conservação de energia térmica, ∂

(

ρCpT

)

∂t + ∂

(

ρCpujT

)

∂xj = ∂ ∂xj k∂T ∂xj ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ηs ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂ui ∂xj +ατij ∂ui ∂xj + 1−

(

α

)

τij 2λ f

( )

τkk (4)

em que representa o vector velocidade no sistema cartesiano , a pressão, o tempo, a temperatura do fluido, o vector aceleração da gravidade. O fluido é representado pela soma da contribuição de um solvente newtoniano de viscosidade com uma contribuição polimérica cujo tensor extra das tensões é , que é descrito pela equação constitutiva reológica. A equação da conservação de energia térmica inclui o efeito da dissipação viscosa do solvente newtoniano, bem como os dois últimos termos do ramo direito da equação que representam a energia mecânica do fluido de PTT.

A equação constitutiva reológica adoptada é a do modelo de Phan-Thien-Tanner, (5) em que representa o tempo de relaxação do fluido, o coeficiente da viscosidade do polímero, é o tensor taxa de deformação e é um parâmetro adimensional que contabiliza o deslizamento entre a rede molecular e o meio contínuo. Este modelo caracteriza-se pelo facto de prever o aparecimento de tensões normais na direcção transversal num escoamento de corte, de que resulta uma segunda diferença de tensões

Teoria e Método Numérico 8 normais ( ) não-nula. É possível obter o modelo simplificado de PTT fazendo (neste caso

N

2

= 0

). A função é uma função exponencial do traço do tensor das tensões,

f

( )

τ

kk

= exp

ελ

η

p

τ

kk

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(6)

que aqui é utilizada numa forma linearizada alternativa,

f

( )

τ

kk

= 1+

ελ

η

p

τ

kk (7)

em que nesta função é um parâmetro que limita a viscosidade elongacional (esta é inversamente proporcional a para valores baixos de ).

Em simulações com convecção natural o termo gravítico do lado direito da equação (3), tem de ser contabilizado e a variação da massa volúmica com a temperatura é descrita segundo a aproximação de Boussinesq,

(8) em que o índice 0, é utilizado de forma a indicar um estado de referência.

2.1.1 Método Numérico

Existem três métodos principais para discretizar as equações diferenciais usadas no cálculo de escoamentos: o método das diferenças finitas, o método dos elementos finitos, e o método dos volumes finitos. A vantagem deste último reside por um lado na conservação de quantidades físicas inerente à integração que é feita inicialmente e nos menores recursos computacionais necessários, um aspecto de grande relevância especialmente quando se trata de fluidos viscoelásticos devido ao aumento de equações a resolver. No entanto, os métodos de elementos e volumes finitos hoje já não são sempre utilizados na sua forma original, mas incorporam aspectos específicos dos seus concorrentes.

No método dos volumes finitos as equações são integradas em cada volume de controlo da malha onde o escoamento é processado garantindo a conservação das propriedades físicas. As equações integrais são então discretizadas com diferenças finitas a substituir as derivadas, transformando-se num conjunto de equações algébricas em que as incógnitas são os valores nodais de cada uma das propriedades do escoamento (velocidades, pressão, tensões e temperaturas) em cada volume de controlo. As equações (2) a (5) estão escritas para um sistema de coordenadas ortogonais. A sua discretização numa malha geral

Teoria e Método Numérico 9 em volumes finitos, em células de 6 faces não ortogonais, requer que sejam reescritas para um sistema mais geral de coordenadas não-ortogonal, após o que é feita a sua integração e posterior discretização como está descrito em Oliveira et al. (1998) e no anexo 1 desta tese. Desse conjunto de procedimentos resultam as seguintes equações algébricas.

• equação da conservação de massa,

F

f f=1

6

∑

= 0

(9)

• equação da quantidade de movimento,

a

P

u

i,P

−

a

F

u

i,F

= S

u_i

+

ρV

P

δt

F

∑

u

i,P o ₍₁₀₎

• a equação da conservação de energia térmica,

a

P

T

P

−

a

F

T

F

= S

T

+

ρC

p

V

P

δt

F

∑

T

P o ₍₁₁₎

• a equação constitutiva reológica do modelo PTT,

a

P τ

_τ

ij,P

−

a

F τ

_τ

ij,F F=1 6

∑

= S

_τ ij

+

λ

P

V

P

δt

τ

ij,P o ₍₁₂₎

De notar que Oliveira et al. (1998) não inclui a resolução da equação da energia térmica, mas a sua inclusão no processo foi feita por Nóbrega (2004), e a sua validação pode ser encontrada em Nóbrega et al (2004). Este conjunto de equações é então resolvido sequencialmente de acordo com o algoritmo SIMPLEC de Van Doormal e Raithby (1984) descrito de forma sucinta no parágrafo seguinte, já incluindo a equação da energia.

