Bernardo Kulnig Pagnoncelli 1 e Humberto José Bortolossi 2

(1)

Uma Introdu¸cão à Otimiza¸cão sob Incerteza

Bernardo Kulnig Pagnoncelli1 _{e Humberto Jos´e Bortolossi}2

1_{Departamento de Matem´}_atica

Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro

2_{Departamento de Matem´}_{atica Aplicada}

Universidade Federal Fluminense

III Bienal da SBM Universidade Federal de Goiˆania

(2)

(3)

Sum´ario

1 _Introdu¸c˜_ao

2 O problema do fazendeiro

Introduzindo cen´arios EVPI e VSS

3 O problema do jornaleiro

Enunciado e formula¸c˜ao Solu¸c˜ao

Exemplo

Outras interpreta¸c˜oes para o problema

(4)

Sum´ario

1 _Introdu¸c˜_ao

Introduzindo cen´arios

EVPI e VSS

Enunciado e formula¸c˜ao

Solu¸c˜ao Exemplo

(5)

O que ´e otimiza¸c˜ao?

Segundo J.L. Nazareth, “Optimization is the art, science, and mathematics of finding the “best” member of a finite or infinite set of possible choices, based on some objective measure of the merit of each choice in the set”.

A área de otimiza¸cão tem uma longa história de sucesso, tanto no plano teórico quanto nas aplica¸cões.

(6)

(7)

(8)

Sele¸c˜ao de portf´olio

O modelo de Markowitz (1952): minimizar σ2 p= xTVx sujeito a xtµ = Rp, xT1= 1.

As incertezas µ e V são definidas à priori, usando por exemplo séries históricas dos ativos. É poss´ıvel incorporá-las ao modelo de alguma forma?

(9)

Sele¸c˜ao de portf´olio

(10)

Sele¸c˜ao de portf´olio

(11)

A resposta é dada por otimiza¸cão estocástica. É uma área

voltada para a modelagem e resolu¸c˜ao de problemas que

envolvem incertezas.

Diferentemente de otimiza¸cão determin´ıstica, as incertezas estão explicitamente descritas nos modelos através de variáveis aleatórias.

Ao invés de defini¸cões formais, vamos come¸car com uma aplica¸cão de otimiza¸cão estocástica.

(12)

Ao invés de defini¸cões formais, vamos come¸car com uma aplica¸cão de otimiza¸cão estocástica.

(13)

Ao inv´es de defini¸c˜oes formais, vamos come¸car com uma

(14)

Sum´ario

1 _Introdu¸c˜_ao

Introduzindo cen´arios EVPI e VSS

Solu¸c˜ao Exemplo

(15)

O problema do fazendeiro

João é um fazendeiro especializado em três culturas: trigo, milho e cana-de-a¸cúcar.

Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus 500 ha de terras.

(16)

O problema do fazendeiro

(17)

O problema do fazendeiro

(18)

Duas divis˜oes poss´ıveis de terra

milho cana-de-açúcar

trigo _milho

cana-de-açúcar

(19)

Restri¸c˜oes

O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T de milho.

Jo˜ao pode comprar milho e trigo no mercado local, a pre¸cos elevados. Seu excedente tamb´em pode vendido para

atacadistas.

A cana-de-a¸cúcar pode ser vendida por 36 reais por tonelada (R$/T). O governo impõe uma cota em 6000 T. A partir desse valor a cana-de-a¸cúcar é vendida por 10 R$/T. Baseado em experiência pessoal, João sabe que os

rendimentos médios de trigo, milho e cana-de-a¸cúcar são 2.5, 3.0 e 20 T/ha respectivamente.

(20)

Restri¸c˜oes

Jo˜ao pode comprar milho e trigo no mercado local, a pre¸cos

elevados. Seu excedente tamb´em pode vendido para atacadistas.

