5
OPERADORES DE CASAMENTO DE PADRÕES
2.1 – INTRODUÇÃO
Neste capítulo são apresentados os principais operadores de casamento de padrões encontrados na literatura. No Apêndice A, encontram–se mais alguns operadores de casamento de padrões que foram testados mas que não apresentaram bons resultados.
A seguir são dadas algumas notações e definições matemáticas que são utili-zadas nas definições destes operadores de casamento de padrões.
Denotamos por Z o conjunto de números inteiros e por Z2 o produto Carte-siano Z Z (conjunto dos pares ordenados de inteiros).
Seja E um retângulo de Z2 (isto é, o produto Cartesiano de dois intervalos de Z). Seja m um número inteiro, denotamos por Km o intervalo de Z definido por
Km
D
+ [0, m].
O conjunto dos mapeamentos de E em Km é denotado por KmE. Neste
tra-balho, estes mapeamentos representam as imagens em níveis de cinza com domínio E (con-junto das posições dos pixels) e escala de cinza Km (conjunto dos possíveis valores dos
pixels).
Sejam w1 e w2 dois números naturais ímpares. Denominamos por janela o retângulo W de Z2, definido por:
W+ [* ((wD 1* 1)ń2), (w1* 1)ń2)] [* ((w2* 1)ń2), (w2* 1)ń2)].
Por construção a janela W é centralizada na origem (0, 0) de Z2.
Seja n+ #W o número de elementos de W, então n + wD 1w2. Seja n+[1,..., n]Ũ Z. A enumeração das posições de W pode ser definida como sendo uma bijeção entre n e W. Esta bijeção será denotada por b.
O processo de casamento de padrões envolve duas imagens f e g. A primeira é chamada de imagem de referência e a segunda de imagem de pesquisa. Por simplicidade assume–se que estas duas imagens pertencem a KmE. No domínio E escolhe–se um ponto x
de interesse (por exemplo o cruzamento de duas estradas) e, em torno deste ponto, extrai–se uma subimagem com domínio Wx. Mais precisamente, esta subimagem é a restrição fńWx.
O operador de casamento de padrão é dado pela composição de um operador
F com um operador Y.
Com base num padrão de referência fńWx, o operador F processa a imagem
de pesquisa g e produz como resultado a imagem F(g) com domínio F+ E Ĝ W e escalaD de níveis de cinza K que poderá ser um intervalo de Z ou de R (conjunto dos números reais).
Para cada posição y em F, F(g)(y) é uma medida de similaridade entre o padrão de referência fńWx e a subimagem gńWy.
O objetivo do operador de casamento de padrões é encontrar, na imagem de pesquisa g, a subimagem correspondente a um dado padrão fńWx. O padrão fńWx pode ser
escolhido manualmente ou através de um procedimento automático. Neste trabalho não serão dados maiores detalhes sobre este procedimento de escolha do padrão.
A localização da subimagem correspondente na imagem de pesquisa é dada pela posição do máximo valor na imagem de saída F(g). A posição deste máximo é mar-cada pelo operador Y (Banon, 1997). Em algumas situações, pode existir mais de um pixel assumindo o valor máximo.
O operador Y de KF em K1F, que localiza o valor máximo de uma imagem f, é definido por:
Y(f)(y)+D
NJ
1, se f (z)v f (y) (z Ů F)0, caso contrário. (2.1)
Dependendo do operador F haverá a necessidade de considerar o valor mínimo no lugar do valor máximo. Neste caso, usa–se o operador Y de KF em K1F, defini-do por:
Y(f)(y)+D
NJ
1, se f (z)w f (y) (z Ů F)0, caso contrário. (2.2)
para todo yŮ F.
A Figura 2.1 mostra o operador de casamento de padrões.
Fig. 2.1 – Operador de casamento de padrões.
F Km E KF g F(g) fńWx Y K1F h Y
A maioria dos operadores de casamento de padrões utilizam uma infor-mação de brilho médio, que pode ser medida de três formas diferentes: pela média, pela mediana ou pelo próprio valor do pixel central, relativo a uma dada janela.
Seja fŮ KmE. A média de f, denotada por média(f), é o número real dado
por:
média(f)+ 1D
#E x
ȍ
Ů E f (x) (2.3)onde #E é o número de elementos de E.
Sejam n+ #E e nD +[1,..., n]Ũ Z. A enumeração das posições de E pode ser definida como sendo uma bijeção entre n e E e denotada por b.
Sejam xi+ b(i) e yD i+ f (xD i) para iŮ n. A mediana de f, denotada por mediana(f), é o número real dado por:
mediana(f)+ yD
[n)1
2 ]
(2.4)
onde, y[i] é o i–ésimo elemento da sequência ordenada dos valores da sequência original (yi).
