Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí ca
DANILO LIMA FALCÃO
MODELAGEM MATEMÁTICA PARA HANSENÍASE EM CODÓ-MA
Campinas-SP 2016
MODELAGEM MATEMÁTICA PARA HANSENÍASE EM CODÓ-MA
Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientí- ca da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de mestre em Matemática Aplicada e Computacional.
Orientador: Prof. Dr. Jeerson Cruz dos Santos Leite Este exemplar corresponde à versão nal
da dissertação defendida pelo aluno Danilo Lima Falcão e orientada pelo prof. Dr. Jef-ferson Cruz dos Santos Leite.
Campinas-SP 2016
Meus agradecimentos, em primeiro lugar a Deus Pai eterno e Criador, pois sem Ele nada sou e nada posso. A minha família pelo apoio, compreensão e motivação, em espe-cial minha esposa Valberlene e minha mãe Maria das Graças Lima Falcão pela força que me deste para continuar e superar os desa os. A meu pai Osvaldo Marinho Falcão, que nos deixou ano passado, pelo exemplo de superação e amor pela vida. Ao meu orientador Prof. Dr. Jeerson Cruz dos Santos Leite, que com com humildade, disposição e espirito de colaboração aceitou me orientar e ajudar na construção desta dissertação participando da realização do sonho de conclusão deste mestrado em Matemática. Agradeço a todos os professores do mestrado em especial ao Prof. Dr. Cristiano Torezzan que sempre me mo-tivou, mesmo nos momentos em que pensei em desistir, acreditou em mim mesmo quando nem eu mais acreditava. Agradeço pela motivação, apoio, paciência e humildade para me atender tão gentilmente e colaborar de forma decisiva na conclusão deste mestrado. Aos colegas do IFMA, Campus Codó, que colaboraram com este trabalho, em especial: Alberto Faustino, Raimundo Marcolino, Jorge Menor, Antônio Willames Magalhães, Ivo-nete Mendes, Maria Salete, Jetro Ialem, Francisco Paiva, Abias Rodrigues, Renato Alves Pedrosa, Irapuan Lira F. Filho e o aluno do curso de Matemática Reginaldo da Silva França pela colaboração e apoio. À direção do IFMA, Campus Codó, Professora Ivana Duailibe e Prof. Msc José Cardoso por entender e apoiar a quali cação pro ssional dos professores do Campus. A toda equipe da Coordenação de Vigilância em Saúde do Mu-nicípio de Codó, representada por Luciano Gonçalves Lima Fraga que assume o cargo de coordenador do Programa de Controle da Hanseníase - PMHC pela gentileza, paciência e humildade com que nos recebeu e forneceu os dados da hanseníase no município.
Neste trabalho, aborda-se alguns aspectos da doença Hanseníase: sua história, seus aspectos clínicos e epidemiológicos. Também acrescentou-se os aspectos históricos, geo-grá cos e demogeo-grá cos da cidade de Codó no Estado do Maranhão, bem como um levan-tamento da situação da doença no município. Apresenta-se como embasamento teórico os modelos epidemiológicos SI e SIR escritos através das equações de diferenças nitas como modelos matemáticos determinísticos de tempo discreto. Finalmente, apresenta-se uma modelagem matemática da Hanseníase para o município de Codó através de uma equação logística discreta com o intuito de descrever e avaliar a dinâmica da epidemia da doença, bem como fazer projeções para a população de infecciosos do município de Codó, com dados compreendidos no período entre 2001 a 2014 fornecidos pela Secretaria Municipal de Saúde através do setor de Vigilância Epidemiológica do município de Codó.
This work, abboard something aspects of the sickness Hanseniase: your history, your clinic aspects and epidemiologicals. Also increased the aspects historics, geografhics and demographics of he city of Codo in the State of Maranhao, Well how a raisement of the situation of the sickness in the community. Present its how theory basement the epidemiological models SI and SIR write through of the equations of nnish diernces how mathematic models determinist of discret time. Finally, present its a mathematic moderat for the community of Codo through of an equation logistic discret with the purpose of to describle and estimate the dinamic of the epidemic of the sickness, how well to make projections for a population of infectionely of the community of Codo, with dice understantings in the age betweem 2001 by 2014, furmisheds by Municipal Secretary of Health through of sector of Epidemiological Vigilance of the community of Codo.
Sumário
1 INTRODUÇÃO 11
2 A HANSENÍASE 17
2.1 A História . . . 17
2.2 A Doença . . . 19
2.2.1 Características Gerais da Hanseníase . . . 20
2.2.2 Aspectos clínicos e laboratoriais . . . 21
2.2.3 Diagnóstico laboratorial . . . 22
2.2.4 Aspectos epidemiológicos . . . 23
2.2.5 Os indicadores . . . 24
2.2.6 O Tratamento . . . 24
3 A SITUAÇÃO ATUAL DA HANSENÍASE 27 3.1 A Hanseníase no Mundo e no Brasil . . . 27
3.2 A Hanseníase no Maranhão e em Codó . . . 28
4 EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS 33 4.1 Equações de Diferenças Lineares . . . 34
4.1.1 Equação de primeira ordem, n − m = 1 . . . 34
4.1.2 Equação linear de segunda ordem, n − m = 2 . . . 38
4.2 Equações de Diferenças não-lineares (1ª ordem) - estabilidade e pontos de equilíbrio. . . 39
4.2.1 Equação Logística Discreta . . . 40
5 EPIDEMIOLOGIA MATEMÁTICA 43 5.1 Introdução . . . 43 5.2 Um breve histórico . . . 43 5.3 Modelos Epidemiológicos . . . 44 5.3.1 O Modelo SI . . . 46 5.3.2 O Modelo SIR . . . 46
6.1 Introdução . . . 49
6.2 O Modelo SIR . . . 49
6.3 Modelagem da Hanseníase em Codó-MA . . . 52
6.3.1 Encontrando os parâmetros α, β, γ e r . . . 53 6.3.2 Projeções da População de Infecciosos pela Hanseníase em Codó-MA 56
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
A hanseníase é uma doença infectocontagiosa de evolução crônica que se manifesta, principalmente, por lesões cutâneas com diminuição de sensibilidade térmica, dolorosa e tátil. Tais manifestações são resultantes da predileção do Mycobacterium leprae em acometer células cutâneas e nervosas periféricas. Durante as reações (surtos reacionais), vários órgãos podem ser acometidos, tais como, olhos, rins, testículos, fígado e baço.[14] A hanseníase aparece mencionada na Bíblia com o nome de Zardoth e traduzida para o grego por lepra ou escamas, como se chamava todas as doenças de pele, de acordo com [15] A denominação lepra foi trocada para hanseníase em homenagem ao médico norueguês Hansen1 (1841-1912).[14]
O resgate de marcos históricos relativos à terapêutica da hanseníase possibilita o enten-dimento da meta pactuada internacionalmente de eliminação da endemia como problema de saúde pública. Em 1986 foi apresentada a primeira proposta de eliminação da han-seníase até o ano 2000 durante a 44ª Assembleia Mundial de Saúde (WHA). Em 1991 a hanseníase passou a ser vista como problema de saúde pública, bem como de nida a meta de menos de 1 caso por 10 mil habitantes durante a 49ª WHA, em compromisso assumido pelos 122 países mais endêmicos. Nos últimos vinte anos, mais de 14 milhões de pacientes de hanseníase foram curados, dos quais, cerca de 4 milhões desde o ano 2000. Houve redução drástica da carga global da doença de 5 milhões de casos em 1985 para 805 mil em 1995, 753 mil em 1999 e 213 mil em 2008 e o mais importante, que 119 países dos 122 onde a doença foi considerada como um problema de saúde pública, alcançaram a meta de eliminação em nível nacional.[5]
A Organização Pan-Americana de Saúde (OPAS) incluiu a hanseníase no grupo das doenças negligenciadas e relacionadas com a pobreza. O coe ciente de prevalência de hanseníase do Brasil, indicador utilizado para monitorar o progresso da eliminação dessa doença enquanto problema de saúde pública, vem sofrendo redução progressiva nos últimos
1Gerhard Henrick Armauer Hansen foi um médico bacteriologista e dermatologista norueguês, conhecido
pela identi cação do Mycobacterium leprae como o agente causador da lepra em 1873. Fonte: Saúde e Sociedade v.13, n.2, p.76-88, maio-ago 2004 Conforme [14]
anos. Os coe cientes de prevalência são mais elevados em municípios localizados na borda da Amazônia brasileira, nos estados do Maranhão, Mato Grosso, Pará e Tocantins.[5]
A epidemiologia é o estudo da propagação de doenças transmissíveis em populações de indivíduos. Através dos modelos matemáticos e epidemiológicos procura-se estudar e analisar o modo de transmissão e a gravidade de uma epidemia, como o número de do-entes ou portadores e discutir soluções de saneamento básico, de acesso à saúde médica, de estado nutricional da população e até mudanças climáticas. Alguns modelos matemá-ticos epidemiológicos, que descrevem uma epidemia, podem se basear nos conhecimentos biológicos e na interação hospedeiro - parasita.[7] Sabendo-se a importância de se estudar o comportamento de epidemias, foram usados neste trabalho os modelos matemáticos epidemiológicos SI (Suscetível - Infectado) e SIR (Suscetível - Infectado - Recuperado).
