UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Mecânica
VINICIUS EMANOEL ARES
Formulação e Implementação do Método
dos Elementos de Contorno para Placas de
Kirchhoff Unidirecionalmente Estiradas
CAMPINAS 2016
Formulação e Implementação do Método
dos Elementos de Contorno para Placas de
Kirchhoff Unidirecionalmente Estiradas
Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecâ-nica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Projeto Me-cânico.
Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Daros
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO VINICIUS EMANOEL ARES, E ORIEN-TADO PELO PROF. DR. CARLOS HENRIQUE DAROS.
... ASSINATURA DO(A) ORIENTADOR(A)
CAMPINAS 2016
Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES, 33003017
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Ares, Vinicius Emanoel,
Ar33f AreFormulação e implementação do método dos elementos de contorno para placas de Kirchhoff unidirecionalmente estiradas / Vinicius Emanoel Ares. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.
AreOrientador: Carlos Henrique Daros.
AreDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.
Are1. Placas (Engenharia). 2. Métodos de elementos de contorno. 3. Cascas (Engenharia). I. Daros, Carlos Henrique,1971-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Formulation and implementation of the boundary element method to unidirectionally stretched Kirchhoff plates
Palavras-chave em inglês: Plates (Engineering)
Boundary element methods Shells (Engineering)
Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica
Banca examinadora:
Carlos Henrique Daros [Orientador] Paulo Sollero
Leandro Palermo Junior Data de defesa: 11-07-2016
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Formulação e Implementação do Método
dos Elementos de Contorno para Placas de
Kirchhoff Unidirecionalmente Estiradas
Autor: Vinicius Emanoel Ares
Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Daros
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação: Prof. Dr. Carlos Henrique Daros, Presidente
DMC/FEM/UNICAMP Prof. Dr. Paulo Sollero DMC/FEM/UNICAMP
Prof. Dr. Leandro Palermo Junior FEC/UNICAMP
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Dedicatória
Dedico este trabalho a minha mãe, Sra. Vilma Margarete Ferreira, que me incentivou nos estudos, desde o princípio.
Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Carlos Henrique Daros, que foi um excelente orienta-dor, esteve sempre presente em todas as horas, e teve importantes insights quando o programa apresentava erros.
Aos membros das bancas de qualificação e defesa, Prof. Dr. Leandro Palermo Junior e Prof. Dr. Paulo Sollero, que deram opiniões importantes sobre como validar o trabalho.
Aos amigos e companheiros: Gizeli Aparecida Pereira, Rodolfo Cavaliere da Rocha, Andrew Matos Piovezan, Vicente Giaccaglini Ferraro Junior e Aki Immonen, pela amizade, apoio, opi-niões e valiosa ajuda.
Resumo
O presente trabalho trata da análise estrutural estática de placas finas e placas finas unidirecio-nalmente estiradas em flexão através do Método dos Elementos de Contorno. Dois programas em MATLAB© foram desenvolvidos, utilizando elementos de contorno quadráticos isopara-métricos descontínuos. Adicionalmente foram colocados nós fonte nos cantos. Os resultados obtidos foram comparados com soluções analíticas disponíveis e mostraram boa convergência. Para placas finas, vários núcleos integrais, os quais não são encontrados facilmente na literatura (p. exemplo núcleos hipersingulares), foram deduzidos de forma independente no trabalho. Para o caso de placas finas estiradas, de forma inédita são deduzidos os núcleos fundamentais e apresentada a formulação integral do MEC.
The present work dwells on the structural static analysis of Kichhoff plates and unidirectionally stretched Kirchhoff plates subjected to bending, via the Boundary Element Method (BEM). Two MATLAB© programs have been developed using quadratic isoparametric discontinuous boundary elements. Additionally, source nodes were placed in the corners. The numerical results have been compared with available analytical solutions, showing good convergence. For the case of Kirchhoff without stretching, several integral kernels, not easily found in the literature (e.g. hipersingular kernels) have been independently derived in the present work. In the case of unidirectionally stretched thin plates, the fundamental kernels have been derived here for the first time.
Lista de Ilustrações
1.1 Modelo de avião mostrando carregamento de pressão na asa (Portal German
Aerospace Center - Institut für Aeroelastik). . . 16
1.2 Ponte pênsil de São Vicente – SP (Fórum Terceira Idade Praia Grande). . . 16
1.3 Navio com heliponto (Heliport Systems Inc.). . . 17
1.4 Seção de fuselagem em construção (Premium-Aerotec). . . 17
1.5 Painel curvo sujeito a um estado inicial de carregamento de membrana na pre-sença de um escoamento supersônico. (Bismarck-Nasr, 1999). . . 18
3.1 Placa (Dym e Shames, 2013). . . 23
3.2 Deslocamentos devidos à flexão da placa. . . 24
3.3 Tensões e intensidades (Dym e Shames, 2013). . . 25
3.4 Elemento de placa. . . 26
3.5 Intensidades de forças de membrana. . . 28
4.1 Placa com definição de vetores e elementos de contorno. . . 35
5.1 Viga Engastada-Livre. . . 49
5.2 Viga Biengastada. . . 50
5.3 Viga Biapoiada. . . 51
5.4 Viga engastada-apoiada. . . 52
5.5 Placa com CDC caso AAAA. . . 53
5.6 Placa com CDC caso EALA. . . 53
5.7 Gráfico da superfície defletida da placa com CDC caso AAAA. . . 54
5.8 Gráfico da superfície defletida da placa com CDC caso EALA. . . 55
5.9 Comparação do perfil de deflexões para o caso AAAA com 1 Elem./Lado. . . . 56
5.10 Erros relativos das deflexões de 2 pontos da placa AAAA. . . 56
5.11 Comparação do perfil de deflexões para o caso EALA com 1 Elem./Lado. . . . 57
5.12 Erros relativos das deflexões de dois pontos da placa EALA com curvas de convergência. . . 57
5.13 Gráfico da superfície defletida da placa estirada com CDC caso AAAA. . . 58
5.14 Comparação do perfil de deflexões para placa estirada AAAA com 1 Elem./Lado. 59 5.15 Erros relativos das deflexões de 2 pontos da placa AAAA estirada. . . 59
5.16 Perfis mostrando que a placa estirada tende à placa simples. . . 60
5.17 Surface Estirada LLLE. . . 61
5.18 Perfil caso LLLE Estirada vs Solução analítica. . . 62
5.19 Perfil caso LLLE Estirada com Nx pequeno vs Solução analítica. . . 62
5.20 Surface Estirada LELE. . . 63
5.21 Perfil caso LELE Estirada vs Solução analítica. . . 64
5.22 Perfil caso LELE Estirada com Nx pequeno vs Solução analítica. . . 64
5.26 Surface Estirada LALE. . . 67 5.27 Perfil caso LALE Estirada vs Solução analítica. . . 68 5.28 Perfil caso LALE Estirada com Nx pequeno vs Solução analítica. . . 68
Lista de Tabelas
5.1 Valores numéricos e erros relativos obtidos com o programa para o caso AAAA 54 5.2 Valores numéricos e erros relativos obtidos com o programa para o caso EALA 54 5.3 Valores numéricos de deflexão da placa estirada e erros relativos obtidos com o
Letras Latinas
𝑏 - Carregamento por unidade de área [𝑁/𝑚2]
𝐷 - Rididez flexural [𝑃 𝑎.𝑚3]
𝐸 - Módulo de Young [𝑃 𝑎]
𝐾 - Coeficiente de suavidade do contorno [-]
𝐿 - Dimensão lateral da placa [𝑚]
𝑀 - Momento fletor por unidade de comprimento [𝑁.𝑚/𝑚]
𝑛,𝑠 - Coordenadas de orientação geral [𝑚]
𝑁𝑐 - Número de cantos [-]
𝑁𝑐1,𝑁𝑐2,𝑁𝑐3 - Funções de forma contínuas [-]
𝑁𝑑1,𝑁𝑑2,𝑁𝑑3 - Funções de forma descontínuas [-]
𝑞 - Carregamento por unidade de comprimento [𝑁/𝑚]
𝑅𝑐 - Reação de canto [𝑁 ]
𝑉 - Força cortante por unidade de comprimento [𝑁/𝑚]
𝑤 - Deflexão na direção 𝑧 [𝑚]
𝑤𝑐 - Deflexão de canto [𝑚]
Letras Gregas 𝜈 - coeficiente de Poisson [-] 𝜉 - coordenada generalizada [-] Γ - contorno [𝑚] Ω - domínio [𝑚2] Siglas
A - condição de contorno de lado apoiado E - condição de contorno de lado engastado L - condição de contorno de lado livre MEC - Método dos Elementos de Contorno MEF - Método dos Elementos Finitos
CDC - Condição de contorno
UNICAMP - Universidade Estadual de Campinas
USP - Universidade de São Paulo
Subscritos B - bending i - nó fonte S - stretching Outras Notações
+ - Sobrescrito de elemento após o canto − - Sobrescrito de elemento antes do canto
1 INTRODUÇÃO 15
1.1 Motivação . . . 15
1.2 Revisão Bibliográfica: MEC aplicado a Placas . . . 18
2 OBJETIVOS 21 2.1 Objetivos . . . 21
2.2 Roteiro da Dissertação . . . 21
3 TEORIA DE PLACAS DE KIRCHHOFF E PLACAS DE KIRCHHOFF ESTI-RADAS 23 3.1 Placas de Kirchhoff . . . 23
3.2 Placas de Kirchhoff Estiradas . . . 28
3.2.1 Placas de Kirchhoff Unidirecionalmente Estiradas . . . 29
4 FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA PLACAS DE KIRCHHOFF 31 4.1 Formulação de Placas sob Flexão . . . 31
4.2 Solução Fundamental e Núcleos para Placas sob Flexão . . . 38
4.3 Formulação de Placas Estiradas . . . 40
4.4 Solução Fundamental e Núcleos para Placas Estiradas . . . 43
4.4.1 w* . . . 43
4.4.2 𝑀𝑛* . . . 45
4.4.3 𝑉𝑛* . . . 45
5 RESULTADOS 47 5.1 Soluções Analíticas . . . 47
5.1.1 Caso AAAA Simples . . . 47
5.1.2 Caso EALA Simples . . . 47
5.1.3 Caso AAAA Estirado . . . 48
5.1.4 Caso LLLE . . . 49
5.1.5 Caso LELE . . . 50
5.1.6 Caso LALA . . . 51
5.1.7 Caso LALE . . . 52
5.2 Resultados Numéricos para Placa Simples . . . 53
5.3 Resultados Numéricos para Placas Estiradas . . . 58
5.3.1 Placa AAAA Estirada . . . 58
5.3.2 Comparação: Placa AAAA Estirada x Placa AAAA Simples . . . 59
5.3.4 Placa LELE Estirada . . . 63 5.3.5 Placa LALA Estirada . . . 65 5.3.6 Placa LALE Estirada . . . 67
6 CONCLUSÃO 69
6.1 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . 69
1
INTRODUÇÃO
O elemento estrutural conhecido como placa possui uma ampla gama de aplicações tecno-lógicas. Tal fato pode ser atestado pelo uso crescente de compósitos anisotrópicos nas indústrias automobilística, aeroespacial e aeronáutica. Igualmente placas são de fundamental importância na construção civil. Nesse elemento estrutural uma das dimensões, a espessura, é muito menor do que as outras duas, de modo que para fins de modelo matemático, são considerados com-ponentes bidimensionais. Essa consideração é uma hipótese simplificadora visto que todos os corpos reais são tridimensionais. Entretanto, quando a espessura é suficientemente fina, mode-los de placas apresentam resultados de deflexão compatíveis com placas reais. Para o cálculo de placas com carregamentos e contornos complexos há a necessidade do uso de métodos com-putacionais.