Seja EŨ Z2 um retângulo com um número ímpar de linhas e colunas. Seja
xcŮ E o centro de E (ponto central). O valor central de f, denotado por centro(f), é o
número inteiro dado por:
centro(f)+ f(xD c) (2.5)
De forma a simplificar a apresentação dos operadores de casamento de padrões, nas próximas seções, introduz–se as seguintes expressões:
fi(x)+ f (x ) b(i)) e fD iȀ(x)+ fD i(x)* m(fńWx), (2.6)
gi(y)+ g(y ) b(i)) e gD iȀ(y)+ gD i(y)* m(gńWy). (2.7)
onde xŮ E, y Ů F, i Ů n, b é uma bijeção de n em W e m é uma medida que pode ser a média (Expressão 2.3), a mediana (Expressão 2.4) ou o valor central (Expressão 2.5).
Observamos que fi poderia ser escrito também da seguinte forma:
fi(x)+ (fńWD x)(x) b(i)).
2.2 – OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES BASEADO NO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
A minimização da norma l2 conduz a construção de um operador de casa-mento de padrões baseado no coeficiente de correlação (Banon, 2000, p. 38).
O operador de casamento de padrões baseado no coeficiente de correlação é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e F é o operador de KmE em RF, definido por:
F(g)(y)+D
ȍ
iŮ n fiȀ(x) giȀ(y)(
ȍ
iŮ n fiȀ2(x)ȍ
iŮ n giȀ2(y))
1ń2 (2.8)para todo gŮ KmE, xŮ E e y Ů F; sendo a média (Expressão 2.3) a medida m usada para
calcular fiȀ(x) e giȀ(y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Neste trabalho, este operador é também implementado usando como medida m, a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Ex-pressão 2.5).
2.3 – OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES DE BARNEA E SILVERMAN
Com o intuito de propor um método computacionalmente mais eficiente do que a correlação, Barnea & Silverman (1972) introduziram um operador de casamento de padrões baseado na minimização da norma l1.
O operador de Barnea e Silverman é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor mínimo de uma imagem, dado pela Expressão (2.2), e F é o operador de KmE em RF, definido por:
F(g)(y)+D
ȍ
iŮ n
|fiȀ(x) * giȀ(y)| (2.9)
para todo gŮ KmE, xŮ E e y Ů F; sendo a média (Expressão 2.3) a medida m usada para
calcular fiȀ(x) e giȀ(y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Neste trabalho, este operador é também implementado usando como medida m, a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Ex-pressão 2.5).
Este operador também é implementado, neste trabalho, acrescentando uma normalização. Então, o operador é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor mínimo de uma imagem, dado pela Expressão (2.2), e F é o operador de
KmE em RF, definido por: F(g)(y)+D
ȍ
iŮ n |fi(x)* gi(y)|ȍ
iŮ n (fi(x)) gi(y)) (2.10) para todo gŮ KmE e yŮ F.2.4 – OPERADORES DE CASAMENTO DE PADRÕES DE MARAGOS
Aplicando uma propriedade do valor absoluto da diferença entre dois números reais na minimização da norma l1, Maragos (1988) introduziu o conceito de corre-lação morfológica, que consiste numa soma de mínimos. Baseado neste conceito apresen-tou dois operadores de casamento de padrões.
O primeiro operador de Maragos (1988) é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e F é o operador de KmE em RF, definido por:
F(g)(y)+D
ȍ
iŮ n
min {fiȀ(x), giȀ(y)} (2.11)
para todo gŮ KmE, xŮ E e y Ů F; sendo a média (Expressão 2.3) a medida m usada para
calcular fiȀ(x) e giȀ(y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Neste trabalho, este operador é também implementado usando como medida m, a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Ex-pressão 2.5).
Por motivo de robustez, o segundo operador apresentado por Maragos (1988) é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e F é o operador de KmE em RF, definido por:
F(g)(y)+D
ȍ
iŮ n min {fi(x), gi(y)}ȍ
iŮ n (fi(x)) gi(y)) (2.12) para todo gŮ KmE e yŮ F.2.5 – OPERADORES DE CASAMENTO DE PADRÕES DE BRUNELLI E MESSELODI
Com a preocupação de encontrar medidas de similaridade menos sensíveis ao ruído que aquelas baseadas na norma l2, Brunelli e Messelodi (1995) introduziram duas medidas de similaridade baseadas na norma l1.
