Fórmulas explícitas em teoria analítica de números

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(1)Fórmulas explícitas em teoria analítica de números Danilo Elias Castro. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Ciências. Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. Paulo Agozzini Martin São Paulo, novembro de 2012.

(2) Fórmulas explícitas em teoria analítica de números. Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 10/10/2012. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.. Comissão Julgadora: • Prof. Dr. Paulo Agozzini Martin - IME-USP • Prof. Dr. Severino Toscano do Rêgo Melo - IME-USP • Prof. Dr. Eduardo Tengan - ICMC-USP.

(3) Resumo Castro, D. E. Fórmulas Explícitas em Teoria Analítica de Números. 2012. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2012. Em Teoria Analítica de Números, a expressão "Fórmula Explícita" se refere a uma igualdade entre, por um lado, uma soma de alguma função aritmética feita sobre todos os primos e, por outro lado, uma soma envolvendo os zeros não triviais da função zeta de Riemann. Essa igualdade não é habitual em Teoria Analítica de Números, que trata principalmente de aproximações assintóticas de funções aritméticas e não de fórmulas exatas. A expressão se originou do trabalho seminal de Riemann, de 1859, onde aparece uma expressão exata para a função π(x), que conta o número de primos que não excedem x. A prova do Teorema dos Números Primos, de Hadamard, também se baseia numa fórmula explícita de ψ(x) (função de Tschebycheff). Mais recentemente, o trabalho de André Weil reforçou o interesse em compreender-se melhor a natureza de tais fórmulas. Neste trabalho, apresentaremos a fórmula explícita de Riemann-von Mangoldt, a de Delsarte e um caso particular da fórmula explícita de Weil. Palavras-chave: Teoria analítica dos números, Teorema dos números primos, Hipótese de Riemann, Fórmulas Explícitas, Função Zeta de Riemann.. 3.

(4) 4.

(5) Abstract Castro, D. E. Explicit Formula in Analytic Theory of Numbers. 2012. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2012. In the field of Analytic Theory of Numbers, the expression "Explicit Formula" refers to an equality between, on one hand, the sum of some arithmetic function over all primes and, on the other, a sum over the non-trivial zeros of Riemann´s zeta function. This equality is not common in the analytic theory of numbers, that deals mainly with asymptotic approximations of arithmetic functions, and not of exact formulas. The expression originated of Riemann´s seminal work, of 1859, in which we see an exact expression for the function π(x), that counts the number of primes that do not exceed x. The proof of the Prime Number Theorem, by Hadamard, is also based on an explicit formula of ψ(x) (Tschebycheff´s function). More recently, the work of André Weil increased the interest in better comprehending the nature of such formulas. In this work, we shall present the Riemann-von Mangoldt formula, Delsarte´s explicit formula, and one particular case of Weil´s explicit formula. Keywords: Analytic Theory of Numbers, Prime Number Theorem, Riemann´s hypothesis, Explicit Formula, Riemann´s Zeta Function.. 5.

(6) 6.

(7) Sumário Resumo. 3. Abstract. 5. Lista de Símbolos. 9. 1 Introdução. 11. 2 Funções Inteiras 2.1 Produtos Infinitos de Números . . . . . . . 2.2 Produtos de Funções . . . . . . . . . . . . 2.3 Fatoração de Weierstrass . . . . . . . . . . 2.4 Fórmula de Jensen . . . . . . . . . . . . . 2.5 Ordem de uma Função Inteira . . . . . . . 2.6 O Expoente de Convergência das Raízes de 2.7 Teorema de Fatoração de Hadamard . . .. . . . . . . . . . . . . . . . uma . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função Inteira . . . . . . . .. 3 A Função Zeta de Riemann 3.1 A Função Gamma . . . . . . . 3.2 A Fórmula Limite de Euler . . 3.3 A Função Zeta de Riemann . 3.4 A Função Theta de Jacobi . . 3.5 A Função Zeta Adélica . . . . 3.6 A Função ξ(s) . . . . . . . . . 3.7 O Teorema de Von Mangoldt. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 17 17 25 31 34 37 42 48 61 61 69 81 84 85 96 115. 4 Fórmulas Explícitas 135 4.1 O Trabalho de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.1.1 A Função Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.

(8) SUMÁRIO. 4.2. 4.3. 4.4. 4.1.2 A Equação Funcional - 1a Prova . . . . 4.1.3 Segunda Prova da Equação Funcional . 4.1.4 A Hipótese de Riemann . . . . . . . . 4.1.5 A Fórmula Explícita de Riemann . . . O Trabalho de Von Mangoldt . . . . . . . . . 4.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Estimativa da Integral sobre γ . . . . . 4.2.3 A Fórmula Explícita de Von Mangoldt 4.2.4 A Função ψ1 (x). . . . . . . . . . . . . A Fórmula Explícita de Delsarte . . . . . . . . 4.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Cálculo da Integral . . . . . . . . . . . 4.3.3 Fórmula Explícita de Delsarte . . . . . A Fórmula de Weil . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 A Fórmula Explícita de Weil . . . . . . 4.4.2 Alguns Resultados Importantes . . . . 4.4.3 Prova do Teorema . . . . . . . . . . . 4.4.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . .. 5 Apêndice 5.1 Fórmulas de Euler . . 5.2 Fórmula de Stirling . . 5.3 Séries de Dirichlet . . . 5.4 Fórmula de Inversão de. . . . . . . . . . . . . . . . Fourier. 8. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 149 150 152 158 158 163 172 174 182 182 185 190 191 191 195 210 222. . . . .. 225 . 225 . 231 . 235 . 248.

(9) Lista de Símbolos R+ C log N Ω Co f |K H (Ω) |f (x)|K Ek (z). Conjunto do números reais não negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Conjunto dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 É definido de modo a coincidir com o logaritmo usual em R+ . . . . . .21 Conjunto dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Subconjunto aberto dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Classe das funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Função f restrita ao conjunto K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Classe das funções holomorfas em Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Denota o supremo do conjunto {|f (x)| : x ∈ K} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( 1 − z, se k = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 z2 z3 zk (1 − z) · ez+ 2 + 3 +···+ k , se k ≥ 1.. <(s) O(g(z)) C1 =(s). Denota a parte real do número complexo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Classe de funções f (z) tais que |f (z)| ≤ K · |g(z)|, para |z| > R . . 101 Classe das funções com primeira derivada contínua . . . . . . . . . . . . . . . 115 Denota a parte imaginária do número complexo s . . . . . . . . . . . . . . . . 122. o(g(x)). Classe de funções f (x) tais que limx→∞. 9. f (x) g(x). = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.

(10) SUMÁRIO. 10.

(11) Capítulo 1 Introdução Ce sujet se prête à un grand nombre d’exercices, et les "formules explicites"de la théorie classique des nombres premiers en fournissent un qui est assez simple (si on en laisse de côté les subtilités)... André Weil1. Denomina-se número primo p um número inteiro divisível apenas por ± 1 e ± p. A tabela abaixo mostra os cem primeiros números primos. Primos 2 3 5 7 11 13 17 31 37 41 43 47 53 59 73 79 83 89 97 101 103 127 131 137 139 149 151 157 179 181 191 193 197 199 211 233 239 241 251 257 263 269 283 293 307 311 313 317 331 353 359 367 373 379 383 389 419 421 431 433 439 443 449 467 479 487 491 499 503 509 1. 19 23 29 61 67 71 107 109 113 163 167 173 223 227 229 271 277 281 337 347 349 397 401 409 457 461 463 521 523 541. A. Weil, "Sur les formules explicites de la théorie des nombres premiers", OEUVRES SCIENTIFIQUES, Collected Papers, vol. II, Springer-Verlag, 2009, pp. 526-571. 11.

