Circuitos em Corrente Alternada! PEA 3396 II! ELETROTÉCNICA GERAL!!! PEA - Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas!!! EPUSP!

PEA – 3396 II!

ELETROTÉCNICA GERAL !

!

!

PEA - Departamento de Engenharia de

Energia e Automação Elétricas !

!

!

!

!

!

!

!

!

!

I

por

produzido

Magnético

Campo

B :

)

(

.

)

(

_θ

_θ

φ

=

B

S

θ

θ

φ

(

)

=

B

.

S

cos

t

ω

θ

θ

=

+

)

cos(

.

)

(

_ω

_θ

φ

t

=

B

S

t

+

dt

d

N

e

₌

₋

φ

)

(

_ω

_θ

ω

+

=

NBSsen

t

e

)

(

.

.

.

:

f

e

m

induzida

Volts

e

bobina

da

espiras

de

Número

N :

NBS

E

₌

_ω

)

(

_ω

₊

_θ

=

E

sen

t

e

Fazendo

Resulta:

2 ( ) : T

π

ω

θ

Representação Gráfica de e(t):

2_π 0 θ − 0 m E ( ) e t 2 T ω = π t ω π

∫

=

e

dt

T

E

1

2

E

E =

Exemplo 1: Para a f.e.m. dada por:

Determine:

a)

O valor máximo de e;

b)

O valor eficaz de e;

c)

O período;

d)

A freqüência;

e)

A fase.

)

(

)

35

377

(

311

sen

t

V

e

₌

₊

Exemplo 2: Uma corrente alternada

senoidal apresenta os seguintes

parâmetros:

Exemplo!

Corrente Eficaz I=5A; !

freqüência f=50 Hz;!

!

!

A mais poderosa ferramenta para

tratamento de grandezas

senoidais

2.

Representação Complexa de uma !

Grandeza Senoidal!

Unidade complexa:

a) Representação na forma

cartesiana

jb

a

Z

!

₌

₊

: Parte Real de

1

j

₌

₋

Z!

a

b) Representação na forma polar

α

/

Z

Z =

!

Z: Módulo de !

α: Fase de

Z!

Z!

Correspondência entre Representações

jb

a

jZsen

cos

Z

_α

₊

_α

₌

₊

α

cos

Z

a =

b =

Zsen

α

_b

a

Z

_arctg

b

Identidade de EULER

β

β

_cos

_jsen

e

₌

₊

α

α

Ze

j

Z

/

₌

Podemos escrever:

Soma/Subração

jb

a

Z

!

₌

₊

Z

!

₌

c

₊

jd

)

d

b

(

j

)

c

a

(

Z

Z

!

_{± !}

₌

_±

₊

_±

Multiplicação/Divisão

Z

e

Z

=

!

Z

e

Z

=

!

.

Z

Z

Z

e

Z

=

!

!

e

Z

Z

Z

Z

=

!

!

Exponenciação:

Ze

Z =

!

_Z

_e

Z =

!

I

[.] = Parte Imaginária de [.]

]

[

]

[

]

[

z

I

z

I

z

z

I

_!

₊

_!

₌

_!

₊

_!

I

[.]

é um operador linear, isto é:

]

[

]

[

a

z

aI

z

I

! =

!

a

:

Re

al

Re[.] = Parte Real de [.]

Re[ !z

_{] + IRe[ !z}

_{] = Re[ !z}

_{+ !z}

]

Re[.]

é um operador linear, isto é:

Re[a !z] = aIRe[ !z]

a

:

Re

al

Representação Complexa de uma grandeza variável senoidalmente no tempo

Associa-se a y(t) a grandeza complexa:

[

ω

+

α

]

=

Ysen

t

t

y

(

)

2

[

ω

+

α

]

+

[

ω

+

α

]

=

Y

t

j

Ysen

t

t

y

!

(

)

2

cos

2

Resulta então:

[

(

)

]

)

(

t

I

y

t

y

₌

!

2

)

(

=

Ye

t

y

!

Fazendo:

!

Denominado FASOR de y(t)

α

j

Ye

Y =

!

]

2

[

)

(

t

I

Y

e

y

!

