Fábio Pacheco Freeland

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TÉCNICAS DE GERAÇ ÃO DE SOM TRIDIMENSIONAL

F´abio Pacheco Freeland

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇ ÃO DOS PROGRAMAS DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS ÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA ELÉTRICA.

Aprovada por:

Prof. Paulo Sergio Ramirez Diniz, Ph.D.

Prof. Luiz Wagner Pereira Biscainho, D.Sc.

Prof. Marcio Nogueira de Souza, D.Sc.

Prof. Alexandre Santos de la Vega, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JULHO DE 2001

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FREELAND, F´ABIO PACHECO

T´ecnicas de Gera¸c~ao de Som Tridimen-sional [Rio de Janeiro] 2001

IX, 90 pp., 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia El´etrica, 2001)

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1.Som Tridimensional 2.Aproxima¸c~ao de Fun¸c~oes de Transfer^encia 3.Filtros IIR

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Agradecimentos

Gostaria de agradecer, primeiramente, a meus pais, Victor e Inˆes, meus irm˜aos, Renata, Miriam e Eduardo, minha noiva Juliana e meus amigos que, de uma forma ou de outra, formaram uma base bastante forte que possibilitou o de-senvolvimento deste trabalho.

Novamente à Juliana pela paciência, compreensão e companherismo durante todo o decorrer desse trabalho.

Agrade¸co, também, a meus orientadores, Paulo Sergio Ramirez Diniz e Luiz Wagner Pereira Biscainho, pelo suporte e idéias que fizeram com que esse trabalho fosse viável e trouxesse alguma contribui¸cão para o grupo de Processamento de Sinais, bem como para as pessoas que trabalham na área de áudio. E, ainda, pela tranqüilidade essencial que me passaram.

Ao amigo e colega Cristiano N. dos Santos, pela ajuda e idéias no decorrer dessa tese, ao amigo Paulo Antônio A. Esquef, que, mesmo estando longe, ajudou-me muito com a obten¸cão de material utilizado nesse trabalho, aos amigos e colegas Ailton D. Santana Jr., Alexandre G. Ciancio, André C. Vliese, Augusto H. Dantas, Cassio B. Ribeiro, Cassio G. G. Duarte, Charles B. do Prado, Felipe R. Aquino, Lara Christiana R. L. Feio, Lisandro Lovisolo, Maria Heveline V. Duarte, Mauro F. de Carvalho, Ranniery da S. Maia e Rogério Caetano pelo companherismo e ajuda no ultrapassar dos obstáculos f´ısicos e psicológicos.

Também, aos professores, secretárias e funcionários, que proporcionaram um ambiente profissional bastante agradável.

A todas estas pessoas, muito obrigado, esperando que possa retribuir `a altura tudo o que fizeram por mim.

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Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

TÉCNICAS DE GERAÇ ÃO DE SOM TRIDIMENSIONAL

Julho/2001

Orientadores: Paulo S´ergio Ramirez Diniz Luiz Wagner Pereira Biscainho

Programa: Engenharia El´etrica

O som tridimensional tem sido utilizado em várias áreas, destacando-se entre elas as de realidade virtual e afins, como a cinematográfica, a de simuladores e a de jogos eletrônicos.

Esta tese tem como objetivo principal o estudo de técnicas de gera¸cão de som tridimensional, principalmente do ponto de vista da localiza¸cão e movimenta¸cão do som.

Nesse contexto, é proposta uma nova forma de interpola¸cão com vistas à di-minui¸cão da complexidade computacional requerida pelo sistema de realidade virtual mantendo a sensa¸cão de naturalidade para o ouvinte.

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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

TRIDIMENSIONAL SOUND GENERATION TECHNIQUE

July/2001

Advisors: Paulo S´ergio Ramirez Diniz Luiz Wagner Pereira Biscainho

Department: Electrical Engineering

Tridimensional sound has been used in many areas, such as virtual reality and those related to it, like movies, simulators and electronic games.

The main objective of this thesis is to study techniques for generation of tridimensional sound, specially from localization and sound motion points of view.

In this context, it is proposed a new form of interpolation aiming to de-crease the computational complexity required by the virtual reality systems while preserving the auditory sensations natural.

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 1

1.2 Aspectos Gerais de Implementa¸c˜ao . . . 2

1.2.1 Localiza¸c˜ao e Movimenta¸c˜ao . . . 3

1.2.2 Ambienta¸c˜ao . . . 5

1.3 Objetivo desta Tese . . . 7

2 Fun¸cões de Transferência Relativas à Cabe¸ca (HRTFs) 8 2.1 Aquisi¸cão das HRTFs . . . 9

2.1.1 Configura¸c˜ao do Sistema de Medi¸c˜ao . . . 9

2.1.2 Cabe¸ca Artificial . . . 12

2.1.3 Compensa¸cão de Fun¸cões de Transferência Externas à Cabe¸ca Artificial . . . 13

2.2 Caracter´ısticas das HRTFs . . . 15

2.2.1 Fatores Envolvidos na Percep¸c˜ao . . . 15

2.2.2 Importˆancia dos Fatores na Percep¸c˜ao . . . 18

2.3 Avalia¸c˜ao das HRTFs . . . 25

2.4 Utiliza¸c˜ao das HRTFs para Gera¸c˜ao de Som Tridimensional . . . 26

3 Fun¸cões de Transferência Interposicionais (IPTFs) 29 3.1 Idéia Principal . . . 30

3.2 Fun¸c˜oes de Transferˆencia Interposicionais . . . 31

3.2.1 Gera¸c˜ao das IPTFs . . . 33

3.3 Interpola¸c˜ao Utilizando as IPTFs . . . 35

(7)

3.4 Coment´arios . . . 42

4 Simplifica¸cão das IPTFs 44 4.1 Métodos para Simplifica¸cão das IPTFs . . . 45

4.1.1 M´etodo BMR . . . 45

4.1.2 Identifica¸c˜ao Adaptativa por Equation Error . . . 49

4.1.3 M´etodos de Suaviza¸c˜ao de Espectro . . . 52

4.1.4 M´etodos de Aproxima¸c˜ao Complexa . . . 55

4.2 T´ecnicas de Simplifica¸c˜ao . . . 57

4.2.1 Simplifica¸c˜ao das HRTFs Utilizadas na Raz˜ao (IPTF) . . . 57

4.2.2 Simplifica¸c˜ao das IPTFs . . . 58

4.2.3 Simplifica¸c˜ao de Fun¸c˜oes Suavizadas . . . 64

4.3 Conclus˜oes e Solu¸c˜ao Adotada . . . 68

5 Movimento da Fonte Virtual 71 5.1 Algoritmo de Movimento . . . 72

5.1.1 Testes com IPTFs sem Simplifica¸c˜ao . . . 74

5.2 Movimento com IPTFs Simplificadas–Solu¸c˜ao Adotada . . . 75

6 Conclus˜ao 82

Referˆencias Bibliogr´aficas 85

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Lista de Figuras

1.1 Gera¸c˜ao de som tridimensional com sistema multi-canal . . . 4

1.2 Compara¸c˜ao entre as dire¸c˜oes do som direto e do som refletido. . . 6

2.1 Esquema do sistema de medi¸c˜ao das HRTFs. . . 10

2.2 Obten¸c˜ao do par de HRIRs para cada posi¸c˜ao. . . 13

2.3 Diagrama em blocos do sistema de medi¸c˜ao. . . 14

2.4 Verifica¸c˜ao da diferen¸ca de tempo interaural (ITD). . . 16

2.5 ITD e ILD ao se variar a eleva¸c˜ao da fonte. . . 17

2.6 Regi˜ao de importˆancia dos fatores ITD e ILD (I). . . 19

2.7 Regi˜ao de importˆancia dos fatores ITD e ILD (II). . . 20

2.8 Regi˜ao de importˆancia dos fatores ITD e ILD (III). . . 21

2.9 Região de importância dos fatores relacionados com as reflexões na pina e no tronco (I). . . 22

2.10 Região de importância dos fatores relacionados com as reflexões na pina e no tronco (II). . . 23

2.11 Região de importância dos fatores relacionados com as reflexões na pina e no tronco (III). . . 24

2.12 M´etodo de interpola¸c˜ao bilinear. . . 28

3.1 Fun¸c˜ao de transferˆencia interaural (ITFs). . . 30

3.2 Modelo das HRTFs atrav´es das ITFs. . . 31

3.3 Compara¸cão das dinâmicas das fun¸cões ipsi- e contralateral com a ITF. 32 3.4 Fun¸cão de Transferência Interposicional. . . 33

3.5 Aproxima¸c˜oes de fase m´ınima. . . 35

(9)