(12) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Desde os "Elementos" de Euclides (300 a.c.), sabemos que todo número inteiro n pode ser decomposto de maneira única em fatores primos, p1 < p2 < · · · < pk , de modo que: n = ± pα1 1 · pα2 2 · · · pαk k . Euclides também prova que os primos são infinitos, fato não óbvio se levarmos em consideração que a densidade dos números primos diminui com o crescimento dos inteiros, como podemos perceber pela tabela acima; em outras palavras, os números primos vão ficando cada vez mais raros. Em 1737, Euler propôs outro método para mostrar a proposição de Euclides. Essa análise parte da identidade −1 X 1 Y 1 = 1− x , (1.1) nx p p: primo n≥1 onde x > 1, para mostrar que: 1 1 1 “ + + + · · · = log log ∞”, 2 3 5 possivelmente se referindo ao comportamento assintótico da soma dos inversos dos primos. Com isso, além de inferir que os primos são infinitos, Euler também mostrou que os primos são mais densos que os quadrados, pois sabemos que: X 1 1 1 1 = 1+ + + + · · · < ∞. 2 n 4 9 16 n≥1 Desde então, a distribuição dos números primos foi alvo de intensa investigação, pois, apesar de revelar grande irregularidade local, apresenta um bom comportamento global. Em 1808, Legendre propôs que π(x) vale aproximadamente o mesmo que: x , log x − B. (1.2). onde B = 1, 08366 é uma constante sugerida e π(x) a função que conta o número de primos que não excedem x. 12.

(13) Antes, por volta de 1790, Gauss relatou que a integral logarítmica Z x dt li(x) = 2 log t é uma boa aproximação para a função π(x). Para tanto, Gauss observou, tabelando primos, que a densidade dos números primos era da ordem de 1/ log x. Em outras palavras, π(x) · log(x) = 1 x→∞ x lim. ou. π(x) = 1. x→∞ li(x) lim. Essas afirmações equivalentes são conhecidas hoje como Teorema dos Números Primos e ficaram cerca de cem anos sob investigação. Vale comentar que se a afirmação de Euler for verdadeira, então será verdade que: Z x X1 dt ∼ log log (x) ∼ p e t · log (t) p<x Note que: X1 p<x. p. Z. x. ∼. f (t)dt, e. onde: f (t) =. 1/p, caso t ∈ [p − 1, p]; 0, c.c.. Além disso, pode-se mostrar que: Z x Z x Z f (t)dt ∼ g(t)dt ⇒ 1. 1. x. 1. Z t · f (t)dt ∼. x. t · g(t)dt.. (1.3). 1. Reunindo as informações acima, mostramos que os “chutes” que apareceram sobre a distribuição da função π(x) podem ter sido originados da afirmação de Euler, pois Z x Z x dt π(x) ∼ t · f (t)dt ∼ . (1.4) e e log (t). 13.

(14) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Na tabela abaixo, apresentamos valores de π(x), valores de x.. log x x. e li(x) para diversos. Distribuição dos Primos x. π(x). li(x). x log x. 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000 10.000.000.000 100.000.000.000 1.000.000.000.000. 4 25 168 1.229 9.592 78.498 664.579 5.761.455 50.847.534 455.052.511 4.118.054.813 37.607.912.018. 6,16 30,12 177,60 1.246,13 9.629,80 78.627,54 664.918,4 5.762.209,37 50.849.234,95 455.055.614,58 4.118.066.400,62 37.607.950.280,80. 4,34 21,71 144,76 1.085,73 8.685,88 72.382,41 620.420,68 5.428.681,02 48.254.942,43 434.294.481,90 3.948.131.653,66 36.191.206.825,27. Além disso, podemos visualizar o comportamento das funções no gráfico abaixo.. Li(x) Π(x) x. 150. logHxL. 100. 50. 200. 400. 600. 800. 1000. x. Figura 1.1: Comparação entre as aproximações para π(x). 14.

(15) Em 1848, Chebyshev apresentou o primeiro resultado teórico sobre o crescimento da função π(x) em que introduziu a função ψ(x) dada por: X ψ(x) = log p, pm ≤x p: primo. e mostrou que o teorema dos números primos é equivalente a: ψ(x) = 1. x→∞ x lim. Por fim, Chebyshev provou que: (0, 921) · x ≤ ψ(x) ≤ (1, 105) · x, (0, 89) ·. x x ≤ π(x) ≤ (1, 105) · , log x log x. onde x > R, para um certo R suficientemente grande. Em 1859, apesar de não ter fornecido uma solução definitiva ao problema, os métodos apresentados por Riemann em seu influente artigo lançaram frutos para a teoria analítica dos números, análise complexa, teoria das funções etc. Riemann foi o primeiro a usar a fórmula produto de Euler 1.1 para um número complexo s. Utilizando a teoria das funções analíticas, Riemann encontrou uma continuação analítica para a série X 1 ns n≥1. (1.5). e chamou essa função de ζ(s). A fim de provar o teorema dos números primos, Riemann define a função J(x) por: J(x) =. X pm ≤x p: primo. 15. 1 m.

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO e exibe sua fórmula explícita para essa função:. J(x) = Li(x) − log 2 −. X. Li(x−2n ) −. X. Li(xρ ) + Li(x1−ρ ),. =ρ>0. n≥1. onde o lado esquerdo contempla uma soma sobre números primos, e o lado direito uma soma sobre as raízes da função ζ(s). Em seu artigo, Riemann não fornece mais do que sugestões para as provas de suas afirmações, e, só após 50 anos, von Mangoldt e Hadamard provaram boa parte de suas conjecturas. O teorema dos números primos foi provado pouco depois por Hadamard e de la Vallé Poussin. As técnicas utilizadas por Riemann abrem caminho para que outra fórmula explícita seja apresentada por Von Mangoldt, na qual utiliza a função ψ(x) como representante dos números primos. Mostraremos que: ψ(x) = −. X xρ 1 1 ζ 0 (0) + x − − · log (1 − 2 ), ζ(0) ρ 2 x ρ. onde, novamente, o lado direito contém as raízes da função Zeta e o lado esquerdo, uma soma sobre números primos. Repare que as fórmulas de Riemann e Von Mangoldt não apenas fornecem a ordem de crescimento das funções J(x) e ψ(x), mas incluem uma expressão exata envolvendo tais funções. As fórmulas explícitas abrem uma nova perspectiva para a compreensão dos números primos e estabelece outro enigma: A relação entre primos e raízes da função Zeta aparece na forma de Fórmula de Poisson. Este trabalho apresentará as fórmulas explícitas de Riemann, von Mangoldt, Delsarte e Weil, e tem como objetivo prover um material de estudo para aqueles que se interessarem pela teoria analítica dos números. Pressupõe-se que o leitor deste trabalho conheça teoria básica de funções analíticas, ministrada, por exemplo, no curso MAT225 do IME-USP.. 16.

(17) Capítulo 2 Funções Inteiras Este capítulo pretende expor as ferramentas básicas necessárias para o estudo das fórmulas explícitas. Nesse contexto, apresentaremos alguns tópicos da teoria das funções inteiras.. 2.1. Produtos Infinitos de Números. Q Sejam {an }n≥1 uma sequência de números complexos e {pn = ni=1 ai } a sequência dos produtos parciais o produto inQ∞ de fatores ai . Denotaremos Q finito dos fatores ai por i=1 ai , ou simplesmente ai . Q Q Definição 2.1.1. O produto infinito ai = ∞ i=1 ai é dito convergente se Qn am 6= 0 se n → ∞. Nesse caso, existir m ≥ 1 tal que pm,n = i=m ai → b Q . ai = a1 · a2 · · · am−1 · b am = p.. Lema 2.1.2. Seja. Q. ai um produto convergente. Então, se ν ≥ 1, definimos . Y Πν = aν+j j≥1. e valem: a) lim Πν = 1. ν→∞. b). Y. ai = a1 · a2 · · · aν · Πν ,. ∀ν ≥ 1. 17.

(18) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS. c) lim an = 1. n→∞. Demonstração. b) Podemos supor ai = 6 0, ∀i ≥ 1, pois, se algum ai for igual a zero, o produto se anulará. Definimos: . pνn = aν+1 · aν+2 · · · an Y p= ai .. e. Assim: pνn =. lim pn p pn −−−→ = a1 · a2 · · · aν n→∞ a1 · a2 · · · aν a1 · a2 · · · aν ∴ Πν =. a) Πν =. p . a1 · a2 · · · aν. p p = −−−→ 1. a1 · a2 · · · aν pν ν→∞. c) Q Πn−1 a1 · a2 · · · an ai a1 · a2 · · · an =Q · = −−−→ 1. an = a1 · a2 · · · an−1 Πn n→∞ ai a1 · a2 · · · an−1 . Consequências: 1. O valor do produto em 2.1.1 não depende da escolha de m. Q 2. Se o produto ai converge, então ai → 1.. Proposição 2.1.3 (Critério de Cauchy). O produto e somente se, para todo > 0, existir n0 tal que:. Q. ai é convergente se,. n > n0 e k ≥ 1 ⇒ |an+1 · an+2 · · · an+k − 1| < . 18.

