Unidade 4 - Probabilidade

Probabilidades

Ementa: 4.1 – Aspectos Gerais 4.2 – Fundamentos 4.3 – Regra da Adição 4.4 – Regra da Multiplicação 4.5 – Técnicas de contagem 4.6 – Distribuições de probabilidade

4 –Probabilidade

4.1 – Aspectos Gerais

Na etapa anterior, foi apresentado o conceito de inferência estatística, que se baseia na evidência amostral para formular inferências ou conclusões sobre a população.

Por exemplo: Calculando-se a média de um

determinado conjunto de valores extraído de uma amostra, podemos inferir qual seria o valor médio da população.

Para a tomada de decisões a partir de inferências, devemos nos basear em probabilidades – ou chances – de eventos ocorrerem.

Por exemplo: Ao analisar os últimos 100

funcionários contratados por uma empresa, constatou-se que todos os 100 eram homens. Em uma política não tendenciosa de admissão, a probabilidade de se admitir 100 homens é tão pequena, que somos levados a acreditar que há tendenciosidade na contratação.

Este exemplo ilustra um importante princípio, que será a base do nosso raciocínio daqui em diante:

“Se, sob determinada hipótese (tal como a contratação não tendenciosa) a probabilidade de uma determinada amostra (como 100 homens

contratados) é excepcionalmente pequena,

concluímos que a hipótese provavelmente não é verdadeira.”

O objetivo principal desta unidade é firmar um conhecimento sólido dos valores probabilísticos que serão utilizados nesta e em outras matérias. Um segundo objetivo é desenvolver os conhecimentos necessários para resolver problemas simples de probabilidade.

4.2 – Fundamentos

Ao lidarmos com probabilidades, vamos nos deparar com expressões assim definidas:

-Experimento: Qualquer processo que permite ao

pesquisador fazer observações.

-Evento: É a coleção de resultados de um

experimento.

-Evento simples: é um resultado, ou evento, que não

comporta qualquer decomposição.

Exemplo:

O arremesso de um dado é um experimento. O resultado 3 é um evento.

O resultado 3 é um evento simples, pois não pode ser decomposto.

O espaço amostral consiste nos eventos simples: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Exemplo 2:

O arremesso de um par de dados é um experimento. O resultado 7 é um evento.

O resultado 7 não é um evento simples, pois pode ser decomposto em 1-6, 2-5 ou 3-4.

Na jogada de um par de dados, o espaço amostral consiste em 36 eventos simples:

1-1; 1-2; 1-3; 1-4; 1-5; 1-6; 2-1; 2-2; 2-3; 2-4; 2-5; 2-6; 3-1; 3-2; 3-3; 3-4; 3-5; 3-6; 4-1; 4-2; 4-3; 4-4;

Notação de probabilidade:

P denota uma probabilidade.

A, B, C denotam eventos específicos.

P(A) denota a probabilidade de ocorrência do evento A.

Regra 1:

Aproximação da Probabilidade pela Frequência Relativa.

Realize (ou observe) um experimento um grande número de vezes e conte quantas vezes o evento A ocorre efetivamente. Então, P(A) é estimada como se segue: A evento do s ocorrência de número ) (A  P

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Regra 2:

Definição clássica de probabilidade.

Suponha que um experimento tenha n eventos simples diferentes, cada um dos quais com a mesma chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s dentre as n maneiras, então: n s A P   eventos de número ocorrer pode A como maneiras de número ) (

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Lei dos Grandes Números:

“Se for repetido um experimento um grande número de vezes, a probabilidade de um evento simples pelo método da freqüência relativa (Regra 1) tende para a probabilidade teórica.”

Isto significa que, repetindo o experimento um grande número de vezes, as Regras 1 e 2 produzirão

Exemplo:

Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser atingida por um raio neste ano.

Solução: O espaço amostral consiste em dois

eventos: ou a pessoa é atingida por um raio ou não é. Como esses eventos não são igualmente prováveis, devemos apelar para uma aproximação por frequências relativas (Regra 1).

