Otimização por algoritmos genéticos de pilares esbeltos de concreto armado submetidos à flexão oblíqua

(1)

SUSANA DE LIMA PIRES

OTIMIZAÇÃO POR ALGORITMOS GENÉTICOS DE

PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO

(2)

(3)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO

SUSANA DE LIMA PIRES

OTIMIZAÇÃO POR ALGORITMOS GENÉTICOS DE

PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDOS À FLEXÃO OBLÍQUA

Orientadora: Profa. Dra. Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva

Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp, para obtenção do título de Doutora em Engenharia Civil, na área de Estruturas

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELA ALUNA SUSANA DE LIMA PIRES E ORIENTADA PELA PROFA. DRA. MARIA CECILIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA

ASSINATURA DA ORIENTADORA)

______________________________________

CAMPINAS 2014

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R

ESUMO

PIRES, Susana de Lima - Otimização por Algoritmos Genéticos de pilares esbeltos de concreto armado submetidos à flexão obliqua. Campinas: Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo - UNICAMP, 2014. 167 p. Tese (Doutorado).

Neste trabalho foi desenvolvida uma ferramenta para otimização da seção transversal (área de concreto, e área e distribuição de armadura) de pilares de concreto armado, submetidos à flexão oblíqua considerando as não linearidades física e geométrica de maneira rigorosa. A motivação para este trabalho se deu a partir da constatação de que a imposição, pelo projetista, de variáveis (normalmente, a base e a altura da seção de concreto, e a distribuição das barras de aço) no dimensionamento de seções de concreto armado, nem sempre leva à seção mais econômica. Dessa forma, foi produzido um procedimento sistematizado que escolhe, dentro de uma gama de possíveis soluções, o pilar que melhor atende os quesitos de segurança, de economia e normativos. Para resolver a questão da otimização foi utilizada a técnica dos Algoritmos Genéticos, por meio da qual é possível encontrar as melhores dimensões da seção e distribuição de armadura de forma que o custo do pilar, sujeito a determinadas restrições de resistência, de estabilidade, de exequibilidade e normativas, seja minimizado. A verificação da resistência das seções de concreto armado submetidas à flexão obliqua envolve uma série de integrais de superfície que são resolvidas

(8)

teorema de Green. O Método dos Elementos Finitos é utilizado no cálculo dos deslocamentos, e as não linearidades física e geométrica são introduzidas por meio de um processo iterativo. Um programa computacional foi desenvolvido a partir do procedimento numérico proposto. Para verificar a eficiência da técnica de otimização empregada, foi criado um programa computacional de apoio que calcula todas as possíveis seções transversais de concreto armado contidas no espaço de busca, e escolhe aquela seção que, atendendo a todas as restrições, apresenta o menor custo. A análise se aplica a pilares de seção transversal retangular, constante e com distribuição simétrica de armadura. Nos resultados apresentados observa-se que as soluções, no processamento dos programas utilizando AGs, convergem sempre para uma solução ótima ou na vizinhança da solução ótima.

Palavras-chave: pilares, flexão oblíqua, concreto armado, otimização, algoritmo

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A

BSTRACT

PIRES, Susana de Lima - Genetic Algorithms for Optimization of slender reinforced concrete columns under biaxial bending. Campinas: Faculty of Civil Engineering, Architecture and Urbanism, State University of Campinas - UNICAMP, 2014. 167 p. Thesis (Ph.D.).

In this paper we develop a tool to optimize the cross section (cross section dimensions, reinforcement bar sizes and bar arrangements) of reinforced concrete columns under biaxial bending, carefully considering material and geometric nonlinearity. The motivation for this work was made from the finding that the imposition by the designer of variables (usually the base and the height of the concrete section, and the distribution of the steel bars) in the design of reinforced concrete sections, does not always lead to the (most economic) cheapest section. Thus, we produced a systematic procedure to choose, within a range of possible solutions, the column that best fulfills the requirements of security, economy and regulation. To resolve the issue of optimization we used the technique of Genetic Algorithm (GA), by which it is possible to find the best distribution and dimensions of the section of reinforcement, so that the cost of the column may be minimized, subject to certain restrictions of strength, stability, constructability and regulation. Verification of the strength of reinforced concrete sections subjected to biaxial bending involves a series of surface integrals that are

(10)

Green's Theorem. The Finite Element Method is used to calculate the displacements, and the material and geometric nonlinearity are introduced by means of an iterative process. A computer program was developed from the proposed numerical procedure. In order to verify the efficiency of the optimization technique employed, a supporting computer program was created that calculates all the possible cross-sections of reinforced concrete contained in the search space and chooses the one section that, given all the constraints, has the lowest cost. The procedure applies to the columns of a rectangular and consistent cross section with a symmetrical configuration of reinforcement. In the presented results, it is observed that the solutions in the processing of programs using GAs, always converge to an optimal solution or in the vicinity of the optimal solution.

Keywords: columns, biaxial bending, reinforced concrete, optimization, genetic

(11)

S

UMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 1 1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ... 1 1.2 OBJETIVO GERAL ... 3 1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 3 1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ... 4 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 5 2.1 INTRODUÇÃO ... 5 2.2 OTIMIZAÇÃO ... 6 2.2.1 MÉTODOS CLÁSSICOS ... 7 2.2.2 COMPUTAÇÃO EVOLUCIONÁRIA ... 9

2.3 PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO ... 15

2.4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES ... 22

3 FLEXÃO OBLIQUA EM PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO .... 25

3.1 INTRODUÇÃO ... 25

3.2 DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO ... 26

3.3 MÓDULO DE ELASTICIDADE ... 29

3.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDOS À FLEXÃO OBLÍQUA ... 29

3.4.1 ASPECTOS GERAIS ... 29

(12)

3.4.3.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES ... 34

3.4.3.2 RELAÇÕES ENTRE OS DESLOCAMENTOS E AS DEFORMAÇÕES ... 35

3.5 CONSIDERAÇÕES SOBRE O DIMENSIONAMENTO ... 38

3.5.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO ... 39

3.5.2 HIPÓTESES DE CÁLCULO ... 39

3.5.3 ESPECIFICAÇÕES CONSTRUTIVAS (NBR 6118/2007) ... 40

3.5.4 CRITÉRIOS RELATIVOS À ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM DE ELEMENTOS ISOLADOS (NBR 6118/2007 ITEM 15.8) ... 42

3.6 PROCEDIMENTOS NUMÉRICOS ... 43

3.6.1 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS ... 43

3.6.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS RESISTENTES NA FLEXÃO OBLÍQUA ... 48

3.6.2.1 TRANSFORMAÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS ... 50

3.6.2.2 OS ESFORÇOS RESISTENTES DE CÁLCULO ... 53

3.6.3 INCLUSÃO DAS NÃO LINEARIDADES FÍSICA E GEOMÉTRICA ... 59

4 ALGORITMOS GENÉTICOS ... 61

4.1 HISTÓRICO E VANTAGENS DO USO DOS AGS ... 61

4.2 PRINCÍPIOS BÁSICOS ... 62

4.3 ANALOGIAS BIOLÓGICAS E DEFINIÇÕES ... 64

4.4 FUNÇÃO OBJETIVO ... 66

4.5 GERAÇÃO DA POPULAÇÃO INICIAL ... 67

4.6 VARIÁVEIS E CODIFICAÇÃO DOS CROMOSSOMOS ... 67

4.7 AVALIAÇÃO DOS CROMOSSOMOS ... 73

4.7.1 MÉTODO DAS PENALIDADES ... 76

4.7.1.1 RESTRIÇÕES RELATIVAS ÀS DEFORMAÇÕES MÁXIMAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL E À ESTABILIDADE DO EQUILÍBRIO ... 77

4.7.1.2 RESTRIÇÕES RELATIVAS AO ESPAÇAMENTO DA ARMADURA ... 78

4.7.1.3 RESTRIÇÕES RELATIVAS ÀS TAXAS DE ARMADURA ... 79

4.8 SELEÇÃO ... 79

4.9 OPERADORES GENÉTICOS – CRUZAMENTO E MUTAÇÃO ... 80

4.9.1 CRUZAMENTO (CROSSOVER)... 81

4.9.2 MUTAÇÃO ... 82

4.10 ELITISMO ... 82

(13)