A cana-de-a¸cúcar pode ser vendida por 36 reais por tonelada (R$/T). O governo impõe uma cota em 6000 T. A partir desse valor a cana-de-a¸cúcar é vendida por 10 R$/T. Baseado em experiência pessoal, João sabe que os

(21)

Restri¸c˜oes

A cana-de-a¸c´ucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada

(R$/T). O governo imp˜oe uma cota em 6000 T. A partir

desse valor a cana-de-a¸c´ucar ´e vendida por 10 R$/T.

Baseado em experiˆencia pessoal, Jo˜ao sabe que os

(22)

Restri¸c˜oes

A cana-de-a¸c´ucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada

(R$/T). O governo imp˜oe uma cota em 6000 T. A partir

desse valor a cana-de-a¸c´ucar ´e vendida por 10 R$/T.

Baseado em experiˆencia pessoal, Jo˜ao sabe que os

(23)

Dados para o problema do fazendeiro

Trigo Milho Cana-de-a¸c´ucar

Rendimento (T/ha) 2.5 3.0 20

Custo de produ¸c˜ao (R$/ha) 150 230 260

Pre¸co de venda (R$/T) 170 150 36(≤ 6000 T)

10(> 6000 T)

Pre¸co de compra (R$/T) 238 210 –

M´ınimo para o gado (T) 200 240 –

(24)

Enunciado

O Problema do fazendeiro

Encontrar uma divis˜ao de terras que maximize o lucro do

fazendeiro sujeito às restri¸cões relativas ao gado, à cota

(25)

Formula¸c˜ao determin´ıstica

minimizar 150 x1+ 230 x2+ 260 x3+ 238 y1− 170 w1+ 210 y2− 150 w2− 36 w3− 10 w4 sujeito a x1+ x2+ x3≤ 500, 2.5 x1+ y1− w1 ≥ 200, 3 x2+ y2− w2 ≥ 240, w3+ w4 ≤ 20 x3, w3 ≤ 6000, x1, x2, x3, y1, y2, w1, w2, w3, w4≥ 0.

(26)

Esse é um problema de otimiza¸cão linear! Podemos escrevê-lo

em AMPL, uma linguagem apropriada para otimiza¸c˜ao e f´acil

de aprender (http://www.ampl.com/).

Existem resolvedores eficientes dispon´ıveis gratuitamente (http://www.ampl.com/DOWNLOADS/cplex80.html).

A solu¸c˜ao completa do problema foi obtida atrav´es do resolvedor CPLEX.

(27)

A solu¸c˜ao completa do problema foi obtida atrav´es do resolvedor CPLEX.

(28)

A solu¸c˜ao completa do problema foi obtida atrav´es do

(29)

Solu¸c˜ao do problema

´ Area (ha) 120 80 300 Total produzido 300 240 6000 Total vendido 100 – 6000 Total comprado – – – Lucro total: R$118 600

(30)

Pronto, o problema est´a resolvido!

Mas...

João não tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentos médios, afinal mudan¸cas climáticas podem alterar bastante suas estimativas e, conseqüentemente, seus lucros.

(31)

Mas...

João não tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentos médios, afinal mudan¸cas climáticas podem alterar bastante suas estimativas e, conseqüentemente, seus lucros.

(32)

Mas...

Jo˜ao n˜ao tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentos

m´edios, afinal mudan¸cas clim´aticas podem alterar bastante

(33)

Solu¸cão ótima com rendimentos 20% acima da média.

Suponha que num ano particularmente favor´avel, os

rendimentos das culturas foram 20% acima da m´edia. Qual ´e

a solu¸c˜ao do problema neste caso?

Trigo Milho Cana-de-a¸c´ucar ´ Area (ha) 183.33 66.67 250 Total produzido 550 240 6000 Total vendido 350 - 6000 Total comprado - - -Lucro total: R$167 600

(34)

Solu¸cão ótima com rendimentos 20% acima da média.

Suponha que num ano particularmente favor´avel, os

rendimentos das culturas foram 20% acima da m´edia. Qual ´e

a solu¸c˜ao do problema neste caso?