Também não é prático realizar experimentos (nem legal), mas podemos pesquisar eventos passados. Em um ano recente, 371 pessoas foram atingidas por um raio nos EUA. Em uma população de cerca de 260 milhões de pessoas, temos:

% 000143 , 0 00000143 , 0 000 . 701 1 000 . 000 . 260 371     P P P

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Exemplo 2:

Em um teste de múltipla escolha, existem 5 alternativas. Respondendo a questão aleatoriamente (chutando), qual a probabili-dade de acerto? E a probabilidade de erro?

Solução: Se há 5 formas de responder e somente 1 de

responder corretamente, então:

% 80 8 , 0 4 ) ( % 20 2 , 0 5 1 ) (       errar P acertar P

4 –Probabilidade

Em problemas básicos de probabilidade é muito importante examinar cuidadosamente as informações de que dispomos e identificar corretamente o número total de resultados possíveis. Em alguns casos, como no exemplo anterior, temos esse número diretamente, mas em outros casos devemos manipular as informações para obtê-los.

Exemplo: Uma companhia de seguros estudou as

causas de morte por acidente doméstico e compilou um arquivo com 160 mortes causadas por quedas, 120 por envenenamento e 70 causadas por fogo e queimaduras. Selecionado aleatoriamente um desses casos, qual a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento?

Solução: % 3 , 34 343 , 0 350 120 70 120 160 120 ) (       nto envenename P

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Como qualquer evento imaginável é certo, impossível ou se situa entre esses extremos, podemos concluir que a probabilidade matemática de qualquer evento é 0, 1 ou um número entre 0 e 1.

-A probabilidade de um evento impossível é 0;

-A probabilidade de um evento cuja ocorrência é

certa é 1;

-0 ≤ P(A) ≤ 1, para qualquer evento A.

Eventos Complementares:

Eventualmente, devemos determinar a probabilidade de um evento A não ocorrer.

“O Complemento de um evento A, denotado por A, consiste em todos os resultados em que o evento A não ocorre.”

Arredondamento de probabilidades:

Ao expressarmos o valor de uma probabilidade, devemos dar a fração ordinária ou a expressão decimal exata, ou arredondar o resultado final para três algarismos significativos. (Sugestão: Quando uma probabilidade não é uma fração simples como 2/3 ou 5/9, devemos expressá-la na forma decimal.)

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Exercício:

1) Em uma pesquisa americana, perguntou-se ao entrevistado como deveria ser usado um Bolo de Frutas. 132 responderam que deveria servir como calço de porta, e outros 880 indicaram outros usos, inclusive alimento de passarinho, aterro e presente. Selecionado aleatoriamente um desses entrevistados, qual a probabilidade de obter alguém que utilize o bolo como calço de porta?

4.3 – Regra da adição

Nesta seção, abordaremos a regra da adição para achar P(A ou B), a probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B, ou ambos, como resultado de um experimento.

Na seção anterior, consideramos somente os eventos simples, porque envolviam somente um resultado. Em muitas situações reais, temos eventos compostos, tal como a escolha aleatória de um consumidor que é

Notação para a regra da Adição:

P(A ou B)

Exemplo: Ao lançarmos um dado, qual a probabilidade de que ocorram os resultados 1 ou 2? Solução:

Repare que se somarmos as probabilidades de ocorrência de cada evento separado, teremos o mesmo resultado. Será essa uma regra?

333 , 0 3 1 6 2 ) 2 ou 1 (    P

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Para responder esta questão, façamos um segundo exemplo:

Escolhidos aleatoriamente 1 número entre 0 e 9, determine a probabilidade deste número ser ímpar ou maior que 6.

Solução: No conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 5 números são ímpares: {1, 3, 5, 7, 9} e três são maiores que 6: {7, 8, 9}. Ao contarmos o conjunto solução de números ímpares ou maiores que 6,

Assim, o conjunto pesquisado é {1, 3, 5, 7, 8, 9}. São 6 números em 10 ocorrências.