Em diversas áreas do conhecimento humano encontram-se problemas cujo equaciona-mento envolvem variáveis que mudam discretamente. Nos modelos discretos as grandezas são medidas em intervalos de tempo, de minuto, dia, mês, ano, etc, formando sequências de pontos isolados. Neste processo, se estabelece relações entre os elementos da etapa t + 1 e os da etapa anterior t. Estas relações são chamadas fórmulas recursivas ou de recorrência denominadas Equações de Diferenças. Balde (1993) apresenta dois modelos determinísticos em tempo discreto que sugerimos a leitura, são eles: Dinâmica Populaci-onal de uma Colmeia que é descrito por uma equação de diferenças de primeira ordem e Propagação de Plantas Anuais por uma segunda ordem.
São muitos os modelos matemáticos apresentados nos últimos anos com o objetivo de analisar e avaliar a dinâmica da epidemia de algumas doenças transmissíveis. A hanse-níase é uma das doenças que já vem sendo estudada através desses modelos matemáticos. Destacamos os estudos sobre a modelagem da hanseníase feitos por Balde (1993), o qual faz um estudo e análise de modelos determinísticos com equações de diferenças voltados para os fenômenos biológicos. Flores (1995) apresenta diversos modelos epidemiológicos que procuram descrever a dinâmica da hanseníase na população através de equações di-ferenciais. Silva (2009) utiliza um modelo matemático determinístico de tempo discreto construído a partir das Equações de Diferenças Finitas para fazer uma análise e estudo da hanseníase em Imperatriz no Estado do Maranhão.
Para Bassanezi (2006) um modelo matemático é uma representação simbólica envol-vendo uma formulação matemática abstrata. Uma formulação matemática somente se torna um modelo quando as variáveis inter-relacionadas têm signi cados próprios prove-nientes da situação modelada. Acredita-se que esta proposta de modelagem da hanseníase é bastante signi cativa já que está contextualizada e com dados da cidade de Codó. De qualquer modo sempre é possível modi car um modelo já que um modelo matemático é considerado adequado quando for satisfatório na opinião do seu modelador, o que torna qualquer modelo matemático vulnerável e sempre passível de ser modi cado.[3]
mate-máticos que, após analisados, fornecem resultados que podem ser interpretados e aplicados em casos reais. A importância do estudo da epidemiologia está ligada ao fato de se tentar prever o comportamento de uma epidemia e, antecipadamente, adotar uma política de prevenção para que ela não se alastre e tome proporções que saiam do nosso controle. Até aqui abordou-se alguns aspectos técnicos e quantitativos da hanseníase; a importância da epidemiologia matemática para o estudo, análise e prevenção de epidemias; bem como alguns trabalhos voltados para o estudo e análise de epidemias da doença. Caracteriza-se, agora a cidade de Codó, no Estado do Maranhão, onde foi realizada a pesquisa e que, portanto, é o objeto de estudo deste trabalho.
Codó é um município brasileiro do estado do Maranhão. Possui uma área de 4.364,499 km², dos quais 4,452 km² estão em zona urbana e com população de 118.038 habitantes, de acordo com o IBGE (2010), sendo então o quinto município mais populoso do Estado. É sede da Região de Planejamento dos Cocais. O início do povoamento de Codó data do ano de 1780, sendo um dos seus primeiros exploradores o agricultor Luís José Rodrigues que morava próximo a um antigo armazém de mercadorias, situado às margens do rio Itapecuru. Foram fatores importantes para o seu desenvolvimento as atividades agrícolas mantidas pelos ricos senhores da aristocracia rural maranhense e por agricultores portu-gueses instalados na Colônia Petrópolis, numa iniciativa de Francisco Marques Rodrigues. Decisiva também para o seu crescimento foi a imigração de sírios e libaneses, a partir de 1887. [16]
Em 1892, construía-se a primeira indústria de Codó - Companhia Manufatureira e Agrícola, de propriedade de Emílio Lisboa. Um dos diretores da fábrica, genro do seu proprietário era João Ribeiro, que em 1908 levava para Codó Sebastião Archer da Silva que fora para trabalhar como escriturário e anos mais tarde se tornaria o proprietário da fábrica e um dos principais políticos do estado do Maranhão.
No nal do seculo XVIII, o comendador Pau Real explorava a região extraindo toda a madeira de lei da região entre a margem direita do rio Codozinho ou rio Codó e a margem esquerda do rio Itapecuru, local onde hoje está situada a cidade de Codó. Com a derrubada das grandes árvores, caram seus codos, tocos ou troncos cortados, região essa que passou a ser chamada de região do codório, local onde tem muitos codos cortados, os primeiros habitantes construíram suas habitações na região dos codórios ou troncos cortados, onde eram desmatadas criando assim a freguesia do codório ou povoado do Codório, que com o passar dos anos foi abreviado para Codó, que passou a categoria de vila na década de 1830 e a categoria de cidade em 1896 com a criação do município de Codó. [16]
O município de Codó (Figura 1.1) faz parte da Mesorregião Leste Maranhense e integra a microrregião Codó. Está situado na área de transição entre as Regiões dos Cocais e do Cerrado Maranhense limitando-se com vários municípios da região: norte com Timbiras, a sul Governador Archer, a leste Caxias, a oeste Capinzal do Norte. A sede municipal
localiza-se nas coordenadas geográ cas - 4 º27'19 S e 43º53'08 W. A sede do município está a 47 metros de altitude.[21] A população total de acordo com estimativas do IBGE (2015) é de 120.265 habitantes conforme [9]
Figura 1.1: Mapa com a localização geográ ca do município de Codó, no Maranhão e Brasil. Fonte: Wikipédia. Conforme [16]
Segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS) o Brasil ocupa o primeiro lugar no ranque de países com maior incidência e o segundo lugar na prevalência mundial de hanseníase, cando atrás somente da Índia. Concentra 90% dos casos registrados no Continente Americano, com média de 47 mil casos novos da enfermidade a cada ano, de acordo com [22]. A hanseníase é uma doença tratada como um grave problema de saúde publica, além de fazer parte do grupo das doenças negligenciadas e relacionadas com a pobreza.
A cidade de Codó está entre as cinco cidades com maior coe ciente de prevalência de hanseníase do Estado do Maranhão, segundo a Secretaria de Estado da Saúde (SES-MA). Em 2014 o município de Codó foi contemplado com o Projeto Ações Inovadoras para o Controle da hanseníase, com principal objetivo fazer a busca ativa nos bairros prioritários com alta incidência da doença. Os bairros trabalhados foram: Santo Antônio, São Francisco, Codó Novo e São Sebastião. Cada bairro conta com Unidades Básicas de Saúde (Estratégia da Saúde da Família), com pro ssionais capacitados para prestar um melhor atendimento. A equipe do Projeto era composta por dois enfermeiros, oito técnicos de enfermagem, um digitador e pela coordenadora municipal do Programa de Controle da Hanseníase com o propósito de identi car precocemente a suspeita da hanseníase durante
as visitas realizadas, com a avaliação da pele dos moradores e conscientização dos agravos da doença e se necessário, encaminhamento ao posto de saúde para avaliação médica.
Estes fatos são motivadores para a realização desta pesquisa na área de Biomatemá-tica cujo o objetivo principal é fazer uma análise e avaliação da dinâmica da epidemia da hanseníase, através de uma modelagem matemática da doença para o município de Codó utilizando-se as Equações de Diferenças Finitas, bem como fazer projeções para a população de infecciosos com dados compreendidos no período entre 2001 a 2014 for-necidos pela Secretaria Municipal de Saúde (SMS-Codó) através do Setor de Vigilância Epidemiológica.
A relevância deste trabalho reside no fato do modelo utilizado ser de fundamental importância para avaliação e análise da epidemia de hanseníase em Codó e outras re-giões. Espera-se estar contribuindo com a Epidemiologia Matemática e também com as autoridades públicas que atuam na área de epidemiologia.
Esta dissertação está dividida do seguinte modo: No Capítulo 2 apresenta-se alguns aspectos importantes sobre a hanseníase: sua história, a doença, características gerais, aspectos clínicos e laboratoriais, o diagnóstico laboratorial, os aspectos epidemiológicos, os indicadores e o tratamento.
No Capítulo 3 apresenta-se a situação atual da hanseníase com dados numéricos con-forme os indicadores de monitoramento que retratam a incidência e prevalência da doença no Mundo, no Brasil e em Codó no Estado do Maranhão.
No Capítulo 4 apresenta-se a de nição, conceitos e propriedades das Equações de Diferenças Finitas. As equações de diferenças lineares de 1ª ordem foram apresentadas através de exemplos, simulações numéricas e representações grá cas das soluções com o intuito de facilitar a leitura e a compreensão. Apresenta-se as Equações de Diferenças Não-Lineares (1ª ordem) - estabilidade e pontos de equilíbrio que é a ferramenta fundamental aplicada na modelagem da hanseníase, nesta pesquisa.