O Método dos Elementos de Contorno é uma alternativa ao conhecido Método dos Ele-mentos Finitos. Ambos são métodos numéricos utilizados para simulações de problemas físicos, entre eles, para análises estruturais. Enquanto no Método dos Elementos Finitos o domínio é discretizado em pequenos elementos, no Método dos Elementos de Contorno apenas o contorno do problema é discretizado, com isso obtém-se a redução da dimensionalidade do problema. No caso de análise de peças tridimensionais, a região a ser discretizada é a superfície bidimensional do corpo, já no caso de análise de estruturas 2D, como as placas, a região a ser discretizada são os bordos da mesma, 1D. Essa redução na dimensionalidade do problema traz ganhos significa-tivos em tempo e custo das análises computacionais, além de que, como os erros são atacados no contorno, obtém-se uma precisão maior. O preço que se paga por esses benefícios é o tra-tamento de equações integrais de maior complexidade, incluindo integrações de funções com singularidades.
1.1 Motivação
Elementos estruturais de parede fina como placas e cascas estão presentes nos mais diver-sos bens e produtos. Essas estruturas, que às vezes também são chamadas de painéis ou chapas, estão presentes em painéis de automóveis, painéis de asa e fuselagem de aviões, aletas de fogue-tes, cascos e decks de navios, embarcações e plataformas de petróleo, na área civil em paredes, lajes, estruturas de coberturas, barragens e tabuleiros de pontes, placas eletrônicas, e em cai-xas e gabinetes de diversos eletrodomésticos e objetos do dia-a-dia. (Bhaskar e Varadan, 2014), (Lima Jr., 2006)
Na Fig. 1.1 é mostrado um modelo de avião em que a asa, numa primeira análise estru-tural, poderia ser considerada como uma placa plana. A fuselagem de um avião, por sua vez, pode ser tratada através de elementos de casca. Os elementos de casca apresentam curvatura, ao contrário dos elementos de placa plana. Na Fig. 1.2 é mostrada a ponte pênsil de São Vicente – SP, nesse tipo de ponte o tabuleiro poderia ser dimensionado utilizando a teoria de placas. Na
16
Fig. 1.3, é mostrado um navio com heliponto. Nesse caso o heliponto poderia ser calculado pela teoria de placas e o casco do navio utilizando-se elementos de casca. Por último, na Fig. 1.4 é mostrada uma seção de fuselagem em construção onde são utilizadas placas no piso e cascas cilíndricas nos painéis de fuselagem. Com o avião em vôo esses painéis de fuselagem ficam submetidos a efeito de estiramento por conta da pressurização interna da aeronave.
Figura 1.1: Modelo de avião mostrando carregamento de pressão na asa (Portal German Aeros-pace Center - Institut für Aeroelastik).
Figura 1.2: Ponte pênsil de São Vicente – SP (Fórum Terceira Idade Praia Grande). Dentro do assunto de placas e cascas há a categoria de placas pré-tensionadas (ou esti-radas). Nesses elementos é aplicada uma carga prévia (tensão ou deformação) no plano médio de modo que o elemento suporte maiores cargas de flexão ou apresente menores deflexões. Pla-cas sujeitas a forças no plano apresentam diferença no comportamento em flexão. Dependendo de se as forças no plano são trativas ou compressivas a placa pode se tornar mais ou menos
Figura 1.3: Navio com heliponto (Heliport Systems Inc.).
Figura 1.4: Seção de fuselagem em construção (Premium-Aerotec).
rigida à flexão, podendo inclusive entrar num regime instável, isto é, flambagem. (Bhaskar e Varadan, 2014)
Na construção civil elementos estruturais pré-tensionados são muito utilizados. As razões para uso desses elementos podem ser econômicas ou de requisitos de engenharia (p. exemplo deflexão máxima admissível). Para o cálculo e dimensionamento de elementos pré-tensionados são necessários conhecimentos adicionais. (Gilbert e Mickleborough, 2004)
O problema de placas e cascas estiradas é muito comum em veículos aeroespaciais de alta velocidade. Um desenho esquemático desse problema pode ser visto na Fig. 1.5. O vôo a alta velocidade gera grande arrasto (tensão de cisalhamento) nas superfícies expostas ao es-coamento, dessa forma esses painéis tem seu comportamento em flexão, flambagem, flutter, e valores de frequências naturais alterados. O efeito de estiramento vem acompanhado do efeito
18
de aquecimento aerodinâmico. (Thornton, 1996), (Bismarck-Nasr, 1999)
Figura 1.5: Painel curvo sujeito a um estado inicial de carregamento de membrana na presença de um escoamento supersônico. (Bismarck-Nasr, 1999).
Os efeitos lineares da pré-tensão na flexão de placas podem ser descritos por uma equação diferencial parcial linear. Entretanto, para deflexões de dimensões maiores do que a ordem de grandeza da espessura da placa, é preciso recorrer às famosas equações de von Karman, altamente não lineares. As equações de von Karman podem ser modeladas pelo MEC tratando as equações de membrana e de placa de maneira acoplada, usando as soluções fundamentais correspondentes. Exemplos dessa estratégia numérica (para placas e cascas com pré-tensão) podem ser encontradas dos anos 1990 aos anos 2000 em (Lin et al., 1999), (Tanaka et al., 1999), (Baiz e Aliabadi, 2007) e (Baiz e Aliabadi, 2009).
1.2 Revisão Bibliográfica: MEC aplicado a Placas
Para aplicações com geometrias e carregamentos complexos torna-se clara a necessidade do uso de métodos numéricos. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um consagrado mé-todo numérico para a solução de problemas da mecânica do contínuo. Sua utilização é vasta e seu uso tornou-se um pilar da engenharia moderna. Um pouco mais recente, o Método dos Elementos de Contorno (MEC) tornou-se uma alternativa ao MEF, especialmente em algumas aplicações do contínuo, como por exemplo domínios ilimitados. A ideia de solução de proble-mas por integrais de contorno não é nova, proble-mas o Método dos Elementos de Contorno (MEC), como é conhecido hoje, só surgiu quando Rizzo (1967) apresentou a formulação das equações integrais singulares na forma direta do método. Há diversos livros que tratam do MEC, dentre alguns excelentes textos, podem-se citar (Brebbia e Dominguez, 1989), (Dominguez, 1993), (Venturini, 1983), (Telles, 1983), (Aliabadi, 2002), (Kane, 1994).
Existem duas teorias de placas mais comuns, a primeira, conhecida como Teoria Clássica de Placas, foi desenvolvida por Kirchhoff e Love em 1888, e oferece resultados precisos para placas finas (delgadas), onde os efeitos de deformação cisalhante ao longo da espessura podem ser desprezados. A segunda teoria foi desenvolvida independentemente por Reissner em 1945 e Mindlin em 1951. Nessa teoria são considerados efeitos de deformação cisalhante na espessura da placa, dessa forma é possível obter resultados mais precisos para placas espessas. Existe uma correspondência entre as teorias de placas e de vigas, de fato, as placas de Kirchhoff são uma generalização 2D das vigas de Euler-Bernoulli, e as placas de Reissner-Mindlin são análogas vigas de Timoshenko.
Forbes e Robinson foram os primeiros a tratar o problema de placa através do MEC. Nessa descrição as placas tinham todo o contorno suave, sem avaliação de forças de canto. Bézine aplicou o MEC a placas poligonais, porém sem a colocação dos nós nos cantos. Stern apresentou uma descrição completa de placas através do MEC tratando os termos livres de canto.
A literatura recente do MEC aplicado às diferentes teorias de placa é vasta e há várias contribuições recentes importantes. Esse campo vem sendo extensivamente estudado no Brasil por grupos de pesquisadores na USP de São Carlos: Venturini, Coda, Paiva e Palermo Jr.; e na UNICAMP: Albuquerque, Sollero e Palermo Jr.
Sollero e Aliabadi, 1995 utilizaram o Método dos Elementos de Contorno Dual para aná-lise de trincas em compósitos laminados anisotrópicos. Palermo Jr., 2003 utilizou MEC para análise de placas tanto pelo modelo clássico quanto pelo de Reissner-Mindlin. Oliveira Neto e Paiva, 2003 analisaram o problema de lajes apoiadas em colunas através do MEC. Dos Reis, Albuquerque, Torsani, Palermo Jr. e Sollero publicaram artigo com o cálculo de momentos e tensões em placas de compósitos laminados através do MEC, (dos Reis et al., 2011). Mais recentemente Useche e Albuquerque, 2015 aplicaram MEC para análise transiente de cascas abatidas com cisalhamento.
2
OBJETIVOS
2.1 Objetivos
O trabalho tem por objetivo desenvolver e validar um programa em MATLAB para análise de flexão de placas finas estiradas através do método dos elementos de contorno. Objetiva-se encontrar os campos de deflexões de placas com diversas condições de contorno, com ou sem efeito de estiramento unidirecional.
2.2 Roteiro da Dissertação
O trabalho está dividido em 6 capítulos.
No Capítulo 3 são apresentadas as bases teóricas das placas de Kirchhoff e placas de Kirchhoff unidirecionalmente estiradas. Através de elementos infinitesimais de placas chega-se às equações diferenciais governantes.
No Capítulo 4 é apresentada a formulação de elementos de contornos através do Teorema de Betti para placas sem estiramento, e através do Método dos Resíduos Ponderados para placas estiradas, também são apresentadas as soluções fundamentais utilizadas e o desenvolvimento de alguns núcleos integrais.
No Capítulo 5 são apresentadas as soluções analíticas para placas e vigas, em seguida os resultados numéricos são validados com essas soluções análiticas. A validação é feita para as duas variantes de placa e os dois casos são comparados entre si.
Por fim, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões obtidas e são mencionadas suges-tões para trabalhos futuros.
3
TEORIA DE PLACAS DE KIRCHHOFF E PLACAS DE
KIR-CHHOFF ESTIRADAS
3.1 Placas de Kirchhoff
Placas são estruturas em que uma das dimensões, a espessura, é muito menor do que as outras duas, comprimento e largura, de modo que matematicamente a estrutura é modelada como uma superfície bidimensional, o plano médio da placa. Na Fig. 3.1 são mostradas as definições fundamentais do modelo clássico de placas.