4.13 ASPECTOS RELEVANTES NA UTILIZAÇÃO DOS AGS ... 84

5 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES ... 87

5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 87 5.2 ALGORITMOS ... 90 5.2.1 BUSCA TOTAL ... 90 5.2.2 ALGORITMO GENÉTICO ... 91 5.2.3 PROCESSAMENTO DO PILAR... 95 5.3 FLUXOGRAMAS ... 97

5.4 SOBRE OS PROGRAMAS DESENVOLVIDOS ... 99

6 EXEMPLOS E RESULTADOS ... 101

6.1 RESULTADOS DO PROGRAMA PROCESSAMENTO DO PILAR ... 101

6.1.1 RESULTADOS KIM E YANG X PROCESSAMENTO DO PILAR ... 101

6.1.2 RESULTADOS CLAESON E GYLLTOF X PROCESSAMENTO DO PILAR .. 103

6.2 ANÁLISE DO PROGRAMA ALGORITMO GENÉTICO ... 104

6.2.1 EXEMPLOS ... 104

6.2.2 RESULTADOS ... 108

6.3 ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS NPOP (TAMANHO DA POPULAÇÃO), PC (PROBABILIDADE DE CRUZAMENTO) E PM (PROBABILIDADE DE MUTAÇÃO) NO FUNCIONAMENTO DO ALGORITMO GENÉTICO ... 114

6.3.1 TESTES E RESULTADOS ... 114

6.3.2 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ... 115

6.3.2.1 ANÁLISE GERAL ... 115

6.3.2.2 SOBRE O TAMANHO DA POPULAÇÃO ... 117

6.3.2.3 SOBRE A PROBABILIDADE DE CRUZAMENTO ... 120

6.3.2.4 SOBRE A PROBABILIDADE DE MUTAÇÃO ... 121

6.3.3 CONCLUSÕES SOBRE A ANÁLISE DOS PARÂMETROS ... 123

6.4 ANÁLISE DO ÍNDICE DE ESBELTEZ NO DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO ... 124

7 CONCLUSÕES ... 129

7.1 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ... 131

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 133

(14)

A.2 EXEMPLO DE APLICAÇÃO ... 141

APÊNDICE B - CÁLCULO DE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE ... 145

APÊNDICE C - DEFINIÇÃO DO COEFICIENTE DE PENALIDADE ... 149

(15)

À minha filha Natália (em memória) por dar sentido à minha vida.

(16)

(17)

A

GRADECIMENTOS

À Deus.

À profa. Dra. Maria Cecília Amorim Teixeira da Silva, minha orientadora, que cumpriu tão nobremente a sua função de orientar, apoiar e estimular. É uma amiga que fiz durante essa trajetória.

Ao meu marido, por estar ao meu lado de forma tão presente, sempre me fazendo acreditar que eu chegaria ao final dessa difícil etapa. Obrigada, Fernando, por cada palavra de incentivo, cada sorriso nos dias difíceis e cada gesto de carinho!

À minha mãe Valdênia (em memória) a quem não tive a oportunidade de bem conhecer, mas que me deu o que de mais importante eu tenho, a vida.

Ao meu pai Isidoro (em memória), por me mostrar o incrível mundo dos livros e jamais medir esforços para me dar a melhor educação. Foi um exemplo de homem, mestre e amigo

À minha família, em especial à minha tia Teresa, meus irmãos Valdívia, Gustavo, Fábio e Valdênia, meus filhos Diego e Fernanda e minha prima Susana, pelo amor de todo dia.

(18)

xviii À CAPES, pelo apoio financeiro.

(19)

L

ISTA DE

F

IGURAS

FIGURA 3-1 - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO À COMPRESSÃO

PROPOSTO PELA NBR 6118/2007 (ABNT, 2007) ... 27 FIGURA 3-2 - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO AÇO PROPOSTO PELA NBR

6118/2007 (ABNT, 2007) ... 28 FIGURA 3-3 - EXCENTRICIDADE DO CARREGAMENTO. FONTE: FUSCO (1981) ... 30 FIGURA 3-4 - ESFORÇOS SOLICITANTES E EXCENTRICIDADES EM UMA SEÇÃO

TRANSVERSAL DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDA A FLEXÃO OBLIQUA ... 31 FIGURA 3-5 - DEFORMAÇÕES E TENSÕES DE UMA SEÇÃO TRANSVERSAL DE

CONCRETO ARMADO SUBMETIDA À FLEXÃO OBLIQUA ... 32 FIGURA 3-6 - DESLOCAMENTOS E ESFORÇOS EM UM ELEMENTO LINEAR. A)

ELEMENTO LINEAR INDEFORMADO; B) ELEMENTO LINEAR DEFORMADO NO PLANO X-Z; C) ELEMENTO LINEAR DEFORMADO NO PLANO X-Y ... 35 FIGURA 3-7 - DESLOCAMENTOS EM UM SEGMENTO INFINITESIMAL ... 36 FIGURA 3-8 - RESTRIÇÕES PARA ESPAÇAMENTO ENTRE BARRAS E ÁREA DE

ARMADURA LONGITUDINAL ... 42 FIGURA 3-9 - AÇÕES E DESLOCAMENTOS NODAIS DO ELEMENTO ... 44 FIGURA 3-10 - DEFINIÇÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL... 49 FIGURA 3-11 - CONVENÇÃO DE SINAIS PARA OS ESFORÇOS NA SEÇÃO TRANSVERSAL

(20)

xx

FIGURA 3-12 - IDENTIFICAÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS ... 50

FIGURA 3-13 - ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS ... 51

FIGURA 3-14 - TRANSLAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS ... 53

FIGURA 3-15 - REGIÕES PARA INTEGRAÇÃO DA PARCELA DE CONCRETO ... 54

FIGURA 3-16 - MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO COM RIGIDEZ CONSTANTE PARA A INCLUSÃO DAS NÃO LINEARIDADES FÍSICA E GEOMÉTRICA. ... 60

FIGURA 4-1 - ESQUEMA BÁSICO DOS ALGORITMOS GENÉTICOS ... 64

FIGURA 4-2 - REPRESENTAÇÃO DAS VARIÁVEIS ... 69

FIGURA 4-3 - SEÇÃO TRANSVERSAL DE CONCRETO ARMADO ... 72

FIGURA 4-4 - SEÇÃO TRANSVERSAL CODIFICADA ... 73

FIGURA 4-5 - ESCALONAMENTO DAS APTIDÕES ... 83

FIGURA 5-1 - COMBINAÇÕES DAS VARIÁVEIS B, H, DICAM13, DICAM24, NCAM13 E NCAM24. ... 88

FIGURA 5-2 - ESQUEMA SIMPLIFICADO DA LIGAÇÃO ENTRE OS ALGORITMOS PROPOSTOS. A) BUSCA TOTAL; B) ALGORITMO GENÉTICO ... 90

FIGURA 5-3 - DESLOCAMENTOS DO EIXO DO ELEMENTO ... 95

FIGURA 5-4 - LIMITES DAS DEFORMAÇÕES DO CONCRETO E DO AÇO ... 96

FIGURA 5-5 - FLUXOGRAMA SIMPLIFICADO BUSCA TOTAL ... 97

FIGURA 5-6 - FLUXOGRAMA SIMPLIFICADO ALGORITMO GENÉTICO ... 98

FIGURA 5-7 - FLUXOGRAMA SIMPLIFICADO PROCESSAMENTO DO PILAR ... 99

FIGURA 6-1 - ERRO RELATIVO MÉDIO OBTIDO EM CADA UMA DAS 36 COMBINAÇÕES DE PARÂMETROS (NPOP/PC/PM) ... 117

FIGURA 6-2 - RELAÇÃO ENTRE O ÍNDICE DE ESBELTEZ (Z) E O CUSTO DO PILAR .... 127

FIGURA 6-3 - RELAÇÃO ENTRE A TAXA DE ARMADURA E O ÍNDICE DE ESBELTEZ (Z) ... 128

(21)

L

ISTA DE

T

ABELAS

TABELA 3-1 - PONTOS DE INTEGRAÇÃO DA QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE ... 47