´ Area (ha) 183.33 66.67 250 Total produzido 550 240 6000 Total vendido 350 - 6000 Total comprado - - -Lucro total: R$167 600

(35)

Solu¸cão ótima com rendimentos 20% acima da média.

Em um ano particularmente desfavor´avel, os rendimentos das

culturas foram 20% abaixo da média. Qual é a a solu¸cão do

problema neste caso?

Trigo Milho Cana-de-a¸c´ucar ´ Area (ha) 100 25 375 Total produzido 200 60 6000 Total vendido - - 6000 Total comprado - 180 -Lucro total: R$59 950

(36)

Solu¸cão ótima com rendimentos 20% acima da média.

Em um ano particularmente desfavor´avel, os rendimentos das

culturas foram 20% abaixo da média. Qual é a a solu¸cão do

problema neste caso?

´ Area (ha) 100 25 375 Total produzido 200 60 6000 Total vendido - - 6000 Total comprado - 180 -Lucro total: R$59 950

(37)

Sensibilidade da solu¸c˜ao

Mudan¸cas de 20% nos rendimentos das culturas em rela¸c˜ao

ao rendimento m´edio fazem o seu lucro variar de R$59 950 a R$167 667!

Pensando na cana-de-a¸cúcar, João tem o seguinte dilema: se a área reservada para a cana-de-a¸cúcar for muito grande e os rendimentos forem acima da média, então ele terá que vender parte da produ¸cão a um pre¸co desfavorável.

Por outro lado, se ele reservar uma área muito pequena e os rendimentos foram abaixo da média, então ele terá perdido a oportunidade de vender cana-de-a¸cúcar a um pre¸co favorável. Como encontrar uma solu¸cão que seja satisfatória para todos os cenários?

(38)

Sensibilidade da solu¸c˜ao

Pensando na cana-de-a¸c´ucar, Jo˜ao tem o seguinte dilema: se

a ´area reservada para a cana-de-a¸c´ucar for muito grande e os

rendimentos forem acima da média, então ele terá que vender

parte da produ¸c˜ao a um pre¸co desfavor´avel.

Por outro lado, se ele reservar uma área muito pequena e os rendimentos foram abaixo da média, então ele terá perdido a oportunidade de vender cana-de-a¸cúcar a um pre¸co favorável. Como encontrar uma solu¸cão que seja satisfatória para todos os cenários?

(39)

Sensibilidade da solu¸c˜ao

Por outro lado, se ele reservar uma ´area muito pequena e os

rendimentos foram abaixo da média, então ele terá perdido a

oportunidade de vender cana-de-a¸c´ucar a um pre¸co favor´avel.

Como encontrar uma solu¸cão que seja satisfatória para todos os cenários?

(40)

Sensibilidade da solu¸c˜ao

Por outro lado, se ele reservar uma ´area muito pequena e os

rendimentos foram abaixo da média, então ele terá perdido a

oportunidade de vender cana-de-a¸c´ucar a um pre¸co favor´avel.

Como encontrar uma solu¸c˜ao que seja satisfat´oria para todos

(41)

Forma extensa de um problema estoc´astico

minimizar 150 x1+ 230 x2+ 260 x3 −1 3(170 w11− 238 y11+ 150 w21− 210 y21+ 36 w31+ 10 w41) −1 3(170 w12− 238 y12+ 150 w22− 210 y22+ 36 w32+ 10 w42) −1 3(170 w13− 238 y13+ 150 w23− 210 y23+ 36 w33+ 10 w43)

(42)

Restri¸c˜oes

sujeito a x1+ x2+ x3 ≤ 500 3 x1+ y11− w11≥ 200, 3.6 x2+ y21− w21≥ 240, w31+ w41≤ 24 x3, w31≤ 6000, 2.5 x1+ y12− w12≥ 200, 3 x2+ y22− w22≥ 240, w32+ w42≤ 20 x3, w32≤ 6000, 2 x1+ y13− w13≥ 200, 2.4 x2+ y23− w23≥ 240, w33+ w43≤ 16 x3, w33≤ 6000 x1, x2, x3 ≥ 0, y11, y21, y12, y22, y13, y23≥ 0, w11, w21, w31, w41, w12, w22, w32, w42, w13, w23, w33, w43≥ 0

(43)

As variáveis xi são ditas de primeiro estágio: seu valor deve ser determinado antes que se conhe¸ca a condi¸cão climática.