3.7 Limita¸cão da região de interpola¸cão para o conjunto de fun¸cões

esco-lhido. . . 37

3.8 Distâncias angulares absolutas utilizadas no cálculo dos parâmetros α, β e γ. . . 38

3.9 Diagrama em blocos da interpola¸c˜ao utilizando as IPTFs. . . 40

3.10 Análise gráfica do teste feito para a interpola¸cão. . . 41

3.11 Exemplo do teste da interpola¸c˜ao (I). . . 42

3.12 Exemplo do teste da interpola¸c˜ao (II). . . 43

4.1 Identifica¸c˜ao adaptativa IIR. . . 50

4.2 Identifica¸c˜ao de sistemas por equation-error. . . 51

4.3 Aproxima¸c˜ao aplicando o m´etodo BMR sobre as HRTFs. . . 59

4.4 Aproxima¸c˜ao aplicando o m´etodo BMR sobre as IPTFs. . . 61

4.5 Exemplo de resultado do m´etodo BMR sobre as IPTFs representadas por filtros IIR. . . 62

4.6 Redu¸c˜ao de ordem aplicando o m´etodo equation error. . . 64

4.7 Efeito das grandes varia¸cões nas altas freqüências sobre o método de redu¸cão de ordem das IPTFs. . . 65

4.8 Exemplo de simplifica¸cão das IPTFs suavizadas com a técnica BMR com aproxima¸cão FIR. . . 67

4.9 Atua¸cão da suaviza¸cão em fun¸cões com “picos” elevados. . . 69

4.10 Exemplo de suaviza¸cão utilizando a média geométrica. . . 70

5.1 Diagrama em blocos do algoritmo de movimento. . . 73

5.2 Exemplo de mudan¸ca de parˆametros durante o movimento. . . 74

5.3 Efeito do transit´orio dos filtros. . . 76

5.4 Exemplo de diagrama de p´olos e zeros das IPTFs. . . 77

5.5 Deslocamento dos pólos das IPTFs em dire¸cão à origem. . . 78

5.6 Efeito do transitório dos filtros com redu¸cão dos módulos dos pólos próximos a _{−1. . . 79}

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

1.1 Motiva¸c˜

ao

O som ´e um importante elemento na percep¸c˜ao do ambiente em nossa volta. ´

E com aux´ılio dele que pessoas com deficiência visual podem ter uma vida pratica-mente normal. Isso se torna poss´ıvel porque no som está embutida grande parte da informa¸cão do ambiente em que se está imerso.

Além dessa caracter´ıstica, o som tem a capacidade de transmitir/criar emo-¸cões. Essa propriedade se mostra claramente quando se toma um susto ao se ouvir um barulho um pouco mais forte ou quando se sente a emo¸cão transmitida pelo autor de uma pe¸ca musical.

Essas caracter´ısticas do som têm sido largamente utilizadas pela indústria cinematográfica e em jogos eletrônicos para criar sensa¸cões cada vez mais real´ısticas e emocionantes.

Sistemas de realidade virtual devem gerar um som que seja o mais real poss´ıvel para uma situa¸cão determinada ao sistema; por isso, necessitam de técnicas de gera¸cão de efeitos sonoros mais precisas.

Algumas técnicas que vêm sendo vastamente utilizadas nessas aplica¸cões são as de gera¸cão de som tridimensional. Estas técnicas ganharam for¸ca quando o sistema digital de reprodu¸cão multicanal come¸cou a ser utilizado em salas de cinema, pois as equipes de efeitos sonoros, pensando nesse tipo de sistema de reprodu¸cão, come¸caram a utilizar efeitos de localiza¸cão e movimento, criando um som mais envolvente.

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Essas técnicas se dividem em dois principais grupos, do ponto de vista da reprodu¸cão: as que geram o som tridimensional em caixas acústicas e as que o geram em fones de ouvido. As relacionadas com caixas acústicas podem-se dividir ainda naquelas que geram o efeito utilizando dois canais e naquelas que geram o efeito utilizando mais de dois canais.

A técnica a ser utilizada depende da aplica¸cão. Em sistemas de realidade virtual, a utiliza¸cão de fones de ouvido torna-se mais adequada, tendo em vista que esse sistema é utilizado por apenas um usuário; e, mesmo que seja utilizado por mais de um usuário, o que é ouvido por um não pode ser escutado pelo outro da mesma maneira. Já em sistemas de proje¸cão de filmes, a utiliza¸cão de fones de ouvido se torna pouco prática, pois, além de o sistema ser muito mais sujeito a problemas técnicos, a utiliza¸cão de fones parece um pouco desconfortável para o espectador. Nesse caso, o sistema multicanal se torna mais adequado. No caso dos jogos eletrônicos, a forma de reprodu¸cão é escolhida mais por razões econômica e prática do que qualquer outra coisa. Na maioria dos casos, o sistema de reprodu¸cão encontrado em computadores pessoais e videojogos tem como terminais duas caixas acústicas. E, como um jogo não deve exigir equipamentos especiais para seu fun-cionamento (isso pode acarretar a não aceita¸cão do jogo pelo mercado), os efeitos sonoros devem estar voltados para a reprodu¸cão em caixas. No máximo, a utiliza¸cão de um par de fones de ouvido pode ser sugerida.

Para cada uma dessas técnicas de gera¸cão de sons tridimensionais, diferentes aspectos são levados em conta na implementa¸cão. Alguns deles serão discutidos na próxima se¸cão.

1.2 Aspectos Gerais de Implementa¸c˜

ao

As técnicas utilizadas em um sistema de gera¸cão de som tridimensional podem ser divididas em dois principais grupos: o responsável pela localiza¸cão espacial do som e o responsável pela sua ambienta¸cão.

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1.2.1 Localiza¸c˜

ao e Movimenta¸c˜

ao

A separa¸cão em duas partes pode ser feita porque a sensa¸cão de localiza¸cão tem como principal causa a geometria da cabe¸ca humana. A frente de onda gerada por uma fonte em uma determinada posi¸cão percorre dois caminhos principais em dire¸cão aos dois ouvidos, respectivamente. Nesse percurso, algumas modifica¸cões, diferentes para cada um dos caminhos, são atribu´ıdas às frentes de onda. Essas altera¸cões atribu´ıdas ao som são o resultado de reflexões no tronco e na pina (ouvido externo) e da difra¸cão causada pela cabe¸ca (chamada também de sombra da cabe¸ca). Dependendo da forma de reprodu¸cão, a cria¸cão da sensa¸cão de localiza¸cão se dá de maneiras bem distintas. No caso da utiliza¸cão de caixas acústicas, a preo-cupa¸cão está em gerar um campo acústico que dê a impressão de localiza¸cão, já que as modifica¸cões relacionadas ao conjunto cabe¸ca-tronco-pina serão atribu´ıdas pelo próprio conjunto do ouvinte. Esse campo acústico é gerado pela composi¸cão das frentes de onda referentes a cada caixa acústica.

No caso dos sistemas multicanal, a posi¸cão de cada caixa deve ser determinada e cada uma é excitada de forma a compor o campo desejado. Nessa forma de reprodu¸cão, que é chamada de Base de Vetores Balanceada em Amplitude (VBAP– Vector Base Amplitude Panning [1]), cada caixa é representada por um vetor com origem na posi¸cão do ouvinte, e o módulo desses vetores é tal que a soma vetorial deles tem módulo 1 na dire¸cão desejada para a fonte virtual (veja na Figura 1.1).

Para o caso estéreo com caixas acústicas, outras alternativas como inser¸cão de atraso e diferen¸cas na fase entre os canais [2] devem ser utilizadas. Mas problemas como interferência entre canais acabam por prejudicar a eficiência do sistema de localiza¸cão.

A utiliza¸cão de caixas acústicas torna o problema da interferência bastante relevante [3], por isso devem ser utilizadas caixas bem direcionais e a sala de re-produ¸cão deve ser preparada acusticamente para ter poucas reflexões. Pode-se no-tar também que, ao se utilizarem apenas dois canais, não é poss´ıvel, de uma forma simples, conseguir posicionar a fonte virtual fora do plano formado pelos pontos correspondentes às posi¸cões das caixas e do ouvinte. No caso multicanal, isso se torna poss´ıvel, mas devem existir caixas acima e abaixo do plano horizontal. Na Figura 1.1, vê-se a fonte virtual acima do plano horizontal. Para que seja poss´ıvel

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Ouvinte Caixa Z

Caixa Y

Caixa X Fonte Virtual

Figura 1.1: Esquema de gera¸cão de som tridimensional com sistema multicanal. posicionar a fonte virtual abaixo do plano horizontal, é necessário mais um canal com a caixa a ele relacionada posicionada abaixo desse plano (não necessariamente no eixo vertical).

Já no caso estéreo utilizando fones de ouvido, a mesma sensa¸cão obtida com o campo acústico deve ser reproduzida. Para isso, é necessário saber como o cami-nho modifica o som; isso significa que é preciso levar em considera¸cão as altera¸cões ocasionadas pelo conjunto cabe¸ca-tronco-pina. Essa informa¸cão de como o conjunto cabe¸ca-tronco-pina altera o som pode ser representada por fun¸cões de transferência entre o ponto onde está a fonte virtual e cada um dos ouvidos. Essas fun¸cões de transferência, chamadas de Fun¸cões de Transferência Relativas à Cabe¸ca (HRTFs– Head-Related Transfer Functions) são medidas com o aux´ılio de uma cabe¸ca artifi-cial.

A cabe¸ca artificial consiste de uma espécie de cabe¸ca de manequim oca com orif´ıcios no lugar das orelhas. Por dentro da cabe¸ca, 2 microfones muito sens´ıveis e calibrados são colocados nos orif´ıcios. Por fora da cabe¸ca, no entorno desses orif´ıcios são colocados orelhas moldadas em material especial (parecido com uma borracha), de forma que a cabe¸ca possa ser considerada um bom modelo para a cabe¸ca humana

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média. Em uma sala anecóica, repete-se para vários pontos diferentes a medi¸cão da fun¸cão de transferência entre uma fonte sonora real e os ouvidos da cabe¸ca artificial. Essas medi¸cões são feitas em pontos pertencentes a uma esfera de raio r que envolve a cabe¸ca. Ao final das medi¸cões, obtêm-se duas fun¸cões de transferência para cada ponto medido, uma referente a cada ouvido.