TABELA 4-1 - REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DA BASE E DA ALTURA... 70

TABELA 4-2 - REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DOS DIÂMETROS DAS BARRAS DAS CAMADAS 01 E 03 (DICAM13) ... 70

TABELA 4-3 - REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DOS DIÂMETROS DAS BARRAS DAS CAMADAS 2 E 4 (DICAM24) ... 71

TABELA 4-4 - REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DO NÚMERO DE BARRAS DAS CAMADAS 1 E 3 ... 72

TABELA 4-5 - REPRESENTAÇÃO BINÁRIA DO NÚMERO DE BARRAS DAS CAMADAS 2 E 4 ... 72

TABELA 4-6 - SEÇÃO TRANSVERSAL CODIFICADA ... 73

TABELA 4-7 – CRUZAMENTO DE UM PONTO ... 81

TABELA 5-1 - CROMOSSOMOS DOS INDIVÍDUOS GERADOS ALEATORIAMENTE NA POPULAÇÃO INICIAL ... 92

TABELA 5-2 - POPULAÇÃO INICIAL DECODIFICADA E AVALIADA ... 93

TABELA 5-3 - CÓDIGO DE RESTRIÇÕES ... 93

TABELA 5-4 - ÚLTIMA GERAÇÃO DE UM ALGORITMO GENÉTICO ... 94

(22)

xxii

TABELA 6-2 - COMPARAÇÃO DAS CARGAS ÚLTIMAS DO PROGRAMA PROCESSAMENTO DO PILAR COM OS RESULTADOS DOS TESTES REALIZADOS POR KIM E YANG (1995) ... 103 TABELA 6-3 - PILARES ANALISADOS EM CLAESON E GYLLTOFT (1998) ... 103 TABELA 6-4 - COMPARAÇÃO DAS CARGAS ÚLTIMAS DO PROGRAMA PROCESSAMENTO

DO PILAR COM OS RESULTADOS DOS TESTES REALIZADOS POR

CLAESON E GYLLTOFT (1998) ... 104 TABELA 6-5 - CARACTERÍSTICAS DO PILAR 01 ... 105 TABELA 6-6 - CARACTERÍSTICAS DO PILAR 02 ... 106 TABELA 6-7 - CARACTERÍSTICAS DO PILAR 03 ... 107 TABELA 6-8 - PREÇOS UNITÁRIOS DOS MATERIAIS ... 108 TABELA 6-9 - RESULTADOS DO PILAR 01 ... 111 TABELA 6-10 - RESULTADOS DO PILAR 02 ... 112 TABELA 6-11 - RESULTADOS DO PILAR 03 ... 113 TABELA 6-12 - MÉDIA DO CUSTO MÍNIMO, MÉDIA DO ERRO RELATIVO, ERRO MÍNIMO E

ERRO MÁXIMO DE 30 PROCESSAMENTOS INDEPENDENTES DO

PROGRAMA ALGORITMO GENÉTICO REALIZADOS COM CADA UMA DAS COMBINAÇÕES DE PARÂMETROS NPOP-PC-PM. ... 116 TABELA 6-13 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA NPOP=20

E PC E PM VARIADOS ... 118 TABELA 6-14 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA NPOP=60

E PC E PM VARIADOS ... 119 TABELA 6-15 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA NPOP=100 E PC E PM VARIADOS ... 119 TABELA 6-16 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA NPOP=200 E PC E PM VARIADOS ... 119 TABELA 6-17 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA E PC =1 E

NPOP E PM VARIADOS ... 120 TABELA 6-18 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA E PC =0.8

E NPOP E PM VARIADOS ... 120 TABELA 6-19 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA E PC =0.6

(23)

TABELA 6-20 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA E PM =0.05 E NPOP E PC VARIADOS... 122 TABELA 6-21 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA E PM =0.02

E NPOP E PC VARIADOS... 122 TABELA 6-22 - MÉDIA DE CUSTO MÍNIMO E MÉDIA DE ERRO RELATIVO PARA E PM

=0.001 E NPOP E PC VARIADOS ... 123 TABELA 6-23 - DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

... 125 TABELA 6-24 - CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES QUANTO À ESBELTEZ ... 126 TABELA 6-25 - ÍNDICE DE ESBELTEZ, TAXA DE ARMADURA E CLASSIFICAÇÃO DO PILAR QUANTO Á ESBELTEZ ... 126 TABELA D-1 - CUSTO MÍNIMO E ERRO RELATIVO DE 30 PROCESSAMENTOS

INDEPENDENTES DO PROGRAMA ALGORITMO GENÉTICO UTILIZANDO AS SEGUINTES COMBINAÇÕES DE PARÂMETROS (NPOP-PC-PM): 20-0.6-0.001; 20-0.6-0.02; 20-0.6-0.05. ... 156 TABELA D-2 - CUSTO MÍNIMO E ERRO RELATIVO DE 30 PROCESSAMENTOS

INDEPENDENTES DO PROGRAMA ALGORITMO GENÉTICO UTILIZANDO AS SEGUINTES COMBINAÇÕES DE PARÂMETROS (NPOP-PC-PM): 20-1-0.001; 20-1-0.02; 20-1-0.05. ... 158 TABELA D-4 - CUSTO MÍNIMO E ERRO RELATIVO DE 30 PROCESSAMENTOS

INDEPENDENTES DO PROGRAMA ALGORITMO GENÉTICO UTILIZANDO AS SEGUINTES COMBINAÇÕES DE PARÂMETROS (NPOP-PC-PM): 60-0.8-0.001; 60-0.8-0.02; 60-0.8-0.05. ... 160

(24)

xxiv

TABELA D-6 - CUSTO MÍNIMO E ERRO RELATIVO DE 30 PROCESSAMENTOS

INDEPENDENTES DO PROGRAMA ALGORITMO GENÉTICO UTILIZANDO AS SEGUINTES COMBINAÇÕES DE PARÂMETROS (NPOP-PC-PM): 200-1-0.001; 200-1-0.02; 200-1-0.05. ... 167

(25)

L

ISTA DE

S

ÍMBOLOS

LETRAS ROMANAS MAIÚSCULAS

Ac - área de concreto (Ac=b*h) [Ac]=L2

Ac1 - área de concreto comprimido correspondente à região I [Ac1]=L2

Ac2 - área de concreto comprimido correspondente à região

II

[Ac2]=L2

As - área aço da seção transversal [AS]=L2

Asi - área de aço da camada i [ASi]=L2

Asmax - armadura longitudinal máxima [ASmax]=L2

Asmin - armadura longitudinal mínima [ASmin]=L2

Astotal - armadura longitudinal total [AStotal]=L2

C - constante de escala

Cc - custo do concreto por unidade de volume

Cf - custo da forma por unidade de área

Cs - custo do aço por unidade de volume

Custo(x) - função custo do pilar

(26)

xxvi

Es - módulo de elasticidade do aço [Es]=M.L-1.T-2

F - vetor de ações nodais [F]= M.L.T-2

F(x) - função objetivo Fa(x) - função de aptidão ~ ,F a avg

F - aptidão média dos indivíduos viáveis

Fi - ações nodais [FI]= M.L.T-2

Fin - ações nodais não lineares [Fin]= M.L.T-2

Famin - menor aptidão entre os indivíduos

Fn - vetor de ações nodais [Fn]= M.L.T-2

Fsmax - máxima aptidão em escala

H - altura da seção transversal do pilar [H]=L

Iyc - momento de inércia da seção de concreto na direção y [Iyc]=L4

Izc - momento de inércia da seção de concreto na direção z [Izc]=L4

Isi - momento de inércia da camada genérica de armadura

em relação ao baricentro da seção homogeneizada

[Isi]=L4

K - matriz de rigidez do elemento

L - comprimento elemento finito [L]=L

Md1 - momento de primeira ordem [Md1]=M.L2.T-2

Md2 - momento de segunda ordem [Md2]=M.L2.T-2

Mdy - componente do momento fletor solicitante na direção y [Mdy]=M.L2.T-2

Mdz - componente do momento fletor solicitante na direção z [Mdz]=M.L2.T-2

My - momento fletor atuante na seção transversal [My]=M.L2.T-2

MyR - componente do momento fletor resistente na direção y [MyR]=M.L2.T-2

Mz - momento fletor atuante na seção transversal [Mz]=M.L2.T-2

MzR - componente do momento fletor resistente na direção z [MzR]=M.L2.T-2

M - componente do momento fletor resistente na direção  [M]=M.L2.T-2

M1 - parcela do momento fletor resistente na direção 

correspondente à região I

[M1]=M.L2.T-2

M2 - parcela do momento fletor resistente na direção 

correspondente à região II

[M2]=M.L2.T-2

M - componente do momento fletor resistente na direção  [M]=M.L2.T-2

M1 - parcela do momento fletor resistente na direção 

correspondente à região I

(27)