Inicialmente são resolvidas as seis equações constitutivas de forma implícita, para se obter as componentes da tensão

τ

_ij. Isto é feito anteriormente à resolução das três equações da quantidade de movimento visto que estas necessitam da informação do campo de tensões. Em seguida são resolvidas as três equações da quantidade de movimento para obter cada componente da velocidade

u

_i*_{, no entanto estes valores calculados das componentes da} velocidade geralmente não satisfazem a equação da conservação da massa, portanto o próximo passo do algoritmo de resolução passa por fazer uma correcção à velocidade,

u

i

*_{, e à} pressão,

p

*_{, de forma a que os valores corrigidos,}

u

_i** _e

p

**_{, satisfaçam simultaneamente a} equação da conservação de massa e a equação da quantidade de movimento. Segue-se a

Teoria e Método Numérico 10 resolução implícita da equação da energia térmica que permite obter novos valores da temperatura. O algoritmo é repetido para o novo passo no tempo e assim sucessivamente.

Estas equações e método estão implementados num código de simulação de escoamentos de fluidos complexos desenvolvido no Centro de Estudos de Fenómenos de Transporte (CEFT), da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP). Uma descrição mais detalhada deste código e do método numérico pode ser encontrada em Oliveira et al. (1998), Alves et al. (2003) e Peres et al. (2009).

Validação do Método 11

3 Validação do Método

3.1 Escoamentos com convecção natural

A implementação da convecção natural no algoritmo de cálculo foi testada simulando o caso “benchmark” de Guo e Bathe (2002), que consiste no escoamento de um fluido newtoniano dentro uma cavidade de razão de forma igual a 1:8. Para além do trabalho prévio realizado por Peres et al. (2009), foram aqui realizadas simulações em estado transiente que são as que reproduzem adequadamente o escoamento dependente do tempo analisado por Guo e Bathe (2002). Nesta situação, é imposta uma diferença de temperaturas de 1ºC nas paredes verticais, estando uma à temperatura de -0.5ºC e outra à temperatura de 0.5ºC. As paredes horizontais são adiabáticas. O fluxo foi estudado para as condições supercríticas de

R

= 3.4 × 10

5 e de

Pr

=

µC

p

k

= 0.71

.

Foram também efectuados refinamentos no tempo e no espaço de forma a garantir maior confiança nos resultados e garantir a independência dos resultados com o grau de refinamento da malha e do passo de integração temporal. Na figura 3 mostra-se o estudo feito para o refinamento no tempo para uma malha com 61 x 271 células (

Δx W = 0.0164

e

Δy W = 0.0295

).

(a) (b)

Figura 3 – Representação gráfica de um excerto das histórias das oscilações da temperatura obtidas para o refinamento no tempo; (a) para três tempos de integração em que C>B>A; (b)

Validação do Método 12 Na figura 3 estão representados as histórias das oscilações da temperatura,

T

, no ponto 1 (

x W

= 0.1810

e

y W

= 7.3700

) (Christon et al., 2002) ao longo do tempo de simulação,

t

. Pela visualização da figura 3 (a) é possível verificar que à medida de que se diminui o passo no tempo (C>B>A), as oscilações tendem para um resultado constante, que pode ser verificado na figura 3(b) (A>D>E). Na tabela 1 estão representados os valores usados no refinamento no tempo apresentados na figura 3.

Tabela 1 – Valores do refinamento no tempo das simulações da figura 3. Simulação Δt/s E 1.25 x 10-5 D 2.5 x 10-5 A 5 x 10-5 C 25 x 10-5 B 35 x 10-5

Na figura 4 mostram-se os resultados obtidos para o refinamento no espaço em duas malhas de refinamentos diferentes.

Figura 4 – Representação gráfica de um excerto das histórias das oscilações da temperatura obtidos para o caso A, e para uma malha duplamente refinada A*.