(19) 2.1. PRODUTOS INFINITOS DE NÚMEROS Demonstração. Suponhamos ai 6= 0, para todo i ≥ 1. (⇒) pn = a1 · a1 · · · an → p 6= 0. Seja > 0. Então existe n0 tal que n > n0 e k ≥ 1 implica |pn+k − pn | < , pois pn é de Cauchy: |pn+k − pn | < ⇒ |pn {(an+1 · an+2 · · · an+k ) − 1}| < ⇒ |(an+1 · an+2 · · · an+k ) − 1| < Como p 6= 0, existe n0 tal que |pn | ≥. |p| 2. . |pn |. e, portanto,. |(an+1 · an+2 · · · an+k ) − 1| <. 2· . |p|. (⇐) Por hipótese, existem n1/2 e n tais que:   (I) n > n1/2 e k ≥ 1 ⇒ |an+1 · an+2 · · · an+k − 1| < 12 . . (II) n > n e k ≥ 1 ⇒ |an+1 · an+2 · · · an+k − 1| < . Então, de (I), concluímos que n > n1/2 e k ≥ 1 ⇒. 1 3 < |an+1 · an+2 · · · an+k | < . 2 2. Q O que mostra que se ai → p, então p 6= 0. Falta mostrar que o produto é convergente. Considere m = max(n1/2 + 1, n + 1). Portanto,   |an+1 · an+2 · · · an+k − 1| < e n>m e k≥1⇒  |pm,n | < 23 Assim, multiplicando a primeira inequação por |pm,n |, temos: 19.

(20) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS |pm,n | · |an+1 · an+2 · · · an+k − 1| < |pm,n | · 3 ⇒ |pm,n+k − pm,n | < · , 2. ∀k.. (2.1). Portanto, pm,n é sequência de Cauchy em n. n→∞. ∴ pm,n −−−→ p0 ⇒ pn → p. Para o caso de ai ser 0 para algum i, basta considerar o produto pk,n = ak+1 · ak+2 · · · an , onde k é um inteiro tal que ai = 6 0 para todo i ≥ k. . Q Conclui-se que, com a definição dada, se o produto ai é convergente, então a sequência ai → 1. Nesse caso, ui = (ai − 1) → 0 e, portanto, Y (ui + 1) < ∞ ⇒ ui → 0.. Lema 2.1.4. Se un ∈ R+ para todo n ≥ 1, então: Y X (ui + 1) < ∞ ⇔ ui < ∞. Demonstração. pn = (u1 + 1) · (u2 + 1) · · · (un + 1) sn = u1 + u2 + · · · + un Note que pn e sn são não decrescentes e, portanto, pn e sn são convergentes se, e somente se, pn e sn forem limitadas. Assim, basta mostrar que pn é limitada se, e somente se, sn é limitada. (⇒) pn ≥ 1 + sn para todo n ≥ 1, o que implica que sn é limitada. (⇐) É fácil ver que 1 + x ≤ ex , para todo x real. ⇒ 1 + ui ≤ eui ⇒ pn ≤ esn . ∴ pn é limitada.. . 20.

(21) 2.1. PRODUTOS INFINITOS DE NÚMEROS Definição 2.1.5 (Pringsheim).QSeja {un } uma sequência de números complexos. Q Dizemos que o produto (1 + ui ) converge absolutamente se o produto (1 + |ui |) for convergente. Q Note que, pelo lema anterior, (1 + ui ) converge absolutamente quando P |ui | converge. Lema 2.1.6. Para todo ui ∈ C, vale: |(1 + u1 ) · (1 + u2 ) · · · (1 + uk ) − 1| ≤ (1 + |u1 |) · (1 + |u2 |) · · · (1 + |uk |) − 1. Demonstração. É muito fácil verificar que vale para k = 1 e k = 2. Suponha que vale para k − 1. Seja Πk−1 = (1 + u1 ) · · · (1 + uk−1 ), Então: |(1 + u1 ) · · · (1 + uk−1 ) · (1 + uk ) − 1| = |Πk−1 · (1 + uk ) − 1| = |Πk−1 + Πk−1 · uk − 1| ≤ |Πk−1 − 1| + |Πk−1 | · |uk | = |(1 + u1 ) · · · (1 + uk−1 ) − 1| + |(1 + u1 ) · · · (1 + uk−1 )| · |uk | Que, por hipótese de indução, é menor ou igual a (1 + |u1 |) · · · (1 + |uk−1 |) − 1 + (1 + |u1 |) · · · (1 + |uk−1 |) · |uk | = (1 + |u1 |) · · · (1 + |uk−1 |) · (1 + |uk |) − 1. . Lema 2.1.7. Seja {un } uma sequência de números complexos. Então: Y X (1 + ui ) < ∞ ⇔ ∃ m ∈ N : log(1 + un ) < ∞, n>m. onde o logaritmo é o principal. Além disso, Y. (1 + un ) = eL ,. n>m. onde L =. P. n>m. log(1 + un ). 21.

(22) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Demonstração. (⇒) Observe que se |z| < 2 ≤ 21 , então | log(1 + z)| < . De fato, se tomarmos a expansão de Taylor do log em torno de z = 1, temos: | log(1 + z)| ≤ |z| + =. |z|2 |z|3 + + · · · ≤ |z| + |z|2 + |z|3 + · · · 2 3. |z| ≤ 2 · |z| ≤ . 1 − |z|. (2.2). Pelo critério de Cauchy, ∃ m ∈ N tal que, para todo k ≥ 1,

(23)

(24)

(25)

(26) m+k Y

(27)

(28) (1 + u ) − 1

(29) < .

(30) n

(31) 2

(32) n>m. Q Portanto, se z = m+k n>m (1 + un ) − 1, então

(33)

(34)

(35)

(36) m+k m+k

(37)

(38)

(39)

(40) Y Y

(41)

(42)

(43)

(44) (1 + un ) − 1)

(45) =

(46) log( (1 + un ))

(47) < .

(48) log(1 +

(49)

(50)

(51)

(52) n>m n>m Falta mostrar que log(. m+k Y. (1 + un )) =. n>m. m+k X. log(1 + un ).. n>m. Q Assim, seja α = arg{ m+k n>m (1 + un )}. Temos, para suficientemente pequeno,

(53)

(54)

(55) m+k

(56) Y

(57)

(58) (1 + un ) − 1

(59) < ⇒ | sin α| < ⇒ |α| ≤ .

(60)

(61)

(62) 2 2 n>m. Portanto, para todo k ≥ 1,

(63)

(64)

(65) m+k

(66) m+k

(67)

(68)

(69) X

(70) Y

(71)

(72)

(73)

(74) log( (1 + u )) = log (1 + u )

(75)

(76) n

(77) n

(78) <

(79)

(80)

(81)

(82) n>m. n>m. ⇒. X. log (1 + un ) < ∞.. n>m . 22.

(83) 2.1. PRODUTOS INFINITOS DE NÚMEROS (⇐) Suponha que ∃ m1 ∈ N : |. Pm1 +k. n>m1. log(1 + un )| < 2 , onde k ≥ 1.. Note que, como un → 0, ∃ m2 ∈ N : |un | < 12 , para todo n > m2 . Se m = max{m1 , m2 }, então

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89) Pm+k

(90)

(91)

(92) m+k

(93) m+k Y Y

(94)

(95) n>m log(1+un )|

(96)

(97)

(98)

(99) log(1+un ) e − 1 = e − 1 (1 + u ) − 1 =

(100)

(101)

(102) .

(103)

(104)

(105) n

(106)

(107)

(108) n>m

(109) n>m Analogamente ao que foi feito acima, tomamos a expansão de Taylor da função exponencial em torno de z = 0. Se |w| < 1/2, então:

(110)

(111)

(112)

(113) |ew − 1| =

(114) 1 + w + w2 + · · · − 1

(115) =

(116) w + w2 + · · ·

(117) ≤. |w| ≤ 2 · |w|. 1 − |w|. (2.3). Portanto,

(118) m+k

(119)

(120) Pm+k

(121)

(122) X

(123)

(124) n>m log(1+un )|

(125)

(126)

(127) − 1

(128) ≤ 2 ·

(129) log(1 + un )

(130) < .