M2 - parcela do momento fletor resistente na direção 

correspondente à região II

[M1]=M.L2.T-2

Nd - esforço normal solicitante [Nd]=M.L.T-2

Npop - tamanho da população

NR - esforço normal resistente [NR]=M.L.T-2

NR1 - esforço normal resistente correspondente à região I [NR1]=M.L.T-2

NR2 - esforço normal resistente correspondente à região II [NR2]=M.L.T-2

P(x) - função de penalidade

Pc - probabilidade de cruzamento

Pi - probabilidade de seleção do indivíduo em uma geração

de i indivíduos

Pm - probabilidade de mutação

Pu,a - carga de última calculada pelo programa [Pu,a]=M.L.T-2

Pu,t - carga de última do experimento [Pu,t]=M.L.T-2

S - espaço de busca

U - vetor dos deslocamentos nodais Ui - deslocamentos nodais

LETRAS ROMANAS MINÚSCULAS

ah

--

espaçamento horizontal entre as faces das barras longitudinais

[ah]=L

amin - espaçamento mínimo entre as faces das barras

longitudinais

[amin]=L

av - espaçamento vertical entre as faces das barras

longitudinais

[av]=L

b - largura da seção transversal [b]=L

c - cobrimento do pilar [c]=L

cam01 - camada de armadura 01 cam02 - camada de armadura 02 cam03 - camada de armadura 03 cam04 - camada de armadura 04

dicam13 - diâmetro das barras de armadura das camadas 1 e 3 [dicam13]=L dicam24 - diâmetro das barras de armadura das camadas 2 e 4 [dicam24]=L

(28)

xxviii

e1 - excentricidade de primeira ordem [e1]=L

e2 - excentricidade de segunda ordem [e2]=L

fc - resistência à compressão do concreto [fc]= M.L-1.T-2

fcd - resistência de cálculo à compressão do concreto [fcd]= M.L-1.T -2

fn - valor da aptidão de cada indivíduo de uma população de

tamanho n

fy - tensão ao escoamento do aço à tração [fy]= M.L-1.T-2

f'y - tensão ao escoamento do aço à compressão [f'y]= M.L-1.T-2

fyd - resistência de cálculo do aço à tração [fyd]= M.L-1.T -2

gi(x) - restrições de desigualdade

h - altura da seção transversal [h]=L

hi(x) - restrições de igualdade

l - comprimento do pilar [l]=L

n - número total de barras de armadura da seção transversal

nbar13 - número de barras de armadura das camadas 1 e 3 nbar24 - número de barras de armadura das camadas 2 e 4 nvar - número de variáveis do cromossomo

pn - variáveis do cromossomo e n é o número de variávies

sh - espaçamento horizontal entre eixos ou feixes das barras

longitudinais

[sh]=L

smax - espaçamento máximo entre eixos ou feixes das barras

longitudinais

[smax]=L

sv - espaçamento vertical entre eixos ou feixes das barras

longitudinais

[sv]=L

u - deslocamento total longitudinal do eixo do pilar [u]=L uo - deslocamento longitudinal do eixo do pilar [uo]=L

v - deslocamento transversal do eixo do pilar no plano x-y [v]=L w - deslocamento transversal do eixo do pilar no plano x-z [w]=L

LETRAS GREGAS

 - variação de valores da carga última calculada pelo programa com relação à carga última do experimental - ∆ = (Pu,a /Pu,t).

F - vetor de desequilíbrio entre o vetor ações nodais F e o vetor de ações não lineares Fn

(29)

b - coeficiente que depende da distribuição dos momentos

no pilar

 - ângulo formado entre os eixos y e '

 - curvatura

y - curvatura no plano x-y z - curvatura no plano x-z

 - deformação axial (longitudinal) de um ponto qualquer na seção transversal

0 - deformação axial (longitudinal) do elemento c - deformação específica no concreto

c - deformação específica no concreto

c3/7 - deformação específica no aço na altura a 3/7h

x - deformação longitudinal em um ponto genérico da barra y - deformação específica de escoamento do aço na tração 'y - deformação específica de escoamento do aço na

compressão

i - iésima função de interpolação

(t) - coeficiente utilizado para controlar o grau de penalidade da geração t

 - eixo de referência auxiliar coincidente com '

' - eixo de referência auxiliar perpendicular à linha neutra passando pela origem do sistema de coordenadas z-y e orientado no sentido da fibra mais tracionada ou menos comprimida da seção

01 - ordenada  correspondente às transição entre as

regiões 0 e I'

12 - ordenada  correspondente às transição entre as

regiões I e II

 - índice de esbeltez do pilar

1 - índice de esbeltez limite i - peso associado ao ponto i i - coordenada do ponto i  - rotação eixo do pilar

y - rotação eixo do pilar no plano x-y z - rotação eixo do pilar no plano x-z  taxa de armadura

i porcentagem de armadura da i-ésima barra em relação

à área total de armadura As

s - tensão normal no aço [s]= M.L-1.T-2

si - tensão de cálculo em uma camada genérica de aço [si]= M.L-1.T -2

(30)

xxx

cd - tensão de calculo à compressão no concreto [cd]= M.L-1.T -2

 eixo de referência auxiliar coincidente com a linha neutra

' eixo de referência auxiliar perpendicular ao eixo ' e passa pela origem do sistema de coordenadas z-y

01 abcissa  correspondente à transição entre as regiões 0

e I

12 abcissa  correspondente à transição entre as regiões I

e II

Obs.: Quando a unidade não é adimensioanal, as grandezas foram representadas por sua equação dimensional, onde: M representa a grandeza de massa; L representa a grandeza de comprimento; T representa a grandeza de tempo.

(31)

1 I

NTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

Em 2009 foi desenvolvido um procedimento numérico para dimensionamento de pilares esbeltos de concreto armado submetidos à flexão normal composta (Pires e Silva, 2009). O dimensionamento de pilares esbeltos é complexo, pois nele devem ser considerados os efeitos de segunda ordem, que são os esforços adicionais causados pelo aumento dos deslocamentos do eixo do pilar. Esses deslocamentos aumentam até que o pilar encontre uma posição deformada que o equilibre. Mas como achar a área de aço (dimensionamento) de um pilar que não se conhecem os esforços? E como encontrar os esforços de segunda ordem de um pilar que não se conhece a área de aço? Então, para resolver esse problema foi desenvolvido um processo iterativo, onde, com a imposição da distribuição da armadura, se fez uma busca da menor área de aço possível que equilibre o pilar.

Um avanço natural para esse procedimento seria desenvolvê-lo para dimensionar pilares esbeltos submetidos à flexão oblíqua. Mas, não haveria novidade neste assunto visto que, inúmeros pesquisadores têm estudado o comportamento não linear de pilares esbeltos de concreto armado, e também as seções de concreto

(32)

armado submetidas à flexão normal composta e à flexão oblíqua. Dentre esses pesquisadores, destacam-se os trabalhos de Kim e Lee (2000), Kwak e Kim (2004, 2006a, 2006b), Majewiski et al. (2008), Kwak e Kwak (2010), Bonet et al. (2004.a, 2004.b, 2006, 2011), Pallares et al. (2009).

Surgiu, então a ideia da otimização do dimensionamento de pilares esbeltos. Poderia se ter a área de concreto, a área de aço e a distribuição de armadura como variáveis e estabelecer um procedimento que as otimizasse, de maneira que o pilar fosse equilibrado da forma mais econômica possível, tirando das mãos do projetista a responsabilidade de imposição de algumas dessas variáveis.