Validação do Método 13 Pode-se verificar pela análise da figura 4 que os resultados obtidos para o caso A (mesma malha usada no refinamento no tempo), e para o caso de uma malha duplamente refinada A* (de 123 x 543 células com

Δx W = 0.00813

e

Δy W = 0.00147

), não são exactamente concordantes. Isto verifica-se devido ao facto de os resultados aqui apresentados serem os valores para a história das temperaturas no centro da célula mais próxima do ponto 1, para a respectiva malha. Quando a malha é refinada o local onde são retirados os valores difere ligeiramente. Esta análise pode ser verificada com mais detalhe na figura 5, em que se apresentam os valores de temperatura obtidos na malha com 61 x 271 células por três métodos diferentes ao longo de um ciclo oscilatório de temperatura para a simulação A já apresentada nas figuras anteriores relativas ao refinamento no espaço e no tempo.

Figura 5 – Representação dos valores de temperatura ao longo de uma oscilação de temperatura obtidos por três técnicas diferentes. A – valores no centro da célula mais próxima do ponto 1; A’ – instantes de A para o qual são retirados os restantes pontos; Int – valores obtidos nas coordenadas do ponto 1 por interpolação linear; Tec – valores obtidos nas

coordenadas do ponto 1 por interpolação de Kriging.

Pela figura 5 é possível observar que os valores de temperatura ao longo um ciclo oscilatório são diferentes consoante o método usado para os obter devido a cada um destes métodos retirarem a informação em diferentes locais da célula. Os resultados obtidos em A foram obtidos pelo ficheiro de resultados da simulação, e os seus valores são retirados no centro da célula mais próxima do ponto 1. Os pontos A’ apenas estão presentes para identificar o instante do ciclo oscilatório A em que foram retirados os valores pelos restantes métodos. Em

Validação do Método 14

Int os valores são calculados por interpolação linear nas coordenadas exactas do ponto 1.

Finalmente em Tec usou-se o software Tecplot 10 para tratar o ficheiro de resultados e retirar o valor da temperatura nas coordenadas do ponto 1, sendo o método usado neste software a interpolação de Kriging.

Na figura 6 mostram-se os resultados obtidos para este estudo, comparados com os de Guo e Bathe (2002).

(a) (b)

Figura 6 – Comparação dos resultados obtidos com os resultados de “benchmark” de Guo e Bathe (2002), (a) perfil de temperaturas; (b) perfil de velocidades.

Como é possível observar na figura 6, as simulações realizadas reproduziram de forma satisfatória os resultados obtidos por Guo e Bathe (2002), tanto para o perfil de velocidades, como para o perfil de temperaturas no plano

y

= H 2

. Na figura 6 representa-se os valores médios de cada grandeza ao longo de um ciclo de oscilação.

Os resultados apresentados nesta secção mostram a boa precisão numérica que é possível alcançar com o código de simulação, ficando assim demonstrado a implementação adequada da equação da conservação de energia.

Apresentação e Discussão dos Resultados 15

4 Apresentação e Discussão dos Resultados

Ao longo deste capítulo será feita a descrição do trabalho realizado e dos resultados obtidos. Para o caso do escoamento de um fluido newtoniano foram estudadas diversas malhas com refinamentos diferentes para as razões de forma AR = 1, AR = 2, AR = 5 e AR = 8. Para o caso de um fluido não newtoniano apresentam-se os resultados nas mesmas malhas do caso newtoniano para as razões de forma AR = 1 e de AR = 5. São ainda apresentados resultados de uma análise ao padrão do escoamento quando o número de Rayleigh é aumentado para elevados valores supercríticos, para a razão de forma AR = 5, e ainda ao número de células de convecção à medida que se aumenta a razão de forma. De notar que estes últimos estudos são aqui incluídos numa forma ainda bastante superficial, e que apenas servem de referência para eventuais futuros aprofundamentos neste tema.

4.1 Malhas

Nesta secção mostram-se todas a malhas uniformes criadas que foram usadas nas simulações numéricas ao longo deste trabalho. Na tabela 2 exibe-se a lista integral de todas as razões de forma e respectivos refinamentos usados.

Tabela 2 – Malhas usadas para cada razão de forma (AR) e características dos refinamentos.

