Um estudo de lógica linear com subexponenciais

Texto

(1)Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística Mestrado em Matemática Aplicada e Estatística. Um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais. Laura Fernandes Dell Orto. Natal-RN Fevereiro de 2017.

(2) Laura Fernandes Dell Orto. Um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais. Trabalho apresentado ao Programa de PósGraduação em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obtenção do título de Mestre. Área de Concentração: Modelagem Matemática. Linha de Pesquisa: Matemática Computacional. Orientador(a). Prof. Dr. Carlos Alberto Olarte Vega. Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística – PPGMAE. Natal-RN Fevereiro de 2017.

(3) Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Especializada do Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.. Dell Orto, Laura Fernandes. Um estudo de lógica linear com subexponenciais / Laura Fernandes Dell Orto. – Natal, 2017. 109f. Orientador: Prof. Dr. Carlos Alberto Olarte Vega. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística. 1. Lógica Matemática - Dissertação. 2. Teoria da prova - Dissertação. 3. Eliminação do corte - Dissertação. 4. Lógica linear - Dissertação. 5. Lógica linear com subexponenciais - Dissertação. I. Vega, Carlos Alberto Olarte. II. Título. RN/UF/BSE-CCET. CDU: 510.6.

(4) Dissertação de Mestrado sob o título Um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais apresentada por Laura Fernandes Dell Orto e aceita pelo Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:. Professor Doutor Carlos Alberto Olarte Vega Orientador(a) Escola de Ciência e Tecnologia Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Professora Doutora Elaine Gouvêa Pimentel Departamento de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Professor Doutor Mário Sérgio Alvim Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais. Natal-RN, 15 de Fevereiro de 2017..

(5) Aos meus pais..

(6) Agradecimentos Seria impossível agradecer a todos aqui. Primeiramente, gostaria de agradecer ao meu orientador Carlos Alberto Olarte Vega, por toda a atenção e paciência ao longo desses dois anos. Ele foi uma das pessoas que mais me motivou e inspirou para continuar estudando e escrevendo, sempre atencioso e solícito com tudo que precisei. Gostaria de agradecer também à professora Elaine Gouvea Pimentel, que também me orientou quando necessário e dispôs muito do seu tempo para que esse trabalho pudesse ser concluído. Agradeço muito à minha família: meus pais, Eloiza e Vinicius, e meu irmão, Bruno. A paciência, compreensão e ajuda deles em vários momentos foi fundamental nessa jornada. Não menos importante, agradeço também à minha família que não mora conosco: meus avós, tios e primos, que tantas vezes deixei de visitar e estar com eles em momentos importantes para poder me dedicar a este trabalho. Sou imensamente grata também a todos meus amigos. Seria impossível citar todos aqui. Agradeço principalmente aos meus amigos da Liga N-Blast, a quem devo muito apoio ao longo desses dois anos. Agradeço também a todos os Sihings e Sijehs da Academia Tat Wong de Kung Fu. Por muitas vezes, quando estamos desanimados mentalmente, a prática do Kung Fu nos estimula e nos ensina a ter persistência e excelência em tudo que fazemos na nossa vida. Este trabalho teria sido impossível de ser realizado sem a ajuda de todas as minhas colegas de trabalho do Núcleo de Estudos em Saúde Coletiva (NESC/UFRN), onde sou técnica administrativa. Seria impossível finalizar esse trabalho sem ajuda e compreensão delas em todas as minhas ausências para assistir aulas e estudar. Agradeço também às minhas chefias e aos coordenadores e vice-coordenadores do NESC durante esses dois anos. E, por fim, agradeço à UFRN por me dar o direito de poder conciliar trabalho e estudo, algo bastante difícil. Trabalho como técnica-admistrativa na UFRN desde 2014 e sem a liberdade para estudar que a UFRN concede aos seus funcionários teria sido impossível concluir este trabalho..

(7) I’m not a linear logician. Jean-Yves Girard.

(8) Um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais. Autor: Laura Fernandes Dell Orto Orientador(a): Prof. Dr. Carlos Alberto Olarte Vega. Resumo Em Lógica Clássica, podemos utilizar as hipóteses um número indeterminado de vezes. Por exemplo, a prova de um teorema pode fazer uso do mesmo lema várias vezes. Porém, em sistemas físicos, químicos e computacionais a situação é diferente: um recurso não pode ser reutilizado após ser consumido em uma ação. Em Lógica Linear, fórmulas são vistas como recursos a serem utilizados durante a prova. É essa noção de recursos que faz a Lógica Linear ser interessante para a modelagem de sistemas. Para tanto, a Lógica Linear controla o uso da contração e do enfraquecimento através dos exponenciais ! e ?. Este trabalho tem como objetivo fazer um estudo sobre a Lógica Linear com Subexponenciais (SELL), que é um refinamento da Lógica Linear. Em SELL, os exponenciais da Lógica Linear possuem índices, isto é, ! e ? serão substituídos por !i e ?i , onde “i” é um índice. Um dos pontos fundamentais de Teoria da Prova é a prova da Eliminação do Corte, que neste trabalho é demonstrada tanto para Lógica Linear como para SELL, onde apresentamos detalhes que normalmente são omitidos. A partir do teorema de Eliminação do Corte, podemos concluir a consistência do sistema (para as lógicas que estamos utilizando) e outros resultados como a propriedade de subfórmula. O trabalho inicia-se com um capítulo de Teoria da Prova, e em seguida se faz uma exposição sobre a Lógica Linear. Assim, com essas bases, apresenta-se a Lógica Linear com Subexponenciais. SELL tem sido utilizada, por exemplo, na especificação e verificação de diferentes sistemas tais como sistemas bioquímicos, sistemas de interação multimídia e, em geral, em sistemas concorrentes com modalidades temporais, espaciais e epistêmicas. Com essa base teórica bastante clara, apresenta-se a especificação de um sistema bioquímico utilizando SELL. Além disso, apresentamos várias instâncias de SELL que tem interpretações interessantes do ponto de vista computacional. Palavras-chave: Lógica Matemática, Teoria da Prova, Eliminação do Corte, Lógica Linear, Lógica Linear com Subexponenciais..

(9) A study of Linear Logic with Subexponentials. Author: Laura Fernandes Dell Orto Advisor: Prof. Dr. Carlos Alberto Olarte Vega. Abstract In Classical Logic, we can use a given hypothesis an indefinite number of times. For example, the proof of a theorem may use the same lemma several times. However, in physical, chemical and computational systems, the situation is different: a resource cannot be reused after being consumed in one action. In Linear Logic, formulas are seen as resources to be used during a proof. This feature makes Linear Logic an interesting formalism for the specification and verification of such systems. Linear Logic controls the rules of contraction and weakening through the exponentials ! and ?. This work aims to study Linear Logic with subexponentials (SELL), which is a refinement of Linear Logic. In SELL, the exponentials of Linear Logic are decorated with indexes, i.e., ! and ? are replaced with !i and ?i , where “i” is an index. One of the main results in Proof Theory is the Cut-Elimination theorem. In this work we demonstrate that theorem for both Linear Logic and SELL, where we present details that are usually omitted in the literature. From the Cut-Elimination Theorem, we can show, as a corollary, the consistency of the system (for the logics considered here) and other results as the subformula property. This work begins with an introduction to Proof Theory and then, it presents Linear Logic. On these bases, we present Linear Logic with subexponentials. SELL has been used, for example, in the specification and verification of various systems such as biochemical systems, multimedia interaction systems and, in general, concurrent systems with temporal, spatial and epistemic modalities. Using the theory of SELL, we show the specification of a biochemical system. Moreover, we present several instances of SELL that have interesting interpretations from a computational point of view. Keywords: Mathematical Logic, Proof Theory, Cut-Elimination, Linear Logic, Linear Logic with Subexponenciais..

(10) Lista de símbolos ⇒ “deduz” ou “prova” ⊃ Implicação ∧ Conjunção ∨ Disjunção ` Turnstile ∃ Existe ∀ Para todo ⊗ Times ⊕ Plus & With O Par > Top ⊥ Bottom ! Bang ou Of course ? Why not ou Question mark ( Entails e Cap d Cup.

(11) Sumário. 1 Introdução. p. 11. 2 Teoria da Prova. p. 14. 2.1. Cálculo de Sequentes para a Lógica Intuicionista . . . . . . . . . . . . .. p. 14. 2.2. Admissibilidade do Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 23. 2.3. Lógica de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 31. 2.3.1. Os quantificadores no Cálculo de Sequentes . . . . . . . . . . . .. p. 33. 2.3.2. Admissibilidade do Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 37. 3 Lógica Linear. p. 41. 3.1. Lógica Linear Intuicionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 48. 3.2. Admissibilidade do Corte na Lógica Linear . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 50. 4 Lógica Linear com Subexponenciais (SELL). p. 72. 4.1. Sintaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 73. 4.2. Estrutura Algébrica dos Subexponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 74. 4.3. Sistema SELLSΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 77. 4.4. Sistema SELLSe. p. 87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 Especificação de sistemas bioquímicos em SELL. p. 98. 6 Considerações finais. p. 106. Referências. p. 108.