Em [4], Gardner e Martin executaram tais medi¸cões, que depois disponibi-lizaram na Internet. Essas fun¸cões medidas por eles são utilizadas em todo este trabalho.

Como não é poss´ıvel obter as HRTFs para todas as dire¸cões poss´ıveis, torna-se necessária uma forma de interpola¸cão para que torna-seja poss´ıvel posicionar a fonte virtual em todos os pontos em volta do ouvinte. Em [5], é utilizada uma interpola¸cão bilinear. Essa interpola¸cão consiste de uma pondera¸cão das HRTFs mais próximas que delimitam a região no espa¸co onde se encontra a posi¸cão desejada para a fonte virtual.

A interpola¸cão se torna mais necessária ainda quando se precisa dar no¸cão de movimento ao som. O movimento exige a interpola¸cão para que não se gere um som se movimentando “em saltos” e para que o número de HRTFs medidas não aumente muito.

1.2.2 Ambienta¸c˜

ao

O som tridimensional gerado somente a partir das HRTFs tem a informa¸cão de localiza¸cão. Essa informa¸cão, no entanto, não é suficiente, tendo em vista que o som que estamos acostumados a ouvir carrega, também, bastante informa¸cão do ambiente em que foi gravado. Isso implica voltar um pouco da aten¸cão para a cria¸cão da ambienta¸cão adequada à posi¸cão virtual desejada.

A ambienta¸cão é constru´ıda por modificadores externos ao sistema cabe¸ca-tronco-pina mencionado anteriormente: reflexões em anteparos, absor¸cão atmosféri-ca e absor¸cão pelos anteparos são efeitos atribu´ıdos à ambienta¸cão. Tais modifiatmosféri-cado- modificado-res não são totalmente independentes da localiza¸cão, pois para cada nova frente de onda criada por reflexões está impl´ıcita uma localiza¸cão. Por exemplo, uma frente de onda refletida em um anteparo chega aos ouvidos percorrendo um caminho di-ferente do som direto (que parte da fonte para os ouvidos sem encontrar nenhum

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anteparo). Os efeitos da reflexão são aplicados ao som no momento da reflexão, e o de localiza¸cão, ao chegar ao ouvinte. Portanto, esse som refletido tem a ele atribu´ıda uma posi¸cão diferente da posi¸cão da fonte.

Isso pode ser percebido melhor na Figura 1.2. Nessa Figura, pode-se notar a diferen¸ca de dire¸cão entre o som direto e o refletido. Nota-se também que, no caso dos sons refletidos, o sistema de localiza¸cão deve atribuir a cada reflexão uma dire¸cão diferente, de forma dar uma sensa¸cão mais real do ambiente em questão.

. Som Refletido Som Direto Fonte Anteparo Ouvinte

Figura 1.2: Compara¸cão entre as dire¸cões do som direto e do som refletido. Além das reflexões, a ambienta¸cão artificial também carrega em si a in-forma¸cão da distância à fonte (já que as HRTFs são medidas a uma distância fixa da cabe¸ca artificial), das absor¸cões atmosféricas e daquelas ocorridas quando das reflexões em anteparos.

Quanto à distância da fonte, pode-se utilizar a lei do inverso do quadrado da distância [2], que dá a amplitude do sinal como proporcional ao inverso da distância do ouvinte à fonte. Isso pode ser feito porque o modelo adotado para a fonte, nesse caso, é o de uma fonte omnidirecional e, assim, essa redu¸cão da energia com a distância é causada simplesmente pelo fato de a energia se distribuir igualmente em todas as dire¸cões.

Existe um efeito que é desconsiderado pela parcela da ambienta¸cão mostrada acima: a absor¸cão atmosférica. O efeito da absor¸cão depende não só da distância como também da freqüência. Em [6], é mostrada uma forma anal´ıtica de se calcular

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a atenua¸cão imposta pela distância para cada freqüência como conseqüência dessa absor¸cão sem levar em conta a atenua¸cão modelada pela lei do inverso da distância, que atua em todas as freqüências igualmente. Se esse efeito for, então, utilizado em conjunto com a lei do inverso da distância, resolve-se o caso das atenua¸cões dependentes da distância [5, 7].

Para o caso das atenua¸cões causadas em reflexões, pode-se utilizar um fator de absor¸cão inerente a cada superf´ıcie. Esse modelo não é absolutamente rigoroso, pois é sabido que para a reflexão ser perfeita os comprimentos de onda das freqüências que compõem o som devem ser menores que o menor comprimento da superf´ıcie do anteparo. Portanto, para sons com comprimentos de onda maiores (freqüências baixas), pode ocorrer uma parcela importante de reflexão difusa que os atenuará, pelo fato de distribuir a energia da onda incidente em várias dire¸cões. Essa varia¸cão do fator de absor¸cão com a freqüencia normalmente não é modelada como tal, mas o efeito da difusão pode ser considerda.

1.3 Objetivo desta Tese

Esta tese se ocupa da implementa¸c˜ao de um sistema de gera¸c˜ao de som tri-dimensional utilizando fones de ouvido.

Tem como objetivo principal o estudo das técnicas de gera¸cão de som tri-dimendional, principalmente do ponto de vista da localiza¸cão e movimenta¸cão do som, para servir de base a futuros estudos.

Além disso, é proposta uma nova forma de interpola¸cão das HRTFs visando à redu¸cão da complexidade computacional na gera¸cão do movimento, diminuindo o número de multiplica¸cões por amostra calculada.

Tem-se em vista a aplica¸cão dessa técnica em sistemas de realidade virtual, jogos eletrônicos e quaisquer aplica¸cões que se utilizem de fones de ouvido e requei-ram do som uma maior sensa¸cão de realidade.

(17)

Cap´ıtulo 2

Fun¸c˜

oes de Transferˆ

encia Relativas

`

a Cabe¸ca (HRTFs)

Todos os sistemas de gera¸cão de som tridimensional com vistas à reprodu¸cão utilizando fones de ouvido têm, de alguma forma, que levar em considera¸cão as modifica¸cões atribu´ıdas às frentes de onda sonora pelo conjunto receptor que consiste da cabe¸ca, da pina e do tronco.

Essas modifica¸cões podem ser representadas por fun¸cões de transferência de-pendentes da dire¸cão de que está vindo o som. Essas fun¸cões de transferência são chamadas de Fun¸cões de Transferência Referentes à Cabe¸ca (Head-Related Transfer Functions–HRTFs).

Essas fun¸cões, como já foi mencionado, são medidas de várias dire¸cões dife-rentes em condi¸cões especiais. Um conjunto delas foi obtido por Gardner e Martin em [4] e, na Se¸cão 2.1, será mostrada a descri¸cão do procedimento de medi¸cão uti-lizado naquela referência para se ter uma visão mais precisa do processo de gera¸cão de som tridimensional.

Após a Se¸cão 2.1–Aquisi¸cão das HRTFs, nesse cap´ıtulo discutem-se al-gumas caracter´ısticas importantes das HRTFs na Se¸cão 2.2–Caracter´ısticas das HRTFs; tecem-se alguns comentários sobre os métodos de avalia¸cão das HRTFs me-didas na Se¸cão 2.3–Avalia¸cão das HRTFs; e mostra-se como utilizar as HRTFs para gera¸cão do som tridimensional na Se¸cão 2.4–Utiliza¸cão das HRTFs para Gera¸cão de Som Tridimensional.

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2.1 Aquisi¸c˜

ao das HRTFs

Um dos pontos principais na gera¸cão de som tridimensional em fones de ou-vido é a obten¸cão das HRTFs para várias dire¸cões. Como nesta tese foram utilizadas HRTFs medidas em [4], será feita nesta se¸cão uma breve explana¸cão de como se de-vem realizar as medi¸cões, mencionando-se o sistema utilizado e como é a estrutura da cabe¸ca artificial com as quais foram medidas as HRTFs.

Além disso, serão vistas também quais as fun¸cões de transferência auxiliares que devem ser medidas além das HRTFs para que se possa ter um conjunto de HRTFs que só digam respeito à fun¸cão de transferência entre o ponto onde está a fonte e os ouvidos. Afinal, a resposta em freqüência do sistema de reprodu¸cão utilizado na medi¸cão não deve interferir na obten¸cão das HRTFs.

2.1.1 Configura¸c˜

ao do Sistema de Medi¸c˜

ao

O sistema de medi¸cão utilizado por Gardner e Martin é baseado em um computador equipado com uma placa de aquisi¸cão/reprodu¸cão de áudio que, em conjunto com um sistema de caixas acústicas e uma cabe¸ca artificial dentro de uma sala anecóica, obtém a fun¸cão de transferência na forma da resposta impulsiva para cada dire¸cão.