Δx/H Δx/H Δx/H Δx/H Malha AR = 1 Δy/H AR = 2 Δy/H AR = 5 Δy/H AR = 8 Δy/H 0.0196 0.0392 0.0794 0.0792 A 51 x 51 0.0196 51 x 25 0.0400 63 x 13 0.0769 101 x 13 0.0769 0.0099 0.0198 0.0526 0.0769 B 101 x 101 0.0099 101 x 51 0.0196 95 x 19 0.0526 201 x 25 0.0400 0.0050 0.0100 0.0400 0.0200 C 201 x 201 0.0050 201 x 101 0.0099 125 x 25 0.0400 401 x 51 0.0196 --- --- 0.0265 --- D --- --- --- --- 189 x 39 0.0256 --- --- --- --- 0.0199 --- E --- --- --- --- 251 x 51 0.0196 --- ---

Apresentação e Discussão dos Resultados 16 Na Figura 7 ilustra-se a malha menos refinada para AR = 2 e um zoom dos refinamentos usados na vizinhança do canto

( )

x, y

= 0,0

( )

.

(a)

(b) (c) (d)

Figura 7 – (a) Malha de AR = 2, 51 x 25; Ampliação da zona assinalada em (a); (a) malha 51 x 25; (b) malha 101 x 51; (c) malha 201 x 101.

Na figura 8 mostra-se a malha menos refinada para AR = 5, e um zoom dos respectivos refinamentos utilizados na vizinhança do canto

( )

x, y

= 0,0

( )

.

Apresentação e Discussão dos Resultados 17 (a) (b) (c) (d) (e) (f)

Figura 8 – (a) Malha de AR = 5; Ampliação da zona assinalada em (a); (b) malha 63 x 13; (c) malha 95 x 19; (d) malha 125 x 25; (e) malha 189 x 39; (f) malha 251 x 51.

4.2 Fluido newtoniano

Nesta secção analisam-se os resultados obtidos nas simulações para o caso de um fluido newtoniano.

Para determinar o valor de

R

c relativo a cada geometria foram realizadas várias simulações em que se variava a diferença de temperaturas imposta, ΔT , analisando-se, na solução convergida, o desvio no perfil de temperaturas em relação ao perfil de temperatura para condução pura, que é a solução térmica para condições estáticas (ausência de escoamento). Esse desvio é quantificado pelo parâmetro

δ

, definido por

Apresentação e Discussão dos Resultados 18

δ

= 1 ΔT2 T_i− T_iCond

(

)

2 V_i i=1 nº células

∑

Vi i=1 nº células

∑

(13) em que

T

i e

T

i

Cond_{, são a temperatura na célula i, e a temperatura esperada em condições de} condução pura na célula i, respectivamente, e

V

i é o volume da célula i. Como se verá mais adiante, para malhas bastante refinadas e desde que a simulação numérica seja feita acima do valor crítico, δ varia de forma aproximadamente linear com o número de Rayleigh. Assim, para cada malha efectuam-se várias simulações em condições supercríticas sendo possível determinar o valor de

R

c, extrapolando a recta de ajuste para

δ

= 0. Podemos repetir este processo para outras malhas diferentes, mas suficientemente refinadas para estarmos em condições de convergência monótona. A partir deste conjunto de valores de

R

_c para diversas malhas utilizou-se ainda a técnica de extrapolação para o limite de Richardson (Ferziger, 1981) para se obter um valor ainda mais preciso de

R

c.

As equações discretizadas são uma aproximação das equações diferenciais, como tal, a solução destas últimas,

Φ

, não satisfaz as primeiras de forma exacta. A esta diferença entre as soluções das equações diferenciais e algébricas é chamada de erro de truncatura. Para uma malha de espaçamento h, o erro de truncatura,

τ

_h é definido como sendo,

L

( )

Φ

= L

h

( )

Φ

+

τ

h

= 0

, (14)

em que

L

e

L

hsão operadores simbólicos representando a equação diferencial e a equação discretizada para a malha h, respectivamente. A solução exacta das equações discretizadas,

φ

h, pode ser escrita de forma linearizada como (Ferziger e Perić, 1996),

Lh

( )

φ

h = A

(

φ

− Q

)

h = 0. (15)

Como tal, a solução discretizada, irá diferir da solução exacta da equação diferencial, num erro de discretização,

ε

_hd_,

Φ =

φ

h

+

ε

h

d_{. (16)}

Das equações (14) e (15) é possível aferir que,

L

h

ε

h d

( )

= −τ

h. (17)

Assim, é possível usar a informação sobre a magnitude do erro de truncatura como forma de orientação de modo a saber qual o refinamento da malha mais adequado ao caso em estudo, mas a solução exacta,

Φ

, não é conhecida, logo não é possível obter o erro de truncatura,

Apresentação e Discussão dos Resultados 19 contudo é possível obter uma aproximação de