(12) 11. 1. Introdução. Lógica e Teoria da Prova tem sido excelentes ferramentas para estudar sistemas formais. Sistemas naturais (físicos e químicos) são, em geral, modelados com base em experimentos e observações. Através de sistemas formais, podemos compreender melhor esses sistemas reais por meio de um conjunto bem organizado de hipóteses, definições, teoremas, lemas, corolários, etc. Além disso, sistemas formais são bastante úteis no estudo de modelos abstratos (matemáticos e computacionais) devido ao seu rigor na apresentação dos conceitos e resultados. A Lógica de Primeira Ordem é um dos principais ramos da lógica mais estudados hoje por causa de suas aplicações nos fundamentos da matemática. Podemos afirmar que, por volta de 1900, a lógica moderna foi concebida como uma teoria de sentenças, conjuntos e relações e em torno de 1940–1950 o paradigma do sistema lógico se tornou a Lógica de Predicados (ou Cálculo de Predicados)1 . A Lógica Intuicionista (também chamada de Lógica Construtivista) surgiu com o proprósito de utilizar provas construtivistas nos sistemas formais: um prova só é válida em Lógica Intuicionista se houver uma prova direta da sentença. Do ponto de vista computacional, esse é um bom sistema por utilizar somente provas diretas. Na Lógica Clássica, toda proposição tem atribuído um valor verdadeiro ou falso independente de termos provas diretas em ambos os casos. Na Lógica Intuicionista, uma proposição só é considerada verdadeira ou falsa caso haja uma prova direta para tal afirmação. Todos os sistemas apresentados neste trabalho serão intuicionistas, salvo quando apresentamos brevemente o sistema clássico para uma abordagem introdutória do assunto. Já as Lógicas Subestruturais são lógicas não-clássicas construídas de forma a não possuir uma ou mais regras estruturais da Lógica Clássica. Uma das Lógicas Subestruturais mais utilizadas é a Lógica Linear (GIRARD, 1986), que não possui as regras de enfraquecimento e contração. Com isso, as informações não pode ser simplesmente copiadas 1. Lógica de Predicados (ou Cálculo de Predicados) é um termo genérico para a Lógica de Primeira Ordem..

(13) 12. e utilizadas indefinidamente como acontece na Lógica Clássica. Isso faz com que a Lógica Linear seja um bom formalismo para modelar sistemas reias, pois no mundo real dificilmente se trabalha com recursos infinitos. Neste trabalho, apresentaremos a Lógica Linear e um refinamento dela: a Lógica Linear com Subexponenciais (SELL) (OLARTE; PIMENTEL; NIGAM,. 2015). SELL se mostrará bastante útil para modelar outros aspectos. de sistemas, como modalidades espaciais e temporais. A Lógica Matemática é tradicionalmente dividida em quatro partes: Teoria dos Conjuntos, Teoria dos Modelos, Teoria da Recursão, Teoria da Prova e Matemática Construtiva (BARWISE, 1977). Neste trabalho, iremos nos focar em Teoria da Prova. Dedicaremos o capítulo 2 para expor os principais conceitos de Teoria de Prova necessários para o objetivo desse trabalho. Neste trabalho iremos realizar um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais com foco na admissibilidade do corte. A regra de corte é uma regra que introduz um lema para podermos provar o sequente. Iremos provar a admissibilidade do corte em três sistemas: G3ip (capítulo 2), Lógica Linear Intuicionista (capítulo 3) e Lógica Linear com Subexponenciais (capítulo 4). Em muitos casos, a consistência do sistema é imediata quando a admissibilidade do corte é demonstrada, daí vem a importância dessa prova neste trabalho. E, por fim, no capítulo 5, especificaremos um sistema bioquímico utilizando o formalismo de SELL. Devido aos índices nos exponenciais, SELL permite especificar modalidades espaciais e temporais. Isso se mostrará bastante útil na descrição de evolução do sistema. Dessa forma, o trabalho possui a seguinte estrutura: 1. Introdução 2. Teoria da Prova: neste capítulo apresentamos o sistema G3ip (que é um sistema intuicionista) e provamos a admissibilidade do corte nesse sistema. Provaremos também a admissibilidade das regras estruturais (contração e enfraquecimento). 3. Lógica Linear: capítulo fundamental para o trabalho. Apresenta-se uma breve introdução de Lógica Linear Clássica e em seguida apresenta-se a Lógica Linear Intuicionista. Assim, prova-se a admissibilidade do corte na Lógica Linear Intuicionista, apresentando com detalhes casos normalmente omitidos. 4. Lógica Linear com Subexponenciais: apresenta-se a Lógica Linear com Subexponenciais e demonstra-se a admissibilidade do corte nos sistemas SELLSΣ (sistema.

(14) 13. SELLS com uma assinatura exponencial Σ) e SELLSe (sistema SELLS com os quantificados e e d) (OLARTE; PIMENTEL; NIGAM, 2015) com detalhes normalmente omitidos. Trabalharemos com o sistema SELL intuicionista, daí vem o motivo de nos capítulos anteriores provarmos a admissibilidade do corte somente para sistemas intuicionistas. 5. Especificação de sistemas bioquímicos em SELL: neste capítulo iremos especificar um sistema bioquímico utilizando o formalismo de SELL. 6. Conclusões: conclusões sobre o trabalho e perspectivas futuras..

(15) 14. 2. Teoria da Prova. Teoria da Prova é um dos ramos da Lógica Matemática que estuda a estrutura e as propriedades das provas matemáticas. Em sua tese de doutorado, Gerhard Gentzen (1909 - 1945) introduziu o Cálculo de Sequentes no início da década de 1930. Em sua tese, Gentzen propõe duas formulações principais para sistemas de regras lógica: a dedução natural e o cálculo de sequentes. Neste trabalho, não entramos em detalhes sobre dedução natural. Iremos utilizar apenas o cálculo de sequentes, que será abordado na próxima seção. O sistema de dedução natural pode ser visto com detalhes em (TROELSTRA; SCHWICHTENBERG, 2000).. 2.1. Cálculo de Sequentes para a Lógica Intuicionista. O Cálculo de Sequentes que utilizaremos neste trabalho surgiu em 1934, por Gerhard Gentzen, como uma forma de estudo mais prática da Dedução Natural. Isso se deve ao fato de que no Cálculo de Sequentes possuímos um maior controle dos antecedentes e sucedentes, pois, diferentemente da dedução natural, se trabalha com sequentes e não com fórmulas. Gentzen apresentou os sistemas LK e LJ (também chamados de G-systems) que tratavam, respectivamente, da Lógica de Primeira Ordem Clássica e da Lógica de Primeira Ordem Intuicionista (TROELSTRA; SCHWICHTENBERG, 2000). Os sistemas propostos originalmente por Gentzen, chamados G1 e G2, não serão abordados aqui. Nesses sistemas, as regras de enfraquecimento e contração são regras que fazem parte das regras lógicas do sistema. Já no sistema G3 essas regras são admissíveis. Utilizaremos aqui o sistema G3 e provaremos a admissibilidade da regra de corte: Γ⇒D D, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. Cut.

(16) 15. Nesta dissertação iremos abordar somente o Cálculo de Sequentes para a Lógica Intuicionista. Portanto, nesse capítulo, descreveremos o sistema G3ip e iremos nos focar na admissibilidade da regra de corte. Isso se faz necessário pois no Capítulo 4 iremos provar o mesmo para a Lógica Linear com Subexponenciais. Abaixo, seguem as regras do sistema G3ip1 . Sistema G3ip Axioma Inicial A, Γ ⇒ A. axiom. Regras Lógicas ⊥, Γ ⇒ C. ⊥L. A ⊃ B, Γ ⇒ A B, Γ ⇒ C A ⊃ B, Γ ⇒ C A, B, Γ ⇒ C A ∧ B, Γ ⇒ C. A, Γ ⇒ C B, Γ ⇒ C A ∨ B, Γ ⇒ C. ∨L. ∧L. ⊃L. Γ⇒A Γ⇒B Γ⇒A∧B Γ⇒A Γ⇒A∨B. ∨R1. A, Γ ⇒ B Γ⇒A⊃B. ⊃R. ∧R. Γ⇒B Γ⇒A∨B. ∨R2. Observação 2.1. A fórmula principal é a fórmula da conclusão na qual a regra lógica é aplicada. No Cálculo de Sequentes proposto por Gentzen, o contexto das regras é um contexto compartilhado, ou seja, ao aplicar uma regra o contexto Γ permanece o mesmo nas premissas esquerda e direita (exceto em Cut, porém isso será discutido mais a frente no final da seção 2.2). Na regra de Cut, é introduzido um lema D, e mostraremos que essa regra é admissível. A negação e a equivalência são definidas como ¬A = A ⊃ ⊥ e A ≡ B = (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A). Notação. Quando derivamos fórmulas e sequentes, devemos especificar em qual formalismo estamos derivando. Para o sequente Γ ⇒ ∆ derivado no formalismo K, escrevemos `K Γ ⇒ ∆ Na próxima seção mostraremos que a regra de corte é admissível em G3ip. Para provar a admissibilidade, utilizaremos indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H) (essa ordem será melhor explicada na próxima seção). 1. G3 se refere ao terceiro refinamento do sistema de Gentzen e ip significa “intuitionistic propositional”.