Figura 3.1: Placa (Dym e Shames, 2013).
A primeira consideração, levando-se em conta que se trata de uma placa suficientemente fina, é que o deslocamento vertical de qualquer ponto da placa é igual ao de um ponto corres-pondente no plano médio na mesma vertical:
24
Essa consideração supõe implicitamente que a deformação normal na direção z é despre-zível.
Com relação aos deslocamentos paralelos ao plano médio da placa, esses são provenien-tes de dois fenômenos diferenprovenien-tes: estiramento e flexão. Ou seja:
𝑢(𝑥,𝑦,𝑧) = [𝑢(𝑥,𝑦,𝑧)]𝑆+ [𝑢(𝑥,𝑦,𝑧)]𝐵, 𝑣(𝑥,𝑦,𝑧) = [𝑣(𝑥,𝑦,𝑧)]𝑆+ [𝑣(𝑥,𝑦,𝑧)]𝐵. (3.2)
No caso dos deslocamentos de estiramento, novamente os deslocamentos de qualquer ponto são iguais aos de seu ponto correspondente no plano médio:
[𝑢(𝑥,𝑦,𝑧)]𝑆 = [𝑢(𝑥,𝑦)]𝑆, [𝑣(𝑥,𝑦,𝑧)]𝑆 = [𝑣(𝑥,𝑦)]𝑆. (3.3)
Figura 3.2: Deslocamentos devidos à flexão da placa.
Já os deslocamentos devidos à flexão dependem das inclinações em x e y da placa no ponto, conforme mostrado na Fig. (3.2) para 𝑢, sendo que para 𝑣 o raciocínio é o mesmo. Os deslocamentos de flexão então são dados por:
[𝑢(𝑥,𝑦,𝑧)]𝐵 = −𝑧𝜕𝑤(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥 , [𝑣(𝑥,𝑦,𝑧)]𝐵 = −𝑧
𝜕𝑤(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦 . (3.4)
Agora as Eqs. (3.2) podem ser reescritas como:
𝑢(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑢𝑆(𝑥,𝑦) − 𝑧
𝜕𝑤(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥 , 𝑣(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑣𝑆(𝑥,𝑦) − 𝑧
𝜕𝑤(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦 . (3.5)
Com o campo de descolamentos definidos pelas Eqs. (3.1) e (3.5), podemos aplicar as equações de deformações:
𝜀𝑥𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥, 𝜀𝑦𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦, 𝜀𝑥𝑦 = 1 2 (︂ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 )︂ , (3.6) e chegar às equações: 𝜀𝑥𝑥 = 𝜕𝑢𝑆 𝜕𝑥 − 𝑧 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2, 𝜀𝑦𝑦 = 𝜕𝑣𝑆 𝜕𝑦 − 𝑧 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2, 𝜀𝑥𝑦 = 1 2 (︂ 𝜕𝑢𝑆 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣𝑆 𝜕𝑥 )︂ − 𝑧 𝜕 2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦. (3.7)
As demais deformações são consideradas zero.
Figura 3.3: Tensões e intensidades (Dym e Shames, 2013).
No modelo de placas são utilizadas intensidades de forças e momentos por unidade de comprimento, ver Fig. 3.3. As intensidades de forças de cisalhamento são definidas como:
𝑄𝑥 =
∫︀ℎ/2
−ℎ/2𝜏𝑥𝑧𝑑𝑧, 𝑄𝑦 =
∫︀ℎ/2
26
Onde 𝑄𝑥 é a intensidade de força na face x por unidade de comprimento em y, e 𝑄𝑦 é a
intensidade de força na face y por unidade de comprimento em x.
De forma análoga são definidas as intensidades de momento fletor:
𝑀𝑥 =
∫︀ℎ/2
−ℎ/2𝜏𝑥𝑥𝑧𝑑𝑧, 𝑀𝑦 =
∫︀ℎ/2
−ℎ/2𝜏𝑦𝑦𝑧𝑑𝑧, (3.9)
e intensidades de momento torsor:
𝑀𝑥𝑦 =
∫︀ℎ/2
−ℎ/2𝜏𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧, 𝑀𝑦𝑥 =
∫︀ℎ/2
−ℎ/2𝜏𝑦𝑥𝑧𝑑𝑧. (3.10)
Devido à propriedade da complementariadade da tensão de cisalhamento 𝑀𝑥𝑦 é igual a
𝑀𝑦𝑥.
Na figura 3.4 é mostrado um elemento infinitesimal de placa, com dimensões dx por dy. Nesse elemento são mostrados os esforços cortantes 𝑄𝑥 e 𝑄𝑦 , os momentos fletores 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦
, e os momentos torsores 𝑀𝑥𝑦 e 𝑀𝑦𝑥 . A variação dessas grandezas ao longo dos diferenciais
dx e dy é feita através de expansão em série de Taylor de 1𝑎ordem. Note que na convenção de placas o eixo z positivo aponta para baixo. O carregamento b(x,y) e a deflexão w também são positivos para baixo.
Figura 3.4: Elemento de placa.
Agora utilizamos as tensões do estado plano de tensões generalizado:
𝜏𝑥𝑥 =
𝐸
1 − 𝜈2(𝜀𝑥𝑥+ 𝜈𝜀𝑦𝑦), 𝜏𝑦𝑦 =
𝐸
e substituimos nas Eqs. (3.9) e (3.10) para obter: 𝑀𝑥 = ∫︀ℎ/2 −ℎ/2 𝐸 1 − 𝜈2(𝜀𝑥𝑥+ 𝜈𝜀𝑦𝑦)𝑧𝑑𝑧, 𝑀𝑦 = ∫︀ℎ/2 −ℎ/2 𝐸 1 − 𝜈2(𝜀𝑦𝑦+ 𝜈𝜀𝑥𝑥)𝑧𝑑𝑧, 𝑀𝑥𝑦 = ∫︀ℎ/2 −ℎ/22𝐺𝜀𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧. (3.12)
Após substituir as deformações, Eqs. (3.7), e efetuar as integrações chega-se a:
𝑀𝑥 = −𝐷 (︂ 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 + 𝜈 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 )︂ , 𝑀𝑦 = −𝐷 (︂ 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 + 𝜈 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 )︂ , 𝑀𝑥𝑦 = − (1 − 𝜈) 𝐷 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦, (3.13)
onde 𝐷 é a rigidez flexural, dada por:
𝐷 = 𝐸ℎ
3
12 (1 − 𝜈2). (3.14)
Nessa equação E é o módulo de Young, h é a espessura da placa e 𝜈 é o coeficiente de Poisson do material. No sistema Internacional (SI) de unidades D tem unidades de 𝑃 𝑎.𝑚3.
Com relação a 𝑄𝑥 e 𝑄𝑦 faz-se integração semelhante aos momentos 𝑀𝑥, 𝑀𝑦 e 𝑀𝑥𝑦 e
chega-se a: 𝑄𝑥 = −𝐷𝜕𝑥𝜕 (︁ 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 )︁ , 𝑄𝑦 = −𝐷𝜕𝑦𝜕 (︁ 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 )︁ . (3.15)
Faz-se o somatório de momentos com respeito ao eixo x, Fig. 3.4, desprezando 𝑏 e 𝜕𝑄𝑦/𝜕𝑦 pois são termos de ordem maior, então obtemos:
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝜕𝑀𝑦
𝜕𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑄𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0. (3.16)
Fazendo-se simplificações chega-se a: 𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑥 −
𝜕𝑀𝑦
𝜕𝑦 + 𝑄𝑦 = 0. (3.17)
De forma análoga para o somatório de momentos em relação ao eixo y: 𝜕𝑀𝑦𝑥
𝜕𝑦 −
𝜕𝑀𝑥
28
Após algumas substituições chega-se a: 𝜕2𝑀 𝑥 𝜕𝑥2 − 2 𝜕2𝑀 𝑥𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕2𝑀 𝑦 𝜕𝑦2 = −𝑏. (3.19)
Substituindo as Eqs. (3.13) na Eq. (3.19) e fazendo-se simplificações, a equação diferen-cial pode ser escrita finalmente como:
𝐷 ∇4𝑤 = 𝑏(𝑥,𝑦), (3.20)
que é uma equação diferencial biharmônica.
Onde 𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑦) é o campo de deslocamento verticais da placa, 𝑏(𝑥, 𝑦) é a função de carregamento por unidade de área da placa e 𝐷 é a rigidez flexural da placa.
3.2 Placas de Kirchhoff Estiradas
Se no problema de flexão de placas forem consideradas forças agindo no plano da placa, essas forças podem ter um efeito considerável no campo de deflexões.
Fazendo-se o equilíbrio de forças no elemento infinitesimal de placa da Fig. 3.5, conside-rando que no plano não agem forças de corpo, chega-se às seguinte equações:
Figura 3.5: Intensidades de forças de membrana.
𝜕𝑁𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝑁𝑦 𝜕𝑦 = 0. (3.21) Sendo que:
𝑁𝑥 = ∫︀𝑧/2 −𝑧/2𝜎𝑥𝑥𝑑𝑧, 𝑁𝑦 = ∫︀𝑧/2 −𝑧/2𝜎𝑦𝑦𝑑𝑧, 𝑁𝑥𝑦 = ∫︀𝑧/2 −𝑧/2𝜏𝑥𝑦𝑑𝑧. (3.22)
As Eqs. (3.21) são independentes das anteriores apresentadas para placas sem efeito de membrada.
Por conta do campo de deflexões 𝑤(𝑥,𝑦) da placa, as forças 𝑁𝑥, 𝑁𝑦 e 𝑁𝑥𝑦 tem
compo-nentes na direção z. A projeção da força 𝑁𝑥é:
− 𝑁𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + (︂ 𝑁𝑥+ 𝜕𝑁𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥 )︂ (︂ 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑥 𝑑𝑥 )︂ 𝑑𝑦. (3.23)
Fazendo simplificações e desprezando termos de ordem maior do que 2 chegamos a:
𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝜕𝑁𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦. (3.24)
De forma análoga, a projeção de 𝑁𝑦 é:
𝑁𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝜕𝑁𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦. (3.25)
Com relação às forças cisalhantes 𝑁𝑥𝑦, a soma das 4 componentes resulta em:
2𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝜕𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝜕𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦. (3.26)
Adicionando as projeções das forças 𝑁𝑥, 𝑁𝑦e 𝑁𝑥𝑦 à equação (3.19) e ainda considerando
as Eqs. (3.21) chegamos à equação diferencial em termos de momentos da placa com efeitos de forças no plano: 𝜕2𝑀 𝑥 𝜕𝑥2 − 2 𝜕2𝑀 𝑥𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕2𝑀 𝑦 𝜕𝑦2 = − (︂ 𝑏 + 𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 + 𝑁𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 + 2𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦 )︂ . (3.27)
Substituindo as Eqs. (3.13) na Eq. (3.27) chega-se finalmente a:
∇4𝑤 = 1 𝐷 (︂ 𝑏 + 𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 + 𝑁𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 + 2𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦 )︂ . (3.28)
Essa equação é análoga à Eq. (3.20), considerando as forças no plano.