τ

_h a partir de uma malha mais refinada (ou menos grosseira). Esta estimativa nem sempre permite obter valores correctos, mas pode permitir averiguar se a zona em que se está a trabalhar, requer uma malha mais refinada de modo a diminuir os erros associados. Para malhas suficientemente refinadas, o erro de truncatura, bem como o erro de discretização, são proporcionais ao termo de ordem menos elevada da aproximação usada, que numa série de Taylor é

ε

h

d

_≈

αh

p

_{+ H}

_{, (18)}

em que

H

representa o conjunto dos termos de ordem superior que foram desprezados, e

α

depende das derivadas locais da função erro que é independente de h. O erro de discretização pode ser agora estimado através da diferença entre os resultados obtidos para várias malhas com refinamentos sistemáticos por duplicação do número de células. Pelas equações (16) e (18) é possível escrever

Φ =

φ

h +

α

h

p + H =

φ

2h +

α

( )

2h p

+ H , (19)

onde o expoente p é a ordem do método, e pode ser estimado por (Ferziger e Perić, 1996)

p

=

log

φ

2h

−

φ

4 h

φ

h

−

φ

2h

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

log 2

. (20)

Nas equações (19) e (20) os índices h, 2h e 4h designam as malhas mais refinada, intermédia, e mais grosseira, respectivamente de um qualquer conjunto de três malhas. Da equação (19) também é possível escrever que o erro de discretização,

ε

_hd_{, pode ser} aproximado por

ε

h

d ≈

φ

h−

φ

2h

2p− 1 . (21)

Com esta estimativa do erro podemos estimar um valor mais preciso da solução que resulta de se substituir a equação (21) na equação (16) resultando,

Φ =

φ

h +

φ

h−

φ

2h

2p_{− 1} (22)

Note-se que se a razão de refinamento em malhas sequenciais for diferente de dois, então o valor 2 nas equações (21) e (22) deverá ser substituído pela razão de refinamento em causa. Quando são obtidas as soluções para 3 malhas com refinamentos sistemáticos é possível obter uma aproximação de

Φ

, que é um valor mais preciso do que o valor obtido para a malha mais refinada, por contar com a estimativa do erro da equação (21), em

φ

_h. Este método é

Apresentação e Discussão dos Resultados 20 chamado de “extrapolação para o limite” de Richardson. Note-se que a ordem de convergência do método estimada pela equação (20), é apenas válida quando a convergência é monótona, e esta situação apenas se manifesta quando as malhas são suficientemente refinadas e estamos relativamente próximos da solução exacta.

A técnica da extrapolação para o limite de Richardson pode utilizar-se várias vezes, numa estrutura em árvore como a que se esquematiza na Figura 9, pois em cada aplicação está-se a eliminar o termo de maior erro, i.e., o primeiro termo que se despreza é de ordem cada vez mais superior. Assim, para cada caso usar-se-á a equação (20) para se calcular a ordem de convergência do método, e depois utiliza-se a equação (22) para se obter um valor mais preciso de

R

c. Este processo pode ser repetido consoante o número de refinamentos usados, permitindo com três malhas apenas com refinamentos suficientemente próximos da solução exacta, conseguir um resultado mais preciso, do que seria possível no resultado duma malha sete vezes mais refinada do que a malha original (Ferziger, 1981).

Figura 9 – Esquema da técnica de extrapolação para o limite de Richardson.

4.2.1 Razão de Forma, AR = 1

Na figura 10 apresentam-se os resultados obtidos para as diversas malhas usadas para AR = 1, e as respectivas rectas de ajuste dos valores supercríticos de

δ

vs

R

.

Apresentação e Discussão dos Resultados 21 Figura 10 – Ajuste linear para obtenção do

R

c, para AR = 1.

Na tabela 3 apresentam-se os valores de

R

c obtidos para cada refinamento pela extrapolação das rectas de ajuste linear da figura 10, e comparam-se ainda com os correspondentes valores obtidos por Gelfgat (1999), Luijkx e Platten (1981) e Park e Ryu (2001a).

Tabela 3 – Resultados de

R

c para AR = 1, e comparação com os valores obtidos por Gelfgat (1999), Luijkx e Platten (1981) e Park e Ryu (2001a).

Malha Rc 51 x 51 323.48 101 x 101 323.45 201 x 201 323.28 Gelfgat (1999) 323.13 Luijkx e Platten (1981) 323.13 Park e Ryu (2001a) 322.09

Pela análise da tabela 3, verifica-se que os valores obtidos estão muito próximos dos trabalhos de Gelfgat (1999) e de Luijkx e Platten (1981).