As variáveis yis e wis são de segundo estágio: elas são

escolhidas ap´os a defini¸c˜ao dos valores de xi e do

conhecimento do clima. Elas corrigem poss´ıveis d´eficits na alimenta¸c˜ao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiro

est´agio.

O problema estocástico na forma extensa é linear e pode ser resolvido da mesma forma que fizemos para a formula¸cão inicial.

(44)

As variáveis xi são ditas de primeiro estágio: seu valor deve ser determinado antes que se conhe¸ca a condi¸cão climática. As variáveis yis e wis são de segundo estágio: elas são escolhidas após a defini¸cão dos valores de xi e do

conhecimento do clima. Elas corrigem poss´ıveis d´eficits na

alimenta¸c˜ao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiro

est´agio.

O problema estocástico na forma extensa é linear e pode ser resolvido da mesma forma que fizemos para a formula¸cão inicial.

(45)

As variáveis xi são ditas de primeiro estágio: seu valor deve ser determinado antes que se conhe¸ca a condi¸cão climática. As variáveis yis e wis são de segundo estágio: elas são escolhidas após a defini¸cão dos valores de xi e do

conhecimento do clima. Elas corrigem poss´ıveis d´eficits na

alimenta¸c˜ao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiro

est´agio.

O problema estoc´astico na forma extensa ´e linear e pode ser

resolvido da mesma forma que fizemos para a formula¸c˜ao

(46)

Solu¸c˜ao estoc´astica

1o _est´agio _{Area (ha)}_´ ₁₇₀ ₈₀ ₂₅₀

s = 1 Rendimento (T) 510 288 6000

(Acima) Venda (T) 310 48 6000

(pre¸co favor´avel)

Compra(T) – – –

s = 2 Rendimento (T) 425 240 5000

(M´edia) Venda (T) 225 – 5000

Compra(T) – – –

s = 3 Rendimento (T) 340 192 4000

(Abaixo) Venda (T) 140 – 4000

Compra(T) – 48 –

(47)

An´alise da solu¸c˜ao

A solu¸cão ótima do problema estocástico não é igual a

nenhuma das solu¸c˜oes encontradas anteriormente:

(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).

No caso em que os rendimentos s˜ao 20% abaixo da m´edia, temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido a baixa produtividade.

Queremos agora estudar a qualidade da solu¸cão estocástica, isto é, queremos mensurar o ganho em se considerar as varia¸cões climáticas bem como o quanto se deixa de ganhar por não se conhecer com exatidão o futuro.

(48)

An´alise da solu¸c˜ao

(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).

No caso em que os rendimentos s˜ao 20% abaixo da m´edia,

temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido a baixa produtividade.

Queremos agora estudar a qualidade da solu¸cão estocástica, isto é, queremos mensurar o ganho em se considerar as varia¸cões climáticas bem como o quanto se deixa de ganhar por não se conhecer com exatidão o futuro.

(49)

An´alise da solu¸c˜ao

(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).

No caso em que os rendimentos s˜ao 20% abaixo da m´edia,

temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido a baixa produtividade.

Queremos agora estudar a qualidade da solu¸c˜ao estoc´astica,

isto ´e, queremos mensurar o ganho em se considerar as

varia¸c˜oes clim´aticas bem como o quanto se deixa de ganhar

(50)

Valor esperado de informa¸c˜ao perfeita (EVPI)

O EVPI mede o quanto perdemos por n˜ao saber com exatid˜ao

o futuro.