Na busca por soluções para a otimização do dimensionamento de pilares esbeltos, foi encontrado nos algoritmos genéticos um possível candidato já que se encaixava perfeitamente nas características do problema proposto. Alguns autores usaram os algoritmos genéticos para otimização de estruturas de concreto armado, dentre eles, Coelho et al. (1997), Rafik e Sothcombe (1998), Koumousis e Arsenis (1998), Rajeev e Krishnamoorthy (1998), Govindaraj e Ramasamy (2005), Kaveh e Rahami (2005) e Mingqi e Xing (2010).

Este trabalho tem como meta selecionar o melhor método de otimização, mas sim, encontrar um procedimento que resolva o problema de otimização. É apresentada a sistematização do dimensionamento ótimo de pilares esbeltos de concreto armado. O processo de otimização utiliza a técnica de Algoritmos Genéticos, por meio do qual é possível encontrar a melhor dimensão da seção e a melhor distribuição de armadura de forma que o custo do pilar, sujeito a determinadas restrições de resistência, de estabilidade, de exequibilidade e normativas, seja minimizado. Os pilares são tratados como indivíduos que são codificados de acordo com as suas características. Esses pilares são avaliados por uma função de custo que é penalizada pelo cumprimento ou não das restrições. Os melhores pilares são selecionados para se reproduzirem. Ao final das gerações, o indivíduo que melhor atende a todos os quesitos de economia e segurança é o pilar otimizado.

(33)

O presente trabalho abrange pilares isolados de concreto armado submetidos à flexão oblíqua, com seção retangular, com qualquer tipo de vinculação e concreto de resistência normal (C20 a C50).

1.2 OBJETIVO GERAL

O objetivo geral deste trabalho é sistematizar o dimensionamento ótimo de pilares esbeltos de concreto armado submetidos à flexão obliqua, incluindo as não linearidades física e geométrica de maneira rigorosa, aplicando os algoritmos genéticos como técnica de otimização.

1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

São objetivos específicos deste trabalho:

 elaborar um programa computacional para dimensionamento ótimo pilares esbeltos de concreto armado de seção retangular com distribuição simétrica de armadura, submetidos à flexão oblíqua, incluindo as não linearidades física e geométrica de maneira rigorosa, utilizando a técnica dos Algoritmos Genéticos;

 elaborar um programa computacional que verifica a carga última para um pilar de concreto armado submetido à flexão obliqua com a inclusão das não linearidades física e geométrica, cujos resultados serão comparados a dados experimentais extraídos da literatura, de forma a validar o procedimento de verificação de pilares;

 elaborar um programa computacional de apoio, que tem como finalidade validar o programa de dimensionamento ótimo através dos Algoritmos Genéticos. Neste programa são verificadas todas as possíveis combinações de seções transversais que compõem o espaço de busca e a seção de concreto armado com menor custo que atende todas as restrições é escolhida.

(34)

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho está dividido em sete capítulos.

No capítulo 1 são apresentadas as considerações gerais, os objetivos e a estrutura do trabalho.

No capítulo 2, é apresentada a revisão bibliográfica sobre: trabalhos que utilizaram os métodos clássicos de otimização e os Algoritmos Genéticos (AG's) no dimensionamento otimizado de seções transversais de concreto armado; trabalhos que desenvolveram modelos numéricos para simular o comportamento dos pilares esbeltos; estudos sobre seção transversal de pilares submetidos à flexão normal composta e flexão oblíqua; trabalhos experimentais com pilares de concreto armado.

No capítulo 3, são apresentadas as considerações feitas com relação à flexão obliqua, à estabilidade e ao dimensionamento de pilares de concreto armado.

No capítulo 4, são descritos os principais conceitos, definições e processos dos Algoritmos Genéticos, como: as analogias biológicas; as definições das variáveis e funções; a geração da população inicial; a codificação e a avaliação dos cromossomos; a seleção; os operadores genéticos; o elitismo; a convergência; os critérios de parada e os parâmetros tamanho da população, taxa de cruzamento e taxa de mutação.

No capítulo 5, são desenvolvidos os algoritmos utilizados para a sistematização da otimização de pilares esbeltos de concreto armado.

No capitulo 6 são apresentados os exemplos propostos e os resultados dos programas desenvolvidos.

E, finalmente, no capítulo 7, apresentam-se as principais conclusões, contribuições e as propostas para trabalhos futuros.

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2 R

EVISÃO

B

IBLIOGRÁFICA

2.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo procurou-se, inicialmente, realizar um levantamento bibliográfico sobre os trabalhos que utilizaram os métodos clássicos de otimização e os Algoritmos Genéticos (AG's) no dimensionamento otimizado de seções transversais de concreto armado. Nos trabalhos utilizando os AG's como técnica de otimização, buscou-se identificar o tipo de função objetivo empregada, os parâmetros e a forma de codificação utilizada no algoritmo.

Entretanto, para otimizar a seção transversal de pilares esbeltos concreto armado é necessário fazer o estudo da seção e analisar a estabilidade da estrutura. Dessa forma, foram localizados na literatura disponível, trabalhos que desenvolveram modelos numéricos para simular o comportamento dos pilares esbeltos, estudos sobre seção transversal de pilares submetidos à flexão normal composta e à flexão oblíqua e ainda trabalhos experimentais com pilares de concreto armado. Apesar de a amplitude deste trabalho não abranger concreto de alta resistência, em geral, neste tipo de artigo, há comparação com concreto de resistência normal, por isso alguns estão citados nesta revisão bibliográfica.

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2.2 OTIMIZAÇÃO

A otimização é uma importante ferramenta de suporte de decisão. Para utilizá-la é necessário identificar as variáveis do problema e relacioná-las de maneira a se obter um valor para a tomada de decisão.

Segundo Luenberger (2008), quando se tem um problema de decisão complexo, são raras as situações em que se consegue representar totalmente todas as complexidades envolvidas, sejam elas as relações entre as variáveis, as restrições ou os objetivos. Assim, como em todas as técnicas quantitativas de análise, uma formulação de otimização deve ser considerada apenas como uma aproximação. Habilidade em modelagem, para capturar os elementos essenciais de um problema, e bom senso na interpretação dos resultados são quesitos obrigatórios para se obter conclusões significativas. Otimização, então, deve ser considerada como uma ferramenta de melhoria do resultado ao invés de um método para obtenção da solução exata do problema.

O processo para identificar os objetivos, variáveis e restrições do problema é chamado de modelagem. Para Nocedal (1999) a construção de um modelo apropriado é o primeiro passo para o processo de otimização. Se o modelo é muito simples, ele não dará informações úteis para a resolução do problema, mas se for muito complexo, pode tornar-se muito difícil de resolver. Uma vez formulado o modelo, um algoritmo de otimização pode ser usado para encontrar a solução.

A maioria dos métodos clássicos de otimização se baseia nos algoritmos determinísticos. Esses algoritmos geram uma sequência determinística de possíveis soluções onde, na maior parte das vezes, se faz uso de, pelo menos, a primeira derivada da função, dificultando assim o seu emprego em muitas situações.

Os modelos computacionais que compõem a computação evolucionária empregam a ideia de avaliação da função objetivo e a busca é baseada nos conceitos

(37)

de probabilidade. Estes dirigem a busca para a região do espaço onde é mais provável que o ponto ótimo esteja. Desta forma, utiliza-se o conceito de melhoria da solução e não de solução exata.

2.2.1 MÉTODOS CLÁSSICOS

No caso de otimização de seções transversais de estruturas de concreto armado, muitos pesquisadores usaram os métodos clássicos de otimização. A partir da década de 70 trabalhos relevantes foram desenvolvidos. Alguns trabalhos são citados a seguir.

Em 1980, Balagaru apresentou um algoritmo para dimensionar a quantidade de armadura em vigas de concreto armado com armadura dupla. O autor considerou o custo do concreto, do aço e das formas na função objetivo. O procedimento é baseado na determinação de uma equação para verificar se o uso da armadura dupla na seção é mais econômico do que a seção com armadura simples. A função foi minimizada utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange.