Apresentação e Discussão dos Resultados 22 Na figura 11 apresentam-se os valores de da tabela 3, em função de

Δy H

, obtidos para cada refinamento.

Figura 11 – Valores de

R

_c para cada nível de refinamento em função de

Δy H

(AR = 1). Pela análise da figura 11 verifica-se que a extrapolação para o limite de Richardson não deverá ser utilizada no caso de AR = 1, visto que os valores obtidos de

R

c para refinamentos sequenciais não seguem uma tendência característica de ordem de convergência superior à unidade. De facto, esperava-se que as variações malha-a-malha fossem diminuindo com o refinamento da malha, mas aqui o comportamento é precisamente o oposto. Com apenas estas 3 malhas, não é pois possível tirar mais conclusões acerca do comportamento que os pontos obtidos apresentam. Seria necessário usar malhas mais refinadas e verificar se de facto as malhas usadas encontram-se fora da gama de convergência necessária á obtenção da ordem aparente do método e consequentemente uma aproximação ainda mais rigorosa de

R

c. De qualquer das formas, os valores da tabela 3 são bastante precisos, diferindo de outras soluções da literatura em menos de 0.1%.

Na figura 12 apresenta-se um exemplo dos mapas de temperatura e das linhas de corrente, descrevendo uma célula de convecção, obtidas para esta razão de forma.

Apresentação e Discussão dos Resultados 23 Figura 12 – Mapas de temperatura (isotérmicas) e linhas de corrente para uma malha 201 x

201 e de AR = 1.

4.2.2 Razão de forma, AR = 2

Na figura 13 estão representados os vários resultados obtidos para as malhas de AR = 2, e as respectivas rectas de ajuste para a obtenção de

R

c.

Figura 13 – Ajuste linear para obtenção do

R

c, para AR = 2.

Na tabela 4 mostram-se os valores de

R

cobtidos através das extrapolações das rectas de ajuste linear da figura 13, bem como os valores obtidos por Gelfgat (1999), Luijkx e Platten (1981) e Park e Ryu (2001a).

Apresentação e Discussão dos Resultados 24 Tabela 4 - Resultados de

R

c para AR = 2, e comparação com os valores obtidos por Gelfgat

(1999), Luijkx e Platten (1981) e Park e Ryu (2001a).

Malha Rc 51 x 25 253.25 101 x 51 253.44 201 x 101 253.21 Gelfgat (1999) 251.65 Luijkx e Platten (1981) 251.66 Park e Ryu (2001a) 251.33

Neste caso os valores de

R

c obtidos não são tão próximos dos valores dos restantes investigadores representados na tabela 4, como no caso de AR = 1.

Na figura 14 estão representados os valores de

R

_c da tabela 4 obtidos para cada refinamento, em função de

Δy H

.

Figura 14 - Valores de

R

_c para cada refinamento em função de

Δy H

(AR = 2).

Neste caso, tal como para AR = 1, os resultados obtidos de

R

c, não estão na gama de tendência monótona necessária à aplicação da técnica da extrapolação para o limite de Richardson. Apesar desta situação os resultados obtidos diferem de outras soluções da

Apresentação e Discussão dos Resultados 25 literatura em menos de 0.6%. Com estes dois resultados menos positivos tornou-se óbvia a necessidade de novos testes de malha por forma a garantir que a abordagem ao problema estava a ser executada correctamente. Então, para além do código que permite o cálculo do parâmetro

δ

usando os valores da simulação apenas no ficheiro de dados final, foi também feita uma modificação no código principal de modo a que o parâmetro

δ

fosse calculado para cada passo no tempo até se alcançar o estado estacionário. Com isto seria possível acompanhar a evolução do parâmetro

δ

ao longo da simulação à medida que os resíduos iam tendendo para o critério de convergência estabelecido (

10

−9). Na Figura 15 mostra-se a evolução do parâmetro

δ

ao longo de uma simulação para os casos de AR = 1, e AR = 2, à medida que o resíduo mais alto (

u

2), tende para o critério de convergência.

(a) (b)

Figura 15 – Representação gráfica da evolução do parâmetro

δ

ao longo de uma simulação (a) para AR = 1; (b) para AR = 2.

Pela visualização da figura 15 é possível confirmar que no momento que os resíduos atingem o critério de convergência, o valor do parâmetro

δ

já está num patamar horizontal praticamente constante, logo pode-se considerar que os valores de

R

c que são aqui apresentados estão bem convergidos.