Para calculá-lo temos que fazer a média entre os rendimentos obtidos conhecendo-se cada um dos cenários climáticos e subtrair esse valor do ganho com a solu¸cão estocástica. Temos

EVPI = RP − WS =

− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600

(51)

Valor esperado de informa¸c˜ao perfeita (EVPI)

o futuro.

Para calcul´a-lo temos que fazer a m´edia entre os rendimentos

obtidos conhecendo-se cada um dos cen´arios clim´aticos e

subtrair esse valor do ganho com a solu¸c˜ao estoc´astica.

Temos

EVPI = RP − WS =

− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600

(52)

Valor esperado de informa¸c˜ao perfeita (EVPI)

o futuro.

Para calcul´a-lo temos que fazer a m´edia entre os rendimentos

obtidos conhecendo-se cada um dos cen´arios clim´aticos e

subtrair esse valor do ganho com a solu¸c˜ao estoc´astica. Temos

EVPI = RP − WS =

− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600

(53)

Valor da solu¸c˜ao estoc´astica (VSS)

O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estoc´astico

ao inv´es de assumir rendimentos m´edios.

Para calculá-lo, pense que João é um fazendeiro teimoso: ele divide suas terras supondo que os rendimentos são os médios. Resolve-se o problema inicial para cada cenário, fixando (x1, x2, x3) = (120, 80, 300).

Dessa forma o VSS ´e dado por VSS = EEV − RP

−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000

(54)

Valor da solu¸c˜ao estoc´astica (VSS)

Para calculá-lo, pense que João é um fazendeiro teimoso: ele

divide suas terras supondo que os rendimentos s˜ao os m´edios.

Resolve-se o problema inicial para cada cen´ario, fixando

(x1, x2, x3) = (120, 80, 300).

Dessa forma o VSS ´e dado por VSS = EEV − RP

−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000

(55)

Valor da solu¸c˜ao estoc´astica (VSS)

Para calculá-lo, pense que João é um fazendeiro teimoso: ele

divide suas terras supondo que os rendimentos s˜ao os m´edios.

Resolve-se o problema inicial para cada cen´ario, fixando

(x1, x2, x3) = (120, 80, 300). Dessa forma o VSS ´e dado por VSS = EEV − RP

−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000

(56)

Sum´ario

1 _Introdu¸c˜_ao

EVPI e VSS

Enunciado e formula¸c˜ao Solu¸c˜ao

Exemplo

(57)

O problema do jornaleiro

João tem um irmão na cidade chamado José, que é jornaleiro.

Toda manhã ele vai ao editor do jornal e tem que decidir quantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia. Seu poder de compra é limitado, ou seja, ele pode comprar até uma quantidade fixa u. Além disso, os jornais não vendidos podem ser devolvidos ao editor, a um pre¸co menor do que o valor pago no in´ıcio do dia.

(58)

O problema do jornaleiro

Toda manh˜a ele vai ao editor do jornal e tem que decidir

quantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia.

Seu poder de compra é limitado, ou seja, ele pode comprar até uma quantidade fixa u. Além disso, os jornais não vendidos podem ser devolvidos ao editor, a um pre¸co menor do que o valor pago no in´ıcio do dia.

(59)

O problema do jornaleiro

Toda manh˜a ele vai ao editor do jornal e tem que decidir

quantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia. Seu poder de compra ´e limitado, ou seja, ele pode comprar

até uma quantidade fixa u. Além disso, os jornais não

vendidos podem ser devolvidos ao editor, a um pre¸co menor do que o valor pago no in´ıcio do dia.

(60)

Formula¸c˜ao

min 0≤x ≤u{cx + Q(x)} onde Q(x) = Eξ[Q(x, ξ)] e Q(x, ξ) = min −qy (ξ) − rw (ξ) sujeito a y(ξ) ≤ ξ, y(ξ) + w (ξ) ≤ x, y(ξ), w (ξ) ≥ 0.

(61)

Assim como no problema do fazendeiro, o problema do jornaleiro é estruturado em dois estágios: no primeiro estágio José decide quantos jornais vai comprar através da variável x.