3.2.1 Placas de Kirchhoff Unidirecionalmente Estiradas
No presente trabalho é tratado o problema de flexão de placas estiradas unidirecional-mente. Se a placa estiver sujeita a forças de membrana apenas na direção x, os termos 𝑁𝑦 e 𝑁𝑥𝑦
são zero, então a Eq. (3.28) fica:
∇4𝑤 = 1 𝐷 (︂ 𝑏 + 𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 )︂ . (3.29)
30
Essa equação pode ser reecrita na forma utilizada por Dundurs e Jahanshahi, 1965 como:
∇4𝑤 − 4𝜅2𝜕 2𝑤 𝜕𝑥2 = 1 𝐷𝑏(𝑥,𝑦), (3.30) onde: 𝜅2 = 𝑁𝑥 4𝐷 > 0. (3.31)
4
FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
PARA PLACAS DE KIRCHHOFF
Nesse capítulo é apresentado o Método dos Elementos de Contorno. A teoria é aplicada aos modelos de placas vistos no capítulo 3. Adicionalmente são mostrados os núcleos integrais nesse capítulo.
4.1 Formulação de Placas sob Flexão
Nesta seção é obtida a Equação Integral de Contorno para Placas de Kirchhoff a partir do Teorema de Betti.
O Teorema de Betti é dado por: ∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗*𝜀𝑖𝑗𝑑Ω = ∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω. (4.1)
Expandindo o lado direito da equação anterior temos: ∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω = ∫︁ Ω (︀𝜎𝑥𝜀*𝑥+ 𝜎𝑦𝜀*𝑦+ 𝜎𝑧𝜀*𝑧+ 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦* + 𝜏𝑥𝑧𝛾𝑥𝑧* + 𝜏𝑦𝑧𝛾𝑦𝑧* )︀ 𝑑Ω (4.2)
Para o caso de uma Placa de Kirchhoff, desconsiderando os termos em z ficamos com: ∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω = ∫︁ Ω (︀𝜎𝑥𝜀*𝑥+ 𝜎𝑦𝜀*𝑦+ 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦* )︀ 𝑑Ω (4.3)
Desenvolvendo o primeiro termo à direira: ∫︁ Ω 𝜎𝑥𝜀*𝑥𝑑Ω = − ∫︁ Ω 𝑀𝑥 𝜕2𝑤* 𝜕𝑥2 𝑑Ω. (4.4)
A regra da derivada do produto pode ser escrita como:
𝑓 (𝑥)𝜕 𝑔(𝑥) 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥[𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)] − 𝜕𝑓 (𝑥) 𝜕𝑥 𝑔(𝑥) (4.5)
Aplicando essa regra ao lado direito da Eq. (4.4) ficamos com:
∫︁ Ω 𝜎𝑥𝜀*𝑥𝑑Ω = − ∫︁ Ω 𝑀𝑥 𝜕2𝑤* 𝜕𝑥2 𝑑Ω = − ∫︁ Ω [︂ 𝜕 𝜕𝑥 (︂ 𝑀𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 )︂ −𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 ]︂ 𝑑Ω. (4.6)
Usando o teorema de Green a equação pode ser escrita como: ∫︁ Ω 𝜎𝑥𝜀*𝑥𝑑Ω = − ∫︁ Γ (︂ 𝑀𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 )︂ cos 𝛼 𝑑Γ + ∫︁ Ω 𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 𝑑Ω. (4.7)
Aplicando novamente a regra do produto, Eq. (4.5), ao segundo termo do lado direito da Eq. (4.7), temos:
32 ∫︁ Ω 𝜎𝑥𝜀*𝑥𝑑Ω = − ∫︁ Γ (︂ 𝑀𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 )︂ cos 𝛼 𝑑Γ + ∫︁ Ω [︂ 𝜕 𝜕𝑥 (︂ 𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑥 𝑤 * )︂ − 𝜕 2𝑀 𝑥 𝜕𝑥2 𝑤 * ]︂ 𝑑Ω. (4.8)
Usando novamente o teorema de Green, a equação pode ser escrita como:
∫︁ Ω 𝜎𝑥𝜀*𝑥𝑑Ω = ∫︁ Γ (︂ −𝑀𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 cos 𝛼 + 𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑥 𝑤 * cos 𝛼 )︂ 𝑑Γ − ∫︁ Ω 𝜕2𝑀𝑥 𝜕𝑥2 𝑤 * 𝑑Ω. (4.9)
De maneira análoga, para o segundo e terceiro termos à direita na Eq. (4.3) pode-se mos-trar que: ∫︁ Ω 𝜎𝑦𝜀*𝑦𝑑Ω = ∫︁ Γ (︂ −𝑀𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 sin 𝛼 + 𝜕𝑀𝑦 𝜕𝑦 𝑤 * sin 𝛼 )︂ 𝑑Γ − ∫︁ Ω 𝜕2𝑀𝑦 𝜕𝑦2 𝑤 * 𝑑Ω, (4.10) e ∫︁ Ω 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦* 𝑑Ω = ∫︁ Γ (︂ −𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 cos 𝛼 − 𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 sin 𝛼 +𝜕𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝑤 * sin 𝛼 + 𝜕𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝑤 * cos 𝛼 )︂ 𝑑Γ − ∫︁ Ω 𝜕2𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 2𝑤 * 𝑑Ω. (4.11)
Agora substituindo as Eqs. (4.9), (4.10) e (4.11) na Eq. (4.3) ficamos com:
∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω = − ∫︁ Γ (︂ 𝑀𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 cos 𝛼 + 𝑀𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 sin 𝛼 + 𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 cos 𝛼 + 𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 sin 𝛼 )︂ 𝑑Γ + ∫︁ Γ [︂(︂ 𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑦 )︂ cos 𝛼 +(︂ 𝜕𝑀𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑥 )︂ sin 𝛼 ]︂ 𝑤*𝑑Γ − ∫︁ Ω (︂ 𝜕2𝑀 𝑥 𝜕𝑥2 + 2 𝜕2𝑀 𝑥𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕2𝑀 𝑦 𝜕𝑦2 )︂ 𝑤*𝑑Ω (4.12)
Utilizando as Eqs. (3.17), (3.18) e (3.19), a equação anterior pode ser reescrita como:
∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω = − ∫︁ Γ (︂ 𝑀𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 cos 𝛼 + 𝑀𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 sin 𝛼 + 𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 cos 𝛼 + 𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 sin 𝛼 )︂ 𝑑Γ + ∫︁ Γ 𝑄𝑛𝑤*𝑑Γ + ∫︁ Ω 𝑏𝑤*𝑑Ω (4.13) ∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω = − ∫︁ Γ (︂ 𝑀𝑛 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 + 𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑤* 𝜕𝑠 − 𝑄𝑛𝑤 * )︂ 𝑑Γ + ∫︁ Ω 𝑏𝑤*𝑑Ω. (4.14)
∫︁ Γ 𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑤* 𝜕𝑠 𝑑Γ = 𝑀𝑛𝑠𝑤 * ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ Γ2 Γ1 − ∫︁ Γ 𝜕𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑠 𝑤 * 𝑑Γ (4.15)
onde Γ1 e Γ2 são as coordenadas dos extremos do contorno onde a integral está sendo
realizada. No caso de um contorno suave, o primeiro termo do lado direito da Eq. (4.15) desa-parece. Quando existem cantos, a Eq. (4.15) pode ser escrita como:
∫︁ Γ 𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑤* 𝜕𝑠 𝑑Γ = − 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅𝑐𝑗𝑤 * 𝑐𝑗 − ∫︁ Γ 𝜕𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑠 𝑤 * 𝑑Γ, (4.16) onde: 𝑅𝑐𝑗 = 𝑀 + 𝑛𝑠𝑗− 𝑀 − 𝑛𝑠𝑗 (4.17)
é a força de reação no canto j. 𝑀+ 𝑛𝑠𝑗 e 𝑀
−
𝑛𝑠𝑗 são os momentos torsores nos lados após o
canto j, e antes do canto j, respectivamente.
Combinando as Eqs. (4.14) e (4.16) ficamos com: ∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω = ∫︁ Γ (︂ 𝑄𝑛𝑤*− 𝑀𝑛 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 + 𝜕𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑠 𝑤 * )︂ 𝑑Γ + 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅𝑐𝑗𝑤 * 𝑐𝑗 + ∫︁ Ω 𝑏𝑤*𝑑Ω. (4.18) Sabendo que: 𝑉𝑛= 𝑄𝑛+ 𝜕𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑠 , (4.19)
pode-se reescrever a Eq. (4.18) como: ∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω = ∫︁ Γ (︂ 𝑉𝑛𝑤*− 𝑀𝑛 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 )︂ 𝑑Γ + 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅𝑐𝑗𝑤 * 𝑐𝑗 + ∫︁ Ω 𝑏𝑤*𝑑Ω. (4.20)
Um desenvolvimento análogo pode ser aplicado ao lado esquerdo da Eq. (4.1): ∫︁ Ω 𝜎𝑖𝑗*𝜀𝑖𝑗𝑑Ω = ∫︁ Γ (︂ 𝑉𝑛*𝑤 − 𝑀𝑛*𝜕𝑤 𝜕𝑛 )︂ 𝑑Γ + 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅*𝑐𝑗𝑤𝑐𝑗+ ∫︁ Ω 𝑏*𝑤𝑑Ω. (4.21)
Substituindo as Eqs. (4.21) e (4.20) na Eq. (4.1) chegamos a:
∫︁ Γ (︂ 𝑉𝑛*𝑤 − 𝑀𝑛*𝜕𝑤 𝜕𝑛 )︂ 𝑑Γ + 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅*𝑐𝑗𝑤𝑐𝑗 + ∫︁ Ω 𝑏*𝑤𝑑Ω = ∫︁ Γ (︂ 𝑉𝑛𝑤*− 𝑀𝑛 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 )︂ 𝑑Γ + 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅𝑐𝑗𝑤 * 𝑐𝑗 + ∫︁ Ω 𝑏𝑤*𝑑Ω. (4.22)
34
O carregamento 𝑏* é pontual, modelado como um Delta de Dirac. Então utilizando a propriedade do Delta de Dirac, podemos escrever a Eq. (4.22) finalmente como:
𝐾𝑤 (𝑥𝑖,𝑦𝑖) + ∮︁ Γ [︂ 𝑉𝑛*(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) 𝑤 (𝑥,𝑦) − 𝑀𝑛*(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) 𝜕𝑤 𝜕𝑛 (𝑥,𝑦) ]︂ 𝑑Γ (𝑥,𝑦) + 𝑁 𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅*𝑐𝑗(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥𝑐,𝑦𝑐) 𝑤𝑐𝑗(𝑥𝑐,𝑦𝑐) = ∮︁ Γ [︂ 𝑉𝑛(𝑥,𝑦) 𝑤*(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) − 𝑀𝑛(𝑥,𝑦) 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) ]︂ 𝑑Γ (𝑥,𝑦) + 𝑁 𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅𝑐𝑗(𝑥𝑐,𝑦𝑐) 𝑤𝑐𝑗* (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥𝑐,𝑦𝑐) + ∫︁ Ω 𝑏 (𝑥,𝑦) 𝑤*(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) 𝑑Ω (4.23)
Essa é a Equação Integral de Contorno para a placa de Kirchhoff sem estiramento (Paiva, 1987). 𝐾 é um coeficiente que depende da suavidade do contorno, dado por:
𝐾 = 𝛽𝐶
2𝜋, (4.24)
onde 𝛽𝐶 é o ângulo interno de um possível canto. Então, no caso de um contorno suave,
𝐾 = 1/2, e no caso de um canto reto, 𝐾 = 1/4.