(131) e

(132)

(133) n>m. Q Para finalizar a prova do teorema, observe que como log( n>m (1 + un )) = P n>m log(1 + un ), então Y. (1 + un ) = eL ,. n>m. onde L =. P. n>m. log(1 + un ). . Teorema 2.1.8. Se a). Q. Q. (1 + ui ) converge absolutamente, então:. (1 + ui ) é convergente.. b) σ : N → N bijeção ⇒ c). Q. Q. (1 + uσ(n) ) converge.. (1 + uσ(n) ) converge para o mesmo valor para toda σ. 23.

(134) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Demonstração. a) ∃ n0 tal que:. Q. (1 + |ui |) converge e, pelo critério de Cauchy (2.1.3),. n > n0 e k ≥ 1 ⇒ |(1 + |un |) · (1 + |un+1 |) · · · (1 + |un+k |) − 1| < . Pelo lema 2.1.6, |(1+un )·(1+un+1 )···(1+un+k )−1| ≤ (1+|un |)·(1+|un+1 |)···(1+|un+k |)−1 < . Portanto, o produto b). Q. Q. (1 + ui ) também converge.. (1 + ui ) converge absolutamente ⇒. Q. (1 + |ui |) converge.. Pelo lema 2.1.4 e pelo teorema do rearranjo de Riemann, temos X. |un | < ∞ ⇒. n≥1. ⇒. Y. X. |uσ(n) | < ∞. n≥1. (1 + |uσ(n) |) < ∞ ⇒. Y. (a). (1 + uσ(n) ) < ∞.. P P c) Pelo teorema do rearranjo de Riemann, sabemos que un = uσ(n) para toda bijeção σ. Q Podemos supor u = 6 −1 para todo n, pois, caso contrário, (1 + un ) = n Q (1 + uσ(n) ) = 0. Pelo lema 2.1.7,. Q. n>m. (1 + un ) = eL com L =. P. n>m. log(1 + un ).. Para n ≤ m, podemos escrever 1 + un = ezn , para algum zn ∈ C. Portanto, temos Y. (1 + un ) =. Y. P. ezn = e. zn. P. =e. zσ(n). =. Y. ezσ(n) =. Y. (1 + uσ(n) ). . 24.

(135) 2.2. PRODUTOS DE FUNÇÕES. 2.2. Produtos de Funções. Daqui por diante, fν é uma família de funções de Ω em C, onde Ω é um aberto de C. Q Definição 2.2.1. Seja fν ∈ C o (Ω) . O produto ν≥1 fν (x) converge compactamente em Ω se, para todo compacto K, existir m = m(K) tal que . pm,n = fm+1 · fm+2 · · · fn for uniformemente convergente em K. Neste caso, para cada x ∈ Ω, sabemos que Y f (x) = fν (x) ∈ C ν≥1. existe (no sentido da seção anterior) e chamaremos a função f : Ω → C de limite do produto e denotaremos: Y fν (x). f (x) = ν≥1. Em todo K compacto de Ω, vale: f |K = (f1 |K ) · (f2 |K ) · · · (fm |K ) · fˆm , onde fˆm : Ω → C é uma função holomorfa que nunca se anula em K. Notação: Se a sequência pν (x) converge compactamente para a função p(x) em Ω, escrevemos: comp.. pν (x) − −− → p(x) em Ω. Se a sequência pν (x) converge uniformemente para a função p(x) em K, escrevemos: unif.. pν (x) −−→ p(x) em K. Se f é uma função holomorfa em Ω, escrevemos: f ∈ H (Ω).. 25.

(136) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Lema 2.2.2 (Propriedades de Produtos de funções). Se fν ∈ C o (Ω), então: a) Se. Q. comp.. comp.. fν (x) −−−→ f em Ω, então f ∈ C o (Ω). Além disso, fν (x) −−−→ 1. ν→∞. Q. Q. b) Se fν (x) e gν (x)Qconvergem compactamente em Ω para f e g respectivamente, então fν (x) · gν (x) converge compactamente em Ω e Y Y Y fν (x) · gν (x) = fν (x) · gν (x). c) Se fν ∈ H (Ω) e. Q. comp.. fν (x) −−−→ f em Ω, então f ∈ H (Ω). Demonstração. a) Seja K um compacto de Ω. Por hipótese, ∃ m tal que unif. ˆ ˚ fˆm é contínua. pm,n −−→ fm em K. Nesse caso, sabemos que em K, Então, f |K = (f1 |K ) · (f2 |K ) · · · (fm |K ) · fˆm , ˚ e, portanto, f é contínua onde todas as funções são contínuas em K ˚ em K. Sendo K um compacto arbitrário, temos que f é contínua em Ω. comp. Para mostrar que fν (x) −−−→ 1, primeiro note que |fˆm | ≥ M em K e, pelo critério de Cauchy (lema 2.1.3), 21 ≤ pm,n ≤ 23 para certo m. Então,. 1. unif.. pm,n. −−→. 1 . fˆm. Sendo fˆm limitada em K, sabemos que em K fn =. pm,n unif. fˆm −−→ = 1. pm,n−1 fˆm. unif. unif. b) Por hipótese, ∃ m tal que pfm,n −−→ fˆm e pgm,n −−→ gˆm em K e novamente por Cauchy, pfm,n e pgm,n são limitadas. Então em K, temos que unif. pfm,n · pgm,n −−→ fˆm · gˆm .. 26.

(137) 2.2. PRODUTOS DE FUNÇÕES unif. c) ∃ m tal que pm,n −−→ fˆm em K. Por Weierstrass, fˆm é holomorfa em ˚ e vale: K. f |K = (f1 |K ) · (f2 |K ) · · · (fm |K ) · fˆm . Assim, f é holomorfa em K compacto arbitrário de Ω, o que implica que f é holomorfa em Ω. . Proposição 2.2.3 (Critério de Convergência). Seja fν ∈ C o (Ω). Suponhamos que ∃ m tal que, para todo n > m, fn possui um logaritmo, isto é, ∃ φn ∈ C o (Ω) com fn = eφn . Então, em Ω: X. comp.. log fn −−−→ S ∈ C o (Ω) ⇒. n>m. Y. comp.. fn −−−→ eS .. n>m. Demonstração. Sn =. n X. comp.. log fn −−−→ S,. m+1. pm,n = fm+1 · fm+2 · · · fn =. n Y. eφn = eSn .. m+1 comp.. Como eS nunca se anula, basta mostrar que eSn −−−→ eS . Seja K ∈ Ω um compacto. |eSn (x) − eS(x) | = |eS(x) ||eSn (x)−S(x) − 1| ≤ M · |eSn (x)−S(x) − 1|, pois, como S(x) é uma função contínua, sua parte real admite máximo em K. Para estimar |eSn (x)−S(x) − 1|, precisaremos da expansão de Taylor da exponencial em torno de z = 0. Denotando o sup(|f (x)| : x ∈ K) por |f (x)|K e aplicando o que já foi feito em 2.3, temos: |eSn (x)−S(x) − 1|K ≤ 2 · |Sn (x) − S(x)|K < , comp.. pois Sn −−−→ S. 27.

(138) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS . Q Definição 2.2.4. Seja fn ∈P C o (Ω), fn = 1 + gn . O produto fn é normalmente gn for normalmente convergente em Ω, isto é, P convergente em Ω se se |gn |K convergir, para todo K compacto. Q Teorema 2.2.5. Seja fn ∈ H (Ω). Se fn é normalmente Q convergente em Ω, então, para toda bijeção σ : N → N , o produto fσ(n) converge compactamente em Ω. Q Q P Demonstração. Se fn = (1 + gn ) converge normalmente, então |gn |K converge, para todo K compacto de Ω. P Em particular, |gn (z)| < ∞, para todo z ∈ Ω. Pelo lema 2.1.4, Y Y (1 + |gn (z)|) < ∞ ⇒ (1 + gn (z)) < ∞, ∀z ∈ Ω Portanto,. Q. fn (z) converge, para todo z ∈ Ω. Definimos, então: Y f (z) = fn (z).. Seja K um compacto de Ω. Por hipótese, X |gn |K < ∞ ⇒ |gn |K → 0. Isso implica que existe m = m(K) tal que, para todo n > m, temos que |gn |K ≤ 1/2. Portanto, fn não se anula em K, para n > m. Pelo mesmo argumento dado em 2.2, vemos que: |log (fn )|K ≤ 2 · |gn |K . Então, X. | log (fn )|K < ∞.. n>m. Contudo, a série 28.