(17) 16. Definição 2.1 (Admissibilidade). Dado um sistema de regras G, dizemos que uma regra com premissas S1 ,...,Sn e conclusão S é admissível em G se, sempre que uma instância de S1 ,...,Sn é derivável em G, a instância correspondente de S é derivável em G. Em outras palavras, uma regra é admissível em um sistema de regras G quando o conjunto de resultados desse sistema não se altera com a inclusão dessa nova regra. Ou seja, a regra admissível é uma regra redundante: sempre que houver uma prova com uma regra admissível, existe uma prova sem utilizar essa regra. Definição 2.2 (Peso de uma fórmula). O peso w(A) de uma fórmula A é definido indutivamente por w(⊥) = 0 w(p) = 1, onde um átomo p é uma fórmula que não contém conectivos lógicos. w(A ◦ B) = w(A) + w(B) + 1, onde ◦ = ∧, ∨, ⊃ Notação. `n Γ ⇒ C significa: o sequente Γ ⇒ C é derivável com uma altura máxima de derivação n. Definição 2.3 (Altura de uma derivação). Uma derivação em G3ip é ou um axioma, ou uma instância de ⊥L , ou a aplicação de uma regra lógica a derivações cujas conclusões são premissas da regra utilizada. A altura de uma derivação é o maior número de aplicações sucessivas de regras na derivação , onde um axioma e ⊥L tem altura 0. Podemos definir a altura de uma derivação indutivamente. O caso n = 0 são as regras ⊥L e axiom:. `0 Γ, P ⇒ P. axiom. `0 Γ, ⊥ ⇒ C. Para regras que possuem uma premissa, temos: `n Γ0 ⇒ C 0 `n+1 Γ ⇒ C Para regras que possuem duas premissa, temos: `n Γ0 ⇒ C 0 `m Γ00 ⇒ C 00 `max(n,m)+1 Γ ⇒ C. ⊥L.

(18) 17. Além das regras apresentadas no sistema G3ip, existem ainda as Regras Estruturais. Estas são admissíveis no sistema. São elas enfraquecimento, contração e corte. A admissibilidade do corte será detalhada na próxima sessão. Regras Estruturais Γ⇒C D, Γ ⇒ C. W. D, D, Γ ⇒ C D, Γ ⇒ C. C. Γ⇒D D, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. Cut. Intuitivamente, o enfraquecimento nos diz que introduzir uma hipótese não altera a nossa prova e a contração nos diz que repetir uma hipótese também não altera nossa prova. Nos teoremas 2.1 e 2.2, provaremos a admissibilidade da contração e do enfraquecimento (NEGRI; PLATO, 2001). Já a regra de corte introduz um lema D para provarmos o sequente Γ, ∆ ⇒ C. A admissibilidade do corte será demonstrada na próxima seção. Lema 2.1 (Lema da Inversão). As seguintes afirmações são verdadeiras: • Se `n A ∧ B, Γ ⇒ C, então `n A, B, Γ ⇒ C; • Se `n A ∨ B, Γ ⇒ C, então `n A, Γ ⇒ C e `n B, Γ ⇒ C; • Se `n A ⊃ B, Γ ⇒ C então `n B, Γ ⇒ C. Demonstração. • Se `n A ∧ B, Γ ⇒ C, então `n A, B, Γ ⇒ C Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ Γ, logo o sequente A ∧ B, Γ ⇒ C termina com a regra axiom, então A, B, Γ ⇒ C também termina com a regra axiom. (ii) Se ⊥ ∈ Γ, logo A ∧ B, Γ ⇒ C termina com a regra ⊥L , então A, B, Γ ⇒ C também termina com a regra ⊥L . Hipótese indutiva: assuma que o lema da inversão vale para uma altura ≤ n e seja `n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C. Temos dois casos: (i) A ∧ B é a fórmula principal, então a premissa A, B, Γ ⇒ C tem uma derivação de altura n `n A, B, Γ ⇒ C `n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C. ∧L.

(19) 18. (ii) A ∧ B não é a fórmula principal. Considere, por exemplo, o caso em que C = C1 ∨ C2 `n A ∧ B, Γ ⇒ C1 `n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C1 ∨ C2. ∨R. Pela hipótese indutiva, temos `n A, B, Γ ⇒ C1 . Pela regra ∨R , temos `n A, B, Γ ⇒ C1 `n+1 A, B, Γ ⇒ C1 ∨ C2. ∨R. que é o sequente `n+1 A, B, Γ ⇒ C1 ∨ C2 que queríamos provar. No caso geral, quando A ∧ B não é principal, se temos `n A ∧ B, Γ0 ⇒ C 0 `n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C então, pela hipótese indutiva, temos `n A, B, Γ0 ⇒ C 0 . Qualquer regra que aplicarmos teremos `n+1 A, B, Γ ⇒ C. • Se `n A ∨ B, Γ ⇒ C, então `n A, Γ ⇒ C e `n B, Γ ⇒ C Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ Γ, logo o sequente A ∨ B, Γ ⇒ C termina com a regra axiom, então A, Γ ⇒ C e B, Γ ⇒ C também terminam com a regra axiom. (ii) Se ⊥ ∈ Γ, logo A ∨ B, Γ ⇒ C termina com a regra ⊥L , então A, Γ ⇒ C e B, Γ ⇒ C também terminam com a regra ⊥L . Hipótese indutiva: assuma que o lema da inversão vale para uma altura ≤ n e seja `n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C. Temos dois casos: (i) A ∨ B é a fórmula principal, então as premissas A, Γ ⇒ C e B, Γ ⇒ C tem uma derivação de altura n `n A, Γ ⇒ C `n B, Γ ⇒ C `n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C. ∨L. (ii) A ∨ B não é a fórmula principal. Considere, por exemplo, o caso em que C = C1 ∨ C2 `n A ∨ B, Γ ⇒ C1 `n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C1 ∨ C2. ∨R. Pela hipótese indutiva, temos `n A, Γ ⇒ C1 e `n B, Γ ⇒ C1 . Pela regra ∨R , temos.

(20) 19. `n A, Γ ⇒ C1 `n+1 A, Γ ⇒ C1 ∨ C2. ∨R. `n B, Γ ⇒ C1 `n+1 B, Γ ⇒ C1 ∨ C2. ∨R. que são os sequente `n+1 A, Γ ⇒ C1 ∨ C2 e `n+1 B, Γ ⇒ C1 ∨ C2 que queríamos provar. No caso geral, quando A ∨ B não é principal, se temos `n A ∨ B, Γ0 ⇒ C 0 `n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C então, pela hipótese indutiva, temos `n A, Γ0 ⇒ C 0 e `n B, Γ0 ⇒ C 0 . Qualquer regra que aplicarmos teremos `n+1 A, Γ ⇒ C e `n+1 B, Γ ⇒ C. • Se `n A ⊃ B, Γ ⇒ C então `n B, Γ ⇒ C Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ Γ, logo o sequente A ⊃ B, Γ ⇒ C termina com a regra axiom, então B, Γ ⇒ C também termina com a regra axiom. (ii) Se ⊥ ∈ Γ, logo A ⊃ B, Γ ⇒ C termina com a regra ⊥L , então B, Γ ⇒ C também termina com a regra ⊥L . Hipótese indutiva: assuma que o lema da inversão vale para uma altura ≤ n e seja `n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C. Temos dois casos: (i) A ⊃ B é a fórmula principal, então a premissa B, Γ ⇒ C tem uma derivação de altura n `n A ⊃ B, Γ ⇒ A `n B, Γ ⇒ C `n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C. ⊃L. (ii) A ⊃ B não é a fórmula principal. Considere, por exemplo, o caso em que C = C1 ∨C2 `n A ⊃ B, Γ ⇒ C1 `n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C1 ∨ C2. ∨R. Pela hipótese indutiva, temos `n B, Γ ⇒ C1 . Pela regra ∨R , temos `n B, Γ ⇒ C1 `n+1 B, Γ ⇒ C1 ∨ C2. ∨R. que é o sequente `n+1 B, Γ ⇒ C1 ∨ C2 que queríamos provar. No caso geral, quando A ⊃ B não é principal, se temos.

(21) 20. `n A ⊃ B, Γ0 ⇒ C 0 `n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C então, pela hipótese indutiva, temos `n B, Γ0 ⇒ C 0 . Qualquer regra que aplicarmos teremos `n+1 B, Γ ⇒ C. QED. Teorema 2.1 (Preservação da altura da Contração). Se `n D, D, Γ ⇒ C, então `n D, Γ ⇒ C. Demonstração. A prova é por indução na altura da derivação n. Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ {D, D, Γ} e o sequente D, D, Γ ⇒ C termina com a regra axiom, logo C ∈ {D, Γ} e D, Γ ⇒ C também termina com a regra axiom. (ii) Se D, D, Γ ⇒ C termina com ⊥L , então ⊥L ∈ {D, D, Γ}, logo ⊥L ∈ {D, Γ} e D, Γ ⇒ C também termina com ⊥L . Hipótese indutiva: assuma que a preservação da altura da contração é admissível para derivações com altura ≤ n. Temos dois casos: (i) D não é a fórmula principal. Considere, por exemplo, o caso em que C = C1 ∨ C2 `n D, D, Γ ⇒ C1 `n+1 D, D, Γ ⇒ C1 ∨ C2 Pela hipótese indutiva temos `n D, Γ ⇒ C1 . Pela regra ∨R , temos `n D, Γ ⇒ C1 `n+1 D, Γ ⇒ C1 ∨ C2. ∨R. que é o sequente `n+1 D, Γ ⇒ C1 ∨ C2 que queríamos provar. Em geral, quando D não é principal, se temos `n D, D, Γ0 ⇒ C 0 `n+1 D, D, Γ ⇒ C então, pela hipótese indutiva, temos `n D, Γ0 ⇒ C 0 . Qualquer regra que aplicarmos teremos `n+1 D, Γ ⇒ C. O mesmo vale para regras que possuem duas premissas. Suponha, por exemplo, Γ = Γ0 , A ⊃ B.