Aplicando a Eq. (4.23) em cada um dos Ni pontos fonte do contorno ainda ficam faltando Ni equações para resolução do sistema visto que cada nó tem duas incógnitas. Desta forma faz-se a derivada da Eq. (4.23) obtendo-se uma equação hipersingular:
1 2 𝜕𝑤 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖) + ∮︁ Γ [︂ 𝜕𝑉* 𝑛 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) 𝑤 (𝑥,𝑦) − 𝜕𝑀𝑛* 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) 𝜕𝑤 𝜕𝑛(𝑥,𝑦) ]︂ 𝑑Γ (𝑥,𝑦) + 𝑁 𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝜕𝑅*𝑐𝑗 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥𝑐,𝑦𝑐) 𝑤𝑐𝑗(𝑥𝑐,𝑦𝑐) = ∮︁ Γ [︂ 𝑉𝑛(𝑥,𝑦) 𝜕𝑤* 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) − 𝑀𝑛(𝑥,𝑦) 𝜕 𝜕𝑛𝑖 (︂ 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) )︂]︂ 𝑑Γ (𝑥,𝑦) + 𝑁 𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝑅𝑐𝑗(𝑥𝑐,𝑦𝑐) 𝜕𝑤*𝑐𝑗 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥𝑐,𝑦𝑐) + ∫︁ Ω 𝑏 (𝑥,𝑦)𝜕𝑤 * 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦) 𝑑Ω (4.25)
Nas equações (4.23) e (4.25) K é o termo livre, 𝑉𝑛é a força cortante atuando nos bordos,
𝑀𝑛 é o momento fletor, 𝜕𝑤𝜕𝑛 é o ângulo de inclinação da placa nos bordos e 𝑑Γ é o diferencial
de contorno da placa. Nos termos com somatório, 𝑅𝑐𝑗 e 𝑤𝑐𝑗 são a força de canto e a deflexão
de canto, respectivamente, atuando no canto j da placa. O termo integral em Ω é a integral de domínio, com Ω reprentando o domínio da placa e 𝑑Ω representando o diferencial de domínio. As funções com derivadas em relação a 𝑛𝑖 indicam que essa derivada é feita em relação ao nó
fonte. Na Fig. 4.1 pode-se ver uma representação esquemática de uma placa com definições de ponto fonte (𝑥𝑖,𝑦𝑖), normal em relação ao ponto fonte 𝑛𝑖 , o ponto campo (𝑥,𝑦), a distância r,
Figura 4.1: Placa com definição de vetores e elementos de contorno.
o vetor gradiente de r: ∇𝑟, a normal em relação ao ponto campo n, o vetor tangente no ponto campo s, o contorno Γ e o domínio Ω. A distância 𝑟 é dada por:
𝑟 = √︁
(𝑥 − 𝑥𝑖)2 + (𝑦 − 𝑦𝑖)2, (4.26)
ou, no caso particular de (𝑥𝑖,𝑦𝑖) = (0,0):
𝑟 =√︀𝑥2+ 𝑦2. (4.27)
Note que embora ∇𝑟 seja um vetor, que aponta para fora da placa na direção definida por (𝑥𝑖,𝑦𝑖) e (𝑥,𝑦), 𝑟 não é, e sim uma distância escalar. De fato, para uma posição fixa (𝑥𝑖,𝑦𝑖), 𝑟
assume a forma de um campo escalar.
Nas equações (4.23) e (4.25), (𝑥𝑖,𝑦𝑖) são as coordenadas do ponto fonte, onde se aplica
a carga, e (𝑥,𝑦) são as coordenadas do ponto campo, onde se observa o efeito da carga aplicada. Nessas mesmas equações os pontos campo (𝑥,𝑦) têm uma variação contínua no contorno (embora os elementos sejam descontínuos). O método dos elementos de contorno, no entanto, emprega uma metodologia de solução nodal, onde a solução é obtida apenas nos 𝑁𝑖 pontos do contorno, conhecidos como nós. Nos demais pontos a solução é obtida através
de uma aproximação polinomial. No presente trabalho foi utilizada a aproximação polinomial quadrática, com elementos descontínuos. A escolha de elementos quadráticos se deve por estes serem os elementos mais simples capazes de representar curvatura. Os elementos descontínuos são usados devido à condição de continuidade de Holder, necessária para a obtenção das integrais hipersingulares, além de que a troca de colunas no sistema matricial resultante fica facilitada.
36 𝑥(𝜉) = 𝑥1𝑁𝑐1(𝜉) + 𝑥2𝑁𝑐2(𝜉) + 𝑥3𝑁𝑐3(𝜉) (4.28) 𝑦(𝜉) = 𝑦1𝑁𝑐1(𝜉) + 𝑦2𝑁𝑐2(𝜉) + 𝑦3𝑁𝑐3(𝜉) (4.29) 𝑤(𝜉) = 𝑤1𝑁𝑑1(𝜉) + 𝑤2𝑁𝑑2(𝜉) + 𝑤3𝑁𝑑3(𝜉) (4.30) 𝜕𝑤 𝜕𝑛(𝜉) = 𝜕𝑤1 𝜕𝑛 𝑁𝑑1(𝜉) + 𝜕𝑤2 𝜕𝑛 𝑁𝑑2(𝜉) + 𝜕𝑤3 𝜕𝑛 𝑁𝑑3(𝜉) (4.31) 𝑉𝑛(𝜉) = 𝑉𝑛1𝑁𝑑1(𝜉) + 𝑉𝑛2𝑁𝑑2(𝜉) + 𝑉𝑛3𝑁𝑑3(𝜉) (4.32) 𝑀𝑛(𝜉) = 𝑀𝑛1𝑁𝑑1(𝜉) + 𝑀𝑛2𝑁𝑑2(𝜉) + 𝑀𝑛3𝑁𝑑3(𝜉) (4.33)
Onde as funções 𝑁 são os polinômios interpoladores, conhecidos como funções de forma. 𝑁𝑐1(𝜉), 𝑁𝑐2(𝜉) e 𝑁𝑐3(𝜉) são as funções de forma contínuas, enquanto 𝑁𝑑1(𝜉), 𝑁𝑑2(𝜉) e 𝑁𝑑3(𝜉)
são as funções de forma descontínuas:
𝑁𝑐1(𝜉) = 1 2𝜉(𝜉 − 1) (4.34) 𝑁𝑐2(𝜉) = 1 − 𝜉2 (4.35) 𝑁𝑐3(𝜉) = 1 2𝜉(𝜉 + 1) (4.36) 𝑁𝑑1(𝜉) = 𝜉 (︂ 9 8𝜉 − 3 4 )︂ (4.37) 𝑁𝑑2(𝜉) = (︂ 1 + 3 2𝜉 )︂ (︂ 1 −3 2𝜉 )︂ (4.38) 𝑁𝑑3(𝜉) = 𝜉 (︂ 9 8𝜉 + 3 4 )︂ (4.39) Nas equações 4.23 e 4.25, uma vez que as variáveis do problema estejam escrivas con-forme as eqs. 4.28 a 4.33, estas podem sair das integrais, restando apenas as funções de forma.Assim as equações integrais são escritas como sistemas matriciais, onde nas matrizes ficam as integrais do produto das soluções fundamentais pelas funções de forma e nos veto-res ficam os valoveto-res nodais. Os valoveto-res nodais podem ser incógnitas ou dados do problema, dependendo do conjunto de condições de contorno (CDC) considerado.
𝑔11 = ∫︀+1 −1 𝑤 *(𝑥 𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑1(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; 𝑔21 = ∫︀+1 −1 𝜕𝑤* 𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑1(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.40) 𝑔12 = ∫︀+1 −1 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑1(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉; 𝑔22= ∫︀+1 −1 𝜕2𝑤* 𝜕𝑛𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑1(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.41) 𝑔13 = ∫︀+1 −1 𝑤 *(𝑥 𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑2(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; 𝑔23 = ∫︀+1 −1 𝜕𝑤* 𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑2(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.42) 𝑔14 = ∫︀+1 −1 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑2(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉; 𝑔24= ∫︀+1 −1 𝜕2𝑤* 𝜕𝑛𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑2(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.43)
𝑔15= ∫︀+1 −1 𝑤 *(𝑥 𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑3(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; 𝑔25= ∫︀+1 −1 𝜕𝑤* 𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑3(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.44) 𝑔16= ∫︀+1 −1 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑3(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉; 𝑔26= ∫︀+1 −1 𝜕2𝑤* 𝜕𝑛𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑3(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.45) ℎ11= ∫︀+1 −1 𝑉 * 𝑛(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑1(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; ℎ21= ∫︀+1 −1 𝜕𝑉* 𝑛 𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑1(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.46) ℎ12= ∫︀+1 −1 𝑀 * 𝑛(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑1(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; ℎ22= ∫︀+1 −1 𝜕𝑀* 𝑛 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑1(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.47) ℎ13= ∫︀+1 −1 𝑉 * 𝑛(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑2(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; ℎ23= ∫︀+1 −1 𝜕𝑉* 𝑛 𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑2(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.48) ℎ14= ∫︀+1 −1 𝑀 * 𝑛(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑2(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; ℎ24= ∫︀+1 −1 𝜕𝑀𝑛* 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑2(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.49) ℎ15= ∫︀+1 −1 𝑉 * 𝑛(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑3(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; ℎ25= ∫︀+1 −1 𝜕𝑉𝑛* 𝜕𝑛𝑖(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑3(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.50) ℎ16= ∫︀+1 −1 𝑀 * 𝑛(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑3(𝜉)𝑑Γ𝑑𝜉𝑑𝜉; ℎ26= ∫︀+1 −1 𝜕𝑀𝑛* 𝜕𝑛𝑖 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑥,𝑦)𝑁𝑑3(𝜉) 𝑑Γ 𝑑𝜉𝑑𝜉 (4.51)
Os valores obtidos conforme as equações (4.40) a (4.51) são os elementos das matrizes H e G. Esses são conhecidos como funções de influência, e não dependem das condições de contorno do problema, apenas de sua geometria. Cada uma dessas integrais é avaliada nume-ricamente utilizando a quadratura de Gauss. Para tanto é necessário reescrever as variáveis da integral na variável adimensional 𝜉 que varia de -1 a +1 segundo os pontos de Gauss. Esse pro-cedimento requer a utilização do jacobiano, 𝑑Γ𝑑𝜉 , que faz a correção de escala do intervalo de -1 a +1 para os limites de integração no elemento de contorno em questão.