(139) 2.2. PRODUTOS DE FUNÇÕES X. log (fn ). n>m. converge normalmente em Ω. Em suma, pela proposição anterior, concluímos que o produto Y comp. fn (z) −−−→ f. Além disso, para todo K compacto de Ω, existe m = m(K) tal que: X | log (fn )|K < ∞, n>m. onde o logaritmo pode ser tomado como principal. Assim, pelo lema 2.2.2, f ∈ H (Ω) e, pelo princípio dos zeros isolados, existe Bδ ∈ Ω, bola de raio δ, tal que f não se anula em Bδ . Portanto, fn não se anula em Bδ , para todo n. Agora tome z ∈ Bδ . Pelo exposto acima, existe un (z) tal que: Y Y fn (z) = eun (z) , onde a partir de um certo m, podemos escolher un = log (fn ). Pelo teorema do Rearranjo de Riemann, temos Y Y P fn (z) = eun (z) = e un (z) Y P = e uσ(n) (z) = euσ(n) (z) (⇐ Rearranjo para soma) Y = fσ(n) (z). Portanto, Y Como f =. Q. fn (z) =. Y. fσ(n) (z) em K.. fn (z) é holomorfa, Y Y fn (z) = fσ(n) (z) em Ω. . 29.

(140) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Q Teorema 2.2.6. Seja fn ∈ H (Ω). Se fn é normalmente convergente para f em Ω, então X f0 n. fn. n≥1. é uma série de funções meromorfas em Ω compactamente convergente em Ω e X f 0 comp. f 0 n −−−→ . f f n n≥1 Demonstração. Antes de iniciarmos a prova, vamos definir P convergência compacta para séries de funções meromorfas. Uma série hn de funções meromorfas se diz compactamente convergente em Ω se, para todo compacto K de Ω existir um m = m(K) tal que: i. Para todo n > m, o conjunto de pólos de hn é disjunto de K. P ii. A série n>m hn converge uniformemente em K. P Seja K um compacto e seja fn = 1 + gn . Por hipótese, |gn |K < ∞, e unif. pelo lema 2.2.2 (a), gn (z) −−→ 0 em K. Portanto, existe n0 tal que n > n0 ⇒ (1 + gn (z)) 6= 0, ∀z ∈ K. 0 0 gn não tem pólos em K se n > n0 . Por conseguinte, ffnn = 1+g n Se pm,n = fm+1 · fm+2 · · · fn , então unif. m > n0 ⇒ pm,n −−→ fˆm. e fˆm nunca se anula em K. Assim, fˆm ∈ H (Ω) e, por Weierstrass, unif. 0 em K. m > n0 ⇒ p0m,n −−→ fˆm. Contudo, se m > n0 , n 0 X p0m,n fˆm gi0 = lim = lim n→∞ pm,n n→∞ 1 + gi fˆm i=m. 30. ! =. X f0 n. n≥m. fn. ,.

(141) 2.3. FATORAÇÃO DE WEIERSTRASS pois a tese é válida para somas finitas. Agora vamos mostrar que a convergência acima é uniforme em K. Primeiro note que, como fˆm não se anula em K, existe M > 0 com |fˆm | ≥ M . Além disso, pelo critério de Cauchy (2.1.3), |pm,n | ≥ adequadamente. Assim, em K 1. unif.. pm,n. −−→. 1 2. para m escolhido. 1 . fˆm. Sendo p0m,n limitada em K, temos 0 p0m,n unif. fˆm −−→ . pm,n fˆm . 2.3. Fatoração de Weierstrass. Sabemos que, se f ∈ H (C), os seus zeros são isolados e não se acumulam em nenhuma parte finita do plano complexo. Assim, os zeros de uma função inteira são o que chamamos de uma sequência localmente finita, isto é, um conjunto enumerável {zn }n∈N tal que |zn | −−−→ ∞. n→∞. Além disso, se g ∈ H (C) possui a mesma sequência {zn } de zeros, então é g(z) = f (z) · eh(z) . De fato, se g e f possuem os mesmos zeros, então fg(z) (z) inteira e nunca se anula em C. Por conseguinte, existe h(z) inteira tal que g(z) = eh(z) . f (z) Gostaríamos de saber, dada uma sequência localmente finita arbitrária {zn }n∈N , se existe uma função inteira cujos zeros sejam exatamente os elementos dessa sequência. A teoria de produtos infinitos nos induz a tomar tal função f por:. f (z) =. Y n≥1. 31. z 1− . zn.

(142) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS O problema fundamental é que o produto acima não converge para qualquer sequência de complexos, por exemplo, zn = n. Para corrigir, precisaremos inserir fatores que não acrescentem novos zeros à função e acelerem a convergência. Para o que segue, definimos, para todo k ≥ 0, os fatores canônicos de Weierstrass por: E0 (z) = 1 − z. e. Ek (z) = (1 − z) · ez+. 3 k z2 + z3 +···+ zk 2. , para k ≥ 1.. Lema 2.3.1. Se |z| < 1/2, então existe c > 0 tal que |1 − Ek (z)| ≤ c · |z|k+1 . Além disso, a constante c independe de k. Demonstração. Se |z| < 1/2, então o logaritmo principal de 1 − z está bem definido e vale que 1 − z = elog (1−z) . Tomando a expansão de Taylor do log, temos Ek (z) = e. 3 k 2 log (1−z)+z+ z2 + z3 +···+ zk. . =e. k+1. k+2. − zk+1 − zk+2 −···. . = egk (z) ,. onde |gk (z)| = |. X. z n /n| ≤. n≥k+1. ≤. 1 X n · |z | 2 n≥k+1. 1 |z k+1 | · ≤ |z k+1 |. 2 1 − |z|. (2.4). Além disso, expandindo a exponencial, |1 − Ek (z)| = |egk (z) − 1| ≤ e|gk (z)| − 1.. (2.5). É um exercício simples verificar que 1 + x ≤ ex , para todo x real, portanto 1 − x ≤ e−x ⇒ ex − x · ex ≤ 1 ⇒ ex − 1 ≤ x · ex 32. (2.6).

(143) 2.3. FATORAÇÃO DE WEIERSTRASS Portanto, |1 − Ek (z)|. e|gk (z)| − 1. ≤ (2.5). |gk (z)| · e|gk (z)|. ≤ (2.6). |z k+1 | · e|z. ≤. k+1 |. (2.4). 3 · |z k+1 |.. ≤. . Teorema 2.3.2 (Teorema de Fatoração de Weierstrass). Seja f ∈ H (C) com zeros não nulos zn e z0 = 0 zero de multiplicidade m. Então, existe uma sequência de naturais 1 ≤ m1 ≤ m2 ≤ · · · tais que: Y f (z) = eh(z) · z m · Emn (z/zn ), n≥1. para alguma h ∈ H (C). Demonstração. Pelo lema anterior, |Emn (z) − 1| ≤ c · |z|mn +1 sempre que |z| ≤ 1/2. Portanto, se |z/zn | ≤ 1/2, |Emn (z/zn ) − 1| ≤ c · |z/zn |mn +1 . Seja K um compacto. Dado que |zn | → ∞, existe n0 tal que, para todo n ≥ n0 , vale |z/zn | ≤ 1/2, para todo z ∈ K. Logo, X. |Emn (z/zn ) − 1|K. n≥n0. X 1 mn +1 . ≤ c· 2 n≥n 0. Então, tomando mn = {1, 2, 3, · · · }, temos que X |Emn (z/zn ) − 1|K < ∞. n≥n0. Portanto, o produto 33.

(144) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Y. Emn (z/zn ). n≥1. converge normalmente em Ω. Considere a função dada por: g(z) = z m ·. Y. Emn (z/zn ).. n≥1. Note que a função fg (z) é inteira e nunca se anula em C e, portanto: f (z) = eh(z) , g(z) onde h ∈ H (C). . Observe que o teorema acima mostra que dada uma sequência {zn } localmente finita de complexos não nulos, existe uma função f (z) inteira, cujos zeros são precisamente os elementos de {zn }, contadas as multiplicidades. Por exemplo, podemos tomar a função: f (z) =. Y. En (z/zn ).. n≥1. 2.4. Fórmula de Jensen. Nesta seção, Ω ∈ C é um aberto que contém o fecho de DR , disco de raio R centrado na origem. Teorema 2.4.1 (Fórmula de Jensen). Seja f ∈ H (Ω). Suponha f (0) 6= 0 e que f não se anula no bordo de DR . Se z1 , z2 , ...,zN são os zeros de f dentro do disco DR , contados com repetição, então log |f (0)| =. N X i=1. log. |zi | R. . 34. 1 + 2π. Z 0. 2π. log |f (Reiθ )|dθ..