No Capítulo 5 apresenta-se a Epidemiologia Matemática, estudo da propagação de do-enças transmissíveis em populações de indivíduos, destacando sua nalidade para estudar e analisar o modo de transmissão e a gravidade de uma epidemia. O processo epidêmico só passou a ter um tratamento matemático a partir da hipótese de Hamer (1906) conhecida como o Princípio da Ação das Massas e dos trabalhos de Kermack (1898-1970) e Mc-Kendrick (1876-1943) que em 1927 estabeleceram a Teoria do Valor Limiar. Também tratou-se os modelos matemáticos SI e SIR, dando ênfase na forma compartimental e o sistema de equações de diferenças que os compõe.
No Capítulo 6 apresenta-se uma modelagem matemática da hanseníase para o muni-cípio através de uma equação logística discreta (equação de diferenças não-linear) com o intuito de descrever e avaliar a dinâmica da epidemia da doença, bem como fazer proje-ções para a população de infecciosos do município, com dados compreendidos no período entre 2001 a 2014 fornecidos pela SMS através do setor de Vigilância Epidemiológica do
município de Codó
Capítulo 2
A HANSENÍASE
2.1 A História
Figura 2.1: Cristo curando um leproso. (Obs: gura tirada de [20])
O bacilo Mycobacterium leprae tem andado pelo mundo há muito tempo. Já no século 6 a.C., havia referências à temida doença por ele causada: a Hanseníase. Também conhecida como lepra ou mal de Lázaro, antigamente a enfermidade era associada ao pecado, à impureza, à desonra. Por falta de conhecimento especí co, a hanseníase era muitas vezes confundida com outras doenças, principalmente as de pele e venéreas. Daí o preconceito em relação ao seu portador: a transmissão da doença pressupunha um contato corporal, muitas vezes de natureza sexual e, portanto, pecaminoso.[20] Narrativas religiosas associavam as marcas na carne aos desvios da alma: eram os sacerdotes, e não os médicos, que davam o diagnóstico.
No Velho Testamento, o rei Uzziah foi punido por Deus com a doença, por ter realizado uma cerimônia exclusiva aos sacerdotes. Mesmo sendo rei, teve que ir morar numa casa isolada e não foi enterrado no cemitério dos soberanos. Já no Novo Testamento, é marcante o episódio em que Cristo cura um leproso,[1] como mostra a gura 2.1.
A origem da hanseníase não é fácil de ser de nida. A ideia mais generalizada fornece como foco originário o velho Egito e a milenária Índia.[14] Acredita-se que do Egito a doença disseminou-se em duas direções: uma para o Continente Africano e a outra para o Oriente Médio. Através da dominação Helênica, invade a Grécia dois séculos mais tarde. A dominação e extensão do Império Romano leva-a ao coração da Europa. As invasões e conquistas que se sucedem: o ativo comércio que durante a alta Idade Média mantém os países ocidentais com a Ásia Menor e o Oriente; a invasão da Península Ibérica pelos Sarracenos e as Cruzadas foram outros fatores primordiais para a disseminação e incremento da doença. A julgar pelos historiadores americanos, antes da chegada dos espanhóis à América, os aborígenes deste continente estavam livres da doença. E foram estes, junto com os portugueses, os portadores. A gravidade que a doença alcançou na América foi devido ao trânsito de escravos. A superpopulação existente nas costa do Mar da China, aliadas à miséria reinante e a facilidade pela emigração e sua aclimatação, deu origem a novos focos nas ilhas oceânicas, nos séculos XVIII e XIX.[15]
Na Idade Média, quando não eram enviados para leprosários e excluídos da sociedade, os doentes não podiam entrar em igrejas, tinham que usar luvas e roupas especiais, carre-gar sinetas ou matracas que anunciassem sua presença como retrata a gura 2.2, e para pedir esmolas, precisavam colocar um saco amarrado na ponta de uma longa vara. Não havia cura e ninguém queria um leproso por perto.[20]
Figura 2.2: Um leproso usando um sino na Idade Média. (Obs: gura tirada de [20])
Somente em 1873, a bactéria causadora da moléstia foi identi cada pelo norueguês Armauer Hanse, ver gura 2.3, a partir dai, as crenças de que a doença era hereditária, fruto do pecado ou castigo divino foram afastadas. Porém, o preconceito persistiu, e a exclusão social dos acometidos foi até mesmo reforçada pela teoria de que o con namento dos doentes era o caminho para a extinção do mal.[14]
Figura 2.3: Armauer Hansen (1841-1912). (Obs: gura retirada de [20]
No Brasil, até meados do século XX, os doentes eram obrigados a se isolar em leprosá-rios e tinham seus pertences queimados, uma política que visava muito mais o afastamento dos portadores do que um tratamento efetivo. Apenas em 1962 a internação compulsória dos doentes deixou de ser regra. O avanço das pesquisas comprovou que a hanseníase nem é uma doença tão contagiosa assim. Terapias foram desenvolvidas e, em 1981, a OMS passou a recomendar a poliquimioterapia. Em muitos países desenvolvidos, a hanseníase já foi erradicada. Desde 1995, o tratamento é gratuitamente oferecido para os pacientes do mundo todo, e, nesse mesmo ano, no Brasil, o termo lepra e seus derivados foram proi-bidos de serem empregados nos documentos o ciais da Administração, em uma tentativa de reduzir o estigma da doença. Esse estigma, porém, vai muito além da denominação. Associada ao pecado na Antiguidade, a hanseníase hoje evidencia desigualdades sociais, afetando sobretudo as regiões mais carentes do mundo. Por isso, o preconceito persiste e muitas pessoas ainda acreditam que apenas os pobres adquirem a doença. No entanto, apesar de ser transmitida mais facilmente quando as condições sanitárias e de habitação não são adequadas, a hanseníase não escolhe, nem nunca escolheu, classe social.[20]
2.2 A Doença
A hanseníase é uma doença infectocontagiosa de evolução crônica que se manifesta, principalmente, por lesões cutâneas com diminuição de sensibilidade térmica, dolorosa e tátil. Tais manifestações são resultantes da predileção do Mycobacterium leprae, agente causador da doença de Hansen, em acometer células cutâneas e nervosas periféricas. Du-rante as reações (surtos reacionais), vários órgãos podem ser acometidos, tais como, olhos, rins, supra renais, testículos, fígado e baço.[14]
O Mycobacterium leprae tem a capacidade de infectar grande número de indivíduos (alta infectividade), no entanto poucos adoecem (baixa patogenicidade), propriedades es-tas que não são função apenas de suas características intrínsecas, mas que dependem, sobretudo, de sua relação com o hospedeiro e grau de endemicidade do meio, entre ou-tros. O domicílio é apontado como importante espaço de transmissão da doença, embora ainda existam lacunas de conhecimento quanto aos prováveis fatores de risco implicados, especialmente aqueles relacionados ao ambiente social. O alto potencial incapacitante da hanseníase está diretamente relacionado ao poder imunogênico do bacilo causador. A melhoria das condições de vida e o avanço do conhecimento cientí co modi caram signi cativamente esse quadro e, hoje, a hanseníase tem tratamento e cura.[6]
2.2.1 Características Gerais da Hanseníase
Agente Etiológico
O M. leprae é um bacilo álcool-ácido resistente, em forma de bastonete. É um parasita intracelular, sendo a única espécie de micobactéria que infecta nervos periféricos, especi- camente células de Schwann. Esse bacilo não cresce em meios de cultura arti ciais, ou seja, in vitro.[6] Ver Figura 2.4
Figura 2.4: Imagem do Mycobacterium leprae. Fonte: https://www.google.com.br. Ti-rado de [17]
Reservatório
O ser humano é reconhecido como a única fonte de infecção, embora tenham sido iden-ti cados animais naturalmente infectados - o tatu, o macaco mangabei e o chimpanzé. Os doentes com muitos bacilos (multibacilares-MB) sem tratamento - hanseníase virchowiana e hanseníase dimorfa são capazes de eliminar grande quantidade de bacilos para o meio exterior (carga bacilar de cerca de 10 milhões de bacilos presentes na mucosa nasal).[6]
A principal via de eliminação dos bacilos dos pacientes multibacilares (virchowianos e dimorfos) é a aérea superior, sendo, também, o trato respiratório a mais provável via de entrada do M. leprae no corpo.[4]
Período de incubação
A hanseníase apresenta longo período de incubação; em média, de 2 a 7 anos. Há referências a períodos mais curtos, de 7 meses, como também a mais longos, de 10 anos.[6]
Período de transmissibilidade
Os doentes com poucos bacilos - paucibacilares (PB), indeterminados e tuberculóides - não são considerados importantes como fonte de transmissão da doença, devido à baixa carga bacilar. Os pacientes multibacilares, no entanto, constituem o grupo contagiante, assim se mantendo como fonte de infecção, enquanto o tratamento especí co não for iniciado.[6]
Suscetibilidade e imunidade
Como em outras doenças infecciosas, a conversão de infecção em doença depende de interações entre fatores individuais do hospedeiro, ambientais e do próprio M. leprae. Devido ao longo período de incubação, a hanseníase é menos frequente em menores de 15 anos, contudo, em áreas mais endêmicas, a exposição precoce, em focos domicilia-res, aumenta a incidência de casos nessa faixa etária. Embora acometa ambos os sexos, observa-se predominância do sexo masculino.[6]
2.2.2 Aspectos clínicos e laboratoriais
O diagnóstico é essencialmente clínico e epidemiológico, realizado por meio da aná-lise da história e condições de vida do paciente, do exame dermatoneurológico, para iden-ti car lesões ou áreas de pele com alteração de sensibilidade e/ou comprometimento de nervos periféricos (sensitivo, motor e/ou autonômico). Os casos com suspeita de compro-metimento neural, sem lesão cutânea (suspeita de hanseníase neural pura), e aqueles que apresentam área com alteração sensitiva e/ou autonômica duvidosa e sem lesão cutânea evidente deverão ser encaminhados para unidades de saúde de maior complexidade para con rmação diagnóstica. Recomenda-se que nessas unidades os mesmos sejam submeti-dos novamente ao exame dermatoneurológico criterioso, à coleta de material (baciloscopia ou histopatologia cutânea ou de nervo periférico sensitivo), a exames eletro siológicos e/ou outros mais complexos, para identi car comprometimento cutâneo ou neural dis-creto e para diagnóstico diferencial com outras neuropatias periféricas. Em crianças, o diagnóstico da hanseníase exige exame criterioso, diante da di culdade de aplicação e interpretação dos testes de sensibilidade.[6] O diagnóstico de hanseníase deve ser recebido
de modo semelhante ao de outras doenças curáveis. Se vier a causar impacto psicológico, tanto a quem adoeceu quanto aos familiares ou pessoas de sua rede social, essa situação requererá uma abordagem apropriada pela equipe de saúde, que permita a aceitação do problema, superação das di culdades e maior adesão aos tratamentos. Essa atenção deve ser oferecida no momento do diagnóstico, bem como no decorrer do tratamento da do-ença e, se necessária, após a alta.[4] A classi cação operacional dos casos de hanseníase, visando o tratamento com poliquimioterapia é baseada no número de lesões cutâneas, apresentadas nas Figuras 2.5 e 2.6 que mostram os diferentes casos de hanseníase, de acordo com o número de lesões cutâneas:
Paucibacilar (PB) - casos com até 5 lesões de pele;
Figura 2.5: Hanseníase Paucibacilar. Fonte: Guia para o Controle da hanseníase. Con-forme [4]
Multibacilar (MB) - casos com mais de 5 lesões de pele.