Assim a montagem do sistema matricial fica:
[︃ 𝐻1 𝑅1 𝐻2 𝑅2 ]︃ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑛 𝑤𝑐 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ = [︃ 𝐺1 𝐶1 𝐺2 𝐶2 ]︃ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑉𝑛 𝑀𝑛 𝑅𝑐 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ + {︃ 𝐵 𝐵𝑐 }︃ (4.52)
Esse sistema pode ser reescrito de uma maneira mais cocisa como:
𝐻𝑢 = 𝐺𝑞 + 𝑃 (4.53) Onde: 𝐻 = [︃ 𝐻1 𝑅1 𝐻2 𝑅2 ]︃ (4.54) e: 𝐺 = [︃ 𝐺1 𝐶1 𝐺2 𝐶2 ]︃ (4.55) H1, H2, G1, G2, R1, R2, C1 e C2 são submatrizes cujos elementos são funções de
in-38
fluência, Eqs. (4.40) a (4.51).
As funções que aparecem com asterisco (*) são os núcleos (ou kernels) das equações integrais. Essas funções são obtidas a partir de:
𝑀𝑛* = 𝑛2𝑥𝑀𝑥*+ 2𝑛𝑥𝑛𝑦𝑀𝑥𝑦* + 𝑛 2 𝑦𝑀 2 𝑦 (4.56) 𝑉𝑛* = 𝑄*𝑛+ 𝜕𝑀 * 𝑛𝑠 𝜕𝑠 (4.57) 𝑅*𝑐𝑗 = 𝑀𝑛𝑠*+𝑗 − 𝑀𝑛𝑠*−𝑗 (4.58) Onde: 𝑀𝑛𝑠* = 𝑛𝑥𝑛𝑦(︀𝑀𝑦*− 𝑀 * 𝑥)︀ + (︀𝑛 2 𝑥− 𝑛 2 𝑦)︀ 𝑀 * 𝑥𝑦 (4.59) 𝑄*𝑛= 𝑛𝑥𝑄*𝑥+ 𝑛𝑦𝑄*𝑦 (4.60)
As funções 𝑀𝑥* , 𝑀𝑥𝑦* , 𝑀𝑦* , 𝑄*𝑥 e 𝑄*𝑦 devem ser obtidas a partir de derivações, Eqs. (3.13) e (3.15), da solução fundamental, que será apresentada na próxima seção. 𝑛𝑥e 𝑛𝑦 são os
cossenos diretores da transformação de coordenadas do sistema x-y para o sistema n-s conforme apresentado na Fig. 4.1. Os símbolos (-) e (+) como índices indicam o elemento imediatamente anterior e posterior ao canto j no percurso do contorno, seguindo uma rotação dada pela regra da mão direita aplicada em +z.
4.2 Solução Fundamental e Núcleos para Placas sob Flexão
Para a avaliação do problema de placas através do Método dos Elementos de Contorno é necessário o conhecimento de uma solução fundamental para a equação biharmônica. Uma possível solução fundamental para a Eq. (3.20) é:
𝑤* = 1 8𝜋𝐷𝑟
2ln 𝑟. (4.61)
Essa solução fundamental foi adotada por Stern, 1979 e Bézine, 1978. 𝑟 é a distância dada pela Eq. (4.27).
Na formulação também são necessários outros núcleos que são derivadas da solução fun-damental. Após aplicar as derivadas Eqs. (3.13) e (3.15) à solução fundamental Eq. (4.61), substituir os resultados nas Eqs. (4.56) a (4.58) e agrupar os termos correspondentes, obtêm-se os núcleos de contorno de forma explícita:
𝜕𝑤* 𝜕𝑛 =
1
𝜕𝑤* 𝜕𝑛𝑖 = − 1 8𝜋𝐷(2 𝑟 ln 𝑟 + 𝑟) (∇𝑟 · 𝑛𝑖) , (4.63) 𝜕2𝑤* 𝜕𝑛 𝜕𝑛𝑖 = − 1 8𝜋𝐷[(2 ln 𝑟 + 1) (𝑛 · 𝑛𝑖) + 2 (∇𝑟 · 𝑛) (∇𝑟 · 𝑛𝑖)] , (4.64) 𝑀 𝑛* = −(1 + 𝜈) 4𝜋 (1 + ln 𝑟) − (1 − 𝜈) 8𝜋 (2 (∇𝑟 · 𝑛) − 1) , (4.65) 𝜕𝑀 𝑛* 𝜕𝑛𝑖 = 1 4𝜋𝑟 {(1 + 𝜈) (∇𝑟 · 𝑛𝑖) −2 (1 − 𝜈)[︀(∇𝑟 · 𝑛)2 (∇𝑟 · 𝑛𝑖) − (∇𝑟 · 𝑛) (𝑛 · 𝑛𝑖)]︀}︀ , (4.66) 𝑉 𝑛* = −(∇𝑟 · 𝑛) 4𝜋𝑟 [︀2 + (1 − 𝜈) (︀2 (∇𝑟 · 𝑛) 2− 1)︀]︀ , (4.67) 𝜕𝑉 𝑛* 𝜕𝑛𝑖 = −(∇𝑟 · 𝑛) (∇𝑟 · 𝑛𝑖) 4𝜋𝑟2 {︀[︀4 + 2 (1 − 𝜈) (︀2 (∇𝑟 · 𝑛)2− 1)︀]︀ + 4 (1 − 𝜈) (∇𝑟 · 𝑛)2}︀ + (𝑛 · 𝑛𝑖) 4𝜋𝑟2 {︀[︀2 + (1 − 𝜈) (︀2 (∇𝑟 · 𝑛) 2− 1)︀]︀ + 4 (1 − 𝜈) (∇𝑟 · 𝑛)2}︀ . (4.68)
Bem como os núcleos de canto:
𝑤𝑐𝑗* = 1 8𝜋𝐷𝑟 2 ln 𝑟, (4.69) 𝜕𝑤*𝑐𝑗 𝜕𝑛𝑖 = − 1 8𝜋𝐷(2 𝑟 ln 𝑟 + 𝑟) (∇𝑟 · 𝑛𝑖) , (4.70) 𝑅*𝑐𝑗 = −(1 − 𝜈) 4𝜋 [︀(︀∇𝑟 · 𝑛 + 𝑗 )︀ (︀∇𝑟 · 𝑠 + 𝑗 )︀ − (︀∇𝑟 · 𝑛 − 𝑗 )︀ (︀∇𝑟 · 𝑠 − 𝑗 )︀]︀ , (4.71) 𝜕𝑅*𝑐𝑗 𝜕𝑛𝑖 = −(1 − 𝜈) 4𝜋𝑟 ⟨︀{︀(︀∇𝑟 · 𝑠+ 𝑗 )︀ [︀(︀∇𝑟 · 𝑛 + 𝑗 )︀ (∇𝑟 · 𝑛𝑖) −(︀𝑛𝑖 · 𝑛+𝑗 )︀]︀ + (︀∇𝑟 · 𝑛+ 𝑗 )︀ [︀(︀∇𝑟 · 𝑠 + 𝑗 )︀ (∇𝑟 · 𝑛𝑖) −(︀𝑛𝑖 · 𝑠+𝑗 )︀]︀}︀ −{︀(︀∇𝑟 · 𝑠− 𝑗 )︀ [︀(︀∇𝑟 · 𝑛 − 𝑗 )︀ (∇𝑟 · 𝑛𝑖) −(︀𝑛𝑖 · 𝑛−𝑗 )︀]︀ + (︀∇𝑟 · 𝑛− 𝑗 )︀ [︀(︀∇𝑟 · 𝑠 − 𝑗 )︀ (∇𝑟 · 𝑛𝑖) −(︀𝑛𝑖· 𝑠 − 𝑗 )︀]︀}︀⟩︀ . (4.72)
40
O núcleo Eq. (4.68) apresenta singularidade do tipo 𝑟12 , ou seja, é hipersingular. Os
nú-cleos Eqs. (4.66) e (4.72) apresentam singularidade forte, 1𝑟 . Os demais núcleos apresentam singularidade fraca, ln r, ou são regulares. As Eqs. (4.68), (4.66) e (4.72) foram derivadas de forma independente nesse trabalho, pois esses núcleos não são facilmente encontrados na lite-ratura.
4.3 Formulação de Placas Estiradas
Para obter a formulação integral para elementos de contorno para placas estiradas parti-mos da Eq. (3.28) na forma completa, contendo 𝑁𝑥, 𝑁𝑦e 𝑁𝑥𝑦, pela generalidade da formulação.