Assim, a probabilidade de ocorrer um número ímpar ou maior que 6 é:

Assim, deduziu-se a regra geral da adição: P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)

6 , 0 5 3 10 6 ) 6 que maior ou ímpar (    P

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Mostrando graficamente:

Os eventos A e B da figura da direita são ditos

mutuamente excludentes, pois não podem ocorrer

simultaneamente. A área de ambos os retângulos é

Eventos que se superpõem Eventos que não se superpõem

P(A) P(B)

P(A

e B) _{P(A) P(B)}

Eventos complementares:

O evento complementar já foi visto anteriormente. Ele é a probabilidade de determinado evento A não ocorrer. Deste fato, foi criada a regra dos Eventos Complementares: ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( A P A P A P A P A P A P       _P(A) ) ( 1 ) (A P A P  

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Exercício:

1) Uma pessoa retira aleatoriamente uma carta de um baralho normal, com 52 cartas. Determine:

a) Qual a probabilidade de se obter uma carta de paus ou um ás?

4.4 – Regra da multiplicação

Na seção anterior, estabelecemos a regra para calcular P(A ou B), a probabilidade de uma prova em um experimento ter o resultado A, ou o resultado B, ou ambos. Nesta seção, temos em vista estabelecer uma regra para calcular P(A e B), a probabilidade de o evento A ocorrer em uma primeira prova, e o evento B ocorrer em uma segunda prova.

Veremos que P(A e B) envolve a multiplicação de probabilidades.

Num primeiro exemplo, temos um teste composto por 2 questões: a primeira questão é do tipo V ou F e a segunda é do tipo múltipla escolha, com 5 alternativas possíveis. Qual a probabilidade de acertarmos ambas?

Podemos formar um conjunto de respostas, englobando todos os resultados possíveis:

V,a V,b V,c V,d V,e F,a F,b F,c F,d F,e

Como somente 1 desses resultados será o correto, a

Podemos pensar então que basta multiplicar as probabilidades dos eventos A e B para obtermos a probabilidade P(A e B). Vejamos por outro exemplo se isso é verdade:

Qual a probabilidade de tirarmos um ás e um rei em dois sorteios consecutivos utilizando um baralho comum?

Solução:

Inicialmente, temos 52 cartas no baralho e 4 ases. A probabilidade de tirarmos um ás no primeiro sorteio

No segundo sorteio, teremos no baralho 4 reis, mas somente 51 cartas (o Ás já saiu). Assim, a probabilidade de sair rei será:

Assim, a probabilidade de sair Ás e Rei será:

52 4 ) (Ás  P 51 4 ) Rei (  P 00603 , 0 4 . 4 ) Rei e (Ás   P

4 –Probabilidade

Assim, a regra geral da multiplicação é: P(A e B) = P(A).P(B|A) Onde B|A é lido como “B dado A”.

Este conceito ilustra a dependência ou independência de eventos:

Dois eventos são ditos independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Caso contrário, os eventos são dependentes.

Quando os eventos são independentes: P(B|A)=P(B)

Exemplo:

Uma companhia produziu um lote de 50 filtros, dos quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente 2 peças, que são testadas. Determine a probabilidade de ambos serem bons, se os filtros forem selecionados:

a) Com reposição b) Sem reposição

Solução:

a) Se os filtros são escolhidos com reposição, as duas escolhas são independentes. Portanto:

b) Se eles são escolhidos sem reposição, as escolhas passam a ser dependentes, portanto:

774 , 0 50 44 . 50 44 ) bons 2 e 1 ( o o   P 772 , 0 49 43 . 50 44 ) bons 2 e 1 ( o o   P

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Exercício:

Um estudo de hábito de fumantes compreende 200 casados (54 dos quais fumam), 100 divorciados (38 dos quais fumam) e 50 adultos que nunca se casaram (11 dos quais fumam). Escolhido aleatoriamente um indivíduo desta amostra, determine a probabilidade: a) De obter alguém divorciado e fumante.

4.5 – Contagem

Consideremos um problema de probabilidade cogitado por milhares de brasileiros esperançosos: Qual a probabilidade de acertar as dezenas da Megassena?

Neste jogo (para quem ainda não sabe), são sorteados 6 números de um total de 60. O apostador que acertar todos os números (a ordem não é importante), leva o prêmio para casa. Ainda ganha-se alguma coisa ganha-se acertar 4 ou 5 números.