As vari´aveis de segundo est´agio representam quanto ele conseguiu vender (y (ξ)) e quanto ele devolveu ao editor (w (ξ)).

Jos´e procura a quantidade ´otima de jornais a comprar de forma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza de demanda.

(62)

As vari´aveis de segundo est´agio representam quanto ele

conseguiu vender (y (ξ)) e quanto ele devolveu ao editor (w (ξ)).

Jos´e procura a quantidade ´otima de jornais a comprar de forma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza de demanda.

(63)

As vari´aveis de segundo est´agio representam quanto ele

conseguiu vender (y (ξ)) e quanto ele devolveu ao editor (w (ξ)).

Jos´e procura a quantidade ´otima de jornais a comprar de

forma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza de demanda.

(64)

O primeiro passo para encontrar uma solu¸cão expl´ıcita do problema do jornaleiro é resolver o problema de segundo estágio.

A solu¸c˜ao ´e imediata: y∗_{(ξ) = min{ξ, x} e}

w∗_{(ξ) = max{x − ξ, 0}.}

(65)

w∗_{(ξ) = max{x − ξ, 0}.}

(66)

w∗_{(ξ) = max{x − ξ, 0}.}

(67)

Vamos aprender mais à frente que a fun¸cão Q é convexa, cont´ınua e, se ξ é v.a. cont´ınua, derivável.

Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′_{(0) > 0, ent˜}_{ao a}

derivada não troca de sinal no intervalo e solu¸cão ótima é x∗ _{= 0.}

Se cx + Q′_{(u) < 0, ent˜}_{ao a solu¸c˜}_{ao ´}_{otima ´e x}∗ _{= u.}

(68)

Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′_{(0) > 0, ent˜}_{ao a} derivada não troca de sinal no intervalo e solu¸cão ótima é x∗ _{= 0.}

(69)

(70)

(71)

A express˜ao para Q ´e Q(x) = Z x −∞ (−qt − r (x − t))f (t) dt + Z ∞ x −qx f (t) dt. Rearrumando, temos Q(x) = −(q − r ) Z x −∞ t f(t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).

Usando integra¸c˜ao por partes obt´em-se Q(x) = −qx + (q − r )

Z x

−∞

(72)

Z x

−∞

(73)

Z x

−∞

(74)

Derivando, chegamos a Q′_{(x) = −q + (q − r )F (x).}

Finalmente, a solu¸c˜ao do problema ´e        x∗_{= 0,} _se q−c q−r < F (0), x∗_{= u,} _se q−c q−r > F (u), x∗_{= F}−1q−c q−r

, caso contr´ario.

Qualquer modelagem razoável da demanda ξ admite que ela só assume valores positivos, e portanto não temos x∗ _{= 0.}

(75)

Derivando, chegamos a Q′_{(x) = −q + (q − r )F (x).} Finalmente, a solu¸c˜ao do problema ´e

       x∗_{= 0,} _se q−c q−r < F (0), x∗_{= u,} _se q−c q−r > F (u), x∗_{= F}−1q−c q−r

, caso contr´ario.

Qualquer modelagem razoável da demanda ξ admite que ela só assume valores positivos, e portanto não temos x∗ _{= 0.}

(76)

Derivando, chegamos a Q′_{(x) = −q + (q − r )F (x).} Finalmente, a solu¸c˜ao do problema ´e

       x∗_{= 0,} _se q−c q−r < F (0), x∗_{= u,} _se q−c q−r > F (u), x∗_{= F}−1q−c q−r

, caso contr´ario.

Qualquer modelagem razo´avel da demanda ξ admite que ela

(77)

Um exemplo num´erico

Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10,

que o pre¸co de venda seja q = 25, que o pre¸co de devolu¸c˜ao

seja r = 5 e que o poder de compra ´e u = 150.

A demanda ξ é uma variável aleatória uniforme no intervalo [50, 150].

(78)

Um exemplo num´erico

A demanda ξ é uma variável aleatória uniforme no intervalo

[50, 150].