Essa equação pode ser reescrita numa forma mais conveniente como:
𝐷∇4𝑤 − 𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 − 2𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝑁𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 = 𝑏(𝑥,𝑦), (4.73)
onde para o caso da placa unidirecionalmente estirada:
𝑁𝑥 = 4𝐷𝜅2, 𝑁𝑥𝑦 = 0, 𝑁𝑦 = 0. (4.74)
Ponderando o resíduo da Eq. (4.73) temos:
x 𝑅 [︂ 𝐷∇4𝑤 − 𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 − 2𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝑁𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 − 𝑏(𝑥,𝑦) ]︂ 𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0. (4.75)
Da teoria de placas isotrópicas:
x 𝑅 [𝐷∇4𝑤]𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∮︁ Γ 𝑀𝑛 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 𝑑Γ − ∮︁ Γ (︂ 𝑄𝑛+ 𝜕𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑠 )︂ 𝑤*𝑑Γ − ∮︁ Γ 𝑀𝑛*𝜕𝑤 𝜕𝑛𝑑Γ + ∮︁ Γ (︂ 𝑄*𝑛+ 𝜕𝑀 * 𝑛𝑠 𝜕𝑠 )︂ 𝑤𝑑Γ + x 𝑅 𝐷∇4𝑤*𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑛𝑐𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 ∑︁ 𝑗=1 (𝑀𝑛𝑠𝑤*)|21− 𝑛𝑐𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 ∑︁ 𝑗=1 (𝑀𝑛𝑠* 𝑤)|21. (4.76) Do Teorema de Green temos:
x 𝑅 𝜕 𝜕𝑥(𝑤)𝑤 *𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∮︁ Γ 𝑤𝑤*𝑑𝑦 −x 𝑅 𝑤 𝜕 𝜕𝑥(𝑤 *)𝑑𝑥𝑑𝑦, (4.77) x 𝑅 𝜕 𝜕𝑦(𝑤)𝑤 * 𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∮︁ Γ 𝑤𝑤*𝑑𝑥 −x 𝑅 𝑤 𝜕 𝜕𝑦(𝑤 * )𝑑𝑥𝑑𝑦. (4.78)
x 𝑅 −𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2𝑤 * 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⏟ ⏞ T. Green = − ∮︁ Γ 𝑁𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑤 * 𝑑𝑦 ⏟ ⏞ I + x 𝑅 𝑁𝑥 𝜕(𝑤) 𝜕𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⏟ ⏞ II (4.79)
Aplicando T. Green novamente em II:
x 𝑅 −𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2𝑤 *𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∮︁ Γ 𝑁𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑤 *𝑑𝑦 + ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑤 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 𝑑𝑦 − x 𝑅 𝑁𝑥𝑤 𝜕2𝑤* 𝜕𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦 (4.80)
Fazendo o mesmo procedimento para o termo contendo 𝑁𝑥𝑦 da Eq. (4.75):
x 𝑅 −𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⏟ ⏞ T. Green = − ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑦 ⏟ ⏞ I +x 𝑅 𝑁𝑥𝑦 𝜕(𝑤) 𝜕𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⏟ ⏞ II (4.81)
De maneira análoga, aplicando T. Green novamente em II:
x 𝑅 −𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑦 − ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦𝑤 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 𝑑𝑦 − x 𝑅 𝑁𝑥𝑦𝑤 𝜕2𝑤* 𝜕𝑦𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 (4.82) Esse mesmo termo contendo 𝑁𝑥𝑦 da Eq. (4.75), só que expandido ’na direção de y’, fica:
x 𝑅 −𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⏟ ⏞ T. Green = + ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑤 * 𝑑𝑥 ⏟ ⏞ I +x 𝑅 𝑁𝑥𝑦 𝜕(𝑤) 𝜕𝑥 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⏟ ⏞ II (4.83)
De maneira análoga, aplicando T. Green novamente em II:
x 𝑅 −𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑥𝑑𝑦 = + ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑤 * 𝑑𝑥 + ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦𝑤 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 𝑑𝑥 − x 𝑅 𝑁𝑥𝑦𝑤 𝜕2𝑤* 𝜕𝑥𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 (4.84) Finalmente, fazendo o mesmo procedimento para o termo contendo 𝑁𝑦 da Eq. (4.75):
x 𝑅 −𝑁𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2𝑤 * 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⏟ ⏞ T. Green = + ∮︁ Γ 𝑁𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑥 ⏟ ⏞ I + x 𝑅 𝑁𝑦 𝜕(𝑤) 𝜕𝑦 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ⏟ ⏞ II (4.85)
42 x 𝑅 −𝑁𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2𝑤 * 𝑑𝑥𝑑𝑦 = + ∮︁ Γ 𝑁𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑥 − ∮︁ Γ 𝑁𝑦𝑤 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 𝑑𝑥 − x 𝑅 𝑁𝑦𝑤 𝜕2𝑤* 𝜕𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 (4.86)
Agora somando as equações referentes a 𝑁𝑥, 𝑁𝑥𝑦, ’𝑁𝑦𝑥’ e 𝑁𝑦, Eqs. (4.80), (4.82), (4.84)
e (4.86), respectivamente, temos: x 𝑅 (︂ −𝑁𝑥 𝜕2𝑤 𝜕𝑥 − 2𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝑁𝑦 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 )︂ 𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∮︁ Γ 𝑁𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑤 * 𝑑𝑦 − ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑦 + ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑥𝑤 * 𝑑𝑥 + ∮︁ Γ 𝑁𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑦𝑤 * 𝑑𝑥 + ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑤 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 𝑑𝑦 + ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦𝑤 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 𝑑𝑦 − ∮︁ Γ 𝑁𝑥𝑦𝑤 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 𝑑𝑥 − ∮︁ Γ 𝑁𝑦𝑤 𝜕𝑤* 𝜕𝑦 𝑑𝑥 +x 𝑅 (︂ −𝑁𝑥 𝜕2𝑤* 𝜕𝑥2 − 2𝑁𝑥𝑦 𝜕2𝑤* 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝑁𝑦 𝜕2𝑤* 𝜕𝑦2 )︂ 𝑤𝑑𝑥𝑑𝑦. (4.87) Sabemos que: 𝜕 𝜕𝑥 = 𝑛𝑥 𝜕 𝜕𝑛 − 𝑛𝑦 𝜕 𝜕𝑠, 𝜕 𝜕𝑦 = 𝑛𝑦 𝜕 𝜕𝑛 + 𝑛𝑥 𝜕 𝜕𝑠. (4.88)
Então a 2ª e 3ª linhas da Eq. (4.87) reorganizadas, ficam:
∮︁ Γ (︀−𝑁𝑥𝑛2𝑥− 𝑁𝑦𝑛2𝑦− 2𝑁𝑥𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 )︀ 𝜕 𝑤 𝜕𝑛𝑤 * 𝑑Γ + ∮︁ Γ (︀𝑁𝑥𝑛𝑥𝑛𝑦 − 𝑁𝑥𝑦𝑛2𝑥+ 𝑁𝑥𝑦𝑛2𝑦− 𝑁𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 )︀ 𝜕 𝑤 𝜕𝑠𝑤 * 𝑑Γ ∮︁ Γ (︀𝑁𝑥𝑛2𝑥+ 𝑁𝑦𝑛2𝑦+ 2𝑁𝑥𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 )︀ 𝜕 𝑤 * 𝜕𝑛 𝑤𝑑Γ + ∮︁ Γ (︀−𝑁𝑥𝑛𝑥𝑛𝑦+ 𝑁𝑥𝑦𝑛2𝑥− 𝑁𝑥𝑦𝑛2𝑦+ 𝑁𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 )︀ 𝜕 𝑤 * 𝜕𝑠 𝑤𝑑Γ (4.89)
𝑐𝑖𝑤(𝑥) + ∮︁ Γ 𝑉𝑛*𝑤𝑑Γ − ∮︁ Γ 𝑀𝑛*𝜕𝑤 𝜕𝑛𝑑Γ + 𝑁 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 ∑︁ 𝑗=1 𝑅*𝑐𝑤𝑐𝑗 = ∮︁ Γ 𝑉𝑛𝑤*𝑑Γ − ∮︁ Γ 𝑀𝑛 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 𝑑Γ + 𝑁 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 ∑︁ 𝑗=1 𝑅𝑐𝑤𝑐𝑗* + x 𝑅 𝑏(𝑥,𝑦)𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦, (4.90) onde agora: 𝑉𝑛* = 𝑄*𝑛+ 𝜕𝑀 * 𝑛𝑠 𝜕𝑠 + 𝑁𝑛 𝜕𝑤* 𝜕𝑛 + 𝑁𝑛𝑠 𝜕𝑤* 𝜕𝑠 , (4.91) e: 𝑉𝑛= 𝑄𝑛+ 𝜕𝑀𝑛𝑠 𝜕𝑠 + 𝑁𝑛 𝜕𝑤 𝜕𝑛 + 𝑁𝑛𝑠 𝜕𝑤 𝜕𝑠. (4.92)
Ou seja, os esforços cortantes são acrescidos do produto do estiramento pelo ângulo.
4.4 Solução Fundamental e Núcleos para Placas Estiradas
4.4.1 w*
Dundurs e Jahanshahi, 1965 trabalharam para construir uma solução singular de força concentrada para o problema de placa unidirecionalmente estirada. Para tanto, obtiveram um conjunto de soluções em coordenadas polares:
𝑤 = sinh(𝜅𝑥) I𝑛(𝜅𝑟) sin(𝑛𝜃), 𝑤 = sinh(𝜅𝑥) K𝑛(𝜅𝑟) sin(𝑛𝜃), 𝑤 = cosh(𝜅𝑥) I𝑛(𝜅𝑟) cos(𝑛𝜃), 𝑤 = cosh(𝜅𝑥) K𝑛(𝜅𝑟) cos(𝑛𝜃), (4.93) e: 𝑤 = sinh(𝜅𝑥) I0(𝜅𝑟) 𝜃, 𝑤 = sinh(𝜅𝑥) K0(𝜅𝑟) 𝜃, 𝑤 = cosh(𝜅𝑥) I0(𝜅𝑟) 𝜃, 𝑤 = cosh(𝜅𝑥) K0(𝜅𝑟) 𝜃. (4.94)
Observando as Eqs. (4.93) percebe-se que nenhuma é candidata a representar uma força pontual, no entanto a parte sinh(𝜅𝑥)K0(𝜅𝑟) se comporta como (𝑟 log 𝑟)cos 𝜃 para 𝜅 𝑟 pequeno, o
44
que representa um momento concentrado quando 𝑤 é derivado 3 vezes na tentativa da obtenção do carregamento transversal 𝑄. Como se sabe que um momento concentrado pode ser obtido derivação de uma força concentrada, espera-se que a solução fundamental tenha a forma de uma função integral. Após alguns desenvolvimentos que podem ser vistos em detalhes em Dundurs e Jahanshahi, 1965, é proposta a seguinte função:
𝑤* = − 1 4𝜋𝐷𝜅 ∫︁ 𝑥 0 sinh(𝜅𝜌) K0 (︁ 𝜅√︀𝜌2 + 𝑦2)︁𝑑𝜌 − 1 4𝜋𝐷 ∫︁ 𝑦 0 ∫︁ 𝑡 0 K0(𝜅𝜌)𝑑𝜌 𝑑𝑡. (4.95)
Abaixo é apresentada uma verificação de que a função proposta é de fato uma solução para a equação diferencial da placa estirada. Para que a função seja uma solução fundamental, quando substituída na Eq. (3.30), deve comportar-se como uma função delta de Dirac:
𝐷∇4𝑤*− 𝑁𝑥
𝜕2𝑤*
𝜕𝑥2 = 𝛿(𝑥 − 𝑥𝑖)𝛿(𝑦 − 𝑦𝑖) (4.96)
Primeiramente, para 𝑟 ̸= 0, pode-se mostrar que derivando-se quatro vezes 𝑤 e somando-se os termos o resultado é zero conforme o esperado.
Então considera-se 𝑟 → 0, conforme o desenvolvimento abaixo: ∫︁ Ω𝜀 (︂ 𝐷∇4𝑤*− 4𝐷𝜅2𝜕2𝑤 * 𝜕𝑥2 )︂ 𝑑Ω𝜀 = 𝐷 ∫︁ Ω𝜀 ∇ · ∇(∇2𝑤* )𝑑Ω𝜀 ⏟ ⏞ I − 4𝐷𝜅2 ∫︁ Ω𝜀 𝜕2𝑤* 𝜕𝑥2 𝑑Ω𝜀 ⏟ ⏞ II (4.97)
A parte II desaparece, e usando o Teorema da Divergência na parte I:
𝐷 ∫︁ Ω𝜀 ∇ · ∇(∇2𝑤* )𝑑Ω𝜀 = 𝐷 ∫︁ Γ𝜀 ∇(∇2𝑤* ) · 𝑛 𝑑Γ𝜀 = 𝐷 ∫︁ Γ𝜀 𝜕 𝜕𝑛(∇ 2𝑤* )𝑑Γ𝜀 = 𝐷 ∫︁ Γ𝜀 𝜕 𝜕𝑟 (︂ 𝜕𝑤* 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑤* 𝜕𝑦2 )︂ 𝑑Γ𝜀 = − 𝐷 4𝜋𝐷 ∫︁ Γ𝜀 𝜕 𝜕𝑟 (2 cosh[𝜅(𝑥 − 𝑥𝑖)]K0(𝜅𝑟)) 𝑑Γ𝜀= − 1 4𝜋 ∫︁ Γ𝜀 𝜕 𝜕𝑟(2 cosh[𝜅𝑟 cos𝜃]K0(𝜅𝑟))𝑑Γ𝜀= − 2 4𝜋 ∫︁ Γ𝜀
[𝜅K0(𝜅𝑟) cos𝜃 sinh(𝜅𝑟 cos𝜃) − 𝜅K1(𝜅𝑟)cosh(𝜅𝑟 cos𝜃)] 𝑑Γ𝜀 ≈ lim 𝜀→0 {︂ 4𝜋𝜀 4𝜋𝜀 }︂ = 1 (4.98) Verifica-se, portanto, que o valor da integral é 1, concordando com a definição do Delta de Dirac.