Sabemos que a probabilidade de acertar é s/n, sendo “s” o número de maneiras como o evento “acertar os 6 números” pode ocorrer. Este evento só pode ocorrer de 1 forma.

Falta somente descobrir “n”, que é o número total de resultados possíveis. Relacionar todas as possibilidades exigiria uns 4 anos de trabalho.

Devemos então utilizar algum meio prático de calcular o número total de possibilidades.

Regra fundamental da contagem

Antes de retornarmos ao problema da loteria, vamos determinar alguns métodos para contagens, quando estão envolvidos grandes quantidades de possibilidades. Vamos começar com a regra fundamental da contagem:

Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode ocorrer de “m” maneiras distintas e o segundo pode ocorrer de “n” maneiras distintas, então os dois eventos podem ocorrer de “m.n” maneiras distintas.

Exemplo: Se um médico laboratorista deve escolher

aleatoriamente 1 entre 2 tipos de Rh (Positivo ou negativo) e 1 dos 4 grupos sanguíneos (A, O, B, AB), o número total de combinações entre eles será de:

n=2.4=8

Esta regra também pode ser usada em situações que envolvem mais de um evento. Basta realizar a multiplicação de todas as possibilidades de cada evento.

Regra do Fatorial:

O símbolo fatorial “!” denota o produto dos inteiros positivos em ordem decrescente. Por exemplo: 4! = 4.3.2.1=24.

Por definição, 0!=1.

A regra do fatorial diz que:

Uma coleção de “n” objetos pode ser ordenada de “n!” maneiras distintas.

Exemplo:

Ao planejar pesquisas, os entrevistadores procuram minimizar o efeito causado pela ordem em que as questões são apresentadas (algumas questões podem influenciar as respostas seguintes). Se o Ibope planeja fazer uma pesquisa junto a consumidores formulando 5 questões, quantas versões distintas da pesquisa são necessárias de forma a incluir todas as ordenações?

Solução:

Pensando analiticamente, ao iniciar o processo de escolha, teremos inicialmente 5 escolhas para a 1ª questão. A segunda questão contaria com somente 4 escolhas. A 3ª questão teria 3 escolhas, a 4ª, 2 escolhas e a última teria somente 1 escolha. Desta forma, pela regra fundamental da contagem, teríamos 5.4.3.2.1=120 versões diferentes da pesquisa.

Ora, 5! = 120

Regra dos Arranjos:

Com a regra do fatorial, determinamos quantas maneiras diferentes podemos ordenar todos os “n” elementos de um determinado conjunto.

Entretanto, às vezes precisamos selecionar apenas alguns entre os “n” elementos. Se, em uma pesquisa nas capitais dos estados americanos, temos tempo para visitar somente 4 capitais, o número de escolhas possíveis será 50.49.48.47 = 5.527.200

Colocando de outra forma:

Assim, generalizando, temos as fórmulas dos arranjos:

Ordenar todos os “n” elementos Ordenar “r” elementos em “n”

Ordenar os n elementos, quando temos 200 . 527 . 5 47 . 48 . 49 . 50 ! 46 ! 46 . 47 . 48 . 49 . 50 ! 46 ! 50 _{  } ! !... !. ! )! ( ! ! r n n n n n P r n n P n P    

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Exemplo: De quantas formas podemos ordenar as

letras que formam a palavra Mississippi?

Solução:

Esta palavra contém 1 letra “M”, 2 “p”, 4 “i” e 4 “s”. Assim, utilizando a fórmula das permutações para elementos repetidos, temos:

36916800 1 . 2 . 24 . 24 39916800 ! 1 !. 2 !. 4 !. 4 ! 11 ! !... !. ! 2 1    n n n n P k

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Regra das Combinações:

Quando temos n elementos, que podem ser incluídos em 2 categorias diferentes (por exemplo, números sorteados ou não na megassena), temos um problema de combinações. Desta forma, a equação das permutações para elementos repetidos é alterada para: ! )!. ( ! r r n n C_r n  

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Ao aplicarmos a regra das combinações, valem as seguintes condições:

-Devemos ter um total de “n” elementos distintos. -Devemos selecionar “r” dentre os “n” elementos.