Em 1991, Kanagasundaram e Karihaloo descreveram um procedimento para obter o mínimo custo nos projetos de vigas com vãos múltiplos e pilares de concreto armado. A formulação desenvolvida levou em consideração as especificações da norma australiana AS3600-88 quanto à resistência à flexão e ao cisalhamento, às dimensões da seção transversal, às taxas de armadura mínima e máxima, à ductilidade da estrutura (altura da linha neutra), à resistência ao fogo e ao comportamento em serviço (flechas admissíveis), sendo esta última especificação válida somente para o caso de vigas. O problema foi resolvido utilizando-se programação linear sequencial e programação sequencial convexa.

Em 1992, Chakrabarty apresentou um modelo de programação geométrica para otimizar o dimensionamento de vigas de concreto armado.

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Em 2000, Ceranic e Fryer apresentaram uma aplicação do Método dos Multiplicadores de Lagrange para minimização do custo de vigas de concreto armado com armadura simples e dupla.

Em 2004, Barros et al. apresentaram um método para otimizar o dimensionamento de seções transversais de concreto armado. As deformações e as tensões dos materiais foram definidas baseadas nas funções Heaviside. Com essa definição, as equações de equilíbrio são descritas por equações únicas que são derivadas para a obtenção do ponto ótimo, ou seja, a altura da linha neutra onde se obtém a menor taxa de armadura.

Em 2005, Barros et al. desenvolveram um modelo para otimizar seções retangulares de concreto armado considerando o diagrama tensão x deformação descrito nas normas europeias European Committee for Standardization (EC2-2001) e

Comité Euro-International du Béton (CEB-FIP-1993). Neste trabalho, o processo de

otimização foi desenvolvido utilizando-se o método dos Multiplicadores de Lagrange onde a função objetivo é a equação do momento fletor e as equações de equilíbrio de força são as restrições. Para o processo de otimização, o custo global incluindo o custo do concreto, do aço e da forma é a função objetivo e as equações de equilíbrio são as restrições.

Em 2012, Barros et al. analisaram o custo mínimo de vigas de concreto armado submetidas à flexão simples com armadura simples e dupla. A função objetivo é o custo dos materiais e as variáveis da função são a altura da seção e as áreas de aço (superior e inferior). O problema é escrito através da função do Langrageano Aumentado. As equações de equilíbrio (Momento e Força Normal) são as equações de restrições. As restrições de domínio também são incluídas na função. A condição necessária de otimalidade Kuhn-Tucker (K-T) é estabelecida para que seja obtida a solução do problema de otimização.

(39)

2.2.2 COMPUTAÇÃO EVOLUCIONÁRIA

Em 2005, Kicinger et al realizaram uma ampla pesquisa bibliográfica sobre a computação evolucionária (CE) no contexto dos projetos estruturais. A computação evolucionária é um ramo da ciência que tem por base conceitos da teoria da evolução de Darwin. A computação evolucionária, na engenharia estrutural, pode ser rastreada a partir de meados da década de 70 e início da década de 80. Os autores ressaltaram que o surgimento da computação evolucionária (CE) foi consequência dos problemas e deficiências encontradas nos métodos de otimização clássicos quando aplicados em projetos estruturais complexos. A CE deu origem aos Algoritmos Evolutivos (AE) que são baseados em uma gama de mecanismos da evolução biológica e deram origem aos Algoritmos Genéticos (AG), às Estratégias Evolucionárias (Evolution Estrategies - ES) e à Programação Evolutiva (Evolutionary Programing - EP). De acordo com o artigo, os problemas de otimização estrutural existentes podem ser divididos nos seguintes domínios: otimização topológica - introduz uma estrutura base de elementos possíveis e encontra a melhor distribuição possível dentro desse universo; otimização de forma - buscar o melhor contorno ou forma do sistema estrutural onde a topologia é mantida constante; otimização dimensional - a forma e a topologia da estrutura não mudam e há a busca pela seção transversal ótima dos elementos do sistema estrutural. Os autores apresentaram ainda um resumo da maioria das aplicações da CE na engenharia estrutural, desde o seu começo em meados da década de 70. As aplicações foram classificadas de acordo com: o seu domínio (otimização topológica, otimização de forma, otimização dimensional); o tipo de problema apresentado (dimensionamento de treliças planas, localização dos nós em um sistema de treliça, dimensionamento de pórticos planos, etc.); o tipo de representação dos cromossomos (binária, inteira, real, etc.); o tipo CE utilizado (AG, ES ou EP); o tipo de função de avaliação e a forma de consideração das restrições. Foram classificados 81 artigos entre 1973 e 2004, dos quais, 45% otimizaram as dimensões da estrutura; 45% fizeram otimização topológica, de forma ou dimensional de treliças; 74% utilizaram os números

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binários para representação dos cromossomos; 63% do artigos utilizaram os AGs; 88% utilizaram uma função objetivo simples na função de avaliação.

Através desse levantamento foi possível verificar que a técnica dos Algoritmos Genéticos é bastante usada na otimização estrutural sendo de grande interesse na otimização dimensional de estruturas. No trabalho de Kicinger (2005) não foram especificados os materiais (concreto armado, aço, madeira) utilizados na estrutura analisada.

SOBRE OS ALGORITMOS GENÉTICOS

Trabalhos de otimização de seções transversais de concreto armado nos quais foram utilizados os AGs são discutidos a seguir.

Em 1997, Coello et al. apresentaram um modelo de otimização de projeto de seções retangulares de vigas de concreto armado. O objetivo da otimização foi minimizar o custo de vigas sujeitas a um certo conjunto de restrições que foi introduzido através de uma função penalidade. A função objetivo considerou os custos do concreto, do aço e das formas. Os autores empregaram os algoritmos genéticos e compararam os resultados com os valores obtidos via programação geométrica. A representação dos cromossomos foi feita através dos números binários e através dos números reais em pontos flutuantes. Os autores ressaltaram que quando se usa a representação real por pontos flutuantes, apesar de se obter melhores resultados o ajuste dos parâmetros (tamanho da população, probabilidade de cruzamento, probabilidade de mutação e numero máximo de gerações) se torna mais difícil. Para lidar com o problema do ajuste dos parâmetros, neste trabalho os autores desenvolveram uma metodologia própria, mas que ainda não tem nenhum embasamento teórico.

Em 1998, Rafiq e Southcombe apresentaram uma abordagem na otimização da seção transversal de pilares de concreto armado submetidos à flexão oblíqua usando algoritmos genéticos. Para pilares submetidos à flexão obliqua, foi mostrado

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como realizar uma busca global para identificar a área de aço e o detalhamento ótimo da armadura relacionados a uma seção transversal pré-estabelecida. Os requisitos do British Standard (BS 8110) foram considerados para garantir tanto o estado limite último como a construbilidade. Os autores utilizaram uma função multiobjetivo para minimizar a quantidade de armadura e maximizar a capacidade de flexão da seção sobre os dois eixos. Foi utilizada a codificação binária para representar os cromossomos. O tamanho da população utilizado foi de 50 indivíduos e o número máximo de gerações foi de 50. No referido artigo não há informações sobre a probabilidade de cruzamento e a probabilidade de mutação. Foram dimensionados quatro pilares segundo o método simplificado da norma britânica e comparados com o dimensionamento feito pelo processo otimizado via Algoritmos Genéticos. Os autores concluíram que quando se utiliza o processo otimizado há uma considerável economia de armadura.

Em 1998, Koumousis e Arsenis empregaram os algoritmos genéticos para realizar o detalhamento ótimo de vigas continuas de concreto armado. O procedimento decide o melhor detalhamento para a viga baseado em uma função multiobjetivo que tem por finalidade minimizar o peso da estrutura. As variáveis de projeto utilizadas foram a quantidade e a área de armadura. O objetivo foi converter a armadura necessária dada em centímetros quadrados em um conjunto de barras de aço de diâmetro e de comprimento específicos ao longo do elemento, levando em consideração diferentes critérios e regras práticas de projeto como o comprimento de ancoragem e os locais apropriados de corte das barras. A codificação foi feita através dos números binários. O tamanho da população e a probabilidade de mutação variaram de acordo com o número de vãos da viga continua. Foram usados 10, 30 e 50 indivíduos por vão e a probabilidade de cruzamento variou de 0,3 a 0,6. A probabilidade de mutação pode ser constante em todas as gerações e nesse caso foi utilizado: 0,01 para vigas com um vão; 0,02 para vigas com dois vãos; 0,04 para vigas com três vãos e 0,08 para vigas com quatro vão. Também foi utilizado um esquema variável de probabilidade de mutação ao longo das gerações.