Para se poder medir as HRTFs em várias dire¸cões diferentes, a cabe¸ca arti-ficial é montada sobre uma base giratória, controlada pelo computador, que pode posicionar a frente da cabe¸ca, com bastante precisão (centésimo de grau), em um ângulo de azimute θ relativo ao azimute da caixa acústica (referência zero). A caixa, por sua vez, é fixada a um trilho que a deixa a uma distância fixa de 1,4m do centro da cabe¸ca, deixando mudar somente sua posi¸cão angular de eleva¸cão φ. Na Figura 2.1, pode-se ver um esquema do sistema que deve ser montado na sala anecóica.

Nota-se, nessa figura, que o trilho onde é afixada a caixa não está sendo mostrado. Somente suas poss´ıveis posi¸cões é que estão representadas. O trilho não só mantém fixa a distância da caixa ao centro da cabe¸ca como também mantém o azimute da caixa igual a zero. Outro detalhe são os ângulos m´ınimo e máximo de eleva¸cão: só são medidas as HRTFs com eleva¸cão entre −40o _{e 90}o_.

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motor (ao computador) 1,40 m caixa acústica móvel da caixa posi¸cões dire¸cão associada à HRTF de eleva¸cão (−40o₎ menor ângulo x y z θ φ . . dire¸cão de referência

Figura 2.1: Esquema do sistema de medi¸cão das HRTFs utilizado por Gardner e Martin em [4]: θ é o ângulo de azimute e φ é o ângulo de eleva¸cão.

Com a configura¸c˜ao mostrada, efetuam-se as medidas1 _{reproduzindo-se uma}

seqüência pseudo-aleatória chamada de ML (Maximum Length) [8] e, simultanea-mente, gravando-se o sinal captado pelos microfones da cabe¸ca artificial. O sinal de medida é formado por 2N amostras resultantes da duplica¸cão das N amostras da seqüência ML. Das 2N amostras medidas em cada canal, as N primeiras amostras são descartadas e as N restantes são novamente duplicadas. Com essas 2N amostras, calcula-se a correla¸cão cruzada com a seqüência original de N amostras, gerando um resultado de 3N − 1 amostras. A resposta impulsiva de N amostras, chamada de HRIR (Head-Related Impulse Response), relativa à HRTF que está sendo medida pode ser obtida extraindo-se as amostras do resultado anterior a partir da amostra N_{−1. Nessas medidas, Martin e Gardner utilizaram N = 16383. Esse procedimento} de medida é repetido para cada uma das posi¸cões desejadas. Em [4], foram medidas

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Tabela 2.1: Número de HRTFs medidas e passo em azimute para cada eleva¸cão. Eleva¸cão (φ) Número de medidas Passo em azimute (∆θ)

-40 56 6,43 -30 60 6,00 -20 72 5,00 -10 72 5,00 0 72 5,00 10 72 5,00 20 72 5,00 30 60 6,00 40 56 6,43 50 45 8,00 60 36 10,00 70 24 15,00 80 12 30,00 90 1 –

respostas com eleva¸c˜oes entre ₋₄₀o _{e 90}o_{, com passo de 10}o_{, e, nos azimutes de 0}o

a 360o_{, com passo dependente da eleva¸c˜ao (veja Tabela 2.1).}

Cada uma das medidas gera, para cada pina, uma resposta impulsiva com 16383 amostras a uma taxa de 44100 Hz. Delas, observou-se que as primeiras 230 amostras eram relativas ao atraso causado pela propaga¸cão no ar no percurso entre a caixa e a cabe¸ca em conjunto com o atraso entre as opera¸cões play/record. Além disso, Martin e Gardner notaram que após algumas centenas de amostras, além do efeito da resposta à cabe¸ca artificial ser muito pequeno, aparecem reflexões causadas pelo equipamento montado na câmara anecóica, como, por exemplo, da mesa onde está montada a cabe¸ca artificial. De forma a reduzir a base de dados relativos às HRTFs sem que nada de interesse fosse perdido, das 16383 amostras da resposta impulsiva eliminaram-se as 200 amostras iniciais (atrasos relativos à propaga¸cão no ar e o atraso entre a opera¸cão play/record ) e extra´ıram-se como HRIR as 512 amostras seguintes (pois após essas amostras a resposta da cabe¸ca atingia valores muito pequenos).

(21)

A essas HRIRs de 512 amostras, foram incorporadas as respostas em fre-qüência do sistema amplificador/caixa acústica utilizado na medi¸cão (a discussão de fun¸cões de transferências que interferem nas medidas será feita na Subse¸cão 2.1.3). Ao incorporar a resposta do sistema de medi¸cão, a amplitude das HRIRs atingem valores baixos em um tempo mais curto, então, pode-se reduzir o número de amostras de cada HRIR para 128. Sendo assim, criou-se um conjunto de HRIRs com 128 amostras que já levam em considera¸cão (compensam) a resposta em freqüência do sistema da medi¸cão . Essas foram as fun¸cões de transferência utilizadas nesta tese.

2.1.2 Cabe¸ca Artificial

A cabe¸ca artificial consiste de um par de microfones de precis˜ao montados na parte interna da cabe¸ca de um manequim. Nesse manequim mostrado na Figura 2.1, com tronco superior (torso), pesco¸co e cabe¸ca, existem dois orif´ıcios no lugar dos ou-vidos, onde os microfones s˜ao colocados para captar o que possivelmente os t´ımpanos de uma pessoa receberiam.

A cabe¸ca artificial utilizada por Martin e Gardner é uma KEMAR–Knowles Electronics Mannequin for Acoustic Research (modelo DB-4004) equipada com dois modelos diferentes de pina: uma de tamanho médio para o ouvido esquerdo (modelo 061) e uma de tamanho um pouco maior para o ouvido direito (modelo DB-065). O conjunto microfone/preamplificador é do modelo Etymotic ER-11. As sa´ıdas do pré-amplificador são ligadas às entradas do conversor A/D de uma placa Audiomedia, que equipa o computador que controla as medi¸cões.

Com a cabe¸ca artificial montada dessa forma, obtêm-se para os dois tipos de pina respostas impulsivas diferentes em uma mesma eleva¸cão e em azimutes simétricos, com isso, em uma mesma eleva¸cão, a resposta ao ouvido direito no azi-mute θ é diferente da resposta ao ouvido esquerdo no aziazi-mute −θ. Assim, com as medidas realizadas para os ouvidos direito e esquerdo, geram-se os pares de HRIRs que representam a resposta de uma cabe¸ca artificial simétrica com pina de tamanho médio e pouco acima da média, respectivamente.

Ao final, um par de HRIRs relativo a uma determinada posi¸cão (azimute θ e eleva¸cão φ) é formado por duas respostas do mesmo ouvido: uma no azimute θ e ou-tra de azimute−θ como ilustrado na Figura 2.2. O par referente à pina de tamanho

(22)

m´edio ´e obtido agrupando as HRTFs HDB−061(θ) e HDB−061(−θ) para representar

os ouvidos esquerdo e direito, respectivamente. J´a o outro par, HDB−065(−θ) e

HDB−065(θ), deve representar os ouvidos esquerdo e direito, respectivamente, para a

pina de tamanho acima da m´edia. Por exemplo, na eleva¸c˜ao de 20o _{o par de HRIRs}

relativo ao azimute 30o _{com o tamanho de orelha m´edio ´e formado pelas HRIRs}

medidas pelo microfone montado no ouvido esquerdo (lado da pina m´edia) que tem eleva¸c˜ao 20o _{com azimutes 30}o _e ₋₃₀o _{para representar as respostas dos ouvidos}

esquerdo e direito, respectivamente. No caso da resposta da cabe¸ca artificial com a pina de tamanho um pouco maior, as HRIRs s˜ao as medidas com o microfone direito, na mesma eleva¸c˜ao mas com os azimutes trocados: ₋₃₀o _{para representar o}

ouvido esquerdo e 30o _{para o direito.}

. x y dire¸cão de referência Fonte Ouvinte θ HDB−065(θ) HDB−061(θ) (a) . x y Fonte Ouvinte dire¸cão de referência . −θ HDB−065(−θ) HDB−061(−θ) (b)

Figura 2.2: Obten¸c˜ao do par de HRIRs para cada posi¸c˜ao. Em (a), com a fonte localizada no azimute de θ e em (b) com a fonte localizada no azimute de−θ.

2.1.3 Compensa¸c˜

ao de Fun¸c˜

oes de Transferˆ

encia Externas `

a

Cabe¸ca Artificial

Como em qualquer procedimento de medida de fun¸cão de transferência, é necessário ter o cuidado de isolar completamente a fun¸cão de transferência que se quer medir da influência dos instrumentos utilizados em tal medida.

(23)

influir no resultado da medida. As respostas do amplificador, da caixa acústica, da sala onde é feita a medida e do microfone devem ser devidamente compensadas para que nenhuma dessas partes do sistema de medida venha interferir na medi¸cão da fun¸cão de transferência desejada.

O esquema da Figura 2.3 mostra as fun¸cões de transferência envolvidas na medi¸cão das HRTFs. Nessa figura, vê-se o caminho percorrido pelo sinal de medi¸cão

microfone HRTF

amplificador

.

anecóicacâmara acćaixaustica

pr´e-amplificador para o microfone anti-alias filtro conversor A/D conversor D/A sinal medido sinal de teste .

Sa´ıda de ´audio da placa Audiomedia II DSP

Figura 2.3: Diagrama em blocos do sistema de medi¸cão. Fun¸cões de transferência envolvidas na medi¸cão.

das HRIRs. Se o amplificador for considerado de alta qualidade (com resposta em freqüência praticamente plana na região de interesse–20Hz a 20kHz) e que o par microfone/pré-amplificador tem também resposta bastante plana, as fun¸cões de transferência que devem ser compensadas são as da câmara anecóica e da caixa acústica.