(22) 21. `n A ⊃ B, D, D, Γ0 ⇒ A `m D, D, Γ0 , B ⇒ C `max(n,m)+1 D, D, Γ0 , A ⊃ B ⇒ C. ⊃L. Pela hipótese indutiva, temos `n A ⊃ B, D, Γ0 ⇒ A e `m D, Γ0 , B ⇒ C. Pela regra ⊃L , temos `n A ⊃ B, D, Γ0 ⇒ A `m D, Γ0 , B ⇒ C `max(n,m)+1 D, Γ0 , A ⊃ B ⇒ C. ⊃L. (ii) D é principal na última regra que conclui as premissas de contração. Então temos três subcasos: • D =A∧B Temos o último passo da derivação: `n A, B, A ∧ B, Γ ⇒ C `n+1 A ∧ B, A ∧ B, Γ ⇒ C. ∧L. Pelo lema da inversão, sabemos que `n A, B, A, B, Γ ⇒ C. Por hipótese indutiva (aplicada duas vezes), temos `n A, B, Γ ⇒ C. Aplicando a regra ∧L , temos `n A, B, Γ ⇒ C `n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C. ∧L. • D =A∨B Temos o último passo da derivação: `n A, A ∨ B, Γ ⇒ C `n B, A ∨ B, Γ ⇒ C `n+1 A ∨ B, A ∨ B, Γ ⇒ C. ∨L. Pelo lema da inversão, sabemos que `n A, A, Γ ⇒ C e `n B, B, Γ ⇒ C. Por hipótese indutiva, temos `n A, Γ ⇒ C e `n B, Γ ⇒ C. Aplicando a regra ∨L , temos `n A, Γ ⇒ C `n B, Γ ⇒ C `n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C. ∨L. • D=A⊃B Temos o último passo da derivação: `n A ⊃ B, A ⊃ B, Γ ⇒ A `n B, A ⊃ B, Γ ⇒ C `n+1 A ⊃ B, A ⊃ B, Γ ⇒ C. ⊃L. Pela hipótese indutiva na primeira premissa, temos `n A ⊃ B, Γ ⇒ A. Pelo lema da inversão na segunda premissa, temos `n B, B, Γ ⇒ C. Por hipótese indutiva, temos `n B, Γ ⇒ C. Aplicando a regra ⊃L , temos.

(23) 22. `n A ⊃ B, Γ ⇒ A `n B, Γ ⇒ C `n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C. ⊃L. QED. Teorema 2.2 (Preservação da altura do Enfraquecimento). Se `n Γ ⇒ C, então `n D, Γ ⇒ C para um D arbitrário. Demonstração. A prova é por indução na altura da derivação n. Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ Γ e o sequente Γ ⇒ C termina com a regra axiom, logo C ∈ {D, Γ} e D, Γ ⇒ C também termina com a regra axiom. (ii) Se Γ ⇒ C termina com ⊥L , então ⊥L ∈ Γ, logo ⊥L ∈ {D, Γ} e D, Γ ⇒ C também termina com ⊥L . Hipótese indutiva: assuma que a preservação da altura do enfraquecimento é admissível para derivações com altura ≤ n. Se a última regra aplicada foi ∧L , onde Γ = A ∧ B, Γ0 , temos o último passo: `n A, B, Γ0 ⇒ C `n+1 A ∧ B, Γ0 ⇒ C. ∧L. Pela hipótese indutiva, `n D, A, B, Γ0 ⇒ C. Então, aplicando de ∧L , `n D, A, B, Γ0 ⇒ C `n+1 D, A ∧ B, Γ0 ⇒ C. ∧L. que é o sequente `n+1 D, A ∧ B, Γ0 ⇒ C que queríamos provar. Qualquer regra que aplicamos teremos `n+1 D, A ∧ B, Γ0 ⇒ C. O mesmo vale para regras que possuem duas premissas. Suponha, por exemplo, Γ = Γ0 , A ⊃ B `n A ⊃ B, Γ0 ⇒ A `m Γ0 , B ⇒ C `max(n,m)+1 Γ0 , A ⊃ B ⇒ C. ⊃L. Pela hipótese indutiva, temos `n D, A ⊃ B, Γ0 ⇒ A e `m D, Γ0 , B ⇒ C. Pela regra ⊃L , temos `n D, A ⊃ B, Γ0 ⇒ A `m D, Γ0 , B ⇒ C `max(n,m)+1 D, Γ0 , A ⊃ B ⇒ C QED.. ⊃L.

(24) 23. 2.2. Admissibilidade do Corte. Agora, iremos apresentar o principal resultado desse capítulo: a admissibilidade do corte em G3ip. A regra de corte nos diz que é possível provar o sequente Γ, ∆ ⇒ C se podemos “adivinhar” um lema D. Γ⇒D D, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. Cut. A prova utiliza indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H), onde W é o peso do corte (definição 2.5) e H é a altura do corte (definição 2.4). Como dito no início do capítulo, uma regra admissível é uma regra redundante: os resultados não se alteram com a inclusão dessa nova regra. Dessa forma, a regra de corte facilita algumas provas. Mas se existe uma prova utilizando a regra do corte, então existe também uma prova sem utilizar a regra do corte. Definição 2.4 (Altura do Corte). A altura de uma regra de corte (altura do corte) em uma derivação é a soma das alturas de derivação das duas premissas do corte. Notação. A notação. π1 π2 .. .. . . Γ⇒D D, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. Cut. significa que o sequente Γ ⇒ D possui uma derivação π1 de altura n e o sequente D, ∆ ⇒ C possui uma derivação π2 de altura m. Logo, esse corte possui uma altura n + m. Da mesma forma, uma derivação π3 possui uma altura k. Definição 2.5 (Peso do corte). O peso do corte é o peso w(D) da fórmula de corte D. Teorema 2.3 (Eliminação do Corte). A regra de corte Γ⇒D D, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C é admissível em G3ip.. Cut.

(25) 24. Demonstração. A prova procede por indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H), onde W é o peso (ou complexidade) da fórmula de corte e H é a altura do corte. Como W e H são bem-fundados, podemos mostrar que a ordem lexicográfica definida como “se (w1 , h1 ) > (w2 , h2 ), então ou w1 > w2 , ou w1 = w2 e h1 > h2 ” também é uma ordem bem fundada. Mostraremos que o corte é admissível para o caso base (0, 0), ou seja, quando W = 0 e H = 0. Esse é o nosso caso base para indução. Depois utilizamos indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H). Caso base: (W, H) = (0, 0) Para W = 0, temos que D = ⊥. Temos a derivação com altura de corte zero, onde ⊥ ∈ Γ para que H = 0 ⊥L. ⊥, Γ0 ⇒ ⊥ ⊥, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. ⊥L Cut. Transformamos então em uma derivação sem corte. ⊥, Γ0 , ∆ ⇒ C. ⊥L. Casos indutivos: a demonstração será dividida nos seguintes casos: O corte possui pelo menos um axioma ou conclusão de ⊥L como premissa 1. A premissa esquerda Γ ⇒ D do corte é um axioma ou conclusão de ⊥L . 2. A premissa direita D, ∆ ⇒ C é um axioma ou conclusão de ⊥L . O corte não possui nem axioma nem conclusão de ⊥L como premissas 3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda. 4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita. 5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas..

(26) 25. Para provar o caso (w, h) com w 6= 0 e/ou h 6= 0, vamos assumir, por indução, que todo corte com peso w0 e altura h0 pode ser eliminado, onde (w0 , h0 ) < (w, h). Ou seja, usaremos indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H). Segue a demonstração para cada caso com seus respectivos subcasos: 1. A premissa esquerda Γ ⇒ D do corte é um axioma ou conclusão de ⊥L . 1.1. A fórmula D no corte está em Γ Γ = Γ0 , D Axiom. Γ0 , D ⇒ D D, ∆ ⇒ C 0 Γ , D, ∆ ⇒ C. Cut. Neste caso, Γ, ∆ ⇒ C deriva de D, ∆ ⇒ C por enfraquecimento. 1.2. ⊥ é uma fórmula em Γ Temos uma derivação com altura de corte n, onde Γ = Γ0 , ⊥ π1 .. . ⊥L ∆, D ⇒ C Γ0 , ⊥ ⇒ D Γ0 , ⊥, ∆ ⇒ C. Cut. Transformamos em uma derivação sem corte Γ0 , ⊥, ∆ ⇒ C. ⊥L. 2. A premissa direita D, ∆ ⇒ C é um axioma ou conclusão de ⊥L . 2.1. C está em ∆ Temos uma derivação com altura de corte n, onde ∆ = ∆0 , C π1 .. . Γ⇒D ∆0 , C, D ⇒ C Γ, ∆0 , C ⇒ C Transformamos em uma derivação sem corte Γ, ∆0 , C ⇒ C 2.2. C = D. axiom. axiom Cut.