O primeiro operador de Brunelli e Messelodi é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e F é o operador de KmE em RF, definido por:
F(g)(y)+ 1 *D i
ȍ
Ů n |fiȀ(x) * giȀ(y)|ȍ
iŮ n (|fiȀ(x)| ) |giȀ(y)|) (2.13)para todo gŮ KmE, xŮ E e y Ů F; sendo fȀ(x) e gȀ(y) vetores normalizados para obter
média zero e variância unitária. Neste trabalho, é contemplado somente a normalização para obter a média zero, isto é, a média (Expressão 2.3) é usada como medida m para calcu-lar fiȀ(x) e giȀ(y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Este operador é também implementado usando como medida m, a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Expressão 2.5).
O segundo operador de Brunelli e Messelodi é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e F é o operador de KmE em RF, definido por:
F(g)(y)+ 1nD
ȍ
iŮ n
(1* |fiȀ(x) * giȀ(y)|
|fiȀ(x)| ) |giȀ(y)|) (2.14)
para todo gŮ KmE, xŮ E e y Ů F; sendo fȀ(x) e gȀ(y) vetores normalizados para obter
média zero e variância unitária. Neste trabalho, é contemplado somente a normalização para obter a média zero, isto é, a média (Expressão 2.3) é usada como medida m para calcu-lar fiȀ(x) e giȀ(y) (Expressões (2.6) e (2.7)). Este operador é também implementado usando como medida m, a mediana (Expressão 2.4) e o valor central (Expressão 2.5).
2.6 – OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES DE KHOSRAVI E SCHAFER
Khosravi e Schafer (1996) introduziram um operador de casamento de padrões que não precisa de multiplicações.
O operador de Khosravi e Schafer é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e F é o operador de KmE em KF (onde K é o intervalo [* m, 0] de Z), definido por:
F(g)(y)+ minD iŮ n {gi(y)* fi(x)}* max iŮ n {gi(y)* fi(x)} (2.15) para todo gŮ KmE e yŮ F.
2.7 – OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES DE BANON E FARIA
Com intuito de construir um operador de casamento de padrão para as ima-gens de sensoriamento remoto, Banon e Faria introduziram um operador baseado nos operadores elementares da morfologia matemática (Faria, 1997; Banon & Faria, 1997).
Sejam f*x,y e f)x,y dois mapeamentos de n em Km, definidos por:
f*x,y(i)
D
+ max {0, min (m, (fi(x)) ax,y)} (iŮ n) (2.16)
f)x,y(i)
D
+ max {0, min (m, (fi(x)) bx,y)} (iŮ n). (2.17)
onde as constantes ax,y e bx,y são dadas por:
ax,y D + dmx,y* lń2 (2.18) bx,y D + dmx,y) lń2 (2.19)
e dmx,y é dado por:
dmx,y
D
+ m(gńWx)* m(fńWy) (2.20)
e l é uma constante positiva. A medida m pode ser um mapeamento constante (de forma que dmx,y seja igual a zero), a média (Expressão 2.3), a mediana (Expressão 2.4) ou o valor
cen-tral (Expressão 2.5). O parâmetro l define o comprimento do intervalo [ax,y, bx,y] centrado
em dmx,y.
O operador de Banon e Faria é dado pela composição YĘF, onde Y é o operador que localiza o valor máximo de uma imagem, dado pela Expressão (2.1), e F é o operador de KmE em KnF, definido por:
F(g)(y)+ #{i Ů n : gD i(y)Ů [f*x,y(i), f)x,y(i)]} (2.21)
para todo gŮ KmE e yŮ F.
2.8 – OPERADOR DE CASAMENTO DE PADRÕES DE FERNÀNDEZ
Baseado na estatística de Kolmogorov–Smirnov, Fernàndez (1997) introduziu um operador de casamento de padrões que utiliza a máxima diferença absoluta.
O operador de Fernàndez é dado pela composição YĘF, onde Y é o opera-dor que localiza o valor mínimo de uma imagem, dado pela Expressão (2.2), e F é o opera-dor de KmE em RF, definido por:
F(g)(y)+ maxD
iŮ n
|fi(x)* gi(y)| (2.22)
para todo gŮ KmE e yŮ F.
Neste trabalho, é implementado também a seguinte versão normalizada do operador de Fernàndez:
F(g)(y)+ maxD
iŮ n
|fiȀ(x) * giȀ(y)| (2.23)
para todo gŮ KmE, xŮ E e y Ů F; sendo a média (Expressão 2.3), a mediana (Expressão
2.4) ou o valor central (Expressão 2.5), a medida m usada para calcular fiȀ(x) e giȀ(y) (Ex-pressões (2.6) e (2.7)).
