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BIOESTATÍSTICA
UNID
ADE 9
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
Veremos nesta unidade como podemos comparar médias de uma determinada variável através de experimentos aleatórios. Poderemos verificar resultados amostrais e levá-los a teste. A técnica que iremos utilizar para compararmos várias médias é chamada de Análise da Variância, também conhecida como ANOVA.
OBJETIVOS DA UNIDADE:
Estimar valores da média populacional através da média amostral, o valor do desvio padrão.
Aplicar o teste F.
PLANO DA UNIDADE:
• Diferença entre Médias. • Primeira Estimativa de 2. • Teste F.
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DIFERENÇA ENTRE MÉDIAS
Em uma fábrica de lâmpadas é feito um levantamento para verificar como está a duração média deste produto e as variações em relação à média. Devido a fatores aleatórios, pode haver uma variação significativa comparando vários resultados. Verificou-se, ao longo de três semanas, a duração média dessas lâmpadas. A tabela a seguir resume os dados amostrais que foram colhidos a cada dia e classificados por semana.
Amostras da produção de lâmpadas em relação a sua durabilidade
Como a duração média das lâmpadas é diferente, será que as lâmpadas são diferentes também? Ou seja, a diferença entre as médias amostrais ( ) da tabela tem relação entre as médias populacionais ( ) em relação à duração das lâmpadas?
O que nos interessa saber é se, a diferença entre as médias amostrais (no experimento), são significativas ou se podemos atribuir o fato ao acaso. Para este tipo de problema, representaremos por as médias das k populações utilizadas a amostragem. Mas, como elaborar um teste formal para o nosso problema? Vamos testar que não há diferença entre as médias, ou seja, , no nosso exemplo . Então, podemos dizer que não há diferença entre as médias, ou não existindo diferença entre as médias da população, chamamos de hipótese nula.
Vamos testar a hipótese nula (H0) de que não há diferença entre as médias contra a hipótese alternativa (H1), de que há diferença entre as médias.
Aceitaremos a hipótese nula se a diferença entre as médias amostrais forem muito pequenas, mas se, a diferença entre alguma das médias amostrais, forem grandes, prevalecerá a hipótese alternativa. Logo, precisamos medir as diferenças entre as médias amostrais ( ). Quando devemos rejeitar a hipótese nula?
Para utilizarmos a análise da variância precisamos supor que: · As populações estudadas que forneceram as amostras analisadas, aproximam-se a uma distribuição normal.
· Supomos que essas populações possuem o mesmo desvio padrão. Talvez esteja um pouco confuso, pois, ora se fala em população (média = ), ora se fala em amostra (média = ). O que estamos buscando é através de uma amostra, possíveis resultados daquela população em estudo, calculando se essa amostra possui uma variação muito grande ou insignificante em relação à média. Imagine se para estudarmos a duração média de uma lâmpada precisássemos testar todas as lâmpadas produzidas em todas as fábricas do país? Viveríamos um novo “apagão”, ou seja, não é preciso comer toda a comida de um restaurante para dizer se a comida é boa. Assim é à análise de variância. Como estamos utilizando dados amostrais com objetivo de referirmos a população, os critérios devem ser bem definidos para que o erro seja o menor possível.
Voltando ao nosso exemplo, vimos os valores amostrais da duração média de três populações, uma para cada semana. Admitamos que as três populações tendam aproximadamente a uma distribuição normal e possuam o mesmo desvio padrão ( ). Observe que não conhecemos o desvio padrão ( ) da população. Nosso objetivo é chegar a uma conclusão se as três populações possuem ou não médias iguais.
Como utilizar à análise da variância?
O método baseia-se em duas estimativas diferentes para a variância ( ):
· A primeira estimativa tende a ser maior do que se a hipótese alternativa (H1) for correta.
· A segunda estimativa tende a ficar bem próximo de , independente da hipótese correta, H0 (hipótese nula) ou H1 (hipótese alternativa).
A razão entre esses dois resultados é que permitirá aceitar a melhor hipótese.
PRIMEIRA ESTIMATIVA DE
Iremos determinar a média das médias da duração das lâmpadas:
Agora, calculamos a variância das médias amostrais :
Se as médias forem iguais, , então os valores de constituem uma amostra de tamanho cinco de uma população com desvio padrão dado por: .
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No exemplo, as lâmpadas foram testadas por três semanas, gerando k médias=3, sendo as amostras formadas por cada dia da semana, de forma que, o tamanho da amostra é n=5.
Podemos, então, dizer que é uma estimativa de onde e, assim, é uma estimativa de . Considerando o exemplo:
Este resultado é a estimativa de , a variância populacional.
Na segunda estimativa de , iremos calcular a média dos desvios padrões da amostra, sob a hipótese de que cada população tenha o mesmo desvio padrão.
O valor estimado de = 123,47 e =201,20.
A primeira estimativa, baseada na média das médias da amostra, demonstra que, a variação dentro das amostras é provavelmente devido a fatores aleatórios, pois a diferença entre elas é desprezível. Isso significa que as médias da população são todas iguais, neste caso a hipótese nula (H0) deve ser aceita.
Para formalizarmos o teste é necessário empregarmos o teste F, estatística F ou razão da variância.
TESTE F
Se a hipótese nula for verdadeira, ou seja, as médias populacionais forem iguais, a distribuição amostral é uma distribuição F. A hipótese nula só será rejeitada quando F for grande, isto é, quando não pudermos justificar apenas com o acaso, a variação entre as médias.
· Como utilizar o Teste F
A designação da razão F é em homenagem a Sir Ronald A. Fischer (1890-1962), o mais notável estatístico da época.
Critério de teste
Para verificarmos a hipótese nula (H0), nosso critério de decisão será baseado nos valores de F encontrados na tabela F no anexo 6. O erro calculado para F é de ou . Os valores de encontrados na tabela são calculados através da comparação das médias de k amostras aleatórias de tamanho n. Temos k-1 graus de liberdade para o numerador e k(n-1) graus de liberdade para o denominador. No nosso exemplo:
k-1 = 3-1 = 2 graus de liberdade para o numerador.
k(n-1) = 3(5-1) = 12 graus de liberdade para o denominador. Consultado a tabela F do anexo 6:
Como o valor calculado é menor que o valor tabelado se aceita a hipótese nula, ou seja, se H0 é aceito significa dizer que as médias da população de lâmpadas são iguais, , aos níveis de significância
de .
Devemos sempre levar em consideração os fatores aleatórios, as causas e efeitos que podem influenciar nos resultados dos experimentos para aceitar ou rejeitar uma hipótese, com menor chance de erro.
A Análise de Variância é de grande importância no estudo da estatística, pois permite-nos através da comparação de médias amostrais diminuir o erro para estimativa da média da população e supor também os desvios que não são conhecidos. Através do teste de significância F, podemos testar as hipóteses nula e alternativa com maior grau de confiabilidade.
É HORA DE SE AVALIAR!
Não esqueça de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! Na próxima unidade, aprenderemos a estimar a média para grandes e pequenas amostras, seu erro máximo de estimativa e a construir um intervalo de confiança para distribuição normal padronizada e distribuição t.