(27) 26. Γ⇒C C, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. Axiom Cut. Neste caso, Γ, ∆ ⇒ C deriva de Γ ⇒ C por enfraquecimento 2.3. ⊥ é uma fórmula em ∆ Temos uma derivação com altura de corte n, onde ∆ = ∆0 , ⊥ π1 .. . Γ⇒D ∆0 , ⊥, D ⇒ C Γ, ∆0 , ⊥ ⇒ C. ⊥L Cut. Transformamos em uma derivação sem corte Γ, ∆0 , ⊥ ⇒ C. ⊥L. 3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda. 3.1. ∧L , com Γ = A ∧ B, Γ0 A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é π1 .. π2 . .. A, B, Γ0 ⇒ D . ∧L 0 D, ∆ ⇒ C A ∧ B, Γ ⇒ D 0 A ∧ B, Γ , ∆ ⇒ C. Cut. Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m π1 π2 .. .. . . A, B, Γ0 ⇒ D D, ∆ ⇒ C A, B, Γ0 , ∆ ⇒ C ∧L A ∧ B, Γ0 , ∆ ⇒ C. Cut. 3.2. ∨L , com Γ = A ∨ B, Γ0 A derivação com uma altura de corte max(n, m) + 1 + k é π1 π2 .. .. π3 . . .. 0 0 A, Γ ⇒ D B, Γ ⇒ D . ∨L D, ∆ ⇒ C A ∨ B, Γ0 ⇒ D A ∨ B, Γ0 , ∆ ⇒ C. Cut.

(28) 27. Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + k e m + k. π2 π1 π3 π3 .. .. .. .. . . . . 0 0 B, Γ ⇒ D D, ∆ ⇒ C A, Γ ⇒ D D, ∆ ⇒ C Cut 0 0 A, Γ , ∆ ⇒ C B, Γ , ∆ ⇒ C ∨L A ∨ B, Γ0 , ∆ ⇒ C. Cut. 3.3. ⊃L , com Γ = A ⊃ B, Γ0 A derivação com uma altura de corte max(n, m) + 1 + k é π1 π2 .. .. π3 . . .. 0 0 A ⊃ B, Γ ⇒ A B, Γ ⇒ D . ⊃L A ⊃ B, Γ0 ⇒ D D, ∆ ⇒ C A ⊃ B, Γ0 , ∆ ⇒ C. Cut. Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte m + k π2 π1 π3 .. .. .. . . . D, ∆ ⇒ C B, Γ0 ⇒ D A ⊃ B, Γ0 ⇒ A W A ⊃ B, Γ0 , ∆ ⇒ A B, Γ0 , ∆ ⇒ C ⊃L A ⊃ B, Γ0 , ∆ ⇒ C. Cut. 4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita. 4.1. ∧L , com ∆ = A ∧ B, ∆0 A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é π2 .. π1 . .. D, A, B, ∆0 ⇒ C . D, A ∧ B, ∆0 ⇒ C Γ⇒D Γ, A ∧ B, ∆0 ⇒ C. ∧L Cut. Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m π2 π1 .. .. . . Γ⇒D D, A, B, ∆0 ⇒ C Γ, A, B, ∆0 ⇒ C ∧L Γ, A ∧ B, ∆0 ⇒ C. Cut. 4.2. ∨L , com ∆ = A ∨ B, ∆0 A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é.

(29) 28. π1 .. . Γ⇒D. π2 π3 .. .. . . D, A, ∆0 ⇒ C D, B, ∆0 ⇒ C D, A ∨ B, ∆0 ⇒ C Cut Γ, A ∨ B, ∆0 ⇒ C. ∨L. Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + m e n + k π2 π3 π1 π1 .. .. .. .. . . . . Γ⇒D D, A, ∆0 ⇒ C Γ⇒D D, B, ∆0 ⇒ C Cut Γ, A, ∆0 ⇒ C Γ, B, ∆0 ⇒ C ∨L Γ, A ∨ B, ∆0 ⇒ C. Cut. 4.3. ⊃L , com ∆ = A ⊃ B, ∆0 A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é π1 .. . Γ⇒D. π2 π3 .. .. . . D, A ⊃ B, ∆0 ⇒ A D, B, ∆0 ⇒ C D, A ⊃ B, ∆0 ⇒ C Cut Γ, A ⊃ B, ∆0 ⇒ C. ⊃L. Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + m e n + k π2 π3 π1 π1 .. .. .. .. . . . . 0 Γ⇒D D, A ⊃ B, ∆ ⇒ A Γ⇒D D, B, ∆0 ⇒ C Cut Γ, A ⊃ B, ∆0 ⇒ A Γ, B, ∆0 ⇒ C ⊃L Γ, A ⊃ B, ∆0 ⇒ C. Cut. 4.4. ∧R , com C = A ∧ B A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é π1 .. . Γ⇒D. π2 π3 .. .. . . D, ∆ ⇒ A D, ∆ ⇒ B D, ∆ ⇒ A ∧ B Cut Γ, ∆ ⇒ A ∧ B. ∧R. Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + m e n + k π1 π2 π1 π3 .. .. .. .. . . . . Γ⇒D D, ∆ ⇒ A Γ⇒D D, ∆ ⇒ B Cut Γ, ∆ ⇒ A Γ, ∆ ⇒ B ∧R Γ, ∆ ⇒ A ∧ B. Cut.

(30) 29. 4.5. ∨R , com C = A ∨ B As derivações com alturas de corte n + m + 1 e n + k + 1 são π2 .. π1 . .. D, ∆ ⇒A . Γ⇒D D, ∆ ⇒ A ∨ B Γ, ∆ ⇒ A ∨ B. ∨R1 Cut. π3 .. π1 . .. D, ∆ ⇒B . Γ⇒D D, ∆ ⇒ A ∨ B Γ, ∆ ⇒ A ∨ B. ∨R2 Cut. Permutando os cortes, temos as derivações com alturas de corte n + m e n + k π1 π2 .. .. . . Γ⇒D D, ∆ ⇒ A Γ, ∆ ⇒ A ∨R1 Γ, ∆ ⇒ A ∨ B. Cut. π1 π3 .. .. . . Γ⇒D D, ∆ ⇒ B Γ, ∆ ⇒ B ∨R2 Γ, ∆ ⇒ A ∨ B. Cut. 4.6. ⊃R , com C = A ⊃ B A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é π2 .. π1 . .. D, A, ∆ ⇒B . D, ∆ ⇒ A ⊃ B Γ⇒D Γ, ∆ ⇒ A ⊃ B. ⊃R Cut. Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m π1 π2 .. .. . . Γ⇒D D, A, ∆ ⇒ B Γ, A, ∆ ⇒ B ⊃R Γ, ∆ ⇒ A ⊃ B. Cut. 5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas. 5.1. D = A ∧ B A derivação com peso de corte w(A ∧ B) é π3 π1 π2 .. .. .. . . . A, B, ∆ ⇒ C Γ⇒A Γ ⇒ B ∧R Γ⇒A∧B A ∧ B, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. ∧L Cut. Obtemos então dois cortes com complexidades (pesos) w(B) e w(A).

(31) 30. π1 π3 .. .. π2 . . .. Γ ⇒ A A, B, ∆ ⇒C . Γ, B, ∆ ⇒ C Γ⇒B Cut Γ, Γ, ∆ ⇒ C C Γ, ∆ ⇒ C. Cut. 5.2. D = A ∨ B A derivação com peso de corte w(A ∨ B) é π1 .. . Γ⇒A Γ⇒A∨B. π2 π3 .. .. . . A, ∆ ⇒ C B, ∆ ⇒ C ∨R1 A ∨ B, ∆ ⇒ C Cut Γ, ∆ ⇒ C. ∨L. Obtemos então um corte com complexidade (peso) menor w(A) π1 π2 .. .. . . Γ⇒A A, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. Cut. O caso onde onde escolhemos B em ∨R2 é similar. 5.3. D = A ⊃ B A derivação com uma altura de corte n + 1 + max(m, k) + 1 e peso w(A ⊃ B) é π1 .. . A, Γ ⇒ B Γ⇒A⊃B. π3 π2 .. .. . . A ⊃ B, ∆ ⇒ A B, ∆ ⇒ C ⊃R A ⊃ B, ∆ ⇒ C Cut Γ, ∆ ⇒ C. ⊃L. Obtemos então uma derivação com três cortes. No primeiro e no segundo corte, os pesos foram reduzidos para w(A) e w(B). No terceiro corte, o peso permaneceu o mesmo e a altura foi reduzida para n + 1 + m π1 .. . A, Γ ⇒ B Γ⇒A⊃B. 5.4. D = ⊥ Temos. π2 π1 π3 .. .. .. . . . ⊃R A ⊃ B, ∆ ⇒ A A, Γ ⇒ B B, ∆ ⇒ C Cut Γ, ∆ ⇒ A A, Γ, ∆ ⇒ C Cut Γ, ∆ ⇒ C. Cut.