(145) 2.4. FÓRMULA DE JENSEN Demonstração. Primeiramente, note que se f1 e f2 satisfazem hipótese e tese do teorema, então f1 · f2 também satisfaz, pois os zeros de f1 · f2 coincidem com a união dos zeros de f1 e f2 (contados com suas multiplicidades) e log (a · b) = log a + log b, para todos a, b reais positivos. Como z1 , z2 , ...,zN são os zeros de f dentro de DR , então podemos escrever: f (z) = (z − z1 ) · (z − z2 ) · · · (z − zN ) · g(z), onde g(z) é uma função holomorfa em Ω que não se anula em DR . Assim, pela primeira observação, basta mostrar que o teorema vale para funções que não se anulam em DR e para funções da forma (z − zi ). 1. f não se anula em DR . . Neste caso, existe g ∈ H (Ω) tal que f (z) = eg(z) (ou log f (z) = g(z)). Pela fórmula integral de Cauchy, 1 log f (0) = 2πi. Z ∂DR. log f (ξ) 1 dξ = ξ−0 2πi. Z 0. 2π. log f (Reiθ ) iReiθ dθ. Reiθ. Portanto, 1 log f (0) = 2π. Z. 2π. log f (Reiθ )dθ.. 0. Tomando a parte real, 1 log |f (0)| = 2π. Z. 2π. log |f (Reiθ )|dθ.. 0. 2. f = (z − w). Neste caso, f (0) = −w e w é a única raiz de f . Portanto, precisamos verificar que: 1 log |w| = log (|w|/R) + 2π 35. Z 0. 2π. log |f (Reiθ )|dθ..

(146) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Ou, equivalentemente, 1 2π. Z. 2π. 1 log |f (Re )|dθ = 2π iθ. 0. Z. 2π. log |Reiθ − w|dθ = log R.. 0. Mas Z 2π Z 2π Z 2π 1 1 1 iθ log |Re − w|dθ = log R + log |eiθ − w/R|dθ. 2π 0 2π 0 2π 0 Assim, precisamos mostrar que 1 2π. Z. 2π. log |eiθ − w/R|dθ = 0.. 0. Para mostrar essa última igualdade, começamos pela mudança de variável θ → −θ e trocamos w/R por a tal que |a| < 1. 1 2π. Z. 2π. 1 log |e − a|dθ = 2π iθ. 0. Z. 2π. log |1 − aeiθ |dθ.. 0. Definimos h(z) = 1 − az, função que não se anula e é holomorfa no disco unitário. Pelo primeiro caso, sabemos que 1 2π 1 ∴ 2π. Z 0. 2π. Z. 2π. log |h(eiθ )|dθ = log |h(0)| = 0.. 0. 1 log |1 − ae |dθ = 2π iθ. Z. 2π. log |h(eiθ )|dθ = 0. 0 . A partir da fórmula de Jensen, podemos deduzir outra identidade que relaciona o crescimento de uma função holomorfa com o número de zeros em um disco. Se f ∈ H (Ω), denotaremos por n(r) o número de zeros de f , contados com suas multiplicidades, dentro do disco de raio r < R.. 36.

(147) 2.5. ORDEM DE UMA FUNÇÃO INTEIRA Lema 2.4.2. Se z1 , z2 , ..., zN forem os zeros de f dentro do disco DR , então: R. Z 0.

(148)

(149) N X

(150) R

(151) dr n(r) = log

(152)

(153)

(154)

(155) . r zi 1. Demonstração. Observe que N X 1.

(156)

(157) N Z R X

(158) R

(159) dr . log

(160)

(161)

(162)

(163) = zi |zi | r 1. Definimos a função característica: 1 se r > |zi |, ni (r) = 0 caso contrário. Então, N Z X 1. R. |zi |. Z R N Z R X dr dr ni (r) = = r r 0 0 1. N X 1. ! ni (r). dr = r. Z. R. n(r) 0. dr . r . Com a fórmula de Jensen e o lema anterior, verifica-se imediatamente a proposição que se segue. Proposição 2.4.3. Sejam f ∈ H (Ω), f (0) = 1 e n(r) o número de zeros de f , contados com suas multiplicidades, dentro do disco de raio r < R. Então: Z R Z 2π dr 1 n(r) log |f (Reiθ )|dθ. = r 2π 0 0. 2.5. Ordem de uma Função Inteira. A parte restante deste capítulo será dedicada a uma investigação mais profunda de propriedades das funções inteiras. Começaremos com o estudo do crescimento de funções inteiras e culminaremos com o teorema de Hadamard.. 37.

(164) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Seja f ∈ H (C) (inteira). Definimos m(f, r) : C → R+ por: . m(f, r) = max |f (z)|. |z|=r. Pelo princípio do módulo máximo, m(f, r) = max|z|≤r |f (z)| e m(f, r) é uma função não decrescente. Além disso, se f 6= cte, f não possui máximo local em um aberto de C, logo, m(f, r) deve ser estritamente crescente. Note que, por Liouville, se f 6= cte, então m(f, r) −−−→ ∞. Nesse conr→∞. texto, faz sentido comparar f (z) com outras funções em relação à taxa de crescimento. Podemos classificar as funções inteiras quanto à taxa de crescimento. 1) Se m(f, r) ≤ C · rk , ∀r ≥ R, então f é um polinômio de grau no máximo k. De fato, considere a expansão de f P em torno de z = 0. Assim, f (z) = n≥0 an z n . Da desigualdade de Cauchy, sabemos que:. |an | ≤ max |f (z)| · |z|=r. m(f, r) 1 = n r rn. e, para todo n > k, temos: m(f, r) C · rk C |an | ≤ ≤ = n−k −−−→ 0. n n r→∞ r r r Portanto, f é um polinômio de grau no máximo k. 2) Se ∃ A e R números reais positivos tais que A. m(f, r) ≤ er , ∀r ≥ R, então dizemos que f possui ordem finita e denotamos por 38.

(165) 2.5. ORDEM DE UMA FUNÇÃO INTEIRA A. ρ = inf {A : m(f, r) ≤ er } a ordem de crescimento da função f . Portanto, m(f, r) ≤ er. ρ+. , ∀r ≥ R , ∀ > 0.. 3) Se 6 ∃ A e R reais positivos tais que A. m(f, r) ≤ er , ∀r ≥ R, então dizemos que f possui ordem infinita.. Observação: A. A. Suponha que m(f, r) ≤ C · er ou que m(f, r) ≤ eC·r para algum C real. Então ρ ≤ A. Demonstração. Faremos o primeiro caso, pois o segundo é análogo. Suponha A. A. m(f, r) ≤ C · er ≤ eB · er = er Mas. rA +B −−−→ rA+ r→∞. A +B. .. 0, ∀ > 0, o que implica que existe R tal que rA + B ≤. rA+ para todo r ≥ R. ∴ m(f, r) ≤ er. A+. , ∀ r > R ⇒ ρ ≤ A. . Proposição 2.5.1. Sejam f e g inteiras com ordens ρ1 e ρ2 , respectivamente. Se ρ1 < ρ2 , ρf +g é a ordem da função (f + g) e ρf ·g é a ordem da função (f · g), então valem: (i) ρf +g = ρ2 ; (ii) ρf ·g ≤ ρ2 .. 39.

(166) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Demonstração. (i) (ρf +g ≤ ρ2 ) Seja > 0. Então, m(f + g, r) ≤ m(f, r) + m(g, r) ≤ er. ρ1 +. ρ +. + er 2 ρ + ρ + rρ2 + r 1 −r 2 ≤ e e +1 . Mas note que: . .   rρ1 + rρ1 + − rρ2 + = rρ2 +  ρ2 + −1 −−−→ −∞ r→∞ |r {z } →0. (rρ1 + −rρ2 + ). ⇒ e. −−−→ 0. r→∞ (rρ1 + −rρ2 + ). ⇒ ∃R : e. ≤ 2, ∀r > R. ∴ m(f + g, r) ≤ 2 · er. ρ2 +. , ∀r > R.. Pela observação anterior, ρf +g ≤ ρ2 . . (≥) Por hipótese, existe uma sequência de r0 s tal que: m(g, r) ≥ eρ2 − ≥ eρ1 + ≥ m(f, r), para todo r nessa sequência e suficientemente pequeno. Então, m(f + g, r) ≥ m(g, r) − m(f, r) ≥ er. ρ2 −. ρ +. − er 1 ρ − ρ + ρ − = er 2 1 − er 1 −r 2 | {z } →1, quando r→∞. Procedendo da mesma forma que no caso anterior, obtemos: m(f + g, r) ≥ 1/2 · er. ρ2 −. ⇒ ρf +g ≥ ρ2 .. ∴ ρf +g = ρ2 . 40.