ω

=

Podemos escrever:

Vetor Girante:

!

Correspondência Bi-unívoca:

IMPORTANTÍSSIMO!

[

]

α

ω

t

Y

Ye

Ysen

t

y

(

)

₌

2

₊

_⇔

!

₌

Exemplo 3: Dados Determine

:

10

5

45

/

2

2

e

Z

j

Z

!

₌

!

₌

₊

)

Z

Z

a

! +

!

.

)

Z

Z

b

!

!

!

Exemplo 4: Dados

Determine, usando notação complexa:

]

30

377

[

2

10

t

sen

e

₌

₋

e

e

e

₌

₊

]

60

377

[

2

7

t

sen

e

₌

₊

Exemplo 5: Dada a corrente senoidal

determine o seu fasor.

]

42

377

[

2

5

sen

t

i

₌

₋

)

(

75

/

380

V

V

!

₌

₋

Exemplo 6:

IMPORTANTE: A alimentação de circuito linear (com R, L e C) com

fonte de tensão senoidal com freqüência “ f ” produz uma

corrente, também senoidal, e de mesma freqüência e vice-versa.

)

(

2

)

(

)

(

2

)

(

t

Vsen

t

i

t

Isen

t

v

3. Circuitos em

Corrente

Alternada (C.A.)!

( )

i t

( ) v t

)

(

2

)

(

:

v

t

₌

Vsen

_ω

t

₊

_α

Dado

R

t

Vsen

t

Isen

(

)

2

(

)

2

_ω

₊

_β

₌

ω

+

α

Ohm

de

Lei

R

t

v

t

i

_{( =}

)

(

)

:

α

β

=

=

V

I

Identificando:

R

e

V

I

e

I

I

]

2

[

]

2

[

!

!

=

R

V

I

! =

!

Identificando:

V

)

(

2

)

(

:

v

t

₌

Vsen

_ω

t

₊

_α

Dado

)

(

2

)

(

:

i

t

Isen

t

Calcular

)

cos(

2

)

(

2

Vsen

_ω

t

₊

_α

₌

L

I

_ω

_ω

t

₊

_β

Faraday

de

Lei

dt

t

di

L

t

v

_{( =}

)

(

)

:

π

V

dt

e

I

dI

L

e

V

I

]

2

[

]

2

[

!

!

=

L

j

V

I

ω

!

! =

Identificando:

π

α

β

=

−

=

V

I

Resultando:

)

(

2

)

(

:

v

t

₌

Vsen

_ω

t

₊

_α

Dado

C

)

cos(

2

)

(

2

Isen

_ω

t

₊

_β

₌

C

V

_ω

_ω

t

₊

_α

dt

t

dv

C

t

i

_{( =}

)

(

)

2

1

π

α

β

=

+

=

V

I

Identificando:

dt

e

V

dI

C

e

I

I

]

2

[

]

2

[

!

!

=

C

j

V

I

ω

1

−

=

!

!

Identificando:

π

V

Resistor Indutor Capacitor

R

I

V

=

!

!

jX

I

V

=

!

!

jX

I

V

−

=

!

!

L

X

₌

_ω

X

_C

ω

1

=

L

X

₌

_ω

Reatância Indutiva

1

RESUMO!

Bipolo Passivo

V!

I!

4. Impedância!

)

(Ω

=

I

V

Z

!

_!

!

Bipolo Passivo

α

/

V

V =

!

!

: FASOR da Tensão Aplicada

V!

I!

4. Impedância!

!Z = Z/

φ

(Ω)

I

V

Z =

β

α

ϕ

=

−

: Módulo da Impedância

: Diferença de fase entre a

jX

R

Z

!

₌

₊

R

X

: Parte Real da Impedância (RESISTIVA) : Parte Imaginária da Impedância (REATIVA)

ϕ

cos

Z

R =

_{X =}

Zsen

_ϕ

Triângulo das Impedâncias

ϕ

cos

Z

R =

_X

R

Z

₌

₊

ϕ

Zsen

X =

R

X

arctg

=

ϕ

4.1 Impedância – Relações Básicas!

0

I

X

R

Z!