A resposta da câmara anecóica é formada pelas reflexões provenientes dos equipamentos montados no interior da mesma, bem como pelo eco residual das próprias paredes. Esses dois efeitos ocorrem normalmente bem depois da resposta da cabe¸ca ao sinal direto. Por isso, não é necessária uma compensa¸cão para essas fun¸cões de transferência.

Já a resposta da caixa acústica, que quase sempre não é nada plana, deve ser compensada. Para isso, faz-se a medida da sua resposta impulsiva separada-mente utilizando-se a mesma técnica de medida das HRIRs, mas com um microfone colocado no lugar da cabe¸ca, e implementa-se o filtro inverso correspondente. Gard-ner e Martin fizeram tal medi¸cão e, como já foi mencionado, inclu´ıram nas HRIRs utilizadas nesta tese a compensa¸cão da caixa acústica.

(24)

Além da resposta à caixa acústica, uma outra fun¸cão de transferência en-volvida, presente no momento da reprodu¸cão do sinal tridimensional, é a relativa ao fone de ouvido. Essa deve ser também compensada. Gardner e Martin fizeram algumas medidas de respostas para alguns tipos de fones de ouvido. No entanto, neste trabalho não foram utilizadas, porque os fones utilizados nos testes não eram do mesmo modelo dos que foram medidos. Além disso, há normalmente uma dis-crepância muito grande entre as fun¸cões de transferência de unidades diferentes de um mesmo tipo de fone ou até mesmo entre as de um mesmo fone simplesmente ao tirar e colocar o fone na cabe¸ca artificial no momento da medi¸cão de sua resposta.

2.2 Caracter´ısticas das HRTFs

As HRTFs variam muito de indiv´ıduo para indiv´ıduo. Essas varia¸cões se devem às diferen¸cas da geometria do conjunto cabe¸ca-tronco-pina de cada um. Isso torna também variável a percep¸cão pelos indiv´ıduos dos efeitos gerados com as HRTFs medidas com a cabe¸ca artificial, a qual representa um indiv´ıduo médio. Assim sendo, a adequa¸cão individual às sensa¸cões transmitidas pelo som gerado artificialmente se faz necessária.

Podem-se, no entanto, destacar caracter´ısticas importantes, do ponto de vista da percep¸cão da correta localiza¸cão do som, verificando-se a diferen¸ca existente entre HRTFs adjacentes. Dois tipos de caracter´ısticas podem ser obtidos: os fatores res-ponsáveis pelas diferen¸cas na percep¸cão da localiza¸cão e em quais regiões a varia¸cão da posi¸cão afeta mais um determinado fator. É o que será discutido a seguir.

2.2.1 Fatores Envolvidos na Percep¸c˜

ao

A resposta da cabe¸ca artificial, por sua geometria, sugere alguns pontos im-portantes na percep¸cão da localiza¸cão do som. Como já foi dito, as diferen¸cas entre as respostas dos ouvidos são as responsáveis pela localiza¸cão da fonte sonora. Alguns fatores, que podem ser observados pela compara¸cão de HRIRs, mostram-se impor-tantes na percep¸cão dessas diferen¸cas. São eles a diferen¸ca de tempo interaural (ITD–Interaural Time Difference), a diferen¸ca de n´ıvel interaural (ILD–Interaural Level Difference) e as reflexões no tronco e na pina. Cada um desses fatores atua

(25)

diferentemente em cada região e, ainda, é responsável pela percep¸cão das varia¸cões de posi¸cão.

A ITD é o resultado do atraso relativo entre as respostas de cada ouvido. Esse atraso resulta da diferen¸ca de caminho entre a fonte e cada um dos ouvidos. Essa di-feren¸ca de caminho é causada pela distância entre os ouvidos e pela difra¸cão causada pela cabe¸ca. Na Figura 2.4, pode-se perceber que a diferen¸ca de atrasos existente

0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (a) θ=5o, φ=0o h (k ) amostras, (k) ouvido esquerdo ouvido direito 0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (b) θ=45o, φ=0o h (k ) amostras, (k) ouvido esquerdo ouvido direito

Figura 2.4: Verifica¸c˜ao da diferen¸ca de tempo interaural (ITD). HRIRs do canal direito e esquerdo na eleva¸c˜ao de zero grau e azimutes de 5o _{(a) e 45}o _(b).

entre as HRIRs do ouvido direito e esquerdo para o azimute de 5o _{(Figura 2.4a)}

´e bem menor que a diferen¸ca para o azimute de 45o _{(Figura 2.4b). Os dois casos}

mostrados estão na eleva¸cão de zero grau. Note que a ITD está muito associada a varia¸cões de azimute, já que para uma mesma eleva¸cão e azimutes diferentes, a diferen¸ca de atraso muda muito.

A ILD se caracteriza pela diferen¸ca de amplitude do som percebido por cada um dos ouvidos. Essa diferen¸ca é coerente com a ITD, sendo as duas em conjunto um indicativo do ângulo de azimute onde se encontra a fonte sonora. Na Figura 2.4b, mostrada anteriormente, pode-se notar a existência da ILD. Comparando-a com a Figura 2.4a, pode-se perceber que, à medida que a fonte vai se deslocando para um

(26)

dos lados da cabe¸ca, a amplitude percebida pelo ouvido do lado oposto diminui. Esse ´e o efeito chamado de “sombra da cabe¸ca”.

Como se pôde perceber, a ITD e ILD carregam bastante informa¸cão sobre o azimute em que se encontra a fonte sonora. No entanto, ao se variar a eleva¸cão, essas diferen¸cas não mudam muito. Isso pode ser notado ao se compararem duas HRIRs referentes ao azimute zero com eleva¸cões diferentes. Nesse azimute, as HRIRs medidas para o ouvido direito e esquerdo são iguais, por causa da simetria adotada e, assim, fica fácil comparar as varia¸cões devido somente à eleva¸cão. Sendo assim, na Figura 2.5a, onde se vêem duas das HRIRs relativas ao azimute zero em eleva¸cões

0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (a)

ouvido direito = ouvido esquerdo, θ=0o

h (k ) amostras, (k) φ=0o φ=10o 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 40 50 60 70 80 90 100 110 (b)

ouvido direito = ouvido esquerdo, θ=0o

|HRTF

|, dB

freqüência normalizada, (ω/π)

φ=0o

φ=10o

Figura 2.5: ITD e ILD ao se variar a eleva¸cão da fonte. Respostas impulsivas relativas ao azimute zero grau (a) e suas respectivas respostas em freqüência (b). Essas HRTFs são iguais para o ouvido direito e esquerdo em uma mesma eleva¸cão.

diferentes, a diferen¸ca entre as posi¸cões das duas fun¸cões não se mostra através da ITD e da ILD, já que elas não existem nesse caso. Como se pode notar na Figura 2.5b, as diferen¸cas são muito mais evidentes no módulo da resposta em freqüência. Isso indica que as mudan¸cas das caracter´ısticas das HRTFs relacionadas com mudan¸cas de eleva¸cão são mais vis´ıveis na resposta à geometria da cabe¸ca artificial, e assim, não só a distância entre os ouvidos (que gera a ITD) e a sombra

(27)

da cabe¸ca (que gera a ILD e modifica um pouco a ITD), mas também as reflexões no tronco e na pina alteram significantemente a HRTF. É poss´ıvel notar também a importância dos vales e picos para se distinguir em qual eleva¸cão se encontra a fonte sonora.

2.2.2 Importˆ

ancia dos Fatores na Percep¸c˜

ao

Como foi visto na subse¸cão anterior, existem alguns fatores, observados na compara¸cão de HRIRs, que podem ser utilizados na distin¸cão da posi¸cão de uma fonte sonora.

Cada um desses fatores contém um tipo de informa¸cão responsável pela dis-tin¸cão e, como conseqüência dessa diferencia¸cão, certos fatores são mais importantes do que outros em determinadas regiões do espa¸co, como pode ser visto a seguir.

A ITD e a ILD são fatores influenciados pela distância entre os ouvidos (incluindo a difra¸cão causada pela cabe¸ca) e pelo efeito da sombra da cabe¸ca, res-pectivamente. Intuitivamente, pode-se perceber que as varia¸cões desses fatores são maiores à medida que a fonte sonora tem seu ângulo de azimute alterado e, mais ainda, quando o ângulo de azimute está mais próximo dos azimutes zero grau e 180o_.

Então, se variarmos o ângulo de azimute no entorno do ângulo de 90o_{, a ITD e a}

ILD quase n˜ao se alteram, diferentemente do caso em que se altera o azimute no entorno dos ˆangulos de zero grau e 180o (veja Figuras 2.6, 2.7 e 2.8).

Nas Figuras 2.6, 2.7 e 2.8 pode-se notar que a ITD e a ILD são mais sens´ıveis à varia¸cão de azimute próximo dos ângulos de zero grau (Figuras 2.6a e 2.6b) e 180o (Figuras 2.8a e 2.8b) do que próximo de 90o _{(Figuras 2.7a e 2.7b). Nessas figuras,}

para efeito de verifica¸cão, tem-se também a compara¸cão das respostas em freqüência de cada ouvido (Figuras 2.6c, 2.6d, 2.7c, 2.7d, 2.8c, 2.8d). Na compara¸cão, pode-se perceber também que não há varia¸cões muito bruscas entre as respostas de um azimute e de outro, tanto próximo aos ângulos de zero grau e 180o_{quanto do ângulo}

de 90o_.