(32) 31. Γ⇒⊥ ⊥, ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C. ⊥L Cut. Existem duas possibilidades para este caso: (i) Γ ⇒ ⊥ termina em zero passos e Γ, ∆ ⇒ C segue como no caso 1 (ii) Γ ⇒ ⊥ é derivado por uma regra da esquerda (casos 3.1-3.3) QED.. 2.3. Lógica de Primeira Ordem. Nesta seção, estenderemos a Lógica Proposicional apresentada anteriormente. Na seção anterior, as fórmulas representavam proposições sem argumentos. Agora, vamos estender nossa abordagem para a Lógica de Primeira Ordem, também chamada de Lógica de Predicados. Em Lógica de Primeira Ordem os átomos tem o formato P (t1 , ..., tn ), ou seja, os predicados possuem argumentos. Isso nos trás um dos principais pontos desta seção: os quantificadores ∃ e ∀ . Nas próximas seções trataremos esses quantificadores com mais detalhes. Definição 2.6 (Alfabeto da Lógica de Primeira Ordem). • a, b, ... ou a1 , a2 , ... ou a, a0 , ... são constantes; • x, y, ... ou x1 , x2 , ... ou x, x0 , ... são variáveis; • f (x1 , ..., xn ), g(x1 , ..., xn ), ... são funções com aridade n, para n ≥ 0; • P (x1 , ..., xn ), Q(x1 , ..., xn ), ... são predicados com aridade n, para n ≥ 0; • ⊥ é o conectivo com aridade zero; • Os conectivos com aridade n=1 são os quantificadores ∃ e ∀; • Os conectivos com aridade n=2 são ∧, ∨ e ⊃. Termos são representados por t1 , t2 , ... ou t, t0 , ... Definimos os termos indutivamente: • Constantes são termos; • Variáveis são termos;.

(33) 32. • Aplicação de uma função f aos termos t1 , ..., tn nos fornece o termo f (t1 , ...tn ). Fórmulas são representadas indutivamente por: • ⊥ é uma fórmula; • A aplicação de um predicado P aos termos t1 , ..., tn nos dá a fórmula P (t1 , ..., tn ); • Se A e B são fórmulas, então A ∧ B, A ∨ B e A ⊃ B são fórmulas; • Se A é uma fórmula, então ∀xA e ∃xA são fórmulas. O conjunto de variáveis livres F V (t) em um termo t é definido indutivamente por:. 2. • Para t = a, F V (a) = ∅; • Para t = x, F V (t) = {x}; • Para t = f (t1 , ..., tn ), F V (f (t1 , ..., tn )) = F V (t1 ) ∪ ... ∪ F V (tn ). O conjunto de variáveis livres F V (A) em uma fórmula A é definido indutivamente por: • F V (⊥) = ∅; • F V (P (t1 , ..., tn )) = F V (t1 ) ∪ ... ∪ F V (tn ); • F V (A ∧ B) = F V (A ∨ B) = F V (A ⊃ B) = F V (A) ∪ F V (B); • F V (∀xA) = F V (∃xA) = F V (A) − {x}. Dizemos que um termo t é livre para x ∈ A se, quando substituímos x por t em A, nenhum termo t torna-se ligado em A. Em Lógica de Primeira Ordem vale também o princípio da α-equivalência (ou αconversão): as variáveis ligadas podem ser renomeadas, isto é, modificamos o símbolo que as representa, desde que esse novo símbolo já não esteja presente na expressão. Por exemplo, se y não ocorre em A(x), então ∀xA(x) ≡ ∀yA(y) e ∃xA(x) ≡ ∃yA(y) são exemplos de α-equivalências. 2. F.V. é a abreviação de “Free Variables”.

(34) 33. Considere uma fórmula A e um termo t. A variável livre x em A pode ser substituída por um termo t. Utilizamos a notação [t/x] para indicar que a variável x foi substituída pelo termo t. A seguir, definimos a substituição indutivamente em fórmulas e termos. Substituição [t/x] em um termo: • a(t/x) = a; • y(t/x) = y se y 6= x e y(t/x) = t se y = x; • f (t1 , ..., tn )(t/x) = f (t1 (t/x), ..., tn (t/x)). Substituição [t/x] em uma fórmula: • ⊥(t/x) = ⊥; • (P (t1 , ..., tn ))(t/x) = P (t1 (t/x), ..., tn (t/x)); • (A ◦ B)(t/x) = A(t/x) ◦ B(t/x), para ◦ = ∧, ∨, ⊃; • (∀yA)(t/x) = ∀yA(t/x) se y 6= x e (∀yA)(t/x) = ∀yA se y = x; • (∃yA)(t/x) = ∃yA(t/x) se y 6= x e (∃yA)(t/x) = ∃yA se y = x;. 2.3.1. Os quantificadores no Cálculo de Sequentes. Quando escrevemos A(y/x), significa que estamos substituindo x por um y arbitrário. Já quando escrevemos A(t/x), significa que estamos substituindo x por um t particular. O cálculo de sequentes para a Lógica de Primeira Ordem é obtido adicionando os quantificados nas regras G3ip: Sistema G3i A(t/x), ∀xA, Γ ⇒ C ∀xA, Γ ⇒ C A(y/x), Γ ⇒ C ∃xA, Γ ⇒ C. ∃L. ∀L. Γ ⇒ A(y/x) Γ ⇒ ∀xA Γ ⇒ A(t/x) Γ ⇒ ∃xA. ∃R. ∀R.

(35) 34. onde y é uma variável fresca. Será mostrado que os teoremas, definições e lemas da Lógica Proposicional continuam válidos para os quantificadores. Observe que na regra ∀R está implícito que y não pode ocorrer livre em A. Podemos então dar o seguinte significado a essas regras: • Uma prova direta de ∀xA consiste de uma prova de A(y/x) para um y arbitrário; • Uma prova direta de ∃xA consiste de uma prova de A(t/x) para um t particular. Estendemos a Definição 2.2 e o peso das fórmulas com quantificadores é dado por w(∀xA) = w(A) + 1 w(∃xA) = w(A) + 1 A altura da derivação é definida da mesma forma mostrada para G3ip. Lema 2.2 (Preservação da altura da α-conversão). Dado uma derivação D de Γ ⇒ C em G3i, essa derivação pode ser transformada em uma derivação D0 de Γ0 ⇒ C 0 onde Γ0 , C 0 e D0 diferem de Γ, C e D apenas pela substituição dos símbolos das variáveis ligadas por símbolos de variáveis frescas. Demonstração. A prova procede por indução na altura da derivação. Caso base: se n = 0, então Γ ⇒ C é um axioma ou conclusão de ⊥L . Assim, o mesmo ocorre com Γ0 ⇒ C 0 , onde os símbolos das variáveis ligadas ligadas foram trocados por símbolos das variáveis frescas. Caso indutivo: suponha que Γ ⇒ C possui uma derivação de altura ≤ n. Se aplicarmos regras proposicionais (∧, ∨, ⊃), a renomeação das variáveis da conclusão é obtida através das premissas. Considere, por exemplo, o caso ∨R onde C = A ∨ B `n Γ ⇒ A `n+1 Γ ⇒ A ∨ B. ∨R. `n Γ0 ⇒ A0 `n+1 Γ0 ⇒ (A ∨ B)0. ∨R. Para os quantificadores, os casos são mais interessantes. Considere, por exemplo, a regra ∀L `n A(t/x), ∀xA, Γ0 ⇒ C 0 `n+1 ∀xA, Γ0 ⇒ C 0. ∀L.

(36) 35. Trocando x pela variável fresca y, pela hipótese indutiva, temos a premissa com mesma altura `n A(y/x)(t/y), (∀yA)(y/x), Γ0 ⇒ C 0 Aplicando ∀L , temos a derivação `n A(y/x)(t/y), (∀yA)(y/x), Γ0 ⇒ C 0 `n+1 (∀yA)(y/x), Γ0 ⇒ C 0. ∀L. onde `n+1 (∀yA)(y/x), Γ0 ⇒ C 0 é o sequente que queríamos provar. Os casos ∃L e ∃R são obtidos de forma similar. QED. Lema 2.3 (Lema da Substituição). Se Γ ⇒ C é derivável em G3i e t é livre para x ∈ {Γ, C} então Γ(t/x) ⇒ C(t/x) é derivável em G3i com a mesma altura de derivação. Demonstração. A demonstração é por indução na altura da derivação. Caso base: se Γ ⇒ C é um axioma ou conclusão de ⊥L então Γ(t/x) ⇒ C(t/x) também é um axioma ou conclusão de ⊥L , pois (i) se C ∈ Γ então C(t/x) ∈ Γ(t/x) (ii) se ⊥ ∈ Γ então ⊥ ∈ Γ(t/x). Caso indutivo: suponha que o lema vale para altura ≤ n. Considere, por exemplo, que a última regra aplicada foi ∨R , onde C = A ∨ B `n Γ ⇒ A `n+1 Γ ⇒ (A ∨ B). ∨R. Por hipótese indutiva, temos `n Γ(t/x) ⇒ A(t/x) Aplicando ∨R `n Γ(t/x) ⇒ A(t/x) `n+1 Γ(t/x) ⇒ (A ∨ B)(t/x). ∨R. Se t é livre para x ∈ {A ∨ B} então t é livre para x ∈ A (pois a regra ∨R não altera o conjunto de variáveis livres e ligadas). Então Γ ⇒ C possui a mesma altura de derivação que Γ(t/x) ⇒ C(t/x). O mesmo vale para as demais regras dos operadores ∧, ∨, ⊃. Os casos mais interessantes são quando aplicamos as regras ∀ e ∃. (i) Se Γ ⇒ C é derivado por ∀L , temos.