Figura 2.6: Hanseníase Multibacilar. Fonte: Guia para o Controle da hanseníase. Con-forme [4]
2.2.3 Diagnóstico laboratorial
Exame baciloscópico - a baciloscopia de pele (esfregaço intradérmico), quando dis-ponível, deve ser utilizada como exame complementar para a classi cação dos casos em
PB ou MB. A baciloscopia positiva classi ca o caso como MB, independentemente do nú-mero de lesões.[6] A Figura 2.7 mostra uma sinopse para classi cação das formas clínicas da hanseníase.
Figura 2.7: Classi cação das formas clínicas da hanseníase. Fonte: Guia de Vigilância Epidemiológica. Conforme [6]
2.2.4 Aspectos epidemiológicos
O Programa Nacional de Controle da Hanseníase (PNCH) assume como objetivo de saúde pública o controle da doença e privilegia, nesse aspecto, o acompanhamento epidemiológico por meio do coe ciente de detecção de casos novos, em substituição ao indicador de prevalência pontual, optando pela sua apresentação por 100.000 habitantes, para facilitar a comparação com outros eventos. O foco é a atenção integral e uma ação integrada em regiões, estados e municípios envolvidos, que representam áreas com maior risco, onde se encontram a maioria dos casos, para reduzir as fontes de transmissão. Essas áreas concentram 53,5% dos casos detectados, em apenas 17,5% da população brasileira residente em extensas áreas geográ cas, sede de muitas tensões, o que adiciona maior complexidade a intervenções efetivas. Determinantes sociais e históricos, associados à ocupação da Amazônia Legal e à manutenção de iniquidades sociais na região Nordeste, ajudam a explicar o acúmulo de pessoas infectadas, em se tratando de doença de longo período de incubação. O coe ciente de detecção em menores de 15 anos é prioridade da política atual de controle da hanseníase no país, por indicar focos de infecção ativos e transmissão recente. Essa informação fortalece o esforço pelo alcance da meta do PAC (Mais Saúde/MS), de redução do coe ciente de detecção dos casos novos em menores de 15 anos de idade em 10,0%, no país, até 2011. A hanseníase apresenta tendência de estabilização dos coe cientes de detecção no Brasil, mas ainda em patamares muito altos
nas regiões Norte, Centro-oeste e Nordeste.[4]
2.2.5 Os indicadores
Indicadores são aproximações quanti cadoras de um determinado fenômeno. Po-dem ser usados para ajudar a descrever determinada situação e para acompanhar mu-danças ou tendências em um período de tempo. Os indicadores de saúde permitem a comparabilidade entre diferentes áreas ou diferentes momentos e fornecem subsídios ao planejamento das ações de saúde. Os indicadores para o monitoramento da hanseníase constam na Portaria SVS/SAAS/MS nº 125, de 26 de março de 2009. [6] A Tabela 2.1 apresenta a construção, a utilidade e os parâmetros necessários para se fazer o acompa-nhamentos, a análise e a avaliação da dinâmica da epidemia de hanseníase a por meio dos indicadores de monitoramento.
Tabela 2.1: Indicadores de monitoramento e avaliação da hanseníase. Fonte: Guia de Vigilância Epidemiológica. Conforme [6]
2.2.6 O Tratamento
O tratamento integral de um caso de hanseníase compreende o tratamento qui-mioterápico especí co - a poliquimioterapia (PQT), seu acompanhamento, com vistas a identi car e tratar as possíveis intercorrências e complicações da doença e a prevenção e o
tratamento das incapacidades físicas. O tratamento especí co da pessoa com hanseníase, indicado pelo Ministério da Saúde, é a PQT padronizada pela OMS devendo ser realizado nas unidades de saúde. A PQT mata o bacilo tornando-o inviável, evita a evolução da doença, prevenindo as incapacidades e deformidades causadas por ela, levando à cura. O bacilo morto é incapaz de infectar outras pessoas, rompendo a cadeia epidemiológica da doença. Assim sendo, logo no início do tratamento, a transmissão da doença é in-terrompida, e, sendo realizado de forma completa e correta, garante a cura da doença. A PQT é constituída pelo conjunto dos seguintes medicamentos: rifampicina, dapsona e clofazimina, com administração associada. [4] Para aprofundamento no tratamento da doença sugerimos a leitura de [4] e [6]
Capítulo 3
A SITUAÇÃO ATUAL DA
HANSENÍASE
3.1 A Hanseníase no Mundo e no Brasil
Segundo o boletim epidemiológico da OMS de 27 Agosto de 2010, 16 países no mundo noti caram mil ou mais casos em 2009. A Ásia apresentou a maior taxa de detecção, 9,39 casos por 100.000 habitantes, seguida das Américas com 4,58 casos por 100.000 habitantes. Nestas regiões os dados foram fortemente in uenciados pelo número de casos noti cados pela India com 133.717, maior número de casos, e pelo Brasil com 37.610 casos, o segundo país em número de casos. Dos 40.474 casos novos nas Américas 93% são casos noti cados no Brasil. O PNCH no Brasil, através de suas ações de controle, conseguiu reduzir importantes indicadores da gravidade da endemia. O coe ciente de detecção de casos novos de hanseníase em menores de 15 anos era de 5,89 por 100.000 habitantes em 2008 e baixou para 5,43 por 100.000 em 2009, representando uma redução de 7,8%. A meta de nida pelo Brasil foi uma redução de 10% até 2011.[22]
Os PNCHs nas regiões da OMS implementaram com sucesso a Estratégia Global 2006-2010, baseada na detecção precoce de casos novos e tratamento com PQT. Em colaboração com os PNCHs e outros parceiros a OMS desenvolveu a Estratégia Global Aprimorada 2011- 2015 que enfatiza a sustentação da atenção à saúde com serviços de qualidade e a redução da carga da hanseníase não apenas através da detecção precoce dos casos novos mas também reduzindo a incapacidade, o estigma e discriminação, e a promoção da reabilitação social e econômica das pessoas afetadas.[22]
O Brasil ocupa o primeiro lugar no ranque de países com maior incidência e o segundo lugar na prevalência mundial de hanseníase, cando atrás somente da Índia. Concentra, com efeito, 90% dos casos registrados no Continente Americano, com média de 47 mil casos novos da enfermidade a cada ano. Nota-se que nos últimos 5 anos, a maior concentração destes casos deu-se nas regiões Norte, Nordeste e Centro-Oeste do Brasil. Ver [12]
Apresenta-se, agora, a distribuição regional da hanseníase no Brasil. As Figuras 3.1 e 3.2 apresentam o grau da epidemia de hanseníase por UF e nas regiões do Brasil através do coe ciente de detecção de casos novos no período de 2001 a 2009. Observa-se uma expan-são da hanseníase em focos localizados nas regiões Norte, Centro-Oeste e Nordeste com os mais altos índices do país, provavelmente associados às frentes de colonização agrícola da Amazônia Legal a partir dos anos 70 e ao crescimento desordenado de determinadas cidades e regiões metropolitanas [13]
Figura 3.1: Detecção de casos novos por UF do Brasil. (Obs: gura tirada de [22])
Figura 3.2: Detecção de casos novos por regiões do Brasil. (Obs: gura tirada de [22])
3.2 A Hanseníase no Maranhão e em Codó
Em relação à hanseníase, as 15 cidades mais endêmicas do Estado do Maranhão são: São Luís, Timon, Imperatriz, Caxias, Codó, São José de Ribamar, Açailândia, Santa Inês, Balsas, Santa Luzia, Barra do Corda, Zé Doca, Itapecuru, Bacabal e Coroatá.