ϕ

jX

R

Z

!

₌

₊

Z =

!

Z

/

ϕ

R

L

C

jX

jX

−

X 90

/

X

_/−

90

R

R

Associação Série

∑

=

Z

Z

!

!

∑

=

Z

Z

1

1

!

!

Circuito Real (Domínio do Tempo) R, L e C! v(t) e i(t)! ! -Sistema de Equações Diferenciais Circuito Transformado (Domínio da freqüência) R, jX_L e –jX_C! ! ! -Sistema de Equações Algébricas

I

e

V

!

!

Leis dos Nós

∑

=

I

0

!

∑

=

Z

Z

1

1

!

!

∑

=

V

!

0

Leis das Malhas

Exemplo: Para o circuito da figura, determine as grandezas indicadas.

5. Resolução de Circuitos em C.A.!

Circuito Real (Domínio do Tempo) Circuito Transformado (Domínio da Frequência) V! 30Ω

I!

( )

( ) ( )

p t

₌

v t i t

_⋅

6. Potência Instantânea!

Circuito

Elétrico

( )

2

(

)

v t

₌

Vsen t

_ω

₊

_α

_ω

_β

Identidade Trigonométrica

(

)

(

) 2

( )

( )

cos a b

₋

₋

cos a b

₊

₌

sen a sen b

_⋅

)

2

(

)

(

t

₌

VI

cos

_ϕ

₋

VI

cos

_ω

t

₊

_α

₊

_β

p

Podemos escrever:

potência

de

fator

cos

cos

_ϕ

₌

(

_α

₋

_β

)

:

6. Potência Instantânea!

Valor Médio da Potência Instantânea

“

POTÊNCIA ATIVA

”

)]

(

[ t

p

Med

P =

ϕ

cos

VI

P =

Podemos escrever:

jX

R

Z

!

₌

₊

Z =

!

Z

/

ϕ

R

L

C

jX

jX

−

X 90

/

X

_/−

90

R

R

P

VI

0

0

Potência Ativa

)

(W

cos

VI

P

₌

_ϕ

)

(VAr

VIsen

Q

₌

_ϕ

Potência Reativa

Potência Aparente

Triângulo das Potências

jQ

P

S

!

₌

₊

I

Q

P

S!

ϕ

α

j

Ve

V =

!

Sendo:

Definição de Potência Complexa:

*

I

V

S

! =

!

!

β

j

Ie

I =

!

!

S = P + jQ = VIcos

φ

+ jVIsen

φ

Definindo:

α

−

β

=

ϕ

Em termos de FASORES:

Exemplo: Calcular P, Q e S o o

I

V

S

!

_{= !}

!

₌

200

/

0

.

4

/

53

,

13

640

480

_j

I

V

S

!

_{= !}

!

₌

₊

I

V

S

!

_{= !}

!

₌

800

/

53

,

13

V!

I!

Dado : !

_{V = 200/0}

Potência dos Motores Elétricos

P =

Potência Mecânica

Rendimento

=

P

η

Q = P. tg

φ

P:Potência da Luminária! P:Potência da Luminária!

Potência Ativa Total da Instalação

∑

=

P

P

Potência Aparente Total

Potência Reativa Total da Instalação

∑

=

Q

Q

P

jQ

S

!

₌

₊

6.2 Aplicação Industrial!

Cargas de uma Indústria:

v  Motores de Indução: P_Mec = 50HP; Fat.Pot.:0,85; Rendimento: 92%; (1 HP = 745,7 W)

v  Iluminação: I=60A; Fat.Pot.:0,9 indutivo;

v  Fornos: Potência Ativa=150kW; Pot. Reativa=80kVAr Custo da Energia: R$.180,00/MWh para F.P.>0,92.

1.  Potências Ativa, Reativa e Complexa Totais e Fator de Potência; Haverá tarifa excedente por F.P. baixo?

2.  Custo Mensal da Energia. (considere mês com 22

dias úteis, jornada de 8 horas diárias e consumo em fins de semana nulo)

3.  Corrente absorvida pelas cargas e a corrente total;

6.2 Aplicação Industrial!