(167) 2.5. ORDEM DE UMA FUNÇÃO INTEIRA . (ii) Seja > 0. m(f · g, r) ≤ m(f, r) · m(g, r) ≤ er. ρ1 +. rρ2 +. · er . ≤ e. ρ2 +. r ρ1 + +1 r ρ2 +. . .. Note que rρ1 + −−−→ 0 ρ2 + r→∞ r ρ1 + r ⇒ + 1 ≤ 2, ∀r > R. rρ2 + ⇒ m(f · g, r) ≤ e2·r. ρ2 +. , ∀r > R.. ∴ ρf ·g ≤ ρ2 . . Proposição 2.5.2. Sejam f uma função inteira de ordem ρf e p(z) um polinômio de grau ∂p ≥ 1. Se ρf ·p é a ordem de (f · p), então: ρf ·p = ρf . k. = 0, ∀ > 0. Em outras palavras, Demonstração. Observe que limr→∞ |r| er todo polinômio possui ordem zero. Desse fato e da proposição 2.5.1, temos que: ρf ·p ≤ ρf .. Por outro lado, sabemos por hipótese que m(f, r) ≥ er tencente a uma sequência {ri > 0 : ri → ∞}. Assim, m(f · z k , r) ≥ er ⇒ m(f · z k , r) ≥ er. ρf −. · r k = er. ρf − +k·log r. 41. ρf −. 1. ≥ e 2 ·r. ρf −. · ek·log r. ρf −. ,. , para r per-.

(168) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS para r a partir de um certo R. Portanto, ρf ·zk ≥ ρf , o que prova a proposição.. 2.6. . O Expoente de Convergência das Raízes de uma Função Inteira. Seja f ∈ H (C) com zero na origem de multiplicidade m e com raízes não nulas em {zn }n∈N . Pelo teorema de Weierstrass (2.3.2), sabemos que função f pode ser dada por: Y f (z) = eh(z) · z m · Emn (z/zn ), n≥1. onde h(z) ∈ H (C) e mn uma sequência de números inteiros positivos. Quando f possui ordem finita, veremos que o produto de Weierstrass acima é compactamente convergente, para uma escolha adequada mn = k, para todo n. Sejam |z1 | ≤ |z2 | ≤ |z3 | ≤ · · · os zeros não nulos de f . Sabemos que |zn | −−−→ ∞, mas não necessariamente temos n→∞. X n≥1. 1 < ∞, |zn |α. para algum α positivo. Por exemplo, suponha que zn = log n. Mostraremos que X n≥2. 1 = ∞, ∀α > 0. (log n)α. De fato, (log n)α = 0, ∀α > 0. n→∞ n lim. 42.

(169) 2.6. O EXPOENTE DE CONVERGÊNCIA DAS RAÍZES DE UMA FUNÇÃO INTEIRA 1 1 ⇒ > , ∀n > n0 . α (log n) n X. ∴. n≥n0. X 1 1 = ∞. > (log n)α n n≥n 0. Portanto, X n≥2. X 1 1 > = ∞, ∀α > 0. α α (log n) (log n) n≥n 0. . Suponhamos que, para uma dada P sequência |z1 | ≤ |z2 | ≤ |z3 | ≤ · · · de zeros de f , exista α > 0, tal que n≥1 |zn1|α < ∞. Nesse caso, definimos ( µ = inf. α>0:. X n≥1. ) 1 <∞ |zn |α. como o expoente de convergência das raízes de f .. Observação Importante: Se f possuir um número finito de raízes, então µ = 0 e, portanto, se µ > 0, f deve possuir infinitas raízes. Lema 2.6.1. Seja f uma função inteira de ordem finita ρ, f (0) = 1. Então, para todo > 0, existe R tal que: n(r) ≤ rρ+ ,. ∀ r > R.. Demonstração. Usando a fórmula de Jensen (2.4.3) e o fato de que f (0) = 1, temos: Z 2r Z 2π dµ 1 n(µ) = log |f (2reiθ )|dθ. µ 2π 0 0 Por um lado, temos: 43.

(170) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS sup {log |f (2reiθ )|} ≤ log m(f, 2r). θ∈[0,2π]. Z. 2r. ⇒. n(µ) 0. Por outro lado, vale Z. 2r. 0. dµ ≤ log m(f, 2r). µ. Z. 2r. dµ n(µ) µ r Z 2r dµ ≥ n(r) · µ r ≥ n(r) · log 2.. dµ ≥ n(µ) µ. (2.7). (2.8). Por 2.7 e por 2.8, temos que: n(r) · log 2 ≤ log m(f, 2r). Portanto, pela hipótese sobre a ordem de f , se > 0, log m(f, 2r) log 2 (2r)ρ+/2 ≤ log 2 ρ+/2 2 · rρ+/2 ≤ . log 2. n(r) ≤. Como o limite: 2ρ+/2 · rρ+/2 = 0, r→∞ rρ+ lim. vale que n(r) ≤. 2ρ+/2 · rρ+/2 ≤ rρ+ , log 2. para todo r maior que um certo R. . 44.

(171) 2.6. O EXPOENTE DE CONVERGÊNCIA DAS RAÍZES DE UMA FUNÇÃO INTEIRA Proposição 2.6.2 (Hadamard ). Se f possui ordem finita ρ e µ é o expoente de convergência das raízes de f , então: µ ≤ ρ. Demonstração. Sejam |z1 | ≤ |z2 | ≤ |z3 | ≤ · · · os zeros não nulos de f . Se 0 for raiz de multiplicidade k de f , então considere f ∗ (z) = fz(z) k . Já vimos em 2.5.2 que a multiplicação por um polinômio não altera a ordem de uma função inteira e, portanto, a ordem de f é igual à ordem de z k · f ∗ que por sua vez é igual a ordem de f ∗ . . ∗ Definimos: g(z) = ff ∗ (z) , para que g(0) = 1. Note que a ordem de g é (0) igual a ordem de f e que z1 , z2 , · · · são precisamente as raízes de g. Seja rn = |zn |. Se > 0, então, pelo lema anterior (2.6.1), existe n0 tal que: n(rn ) ≤ |zn |ρ+/2 ,. ∀ n > n0 .. Observe que na bola fechada de raio |zn | existem pelo menos n zeros e, portanto, n ≤ n(rn ) ≤ |zn |ρ+/2 .. Assim, temos: |zn |ρ+/2 ≥ n,. ∀ n > n0 , ρ+. ρ+. ⇒. (|zn |ρ+/2 ) ρ+/2 ≥ n ρ+/2. ⇒. |zn |ρ+ ≥ n1+ ρ+/2 = n1+γ. ⇒. 1 1 ≤ 1+γ ρ+ |zn | n. ∴. X. /2. n>n0. 1 < ∞. |zn |ρ+ . 45.

(172) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Concluímos com a proposição acima que se f é uma função inteira de ordem finita, então faz sentido definir: X . λ = min {k ∈ N, k ≥ 0 : n>1. 1 |zn |k+1. < ∞}. (2.9). como o grau dos fatores canônicos de Weierstrass, pois a somatória

(173)

(174) X

(175) z

(176) λ+1

(177)

(178)

(179) zn

(180) n>1. converge uniformemente sobre compactos, o que, por um raciocínio análogo ao do teorema 2.3.2, acarreta a convergência normal do produto em C: Y P (z) = Eλ (z/zn ), n≥1 z2. z3. zλ. onde Eλ (z) = (1 − z) · ez+ 2 + 3 +···+ λ , para λ ≥ 1. Observações: Se µ não for natural, então é claro que λ = [µ] (parte inteira de µ); caso contrário, teremos duas possibilidades:. 1.. P. 1 |zn |µ. < ∞ ⇒ λ = µ − 1;. 2.. P. 1 |zn |µ. > ∞ ⇒ λ = µ.. E concluímos que sempre vale: λ ≤ µ ≤ λ + 1.. Lema 2.6.3. Para todo λ natural, existe A tal que: α. |Eλ (z)| ≤ eA·|z| , ∀ z ∈ C, para todo α com 46.