Para solucionar esses agravos, o Governo do Estado, por meio SES, tem dado ênfase na capacitação e orientação de pro ssionais que trabalham no Programa Estadual de Controle da Hanseníase (PECH). A meta é conseguir reduzir o número de novos casos em 20% até o nal de 2018, intensi cando a Busca Ativa, que signi ca ir de casa em casa nos bairros mais endêmicos desses municípios em localidades com maior carga da doença. No dia 18 de agosto de 2015 foi realizado o Seminário Estadual de Avaliação do Programa de Controle da Hanseníase nos 45 municípios Prioritários do Maranhão, no auditório da Visão e Per l Eventos, das 8h30 às 17h30, em parceria com a Associação Alemã de Assistência aos Hansenianos e Tuberculosos (DAHM). No Seminário, foram debatidos temas como: Política de Atenção Básica e Hanseníase, Manejo clínico da Hanseníase em menores de 15 anos, Situação da Hanseníase no Brasil e no Maranhão, e Ações Inovadoras para o Controle da Hanseníase no município de Codó. Foi realizada também, uma mesa redonda para discussão do Enfrentamento da doença no Maranhão e ainda, trabalho em grupo para apresentação das Estratégias para alcance das metas. O trabalho de Busca Ativa, que faz parte das Ações Inovadoras do programa, já está funcionando em sete municípios, sendo eles: São Luís, Imperatriz, Açailândia, Caxias, Timon, São José de Ribamar e Codó. [8] A Tabela 3.1 apresenta a frequência dos casos de hanseníase por mês de noti cação durante os anos de 2001 a 2014 no município.
Tabela 3.1: Frequência de Hanseníase. Fonte: SMS de Codó-MA
O município de Codó apresenta altos índices de coe ciente anual de prevalência de hanseníase por 10.000 habitantes no estado do Maranhão, conforme a tabela 3.2 variando de 8,51/10.000 habitantes a 12,33/10.000 habitantes no período de 2001 a 2014, respecti-vamente e com média no período de aproximadamente 10.94017314/10.000 habitantes. ( Brasil: 2,06/10.000, Maranhão: 6,26/10.000 em 2008). Ver Figura 3.4.
Tabela 3.2: Variação de Infecciosos, Suscetíveis e Prevalência de Hanseníase em Codó 2001 a 2014. Fonte: Secretaria Municipal de Saúde-SINAN
A média de prevalência de hanseníase em Codó no período de 2001 a 2014 é aproxi-madamente 10,94/10.000 habitantes, isto mostra que a magnitude da epidemia em nosso município é classi cada como Muito Alto. Ver a tabela 2.1
Comparando as guras 3.3 e 3.4 que mostram as prevalências de hanseníase em Codó e no Maranhão podemos constatar que a epidemia de hanseníase em Codó está em um guau bem elevado. Por exemplo em 2010 a prevalência em Codó foi de 10,93 por 10.000 habitantes enquanto que no estado do Maranhão foi de 5,67 por 10.000 habitantes, é quase o dobro de casos. E isto é um padrão que se segue durante os anos de 2001 a 2014 que foi o período histórico pesquisado.
Figura 3.3: Prevalência Codó 2001 a 2014. Fonte: Secretaria Municipal de Saúde -SINAN
Figura 3.4: Prevalência Maranhão - 2001 a 2012. Fonte: SINAN
Figura 3.5: Equipe do Projeto das Ações Inovadoras recebendo capacitação sobre noções básicas para controle da Hanseníase. Fonte: SMS-PMCH- Codó-MA
A Figura 3.5 mostra a equipe do Projeto das Ações Inovadoras recebendo capacitação sobre noções básicas para controle da hanseníase. As principais di culdades encontradas durante a busca ativa, segundo a equipe do programa, foram
Encontrar os moradores em suas residências; Di culdade ou recusa ao receber a equipe; Não aceitação para serem examinadas;
Suspeitos não procuram o posto para a realização das consultas.
As Figuras 3.6 e 3.7 mostram a atuação da equipe de Vigilância Epidemiológica durante a realização da busca ativa no bairro Codó Novo na cidade de Codó. A maioria das pessoas suspeitas encontradas não se disponibilizaram a colaborar principalmente por conta do medo, preconceito e discriminação que ainda esta muito forte na cidade, como foi possível constatar durante as visitas.
Figura 3.6: Suspeito encontrado na Busca Ativa. Fonte: SMS-PMCH- Codó-MA
Capítulo 4
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS
FINITAS
O texto apresentado neste capítulo se baseia no livro Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática do Prof. Rodney Carlos Bassanezi.[3] Este capítulo tem como objetivo apresentar os principais conceitos relacionados às Equações de Diferenças Finitas, que são necessários para uma melhor compreensão dos cálculos apresentados ao longo do texto.
Os modelos discretos são representados por equações de diferenças e são muito im-portantes para a modelagem de diversas situações. Neste trabalho aplicou-se um modelo discreto na análise e estudo da dinâmica da epidemia de hanseníase. Nos modelos dis-cretos as grandezas são medidas em intervalos como um minuto, uma hora, um dia, um ano, etc, formando sequências de pontos isolados. Para aprofundamento sobre o assunto sugeri-se a leitura de [2], [3], [11], [13] e [18].
De nição 4.1. Equação de diferenças nitas é uma relação da forma:
yn+k = f (yn, yn+1, yn+2, . . . , yn+k−1) (4.1)
onde f : L ⊂ N → Y ⊂ R, entre a variável independente n, a variável dependente y e sua diferença nita.1
A incógnita de uma equação de diferenças nitas é uma sequência (y0, y1, y2, . . . yn−1, yn, . . .) , cujos termos devem satisfazer uma relação dada.
Quando a expressão de f é conhecida, dizemos que: yn+1 = f (yn) é uma equação de
primeira ordem, yn+2 = f (yn, yn+1) é uma equação de segunda ordem, de modo geral,
yn+k = f (yn, yn+1, . . . , yn+k−1) é uma equação de diferenças de ordem k.
Observação. Uma igualdade do tipo yn+1 = f (yn) nos diz que o estado ou contagem de
um sistema no estágio n + 1 depende apenas do estado no estágio n anterior. Assim uma
1Os valores da variável independente n são igualmente espaçados com amplitude 1. Exemplo um dia, um
vez xado um valor inicial y0 para a variável dependente, toda a equação de primeira
ordem admite uma solução (y0, y1, y2, . . . , yn, . . .) com valor inicial y0, bastando para
isso tomar y1 = f (y0) , y2 = f (y1)e assim sucessivamente .
4.1 Equações de Diferenças Lineares
As equações lineares de ordem (n − m) são da forma:
yn = αn−1yn−1+ αn−2yn−2+ · · · + αmym. (4.2)
com αi constantes, m < n e (n − m) condições iniciais.
4.1.1 Equação de primeira ordem, n − m = 1
Exemplo 4.2. Pode-se resolver a equação 4.3 através de dois modos diferentes.
yn= ayn−1 y0 dado (4.3)
O processo recursivo fornece:
y1 = ay0 y2 = ay1 = a2y0 ... yn= ayn−1= any0 portanto, yn= y0an (4.4)
a equação 4.4 é a solução de 4.3 satisfazendo a condição inicial y0 dado.
Uma outra maneira para resolver a equação 4.3 é supor que yn = kλnseja uma solução,
logo substituindo na expressão 4.3, tem-se:
kλn−1[λ − a] = 0 λ1 = 0 ou λ2 = a
Desde que, para n = 0 deve-se ter y0 = kλ0, então k = y0. Assim,
yn = 0 se y0 = 0 y0an se y0 6= 0 (4.5)
Para o valor inicial dado y0 6= 0 observa-se que:
Se a > 1, yn cresce ilimitadamente; æ æ æ æ æ 1 2 3 4 n 5 10 15 yn
Figura 4.1: A solução cresce ilimitadamente. Caso em que a = 2, y0 = 1
Se a = 1, yn é constate; æ æ æ æ æ 1 2 3 4 n 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yn
Figura 4.2: A solução é uma sequência constante. Caso em que a = 1, y0 = 1
æ æ æ æ æ 1 2 3 4 n 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yn
Figura 4.3: A solução é uma sequência de pontos tendendo para zero. Caso em que a = 0.5, y0 = 1
Se −1 < a < 0, yn oscila convergindo para zero.
æ æ æ æ æ 1 2 3 4 n -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yn
Figura 4.4: A solução oscila convergindo para zero. Caso em que a = −0.5, y0 = 1
Se a = −1, yn oscila entre dois pontos.