A pequena e gradativa varia¸cão das respostas em freqüência para cada ouvido ao se variar o ângulo de azimute da fonte sonora não se mantém quando, ao invés de se mudar o ângulo de azimute, se muda o ângulo de eleva¸cão (veja nas Figu-ras 2.9, 2.10 e 2.11). Nessas figuras, pode-se notar que o módulo da resposta em

(28)

0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (a) θ=0o, φ=0o h (k ) amostras, (k) ouvido direito ouvido esquerdo 0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (b) θ=5o, φ=0o h (k ) amostras, (k) ouvido direito ouvido esquerdo 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 50 60 70 80 90 100 110 (c) ouvido direito, φ=0o |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) θ=0o θ=5o 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 50 60 70 80 90 100 110 (d) ouvido esquerdo, φ=0o |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) θ=0o θ=5o

Figura 2.6: Região de importância dos fatores ITD e ILD (I). Compara¸cão das respostas impulsivas (a, b) e dos módulo das respostas em freqüência (c, d) das HRTFs com as das Figuras 2.7 e 2.8.

(29)

Figura 2.7: Região de importância dos fatores ITD e ILD (II). Compara¸cão das respostas impulsivas (a, b) e dos módulo das respostas em freqüência (c, d) das HRTFs com as das Figuras 2.6 e 2.8.

(30)

Figura 2.8: Região de importância dos fatores ITD e ILD (III). Compara¸cão das respostas impulsivas (a, b) e dos módulo das respostas em freqüência (c, d) das HRTFs com as das Figuras 2.6 e 2.7.

(31)

0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (a) θ=0o, φ=0o h (k ) amostras, (k) ouvido direito oucido esquerdo 0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (b) θ=0o, φ=10o h (k ) amostras, (k) ouvido direito ouvido esquerdo 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 50 60 70 80 90 100 110 (c) ouvido direito, θ=0o |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) elevação 0o elevação 10o 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 50 60 70 80 90 100 110 (d) ouvido esquerdo, θ=0o |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) elevação 0o elevação 10o

Figura 2.9: Região de importância dos fatores relacionados com as reflexões na pina e no tronco (I). Compara¸cão das HRIRs (a, b) e seus respectivos módulos das respostas em freqüência (c, d) com as das Figuras 2.10 e 2.11.

(32)

0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (a) θ=90o, φ=0o h (k ) amostras, (k) ouvido direito ouvido esquerdo 0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (b) θ=90o, φ=10o h (k ) amostras, (k) ouvido direito ouvido esquerdo 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 50 60 70 80 90 100 110 (c) ouvido direito, θ=90o |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) elevação 0o elevação 10o 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 50 60 70 80 90 100 110 (d) ouvido esquerdo, θ=90o |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) elevação 0o elevação 10o

Figura 2.10: Região de importância dos fatores relacionados com as reflexões na pina e no tronco (II). Compara¸cão das HRIRs (a, b) e seus respectivos módulos das respostas em freqüência (c, d) com as das Figuras 2.9 e 2.11.

(33)

0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (a) θ=180o, φ=0o h (k ) amostras, (k) ouvido direito ouvido esquerdo 0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (b) θ=180o, φ=10o h (k ) amostras, (k) ouvido direito ouvido esquerdo 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 50 60 70 80 90 100 110 (c) ouvido direito, θ=180o |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) elevação 0o elevação 10o 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 50 60 70 80 90 100 110 (d) ouvido esquerdo, θ=180o |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) elevação 0o elevação 10o

Figura 2.11: Região de importância dos fatores relacionados com as reflexões na pina e no tronco (III). Compara¸cão das HRIRs (a, b) e seus respectivos módulos das respostas em freqüência (c, d) com as das Figuras 2.9 e 2.10.

(34)

freqüência varia mais para mudan¸cas de eleva¸cão próximas do azimute de 90o

(Figu-ras 2.10c e 2.10d) do que para mudan¸cas de eleva¸cão próximas dos azimutes de zero grau (Figuras 2.9c e 2.9d) e 180o _{(Figuras 2.11c e 2.11d). Pode-se notar, também,}

que os fatores ITD e ILD são pouco sens´ıveis à varia¸cão de eleva¸cão (Figuras 2.9a, 2.9b, 2.10a, 2.10b e 2.11a, 2.11b).

Dessa forma, pode-se concluir que nas regiões frontal e traseira podem-se perceber melhor varia¸cões em azimute, já que nessas regiões os fatores ITD e ILD mudam muito com pequenas varia¸cões de azimute. Por outro lado, nas regiões laterais, tem-se maior sensibilidade às varia¸cões de eleva¸cão, pois, nessas regiões, as varia¸cões na resposta em freqüência (causadas pelas diferentes formas de reflexão na pina) são mais evidentes do que varia¸cões na ITD e/ou na ILD.

2.3 Avalia¸c˜

ao das HRTFs

A avalia¸cão das HRTFs ou de filtros que as representam normalmente é feita segundo critérios subjetivos [9, 10, 11, 12, 13, 14], mas recentemente tem-se tentado criar métodos objetivos que consigam avaliar corretamente se as respostas impulsivas dão a impressão correta da posi¸cão desejada para a fonte.

Nesta tese, não foi utilizado nenhum critério subjetivo formal para a avalia¸cão dos resultados. Apenas testes auditivos informais foram utilizados para se definir se a fun¸cão em questão está bem representada ou não. Apesar disso, considerou-se interessante tecer alguns comentários sobre esses métodos de avalia¸cão encontrados na literatura.

A maioria dos testes subjetivos encontrados na literatura são feitos reprodu-zindo-se o sinal de teste com fones de ouvido, posicionando-se a fonte virtual alea-toriamente. As pessoas submetidas ao teste indicam em qual dire¸cão está a fonte virtual para cada sinal ouvido e, assim, gera-se uma estat´ıstica de quão boas são as HRIRs medidas ou modeladas, no caso de se tratar de HRTFs obtidas de uma outra forma que não por medidas diretas.

Em alguns casos, certos procedimentos são utilizados para melhor avaliar as HRIRs ou seus modelos. Em [12], por exemplo, onde se propõe um realce à resposta da pina, menciona-se o fato de que o treinamento do ouvinte melhora

(35)

a percep¸cão da localiza¸cão da fonte. Esse treinamento consiste em apresentar ao ouvinte, primeiramente, os sinais de teste em todas as dire¸cões (no caso, o ângulo de eleva¸cão é igual a zero e reproduzem-se os sinais variando-se o azimute para a direita come¸cando do azimute zero) com o prévio conhecimento por parte do ouvinte. Isso faz com que o ouvinte se prepare psicologicamente para ouvir os sinais de teste e, assim, conseguir se transportar melhor para a situa¸cão virtual do teste em questão. A influência visual também deve ser eliminada, instruindo-se os ouvintes a fecharem os olhos durante o teste.

Os métodos objetivos têm como base a estima¸cão dos fatores, como por exem-plo a ITD e a ILD, para com eles se conseguir avaliar as fun¸cões de transferência modeladas ou medidas. Em [14], fez-se uma investiga¸cão sobre vários métodos de modelagem das HRTFs comparando-se os resultados com sistemas objetivos de ava-lia¸cão, obtendo coerência com as avalia¸cões subjetivas. Nesse sistema de avalia¸cão objetiva, desenvolvido por Pulkki et al. em [15], estimam-se os fatores ITD e ILD através da correla¸cão cruzada interaural e da estima¸cão do espectro do n´ıvel de audibilidade (loudness) dos canais direito e esquerdo, respectivamente.

2.4 Utiliza¸c˜

ao das HRTFs para Gera¸c˜

ao de Som

Tridimensional

No contexto de som tridimensional, as HRTFs são utilizadas, através das suas respostas impulsivas (HRIRs), como filtros que acrescentam a informa¸cão de localiza¸cão a sinais originalmente provenientes de um canal. Cada um desses sinais dá origem a outros dois alterados por filtros relativos às respostas para os ouvidos es-querdo e direito, respectivamente. Após a filtragem, esse sinal estéreo é reproduzido com fones de ouvido.

O procedimento acima indica a utiliza¸cão de um único par de HRIRs que tenha sido medido. Assim, para um ponto cujo par de HRIRs seja conhecido, gera-se um som como gera-se a fonte virtual estivesgera-se parada na posi¸cão relacionada àquele par.

Para que se pudesse gerar o som em todas as dire¸cões poss´ıveis, dever-se-iam medir todos os pares de HRIRs existentes. Mas como isso é impraticável,

(36)

adota-se, na medi¸cão, um determinado espa¸camento (grade) entre as HRIRs medidas. Assim, para se posicionar a fonte virtual em qualquer posi¸cão que não tenha a respectiva HRIR medida, já que existe esse espa¸camento entre os pontos em cujas posi¸cões foram medidas as HRIRs, vê-se necessária a utiliza¸cão de alguma forma de interpola¸cão.