(37) 36. `n A(t/x), ∀xA, Γ ⇒ C `n+1 ∀xA, Γ ⇒ C. ∀L. Se y 6= x, então, pelo lema da α-conversão, temos `n A(t0 /y), ∀yA, Γ0 ⇒ C `n+1 ∀yA, Γ0 ⇒ C. ∀L. Se t é livre para x ∈ A(t0 /x), então, por hipótese indutiva, temos `n (A(t0 /y))(t/x), (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x) As duas substituições (A(t0 /y))(t/x) podem ser dadas por uma substituição única: (A(t0 /y))(t/x) = A(t0 (t/x)/y, t/x) Se t é livre para x ∈ {∀yA}, então o termo t não contém a variável y: (A(t0 /y))(t/x) = A(t0 (t/x)/y, t/x) = (A(t/x))(t0 (t/x)/y) Então, substituindo no sequente da hipótese indutiva, temos `n (A(t/x))(t00 /y), (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x) onde t00 = t0 (t/x) Aplicando ∀L `n (A(t/x))(t00 /y), (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x) `n+1 (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x). ∀L. onde `n+1 (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x) é o sequente que queríamos demonstrar. (ii) Se Γ ⇒ C é derivado por ∀R , temos `n Γ ⇒ A(z/y) `n+1 Γ ⇒ ∀yA onde y 6= x. Por hipótese indutiva, temos. ∀R.

(38) 37. `n Γ(t/x) ⇒ A(z/y)(t/x) `n+1 Γ(t/x) ⇒ (∀yA)(t/x). ∀R. Como t é livre para x ∈ {∀yA}, podemos trocar a ordem das substituições e obter uma derivação de altura ≤ n como queríamos provar `n Γ(t/x) ⇒ A(t/x)(z/y) `n+1 Γ(t/x) ⇒ (∀yA)(t/x). ∀R. Os casos ∃L e ∃R são similares a ∀R e ∀L . QED.. 2.3.2. Admissibilidade do Corte. Teorema 2.4 (Eliminação do Corte para G3i). A regra de corte é admissível em G3i. Demonstração. Continuando a prova de admissibilidade de G3ip com a mesma numeração, iremos adicionar os casos em que aparecem os quantificadores. 3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda. 3.4. ∀L , com Γ = ∀xA, Γ0 A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é π1 .. .. π2 .. A(t/x), ∀xA, Γ0 ⇒ D . ∀L D, ∆ ⇒ C ∀xA, Γ0 ⇒ D ∀xA, Γ0 , ∆ ⇒ C. Cut. Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m π1 .. .. π2 .. . A(t/x), ∀xA, Γ0 ⇒ D D, ∆ ⇒ C A(t/x), ∀xA, Γ0 , ∆ ⇒ C ∀L ∀xA, Γ0 , ∆ ⇒ C 3.5. ∃L , com Γ = ∃xA, Γ0 A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é. Cut.

(39) 38. π1 .. .. π2 .. A(y/x), Γ ⇒ D . ∃L ∃xA, Γ0 ⇒ D D, ∆ ⇒ C ∃xA, Γ0 , ∆ ⇒ C 0. Cut. Neste caso, não podemos simplesmente permutar o corte e obter uma altura de corte menor, pois a variável fresca de ∃L será outra π10 π2 .. .. . . A(z/x), Γ0 ⇒ D D, ∆ ⇒ C A(z/x), Γ0 , ∆ ⇒ C ∃L ∃xA, Γ0 , ∆ ⇒ C. Cut. Porém, o lema da substituição nos garante que Γ ⇒ C e Γ(t/x) ⇒ C(t/x) possuem a mesma altura de derivação, onde t é livre para x em Γ e C. Então A(y/x), Γ0 ⇒ D e A(z/x), Γ0 ⇒ D possuem a mesma altura de derivação n. Logo, a permutação do corte nos fornece uma prova de altura n + m. 4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita. 4.7. ∀L , com ∆ = ∀xA, ∆0 A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é π2 .. π1 . .. D, A(t/x), ∀xA, ∆0 ⇒ C . Γ⇒D D, ∀xA, ∆0 ⇒ C Cut ∀xA, Γ, ∆0 ⇒ C. ∀L. Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m π2 π1 .. .. . . Γ⇒D D, A(t/x), ∀xA, ∆0 ⇒ C A(t/x), ∀xA, Γ, ∆0 ⇒ C ∀L ∀xA, Γ, ∆0 ⇒ C 4.8. ∃L , com ∆ = ∃xA, ∆0 A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é π2 .. π1 . .. D, A(y/x), ∆0 ⇒ C . ∃L Γ⇒D D, ∃xA, ∆0 ⇒ C Cut ∃xA, Γ, ∆0 ⇒ C. Cut.

(40) 39. Permutando o corte e pelo lema da substituição (da mesma forma que no caso 3.5), temos uma derivação com altura de corte n + m π2 0 π1 .. .. . . Γ⇒D D, A(z/x), ∆0 ⇒ C A(z/x), Γ, ∆0 ⇒ C ∃L ∃xA, Γ, ∆0 ⇒ C. Cut. 4.9. ∀R , com C = ∀xA A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é π2 .. .. π1 .. D, ∆ ⇒ A(y/x) . ∀R D, ∆ ⇒ ∀xA Γ⇒D Cut Γ, ∆ ⇒ ∀xA Permutando o corte e pelo lema da substituição (da mesma forma que no caso 3.5 e 4.8), temos uma derivação com altura de corte n + m π2 0 π1 .. .. . . Γ⇒D D, ∆ ⇒ A(z/x) Γ, ∆ ⇒ A(z/x) ∀R Γ, ∆ ⇒ ∀xA. Cut. 4.10. ∃R , com C = ∃xA A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é π2 .. π1 . .. D, ∆ ⇒ A(t/x) . ∃R D, ∆ ⇒ ∃xA Γ⇒D Cut Γ, ∆ ⇒ ∃xA Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m π2 π1 .. .. . . Γ⇒D D, ∆ ⇒ A(t/x) Γ, ∆ ⇒ A(t/x) ∃L Γ, ∆ ⇒ ∃xA 5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas.. Cut.

(41) 40. 5.4. D = ∀xA A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 e peso w(∀xA) é π1 .. .. π2 .. .. Γ ⇒ A(y/x) Γ ⇒ ∀xA. A(t/x), ∀xA, ∆ ⇒ C ∀xA, ∆ ⇒ C Cut Γ, ∆ ⇒ C. ∀R. ∀L. Obtemos então dois cortes π1 0 .. π2 . .. Γ ⇒ A(z/x) . ∀R Γ ⇒ ∀xA A(t/x), ∀xA, ∆ ⇒ C A(t/x), Γ, ∆ ⇒ C Cut Γ, Γ, ∆ ⇒ C C Γ, ∆ ⇒ C. π1 [t/y] .. . Γ ⇒ A(t/x). Cut. No primeiro corte reduzimos o peso para w(A(t/x)). No segundo corte, pelo lema da substituição, π10 tem a mesma altura que π1 . E então reduzimos a altura para n + 1 + m. 5.5. D = ∃xA A derivação com peso de corte w(∃xA) é π1 .. . Γ ⇒ A(t/x) Γ ⇒ ∃xA. π2 .. . A(y/x), ∆ ⇒ C ∃L ∃xA, ∆ ⇒ C Cut Γ, ∆ ⇒ C ∃R. Obtemos uma derivação com peso de corte w(A(t/x)), onde, pelo lema da substituição, π20 tem a mesma altura que π2 π1 .. .. π2 0 .. .. Γ ⇒ A(t/x) A(t/x), ∆ ⇒ C Γ, ∆ ⇒ C QED.. Cut.

(42) 41. 3. Lógica Linear. A Lógica Linear é uma Lógica Subestrutural que foi proposta por Jean-Yves Girard (GIRARD, 1986). A motivação para a criação da Lógica Linear veio da necessidade de haver mais controle nos recursos utilizados durante a prova. Em lógica clássica temos a implicação A⊃B significando, intuitivamente, que podemos utilizar um A para produzir um número indeterminado de Bs. Em problemas reais, não possuímos infinitos recursos para serem utilizamos. Por exemplo, suponha uma máquina de café onde inserimos uma moeda A e em seguida recebemos um café B. Ao receber o café, não recebemos de volta a moeda. Ou seja, a moeda é um recurso que foi consumido durante a prova. A implicação A ( B da Lógica Linear consome A para produzir B. Para recuperar o comportamento clássico, utilizamos ! !A ( B Já a máquina de café, que pode ser utilizada um número indeterminado de vezes e, em cada uso, uma moeda é consumida para produzir um café, pode ser representada na Lógica Linear como !(A ( B) As lógicas subestruturais são caracterizadas por rejeitarem uma ou mais regras estruturais. Nesse sentido, em Lógica Linear não é permitido livremente o uso das regras estruturais de enfraquecimento e contração. As fórmulas representam recursos e recursos não podem ser usados livremente sem especificar o que foi consumido durante a prova..