æ æ æ æ æ 1 2 3 4 n -1.0 -0.5 0.5 1.0 yn
Figura 4.5: A solução é uma sequência que oscila entre dois pontos
æ æ æ æ æ æ 1 2 3 4 5 n -30 -20 -10 10 yn
Figura 4.6: A solução é uma sequência que oscila divergindo. Onde a = −2, y0 = 1
Exemplo 4.3. A solução da equação linear yn+1 = ayn+ b, onde a, b ∈ R com y0 dado,
uma equação de diferenças nitas de primeira ordem pode ser encontrada do seguinte modo:
O processo recursivo nos fornece: y1 = ay0+ b y2 = ay1+ b = a2y0+ (1 + a) b y3 = ay2+ b = a3y0+ (1 + a + a2) b y4 = ay3+ b = a4y0+ (1 + a + a2+ a3) b y5 = ay4+ b = a5y0+ (1 + a + a2+ a3+ a4) b ... yn = ayn−1+ b = any0+ (1 + a + a2+ · · · + an−1) b A solução geral de yn+1 = ayn+ b, (4.6) é dado por yn = y0+ bn se a = 1 y0an+ b1−a n 1−a se a 6= 1 (4.7)
Se b = 0, então a equação 4.6 ca
yn+1− ayn = 0 (4.8)
supondo que a solução é da forma yn= kλn,a qual substituída na equação 4.8 encontramos
kλn+1− akλn= 0, dai vem,
kλn(λ − a) = 0
λ1 = 0 e λ2 = a
yn = 0 se y0 = 0 y0an se y0 6= 0 Se b 6= 0 então tem-se: yn=y0an+ b 1 − an 1 − a se a 6= 1 yn=y0an+ b 1 − a − b 1 − a an (4.9) Fazendo y∗ = b 1−a em 4.9 tem-se: yn = y0an+ y∗− y∗an yn= an(y0− y∗) + y∗ (4.10) Se yn+1> yn então an+1(y0− y∗) + y∗ > an(y0− y∗) + y∗ isto é an(y0− y∗) a > an(y0− y∗) se y0 6= y∗ logo a > 1.
1. Se |a| > 1, então yn cresce ilimitadamente;
2. Se |a| = 1, então yn permanece constante;
3. Se |a| < 1, yn decresce.
4.1.2 Equação linear de segunda ordem, n − m = 2
Uma equação geral de diferenças de segunda ordem é da forma:
yn = ayn−1+ byn−2com y0e y1dados (4.11)
Considera-se que yn = kλn seja uma solução da equação 4.11, então tem-se,
kλn− akλn−1− bkλn−2= 0
kλn−2λ2− aλ − b = 0 logo, λ = 0 ou λ2 − aλ − b = 0
Para λ 6= 0, P (λ) = λ2 − aλ − b é o polinômio característico de 4.11 e suas raízes
λ1,2 são denominadas autovalores,
λ2− aλ − b = 0 =⇒ λ1,2 =
a ±√a2+ 4b
2 (4.12)
λ1,2 são univocamente determinado pelos valores dos coe cientes a e b
Observação 4.4. Para as equações lineares vale o princípio da superposição, isto é, se temos várias soluções, então a combinação linear entre elas também é uma solução. Como λ1e λ2
foram determinados com kλn
1e kλn2 como soluções, podemos concluir que
yn= A1λn1 + A2λn2 (4.13)
também é uma solução.
Quando λ1 6= λ2 as constantes A1e A2 são determinadas univocamente através das
condições iniciais y0e y1 : para n = 0 ⇒ y0 = A1 + A2; para n = 1 ⇒ y1 = A1λ1+ A2λ2 O sistema A1+ A2 = y0 A1λ1+ A2λ2 = y1
admite como solução os valores
A2 = λ1y0− y1 λ1 − λ2 e A1 = y0− λ1y0− y1 λ1− λ2 (4.14) Quando λ1 = λ2 = a2 então a solução geral de 4.11 é dada por
yn= (A1+ nA2)
a 2
n
(4.15) para encontrar as constantes A1e A2 a partir da equação 4.15 , faz-se
n = 0 ⇒ y0 = A1 n = 1 ⇒ y1 = (A1+ A2)a2 ⇒ A2 = 2ya1 − y0 (4.16)
4.2 Equações de Diferenças nãolineares (1ª ordem)
-estabilidade e pontos de equilíbrio.
Uma equação de diferenças não-linear de 1ª ordem é uma fórmula de recorrência do tipo
onde f é uma combinação não linear de Yt ( quadráticas, potências, exponenciais etc).
Uma maneira de analisar estas equações é através de seus pontos de equilíbrio. No contexto das equações de diferenças tem-se a estabilidade do processo quando não ocorre variações do estágio t para o estágio t + 1, quando
Yt+1= Yt= Y∗ (4.18)
Da equação 4.17, tem-se um ponto de equilíbrio Y∗ quando
Y∗ = f (Y∗) (4.19)
logo, Y∗ é um ponto xo da função f.
A estabilidade de um ponto de equilíbrio Y∗ pode ser determinada pelo valor do
módulo de λ = df (Yt) dYt Yt=Y∗ (4.20) λ = coe ciente angular da reta tangente á curva f(Yt) no ponto Y∗. O parâmetro λ
é o autovalor do equilíbrio Y∗ da equação 4.17.
Se 0 < |λ| < 1, Y∗ é assintoticamente estável, isto é, se Y
t está próximo de Y∗ então
Yt converge para Y∗.
Se |λ| > 1, o ponto de equilíbrio Y∗ é instável.
Se |λ| = 1, o ponto de equilíbrio é neutralmente estável, ou estável.
4.2.1 Equação Logística Discreta
Seja a equação de diferenças não linear dada por:
Yt+1= f (Yt) = rYt(1 − Yt), com r > 0. (4.21)
Considerando a equação logística discreta dada por 4.21, seus pontos de equilíbrio são dados pelos pontos xos de f ou seja,
Y∗ = f (Y∗) = rY∗(1 − Y∗) ou
rY∗− r (Y∗)2 = Y∗
Y∗[rY∗− (r − 1)] = 0 logo,
Y1∗ = 0 (ponto trivial) e Y2∗ = 1 − 1
r(ponto n˜ao trivial) (4.22) Os autovalores associados à equação 4.21 são dados por:
λ = df (Yt) dYt Yt=Y∗ λ = r − 2rYt (4.23) Para Y∗ 1 = 0, temos λ1 = r. Para Y∗ 2 = 1 − 1 r, temos λ2 = 2 − r
Deste modo, tem-se:
Se 0 < r < 1, tem-se 0 < λ1 < 1 e neste caso Y1∗ = 0 é assintoticamente estável.
Já λ2 > 1 e Y2∗ < 0 é instável. Neste caso tem-se Yt convergindo para Y1∗ = 0 e a
população de infectados deverá entrar em extinção. Se r > 1, tem-se λ1 > 1 e Y1∗ = 0 um ponto instável.
Se |λ2| < 1 = |2 − r| < 1, isto é 1 < r < 3, neste intervalo tem-se Y2∗ = 1 − 1r um
ponto assintoticamente estável. Neste caso qualquer população inicial de infecciosos tenderá para Y∗
Capítulo 5
EPIDEMIOLOGIA MATEMÁTICA
5.1 Introdução
A nalidade da epidemiologia matemática é descrever o fenômeno observado e estu-dar os efeitos de um mecanismo de intervenção no sistema hospedeiro/parasita. Através dos modelos matemáticos e epidemiológicos ela procura estudar e analisar o modo de transmissão e a gravidade de uma epidemia, como o número de doentes ou portadores, o acesso à saúde médica, o estado nutricional da população e até mudanças climáticas.[19] Alguns modelos matemáticos epidemiológicos que descrevem uma epidemia podem se basear nos conhecimentos biológicos e na interação hospedeiro/parasita, como podemos constatar em Júnior (2002) que apresenta um estudo epidemiológico do Mal de Chagas na população hospedeira humana através de modelos matemáticos determinísticos formula-dos por equações diferencias ordinárias. Balde (1993) faz um estudo e análise de modelos determinísticos com equações de diferenças voltados para os fenômenos biológicos. Flores (1995) apresenta diversos modelos epidemiológicos que procuram descrever a dinâmica da hanseníase na população através de equações diferenciais. Já Silva (2009) utiliza um modelo matemático determinístico de tempo discreto construído a partir das equações de diferenças para fazer uma análise e estudo da hanseníase em Imperatriz no Estado do Maranhão. Devemos destacar que os modelos matemáticos e epidemiológicos precisam ser aprimorados continuamente a partir das descobertas das ciências médicas e biológicas.
5.2 Um breve histórico
A epidemiologia, estudo da propagação de doenças transmissíveis em populações de indivíduos, já vem sendo estudada e analisada há tempos bastante remotos. É atri-buído a Hipócrates1 (458-377 a.C.) a famosa obra Epidemia, na qual mostrava interesse
e preocupação pelo processo epidêmico de doenças infecciosas. A epidemiologia teve um
desenvolvimento muito lento até o século XIX, sendo assumida como pesquisa cientí ca a partir dos trabalhos desenvolvidos por Pasteur e Kock.[3] Deste modo, cou claro a neces-sidade de controlar e prever a propagação de epidemias. Todavia, o processo epidêmico só passou a ter tratamento matemático a partir dos trabalhos de Hamer (1906) e Ross (1908).