O método de interpola¸cão mais simples, mencionado em [5], é o bilinear. Esse método se utiliza dos quatro pares de HRTFs mais próximos do ponto em que se deseja posicionar a fonte virtual para obter uma estima¸cão do par relativo a tal posi¸cão. Isso pode ser descrito da seguinte forma:

ˆh(k) = (1 − cθ)(1− cφ)ha(k) + cθ(1− cφ)hb(k) + cθcφhc(k) + (1− cθ)cφhd(k), (2.1)

onde ha(k), hb(k), hc(k) e hd(k) s˜ao os pares de respostas impulsivas mais pr´oximas

da posi¸cão (θ, φ) (veja Figura 2.12) e cθ e cφsão os coeficientes da interpola¸cão, que

s˜ao dados por:

           cθ = (θ mod θgrid) θgrid = Cθ θgrid cφ = (φ mod φgrid) φgrid = Cφ φgrid , (2.2)

onde θgrid e φgrid são as precisões de azimute e eleva¸cão da medi¸cão das HRTFs e,

ainda, Cθ e Cφ dão a posi¸cão em graus referente à ha(k).

Outros métodos de interpola¸cão são utilizados e, com isso, a compara¸cão entre eles se torna necessária. Geralmente, toma-se como base a interpola¸cão bili-near. Em [13], faz-se a compara¸cão entre o método bilinear (nesse artigo chamado de método de pondera¸cão com o inverso da distância–method of inverse-distance weighting) e o método de interpola¸cão esférica (spherical splines), cada um deles implementado no dom´ınio do tempo e da freqüência.

No dom´ınio do tempo, a interpola¸cão bilinear é implementada segundo a equa¸cão (2.1), ponderando-se as HRIRs mais próximas. Já no caso da interpola¸cão esférica, todas as HRIRs medidas são consideradas no cálculo da resposta para qualquer ponto para o qual não foi medido um par de HRIRs.

No dom´ınio da freqüência, as pondera¸cões são feitas sobre o módulo, em dB, e sobre a fase da resposta em freqüência das HRIRs, obtidas pela transformada discreta de Fourier.

(37)

ha hd hb hc . . θ φ ˆh φgrid θgrid Cφ Cθ

Figura 2.12: M´etodo de interpola¸c˜ao bilinear.

A cria¸cão da sensa¸cão de movimento utiliza essas formas de interpola¸cão para que, com a evolu¸cão do tempo, tenha-se a fonte virtual em pontos diferentes de um determinado caminho.

Muitos trabalhos [7, 9, 10, 14], então, vêm sendo desenvolvidos no intuito de obter a redu¸cão da complexidade computacional pela redu¸cão da ordem dos filtros envolvidos na gera¸cão do som tridimensional. No Cap´ıtulo 3, uma nova fun¸cão de transferência auxiliar será definida e a forma de utilizá-la em uma nova técnica de interpola¸cão será discutida. Já a questão da redu¸cão de ordem dos filtros será discu-tida mais adiante, no Cap´ıtulo 4, onde se abordará a complexidade computacional.

(38)

Cap´ıtulo 3

Fun¸c˜

oes de Transferˆ

encia

Interposicionais (IPTFs)

Como foi visto no Cap´ıtulo 2, para se posicionar a fonte virtual em qualquer eleva¸cão e azimute, é necessária a obten¸cão da HRTF relativa ao ponto desejado através de algum tipo de interpola¸cão. Naquele cap´ıtulo, foram também menciona-das algumas formas de interpola¸cão que, utilizando as HRTFs medimenciona-das, conseguem aproximar as HRTFs relativas a outros pontos para os quais as medidas não estão dispon´ıveis.

Este cap´ıtulo trata da defini¸cão e da interpreta¸cão de uma nova fun¸cão de transferência: a fun¸cão de transferência interposicional (IPTF–Interpositional Transfer Function), que é a base para uma nova técnica de interpola¸cão que também será descrita neste cap´ıtulo. Essa forma de interpola¸cão é utilizada, no Cap´ıtulo 5, no algoritmo que dá movimento ao som.

Neste cap´ıtulo será mostrada a idéia de onde se partiu para chegar até a IPTF na Se¸cão 3.1–Idéia Principal. Em seguida, na Se¸cão 3.2–Fun¸cões de Trans-ferência Interposicionais, apresenta-se o que é a IPTF e como ela é gerada a partir das HRTFs. A forma de interpola¸cão que utiliza as IPTFs está descrita na Se¸cão 3.3–Interpola¸cão Utilizando as IPTFs e na Se¸cão 3.4–Comentários, tecem-se algumas observa¸cões sobre a complexidade computacional dessa nova téc-nica de interpola¸cão.

(39)

3.1 Id´

eia Principal

A idéia inicial para cria¸cão dessa nova fun¸cão de transferência surgiu ao se encontrar em [9] uma proposta de redu¸cão dos modelos das HRTFs.

A proposi¸cão daquele artigo objetivava reduzir a dificuldade encontrada no modelamento das fun¸cões de transferência relativas ao ouvido localizado no lado oposto ao da fonte sonora (chamadas de fun¸cões contralaterais—veja na Figura 3.1). Essa dificuldade está no fato de o efeito da “sombra da cabe¸ca” atenuar muito as freqüências mais altas e, com isso, tornar mais dif´ıcil a identifica¸cão dos modos dessas freqüências, podendo criar a necessidade de modelos de ordem mais elevada.

. Ouvinte H1 ips Fonte 2 Fonte 1 H2 ips H1 contra H2 contra

Figura 3.1: Fun¸c˜ao de transferˆencia interaural (ITFs). Hm

ips e Hcontram s˜ao as fun¸c˜oes

ipsi- e contralateral relativas `a m-´esima fonte.

Então, tendo em vista que as fun¸cões relativas ao ouvido do mesmo lado em que se encontra a fonte sonora (chamadas de fun¸cões ipsilaterais) não sofrem este tipo de atenua¸cão, foi sugerida, naquele trabalho, uma pequena modifica¸cão na estrutura de implementa¸cão, que pode ser vista na Figura 3.2. Essa modifica¸cão leva a um diagrama equivalente ao anterior, só que os blocos que representam as fun¸cões de transferência a serem modeladas passam a ser a fun¸cão ipsilateral e a razão entre as fun¸cões contra- e ipsilateral. Essa fun¸cão-razão é denominada por aqueles autores de Fun¸cão de Transferência Interaural (ITF–Interaural Transfer Function), pelo fato de representar a transferência entre o ouvido do lado oposto e o do mesmo lado da

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fonte. sinal monoaural canal ips-lateral canal contra-lateral Hcontra Hips (a) canal ips-lateral canal contra-lateral sinal monoaural Hips Hcontra Hips (b)

Figura 3.2: Modelo das HRTFs através das ITFs. Hips e Hcontra são as fun¸cões

ipsi-e contralatipsi-eral: (a) ipsi-estrutura quipsi-e ipsi-empripsi-ega as fun¸c˜oipsi-es ipsi- ipsi-e contralatipsi-eral sipsi-eparada- separada-mente e (b) estrutura que emprega a fun¸c˜ao ipsilateral e a ITF.

A questão da dinâmica das respostas em freqüência também pode ser impor-tante sob o ponto de vista de simplifica¸cão do modelo. Na Figura 3.3a, tem-se a resposta em freqüência da ITF relativa às HRTFs vistas na Figura 3.3b. Nota-se que a resposta em freqüência da ITF tende a ser mais plana que as respostas das HRTFs que a originaram.

Essa idéia de redu¸cão do modelo através da razão entre duas fun¸cões de transferência foi utilizada no presente trabalho na cria¸cão da IPTF, que tem como objetivo fazer com que a interpola¸cão seja mais simples, como será melhor explicado na Se¸cão 3.2.

3.2 Fun¸c˜

oes de Transferˆ

encia Interposicionais

A idéia mostrada na Se¸cão 3.1 atinge maior simplicidade com o modelo cri-ado a partir da ITF (razão de duas HRTFs). Apesar disso, percebe-se que as ITFs tendem a ficar mais dif´ıceis de serem modeladas próximo ao azimute de 90o_,

(41)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −50 0 50 100 (a) |HRTF |, dB freqüência normalizada, (ω/π) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −50 0 50 100 (b) θ=45o, φ=0o freqüência normalizada, (ω/π) |HRTF |, dB ipsilateral contralateral

Figura 3.3: Compara¸cão das dinâmicas das fun¸cões ipsi- e contralateral com a ITF. Módulo da resposta em freqüência da ITF (a) e das fun¸cões ipsi- e contralateral (b) que a originaram.

entanto, não parece fácil de ser eliminado representando-se a transferência relativa a um único ponto sem considerar a sua dependência das transferências relativas a pontos vizinhos, como é com a ITF.

Como o principal objetivo deste trabalho é reduzir a complexidade da inter-pola¸cão, pensou-se em formar uma fun¸cão-razão que fosse gerada a partir de duas fun¸cões o mais poss´ıvel parecidas; especificamente, utilizar duas HRTFs relativas a um mesmo lado da cabe¸ca e a pontos próximos entre si (veja a Figura 3.4). Nessa figura, pode-se notar que a IP T Fi,f é a fun¸cão de transferência que representa a

passagem de um ponto i a outro ponto adjacente f , e pode ser descrita da seguinte forma:

IP T Fi,f =

HRT Ff

HRT Fi

, (3.1)

onde HRT Fi e HRT Ff s˜ao as HRTFs relativas aos pontos inicial e final,

respecti-vamente.