Outra abordagem seria a realização de simulações para valores de

R

ainda mais próximos do valor crítico de forma a serem incluídos mais pontos nos ajustes lineares, com o objectivo de melhorar as extrapolações obtidas. Contudo, à medida que

R

se aproxima do valor crítico, o tempo de simulação aumenta de forma exponencial, tornando as simulações para essa gama de valores incomportáveis no âmbito dum trabalho com um limite de tempo como este. Por exemplo no caso de AR = 1, uma simulação na malha 51 x 51 células, demorava menos de 12

Apresentação e Discussão dos Resultados 26 horas a concluir enquanto na malha mais refinada de 201 x 201 células, uma simulação para o mesmo

R

o tempo de cálculo aumentava para 3 a 4 semanas num processador Quad Core Intel Xeon 2x2.8 GHz, e com 10 GB 800 MHz DDR2 FB-DIMM de memória RAM.

Na figura 16 mostra-se um exemplo dos mapas de temperatura (isotérmicas) e das linhas de corrente descrevendo duas células de convecção obtidas para razão de forma AR = 2.

Figura 16 – Mapas de temperatura (isotérmicas) e linhas de corrente para uma malha 201 x 101 e de AR = 2.

4.2.3 Razão de forma, AR = 5

Na figura 17 representam-se os resultados obtidos para as simulações nas malhas de AR = 5, e as respectivas rectas de ajuste.

Figura 17 – Ajuste linear para obtenção do

R

c, para o caso de AR = 5.

Na tabela 5 apresenta-se os valores de

R

c, obtidos por extrapolação através das rectas de ajuste da figura 15, juntamente com os valores obtidos por Gelfgat (1999), Luijkx e Platten (1981) e Park e Ryu (2001a).

Apresentação e Discussão dos Resultados 27 Tabela 5 - Resultados de

R

c para AR = 5, e comparação com valores da literatura.

Malha Rc 63 x 13 221.25 95 x 19 222.18 125 x 25 222.56 189 x 39 222.77 251 x 51 222.78 Gelfgat (1999) 222.32 Luijkx e Platten (1981) 222.38 Park e Ryu (2001a) 222.56

Da análise da tabela 5 verifica-se que os resultados obtidos estão próximos dos resultados de Gelfgat (1999), Luijkx e Platten (1981) e Park e Ryu (2001a).

Na figura 18 estão representados os valores de

R

c da tabela 6 obtidos para cada refinamento, em função de

Δy H

.

Apresentação e Discussão dos Resultados 28 A figura 18 permite verificar que os valores de

R

c para AR = 5 comportam-se da forma monótona pretendida pelo que será possível aplicar a técnica da extrapolação para o limite de Richardson.

Neste caso não foi possível a utilização directa da equação (20) para o cálculo da ordem do método, como tal foi feito um ajuste aos pontos obtidos do tipo,

R

c

= R

c ext

+ b

Δy

H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

p (23) e obtiveram-se os seguintes valores,

R

c

ext

_{= 222.84}

_,

b= −4573.68 e

p

= 3

. Neste ajuste o ponto obtido para a malha 63 x 13 não foi considerado devido a não se encontrar na zona de convergência monótona. Na tabela 6 apresentam-se os resultados obtidos por extrapolação sucessiva para o limite de Richardson. O valor obtido por este método (

R

c

ext

_{= 222.79}

_{) é muito} semelhante ao que se obtém por ajuste da equação (18) (

R

c

ext

_{= 222.84}

_).

Tabela 6 – Resultados da extrapolação para o limite de Richardson para AR = 5. Malha Δy/H Rc Rc’ Rc’’ Rc’’’ 251 x 51 0.0196 222.78 222.79 222.79 222.79 189 x 39 0.0256 222.77 222.85 222.86 ... 125 x 25 0.0400 222.56 222.72 ... ... 95 x 19 0.0526 222.18 ... ... ... 63 x 13 0.0769 221.25 ... ... ...

Com este valor obtido verifica-se que este apenas difere de outras soluções da literatura em menos de 0.2%.

Na figura 19 ilustram-se os erros absolutos entre

R

c

ext

_{= 222.84}

_{e os valores de}

R

c obtidos para cada malha usada.

Apresentação e Discussão dos Resultados 29 Figura 19 – Erro absoluto entre

R

_cext _e

R

c obtido em cada refinamento em função de

Δy H

.