(43) 42. A Lógica Linear às vezes precisa que algumas fórmulas tenham comportamento “clássico”, ou seja, é preciso se aplicar as regras de enfraquecimento e contração. Diferentemente de outras lógicas subestruturais, as regras estruturais aparecem em Lógica Linear de forma controlada através dos operadores ! e ?, como exemplificado anteriormente. Dessa forma, os exponenciais ! e ? dão às fórmulas um comportamento clássico enquanto que as outras fórmulas que não possuem os exponenciais têm um comportamento linear: são recursos finitos durante a prova. Uma das consequências de não poder utilizar enfraquecimento e contração é o surgimento de mais conectivos lógicos além dos utilizados na Lógica Clássica usual. Por exemplo, em Cálculo de Sequentes, podemos introduzir o operador lógico ∧ de duas formas, como mostrado abaixo para os sistemas S1 e S2: • introdução da conjunção no sistema S1 Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2 ⇒ B, ∆2 Γ1 , Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1 , ∆2. ∧R. Γ, A, B ⇒ ∆ Γ, A ∧ B ⇒ ∆. ∧L. • introdução da conjunção no sistema S2 Γ ⇒ A, ∆ Γ ⇒ B, ∆ Γ ⇒ A ∧ B, ∆ Γ, A ⇒ ∆ Γ, A ∧ B ⇒ ∆. ∧L1. ∧R. Γ, B ⇒ ∆ Γ, A ∧ B ⇒ ∆. ∧L2. Observe que no sistema S1 os contextos são divididos enquanto que no sistema S2 os contextos são compartilhados. Podemos mostrar que, na presença das regras de enfraquecimento e contração, os sistemas S1 e S2 são equivalentes. Mostrando para o caso ∧R : Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2 ⇒ B, ∆2 W Γ1 , Γ2 ⇒ A, ∆1 , ∆2 Γ1 , Γ2 ⇒ B, ∆1 , ∆2 Γ1 , Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1 , ∆2. W ∧R. Note que o sistema S2 segue de S1 quando utilizamos enfraquecimento e contração: Γ ⇒ A, ∆ Γ ⇒ B, ∆ Γ, Γ ⇒ A ∧ B, ∆, ∆ C Γ ⇒ A ∧ B, ∆. ∧R.

(44) 43. Para provar a equivalência entre S1 e S2, controlamos o enfraquecimento e a contração na prova. Como em Lógica Linear não existem essas regras, as regras de introdução da conjunção dos sistemas S1 e S2 correspondem a dois operadores diferentes. O mesmo vale para os outros operadores ∨, >, ⊥, que correspondem a dois operadores diferentes na Lógica Linear. Na sintaxe da Lógica Linear Clássica, existem três tipos de conectivos: Multiplicativos (⊗, O, 1, ⊥), Aditivos (⊕, &, 0, >) e Exponenciais (!, ?). Definimos a linguagem da Lógica Linear através da notação BNF1 :. Definição 3.1 (Sintaxe da Lógica Linear Clássica). A ::= p | p⊥ | A ⊗ A | A ⊕ A | A & A | A O A | 1 | 0 | > | ⊥ | !A | ?A | ∃x.A | ∀x.A. onde p é um átomo e A é uma fórmula. Dessa forma, apresentamos as regras da Lógica Linear Clássica: Sistema cLL Regras de identidade. p⇒p. Γ1 ⇒ B, ∆1 Γ2 , B ⇒ ∆2 Γ1 , Γ2 ⇒ ∆1 , ∆2. Axiom. Cut. Regras de negação Γ ⇒ A, ∆ Γ, A⊥ ⇒ ∆. (.)⊥ L. Γ, A ⇒ ∆ Γ ⇒ A⊥ , ∆. (.)⊥ R. Regras multiplicativas Γ⇒∆ Γ, 1 ⇒ ∆. 1L. ⇒1. 1R. Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2 ⇒ B, ∆2 Γ1 , Γ2 ⇒ A ⊗ B, ∆1 , ∆2 1. ⊥⇒. ⊗R. ⊥L. Γ⇒∆ Γ ⇒ ⊥, ∆. Γ, A, B ⇒ ∆ Γ, A ⊗ B ⇒ ∆. ⊥R. ⊗L. BNF (Backus-Naur Form ou Backus Normal Form) é uma sintaxe usada para descrever linguagens formais..

(45) 44. Γ ⇒ A, B, ∆ Γ ⇒ A O B, ∆. Γ1 , A ⇒ ∆1 Γ2 , B ⇒ ∆2 Γ1 , Γ2 , AOB ⇒ ∆1 , ∆2. OR. OL. Regras aditivas 0L. Γ, 0 ⇒ ∆. Γ ⇒ >, ∆. Γ ⇒ A, ∆ Γ ⇒ B, ∆ Γ ⇒ A & B, ∆. >R. &R. Γ, A ⇒ ∆ Γ, A & B ⇒ ∆. &L1. Γ, B ⇒ ∆ Γ, A & B ⇒ ∆. &L2. Γ ⇒ A, ∆ Γ ⇒ A ⊕ B, ∆. ⊕R1. Γ ⇒ B, ∆ Γ ⇒ A ⊕ B, ∆. ⊕R2. Γ, A ⇒ ∆ Γ, B ⇒ ∆ Γ, A ⊕ B ⇒ ∆. ⊕L. Regras exponenciais ! Γ ⇒ A, ?∆ ! Γ ⇒ !A, ?∆. !R. ! Γ, A ⇒ ?∆ ! Γ, ?A ⇒ ?∆. Γ, A ⇒ ∆ Γ, !A ⇒ ∆. !L. Γ ⇒ A, ∆ Γ ⇒ ?A, ∆. ?R. Γ⇒∆ Γ, !A ⇒ ∆. !W. Γ⇒∆ Γ ⇒?A, ∆. ?W. Γ, !A, !A ⇒ ∆ Γ, !A ⇒ ∆. !C. Γ ⇒?A, ?A, ∆ Γ ⇒?A, ∆. ?L. ?C. Regras dos quantificadores Γ, A(t/x) ⇒ ∆ Γ, ∀xA ⇒ ∆ Γ, A(y/x) ⇒ ∆ Γ, ∃xA ⇒ ∆. ∀L. ∃L. Γ ⇒ A(y/x), ∆ Γ ⇒ ∀xA, ∆. ∀R. Γ ⇒ A(t/x), ∆ Γ ⇒ ∃xA, ∆. ∃R. Observe que as fórmulas !A, ?A em !W, !C, ?W, ?C tem comportamento clássico. As regras !L e ?R transformam uma fórmula clássica em uma fórmula linear, ou seja, a fórmula A após consumida não poderá mais ser utilizada. Já as regras !R e ?L só permitem que se introduza os exponenciais se todas as outras fórmulas tiverem comportamento clássico..

(46) 45. Dividimos os operadores da Lógica Linear em dois grupos: os multiplicativos e os aditivos. Enquanto os operadores multiplicativos dividem o contexto, os operadores aditivos possuem contextos compartilhados. Isto é, os operadores multiplicativos utilizam a premissa apenas uma vez e os operadores aditivos utilizam a premissa várias vezes. (REIS, 2010) Do ponto de vista lógico, podemos ver a Lógica Linear como um refinamento das Lógicas Clássica e Intuicionista. O objetivo da Lógica Linear é conciliar a simetria da Lógica Clássica com as provas construtivas da Lógica Intuicionista. Enquanto a Lógica Clássica enfatiza a “verdade” e a Lógica Intuicionista enfatiza a prova, a Lógica Linear enfatiza a função das fórmulas como recurso, ou seja, ela possui um controle mais preciso sobre as regras estruturais. A vantagem desse fato é que a dedução lógica não é simplesmente uma aplicação de regras, e sim uma forma de manipular recursos que nem sempre podem ser duplicados ou perdidos durante a prova. Em Lógica Linear, temos duas possíveis leituras para o Princípio do Terceiro Excluído: A ⊕ A⊥ (aditivo) AOA⊥ (multiplicativo) A disjunção aditiva é a disjunção da Lógica Intuicionista: não é provável. Ao tentarmos provar A ⊕ A⊥ na Lógica Linear, teremos o mesmo problema que a Lógica Intuicionista: ? .. . ⇒A ⇒ A ⊕ A⊥. ? .. . ⊕R1. ⇒ A⊥ ⇒ A ⊕ A⊥. ⊕R2. Porém, ao se utilizar o exponencial ? para que a fórmula tenha um comportamento clássico, podemos utilizar a contração e A ⊕ A⊥ é facilmente demonstrável: A ⇒ A (.)⊥ L ⇒ A, A⊥ ⊕R ⇒ A, A ⊕ A⊥ ⊕R ⇒ A ⊕ A⊥ , A ⊕ A⊥ ?R ⇒?(A ⊕ A⊥ ), ?(A ⊕ A⊥ ) ?C ⇒?(A ⊕ A⊥ ) Já a disjunção multiplicativa é trivialmente demonstrável, pois corresponde à tautologia A ⊃ A (que é aceitável na Lógica Intuicionista):.