(181) 2.6. O EXPOENTE DE CONVERGÊNCIA DAS RAÍZES DE UMA FUNÇÃO INTEIRA λ ≤ α ≤ λ + 1, se λ 6= 0 ; 0 < α ≤ 1, se λ = 0 . Demonstração. (1)λ ≥ 1. Pelo mesmo argumento utilizado no lema 2.3.1, se |z| ≤ 1/2, então Eλ (z) = egλ (z) , onde |gλ (z)| ≤ |z|λ+1 . Portanto,

(182)

(183) λ+1 |Eλ (z)| ≤

(184) egλ (z)

(185) ≤ e|gλ (z)| ≤ e|z| . Mas note que, se |z| ≤ 1/2, então |z|x é uma função decrescente e, portanto, |z|λ+1 ≤ |z|α α. ⇒ |Ek (z)| ≤ e|z| . Por outro lado, se |z| ≥ 1, . |Eλ (z)| ≤ (1 + |z|) · e. |z|+. |z|λ |z|2 +···+ λ 2. . ≤ e(λ+1)|z|. λ. α. ≤ e(λ+1)|z| . Para o caso 1/2 ≤ |z| ≤ 1, sabemos que |Eλ (z)| é contínua e, portanto, existe C tal que: α. |Eλ (z)| ≤ eC·|z| . Enfim, basta tomar A = max {C, λ + 1, 1}. . (2)λ = 0 e 0 < α ≤ 1. Se |z| ≤ 1/2, temos: |E0 (z)| ≤ 1 + |z|. ≤ (2.6). 47. α. e|z| ≤ e|z| ..

(186) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Se |z| > 1/2, então: log (1 + |z|) |z|→∞ −−−−→ 0. |z|α Portanto, existe A tal que log (1 + |z|) ≤ A · |z|α ⇒. α. |E0 (z)| ≤ eA·|z| . . 2.7. Teorema de Fatoração de Hadamard. O teorema desta seção combina o teorema de fatoração de Weiestrass (2.3.2) com o resultado visto há pouco sobre a relação entre o número de zeros e o crescimento de uma função inteira. Vimos que duas funções inteiras que possuem precisamente os mesmos zeros (contando com as multiplicidades) diferem multiplicativamente pela exponencial de uma função inteira. Segundo o teorema de fatoração de Weierstrass (2.3.2), concluímos que todas as funções inteiras de raízes {zn } possuem a forma: Y eg(z) · z m · En (z/zn ), n≥1. onde g é uma função inteira. No caso de funções inteiras de ordem finita, vimos no final da última seção que o grau dos fatores canônicos λ de Eλ (z/zn ) pode ser tomado constante. Além disso, Hadamard mostra que g(z) é um polinômio. Começaremos com um teorema sobre a ordem dos produtos canônicos. Teorema 2.7.1 (Borel ). Seja f uma função inteira de ordem finita ρ. Se P (z) é o produto canônico associado a f , então P tem ordem finita ρc = µ, onde µ é o expoente de convergência das raízes de f . 48.

(187) 2.7. TEOREMA DE FATORAÇÃO DE HADAMARD Demonstração. Seja Y . P (z) = z m · Eλ (z/zn ). n≥1. Suponha λ ≤ µ < λ + 1. Dado > 0 tal que µ + < λ + 1, então: X n≥1. 1 < ∞. |zn |µ+. Assim, usando o lema 2.6.3, temos:

(188)

(189)

(190) Y

(191) Y

(192)

(193) |Eλ (z/zn )| Eλ (z/zn )

(194) =

(195)

(196)

(197) n≥1 n≥1 Y µ+ ≤ eA·|z/zn | n≥1. ≤ e. A·|z|µ+ ·. ≤ eB·|z|. µ+. P. 1 n≥1 |zn |µ+. .. Portanto, nesse caso a ordem do produto é menor ou igual a µ. Para o caso µ = λ + 1, o fato é resultado de: X 1 < ∞. |zn |µ n≥1 Pela proposição 2.6.2, sabemos que µ ≤ ρc e, portanto, ρc = µ. . Lema 2.7.2. O produto canônico satisfaz: (i) |Ek (z)| ≥ e−c|z|. k+1. se |z| ≤ 1/2, 0. (ii) |Ek (z)| ≥ |1 − z| · e−c |z|. k. se |z| ≥ 1/2.. 49.

(198) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Demonstração. (i)Se |z| ≤ 1/2, podemos expandir log (1 − z) como série de potência: log (1 − z) = −z −. z2 z3 − − ··· 2 3. Assim, z2. z3. zk. Ek (z) = (1 − z) · ez+ 2 + 3 +···+ k = elog (1−z)+. P. zn 1≥n≥k n. .. k+2 k+1 − zk+1 − zk+2 −···. = e. = egk (z) . Já vimos em 2.3.1 que |gk (z)| ≤ |z|k+1 . Ademais, |ew | = e<(w) ≥ e−|w| ,. (2.10). o que completa a demonstração de (i). . (ii)Se |z| ≥ 1/2, então: z2. z3. zk. |Ek (z)| = |(1 − z)| · |ez+ 2 + 3 +···+ k |. Sabe-se que: |z +. z2 2. +. z3 + 3 zk |k|. ···+. zk | k. −−−−→ 1. |z|→∞. Portanto, existe c0 tal que: z2. z3. zk. |ez+ 2 + 3 +···+ k |. ≥. z2. z3. zk. 0 zk. e−|z+ 2 + 3 +···+ k | ≥ e−c | k | .. (2.10) . A chave para provar o teorema de Hadamard consiste em encontrar um limitante inferior para o produto dos fatores canônicos quando z estiver fora de certos discos centrados nos zeros zn .. 50.

(199) 2.7. TEOREMA DE FATORAÇÃO DE HADAMARD Lema 2.7.3. Sejam f uma função inteira de ordem finita ρ e P (z) seu produto canônico associado. Se µ é o expoente de convergência das raízes de f , então, para todo > 0, temos que:

(200)

(201)

(202)

(203) Y µ+

(204)

(205) Eλ (z/zn )

(206) ≥ e−c|z| , |P (z)| =

(207)

(208)

(209) n≥1. exceto, possivelmente, para z na união dos discos de raios 1/|zn |λ+1 centrados em zn , para n ≥ 1. Demonstração. Primeiro, escrevemos: Y Y Y Eλ (z/zn ) = Eλ (z/zn ) · Eλ (z/zn ) . n≥1. |zn |≤2|z|. |. |zn |>2|z|. {z. } |. (A). {z. }. (B). Vamos, agora, estimar as parcelas: (B) Pelo lema anterior, |Eλ (z)| ≥ e−c|z|. λ+1. se |z| ≤ 1/2.. Portanto,

(210)

(211)

(212)

(213)

(214) Y

(215)

(216)

(217) = E (z/z ) λ n

(218)

(219)

(220) |zn |>2|z|

(221). Y. |Eλ (z/zn )|. |zn |>2|z|. Y. ≥. e−c|z/zn |. |zn |>2|z| P. ≥ e[. |zn |>2|z|. 0. ≥ e−c |z|. λ+1 ·. [. λ+1. −c|z/zn |λ+1 ]. P. |zn |>2|z|. 1/|zn |λ+1 ]. ,. para todo z ∈ C. Dado que |zn | > 2|z| e para o caso µ < s < λ + 1, obtemos: 1 1 1 c00 1 = · ≤ · . |zn |λ+1 |zn |s |zn |λ+1−s |zn |s |z|λ+1−s. 51.

(222) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES INTEIRAS Consequentemente, X. −c0 |z|λ+1 ·. |zn |>2|z|. X 1 c00 1 0 λ+1 ≥ −c |z| · λ+1 λ+1−s |zn | |z| |zn |s |zn |>2|z|. e 0. e−c |z|. λ+1 ·. [. P. |zn |>2|z|. 1/|zn |λ+1 ]. Pela proposição 2.6.2, então X. 0 00 |z|s ·. ≥ e−c c. [. P. |zn |>2|z|. 1/|zn |s ]. .. 1/|zn |s = c000 < ∞.. |zn |>2|z|. Portanto,

(223)

(224)

(225)

(226)

(227) Y

(228)

(229)

(230) ≥ e−c|z|s . E (z/z ) λ n

(231)

(232)

(233) |zn |>2|z|

(234) Para o caso µ = λ + 1, temos:

(235)

(236)

(237)

(238)

(239) Y

(240)

(241)

(242) ≥ e−c00 |z|µ , E (z/z ) λ n

(243)

(244)

(245) |zn |>2|z|