Uma vez confirmada que a função proposta é solução fundamental do problema procede-se a derivação dos núcleos integrais do problema. Na procede-sequência são apreprocede-sentados os núcleos 𝑀𝑛*e 𝑉𝑛* a título de exemplo.
4.4.2 𝑀𝑛*
𝑀𝑛* = 𝑛2𝑥𝑀𝑥𝑥* + 2𝑛𝑥𝑛𝑦𝑀𝑥𝑦* + 𝑛2𝑦𝑀𝑦𝑦* . Usando as conhecidas equações 𝑀𝑥𝑥* , 𝑀𝑥𝑦* , e 𝑀𝑦𝑦*
para placas isotrópicas em termos das derivadas de segunda ordem de 𝑤* Dym e Shames, 2013 obtemos: 𝑀𝑛* = 1 + 𝜈 4𝜋 cosh[𝜅(𝑥 − 𝑥 𝑖 )]K0(𝜅𝑟) −1 − 𝜈 4𝜋 [𝑟,𝑥𝑛 2 𝑥+ 2𝑟,𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 − 𝑟,𝑥𝑛2𝑦] sinh[𝜅(𝑥 − 𝑥 𝑖 )]K1(𝜅𝑟). (4.99)
Com 𝑟,𝑥 = (𝑥 − 𝑥𝑖)/𝑟 and 𝑟,𝑦 = (𝑦 − 𝑦𝑖)/𝑟. Para uma implementação MEC precisamos de
uma análise assintótica da singularidade de 𝑀𝑛*. Usando uma expansão assintótica para 𝑟 ∼ 0 encontramos cosh[𝜅(𝑥 − 𝑥𝑖)]K0(𝜅𝑟) ∼ (−𝛾 − ln 𝑟 − ln( 𝜅 2)) + 𝑂(𝑟 2), (4.100) sinh[𝜅𝑟 cos 𝜃]K1(𝜅𝑟) ∼ 𝑟,𝑥+ 𝑂(𝑟2). (4.101)
Com 𝛾 denotando a constante gamma de Euler e cos 𝜃 = 𝑟,𝑥. Vemos que a Eq (4.100) apresenta
uma singularidade logarítimica próximo a 𝑟 ∼ 0. Então, separamos 𝑀𝑛* em uma parte regular (R) e outra singular (S) como 𝑀𝑛* = 𝑀𝑛*𝑅+ 𝑀𝑛*𝑆 com
𝑀𝑛*𝑅 = 1 + 𝜈 4𝜋 [cosh[𝜅(𝑥 − 𝑥 𝑖)]K 0(𝜅𝑟) + ln 𝑟] −1 − 𝜈 4𝜋 [𝑟,𝑥𝑛 2 𝑥+ 2𝑟,𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦− 𝑟,𝑥𝑛2𝑦] sinh[𝜅(𝑥 − 𝑥𝑖)]K1(𝜅𝑟), (4.102) 𝑀𝑛*𝑆 = −1 + 𝜈 4𝜋 ln 𝑟. (4.103)
É notável que 𝑀𝑛*𝑆 tem exatamente o mesmo termo de singularidade que o opoerador biharmô-nico em placas simples.
4.4.3 𝑉𝑛*
A força cortante aumentada efetiva 𝑉𝑛* = 𝑄*𝑛+ 𝜕𝑀𝑛𝑠* /𝜕𝑠 + 𝑁𝑛𝜕𝑤*/𝜕𝑛 + 𝑁𝑛𝑠𝜕𝑤*/𝜕𝑠
pode ser expressa para uma placa retangular, isotrópica e unidirecionalmente estirada como
𝑉𝑛* = 𝑣1 𝜕3𝑤* 𝜕𝑥3 + 𝑣2 𝜕3𝑤* 𝜕𝑥2𝜕𝑦 + 𝑣3 𝜕3𝑤* 𝜕𝑥𝜕𝑦2 + 𝑣4 𝜕3𝑤* 𝜕𝑦3 + 𝑣5 𝜕𝑤* 𝜕𝑥 . (4.104)
A Eq. (4.104) foi derivada usando as seguintes restrições: 𝑁𝑛𝑠 = 0, 𝑁𝑛 = 𝑛2𝑥𝑁𝑥, 𝑛𝑥𝑛𝑦 = 0,
e o raio de curvatura da placa assumido 𝑅 → ∞. As constantes 𝑣1 = −𝐷𝑛𝑥[1 + 𝑛2𝑦(1 − 𝜈)],
𝑣2 = −𝐷𝑛𝑦[1 − 2𝑛2𝑥(1 − 𝜈) + 𝑛2𝑦(1 − 𝜈)], 𝑣3 = −𝐷𝑛𝑥[1 + 𝑛2𝑥(1 − 𝜈) − 2𝑛2𝑦(1 − 𝜈)], and 𝑣4 =
−𝐷𝑛𝑦[1 + 𝑛2𝑥(1 − 𝜈)] podem ser obtidas simplificando o caso anisotrópico. Adicionalmente,
46
Após uma longa derivação, 𝑉𝑛* pode ser finalmente expresso como
𝑉𝑛* = 𝑎1𝜅 cosh[𝜅(𝑥 − 𝑥𝑖)]K1(𝜅𝑟) + 𝑎2 1 𝑟sinh[𝜅(𝑥 − 𝑥 𝑖)]K 1(𝜅𝑟) +𝑎3𝜅 sinh[𝜅(𝑥 − 𝑥𝑖)]K0(𝜅𝑟). (4.105)
Com coeficientes 𝑎1, 𝑎2, e 𝑎3 dados por
𝑎1 = − 1 4𝜋 {︂ 2𝜕𝑟 𝜕𝑛[︀1 + (1 − 𝜈)𝑛 2 𝑦]︀ − (1 − 𝜈)𝑟,𝑦𝑛𝑦 }︂ , (4.106) 𝑎2 = − (1 − 𝜈) 4𝜋 {︃ 6𝑛2𝑥𝑛𝑦𝑟,𝑥𝑟,𝑦− 2𝑛3𝑦𝑟,𝑥𝑟,𝑦+ 𝑛3𝑥(︀𝑟 2 ,𝑥− 𝑟 2 ,𝑦 )︀ +3𝑛𝑥𝑛2𝑦(𝑟 2 ,𝑦− 𝑟 2 ,𝑥) }︃ , (4.107) 𝑎3 = − 1 4𝜋 {︃ 2𝑛𝑥(︀2𝑛2𝑥− 1)︀ + (1 − 𝜈) [︂ − 2𝑛𝑥𝑛2𝑦𝑟 2 ,𝑥− 𝑛𝑦(︀𝑛2𝑦− 3𝑛 2 𝑥)︀𝑟,𝑥𝑟,𝑦 −𝑛3 𝑥𝑟 2 ,𝑦+ 𝑛𝑥𝑛2𝑦𝑟 2 ,𝑦 ]︂}︃ . (4.108)
Uma análise assintótica da Eq. (4.105) para 𝑟 ∼ 0 resulta em 𝜅 cosh[𝜅(𝑥 − 𝑥𝑖)]K1(𝜅𝑟) ∼ 1 𝑟 + 𝑂(𝑟), (4.109) 1 𝑟sinh[𝜅(𝑥 − 𝑥 𝑖)]K 1(𝜅𝑟) ∼ 𝑟,𝑥 𝑟 + 𝑂(𝑟), (4.110) 𝜅 sinh[𝜅(𝑥 − 𝑥𝑖)]K0(𝜅𝑟) ∼ −𝜅2𝑟,𝑥𝑟 ln 𝑟 + 𝑂(𝑟). (4.111) Consequentemente, como 𝑟 ∼ 0 𝑉𝑛* ∼ − 1 4𝜋𝑟(𝑎1+ 𝑎2𝑟,𝑥) = − 1 4𝜋𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑛 {︃ 2 + (1 − 𝜈) [︃ 2(︂ 𝜕𝑟 𝜕𝑛 )︂2 − 1 ]︃}︃ . (4.112)
Esta é exatamente a expressão para 𝑉𝑛*para a placa simples sem curvatura. Sabe-se que 𝑉𝑛*tem uma forte singularidade de ordem 1/𝑟. Entretanto, para placas retangulares alinhadas com o sistema de referência (𝑥,𝑦), a Eq. (4.105) reduz-se a 𝑉𝑛* = 0 quando a fonte pertence ao mesmo elemento de contorno. Portanto, não é necessário dividir a solução em partes regular e singular.
5
RESULTADOS
Nesse capítulo são apresentados resultados, sua comparação e validação com soluções analíticas obtidas em Timoshenko e Woinowsky-Krieger, 1959 ou com soluções analíticas de vigas. São usadas abreviações para as condições de contorno em cada um dos lados da placa: A (simplesmente apoiado), E (engastado) e L (livre). As condições de contorno são dadas no sentido horário, começando pela origem.
5.1 Soluções Analíticas
5.1.1 Caso AAAA Simples
A seguir é apresentada a solução analítica do campo de deslocamentos de uma placa retan-gular simplesmente apoiada nos quatro bordos, sujeita a um carregamento de pressão constante 𝑏0: 𝑤 = 16 𝑏0 𝜋6𝐷 ∞ ∑︁ 𝑚=1,3,5... ∞ ∑︁ 𝑛=1,3,5... sin𝑚𝜋𝑥𝐿 𝑥 sin 𝑛𝜋𝑦 𝐿𝑦 𝑚𝑛(︁𝐿𝑚2 𝑥2 + 𝑛2 𝐿𝑦2 )︁2. (5.1)
5.1.2 Caso EALA Simples
Para uma placa de mesma geometria e carregamento, porém com um dos lados engastado e o lado oposto livre, mantendo-se os dois lados restantes apoiados, temos a seguinte solução analítica: 𝑤 = 𝑤1+ 𝑤2, (5.2) onde: 𝑤1 = 4 𝑏0𝐿𝑥4 𝜋5𝐷 ∞ ∑︁ 𝑚=1,3,5... 1 𝑚5 sin 𝑚𝜋𝑥 𝐿𝑥 , (5.3) 𝑤2 = ∞ ∑︁ 𝑚=1,3,5... 𝑌𝑚 sin 𝑚𝜋𝑥 𝐿𝑥 , (5.4)