A hipótese de Hamer cou conhecida como o princípio da ação das massas, isto é, o curso de uma epidemia deveria depender do número de indivíduos suscetíveis e de uma taxa de contato entre indivíduos suscetíveis e infecciosos. Este modelo foi originalmente proposto em tempo discretizado e depois Ross transformou num modelo de tempo contínuo para estudar e analisar a epidemia da malária.[19]
De grande importância para a epidemiologia matemática foram os trabalhos de Ker-mack (1898-1970) e McKendrick (1876-1943) que em 1927 estabeleceram a teoria do valor limiar segundo a qual a inserção de qualquer número de infecciosos em uma população de suscetíveis não acarreta nenhum surto epidêmico desde que o número inicial de suscetíveis seja inferior a um certo valor crítico. O apare-cimento dos computadores e o desenvolvimento em análise numérica possibilitaram uma análise mais profunda de sistemas de equações de diferenças e a introdução de simula-ções de dados.[2] Estes aparatos cientí cos possibilitaram um melhor desenvolvimento de modelos matemáticos para descrever e interpretar os fenômenos referentes aos processos epidêmicos. Este avanço na epidemiologia matemática tem dado subsídios para as auto-ridades sanitárias na de nição de políticas públicas de controle e prevenção de doenças transmissíveis.[11]
5.3 Modelos Epidemiológicos
Destaca-se, agora, alguns modelos matemáticos aplicados à Epidemiologia, enfati-zando sua forma compartimental e o sistema de equações de diferenças que a descreve. Segundo Bassanezi (2006, p. 151) um sistema de compartimentos consiste de um nú-mero nito de subsistemas interligados, chamados compartimentos, que trocam entre si e com o meio ambiente, quantidade de concentração de materiais. Cada compartimento é de nido por suas propriedades físicas.
Primeiramente, apresenta-se alguns conceitos básicos em epidemiologia necessários para entendimento, conforme [10], [11] e [13], são eles:
Epidemia: ocorrência de uma doença excedendo a expectativa normal; Endemia: ocorrência de uma doença por determinado período de tempo;
Doença Noti cável: doença de natureza infecciosa cuja noti cação de ocorrência é obri-gatória por lei;
Extinção Epidêmica: extinção de um parasita por serem os números de infecciosos tão baixos imediatamente a uma epidemia, que é possível remover todos eles por efeito de pequenas utuações randômicas;
Exposto: individuo infectado que ainda não é capaz de transmitir a doença; Infeccioso: indivíduo que transmite a doença;
Suscetíveis: são pessoas sadias, mas suscetíveis à epidemia, podendo ser infectadas quando em contado com pessoas doentes;
Removidos: são indivíduos que estão isolados, mortos ou curados;
Período Latente: intervalo de tempo entre o momento da infecção e a existência mate-rial da infecção no organismo de um indivíduo suscetível;
Período de Infecção: intervalo de tempo entre o momento da infecção e a aparição dos sintomas;
Força de infecção: incidência per capta ou taxa de ataque de uma doença. Dada pela incidência relativa ao número de indivíduos de uma população;
Razão de Reprodutividade Basal-R0: número de casos secundários que um caso
pri-mário é capaz de produzir em uma população totalmente suscetível. Se a razão de reprodutividade basal for menor que um (R0 < 1) então a doença se extinguirá, se
a razão de reprodutividade basal for maior que um (R0 > 1) a doença permanecerá
em estado endêmico. [19]
Neste estudo, considera-se uma população P dividida em classes disjuntas de suscetí-veis e infecciosos, sendo que as proporções de cada classe variam com o tempo t;
S = St :representa os suscetíveis no instante t;
I = It: representa os infecciosos no instante t.
Assume-se como hipóteses: 1) A população considerada tem um tamanho xo P su- cientemente grande em cada compartimento, logo podemos tomar P = S + I; 2) Estes modelos estudados admitem que a dinâmica vital considera as taxas de natalidade e mor-talidade iguais, assim como todos os recém nascidos são considerados como da classe dos suscetíveis; 3) Os indivíduos são retirados de cada classe por morte com uma taxa pro-porcional ao tamanho da classe, denominada taxa de remoção por unidade de tempo; 4) A população é considerada uniforme e homogeneamente distribuída; 5) A infecção de um indivíduo acontece a partir do contato de um indivíduo infeccioso com um suscetível; 6) Todos os indivíduos infectados têm o mesmo poder de transmitir a doença.
5.3.1 O Modelo SI
No modelo SI não acontece a recuperação dos doentes, os indivíduos infectados não retornam para a classe dos suscetíveis. Assim não ocorre a recuperação dos infecciosos. Sua dinâmica consiste em analisar somente os indivíduos infectados. As principais doenças que podem ser modeladas por este modelo são a AIDS e a Gripe. A Figura 5.1 mostra um esquema do modelo compartimental SI. [2]
Figura 5.1: Modelo Compartimental SI
O modelo SI tem sua dinâmica dada pelo sistema de equações de diferenças nitas indicado em 5.1 St+1= St− αStIt It+1 = It+ αStIt St> 0, It > 0, St+ It= 1 (5.1) onde:
αStIté a taxa de movimentação da classe de suscetíveis para a classe dos infecciosos;
Ste It representam a proporção na população dos suscetíveis e infecciosos,
respecti-vamente.
5.3.2 O Modelo SIR
Neste modelo epidemiológico os indivíduos se recuperam com imunidade. É o caso de doenças causadas por agente viral, como sarampo, caxumba e varíola. Este é o modelo de Kermack-McKendric (1927) no qual os indivíduos podem ser recuperados e tornados imunes à doença. Sua dinâmica consiste em analisar os indivíduos infectados e os recuperados. A Figura 5.2 mostra um esquema compartimental do modelo SIR.
Para este modelo o sistema de equações de diferenças será indicado por 5.2 St+1− St = −αStIt It+1− It = αStIt− βIt Rt+1− Rt = γIt S0 > 0, I0 > 0, R0 > 0 St+ It+ Rt= 1 (5.2)
O sistema 5.2 nos diz que:
Os suscetíveis decrescem a uma taxa proporcional ao encontro com os infecciosos; Os infecciosos aumentam na mesma proporção em que diminuem os sadios; Os removidos variam proporcionalmente aos infecciosos.
tem-se,
α =taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da classe de suscetíveis; β =taxa de transmissão ou infecciosidade proporcional ao contato entre os
indiví-duos;
γ =taxa de cura ou mortalidade.
Existem ainda, outros modelos epidemiológicos que não fazem parte do escopo deste estudo, entretanto, o leitor interessado pode remeter-se à [2], [3], [7], [10], [11], [13], [15] e [19].
Capítulo 6
MODELAGEM MATEMÁTICA PARA
HANSENÍASE EM CODÓ
6.1 Introdução
Neste capítulo, fezse a plicação de um modelo discreto do tipo SI (suscetíveis -infectados) na avaliação da dinâmica da hanseníase no município de Codó-MA com base em dados ao período compreendido entre 2001 e 2014, fornecidos pela Secretária Municipal de Saúde, por meio da Vigilância Epidemiológica do Município. Este capítulo foi baseado principalmente nas seguintes referências: [2], [3], [11], [13], [15] e [19].
O modelo é uma simpli cação de um modelo do tipo SIR (suscetíveis-infectados-removidos) onde a população é constituída apenas por suscetíveis St e infectados It.
6.2 O Modelo SIR
Para compreender a dinâmica da epidemia da hanseníase, utilizou-se um modelo compartimental de tempo discreto com três compartimentos: Stsuscetíveis, It infecciosos
e Rt de removidos conforme a Figura 6.1.
Figura 6.1: Modelo compartimental SIR
A Figura 6.1 mostra um esquema do processo epidemiológico para o modelo SIR. Para este modelo, o sistema de equações de diferenças, de acordo com[13], dado pelo sistema 6.1, será:
St+1− St = µ(St+ It− Rt) − βStIt It+1− It = βStIt− γIt Rt+1− Rt= γIt St+ It+ Rt= 1 S0 > 0, I0 > 0, R0 > 0 (6.1)
Sistema 6.1: Modelo SIR onde:
µ =taxa de crescimento da população; β =taxa de transmissão da doença; γ =taxa de recuperação ou remoção.