(42)

Em 1998, Rajeev e Krishnamoorthy apresentaram um trabalho sobre a otimização de seções transversais de vigas e pilares que compõem pórticos planos de concreto armado utilizando os algoritmos genéticos. A área de aço não foi mantida constante ao longo das vigas contínuas. A função objetivo levou em conta os custos do concreto, do aço e da forma. O tamanho da população variou entre 80 e 120 indivíduos. A probabilidade de cruzamento e a probabilidade de mutação foram 0,8 e 0,001, respectivamente. Exemplos de pórticos planos de concreto armado foram resolvidos e os resultados foram comparados com o método clássico de otimização de busca direta. A ênfase deste trabalho foi colocada nos aspectos da modelagem genética que, segundo os autores, ofereceram mecanismos para considerar realisticamente questões práticas, resultando em um modelo de projeto ideal para o fornecimento de soluções racionais.

Em 2000, Argolo desenvolveu um programa para o dimensionamento ótimo de seções retangulares de concreto armado submetidas à flexo-compressão reta empregando a técnica dos algoritmos genéticos. As variáveis de projeto foram: altura e largura da seção transversal de concreto, número de camadas de aço dentro da seção de concreto, número de barras em uma mesma camada, diâmetro das barras em uma mesma camada. A função objetivo adotada é a do custo dos materiais da seção (concreto e aço) e da forma. Para o tratamento das restrições foi empregada a técnica das funções de penalização. Para a codificação dos cromossomos foi adotada a codificação binária. Em todos os exemplos apresentados o autor usou uma população de 100 indivíduos e o critério de parada foi o número máximo de gerações, tendo adotado esse número igual a 80. O autor considerou a técnica dos Algoritmos Genéticos robusta e de fácil implementação.

Em 2001, Lima desenvolveu um programa de otimização topológica e paramétrica de vigas de concreto armado utilizando os Algoritmos Genéticos. As variáveis topológicas são os nós intermediários da viga e as variáveis paramétricas são a base, a altura, o diâmetro da barra longitudinal inferior e superior, o diâmetro dos estribos, a quantidade das barras longitudinais inferiores e superiores e o espaçamento

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dos estribos. Para a consideração das restrições, foi adotado o Método das Penalidades. A função objetivo empregada na otimização considera o custo do concreto, do aço e das formas. O autor realizou alguns testes de calibragem dos parâmetros dos AGs e concluiu que: à medida que se aumenta o tamanho da população o problema converge para uma solução melhor, até que se chega a um ponto em que esse ganho de desempenho não se torna mais significativo, havendo até um decréscimo. Para faixas muito baixas de probabilidade de mutação (Pm), a

tendência é que, à medida que se aumenta Pm, o custo aumenta até que se chega a um

ponto onde o custo começa a diminuir, mas seriam necessários mais testes para se chegar a uma conclusão precisa. O autor concluiu que a utilização dos AGs para problemas de otimização se mostrou bastante satisfatória.

Em 2001, Silva selecionou os métodos clássicos de otimização e fez uma comparação com o método dos Algoritmos Genéticos. Foi desenvolvido um programa de otimização via Algoritmos Genéticos para pilares submetidos à flexão oblíqua em que as variáveis de otimização são: a altura da seção do pilar; a bitola das barras de aço; e o número de barras utilizado. O autor considerou as restrições eliminando da população indivíduos que descumprissem alguma restrição. Foi desenvolvido também um programa para otimização via AGs de pórticos planos (vigas e pilares submetidos à flexão normal composta) em que as variáveis de otimização são a altura da seção da viga e do pilar e suas respectivas áreas de aço e utilizou uma função de penalização considerando a distância que o indivíduo se encontra de atingir o estado limite último. Para ambos os programas, a função objetivo utilizada considera o custo dos materiais (aço, concreto e formas). Foram adotados os seguintes parâmetros dos AGs: tamanho da população - 20 indivíduos; número máximo de gerações - 10; probabilidade de cruzamento - 0,8; e probabilidade de mutação - 0,05. O autor realizou alguns exemplos de dimensionamento com os programas desenvolvidos e observou que, mesmo tendo feito a otimização das estruturas de concreto com análise linear, houve uma considerável economia quando comparou com o dimensionamento feito por um

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programa comercial. O autor ressaltou ainda as características de robustez, flexibilidade e relativa facilidade de implementação dos AGs.

Em 2004, Bastos desenvolveu um programa para o cálculo otimizado de seções retangulares de concreto armado submetidas aos esforços de flexo-compressão oblíqua utilizando os Algoritmos Genéticos. Para a solução do problema, as variáveis otimizadas são a base e a altura da seção transversal, o diâmetro das barras em cada camada e o número de barras em cada camada. A seção foi codificada através dos números binários. A função objetivo empregada na otimização considera o custo total dos materiais da seção (concreto e aço) e o custo das fôrmas. A partir de um estudo de desempenho, o autor definiu os seguintes parâmetros dos Algoritmos Genéticos: tamanho da população - 100 indivíduos; número máximo de gerações - 40; probabilidade de cruzamento - 0,8; e probabilidade de mutação - 0,03. Para o tratamento das restrições foi utilizada a técnica de funções de penalização. O autor realizou uma comparação entre os custos de uma seção obtida pelo dimensionamento tradicional, utilizando os ábacos de iteração, com o dimensionamento ótimo desenvolvido e concluiu que a solução apresentada com a utilização dos ábacos muitas vezes leva uma taxa de armadura exagerada. Uma comparação de exemplos utilizando o programa desenvolvido com outros trabalhos que utilizam diferentes técnicas de otimização, segundo o autor, comprovaram a robustez e a eficiência dos algoritmos genéticos, principalmente na questão do tratamento das restrições.

Em 2005, Govindaraj e Ramasamy aplicaram os algoritmos genéticos para a otimização do detalhamento da armadura de vigas continuas de concreto armado de acordo com as especificações da norma indiana Indian Standard. O projeto otimizado satisfaz as condições de resistência, operacionalidade, ductilidade, durabilidade e outras restrições para um bom projeto de detalhamento. A função objetivo empregada considera o custo do concreto, do aço e das formas. Para a consideração das restrições foi utilizado o Método das Penalidades. Os cromossomos foram codificados utilizando os números binários. Com relação aos parâmetros dos Agoritmos Genéticos, os autores utilizaram: probabilidade de cruzamento igual a 1; probabilidade de mutação

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igual a 0,005; tamanho da população 10 e 20. Os autores concluíram que o modelo proposto gera um projeto confiável, econômico e prático.

Em 2010, Mingqi e Xing propuseram um procedimento de otimização baseado nos algoritmos genéticos. O objetivo deste procedimento de otimização é minimizar os materiais e o custo da construção de elementos estruturais de concreto armado sujeito a requesitos de operacionalidade e resistência impostos pelas normas de concreto armado. Para a consideração das restrições é utilizado o Método das Penalidades. Não há informações sobre os parâmetros adotados. São dados como exemplo a otimização de dois pórticos de concreto armado e os autores constataram que o método proposto neste trabalho é eficiente e aplicável.

2.3 PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO

Para otimizar a seção transversal de pilares esbeltos de concreto armado é necessário fazer o estudo da seção transversal e da estabilidade do elemento estrutural.

Muitos pesquisadores têm estudado o comportamento não linear de pilares esbeltos de concreto armado submetidos à flexão normal composta e à flexão oblíqua.

Alguns autores desenvolveram modelos numéricos para simular esse comportamento. Esses trabalhos são, a seguir, apresentados.