Algumas considera¸cões importantes devem ser feitas para que a Equa¸cão (3.1) seja válida. Por exemplo, a fun¸cão HRT Fi deve ser de fase m´ınima e os atrasos

(42)

. Ouvinte HRT Ff posi¸c˜ao inicial posi¸c˜ao final HRT Fi IP T Fi,f

Figura 3.4: Fun¸c˜ao de Transferˆencia Interposicional.

inerentes `a fun¸c˜ao HRT Ff devem ser iguais aos da IPTF gerada somados aos da

HRT Fi, para que a ITD (ver Se¸c˜ao 2.2.1) n˜ao seja alterada. Outro fato bastante

importante é que as IPTFs pressupõem uma fun¸cão para cada ouvido, isto é, cada ouvido tem uma IPTF para cada par de pontos inicial e final. Todas essas consi-dera¸cões e detalhes de cria¸cão das IPTFs serão discutidos na Subse¸cão 3.2.1.

3.2.1 Gera¸c˜

ao das IPTFs

Como foi visto na primeira parte dessa se¸cão, as IPTFs são fun¸cões cuja resposta em freqüência é o resultado da razão de duas HRTFs adjacentes. Para cada dois pares de HRTFs, relativas aos dois ouvidos e a duas posi¸cões adjacentes, existe um par de IPTFs, cada uma relativa a um dos ouvidos. Isso significa que a Equa¸cão (3.1) pode ser reescrita da seguinte forma:

IP T F_i,fd = HRT F d f HRT Fd i (3.2) ou IP T F_i,fe = HRT F e f HRT Fe i , (3.3) onde IP T Fd

i,f e IP T Fi,fe s˜ao as IPTFs relativas aos ouvidos direito e esquerdo,

respectivamente; HRT Fd

i e HRT Ffd s˜ao as HRTFs para o ouvido direito relativas

aos pontos inicial e final, respectivamente; e HRT Fe

i e HRT Ffe s˜ao as HRTFs para

(43)

Há, no entanto, um problema que deve ser solucionado antes de se imple-mentarem tais razões: a estabilidade da IPTF deve ser garantida. Em [7, 9, 14], utilizam-se aproxima¸cões de fase m´ınima para facilitar o processo de redu¸cão de ordem do modelo para as HRTFs. A utiliza¸cão de tal recurso se baseia em tra-balhos [16, 17, 18] que mostram a insensibilidade à fase das representa¸cões se o atraso inicial relativo à ITD for modelado por uma linha de atrasos z−D_{, onde D é}

o número inteiro de atrasos. E, mesmo que no dom´ınio do tempo esse recurso mude muito a resposta impulsiva (veja Figura 3.5), não se percebe diferen¸ca auditiva en-tre os sinais modificados pelas fun¸cões sem ou com fase m´ınima ao se gerar o som tridimensional.

Então, sabendo-se que se pode utilizar a versão de fase m´ınima das HRTFs (tomando apenas o cuidado com os atrasos), antes de se implementar a razão, calculou-se para cada HRTF sua versão de fase m´ınima. Para calcular as versões de fase m´ınima, para cada uma das HRTFs estimou-se o número de atrasos existentes por inspe¸cão visual, examinando-se a forma de onda de cada HRTF (pelo número de amostras com valores bem baixos de amplitude que precediam a subida até o pri-meiro pico). Assim, foram eliminados da i-ésima HRTF as primeiras Di amostras e,

com o restante das 128 amostras, calculou-se a versão de fase m´ınima. Um exemplo da estima¸cão do número de atrasos de uma HRTF e da fun¸cão de fase m´ınima obtida com os atrasos retirados já reincorporados podem ser vistos nas Figuras 3.5a e 3.5b, respectivamente.

Outro ponto importante na implementa¸cão da IPTF é o fato de elas poderem ser não-causais. A não-causalidade ocorre naturalmente, pois, a não ser que os números de atrasos das HRTFs utilizadas na razão sejam iguais, o número de atrasos relativo entre essas HRTFs pode ser negativo (HRT Ff ter menos atrasos que a

HRT Fi). Isso fica mais claro se a Equa¸c˜ao (3.1) for reescrita na forma da sua

transformada_Z: IP T Fi,f(z) = HRT Ff(z) HRT Fi(z) = b0+ b1z −1_{+ b} 2z−2+· · · + bNz−N a0+ a1z−1+ a2z−2+· · · + aNz−N , (3.4) onde bn e an s˜ao os valores das HRIRs em cada instante. Nessa equa¸c˜ao, pode-se

notar que, se os coeficientes da IPTF de b0a bke de a0a alforem iguais a zero (atrasos

de cada uma das HRTFs), com l > k, a fun¸cão de transferência interposicional irá necessitar de amostras anteriores a partir da amostra n = k_{− l + 1 da entrada,}

(44)

0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (a) θ=45o, φ=0o _{HRTF medida}

número de atrasos estimados

h (k ) amostras, (k) 0 20 40 60 80 100 120 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 104 (b) θ=45o, φ=0o _{HRTF de fase mínima}

número de atrasos estimados

h

(k

)

amostras, (k)

Figura 3.5: Aproxima¸cões de fase m´ınima. Estima¸cão do número de atrasos por inspe¸cão (a) e HRIR de fase m´ınima calculada.

tornando-se n˜ao-causal. Como a IPTF pressup˜oe que a HRT Fi seja utilizada em

cascata com ela (veja na Se¸cão 3.3), esse problema da não-causalidade pode ser solucionado acrescentando-se às IPTFs o atraso relativo à HRTF. Isso torna as IPTFs sempre causais e como o “avan¸co” (nos casos não-causais) relativo à IPTF é sempre menor do que o atraso inerente à HRTF cascateada, o sistema resultante se torna causal.

3.3 Interpola¸c˜

ao Utilizando as IPTFs

No Cap´ıtulo 1, onde se discutiram as várias formas de cria¸cão do som tridi-mensional, mencionou-se o método VBAP [1] que, utilizando um sistema multica-nal, faz a localiza¸cão da fonte virtual depender da dire¸cão de um vetor resultante da soma ponderada de cada um dos vetores associados a cada caixa acústica—veja no Cap´ıtulo 1 a Figura 1.1. Redesenhando-se aquela figura associando a cada vetor ouvinte-caixa uma HRTF caixa-ouvinte para cada ouvido, ter-se-ia uma pondera¸cão das HRTFs de cada posi¸cão formando a transferência global da fonte virtual para o

(45)

ouvinte (veja a Figura 3.6). Ouvinte Caixa Z Caixa Y Caixa X Fonte Virtual αHRT FX γHRT FZ _{HRT F} R βHRT FY

Figura 3.6: VBAP[1] interpretado com as HRTFs. HRTFs X, Y e Z ponderadas, respectivamente, pelos parˆametros α, β e γ, que, compostas, geram a HRT FR

(resultante).

Essa forma de interpreta¸cão do sistema VBAP utilizando as HRTFs dá uma idéia da validade do método de interpola¸cão bilinear [5], que gera a transferência de um determinado ponto a partir das HRTFs de pontos adjacentes.

Pode-se interpretar de uma forma similar a interpola¸c˜ao utilizando as IPTFs. Primeiramente, considere a HRT FI, relativa a um determinado ponto I, e as HRTFs

interpoladas com as IPTFs para dois de seus pontos vizinhos 1 e 2 (veja Figura 3.7). Essas fun¸cões de trasferência podem ser combinadas, como na interpola¸cão bilinear, para gerar a transferência de um determinado ponto F , HRT FF, pertencente à

região triangular compreendida pelos três pontos, considerando que o ponto mais próximo de F seja o I. Para isso, faz-se com que os ponderadores para cada uma das transferências dependam do inverso da distância angular do ponto F aos pontos a elas relacionados.

Assim, como pode ser visto na Figura 3.8, utilizou-se essa forma de inter-pola¸c˜ao e, para um dado um ponto F que se quer interpolar:

(46)

.

1 I

2 F

. . . .

Figura 3.7: Limita¸cão da região de interpola¸cão para o conjunto de fun¸cões escolhido. 2. caso dois ou mais pontos sejam eqüidistantes do ponto F , o ponto escolhido

como ponto I ´e o de menores azimute e eleva¸c˜ao;

3. determinam-se quais duas IPTFs, das quatro que tˆem como HRT Fi a HRTF

do ponto I, compreendem a regi˜ao que cont´em o ponto F ;

4. e gera-se a transferência do ponto F ao ouvinte através da equa¸cão: HRT FF =

HRT FI(α + βIP T FI,1+ γIP T FI,2)

α + β + γ , (3.5)

onde α, β e γ s˜ao dados por

α = (1− cθI)(1− cφ), (3.6)

β = cθI(1− cφ) (3.7)

e

γ = (1− cθ2)cφ, (3.8)

sendo cθI, cφe cθ2, respectivamente, as distˆancias angulares relativas de azimute

do ponto I ao ponto F , de eleva¸c˜ao do ponto I ao ponto F e de azimute do ponto 2 ao ponto F , que podem ser descritas por

cθI = |θF − θI| θgrid_I = CθI θ_Igrid, (3.9) cθ2 = |θF − θ2| θ₂grid = Cθ2 θgrid₂ (3.10)