Supondo que a população se restringe a suscetíveis e infectados, tomando St+ It= 1,
pode-se simpli car o modelo 6.1 e rescrevê-lo como: St+1− St= µ(St+ It) − βStIt It+1− It= βStIt− γIt S0 > 0, I0 > 0 e St+ It= 1 (6.2) Sistema 6.2: Modelo SI
No modelo 6.2 fazendo-se µ(St+ It) = αSt, onde α é a taxa de crescimento dos
susce-tíveis. Deste modo o modelo apresenta somente dois compartimentos S dos suscetíveis e I dos infectados. Pode-se escrever o modelo 6.2 de uma forma simpli cada, tal como:
St+1− St= αSt− βStIt It+1− It= βStIt− γIt S(0) = S0 > 0 e I(0) = I0 > 0 (6.3)
Sistema 6.3: Modelo simpli cado SI
O sistema 6.3 é o modelo matemático formado por equações de diferenças nitas escolhido para modelar a Hanseníase em Codó. Onde:
α = taxa de variação (crescimento ou decrescimento) dos suscetíveis;
β = taxa de transmissão ou infecciosidade, proporcional ao contato entre os indiví-duos;
γ = taxa de decrescimento da classe dos infecciosos ( taxa de cura ou mortalidade). Os valores S0 e I0 para o tempo inicial t = 0 são as condições iniciais do problema.
Seja uma população P formada apenas por suscetíveis e infecciosos, bem como St e It
como partes ou porcentagens de P no instante t.
St+1+ It+1 = 1 (6.4)
O modelo dado pelo sistema 6.3 é um modelo dinâmico em tempo discreto. Isolando St na primeira equação do sistema 6.3, encontra-se:
St+1= St(1 + α − βIt) St= St+1 1 + α − βIt , onde It6= 1 + α β (6.5)
Em 6.5, substituindo St na segunda equação do sistema 6.3, obtém-se.
It+1− It= β St+1 1 + α − βIt It− γIt It+1 = (1 − γ) It+ βItSt+1 1 + α − βIt (6.6) Agora substituindo na equação 6.6 o valor de St+1 a partir da equação 6.4 ou seja,
St+1 = 1 − It+1.
It+1= (1 − γ) It+
βIt(1 − It+1)
1 + α − βIt
(6.7) Desenvolvendo a equação 6.7 obtém-se,
It+1= (1 − γ) It+ βIt 1 + α − βIt − βIt 1 + α − βIt It+1 ⇔ It+1+ βIt 1 + α − βIt It+1= (1 − γ) + β 1 + α − βIt It⇔ 1 + βIt 1 + α − βIt It+1 = (1 − γ) (1 + α − βIt) + β 1 + α − βIt It⇔ 1 + α − βIt+ βIt 1 + α − βIt It+1 = (1 − γ) (1 + α) + β − (1 − γ) βIt 1 + α − βIt It⇔ 1 + α 1 + α − βIt It+1 = (1 − γ) (1 + α) + β 1 + α − βIt It− (1 − γ) β 1 + α − βIt It2 (6.8) Multiplicando a equação 6.8 por 1+α−βIt
It+1 = (1 − γ) (1 + α) + β 1 + α It− (1 − γ) β 1 + α It2 ⇔ It+1= (1 − γ) + β 1 + α It− (1 − γ) β 1 + α It2, (6.9)
a equação 6.9 é uma equação de diferenças não linear de primeira ordem, primeiro grau com coe cientes constantes.
Fazendo a = 1 − γ e b = β
1+α e substituindo na equação 6.9 encontra-se:
It+1= (a + b) It− (ab) It2 (6.10)
que é uma equação logística em tempo discreto.
O modelo 6.10 mostra que a quantidade I de infecciosos terá um crescimento logístico onde a+b representa a taxa de crescimento dos infecciosos e ab representa a inibição da do-ença por conta de tratamentos, políticas públicas e campanhas que reduzem o crescimento da epidemia.
A equação 6.10 pode ser escrita como:
It+1 = (a + b) It 1 − abIt a + b (6.11) sendo a mudança de parâmetro a + b = r encontra-se:
It+1 = rIt 1 − abIt r (6.12) Fazendo a transformação abIt
r = Ytque é equivalente a It= rYt ab com a 6= 0 e b 6= 0. Tem-se: r abYt+1 = r r abYt[1 − Yt] ⇔ Yt+1= rYt[1 − Yt] , r > 0 (6.13)
O valor de Yt na equação 6.13 representa a proporção anual da população infecciosa pela
Hanseníase no tempo t. Se ocorrer 0 < r < 1, isto é os valores de r são menores que um, a infecção entra em declínio e tende para a extinção, já que sua taxa de reprodutividade está abaixo da unidade.[2]
6.3 Modelagem da Hanseníase em Codó-MA
Aplicou-se o modelo SI a partir de parâmetros obtidos dos dados da epidemia de hanseníase na cidade de Codó. Fez-se projeções a partir do valor proporcional de infecciosos utilizando a equação logística 6.14
It+1= rIt(1 − It) (6.14)
6.3.1 Encontrando os parâmetros α, β, γ e r
Tabela 6.1: Número de Infecciosos, Suscetíveis e População de Codó-MA de 2001 a 2014. Fonte: Secretária Municipal de Saúde.
De acordo com a Tabela 6.1 o número total no período de 2001 a 2013 é de 1616 infecciosos e 5471 suscetíveis. Para efeito de aplicação vamos supor que a população é a soma de infecciosos e suscetíveis dado por P = 7087, pois de acordo com a hipótese do modelo temos St+ It= Pt. De acordo com a equação 6.4 os valores proporcionais iniciais
de infecciosos e suscetíveis são I0 = 16167087 ≈ 0, 2280e S0 = 54717087 ≈ 0, 7720.
Os parâmetros α, taxa de variação dos suscetíveis e β taxa de transmissão da doença são obtidos através de ajuste linear ou regressão linear a partir das curvas dos suscetíveis e infecciosos em função do tempo. As curvas dos suscetíveis e dos infecciosos das Figuras 6.2 e 6.3, respectivamente, foram construídas através do Microsoft Excel. Para a curva dos suscetíveis em função do tempo o coe ciente de correlação de Pearson1 é 0,2774 e
para a curva dos infecciosos em função do tempo é 0,3989. Esses resultados mostram uma fraca correlação entre as variáveis estudadas, entretanto, o nosso proposito maior é encontrar as taxas de variações se suscetíveis e infecciosos em função do tempo.
A estimativa dos parâmetros α e β foi feita através da variação do número de suscetíveis e infecciosos a partir de 2003 a 2013, por conta de uma grande dispersão dos dados podendo comprometer sua estimativa, conforme vemos nas Figuras 6.2 e 6.3 respectivamente.
1Instrumento de medida da Correlação Linear. Para aprofundamento do assunto sugeri-se a leitura de
Figura 6.2: Regressão Linear do Número de Suscetíveis a Hanseníase em Codó- 2003 a 2013
Figura 6.3: Regressão Linear do Número de Infectados por Hanseníase em Codó - 2003 a 2013
α = −0, 0088 (6.15)
β = −0, 0035 (6.16)
Os valores negativos dos parâmetros α e β indicam que existe uma tendência de de-crescimento da doença no município.
O parâmetro γ foi calculado considerando o valor de β = −0, 0035 e as variações de valores de suscetíveis e infectados de acordo com a Tabela 6.1 substituindo os valores na segunda equação do sistema 6.3, como segue,
Para o ano de 2003, temos
It+1− It = βStIt− γIt ⇔ γ = βSt+ 1 − It+1 It ⇔ γ = −0, 0035.0, 529 + 1 − 0, 148 0, 144
γ = −0, 02963 Continuando, completa-se a Tabela 6.2
Ano (t) γ(t) 2003 -0,02963 2004 -0,06907 2005 0,32103 2006 -0,26308 2007 0,22773 2008 -0,32831 2009 0,06369 2010 0,09928 2011 -0,01853 2012 0,10017 2013 -0,3977 γ Média -0,02677 Desvio Padrão 0,226306
Tabela 6.2: Variação da Taxa de Removidos - 2003 a 2013 O parâmetro
γ = −0, 02677 (6.17)
é dado pela média dos valores referentes aos anos 2003 a 2013. O sinal negativo de γ pode indicar uma tendência de decrescimento da doença no município, pois mostra que a taxa de cura ou mortalidade está decaindo.
Para o cálculo do parâmetro r = a + b usamos as igualdades a = 1 − γ e b = β 1+α
r = 1 − γ + β
1 + α (6.18)
substituindo os valores dados em 6.15, 6.16 e 6.17 na equação 6.18 encontramos
r = 1 − (−0, 02677) + (−0, 0035) 1 − 0, 0088
r ≈ 1, 0232 (6.19)
Uma vez que 1 < r < 3 a tendência da população de infecciosos pela Hanseníase, em Codó-MA, é estabilizar para um ponto xo I∗ = 1 − 1
r. De acordo com os resultados
6.3.2 Projeções da População de Infecciosos pela Hanseníase em
Codó-MA
A avaliação da população de infecciosos pela hanseníase no município de Codó foi feita através da equação logística:
It+1= rIt(1 − It), r > 0 (6.20)
com a população inicial I0 = 0, 228e r = 1, 0232.
As Tabelas 6.3 e 6.4 retratam as projeções da população de infecciosos It para o
município de Codó-MA. As projeções foram obtidas através da equação logística 6.20 para I0 = 0, 2280 e o parâmetro r assumindo os valores r = 1, 0232, r1 = 0, 5917, r2 =
0, 807, r3 = 1, 239 e r41, 4548.
Tabela 6.3: Projeção da População de Infecciosos pela equação 6.14, para diferentes valores de r / 2015 a 2096