-A ordem em que os “r” elementos são selecionados

não importa.

Exemplo: Em uma faculdade, o conselho curador

tem 9 elementos. A cada ano é eleito um comitê de 3 pessoas supervisionar o campus. São eleitos também, anualmente, um presidente, um vice-presidente e um secretário.

a) Quantos comitês de 3 pessoas podem ser formados pelos 9 elementos do conselho?

b) Já na eleição para presidente, vice e secretário, quantas chapas distintas podem ser formadas?

Solução:

a) Na eleição do comitê, a ordem de seleção não importa. Trata-se portanto de um problema de combinações:

b) Já na eleição para presidente, a ordem de escolha importa. Portanto, temos um problema de permutações: 84 6 . 720 362880 ! 3 )!. 3 9 ( ! 9 ! )!. ( ! 3 9       r r n n C 362880 ! 9 ! n

4 –Probabilidade

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Exercício:

1) Um percurso de entregas dos correios devem incluir paradas em 5 cidades.

a) Quantos percursos diferentes são possíveis?

b) Se o percurso é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de as cidades serem escolhidas em ordem alfabética?

2) Se um casal planeja ter 8 filhos (tem louco para tudo), quantas sequências de sexo das crianças são possíveis?

E se o casal quiser 4 filhos e 4 filhas, quantas são as formas de serem bem sucedidos? Calcule a probabilidade de um casal ter 4 filhos e 4 filhas.

4.6 – Distribuições de probabilidade Definição:

“Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória.”

Condições para uma distribuição de probabilidades: 1 – ΣP(x)=1, onde x toma todos os valores possíveis. 2 – 0 ≤ P(x) ≤ 1, para cada valor de x.

A primeira condição diz que a soma de todas as probabilidades individuais é 1 e se baseia na regra da adição para eventos mutuamente excludentes.

Os valores da variável aleatória x representam todos os eventos possíveis no espaço amostral.

Desta forma, temos certeza de que pelo menos um deles ocorrerá.

A segunda condição diz que cada valor de x tem que ter uma probabilidade de ocorrer, entre 0 e 1 (senão

Exemplo:

1) P(x)=x/5, onde x toma os valores 0, 1, 2 e 3, define

uma distribuição de probabilidades?

P(x) não é uma distribuição de probabilidades.

2) P(x)=x/3, onde x toma os valores 0, 1 e 2, define

uma distribuição de probabilidades?

P(x) é uma distribuição de probabilidades, pois a

5 6 5 3 5 2 5 1 5 0 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) (         





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Média, Variância e Desvio Padrão:

Distribuições de probabilidade também têm os conceitos de Média, Variância e Desvio Padrão, definidos da seguinte forma:

Média (ou Valor Esperado): Variância: Desvio Padrão:  















4 –Probabilidade

Exemplo: Ao selecionarmos aleatoriamente 7 acidentes aéreos, as probabilidades de que escolhamos x acidentes da USAir são:

Determine a média, variância e desvio padrão destes dados.

x P(x) 0 0,210 1 0,367 2 0,275 3 0,115 4 0,029 5 0,004 6 0+ 7 0+

4 –Probabilidade

Solução: Calculando os somatórios necessários: Assim: µ=1,398=1,4 x P(x) x.P(x) x2 _x2_.P(x) 0 0,210 0,000 0 0,000 1 0,367 0,367 1 0,367 2 0,275 0,550 2 1,100 3 0,115 0,345 4 1,035 4 0,029 0,116 9 0,464 5 0,004 0,020 16 0,100 6 0+ 0,000 25 0,000 7 0+ 0,000 49 0,000 Soma 1,000 1,398 3,066







4 –Probabilidade

4 –Probabilidade

Exercício:

No exercício a seguir, determine se é dada uma distribuição de probabilidades. Se não for dada uma distribuição de probabilidade, identifique a condição que não é satisfeita. Caso contrário, determine a sua média, variância e desvio padrão

4 –Probabilidade

1) Se uma faculdade contrata funcionários sem distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade do número x de mulheres contratadas:

x 0 1 2 3 4