Na figura 20 ilustram-se os mapas de temperatura (isotérmicas) e as linhas de corrente descrevendo cinco células de convecção obtidas para razão de forma AR = 5.

Figura 20 – Mapas de temperatura e linhas de corrente para uma malha 251 x 51 e de AR = 5.

4.2.4 Razão de forma, AR = 8

Na figura 21 mostram-se os resultados obtidos para as simulações nas malhas de AR = 8, e as respectivas rectas de ajuste.

Apresentação e Discussão dos Resultados 30 Figura 21 - Ajuste linear para obtenção do

R

c, para o caso de AR = 8.

Na tabela 7 representam-se os valores de

R

c, obtidos por extrapolação através das rectas de ajuste linear da figura 21, juntamente com os valores obtidos por Park e Ryu (2001a). Até aqui tinha-se usado os resultados dos trabalhos de Gelfgat (1999) e Luijkx e Platten (1981) para efeitos de validação, mas estes autores apenas incluem nos seus estudos valores para razões de forma até um máximo de AR = 5.

Tabela 7 – Resultados de

R

c para AR = 8, e respectivo valor obtido por Park e Ryu (2001a). Malha Rc

101 x 13 216.09 201 x 25 217.61 401 x 51 217.87 Park e Ryu (2001a) 217.73

Verifica-se pela tabela 7 que foram novamente obtidos resultados bastante próximos dos valores obtidos por Park e Ryu (2001a).

Apresentação e Discussão dos Resultados 31 Na figura 22 representam-se os valores de

R

c da tabela 8 obtidos para cada refinamento, em função de

Δy H

.

Figura 22 - Valores de

R

c para cada refinamento em função de

Δy H

.

Neste caso os resultados também apresentam uma tendência monótona ao longo de refinamentos sequenciais, logo será utilizada a técnica de extrapolação para o limite de Richardson. Usando a equação (20) obtemos a ordem do método,

p

= 2.53

, e como o valor de

p deverá ser um número inteiro, truncando obtém-se

p

= 3

. Em seguida usando a equação (22), e completando uma tabela semelhante ao esquema apresentado na figura 9 obtém-se o valor do número de Rayleigh crítico extrapolado,

R

c

ext_{. Na tabela 8 apresentam-se os valores} obtidos neste processo.

Tabela 8 – Resultados da extrapolação para o limite de Richardson para AR = 8.

Malha Δy/H Rc Rc’ Rc’’

401 x 51 0.0196 217.87 217.91 217.91

201 x 25 0.0400 217.61 217.83 ...

Apresentação e Discussão dos Resultados 32 Foi também efectuado um cálculo da extrapolação para o limite de Richardson semelhante ao usado na tabela 8 usando o valor da ordem do método,

p

= 2

, obtendo-se o resultado de

R

_cext

_{= 217.95}

_{. Portanto pode-se finalmente dizer com um bom nível de precisão que o valor} de

R

c obtido para AR = 8, estará entre

R

c

ext

_{= 217.91}

_e

R

c

ext

_{= 217.95}

_{. Com estes valores} obtidos verifica-se que estes apenas diferem da outra solução da literatura em menos de 0.08%.

Na figura 23 mostram-se, em escalas logarítmicas, os erros absolutos entre

R

c

ext

= 217.91

_{e os} valores de

R

_c obtidos para cada malha usada.

Figura 23 – Erro absoluto entre

R

c ext _e

R

c obtido em cada nível de refinamento para AR = 8.

Na figura 24 mostra-se um exemplo dos mapas de temperatura e das linhas de corrente descrevendo oito células de convecção obtidas para razão de forma AR = 8.

Apresentação e Discussão dos Resultados 33 Figura 24 – Mapas de temperatura (isotérmicas) e linhas de corrente para uma malha 401 x 51

e de AR = 8.

Por fim, na figura 25 ilustram-se os resultados obtidos por Park e Ryu (2001a) para o valor crítico do número de Rayleigh, para razões de forma de 1 a 10 juntamente com os resultados obtidos neste trabalho. Note-se que na figura 25, para as razões de forma em que não foi possível aplicar a técnica da extrapolação para o limite de Richardson, são apresentados os resultados obtidos para a malha mais refinada.

Figura 25 – Comparação dos resultados para o valor crítico do número de Rayleigh obtidos por Park e Ryu (2001a) com os resultados obtidos neste trabalho.

Pela análise da figura 25 verifica-se que os resultados obtidos estão de acordo com o estudo de Park e Ryu (2001a), é possível também visualizar que os picos da linha de resultados de