Em 2000, Kim e Lee propuseram um modelo numérico para prever o comportamento de pilares de concreto armado submetidos à flexão normal composta e à flexão oblíqua. O procedimento proposto considera a relação entre os momentos de flexão nos dois eixos e também a relação entre o momento de flexão e a força axial. Para verificar o procedimento numérico proposto, foi realizada uma série de testes com 16 pilares de concreto armado. Os autores concluíram que, se não houver a

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consideração da relação entre os momentos de flexão nos dois eixos com a força axial, a carga última do pilar pode ser superestimada e há a tendência dos deslocamentos serem diferentes dos valores medidos após a fissuração. Na comparação com a norma americana American Concrete Institute (ACI 318-1995), os autores verificaram que o fator de amplificação dos momentos proposto pela ACI 318-95 é superestimado para níveis altos de força normal e subestimado para forças normais mais baixas, tanto para condições de flexão normal composta quanto de flexão obliqua.

Em 2004, Kwak e Kim apresentaram um modelo numérico para simular as não linearidades física e geométrica de pilares esbeltos de concreto armado e propuseram melhorias nos critérios para estimar a capacidade de carga desses pilares. Os resultados numéricos foram comparados com dados experimentais e os autores concluíram que: (1) o procedimento da norma americana American Concrete Institute (ACI 318–2002) apresenta boa concordância com a análise Força-Deslocamento (P-) para pilares pouco esbeltos e com alta taxa de armadura; (2) o procedimento do ACI 318 -2002 é muito conservador para pilares esbeltos; (3) a fórmula proposta pelos autores mostra boa concordância com a análise P- para pilares esbeltos com pouca ou muita excentricidade.

Em 2006a, Kwak e Kim apresentaram um modelo analítico para simular o comportamento não linear de pilares esbeltos de concreto armado considerando as deformações lentas. A não linearidade física é levada em conta incluindo a fissuração do concreto. Os autores concluíram que o uso de concreto de alta resistência em pilares esbeltos de concreto armado não é tão eficaz quanto em pilares curtos, pois sua capacidade resistente é pouco aumentada quando comparada com os pilares curtos. O aumento da área de aço leva a um pequeno aumento da capacidade resistente de pilares esbeltos e melhora o comportamento estrutural a curto e longo prazo. Como o comportamento não linear de pilares esbeltos de concreto armado é afetado por muitas variáveis de projeto, tais como o índice de esbeltez, a área de aço, a resistência à compressão de concreto e a fluência, os autores acreditam que os modelos numéricos

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sofisticados considerando as não linearidades física e geométrica vão ter um papel cada vez mais importante para a verificação de projetos. Segundo os autores, a introdução de uma fórmula de cálculo simples pode ser importante para dimensionar pilares esbeltos de concreto armado, porque as fórmulas de projeto vigentes levam a resultados muito conservadores.

Em 2006b, Kwak e Kim propuseram um procedimento para prever a capacidade resistente de pilares esbeltos de concreto armado. Usando um modelo numérico desenvolvido em outro artigo dos autores, análises não lineares dependentes do tempo foram realizadas para avaliar a capacidade resistente. Os autores concluíram que os resultados são limitados e que a fórmula atingiu uma boa concordância com a norma americana American Concrete Institute (ACI 318-1999) quando o pilar está submetido a carregamentos de curta duração e a resistência à compressão do concreto, a esbeltez e a área de aço são relativamente pequenas, mas apresentaram resultados muito conservadores com o aumento da esbeltez. Os autores concluíram também que a fórmula do ACI 318-99 precisa ser melhorada para uma simulação mais eficaz quando o efeito do tempo é considerado.

Em 2008, Majewiski et al. apresentaram resultados da análise de pilares de concreto armado sob compressão excêntrica modelados através do método dos elementos finitos. O concreto foi descrito com um modelo elasto-plástico. No regime de compressão foi utilizado o critério de Druker-Prager e na tração o critério de Rankine. A armadura foi descrita com um modelo elástico perfeitamente plástico utilizando o critério de Von Mises. Os resultados do modelo foram comparados com resultados experimentais e apresentaram boa concordância.

Em 2010, Kwak e Kwak apresentaram um modelo numérico para simular as não linearidades física e geométrica em pilares esbeltos de concreto armado submetidos à flexão obliqua. A proposta do modelo foi verificada pela comparação com resultados de estudos experimentais e analíticos. Os autores concluíram que: os

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boa concordância com os resultados obtidos na análise rigorosa, quando o índice de esbeltez é relativamente baixo; o método do ACI 318-08 produz resultados muito conservadores quando se aumenta a esbeltez e o coeficiente de fluência.

As seções de concreto armado submetidos à flexão normal composta e à flexão oblíqua foram estudadas por alguns pesquisadores. Esses trabalhos são, a seguir, apresentados.

Em 2004a, Bonet et al. propuseram um procedimento simplificado para dimensionamento de pilares esbeltos de concreto armado, seção retangular, armadura dupla e simétrica nos dois eixos, submetidos à flexão obliqua, o qual é válida para cargas de curta e longa duração e para concreto de resistência normal e alta resistência. O procedimento é baseado no Método de Amplificação dos Momentos apresentado pela norma americana American Concrete Institute (ACI 318-2002) e pela norma europeia European Committee for Standardization (EC2-2003), e é apropriado apenas para pilares que possuem o mesmo comprimento de flambagem nos dois planos principais de flexão. O método foi comparado com testes experimentais e provou ser suficientemente preciso para sua aplicação prática.

Em 2004b, Bonet et al. implementaram dois procedimentos de integração para seções transversais de concreto armado submetidos à flexão obliqua para obtenção da carga última de serviço. O primeiro método (TLI - Thick Layers Integration) é apropriado

para um campo geral de tensões, e o segundo método (MTLI - Modified Thick Layers

Integration) é apropriado para seções nos quais o campo de tensões é uniforme em

pelo menos uma direção. Os dois procedimentos decompõem a área de integração em camadas espessas paralelas à fibra com maior tensão de tração, cuja definição depende da equação constitutiva do concreto. A integração do campo de tensões de cada camada é transformada em uma integral dupla (TLI) ou em uma integral parcial (MTLI). Os autores concluíram que o MTLI é recomendado para implementação computacional com considerações não lineares de estruturas de concreto armado.

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Em 2006, Bonet et al. apresentaram um estudo comparativo de diferentes procedimentos, analíticos e numéricos, para determinar qual é o mais eficiente algoritmo para calcular a superfície de interação de uma seção retangular ou circular de concreto. Um procedimento numérico (MTLI - Modified Thick Layer Integration) proposto por Bonet et al. (2004) para seção retangular é comparado com um processo analítico proposto por Barros et al. (2004). Para seções circulares, dois procedimentos são propostos pelos autores: (a) o analítico obtém a integral das tensões usando funções

Heaviside para definir a seção de ruptura; (b) o numérico decompõe a área de

integração em camadas espessas paralelas à linha neutra. A definição das camadas depende da equação constitutiva do concreto utilizada. Os esforços internos são calculados utilizando a quadratura de Gauss Legendre. Os resultados dos dois procedimentos foram comparados com um método clássico de decomposição em camadas. Os autores concluíram que: para seções circulares tanto o procedimento numérico quanto o analítico mostraram boa concordância com o método clássico; para seções retangulares, o mais eficiente é o MTLI.

Em 2009, Pallhares et al. apresentaram um algoritmo para dimensionamento de seções de concreto armado submetidas à flexão oblíqua de acordo com as teorias da norma europeia European Committee for Standardization (EC2-2004) para flexão normal composta. Neste trabalho os autores apresentaram uma expressão para as deformações últimas em seções submetidas à flexão obliqua e apresentam um fluxograma detalhado para implementação computacional. A expressão foi validada através da comparação com trabalhos experimentais.

Em 2011, Bonet et al. propuseram uma nova equação para obter a rigidez à flexão (EI) de pilares esbeltos de concreto armado. A expressão é válida para qualquer seção transversal submetida à flexão oblíqua com carregamento de curta e longa duração, concreto de resistência normal e alta, mas é apropriado apenas para pilares com o mesmo comprimento de flambagem nos dois planos de flexão. O procedimento foi comparado com testes experimentais e teve boa concordância. Os autores