(79)

Um exemplo num´erico

A demanda ξ é uma variável aleatória uniforme no intervalo

[50, 150].

(80)

VSS

Inicialmente precisamos calcular a solu¸cão ótima para ξ = 100. A solu¸cão é trivial: se a demanda é 100, então

compre x∗ _{= 100 jornais!}

Precisamos calcular o EEV, que ´e igual a Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20 Z 100 50 ξ − 50 100 dξ = 1000 − 2500 + 20 75 2 − 25 = −1250, Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.

(81)

VSS

Precisamos calcular o EEV, que ´e igual a

Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20 Z 100 50 ξ − 50 100 dξ = 1000 − 2500 + 20 75 2 − 25 = −1250, Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.

(82)

VSS

Precisamos calcular o EEV, que ´e igual a

Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20 Z 100 50 ξ − 50 100 dξ = 1000 − 2500 + 20 75 2 − 25 = −1250, Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.

(83)

EVPI

Se conhecemos o valor da demanda ξ, então a solu¸cão é

x∗ _{= ξ.}

Assim, temos que

WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.

(84)

EVPI

x∗ _{= ξ.}

Assim, temos que

WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.

(85)

EVPI

x∗ _{= ξ.}

Assim, temos que

WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.

(86)

Custo marginal

Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar a

solu¸c˜ao do problema por uma outra trilha.

A express˜ao ganho marginal em economia se refere ao crescimento no lucro obtido quando se aumenta em uma unidade a quantidade vendida ou adquirida de um determinado bem.

Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual ´e o lucro esperado na venda do k-´esimo jornal?

A resposta ´e

(87)

Custo marginal

A express˜ao ganho marginal em economia se refere ao

crescimento no lucro obtido quando se aumenta em uma unidade a quantidade vendida ou adquirida de um determinado bem.

A resposta ´e

(88)

Custo marginal

A resposta ´e

(89)

Custo marginal

A resposta ´e

(90)

Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e se

o lucro for positivo temos excesso de demanda. A situa¸c˜ao

ideal ocorre quando esse lucro ´e zero.

Nesse caso temos lucro esperado = 0

= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c) = F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c). Devemos ent˜ao comprar

k = F−1 q − c q− r

(91)

ideal ocorre quando esse lucro ´e zero. Nesse caso temos

lucro esperado = 0

= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c) = F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).

Devemos ent˜ao comprar

k = F−1 q − c q− r

(92)

ideal ocorre quando esse lucro ´e zero. Nesse caso temos

lucro esperado = 0

= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c) = F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).

Devemos ent˜ao comprar

k = F−1 q − c

q− r

(93)

Estoque zerado

A probabilidade de se vender todos os jornais ´e P({vender tudo}) = P(ξ ≥ x) = 1 − F (x).

Para a escolha x∗ _temos

P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q− c q− r =

c− r q− r. Conclui-se que se r = 0 então a quantidade de jornal a ser comprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidade de se vender todos os jornais seja igual a razão custo/pre¸co unitário.

(94)

Estoque zerado

P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q− c

q− r =

c− r

q− r.

Conclui-se que se r = 0 então a quantidade de jornal a ser comprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidade de se vender todos os jornais seja igual a razão custo/pre¸co unitário.

(95)

Estoque zerado

P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q− c

q− r =

c− r

q− r.

Conclui-se que se r = 0 ent˜ao a quantidade de jornal a ser

comprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidade

de se vender todos os jornais seja igual a raz˜ao custo/pre¸co

(96)

Sum´ario

1 _Introdu¸c˜_ao

EVPI e VSS

Solu¸c˜ao Exemplo

(97)

Internet

Página do curso de otimiza¸cão estocástica lecionado na PUC-Rio em 2006.1:

http://www.mat.puc-rio.br/∼hjbortol/disciplinas/2006.1/soe/

Página da comunidade de otimiza¸cão estocástica:

http://www.stoprog.org

Banco de artigos de otimiza¸c˜ao estoc´astica:

(98)

Internet

(99)